Функциональная предельная теорема для ветвящихся процессов с иммиграцией

Розглядається особливий випадок гіллястих процесів з імміграцією частинок у випадкові моменти часу. Параметри процесу близькі до критичних. Доведено, що певним чином нормована послідовність таких процесів збігається у рівномірній топології до дифузійного процессу. Як наслідок вивчена гранична поведі...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Кибернетика и системный анализ
Date:	2010
Main Authors:	Лебедев, Е.А., Семенов, В.В.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2010
Subjects:	Системный анализ
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45205
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Функциональная предельная теорема для ветвящихся процессов с иммиграцией / Е.А. Лебедев, В.В. Семенов // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 3. — С. 152-161. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860207726460665856
author	Лебедев, Е.А. Семенов, В.В.
author_facet	Лебедев, Е.А. Семенов, В.В.
citation_txt	Функциональная предельная теорема для ветвящихся процессов с иммиграцией / Е.А. Лебедев, В.В. Семенов // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 3. — С. 152-161. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Кибернетика и системный анализ
description	Розглядається особливий випадок гіллястих процесів з імміграцією частинок у випадкові моменти часу. Параметри процесу близькі до критичних. Доведено, що певним чином нормована послідовність таких процесів збігається у рівномірній топології до дифузійного процессу. Як наслідок вивчена гранична поведінка функціоналів інтегрального типу. A special case of branching processes with immigrants in random moments of time is considered. The process parameters are closed to critical ones. It is proved that sequence of such processes normalized by the suitable way converges weakly to a diffusion process in the uniform topology. As a consequence the limit behavior of integral functionals is studied.
first_indexed	2025-12-07T18:12:55Z
format	Article
fulltext	ÓÄÊ 519.21 Å.À. ËÅÁÅÄÅÂ, Â.Â. ÑÅÌÅÍÎÂ ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÜÍÀß ÏÐÅÄÅËÜÍÀß ÒÅÎÐÅÌÀ ÄËß ÂÅÒÂßÙÈÕÑß ÏÐÎÖÅÑÑÎÂ Ñ ÈÌÌÈÃÐÀÖÈÅÉ Êëþ÷åâûå ñëîâà: âåòâÿùèéñÿ ïðîöåññ ñ èììèãðàöèåé, ðàâíîìåðíàÿ òîïîëîãèÿ, äèôôóçèîííûé ïðîöåññ, èíòåãðàëüíûé ôóíêöèîíàë. Âåòâÿùèéñÿ ïðîöåññ îáû÷íî îïðåäåëÿåòñÿ êàê ìàðêîâñêèé ïðîöåññ, êîòîðûé óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ âåòâëåíèÿ [1, ñ. 11]. Âåòâÿùèåñÿ ïðîöåññû îïèñûâàþò äîñòàòî÷íî øèðîêèé êëàññ ðåàëüíûõ ÿâëåíèé â ôèçèêå, õèìèè, áèîëîãèè, òåõíè- êå, äåìîãðàôèè, òåîðèè ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ. Îòìåòèì âàæíûå ïðèìåíåíèÿ ýòèõ ïðîöåññîâ â ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè íàäåæíîñòè [2]. Êëàññ âåòâÿùèõñÿ ïðîöåññîâ âêëþ÷àåò òàêæå ïðîöåññû ñ èììèãðàöèåé, â êîòî- ðûõ íàðÿäó ñ ðàçìíîæåíèåì è ïðåâðàùåíèåì ÷àñòèö èìååòñÿ ïîñòîÿííûé ïðèòîê ÷àñòèö èçâíå, óïðàâëÿåìûé ñëó÷àéíûì ìåõàíèçìîì, íå çàâèñÿùèì îò ÷èñëà ñóùåñ- òâóþùèõ ÷àñòèö. Ïîñòðîèì ìîäåëü âåòâÿùåãîñÿ ïðîöåññà ñ èììèãðàöèåé, êîòîðàÿ áóäåò èññëåäîâàòüñÿ â äàííîé ðàáîòå. Ïóñòü { ( ), , , , }Z m m � 0 1 2 � — âåòâÿùèéñÿ ïðîöåññ Ãàëüòîíà–Âàòñîíà [1, ñ. 13], à Z Z i j i j� � � �{ ( ), , , ; , , }1 2 0 1� � — íåçàâèñèìûå ïðîöåññû, êîíå÷íîìåðíûå ðàñïðå- äåëåíèÿ êîòîðûõ ñîâïàäàþò ñ ðàñïðåäåëåíèÿìè Z m( ), m � 0 1, ,� Ñëó÷àéíóþ âåëè÷è- íó Z m( ) ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê êîëè÷åñòâî ïîòîìêîâ îäíîé ÷àñòèöû â ìî- ìåíò âðåìåíè m. Ïîëîæèì Z( )1 � � — êîëè÷åñòâî ïîòîìêîâ â ïåðâîì ïîêîëåíèè. Êðîìå òîãî, ïóñòü � — ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ïðèíèìàþùàÿ öåëûå íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ. Îáîçíà÷èì H � � �{ , , }� j j 1 ìíîæåñòâî öåëî÷èñëåííûõ, íåçàâèñèìûõ â ñîâîêóïíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ðàñïðåäåëåíèå êîòîðûõ ñîâïàäàåò ñ �. Ïðîèç- âîäÿùèå ôóíêöèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí � è � îáîçíà÷èì ñîîòâåòñòâåííî f s f s g s g sk k k k k k ( ) , ( )� � � � � � � � 0 0 , ãäå P k fk( )� � � , P k g k( )� � � , k � 0 1, ,� , à èõ ìîìåíòû ïåðâîãî è âòîðîãî ïî- ðÿäêîâ — E a� �� , E a� � � , E[ ( )]� �� . Ðàññìîòðèì òàêæå { , , }� j j � �1 — ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ ãåîìåòðè- ÷åñêè ðàñïðåäåëåííûõ ñ ïàðàìåòðîì p � ( , )0 1 ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Äëÿ ñîîòâåòñòâó- þùåãî ïðîöåññà âîññòàíîâëåíèÿ ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ � � � �j j jm j m� � � � �1 � , ( ) max{ : }. Âåòâÿùèéñÿ ïðîöåññ ñ èììèãðàöèåé Y m( ) , m � 0 1, ,� , îïðåäåëèì ñëåäóþùèì îáðàçîì: Y m Z m i j j ij m j ( ) ( ) ( ) � �� 11 , m � 0 1, ,� Ïðîöåññ Y m( ) ÿâëÿåòñÿ âåòâÿùèìñÿ ïðîöåññîì ñ èììèãðàöèåé, äëÿ êîòîðîãî ñëó- ÷àéíîå êîëè÷åñòâî ÷àñòèö-èììèãðàíòîâ � j ïîñòóïàåò â ñëó÷àéíûé ìîìåíò âðå- ìåíè � j , ïðè÷åì âðåìÿ ìåæäó äâóìÿ ìîìåíòàìè ïðèõîäà èììèãðàíòîâ èìååò ãåî- ìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå. Ïðè óñëîâèè, ÷òî Y k( )0 � , ïðîöåññ Z m Z mi i k i j j ij v m j 0 1 11 ( ) ( ) ( ) � �� îáîçíà÷èì Y k m( , ) . 152 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3 Å.À. Ëåáåäåâ, Â.Â. Ñåìåíîâ, 2010 Îïèñàííûé âûøå ïðîöåññ Y m( ) ìîæíî ìîäåëèðîâàòü âåòâÿùèìñÿ ïðîöåññîì Q m Q m Q m( ) ( ( ), ( ))� 1 2 , m � 0 1, ,� , ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì è äâóìÿ òèïàìè ÷àñòèö T T1 2, . Çàäàäèì äëÿ ïðîöåññà Q m( ) âåðîÿòíîñòè ïðåâðàùåíèÿ ÷àñòèö ìåæäó äâóìÿ ïîñëåäîâàòåëüíûìè ìîìåíòàìè âðåìåíè ñëåäóþùèì îáðàçîì: P T T p P T T kT qg q p P T kT f k k ( ) , ( ) , , ( ) . 1 1 1 1 2 2 2 1 � � � � � � � � � � � � (1) Â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè Q Q( ) ( , )0 1 0� . Èç îïðåäåëåíèÿ Q m( ) ñëåäóåò, ÷òî Q m1 1( ) � , Q m Y m d 2 ( ) ( )� , ãäå � d îçíà÷àåò ðà- âåíñòâî êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé. Èììèãðàöèÿ ïðîèñõîäèò çà ñ÷åò ðàçìíî- æåíèÿ ôèêòèâíîé ÷àñòèöû òèïà T1, êîòîðàÿ ïîðîæäàåò íîâûå ÷àñòèöû òèïà T2 , à ñàìà íå èñ÷åçàåò è íå ðàçìíîæàåòñÿ. Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ òàêîãî ïðîöåññà çà- ïèøåòñÿ â âèäå F s s s p qg s f s F s s F s s( , ) [ ( ( )), ( )] [ ( , ), ( , )1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2� � � ] . Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî áàçîâûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû � è � çàâèñÿò îò n (íîìåðà ñå- ðèè): � �� n , � �� n , a a n� �� ( ) , a a n� �� ( ) , � �� ( )n . Âåòâÿùèéñÿ ïðîöåññ áëèçîê ê êðèòè÷åñêîìó, åñëè a n n o n� ( ) � � � � � � � � �1 1 ïðè n � � . Äëÿ òàêîãî âåòâÿùå- ãîñÿ ïðîöåññà ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ y t n Y nx nt x tn n( ) ([ ], [ ]), ,� � � 1 0 0 , è äîêàæåì ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò. Òåîðåìà 1. Åñëè a n n o n� ( ) � � � � � � � � �1 1 , � � �� ( ) ( )n � � 1 , a n a� � �( ) ( )� � 1 , �� , a � 0 , ìíîæåñòâà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí �n n n2 2 1 2� �{ ( ), , , }� � è Hn � � �{ ( ), , , }� n n 1 2 � ðàâíîìåðíî èíòåãðèðóåìû, òî lim [exp ( ( ))] exp ( ( , )) n n t E y t x t e �� 1 1 2 1� � � � � � 2qa� �� , (2) lim [exp{ ( ( ) ( ) ( ))}] n n n l n lE y t y t y t �� 1 1 2 2 � � � � �exp{ ( , ( , ( , )))}x t t t l l� � � � � �� 1 1 2 2 � 1 1 2 1 2 � � � � � � � � � � � � � � �e t qa j� , (3) ãäå � � � � � � ( , )t e e t t � � 1 1 2 1 , � i � 0 , i l�1 2, , ,� . Ïåðåä òåì êàê äîêàçûâàòü òåîðåìó, óñòàíîâèì íåñêîëüêî âñïîìîãàòåëüíûõ ðåçóëüòàòîâ. Ëåììà 1. Ïóñòü âåòâÿùèéñÿ ïðîöåññ ñ äâóìÿ òèïàìè ÷àñòèö T1 è T2 çàäàåòñÿ ñõåìîé (1). Òîãäà ðàñïðåäåëåíèå êîëè÷åñòâà ÷àñòèö òèïà T1 è T2 â ìîìåíò âðåìåíè m èìååò ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ F m s s s p qg f s f sj m j m ( , , ) ( ( ( ))), ( )( ) ( ) 1 2 1 2 2 0 1 � � � � � � � � � ! ! , ãäå f sk( ) ( ) — k-ÿ èòåðàöèÿ ôóíêöèè f s( ) . Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâîäèòñÿ ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè ïî ïàðàìåòðó m. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3 153 Ëåììà 2. Ñîâìåñòíàÿ ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Y k m Y k ml( , ), , ( , )1 � ðàâíà E s s s f s f Y k m Y k m l Y k m m m l 1 2 1 1 2 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) � � �� ! � � � � �s f sl m l k l � � � � � � � � � � � � � � �� ! "1 ( ) ( ) � " � � � � � � � � � � � � � � p qg f s f s s f sj i m i l m l i l( ) ( ) ( ) ( ) � �1 1 1� �� ! � � � � � ! !� � �� j m i l i 1 1 1 � , ãäå 0 1 2# # # #m m ml� , �m m mi i i� 1, 0 1� �si , i l�1 2, , ,� . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîâåðèì ýòî óòâåðæäåíèå äëÿ l � 2 . Îáùèé ñëó÷àé äîêàçû- âàåòñÿ ïî èíäóêöèè. Ïðåäñòàâèì Y k m Y k m m Z m I mi i Y k m ( , ) ( , ) ( ) ( )( ) ( , ) 2 1 2 2 2 1 1 � � � � � �� , ãäå { ( )}( )Z i � — ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ âåòâÿùèõñÿ ïðîöåññîâ Ãàëüòîíà–Âàòñîíà, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ ïðîèçâîäÿ- ùåé ôóíêöèåé f s( ), à I m( )� 2 — ÷àñòü ïîïóëÿöèè ÷àñòèö, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ïî- òîìêàìè èììèãðàíòîâ, ïîñòóïèâøèõ â ïðîìåæóòêå âðåìåíè ( , ]m m1 2 äëèíû �m2 . Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà óñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è íåçàâèñèìîñòü I m( )� 2 , Y k m( , )1 , èìååì E s s E s E s Y k m Y k m Y k m Z m I i 1 2 1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) � �� ! � �� ( ) ( , ) ( , ) � m i Y k m Y k m 2 1 1 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � � ! ! ! � � � �� ! �E s s f s Y k m I m m Y k m 1 2 2 1 2 2 1 ( , ) ( ) ( , ) ( ( )) � � E s E s f s I m m Y k m 2 1 2 2 2 1 ( ) ( , ) ( ( )) � � � �� ! � �� ! . Èç ëåììû 1 ñëåäóåò, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå ÷èñëà èììèãðàíòîâ â ìîìåíò âðåìåíè �m2 èìååò ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ h m s F m s p qg f sj j m ( , ) ( , , ) [ ( ( ))]( )� � � 2 1 2 0 1 1 2 � � � � � . Òàêèì îáðàçîì, E s f s p qg f sY k m m k j j m [ ] [ ( )] [ ( ( ))]( , ) ( ) ( )� � � � 0 1 . Ñëåäîâàòåëüíî, ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî E s E s f s I m m Y k m 2 1 2 2 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( ( )) � �� ! � �� ! � � � � � � � � � � � � ! �f s f s p qg f s f s m m k j m( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1 2 2 1 2 1 2 � � ) � � � � � � � � �� ! " � � j m 0 11 " � � � [ ( ( ))]( )p qg f sj j m 2 0 12� . Ëåììà 2 äîêàçàíà. 154 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3 Ëåììà 3 [3]. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî � �� ( ) ( )n o� � 1 è ìíîæåñòâî �n 2 ðàâíîìåðíî èíòåãðèðóåìî. Òîãäà äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà �, 0 1 2 # #� �� , ñóùåñòâóþò ÷èñëà s( ) [ , ]� � 0 1 è N ( )� � � òàêèå, ÷òî äëÿ âñåõ s s�[ ( ), ]� 1 , n N� ( )� è k �1 2, ,� ñïðàâåäëè- âà îöåíêà 1 1 1 2 1 1 1 � �� ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) a n a n s a n a n k k � � � � � � � � �f sn k( ) ( ) 1 1 1 2 1 1 1 � � � � � � � �( ( )) ( ) ( ( )) ( ) a n a n s a n a n k k � � � � � � � . Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1. Ñíà÷àëà äîêàæåì ðàâåíñòâî (2). Èñïîëüçóÿ ëåì- ìó 1, çàïèøåì ðàâåíñòâî E y t f e p qg fn n nt n nx n n j[exp ( ( ))] [ ( )] [ ( ( ([ ]) [ ] ( ) � � � �� e n j nt � � �� ))] [ ] 0 1 . Òîò ôàêò, ÷òî lim [ ( )] exp ( ( , )) ([ ]) [ ] n n nt n nxf e x t �� , ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ïðåäåëüíîé òåîðåìû èç [3]. Òàêèì îáðàçîì, îñòàëîñü íàéòè ïðåäåë lim [ ( ( ))]( ) [ ] n n n j n j nt p qg f e �� 0 1 . Íå íàðóøàÿ îáùíîñòè, áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî a a n n � �� min ( ) 1 0 . Ïðîèçâîäÿ- ùóþ ôóíêöèþ g sn ( ) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå g s a n g s sn i i i i i ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � � � � � � � � �1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 � . Â ñèëó ðàâíîìåðíîé èíòåãðèðóåìîñòè Hn äëÿ ïðîèçâîëüíîãî � �� ( , )0 a ñóùåñòâó- åò s1 0 1( ) [ , ]� � òàêîå, ÷òî äëÿ s s�[ ( ), ]1 1� è âñåõ n �1 âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà 1 1 1 1 � � ( ( ) )( ) ( ) ( )( )a n s g s a n sn� �� . (4) Ïóñòü s1 ( )� íàñòîëüêî áëèçêî ê 1, ÷òî âñå ÷ëåíû íåðàâåíñòâà (4) áîëüøå 0. Äëÿ ëþáîãî �� , 0 1 2 # #� �� , ñóùåñòâóþò s2 0 1( ) [ , ]� � è N ( )� � � òàêèå, ÷òî äëÿ âñåõ s s�[ ( ), ]2 1� , n N� ( )� è j �1 2, ,� ñïðàâåäëèâà îöåíêà (ëåììà 3) 1 1 1 2 1 1 1 � �� ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) a n a n s a n a n j j � � � � � � � � �f sn j( ) ( ) � � � � � � � � � 1 1 1 2 1 1( ( )) ( ) ( ( )) ( ) a n a n s a n a n j j � � � � � � � 1 . (5) Ïóñòü s2 ( )� íàñòîëüêî áëèçêî ê 1, ÷òî âñå ÷ëåíû íåðàâåíñòâà (5) ïðèíàäëåæàò îòðåçêó [ ( ), ]s1 1� . Ïîëîæèì s s s( ) max [ ( ), ( )]� � �� 1 2 . Òîãäà äëÿ âñåõ s s�[ ( ), ]� 1 è n N� ( )� íåðàâåíñòâà (4) è (5) áóäóò âûïîëíÿòüñÿ îäíîâðåìåííî. Ïóñòü N ( )� òàêîå, ÷òî äëÿ âñåõ n N� ( )� e sn �� / [ ( ), ]1 . Òîãäà èç íåðàâåíñòâ (4) è (5) ñëåäóåò ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3 155 lim ln ( ) ( ( )) ( ) ( / n j n qa n a n e a �� 1 1 1 1 2 � � � � � � � n e a n a n n j j ) ( ) ( ( )) ( ) / [ 1 1 1 0 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � nt ] � � 1 � � � �� lim ln [ ( ( ))] lim ln [( ) [ ] n n n j n j nt n p qg f e �� 0 1 p qg f en n j n j nt � � � � ( ( ))]( ) [ ] �� 0 1 � � �� lim ln ( ( ) ) ( ( )) ( )/ n j n q a n a n e 1 1 1 1 2 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � a n e a n a n n j � � � �( ) ( ) ( ( )) ( ) /1 1 1 � � � j nt 0 1[ ] . Çàìåòèì, ÷òî lim n j n n n �� $� � � � � � �� 1 1 1 2 1 1 � � � � � � � � � � � $� � � � � � � � � j j nt u un e du e 1 1 1 1 2 10 1 � � � � � [ ] 0 t % � $ � $� � � � � � � � � � � � � � 1 1 2 1 1 2 1 � � � � � � � ln e t . Òàêèì îáðàçîì, � � � � � � � � � � � � � � � � �� qa e t n � � � � � � � � 1 2 1 1 2 1 ln lim ln [ ( ( ))]( ) [ ] p qg f en n j n j nt � � � � �� 0 1 � � � �� lim ln [ ( ( ))] ( )( ) [ ] n n n j n j nt p qg f e q a�� 0 1 1 2 1 1 2 1 � � � � � � � � � �� ln e t . Ïîñêîëüêó ýòî íåðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ äëÿ ëþáîãî 0 1 2 # # � � � � � �� min ,a , èìååì lim ln [ ( ( ))] ln( ) [ ] n n n j n j nt p qg f e qa �� 0 1 2 1� � � � � � � � � 1 2 1 � � � e t . Ðàâåíñòâî (2) äîêàçàíî. Äîêàçàòåëüñòâî (3) àíàëîãè÷íî. Âìåñòî ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y k m( , ) èñïîëüçóåòñÿ ñîâìåñòíàÿ ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ Y k m Y k ml( , ), , ( , )1 � , êîòîðàÿ íàéäåíà â ëåììå 2. Òåîðåìà äîêàçàíà. Ïðàâûå ÷àñòè ñîîòíîøåíèé (2) è (3) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïðåîáðàçîâàíèå Ëàï- ëàñà êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé äèôôóçèîííîãî ïðîöåññà y t0 ( ) , t � 0 , ñ êîýô- 156 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3 ôèöèåíòàìè ïåðåíîñà a x x qa( ) � � � è äèôôóçèè b x x( ) � �� . Òàêèì îáðàçîì, îñíîâíîé ðåçóëüòàò òåîðåìû 1 ñîñòîèò â äîêàçàòåëüñòâå ñõîäèìîñòè y tn ( ) ê äèô- ôóçèîííîìó ïðîöåññó y t0 ( ) â ñìûñëå êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé. Ïîêàæåì, ÷òî ïðè òåõ ñàìûõ óñëîâèÿõ y tn ( ) ñõîäèòñÿ ê ïðîöåññó y t0 ( ) â ðàâíîìåðíîé òî- ïîëîãèè U [4]. Òåîðåìà 2. Ïóñòü a n n o n � ( ) � � � � � � � � �1 1 , � �� ( ) ( )n o� � 1 , a n a o� �( ) ( )� � 1 , ìíîæåñòâà �n 2 è Hn ðàâíîìåðíî èíòåãðèðóåìû. Òîãäà íà ëþáîì êîíå÷íîì ïðîìå- æóòêå [ , ]0 T ïîñëåäîâàòåëüíîñòü y tn ( ) ñõîäèòñÿ â U-òîïîëîãèè ê äèôôóçèîííîìó ïðîöåññó y t0 ( ) , t � 0 , ñ êîýôôèöèåíòîì ïåðåíîñà a x x qa( ) � � � è äèôôóçèè b x x( ) � �� . Ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò. Ëåììà 4. Ïóñòü âåòâÿùèéñÿ ïðîöåññ ñ äâóìÿ òèïàìè ÷àñòèö T1 è T2 çàäàåòñÿ ñõåìîé (1). Òîãäà èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ: 1) åñëè ïåðâûå ìîìåíòû � �, êîíå÷íû, a a� � �, � , òî ìàòðèöà ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé A m( ) ïðîöåññà Q m Q m Q m( ) ( ( ), ( ))� 1 2 êîíå÷íà è èìååò âèä A m qa a a a m m ( ) � � � � � � � � � � � � � 1 1 1 0 � � � � ; 2) åñëè âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ ï. 1 è, êðîìå òîãî, âòîðûå ìîìåíòû M � �� ( ) � , M � �� ( ) � êîíå÷íû, òî E Q m Q m q a a a a a n m [ ( )( ( ) )] ( ) 2 2 21 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 1 1 1a a a m � � �� q a a a a a a a m m � � � � � � � ��2 1 1 1 1 ( ) a� � � � �� 1 2 . (6) Óòâåðæäåíèÿ 1, 2 ëåììû 4 ñëåäóþò èç ëåììû 1. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû � j n( ) ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ èç îãðàíè÷åííîãî ìíîæåñòâà { , , , }0 1� N . Ïîñêîëüêó òðàåê- òîðèè ïðåäåëüíîãî ïðîöåññà ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 íåïðåðûâíû, äëÿ ñõîäèìîñòè y tn ( ) ê y t0 ( ) â U-òîïîëîãèè äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü ñõîäèìîñòü â J-òîïîëîãèè [4]. Äëÿ ýòî- ãî îöåíèì âåðîÿòíîñòü �n n n n nP y t y t y t y t t t t� � � � # # �( \| ( ) ( ) \| , \| ( ) ( ) \| ),1 2 1 20� � T. Â ñèëó íåðàâåíñòâà ×åáûøåâà èìååì �n n n n nE y t y t y t y t� �[ ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))]� �� 1 2 � �E y t y t E y t y t y tn n n n n[ ( ( ) ( )) { ( ( ) ( )) ( )}]� �� 1 2 � � � � 2 1 2 2E y t y t E y t y t y tn n n n n[ ( ( ) ( )) {( ( ) ( )) ( )}] , ãäå � �� ( ) ( )x x� 1 , � �� ( ) , \| \| , \| \| x x x � � � � � 1 0 Íå òåðÿÿ îáùíîñòè, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî a n n � ( ) � �1 . Òîãäà, èñïîëüçóÿ ðåçóëü- òàòû ëåììû 4, íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî èìåþò ìåñòî íåðàâåíñòâà ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3 157 E y t y t y t H y t H n n n n n nt [( ( ) ( )) ( )] ( ( ) ) [ 2 2 1 2 2 1 � � �� 2 1 2 ] [ ] � � � � � � � ! ! ! ! � nt � � �� ! ! ! ! ( ( ) ) [ ] [ ] H y t H n n nt nt 3 4 1 1 2 , (7) E y t y t H n n n nt nt [( ( ) ( )) ] ~ [ ] [ ] � �� 1 2 1 1 1 1 � � ! ! ! ! � �� ! ! ! ! 2 2 1 1 1 ~ [ ] [ ] H n nt nt , (8) ïðè÷åì êîíñòàíòû H ii � �0 1 4, , , è ~ , ,H ii � �0 1 2 , çàâèñÿò òîëüêî îò N T, è q. Èñïîëüçóÿ (7) è (8), íàõîäèì �n nt nt n n E H y� �� ! ! ! ! � 2 2 1 2 1 1 2[ ] [ ] [ (t H) ] �2 � �� ! ! ! ! � 3 1 1 2 n E y t y nt nt n n [ ] [ ] [ ( ( ) ( )) ] [ ( ( ) ) ]/ /t E H y t Hn1 2 1 2 3 4 2 1 2� . Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóþò êîíñòàíòû K N T q� 1 ( , , ) è K N T q� 2 ( , , ) òàêèå, ÷òî �n nt nt K N T q n � �� ! ! ! ! � � 1 2 1 1 2 ( , , ) [ ] [ ] � �� ! ! ! ! � K N T q n n nt nt � 2 1 1 1 2 ( , , ) [ ] [ ] � � � � � � [ ] [ ]nt nt1 1 . Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíûõ s t T, [ , ]� 0 , t s� , è n n� � � � �� & ' ( min :n n 1 0 èìååì 1 1 1 1 �� n e T n n nt ns T [ ] [ ] max , ln � & ' ( ( [ ] [ ])n nt n ns1 1 . 158 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3 Èñïîëüçóÿ ýòî íåðàâåíñòâî, à òàêæå ñîîòíîøåíèÿ n nt n nt n nt n nt � 1 2 1 1 2 1 1[ ] [ ] [ ] [ ] , n nt n nt n nt n nt � 1 1 1 1 2 1 1[ ] [ ] [ ] [ ] , èìååì �n C N T q n nt n nt� � ( , , )( [ ] [ ]) /1 2 1 1 3 2 , ãäå C N T q� ( , , ) — êîíñòàíòà, íå çàâèñÿùàÿ îò n . Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ: t t n2 1 1 � è t t n2 1 1 � . Âî âòîðîì ñëó÷àå �n C N T q n nt n nt C N T q t t� � � �( , , )( [ ] [ ]) ( , , )(/1 2 1 1 3 2 2 1 � � n 1 3 2) / � 23 2 2 1 3 2/ /( , , )( )C N T q t t� . (9) Íåðàâåíñòâî (9) ñïðàâåäëèâî è â ïåðâîì ñëó÷àå, ïîñêîëüêó ïðè t t n2 1 1 � �n � 0 . Â ñèëó òåîðåìû 15.6 [5] èç íåðàâåíñòâà (9) ñëåäóåò ñõîäèìîñòü y tn ( ) ê y t0 ( ) â J-òîïîëîãèè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû � j n( ) ïðèíèìàþò ïðîèçâîëüíûå çíà- ÷åíèÿ èç ìíîæåñòâà { , , , }0 1 2 � . Äëÿ ôèêñèðîâàííîãî N �1 2 3, , ,� ïðåäñòàâèì ïðî- öåññ ñ èììèãðàöèåé â âèäå Y k m Y k m Y m mn N n N n ( , ) ( , ) ( ),� � � 0 1 0 , (10) ãäå Y k k N n 0 0( , ) � , Y k m Z m Z m m N n i n i j n j i n j m jN 0 0 11 1( , ) ( ) ( ),, , ( )( � � � �� ) �� i k 1 , Y Y m Z m m N n N n i j n j i n j m jN 1 1 11 0 0 1( ) , ( ) ( ),, ( )( ) � � � �� , � � � � � � � �jN N j j jN N j jn n n n n n( ) ( ( )) ( ), ( ) ( ( )) ( )� � , � � �N N Nx x N x N x x( ) , \| \| , , \| \| , ( ) ( )� � � � � � 1 0 1 . Èç ñîîòíîøåíèÿ (10) ñëåäóåò, ÷òî ïðîöåññ y tn ( ) ðàñêëàäûâàåòñÿ íà ñóììó äâóõ ïðîöåññîâ y t y t y tn n N n N( ) ( ) ( )� � 0 1 , ãäå y t n Y nx nt n N N n 0 0 1 ( ) ([ ],[ ])� , y t n N 1 ( ) � � 1 1n Y nx nt N n ([ ],[ ]) . Íå òåðÿÿ îáùíîñòè, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû � j n ñëàáî ñõîäÿò- ñÿ ïðè n � � ê íåêîòîðîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå �. Òîãäà â ñèëó ðàâíîìåðíîé èíòåã- ðèðîâàííîñòè ìíîæåñòâà Hn èìååì E E n E a N E n a N o n jN N jN� � � � � �� , lim ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) (1) . Ïóñòü y tN 0 ( ) , t � 0 , — ñëó÷àéíûé ïðîöåññ, êîíå÷íîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ êî- òîðîãî èìåþò âèä E y t y t y tN N l N l[exp{ ( ( ) ( ) ( ))}] � � � �� 1 0 1 2 0 2 0 � � � � �exp{ ( , ( , ( , )))}x t t t l l� � � � � �� 1 1 2 2 � 1 1 2 1 2 � � � � � � � � � � � � � � �e t qa N j� ( ) , (11) ãäå � � � � � � ( , )t e e t t � � 1 1 2 1 . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3 159 Èç òåîðåìû 1 ñëåäóåò y t y t n N d n N 0 0 ( ) ( )) �� , ãäå ) d îçíà÷àåò ñõîäèìîñòü êîíå÷íî- ìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé äëÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. Ðàâåíñòâî (11) äîêàçûâàåò y t y tN d N0 0( ) ( )) �� . Ñîãëàñíî ïåðâîé ÷àñòè òåîðåìû ïîñëåäíèå äâà ñîîòíîøåíèÿ ìîæíî óñèëèòü: y t y t n N U n N 0 0 ( ) ( )) �� äëÿ ëþáîãî N , y t y tN U N 0 0( ) ( )) �� . Äëÿ òîãî ÷òîáû ïðèìåíèòü òåîðåìó 4.2 èç [5] è çàâåðøèòü äîêàçàòåëüñòâî, íåîáõîäèìî ïðîâåðèòü, ÷òî lim lim sup sup ( ) [ , ]N n t T n NP y t �� & ' ( � 0 1 0� . (12) Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì P y t P Y m n t T n N m nT N nsup ( ) max ( ) [ , ] [ ]� � � � � � & ' ( � � � 0 1 1 1 � � � & ' ( � � � � � � � � � � � � � � � P Y m a n n nm nT N n m nT max ( ) ( ) \| \| [ ] [ ] 1 1 1 � � � & ' � (� � � � � � � � � � � � � E P Y m a n n n F m nT N n m nT nmax ( ) ( ) \| \| [ ] [ ] [ 1 1 1 � � T ] � � �� & ' � (� � � �� & ' � (� , ãäå F nT[ ] — �-àëãåáðà, ïîðîæäàåìàÿ ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè ([ ])nt , t T� . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïðè ôèêñèðîâàííîé òðàåêòîðèè ([ ])nt , 0 � �t T, ïðîöåññ Y m a n N n m 1 ( ) / ( ) � , m nT�1 2, , ,[ ]� , ÿâëÿåòñÿ ïîëóìàðòèíãàëîì, òî, èñïîëüçóÿ íåðàâåí- ñòâî Äóáà [6, ñ. 283] äëÿ ïîëóìàðòèíãàëîâ, íàõîäèì P y t n n E E Y t T n N nT sup ( ) \| \| [ , ] [ ] � � � � & ' ( � � � � � � � � 0 1 11 1� � N n nT nT nT a n F ([ ]) ( )[ ] [ ] � � � �� & ' � (� � � �� & ' � (� � � � � � � � � � � � � � � � � 1 1 1 n n n E n E a n nT N nT j j � � � � \| \| ( ) ( ) [ ] [ ] � � � � �� & ' � (� � 1 ([ ])nT � � � � � � � � � � � � � � � 1 1 1 1 n n n E n a n a nT N nT � � � � \| \| ( ) ( ) ( [ ] [ ] n ) � 1 � � � � � � � � � � � � � � � �� T n n e T n n nT T � 1 1 1 1 \| \| max , ln [ ] � � � � � � & ' ( E n N � ( ) . 160 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3 Èç ýòîé îöåíêè ñëåäóåò ñïðàâåäëèâîñòü óòâåðæäåíèÿ (12). Òåîðåìà äîêàçàíà. Ïðèìåíèì äàííóþ òåîðåìó äëÿ èçó÷åíèÿ ïðåäåëüíîãî ïîâåäåíèÿ ñóììàðíîãî êîëè÷åñòâà ÷àñòèö âî âñåõ ïîêîëåíèÿõ. Ñëåäñòâèå. Ïóñòü S t n Y nx kn n k nt ( ) ([ ], ) [ ] � � �2 0 è âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 2. Òîãäà lim exp ( , ) ( , ) ( ) n S t t Ee x t qa u dun �� & ' � % � �� 0 (� , ãäå � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �( , )t e� � � � � � �1 2 1 2 2 2 2 2 2 2t � � � � � � � � � � " " � � � � � � � � � � � � � 1 2 2 2 2 2 1 2 � � � � � � � � � � �e t . Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ðåçóëüòàòà îñíîâàíî íà ñõîäèìîñòè y tn ( ) ê y t0 ( ) â ðàâ- íîìåðíîé òîïîëîãèè è èñïîëüçîâàíèè ÿâíîãî âèäà ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà ñîîòâåòñòâóþùåãî èíòåãðàëüíîãî ôóíêöèîíàëà äëÿ ïðîöåññà y t0 ( ) . ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ñ å â à ñ ò ü ÿ í î â Á . À . Âåòâÿùèåñÿ ïðîöåññû. — Ì.: Íàóêà, 1971. — 436 ñ. 2. Á à ð ç è ë î â è ÷ Å . Þ . , Á å ë ÿ å â Þ . Ê . , Ê à ø ò à í î â Â . À . , Ê î â à ë å í ê î È . Í . , Ñ î ë î â ü å â À . Ä . , Ó ø à ê î â È . À . Âîïðîñû ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè íàäåæíîñòè / Ïîä ðåä. Á.Â. Ãíåäåíêî. — Ì.: Ðàäèî è ñâÿçü, 1983. — 376 ñ. 3. Ë å á å ä å â Å . À . Óòî÷íåíèå îäíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìû äëÿ âåòâÿùèõñÿ ïðîöåññîâ // Äîêë. ÀÍ ÓÑÑÐ. Ñåð. À. — 1979. — ¹ 5. — Ñ. 334–338. 4. Ñ ê î ð î õ î ä À . Â . Ïðåäåëüíûå òåîðåìû äëÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ // Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è åå ïðèìåíåíèÿ. — 1956. — 1, ¹ 3. — Ñ. 289–319. 5. Á è ë ë è í ã ñ ë è Ï . Ñõîäèìîñòü âåðîÿòíîñòíûõ ìåð. — Ì.: Ìèð, 1977. — 352 ñ. 6. Ä ó á Ä æ . Ë . Âåðîÿòíîñòíûå ïðîöåññû. — Ì.: Èçä-âî èíîñòð. ëèò., 1956. — 607 ñ. Ïîñòóïèëà 18.02.2010 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3 161
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-45205
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0023-1274
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T18:12:55Z
publishDate	2010
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format	dspace
spelling	Лебедев, Е.А. Семенов, В.В. 2013-06-08T18:28:06Z 2013-06-08T18:28:06Z 2010 Функциональная предельная теорема для ветвящихся процессов с иммиграцией / Е.А. Лебедев, В.В. Семенов // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 3. — С. 152-161. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45205 519.21 Розглядається особливий випадок гіллястих процесів з імміграцією частинок у випадкові моменти часу. Параметри процесу близькі до критичних. Доведено, що певним чином нормована послідовність таких процесів збігається у рівномірній топології до дифузійного процессу. Як наслідок вивчена гранична поведінка функціоналів інтегрального типу. A special case of branching processes with immigrants in random moments of time is considered. The process parameters are closed to critical ones. It is proved that sequence of such processes normalized by the suitable way converges weakly to a diffusion process in the uniform topology. As a consequence the limit behavior of integral functionals is studied. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Функциональная предельная теорема для ветвящихся процессов с иммиграцией Функціональна гранична теорема для гіллястих процесів з імміграцією A functional limit theorem for branching processes with immigration Article published earlier
spellingShingle	Функциональная предельная теорема для ветвящихся процессов с иммиграцией Лебедев, Е.А. Семенов, В.В. Системный анализ
title	Функциональная предельная теорема для ветвящихся процессов с иммиграцией
title_alt	Функціональна гранична теорема для гіллястих процесів з імміграцією A functional limit theorem for branching processes with immigration
title_full	Функциональная предельная теорема для ветвящихся процессов с иммиграцией
title_fullStr	Функциональная предельная теорема для ветвящихся процессов с иммиграцией
title_full_unstemmed	Функциональная предельная теорема для ветвящихся процессов с иммиграцией
title_short	Функциональная предельная теорема для ветвящихся процессов с иммиграцией
title_sort	функциональная предельная теорема для ветвящихся процессов с иммиграцией
topic	Системный анализ
topic_facet	Системный анализ
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45205
work_keys_str_mv	AT lebedevea funkcionalʹnaâpredelʹnaâteoremadlâvetvâŝihsâprocessovsimmigraciei AT semenovvv funkcionalʹnaâpredelʹnaâteoremadlâvetvâŝihsâprocessovsimmigraciei AT lebedevea funkcíonalʹnagraničnateoremadlâgíllâstihprocesívzímmígracíêû AT semenovvv funkcíonalʹnagraničnateoremadlâgíllâstihprocesívzímmígracíêû AT lebedevea afunctionallimittheoremforbranchingprocesseswithimmigration AT semenovvv afunctionallimittheoremforbranchingprocesseswithimmigration

Функциональная предельная теорема для ветвящихся процессов с иммиграцией

Institution

Similar Items