Исследование call-центров как систем массового обслуживания с повторными вызовами
Розглянуто математичні моделі call-центрів, які враховують повторні виклики, а також специфіку і основні аспекти складання моделей call-центрів як систем з повторними викликами. Розглянуто системи масового обслуговування типу M/M/c/0/L/H j , M/M/c/0///E2, M/M/c/0/L//E2 як моделей call-центрів. Навед...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45206 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Исследование call-центров как систем массового обслуживания с повторными вызовами / С.В. Пустовая // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 3. — С. 162-168. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860167956654194688 |
|---|---|
| author | Пустовая, С.В. |
| author_facet | Пустовая, С.В. |
| citation_txt | Исследование call-центров как систем массового обслуживания с повторными вызовами / С.В. Пустовая // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 3. — С. 162-168. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Розглянуто математичні моделі call-центрів, які враховують повторні виклики, а також специфіку і основні аспекти складання моделей call-центрів як систем з повторними викликами. Розглянуто системи масового обслуговування типу M/M/c/0/L/H j , M/M/c/0///E2, M/M/c/0/L//E2 як моделей call-центрів. Наведено чисельні результати для показників функціонування цих систем.
The mathematical models of call centers are considered in the article taking into account retrial calls. Author considers the specificity and main aspects of construction the models of call centers as retrial queues. Queueing systems M/M/c/0/L/H j , M/M/c/0///E2, M/M/c/0/L/ /E2 are considered as call centers’ models. The obtained numerical results for these systems’ characteristics are given.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:57:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.872
Ñ.Â. ÏÓÑÒÎÂÀß
ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ CALL-ÖÅÍÒÐÎÂ ÊÀÊ ÑÈÑÒÅÌ ÌÀÑÑÎÂÎÃÎ
ÎÁÑËÓÆÈÂÀÍÈß Ñ ÏÎÂÒÎÐÍÛÌÈ ÂÛÇÎÂÀÌÈ
1
Êëþ÷åâûå ñëîâà: call-öåíòð, ÑÌÎ, ïîâòîðíûå âûçîâû.
Ââåäåíèå. Ðàçâèòèå èííîâàöèîííûõ òåõíîëîãèé â ñôåðå òåëåêîììóíèêàöèîííûõ
ñèñòåì ïîñëóæèëî ïðè÷èíîé ïîÿâëåíèÿ è àêòèâíîãî âíåäðåíèÿ ïî÷òè âî âñå
ñôåðû îáùåñòâåííîé è ïðåäïðèíèìàòåëüñêîé æèçíè òàêèõ ñèñòåì, êàê call-öåí-
òðû (call centers).  òåîðèè è ïðàêòèêå óïðàâëåíèÿ call-öåíòðû ÷àñòî ðàññìàòðè-
âàþòñÿ êàê ñèíîíèì òåëåôîííîãî îáñëóæèâàíèÿ êëèåíòóðû, êàê ôàêòîð óñïåõà
â ñòðåìëåíèè ôèðìû äîáèòüñÿ ïðèçíàíèÿ ïîòðåáèòåëåé. Call-öåíòðû ÿâëÿþòñÿ
íåêîòîðûì ñòàíäàðòîì â îáëàñòè îáñëóæèâàíèÿ è øèðîêî èñïîëüçóþòñÿ â òåëå-
êîììóíèêàöèîííûõ è òîðãîâûõ ôèðìàõ, áàíêàõ êðåäèòíî-êàðòî÷íîé ñèñòåìû,
îòåëÿõ, ñîöèàëüíûõ ñëóæáàõ, ñëóæáàõ ýêñòðåííîé ïîìîùè è ò.ä. Call-öåíòðû
ñòàëè íåçàìåíèìûì ñðåäñòâîì ñâÿçè è ýôôåêòèâíîãî óïðàâëåíèÿ âçàèìîîòíîøå-
íèé ñ êëèåíòàìè [1].
Áîëüøèíñòâî ñòðóêòóð, â ðàáîòå êîòîðûõ ïðåîáëàäàåò îáùåíèå ñ ëþäüìè (à ýòî
ìîãóò áûòü êàê ÷àñòíûå êîìïàíèè, òàê è ãîñóäàðñòâåííûå ó÷ðåæäåíèÿ), ðåîðãàíèçî-
âûâàþò ñâîþ èíôðàñòðóêòóðó, âíåäðÿÿ â íåå îò îäíîãî äî íåñêîëüêèõ call-öåíòðîâ.
Òàêèå ñèñòåìû ïðåäîñòàâëÿþò âîçìîæíîñòü íàèëó÷øèì îáðàçîì èñïîëüçîâàòü èìå-
þùèåñÿ â êîìïàíèè ðåñóðñû (ñîòðóäíèêè, ëèíèè ñâÿçè, îáîðóäîâàíèå, ïðîãðàì-
ìíîå îáåñïå÷åíèå) äëÿ îáñëóæèâàíèÿ êëèåíòñêèõ âûçîâîâ.
 ïîñëåäíåå âðåìÿ call-öåíòðû ñòàëè íàçûâàòü êîíòàêò-öåíòðàìè, ïîñêîëüêó
â äîïîëíåíèå ê òåëåôîííûì ñðåäñòâàì â íèõ íà÷àëè èñïîëüçîâàòü âîçìîæíîñòè
Èíòåðíåòà, ýëåêòðîííîé ïî÷òû, ôàêñèìèëüíîé ñâÿçè, ÷àòà, òåõíîëîãèè áàç äàííûõ
è ò.ï. Ýòè ôàêòîðû çíà÷èòåëüíî âëèÿþò íà ôóíêöèîíèðîâàíèå call-öåíòðà è õàðàê-
òåð ïåðåäàâàåìîé èíôîðìàöèè, à òàêæå íåïîñðåäñòâåííî íà ðåøåíèÿ êëèåíòîâ, ïî-
ñêîëüêó ïîñëåäíèå ìîãóò ÷àùå îáðàùàòüñÿ ê call-öåíòðó è ïîëó÷àòü áîëåå ðàçíîîá-
ðàçíóþ èíôîðìàöèþ. Call-öåíòðû — âàæíîå ñðåäñòâî ñâÿçè â ñîâðåìåííîì ìèðå,
ïîýòîìó ðàçðàáîòêà àäåêâàòíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç ãëàâ-
íûõ çàäà÷ íà ýòàïå èõ ïðîåêòèðîâàíèÿ.
 ðàáîòàõ, ãäå ðàññìàòðèâàþòñÿ âîïðîñû ôóíêöèîíèðîâàíèÿ è àäìèíèñòðèðî-
âàíèÿ call-öåíòðîâ, âñå èññëåäîâàíèÿ áàçèðóþòñÿ íà ìåòîäàõ òåîðèè ìàññîâîãî îá-
ñëóæèâàíèÿ [2]. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî íàèáîëåå àäåêâàòíûì ìåòîäîì äëÿ ïîñòðîå-
íèÿ ìîäåëåé call-öåíòðîâ ÿâëÿåòñÿ àïïàðàò ñèñòåì ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ (ÑÌÎ)
ñ ïîâòîðåíèÿìè [3]. Òàêèìè ÑÌÎ ìîæíî ó÷èòûâàòü ïåðâè÷íûé, âòîðè÷íûé è äðó-
ãèå ïîòîêè âûçîâîâ, êîòîðûå ïîñòóïàþò íà âõîä call-öåíòðà è ñóùåñòâåííî âëèÿþò
íà ïîêàçàòåëè åãî ôóíêöèîíèðîâàíèÿ [4]. Â áîëüøèíñòâå ïóáëèêàöèé ïî ìîäåëèðî-
âàíèþ ðàáîòû call-öåíòðîâ ðàññìàòðèâàþòñÿ ìîäåëè áåç ó÷åòà ïîòîêà ïîâòîðíûõ
âûçîâîâ.  òåõ ðàáîòàõ, ãäå ó÷èòûâàþòñÿ ïîâòîðíûå âûçîâû, íå ðàññìàòðèâàåòñÿ
èõ çàâèñèìîñòü îò ïîòîêà ïåðâè÷íûõ âûçîâîâ.
Ìîäåëèðîâàíèå call-öåíòðîâ êàê ñèñòåì ñ ïîâòîðåíèÿìè îñâåùåíî â ðàáîòàõ
[5, 6], ãäå ïîêàçàíû ïîñëåäñòâèÿ èãíîðèðîâàíèÿ ïîâòîðíûìè âûçîâàìè ïðè ðàñ÷åòå
îïòèìàëüíîãî êîëè÷åñòâà îïåðàòîðîâ call-öåíòðà.  ñòàòüå [5] call-öåíòð ìîäåëèðó-
åòñÿ êàê ìíîãîêàíàëüíàÿ ÑÌÎ, â êîòîðîé ÿâíî ñìîäåëèðîâàíû ñëåäóþùèå îïåðà-
öèè: êëèåíòñêèé îòêàç ñòàíîâèòñÿ â î÷åðåäü, áåñïîêîéñòâî êëèåíòà è ïîâòîðíûå
âûçîâû. Ïîëó÷åííàÿ ÑÌÎ ïðîàíàëèçèðîâàíà äëÿ ñòàöèîíàðíîãî è íåñòàöèîíàðíî-
ãî ðåæèìîâ. Äëÿ ñòàöèîíàðíîãî ðåæèìà ïðèìåíÿåòñÿ ïëàâíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ (fluid
approximation), êîòîðàÿ îáëåã÷àåò àíàëèç íåïðåðûâíîé âî âðåìåíè ìàðêîâñêîé
öåïè è êîòîðàÿ èñïîëüçóåòñÿ äëÿ òî÷íîãî îòîáðàæåíèÿ ñèñòåì áîëüøèõ call-öåí-
162 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3
1 Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ïîääåðæêå ÌÎÍ Óêðàèíû (ÍÄÐ îò 22.04.2009 ã., äîãîâîð ¹ Ì/202-2009).
© Ñ.Â. Ïóñòîâàÿ, 2010
òðîâ ñ áîëüøîé íàãðóçêîé. Ìåòîäîì ïëàâíîé àïïðîêñèìàöèè àâòîðû èññëåäóþò ÿâ-
ëåíèå ïîâòîðíûõ âûçîâîâ äëÿ ðåàëüíîãî call-öåíòðà. Ìîäåëü ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ
îöåíêè èíòåíñèâíîñòè ïîñòóïëåíèÿ çâîíêîâ íà îñíîâàíèè ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ,
â êîòîðûõ íåâîçìîæíî îòëè÷èòü ïîâòîðíûå çâîíêè îò ïåðâè÷íûõ. Ýòî îáùàÿ ïðî-
áëåìà, ñ êîòîðîé ñòàëêèâàþòñÿ âñå call-öåíòðû. Ñ ïîìîùüþ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ïî-
êàçàíî, ÷òî èãíîðèðîâàíèå ÿâëåíèÿ ïîâòîðíûõ âûçîâîâ â call-öåíòðàõ ìîæåò ïðè-
âåñòè ê çíà÷èòåëüíûì ïîãðåøíîñòÿì ïðè ïîñëåäóþùåì àíàëèçå ïðîãíîçèðîâàíèÿ
è îïðåäåëåíèè îïòèìàëüíîãî êîëè÷åñòâà àãåíòîâ.
 ñòàòüå [6] call-öåíòð ìîäåëèðóåòñÿ êàê öåïü Ìàðêîâà ñ ó÷åòîì ñîñòîÿíèÿ
áåñïîêîéñòâà êëèåíòîâ è ïîâòîðíûõ âûçîâîâ. Ïîêàçàíî, ÷òî èãíîðèðîâàíèå ïî-
âòîðíûõ âûçîâîâ ìîæåò ïðèâåñòè ê íåäîñòàòî÷íîìó èëè, íàîáîðîò, èçáûòî÷íîìó
(â çàâèñèìîñòè îò ñäåëàííîãî ïðîãíîçà) óêîìïëåêòîâàíèþ ïåðñîíàëà îòíîñèòåëüíî
îïòèìàëüíîãî.
Call-öåíòð êàê ÑÌÎ òèïà M M c L H j/ / / / /0 . Íà ïðàêòèêå êîëè÷åñòâî àáî-
íåíòîâ call-öåíòðà ïðåäñòàâëÿåò âñåãäà êîíå÷íîå ÷èñëî, êîòîðîå íå ïðåâûøàåò êî-
ëè÷åñòâà àáîíåíòîâ òåëåôîííîé ñåòè ñòðàíû. Ïîýòîìó åìêîñòü îðáèòû òàêæå ÿâëÿ-
åòñÿ êîíå÷íûì ÷èñëîì. Ðàññìîòðèì ìîäåëü ñall-öåíòðà, êîòîðàÿ èìååò åìêîñòü
îðáèòû, îãðàíè÷åííóþ çàäàííîé êîíñòàíòîé L. Åñëè åìêîñòü îðáèòû ðàâíà L, òî
âûçîâû, êîòîðûå ïîñòóïàþò â ñèñòåìó, òåðÿþòñÿ è íå âëèÿþò íà ôóíêöèîíèðîâà-
íèå ñèñòåìû.
Ïóñòü âûçîâ, êîòîðûé ïîñòóïàåò â ñèñòåìó, ïîñëå íåñêîëüêèõ íåóäà÷íûõ ïî-
ïûòîê óõîäèò èç ñèñòåìû. Ïóñòü òàêæå H j — âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïîñëå j-é íå-
óäà÷íîé ïîïûòêè ïðîèçîéäåò åùå ( )j �1 -ÿ ïîïûòêà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âåðîÿòíîñòü
ïîâòîðíûõ âûçîâîâ ïîñëå íåóäà÷íîé ïîâòîðíîé ïîïûòêè íå çàâèñèò îò êîëè÷åñòâà
ïðåäûäóùèõ ïîïûòîê (ò.å. H H2 3� �� ).
Ïóñòü íà c êàíàëîâ îáñëóæèâàíèÿ ïîñòóïàåò ïóàññîíîâñêèé ïîòîê ïåðâè÷íûõ
âûçîâîâ ñ èíòåíñèâíîñòüþ � . Åñëè â ìîìåíò ïðèõîäà ïåðâè÷íîãî âûçîâà êà-
êîé-ëèáî èç c êàíàëîâ ñâîáîäåí, òî âûçîâ îáñëóæèâàåòñÿ è óõîäèò èç ñèñòåìû.
 ïðîòèâíîì ñëó÷àå ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 1�H âûçîâ óõîäèò èç ñèñòåìû áåç îáñëóæèâà-
íèÿ è ñ âåðîÿòíîñòüþ H1 0� ïîñòóïàåò íà îðáèòó, åñëè õîòÿ áû îäíî èç L ìåñò
îðáèòû ñâîáîäíî, èëè óõîäèò èç ñèñòåìû (âûçîâ òåðÿåòñÿ), åñëè âñå ìåñòà íà îðáè-
òå çàíÿòû. Âðåìåíà îáñëóæèâàíèÿ ðàñïðåäåëåíû ýêñïîíåíöèàëüíî ñ ïàðàìåòðîì �.
Âûçîâû íà îðáèòå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïóàññîíîâñêèé ïðîöåññ ñ èíòåíñèâ-
íîñòüþ � . Åñëè â ìîìåíò ïðèõîäà ïîâòîðíîãî âûçîâà êàêîé-ëèáî êàíàë îáñëóæèâà-
íèÿ ñâîáîäåí, òî ïîñëå îáñëóæèâàíèÿ îí óõîäèò èç ñèñòåìû è èñ÷åçàåò ñ îðáèòû.
 ïðîòèâíîì ñëó÷àå ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 2�H âûçîâ óéäåò èç ñèñòåìû èëè ñ âåðîÿò-
íîñòüþ H2 ïîâòîðíî ñäåëàåò ïîïûòêó îáñëóæèòüñÿ.
Ïîñòðîåíèå àíàëèòè÷åñêîé ìîäåëè. Ôóíêöèîíèðîâàíèå ñèñòåìû
M M c L H j/ / / / /0 , êàê ìîäåëè call-öåíòðà, ìîæíî îïèñàòü ñ ïîìîùüþ äâóìåðíîãî
ïðîöåññà ( ( ), ( ))C t N t , ãäå C t( ) — ÷èñëî çàíÿòûõ êàíàëîâ, N t( ) — ÷èñëî ïîâòîðíûõ
âûçîâîâ íà îðáèòå â ìîìåíò t . Ïðîöåññ ( ( ), ( ))C t N t ÿâëÿåòñÿ ìàðêîâñêèì, îïðåäå-
ëåííûì íà ìíîæåñòâå ñîñòîÿíèé S c LL( ) , ,... , , ,... ,� �{ } { }0 1 0 1 . Åãî èíôèíèòåçè-
ìàëüíûå èíòåíñèâíîñòè q
ij nm( )( )
ïåðåõîäà èç ñîñòîÿíèÿ ( , )i j â ñîñòîÿíèå ( , )n m çà-
äàþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
ïðè 0 1� � �i c , 0 � �j L
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3 163
�
�
�
�
�
�
�
����
���
��
��
�
ñëó÷àÿõ;îñòàëüíûõâ0
),,(),(åñëè),(
),1,1(),(åñëè
),,1(),(åñëè,
),,1(),(åñëè,
))((
jimnji
jimnj
jimni
jimn
q nmij
���
�
�
�
ïðè i c� , 0 1� � �j L
ïðè i c� , j L�
Ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî ñîñòîÿíèé ïðîöåññà ( ( ), ( ))C t N t êîíå÷íî, òî îí âñåãäà
ýðãîäè÷åí [3]. Åãî ñòàöèîíàðíîå ðàñïðåäåëåíèå p P C t i N t j
ij
� � �( ( ) , ( ) ) ( pij — âå-
ðîÿòíîñòü íàõîæäåíèÿ ñèñòåìû â ñîñòîÿíèè ( , )i j ) ìîæåò áûòü íàéäåíî êàê ðåøåíèå
ñëåäóþùåé ñèñòåìû óðàâíåíèé:
( ) ( ) ( ), , ,� � � � � �� � � � � � �� � � �i j p p j p i pij i j i j i j1 1 1 11 1 , 0 0� � � �i c j L, ; (1)
( ) ( ) ,, ,� � � � �� � � � � � �� �i L p p i p i ciL i L i L1 11 0 ; (2)
( ( ) ) ( ), ,� � � � �H j H c p p j pcj c j c j1 2 1 1 11 1� � � � � � �� � �
� � � �� �� �H p j H pc j c j1 1 2 11 1, ,( ) ( ) , 0 � �j L, 0 � �j L; (3)
( ( )) , , ,c L H p p H pc L c L c L
� � � �� �� � � �1 2 1 1 1 . (4)
Ýòè óðàâíåíèÿ óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ íîðìèðîâêè
pij
j
L
i
c
�
��
�� 1
00
. (5)
Íàèáîëåå âàæíûìè ïîêàçàòåëÿìè ýôôåêòèâíîñòè ôóíêöèîíèðîâàíèÿ call-öåí-
òðà ÿâëÿþòñÿ: à) ñòàöèîíàðíàÿ âåðîÿòíîñòü çàíÿòîñòè êàíàëîâ B P C t c
t
� �
��
lim ( ){ };
á) ñðåäíåå ÷èñëî ïîâòîðíûõ âûçîâîâ N N t
t
�
��
lim ( )E ; â) ñðåäíåå ÷èñëî çàíÿòûõ êà-
íàëîâ îáñëóæèâàíèÿ â ñòàöèîíàðíîì ðåæèìå Y C t
t
�
��
lim ( )E ; ã) ñðåäíåå âðåìÿ îæè-
äàíèÿ âûçîâîâ íà îðáèòå W
N
�
�
(ïî ôîðìóëå Ëèòòëà).
Èñïîëüçóÿ àïïàðàò ïðîèçâîäÿùèõ ôóíêöèé, ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå ôîðìóëû
äëÿ ñðåäíåãî ÷èñëà âûçîâîâ íà îðáèòå:
ïðè H2 1�
N
H H H B H Y H p
H
cL
�
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2 1 2 2 1
21
( )
( )
;
164 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3
�
�
�
�
�
�
�
����
��
��
��
�
ñëó÷àÿõ;îñòàëüíûõâ0
),,(),(åñëè),)1(
),,1(),(åñëè,
),1,(),(åñëè),1
),1,(),(åñëè,
21
2
1
))((
jcmncHjH
jcmnc
jcmnHj
jcmnH
q nmcj
�����
�
���
�
�
�
�
�
�
��
��
��
�
ñëó÷àÿõ.îñòàëüíûõâ0
),,(),(åñëè)),1(
),1,(),(åñëè),1
),,1(),(åñëè,
2
2
))((
LcmnHLc
LcmnHL
Lcmnc
q nmcL
�����
���
�
ïðè H2 1�
N
c H
C t�
�
�
�
�
��
�
�
��
�
�
�
��
�
�
�� � �
1
1
1
2
2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
E( ( )) ( � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�H c
H
B1
1
1
1
)
�
�
�
�
�
�
� � � �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
c
L H
H p
cL
L1
1
1
1
1
( )
( )
�
�
.
Ìîäåëü call-öåíòðà êàê ÑÌÎ òèïà M M c E/ / / / / /0 2 . Ðàññìîòðèì call-
öåíòð êàê ìíîãîêàíàëüíóþ ñèñòåìó ñ ïóàññîíîâñêèì âõîäÿùèì ïîòîêîì âûçîâîâ,
ýêñïîíåíöèàëüíî ðàñïðåäåëåí-
íûì âðåìåíåì îáñëóæèâàíèÿ,
áåç ìåñò îæèäàíèÿ, ñ íåîãðàíè-
÷åííîé îðáèòîé, áåç ïîòåðü è
äâóõôàçíûì ýðëàíãîâñêèì ðàñ-
ïðåäåëåíèåì ïîòîêà òðåáîâàíèé
íà îðáèòå (ðèñ. 1).
Ïóñòü íà c êàíàëîâ îáñëó-
æèâàíèÿ ïîñòóïàåò ïóàññîíîâ-
ñêèé ïîòîê ïåðâè÷íûõ âûçîâîâ
ñ èíòåíñèâíîñòüþ � (ïëîòíîñòü
ðàñïðåäåëåíèÿ a x e x( ) � �� � ) .
Åñëè ïðè ïîñòóïëåíèè âûçîâà
õîòÿ áû îäèí èç êàíàëîâ îáñëóæèâàíèÿ ñâîáîäåí, òî âûçîâ íåìåäëåííî çàíèìàåò
ýòîò êàíàë è, ïîëó÷èâ îáñëóæèâàíèå, ïîêèäàåò ñèñòåìó.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå âûçîâ
ñòàíîâèòñÿ èñòî÷íèêîì ïîâòîðíûõ âûçîâîâ.
Êàæäûé òàêîé èñòî÷íèê ñîçäàåò äâóõôàçíûé ýðëàíãîâñêèé ïðîöåññ ïîâòîðíûõ
âûçîâîâ ñ ïàðàìåòðîì � (ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ d x xe x( ) ( ) ( )� �2 2 2� � ). Åñëè â ìî-
ìåíò ïîñòóïëåíèÿ ïîâòîðíîãî âûçîâà ñî âòîðîé ôàçû êàêîé-ëèáî êàíàë îáñëóæèâà-
íèÿ ñâîáîäåí, âûçîâ îáñëóæèâàåòñÿ è çàòåì ïîêèäàåò ñèñòåìó, à èñòî÷íèê ïîâòîð-
íûõ âûçîâîâ èñ÷åçàåò.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå âûçîâ ñäåëàåò ïîïûòêó ñíîâà ïîëó÷èòü
îáñëóæèâàíèå.
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âðåìåíà îáñëóæèâàíèÿ ðàñïðåäåëåíû ýêñïîíåíöèàëüíî ñ
ïàðàìåòðîì � (ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ b x e x( ) � �� � ).
Ïîñòðîåíèå àíàëèòè÷åñêîé ìîäåëè. Ôóíêöèîíèðîâàíèå ñèñòåìû ìîæíî îïè-
ñàòü ñ ïîìîùüþ òðåõìåðíîãî ïðîöåññà ( ( ), ( ), ( ))X t Y t Z t , ãäå X t( ) — ÷èñëî çàíÿ-
òûõ êàíàëîâ îáñëóæèâàíèÿ (äëÿ îäíîêàíàëüíîé ñèñòåìû — êàíàë çàíÿò/êàíàë íå
çàíÿò), Y t( ) — ÷èñëî âûçîâîâ íà îðáèòå íà ïåðâîé ôàçå, Z t( ) — ÷èñëî âûçîâîâ íà
îðáèòå íà âòîðîé ôàçå â ìîìåíò t ; ñóììà Y t Z t( ) ( )� ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîëè÷åñòâî
âûçîâîâ íà îðáèòå â ìîìåíò âðåìåíè t . Ïðîöåññ ( ( ), ( ), ( ))X t Y t Z t îïðåäåëåí íà
ìíîæåñòâå ñîñòîÿíèé S c� � �{ } { } { }0 1 0 1 0 1, ,... , , ,... , ,... .
Ïîñòðîèì äèàãðàììû ïåðåõîäíûõ ñîñòîÿíèé ÑÌÎ M M c E/ / / / / /0 2 êàê ìîäå-
ëè call-öåíòðà (ðèñ. 2, 3). Âûïèøåì èíòåíñèâíîñòè ïåðåõîäîâ ïðîöåññà
( ( ), ( ), ( ))X t Y t Z t çà èíòåðâàë âðåìåíè ( , )t t dt� , t � 0. Èç ñîñòîÿíèÿ ( , , )k i j ,
k c� 0, , i � 0, j � 0, çà âðåìÿ dt ñèñòåìà ìîæåò ïåðåéòè â äðóãîå ñîñòîÿíèå ñ îïðå-
äåëåííîé âåðîÿòíîñòüþ:
� �dt ïåðåõîäèò â ñîñòîÿíèå ( , , )k i j�1 , k c� (ïîñòóïèë íîâûé ïåðâè÷íûé âû-
çîâ è îí ñðàçó æå ïîëó÷èë îáñëóæèâàíèå);
� j dt
2� ïåðåõîäèò â ñîñòîÿíèå ( , , )k i j� �1 1 , k c j� �, 1 (îäèí èç j ïîâòîðíûõ
âûçîâîâ, êîòîðûå íàõîäÿòñÿ íà âòîðîé ôàçå, âûïîëíèë óäà÷íóþ ïîïûòêó îáñëóæèòüñÿ);
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3 165
1
c
2
...
Ïåðâè÷íûå âûçîâû
Ïîâòîðíûå âûçîâû
Êàíàëû îáñëóæèâàíèÿ
Á
ë
î
ê
è
ð
î
â
ê
à
2 1
Ðèñ. 1. Call-öåíòð êàê ÑÌÎ òèïà M M c E/ / / / / /0 2
2�2�
� i dt
2� ïåðåõîäèò â ñîñòîÿíèå ( , , )k i j� �1 1 , i �1 (îäèí èç i ïîâòîðíûõ âûçî-
âîâ, êîòîðûå íàõîäÿòñÿ íà ïåðâîé ôàçå, ïåðåøåë âî âòîðóþ ôàçó);
� k dt� ïåðåõîäèò â ñîñòîÿíèå ( , , )k i j�1 , k � 0 (çàêîí÷èëîñü îáñëóæèâàíèå âû-
çîâà, îäèí èç êàíàëîâ ñòàë ñâîáîäíûì);
� �dt ïåðåõîäèò â ñîñòîÿíèå ( , , )k i j�1 , k c� (ïîñòóïèë íîâûé ïåðâè÷íûé âû-
çîâ è, íàéäÿ âñå êàíàëû îáñëóæèâàíèÿ çàíÿòûìè, ïåðåøåë íà îðáèòó íà ïåðâóþ
ôàçó).
Òîãäà èíòåíñèâíîñòè ïåðåõîäîâ q k i j g n m( , , )( , , ) , k g c, ,�1 , i j n m, , , , ,...�{ }0 1
(èíôèíèòåçèìàëüíûå ïåðåõîäíûå èíòåíñèâíîñòè) ïðîöåññà ( ( ), ( ), ( ))X t Y t Z t èç ñî-
ñòîÿíèÿ ( , , )k i j â ñîñòîÿíèå ( , , )g n m çàäàþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
ïðè 0 1� � �k c
(6)
ïðè k c�
(7)
 ñòàöèîíàðíîì ðåæèìå ÑÌÎ òèïà M M c E/ / / / / /0 2 óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå
óðàâíåíèé Êîëìîãîðîâà (ñì. ðèñ. 2, 3) ( pkij � 0, åñëè �k i j, , 0):
( ) ( ) (, , , ,� � � � � ��
�
� � � � � �� �j i k p p k p ikij k i j k i j2 2 1 11 1 ) , ,2 1 1� pk i j� � �
� � �� � �( ) , , , ,j p pk i j k i j1 2 1 1 1� � , 0 1 0 0� � � � �k c i j, , ; (8)
( ) ( ), , , ,� � � � ��
� � � � �� � �i c p p i pcij c i j c i j2 1 21 1 1
� � �� � �( ) , , , ,j p pc i j c i j1 2 1 1 1� � , k c i j� � �, ,0 0, (9)
166 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
���
����
����
��
�
ñëó÷àÿõ;îñòàëüíûõâ0
),,,(),,(åñëè),22(
,0),,,1(),,(åñëè,
,1),1,1,(),,(åñëè2
,1),1,,1(),,(åñëè2
),,,1(),,(åñëè
),,)((
jikmngkij
kjikmngk
ijikmngi
jjikmngj
jikmng
q mngkij
������
�
��
��
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
����
��
�
ñëó÷àÿõ.îñòàëüíûõâ0
),,,(),,(åñëè),2(
),,,1(),,(åñëè,
,1),1,1,(),,(åñëè2
),,1,(),,(åñëè
),,)((
jicmngci
jicmngc
ijicmngi
jicmng
q mngcij
�����
�
��
��
k, i, j
, 1k c j� �
k c�
1i �
0k �
k c�
Ðèñ. 2. Äèàãðàììà ïåðåõîäîâ ÑÌÎ òèïà
M M c NL E/ / / / / /0 2 äëÿ ïåðåõîäà èç ñîñòîÿíèÿ
( , , )k i j
k�
�
�
i
2�
j
2�
k i j, ,� 1
k i j, ,� �1 1 k i j� �1 1, ,
k i j� 1, , k i j� 1, , k, i, j
k c�
0k �
k c�
1i �
0k � 1j �
Ðèñ. 3. Äèàãðàììà ïåðåõîäîâ ÑÌÎ òèïà
M M c NL E/ / / / / /0 2 äëÿ ïåðåõîäà â ñîñòîÿíèå
( , , )k i j
k i j, ,� �1 1
k i j� �1 1, ,
k i j, ,� 1
k i j� 1, ,k i j� 1, ,
�
�
( )i � 1 2�
( )k � 1 �
(
)
j � 1
2�
è óñëîâèþ íîðìèðîâêè
i
kij
jk
c
p
�
�
�
�
�
� �� �
0 00
1. (10)
Ìîäåëü call-öåíòðà êàê ÑÌÎ òèïà M M c L E/ / / / / /0 2 . Ïîñêîëüêó äëÿ ñèñ-
òåìû M M c E/ / / / / /0 2 äîâîëüíî ñëîæíî ïîëó÷èòü àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå, îãðà-
íè÷èì åìêîñòü îðáèòû äîñòàòî÷íî áîëüøîé êîíñòàíòîé L (ìåòîä Óèëêèíñîíà).
Äàííàÿ ìîäåëü áóäåò àäåêâàòíà ïðîöåññó ôóíêöèîíèðîâàíèÿ call-öåíòðà, ïîñêîëüêó
åìêîñòü îðáèòû íà ïðàêòèêå — âñåãäà êîíå÷íîå ÷èñëî.
Ïîñòðîåíèå àíàëèòè÷åñêîé ìîäåëè. Ñ ó÷åòîì ââåäåííûõ îãðàíè÷åíèé ôîð-
ìóëû (6), (7) ïðåîáðàçóþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
ïðè 0 1� � �k c , i j L� �
(11)
ïðè k c� , i j L� �
(12)
Äëÿ ôîðìóë (8)–(10) ñîãëàñíî (11), (12) èìååì ñèñòåìó ( pkij � 0, åñëè
�k i j, , 0 èëè �k i j L, , , èëè i j L� � ):
( ) ( ) (, , , ,� � � � � ��
�
� � � � � �� �j i k p p k p ikij k i j k i j2 2 1 11 1 ) , ,2 1 1� pk i j� � �
� � �� � �
( ) , , , ,
j p pk i j k i j
1 2 1 1 1
� � , 0 1 0 0� � � � � � �k c i j i j L, , , ; (13)
( ) ( ), , , ,� � � � ��
� � � � �� � �i c p p i p
cij c i j c i j2 1 21 1 1
� � �
� � �( )
, , , ,j p p
c i j c i j1 2
1 1 1� � , k c i L j L i j L� � � � � � � � �, , ,0 1 0 1 ; (14)
( ) , , , , , ,L c p p p p
cL c L c L c L
� � � �� � �2 2
0 1 0 1 1 1 0� � � � � , k c i L j� � �, , 0; (15)
( ) , , , ,� � � �� � �� �c p p pc L c L c L0 1 0 1 12 , k c i j L� � �, ,0 , (16)
è óñëîâèå íîðìèðîâêè
k
ñ
i
L
j
L
kijp i j L
� � �
� � � � � �
0 0 0
1, . (17)
Ïîñêîëüêó îðáèòà îãðàíè÷åíà êîíñòàíòîé L, òî ñèñòåìà óðàâíåíèé (13)–(17)
áóäåò êîíå÷íîé, à ÑÌÎ — ýðãîäè÷íîé ïðè ëþáûõ óñëîâèÿõ.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3 167
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
���
�����
����
��
�
ñëó÷àÿõ;îñòàëüíûõâ0
),,,(),,(åñëè),22(
,0),,,1(),,(åñëè,
,,1),1,1,(),,(åñëè2
,1),1,,1(),,(åñëè2
),,,1(),,(åñëè
),,)((
jikmngkji
kjikmngk
Ljijikmngi
jjikmngj
jikmng
q mngkij
������
�
��
��
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
������
��
�����
����
�
��
�����
������
�
ñëó÷àÿõ.îñòàëüíûõâ0
,1,1),,,(),,(åñëè),2(
,,0),,,(),,(åñëè),(
,0,),,,(),,(åñëè,2(
),,,1(),,(åñëè
,,1),1,1,(),,(åñëè2
,,1),,1,(),,(åñëè
),,)((
LjLijicmngci
Ljijicmngc
jLijicmngcL
jicmngc
Ljijicmngi
LjiLijicmng
q mngcij
���
��
� �
��
��
��
×èñëåííîå ðåøåíèå ñèñòåìû. Ñèñòåìà (13)–(17) ìîæåò áûòü ðåøåíà íà êîì-
ïüþòåðå ñ ïîìîùüþ ñòàíäàðòíûõ ïðîöåäóð. Îäíàêî êîëè÷åñòâî ïàìÿòè, íåîáõî-
äèìîå äëÿ õðàíåíèÿ ìàòðèöû ñèñòåìû, äîñòàòî÷íî îáúåìíî, õîòÿ áîëüøèíñòâî åå
ýëåìåíòîâ ÿâëÿþòñÿ íóëåâûìè. Ïîýòîìó ðåøåíèå ñèñòåìû (13)–(17) áûëî âûïîëíåíî
ñ èñïîëüçîâàíèåì òåõíîëîãèè ðàçðåæåííûõ ìàòðèö (Sparse Matrixes) â ñðåäå Matlab.
Íåêîòîðûå ÷èñëåííûå ðåçóëüòàòû.  òàáë. 1 ïîëó÷åíû ðåçóëüòàòû çàâèñè-
ìîñòè âåðîÿòíîñòè çàíÿòîñòè êàíàëîâ B P X t c
t
� �
��
lim ( ){ }îò åìêîñòè îðáèòû L äëÿ
ñèñòåì M M c L M/ / / / / /0 (B Markovain) è
M M c L E/ / / / / /0 2 (B Erlang2) ïðè � � 0 5, ,
� �1, ñ �1. Îòìåòèì, ÷òî ñ óâåëè÷åíèåì L ðàç-
íîñòü ìåæäó âåðîÿòíîñòÿìè çàíÿòîñòè êàíàëîâ
óìåíüøàåòñÿ è ïðåäñòàâëÿåò ìàëóþ âåëè÷èíó.
Íà ðèñ. 4 ïîëó÷åí ãðàôèê çàâèñèìîñòè
âåðîÿòíîñòè çàíÿòîñòè êàíàëîâ B îò
��1/
è � . Êàê âèäèì, ïîâòîðíûå âûçîâû âëèÿþò íà
âåðîÿòíîñòü çàíÿòîñòè êàíàëà: ñ óâåëè÷åíèåì
äëèòåëüíîñòè ìåæäó ïîâòîðàìè âåðîÿòíîñòü çà-
íÿòîñòè êàíàëà óìåíüøàåòñÿ.
Çàêëþ÷åíèå.  ñòàòüå áûëè ðàññìîòðåíû ðàçëè÷íûå ìîäåëè call-öåíòðîâ, ó÷è-
òûâàþùèå íàëè÷èå ïîâòîðíûõ âûçîâîâ òàêèõ òèïîâ, êàê M M c L H j/ / / / /0 ,
M M c E/ / / / / /0 2 è M M c L E/ / / / / /0 2 . Èìåííî òàêèìè ìîäåëÿìè ìîæíî àäåêâàò-
íî îïèñàòü ôóíêöèîíèðîâàíèå call-öåíòðîâ, ïîñêîëüêó îíè ó÷èòûâàþò âòîðè÷íûé,
òðåòè÷íûé è ò.ä. ïîòîêè âûçîâîâ, êîòîðûå ïîñòóïàþò â ñèñòåìó. Ïîëó÷åííûå ÷èñ-
ëåííûå ðåçóëüòàòû ïîêàçàëè, ÷òî ïîâòîðíûå âûçîâû âëèÿþò íà ïîêàçàòåëè êà÷åñòâà
ôóíêöèîíèðîâàíèÿ call-öåíòðîâ.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. G a n s N . , K o o l e G . , M a n d e l b a u m A . Telephone call centers: tutorial, review, and research pros-
pects // Manufacturing and Service Operations Management (M&SOM). — 2003. — 5, N 2. — P. 79–141.
2. M a n d e l b a u m A . Call centers (centres): research bibliography with abstracts: Version 7. — 2006. —
198 p. — http://iew3.technion.ac.il/serveng/References/US7_CC_avi.pdf.
3. F a l i n G . I . , T e m p l e t o n J . G . C . Retrial queues. — London: Chapmen & Hall, 1997. — 395 p.
4. Ï ó ñ ò î â à ÿ Ñ . Â . Çàâèñèìîñòü ïîêàçàòåëåé ôóíêöèîíèðîâàíèÿ call-öåíòðà îò ðàñïðåäåëåíèÿ âðåìå-
íè ïðåáûâàíèÿ âûçîâîâ íà îðáèòå // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2009. — ¹ 2. — Ñ. 170–183.
5. A g u i r M . S . , K a r a e s m e n F . , A k s i n Z . , C h a u v e t F . The impact of retrials on call center
performance // Operations Research. — 2004. — 26. — P. 353–376.
6. A g u i r M . S ., A k s i n O . Z . , K a r a e s m e n F . , D a l l e r y Y . On the interaction between retrials and
sizing of call centers // European J. of Operational Research. — 2008. — 191, N 2. — P. 398–408.
Ïîñòóïèëà 24.11.2009
168 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 3
Ò à á ë è ö à 1
� L
Ðåçóëüòàòû
B Markovian B Erlang2
0,5
1 0,4000 0,4044
2 0,4400 0,4458
3 0,4643 0,4697
4 0,4790 0,4833
5 0,4878 0,4908
50 0,4999 0,5
0,9
1 0,5473 0,5534
2 0,6018 0,6137
3 0,6438 0,6604
4 0,6771 0,697
5 0,7040 0,7262
50 0,8949 0,8978
2,0
1 0,7096 0,707
2 0,7434 0,7396
3 0,7705 0,7662
4 0,7927 0,7882
5 0,7112 0,8064
50 0,9637 0,9557
55 0,9667 0,9588
70 0,9733 0,9659
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
B
� � 4
� � 2 � � 1
Ðèñ. 4. Ãðàôèê çàâèñèìîñòè B îò
è � ïðè c � 5 , L � 50,
� � 1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-45206 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:57:39Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Пустовая, С.В. 2013-06-08T18:30:33Z 2013-06-08T18:30:33Z 2010 Исследование call-центров как систем массового обслуживания с повторными вызовами / С.В. Пустовая // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 3. — С. 162-168. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45206 519.872 Розглянуто математичні моделі call-центрів, які враховують повторні виклики, а також специфіку і основні аспекти складання моделей call-центрів як систем з повторними викликами. Розглянуто системи масового обслуговування типу M/M/c/0/L/H j , M/M/c/0///E2, M/M/c/0/L//E2 як моделей call-центрів. Наведено чисельні результати для показників функціонування цих систем. The mathematical models of call centers are considered in the article taking into account retrial calls. Author considers the specificity and main aspects of construction the models of call centers as retrial queues. Queueing systems M/M/c/0/L/H j , M/M/c/0///E2, M/M/c/0/L/ /E2 are considered as call centers’ models. The obtained numerical results for these systems’ characteristics are given. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Исследование call-центров как систем массового обслуживания с повторными вызовами Дослідження call-центрів як систем масового обслуговування з повторними викликами Investigation of call centers as retrial queueing systems Article published earlier |
| spellingShingle | Исследование call-центров как систем массового обслуживания с повторными вызовами Пустовая, С.В. Системный анализ |
| title | Исследование call-центров как систем массового обслуживания с повторными вызовами |
| title_alt | Дослідження call-центрів як систем масового обслуговування з повторними викликами Investigation of call centers as retrial queueing systems |
| title_full | Исследование call-центров как систем массового обслуживания с повторными вызовами |
| title_fullStr | Исследование call-центров как систем массового обслуживания с повторными вызовами |
| title_full_unstemmed | Исследование call-центров как систем массового обслуживания с повторными вызовами |
| title_short | Исследование call-центров как систем массового обслуживания с повторными вызовами |
| title_sort | исследование call-центров как систем массового обслуживания с повторными вызовами |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45206 |
| work_keys_str_mv | AT pustovaâsv issledovaniecallcentrovkaksistemmassovogoobsluživaniâspovtornymivyzovami AT pustovaâsv doslídžennâcallcentrívâksistemmasovogoobslugovuvannâzpovtornimiviklikami AT pustovaâsv investigationofcallcentersasretrialqueueingsystems |