О произведении внутренних радиусов неналегающих областей и открытых множеств
New problems on non-overlapping domains with free poles are presented.
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4562 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О произведении внутренних радиусов неналегающих областей и открытых множеств / А.К. Бахтин, А.Л. Таргонский // Доп. НАН України. — 2008. — № 5. — С. 7-12. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860022694038208512 |
|---|---|
| author | Бахтин, А.К. Таргонский, А.Л. |
| author_facet | Бахтин, А.К. Таргонский, А.Л. |
| citation_txt | О произведении внутренних радиусов неналегающих областей и открытых множеств / А.К. Бахтин, А.Л. Таргонский // Доп. НАН України. — 2008. — № 5. — С. 7-12. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | New problems on non-overlapping domains with free poles are presented.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:48:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
5 • 2008
МАТЕМАТИКА
УДК 517.54
© 2008
А.К. Бахтин, А. Л. Таргонский
О произведении внутренних радиусов неналегающих
областей и открытых множеств
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины Ю.Ю. Трохимчуком)
New problems on non-overlapping domains with free poles are presented.
В геометрической теории функций комплексного переменного экстремальные задачи о про-
изведении внутренних радиусов областей представляют известное классическое направле-
ние. С историей данного вопроса можно ознакомиться в работах [1–15].
Обозначения и определения. Пусть N, R — множества натуральных и вещественных
чисел соответственно, C — плоскость комплексных чисел, C = C
⋃{∞} — ее одноточечная
компактификация, R
+ = (0,∞) и r(B, a) обозначает внутренний радиус области B ⊂ C
относительно точки a ∈ B [8–10]. В данной работе использованы сведения из теории квад-
ратичных дифференциалов [11].
Систему точек An := {ak}n
k=1, ak ∈ C \ {0}, k = 1, n, такую, что
0 = arg a1 < arg a2 < · · · < arg an < 2π,
будем называть лучевой системой точек. Обозначим
Pk(An) := {w : arg ak < arg w < arg ak+1}, σk :=
1
π
(arg ak+1 − arg ak), k = 1, n,
arg an+1 := 2π. Ясно, что
n∑
k=1
σk = 2.
Пусть D, D ⊂ C — произвольное открытое множество и w = a ∈ D, тогда D(a) обо-
значает связную компоненту D, содержащую a. Для произвольной лучевой системы точек
An = {ak} и открытого множества D, An ⊂ D обозначим Dk(ap) связную компоненту мно-
жества D(ap)
⋂
Pk(An), содержащую точку ap, p = k, k + 1, k = 1, n.
Будем говорить, что открытое множество D, An ⊂ D удовлетворяет условию неналега-
ния относительно лучевой системы точек An = {ak}, если
Dk(ak)
⋂
Dk(ak+1) = ∅
при каждом фиксированном k = 1, n, an+1 := a1.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №5 7
Более подробно с введенными выше понятиями можно ознакомиться в работе [7].
Рассмотрим класс лучевых систем точек An таких, что
n∏
k=1
χ
(∣
∣
∣
∣
ak
ak+1
∣
∣
∣
∣
1/(2σk))
|ak| = 1, (1)
χ(t) =
1
2
(t + t−1).
В данной работе рассматривается задача по определению максимума функционала
In = (r(D, 0) · r(D,∞))γ ·
n∏
k=1
r(D,ak),
где An = {ak}n
k=1 лучевая система, удовлетворяющая (1), а D принадлежит некоторому
классу открытых множеств, An ⊂ D, 0 ∈ D, ∞ ∈ D, γ ∈ R
+. Задачи с близкими постанов-
ками были рассмотрены в работах [4–7, 9, 10, 12–15].
2. Основные результаты.
Теорема. Для произвольного числа γ ∈ R
+, для любой лучевой системы точек An =
= {ak}n
k=1, удовлетворяющей равенству (1), любого открытого множества D, 0 ∈ D,
∞ ∈ D, ak ∈ D, k = 1, n, удовлетворяющего условию неналегания относительно лучевой
системы точек An, и такого, что
[D(0)
⋂
D(∞)]
⋃
[D(0)
⋂
D(ak)]
⋃
[D(∞)
⋂
D(ak)] = ∅, k = 1, n,
существует такое n0(γ) ∈ N, что при каждом n > n0(γ) выполняется неравенство
(r(D, 0) · r(D,∞))γ ·
n∏
k=1
r(D,ak) 6 (r(B
(0)
0 , 0) · r(B(0)
∞ ,∞))γ ·
n∏
k=1
r(B
(0)
k , a
(0)
k ),
где a
(0)
k , B
(0)
k , B
(0)
0 и B(0)
∞ (k = 1, n) являются соответственно полюсами и круговыми
областями квадратичного дифференциала
Q(w)dw2 = −γw2n + (n2 − 2γ)wn + γ
w2(wn − 1)2
dw2. (2)
Следующий результат, являющийся следствием теоремы, дополняет результаты рабо-
ты [14].
Следствие. Для произвольного числа γ ∈ R
+, для любой лучевой системы точек
An = {ak}n
k=1, удовлетворяющей равенству (1), и любой системы непересекающихся обла-
стей B0, Bk, B∞, ak ∈ Bk, k = 1, n, 0 ∈ B0, ∞ ∈ B∞, существует такое n0(γ) ∈ N, что
при каждом n > n0(γ) выполняется неравенство
(r(B0, 0)r(B∞,∞))γ ·
n∏
k=1
r(Bk, ak) 6 (r(B
(0)
0 , 0)r(B(0)
∞ ,∞))γ ·
n∏
k=1
r(B
(0)
k , a
(0)
k ),
где a
(0)
k , B
(0)
k , B
(0)
0 и B(0)
∞ (k = 1, n) являются соответственно полюсами и круговыми
областями квадратичного дифференциала (2).
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №5
Доказательство теоремы. Обозначим
σ0 = max
k
σk.
Рассмотрим сначала случай σ0 < 1/
√
2γ.
В дальнейшем будем использовать методы работ [7, 9, 10, 12, 13]. Для достаточно малых
t ∈ R
+ образуем множества
E0 = C \ D; U t = {w ∈ C : |w| 6 t}, ∆t =
{
w ∈ C : |w| >
1
t
}
,
Ek(t) = {w ∈ C : |w − ak| 6 t}, k = 1, n.
Рассмотрим конденсатор
C(t,D,An) = {E0, U t, ∆t, E1(t), . . . , En(t)}
с предписанными значениями 0,
√
γ,
√
γ, 1, 1, . . . , 1
︸ ︷︷ ︸
n раз
. Емкостью конденсатора C(t,D,An)
называется величина (см. [8, 10])
cap C(t,D,An) =
∫∫
[(G′
x)2 + (G′
y)
2] dxdy,
где нижняя грань берется по множеству всех вещественных, непрерывных и липшицевых
в C функций G = G(z) таких, что G = 0 в окрестности множества E0, G
∣
∣
U t
=
√
γ, G
∣
∣
∆t
=
√
γ,
G
∣
∣
Ek(t)
= 1, k = 1, n. Модуль конденсатора |C(t,D,An)| определяется выражением
|C(t,D,An)| = [cap C(t,D,An)]−1.
Из теоремы 1 [12] и аналогично работе [7] определим асимптотику модуля конденсатора
C(t,D,An)
|C(t,D,An)| =
1
2π
1
n + 2γ
log
1
t
+ M(D,An) + o(1), t → 0, (3)
где
M(D,An)=
1
2π(n+2γ)2
[
γ log r(D, 0)+γ log r(D,∞)+
n∑
k=1
log r(D,ak)+
∑
k 6=p
gD(ap, ak)
]
, (4)
а gB(z, a) =
gB(a)(z, a), z ∈ B(a),
0, z ∈ C \ B(a),
lim
ζ→z
gB(a)(ζ, a), ζ ∈ B(a), z ∈ ∂B(a)
— обобщенная функция Грина от-
крытого множества B относительно точки a ∈ B, gB(a)(z, a) — функция Грина области
B(a) относительно точки a ∈ B(a).
Рассмотрим разделяющее преобразование (см. [10, 12]) конденсатора C(t,D,An) отно-
сительно семейства углов {Pk(An)}n
k=1 и семейства функций {zk(w)}n
k=1, где
zk(w) = (−1)ki(e−i arg akw)1/σk , k = 1, n.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №5 9
Справедливы следующие асимптотические представления
|zk(w) − zk(am)| ∼ 1
σk
|am|(1/σk)−1|w − am|, w → am,
k = 1, 2, . . . , n, m = k, k + 1; an+1 := a1;
|zk(w)| ∼ |w|1/σk , w → 0, w → ∞.
(5)
Рассмотрим следующие конденсаторы:
Ck(t,D,An) = (E
(k)
0 , U
(k)
t ,∆
(k)
t , E
(k)
1 , E
(k)
2 ),
где
E
(k)
0 = zk(E0
⋂
P k)
⋃
{zk(E0
⋂
P k)}∗,
U
(k)
t = zk(U t
⋂
P k)
⋃{zk(U t
⋂
P k)}∗,
∆
(k)
t = zk(∆t
⋂
P k)
⋃{zk(∆t
⋂
P k)}∗,
E
(k)
1 = zk(Ek(t)
⋂
P k)
⋃{zk(Ek(t)
⋂
P k)}∗,
E
(k)
2 = zk(Ek+1(t)
⋂
P k)
⋃{zk(Ek+1(t)
⋂
P k)}∗,
k = 1, n, En+1(t) = E1(t), {A}∗ = {w ∈ C : −w ∈ A}.
Каждому конденсатору Ck(t,D,An) сопоставим класс Vk — всех вещественных, непре-
рывных и липшицевых в C функций G = G(z) таких, что G = 0 в окрестности множества
E
(k)
0 , G
∣
∣
U
(k)
t
=
√
γ, G
∣
∣
∆
(k)
t
=
√
γ, G
∣
∣
E
(k)
p
= 1, k = 1, n, p = 1, 2. При разделяющем преобразова-
нии конденсатору C(t,D,An) соответствует набор конденсаторов {Ck(t,D,An)}n
k=1, причем
в силу работ [9, 10, 12, 13] справедливо неравенство
cap C(t,D,An) >
1
2
n∑
k=1
cap Ck(t,D,An).
Отсюда непосредственно получаем соотношение
|C(t,D,An)| 6 2
(
n∑
l=1
|Ck(t,D,An)|−1
)−1
. (6)
Аналогично (3) и (4), пользуясь (5), получаем (см. [12])
|Ck(t,D,An)| =
1
2π
1
(2 + 2γσk)
log
1
t
+ Mk(D,An) + o(1), t → 0, (7)
где
Mk(D,An) =
1
2π
1
(2 + 2γσk)2
×
×
σ2
kγ log(r(D
(k)
0 , 0)r(D(k)
∞ ,∞)) + log
r(D
(1)
k , a
(1)
k )r(D
(2)
k , a
(2)
k )
1
σk
|ak|(1/σk)−1
1
σk
|ak+1|(1/σk)−1
,
zk(ak) =: a
(1)
k , zk(ak+1) =: a
(2)
k , an+1 = a1, k = 1, n,
(8)
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №5
где D
(k)
0 , D(k)
∞ , D
(s)
k — объединение связных компонент множества zk(D
⋂
P k), содержащего
точки 0, ∞, a
(s)
k соответственно, с их симметричным отражением относительно мнимой
оси, k = 1, n, s = 1, 2.
Вычислим асимптотику правой части неравенства (6). Для этого согласно (7) запишем
(при t → 0)
|Ck(t,D,An)|−1 =
2π(2 + 2γσk)
log
1
t
−
2π(2 + 2γσk)
log
1
t
2
Mk(D,An) + o
1
log2 1
t
.
Тогда
(
n∑
k=1
|Ck(t,D,An)|−1
)−1
=
1
4π(n+2γ)
log
1
t
+
1
(n+2γ)2
n∑
k=1
(1+γσk)
2Mk(D,An)+o(1). (9)
Из соотношений (3), (6), (9) вытекает, что
M(D,An) 6
2
(n + 2γ)2
n∑
k=1
(1 + γσk)
2Mk(D,An). (10)
С учетом (4), (8) из (10) получаем
(r(D, 0)r(D,∞))γ
n∏
k=1
r(D,ak) 6 2n
n∏
k=1
χ
(∣
∣
∣
∣
ak
ak+1
∣
∣
∣
∣
1/(2σk))
|ak|
n∏
k=1
σk ×
×
n∏
k=1
{
r(D
(1)
k , a
(1)
k )r(D
(2)
k , a
(2)
k )
(|ak|1/σk + |ak+1|1/σk)2
(r(D
(k)
0 , 0)r(D(k)
∞ ,∞))γσ2
k
}1/2
.
Пользуясь условиями теоремы, в свою очередь, получим
(r(D, 0)r(D,∞))γ
n∏
k=1
r(D,ak) 6
6 2n
n∏
k=1
σk
n∏
k=1
{
r(D
(1)
k , a
(1)
k )r(D
(2)
k , a
(2)
k )
(|ak|1/σk + |ak+1|1/σk)2
(r(D
(k)
0 , 0)r(D(k)
∞ ,∞))γσ2
k
}1/2
. (11)
Из (11), с учетом результатов работы [14], получим
(r(D, 0)r(D,∞))γ
n∏
k=1
r(D,ak) 6 (r(B
(0)
0 , 0)r(B(0)
∞ ,∞))γ
n∏
k=1
r(B
(0)
k , a
(0)
k ) =
=
4n+2γ/nγ2γ/n
|n2 − 4γ|n/2+2γ/n
∣
∣
∣
∣
n − 2
√
γ
n + 2
√
γ
∣
∣
∣
∣
2
√
γ
.
В случае σ0 > 1/
√
2γ доказательство завершается с помощью метода работы [7]. Тео-
рема доказана.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №5 11
1. Лаврентьев М.А. К теории конформных отображений // Тр. Физ.-мат. ин-та АН СССР. – 1934. –
5. – С. 159–245.
2. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. – Москва: Наука, 1966. –
628 с.
3. Лебедев Н.А. Принцип площадей в теории однолистных функций. – Москва: Наука, 1975. – 336 с.
4. Бахтина Г.П. Вариационные методы и квадратичные дифференциалы в задачах о неналегающих
областях: Автореф. дис. . . . канд. физ.-мат. наук. – Киев, 1975. – 11 с.
5. Кузьмина Г. В. Задачи об экстремальном разбиении римановой сферы // Зап. науч. семинаров Ст.-
Петербург. отд. Мат. ин-та АН. – 2001. – 276. – С. 253–275.
6. Кузьмина Г. В. Метод экстремальной метрики в задачах о максимуме произведения степеней кон-
формных радиусов неналегающих областей при наличии свободных параметров // Там же. – 2003. –
302. – С. 52–67.
7. Бахтин А.К. Экстремальные задачи и квадратичные дифференциалы в геометрической теории
функций комплексного переменного: Дис. . . . д-ра физ.-мат. наук. – Киев, 2007. – 294 с.
8. Хейман В.К. Многолистные функции. – Москва: Изд-во иностр. лит., 1960. – 180 с.
9. Дубинин В.Н. Разделяющее преобразование областей и задачи об экстремальном разбиении // Зап.
науч. семинаров Ленингр. отд. Мат. ин-та АН СССР. – 1988. – 168. – С. 48–66.
10. Дубинин В.Н. Емкости конденсаторов в геометрической теории функций: Учеб. пособие. – Владиво-
сток: Изд. Дальневост. ун-та, 2003. – 116 с.
11. Дженкинс Дж.А. Однолистные функции и конформные отображения. – Москва: Изд-во иностр.
лит., 1962. – 256 с.
12. Дубинин В.Н. Асимптотика модуля вырождающегося конденсатора и некоторые ее применения //
Зап. науч. семинаров Ст.-Петербург. отд. Мат. ин-та АН. – 1997. – 237. – С. 56–73.
13. Дубинин В.Н. Метод симметризации в геометрической теории функций комплексного переменного //
Успехи мат. наук. – 1994. – 49, № 1 (295). – С. 3–76.
14. Бахтин А.К., Таргонский А.Л. Экстремальные задачи и квадратичные дифференциалы // Нелiнiйнi
коливання. – 2005. – 8, № 3. – С. 298–303.
15. Бахтин А.К. О некоторых экстремальных задачах геометрической теории функций комплексного
переменного // Доп. НАН України. – 2006. – № 9. – С. 7–11.
Поступило в редакцию 13.08.2007Институт математики НАН Украины, Киев
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №5
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4562 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:48:10Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бахтин, А.К. Таргонский, А.Л. 2009-12-07T13:03:36Z 2009-12-07T13:03:36Z 2008 О произведении внутренних радиусов неналегающих областей и открытых множеств / А.К. Бахтин, А.Л. Таргонский // Доп. НАН України. — 2008. — № 5. — С. 7-12. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4562 517.54 New problems on non-overlapping domains with free poles are presented. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика О произведении внутренних радиусов неналегающих областей и открытых множеств Article published earlier |
| spellingShingle | О произведении внутренних радиусов неналегающих областей и открытых множеств Бахтин, А.К. Таргонский, А.Л. Математика |
| title | О произведении внутренних радиусов неналегающих областей и открытых множеств |
| title_full | О произведении внутренних радиусов неналегающих областей и открытых множеств |
| title_fullStr | О произведении внутренних радиусов неналегающих областей и открытых множеств |
| title_full_unstemmed | О произведении внутренних радиусов неналегающих областей и открытых множеств |
| title_short | О произведении внутренних радиусов неналегающих областей и открытых множеств |
| title_sort | о произведении внутренних радиусов неналегающих областей и открытых множеств |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4562 |
| work_keys_str_mv | AT bahtinak oproizvedeniivnutrennihradiusovnenalegaûŝihoblasteiiotkrytyhmnožestv AT targonskiial oproizvedeniivnutrennihradiusovnenalegaûŝihoblasteiiotkrytyhmnožestv |