Математическое моделирование некоторых сингулярно возмущенных процессов диффузии с релаксацией

У рамках некласичної математичної моделі виконано постановку крайової задачі конвективної дифузії в плоскому усталеному фільтраційному потоці з урахуванням релаксаційності дифузійного процесу. Побудовано асимптотичні наближення розв’язків задач у випадку переважання конвективного механізму масоперен...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2010
Main Authors:	Булавацкий, В.М., Скопецкий, В.В.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2010
Series:	Кибернетика и системный анализ
Subjects:	Системный анализ
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45647
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Математическое моделирование некоторых сингулярно возмущенных процессов диффузии с релаксацией / В.М. Булавацкий, В.В. Скопецкий // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 6. — С. 65–73. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-45647
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-456472025-02-23T18:57:58Z Математическое моделирование некоторых сингулярно возмущенных процессов диффузии с релаксацией Математичне моделювання деяких сингулярно збурених процесів дифузії з релаксацією Mathematical modeling of some singular perturbed processes of diffusion with relaxation Булавацкий, В.М. Скопецкий, В.В. Системный анализ У рамках некласичної математичної моделі виконано постановку крайової задачі конвективної дифузії в плоскому усталеному фільтраційному потоці з урахуванням релаксаційності дифузійного процесу. Побудовано асимптотичні наближення розв’язків задач у випадку переважання конвективного механізму масопереносу та слабко виражених релаксаційних ефектів. Within the framework of a nonclassical mathematical model, a boundary-value problem of convective diffusion in a flat steady-state filtration flow is formulated with allowance for the relaxation nature of the diffusion process. The asymptotic approximations of problem solutions are constructed for predominating convective mass transfer and weakly expressed relaxation effects. 2010 Article Математическое моделирование некоторых сингулярно возмущенных процессов диффузии с релаксацией / В.М. Булавацкий, В.В. Скопецкий // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 6. — С. 65–73. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45647 517.954:532.546 ru Кибернетика и системный анализ application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Системный анализ Системный анализ
spellingShingle	Системный анализ Системный анализ Булавацкий, В.М. Скопецкий, В.В. Математическое моделирование некоторых сингулярно возмущенных процессов диффузии с релаксацией Кибернетика и системный анализ
description	У рамках некласичної математичної моделі виконано постановку крайової задачі конвективної дифузії в плоскому усталеному фільтраційному потоці з урахуванням релаксаційності дифузійного процесу. Побудовано асимптотичні наближення розв’язків задач у випадку переважання конвективного механізму масопереносу та слабко виражених релаксаційних ефектів.
format	Article
author	Булавацкий, В.М. Скопецкий, В.В.
author_facet	Булавацкий, В.М. Скопецкий, В.В.
author_sort	Булавацкий, В.М.
title	Математическое моделирование некоторых сингулярно возмущенных процессов диффузии с релаксацией
title_short	Математическое моделирование некоторых сингулярно возмущенных процессов диффузии с релаксацией
title_full	Математическое моделирование некоторых сингулярно возмущенных процессов диффузии с релаксацией
title_fullStr	Математическое моделирование некоторых сингулярно возмущенных процессов диффузии с релаксацией
title_full_unstemmed	Математическое моделирование некоторых сингулярно возмущенных процессов диффузии с релаксацией
title_sort	математическое моделирование некоторых сингулярно возмущенных процессов диффузии с релаксацией
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2010
topic_facet	Системный анализ
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45647
citation_txt	Математическое моделирование некоторых сингулярно возмущенных процессов диффузии с релаксацией / В.М. Булавацкий, В.В. Скопецкий // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 6. — С. 65–73. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT bulavackijvm matematičeskoemodelirovanienekotoryhsingulârnovozmuŝennyhprocessovdiffuziisrelaksaciej AT skopeckijvv matematičeskoemodelirovanienekotoryhsingulârnovozmuŝennyhprocessovdiffuziisrelaksaciej AT bulavackijvm matematičnemodelûvannâdeâkihsingulârnozburenihprocesívdifuzíízrelaksacíêû AT skopeckijvv matematičnemodelûvannâdeâkihsingulârnozburenihprocesívdifuzíízrelaksacíêû AT bulavackijvm mathematicalmodelingofsomesingularperturbedprocessesofdiffusionwithrelaxation AT skopeckijvv mathematicalmodelingofsomesingularperturbedprocessesofdiffusionwithrelaxation
first_indexed	2025-11-24T13:36:13Z
last_indexed	2025-11-24T13:36:13Z
_version_	1849679018445504512
fulltext	Â.Ì. ÁÓËÀÂÀÖÊÈÉ, Â.Â. ÑÊÎÏÅÖÊÈÉ ÓÄÊ 517.954:532.546 ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ ÍÅÊÎÒÎÐÛÕ ÑÈÍÃÓËßÐÍÎ ÂÎÇÌÓÙÅÍÍÛÕ ÏÐÎÖÅÑÑÎÂ ÄÈÔÔÓÇÈÈ Ñ ÐÅËÀÊÑÀÖÈÅÉ Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå, íåêëàññè÷åñêèå ìîäåëè, ñèíãóëÿð- íî âîçìóùåííûå ïðîöåññû, ìàññîïåðåíîñ, ðåëàêñàöèÿ, ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, êðàåâûå çàäà÷è, àñèìïòîòè÷åñêèå ïðèáëèæåíèÿ. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Ðàçâèòèþ ìåòîäîâ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ íåëèíåéíûõ ñèíãóëÿðíî âîçìó- ùåííûõ ïðîöåññîâ ôèëüòðàöèîííî-êîíâåêòèâíîé äèôôóçèè ïîñâÿùåíî áîëüøîå ÷èñëî èññëåäîâàíèé, â ÷àñòíîñòè [1–3]. Â íàñòîÿùåå âðåìÿ øèðîêîå ðàçâèòèå ïîëó- ÷èëà ìåòîäèêà ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ êðàåâûõ çàäà÷ ôèëüòðàöèîííî-êîíâåê- òèâíîé äèôôóçèè â óñëîâèÿõ ïðåîáëàäàíèÿ êîíâåêòèâíûõ ñîñòàâëÿþùèõ íàä äèôôóçèîííûìè, ïîñòàâëåííûõ â ðàìêàõ êëàññè÷åñêîé äèôôóçèîííîé ìîäåëè, îñíîâàííîé íà çàêîíå Ôèêà [4]. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî êëàññè÷åñêàÿ ìàòåìàòè- ÷åñêàÿ ìîäåëü äèôôóçèè íåäîñòàòî÷íî ïîëíî îïèñûâàåò ïðîöåññû ìàññîîáìåíà â ñóùåñòâåííî íåðàâíîâåñíûõ óñëîâèÿõ [5, 6]. Â ÷àñòíîñòè, ïîñêîëüêó ïðîöåññû êîíâåêòèâíîãî ìàññîîáìåíà â ñèñòåìàõ, îïèñûâàåìûõ çàêîíîì Ôèêà, ðàññ÷èòû- âàþòñÿ áåç ó÷åòà èíåðöèîííîñòè ïðîöåññà, ïðèõîäèì ê èçâåñòíîìó ïàðàäîêñó áåñêîíå÷íîé ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîçìóùåíèé [5]. Ïîïûòêè óñòðàíèòü ýòîò íåäîñòàòîê ïðèâîäÿò ê íåîáõîäèìîñòè ó÷åòà èíåðöèîííûõ ýôôåêòîâ çàïàçäûâà- íèÿ. Çàìåòèì, ÷òî, íàïðèìåð, â êîíöåíòðèðîâàííûõ ðàñòâîðàõ ïîëèìåðîâ ðåëàê- ñàöèîííûå ïðîöåññû ïðîòåêàþò äîñòàòî÷íî ìåäëåííî. Ýòî æå îòíîñèòñÿ è ê íèçêîòåìïåðàòóðíûì æèäêîñòÿì, æèäêîñòÿì, ïîìåùåííûì â áûñòðîïåðåìåí- íûå âíåøíèå ïîëÿ, è ò.ï. [5]. Â ìàòåìàòè÷åñêîé ôîðìóëèðîâêå çàêîíîâ ïåðåíîñà ðåëàêñàöèîííûå ÿâëåíèÿ ïðåèìóùåñòâåííî ó÷èòûâàþòcÿ íà îñíîâå ñëåäóþùåãî [5] îáîáùåíèÿ çàêîíà Ôèêà: � � q q t D C C t � � � � � � � � � � � � �� 1 2 . (1) Çäåñü � q, C — äèôôóçèîííûé ïîòîê è êîíöåíòðàöèÿ ñîîòâåòñòâåííî, D — êîýôôè- öèåíò äèôôóçèè, �1, �2 — ïàðàìåòðû ðåëàêñàöèè äèôôóçèîííîãî ïîòîêà è ãðàäè- åíòà êîíöåíòðàöèè ñîîòâåòñòâåííî, � — îïåðàòîð Ãàìèëüòîíà. Ñîîòíîøåíèå (1) ïîêàçûâàåò, ÷òî äèôôóçèîííûé ïîòîê íå âîçíèêàåò ìãíîâåííî, à ïðè ïîÿâëåíèè ãðàäèåíòà êîíöåíòðàöèè çàïàçäûâàåò (âñëåäñòâèå èíåðöèîííîñòè ïðîöåññà ïåðåíîñà) íà âðåìÿ ïîðÿäêà �1. Â ñèëó òåõ æå èíåðöèîííûõ ñâîéñòâ, ïðèñóùèõ âñåì ìàòåðè- àëüíûì îáúåêòàì, èìååò ìåñòî òàêæå ðåëàêñàöèÿ ãðàäèåíòà êîíöåíòðàöèè ïðè ìãíî- âåííîì èñ÷åçíîâåíèè äèôôóçèîííûõ ïîòîêîâ ëèáî çàäåðæêà âîçíèêíîâåíèÿ ãðàäè- åíòîâ êîíöåíòðàöèè ïðè ìãíîâåííîì ïîÿâëåíèè óêàçàííûõ ïîòîêîâ [5]. Ñîîòâåòñòâóþùåå îáîáùåííîìó çàêîíó Ôèêà (1) äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíå- íèå êîíâåêòèâíîé äèôôóçèè [7] ÿâëÿåòñÿ ïñåâäîãèïåðáîëè÷åñêèì óðàâíåíèåì â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ òðåòüåãî ïîðÿäêà, áîëåå àäåêâàòíî ìîäåëèðóåò ïðîöåññû ìàññîîáìåíà â ñóùåñòâåííî íåðàâíîâåñíûõ óñëîâèÿõ è ïîçâîëÿåò ó÷èòûâàòü êîíå÷- íóþ ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîçìóùåíèé. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 6 65 Â.Ì. Áóëàâàöêèé, Â.Â. Ñêîïåöêèé, 2010 Â ðàìêàõ îñíîâàííîé íà ñîîòíîøåíèè (1) ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè â íàñòîÿùåé ðà- áîòå ïîëó÷åíû àñèìïòîòè÷åñêèå ïðèáëèæåíèÿ ðåøåíèé íåêîòîðûõ ñèíãóëÿðíî âîçìó- ùåííûõ êðàåâûõ çàäà÷ êîíâåêòèâíîé äèôôóçèè (ñ ó÷åòîì ðåëàêñàöèîííûõ ýôôåêòîâ) ðàñòâîðèìûõ âåùåñòâ ïðè ïëîñêîé óñòàíîâèâøåéñÿ ôèëüòðàöèè â äâóõñâÿçíîé îáëàñòè. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÊÐÀÅÂÎÉ ÇÀÄÀ×È ÔÈËÜÒÐÀÖÈÎÍÍÎ–ÊÎÍÂÅÊÒÈÂÍÎÉ ÄÈÔÔÓÇÈÈ Ñ ÐÅËÀÊÑÀÖÈÅÉ Â ÄÂÓÕÑÂßÇÍÎÉ ÎÁËÀÑÒÈ Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èìååò ìåñòî ïðîöåññ êîíâåêòèâíîé äèôôóçèè ñ ðåëàêñàöèåé ðàñòâîðèìûõ âåùåñòâ ïðè äâóìåðíîé óñòàíîâèâøåéñÿ ôèëüòðàöèè ïî çàêîíó Äàðñè [4] ñîãëàñíî ðàññìîòðåííîé â [2] ôèëüòðàöèîííîé ñõåìå â äâóõñâÿçíîé êðèâîëèíåéíîé îáëàñòè Gz â ôèçè÷åñêîé ïëîñêîñòè z x iy� � , îãðàíè÷åííîé äâóìÿ ãëàäêèìè çàìêíóòûìè êîíòóðàìè L* è L* (âíóòðåííèé è âíåøíèé ñîîò- âåòñòâåííî). Òîãäà â ðàìêàõ îñíîâàííîé íà ñîîòíîøåíèè (1) íåêëàññè÷åñêîé ìà- òåìàòè÷åñêîé ìîäåëè êîíâåêòèâíîé äèôôóçèè [7] äèíàìè÷åñêèé ïðîöåññ îïèñû- âàåòñÿ â îáëàñòè G Gz� � � �( , )0 ñëåäóþùåé êðàåâîé çàäà÷åé: �� 1 2 2 2 1 � � � � � � � � � � � � �� C t C t D C C t C C t � � � �� , (2) C C M tL\| ~ ( , ) * � 1 , C C M t L \| ~ ( , )* � 2 , (3) C M C M( , ) ~ ( )0 0� , C M C Mt ( , ) ~ ( )0 � , (4) �� 0 , � ��\| L � , � �\| * * L � . (5) Çäåñü C x y t( , , ) — êîíöåíòðàöèÿ ðàñòâîðèìîãî âåùåñòâà â òî÷êå ( , )x y â ìîìåíò âðåìåíè t, � � �� — ñêîðîñòü ôèëüòðàöèè, �( , )x y — ïîòåíöèàë ñêîðîñòè ôè- ëüòðàöèè, � — ïîðèñòîñòü, D — êîýôôèöèåíò êîíâåêòèâíîé äèôôóçèè, � �1 2, — ïàðàìåòðû ðåëàêñàöèè, � � � �, — çàäàííûå çíà÷åíèÿ ïîòåíöèàëà ñêîðîñòè íà ãðà- íèöå Gz , ~ ,C0 ~ ,C ~ ,C1 ~ C2 — çàäàííûå äîñòàòî÷íî ãëàäêèå ôóíêöèè, ñîãëàñîâàííûå ìåæäó ñîáîé íà ðåáðàõ îáëàñòè G, � — îïåðàòîð Ëàïëàñà ïî ïåðåìåííûì x y, . Äàëåå ïðåäïîëàãàåì, ÷òî êîíâåêòèâíûé ìåõàíèçì ìàññîïåðåíîñà ïðåîáëàäàåò íàä äèôôóçèîííûì, è ïîëîæèì D a� � , ãäå a � �const > 0, � 0 — ìàëûé ïàðàìåòð. Îòìåòèì, ÷òî â ÷àñòíîì ñëó÷àå � �1 20 0� �, çàäà÷à (2)–(5) ïðè ìàëîì D ñâîäèòñÿ ê èçó÷åííîé â [2] ñîîòâåòñòâóþùåé ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííîé êðàåâîé çàäà÷å äëÿ êëàññè÷åñêîé ìàòå- ìàòè÷åñêîé ìîäåëè ôèëüòðàöèîííî-êîíâåêòèâíîé äèôôóçèè ðàñòâîðèìûõ âåùåñòâ. ÀÑÈÌÏÒÎÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÏÐÈÁËÈÆÅÍÈß ÐÅØÅÍÈß ÊÐÀÅÂÎÉ ÇÀÄÀ×È ÔÈËÜÒÐÀÖÈÎÍÍÎ–ÊÎÍÂÅÊÒÈÂÍÎÉ ÄÈÔÔÓÇÈÈ Ñ ÐÅËÀÊÑÀÖÈÅÉ Â ÓÑËÎÂÈßÕ ÏÐÅÎÁËÀÄÀÍÈß ÊÎÍÂÅÊÒÈÂÍÎÃÎ ÌÅÕÀÍÈÇÌÀ ÍÀÄ ÄÈÔÔÓÇÈÎÍÍÛÌ Ïðåäïîëàãàÿ àíàëîãè÷íî [2], ÷òî ôèëüòðàöèîííàÿ çàäà÷à (5) ïóòåì êîíôîðìíîãî îòîáðàæåíèÿ G Gz � � (G� — ñîîòâåòñòâóþùàÿ [2] îáëàñòü êîìïëåêñíîãî ïî- òåíöèàëà � � � � i ( ) � � �� , — ôóíêöèÿ òîêà) ðåøåíà, ïåðåéäåì â (2)–(4) ê ïåðåìåííûì ( , )� — òî÷êàì îáëàñòè êîìïëåêñíîãî ïîòåíöèàëà G� . Â íîâûõ ïåðåìåííûõ ðàññìàòðèâàåìàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ ïî êðàåâàÿ çàäà÷à ïðèíèìàåò âèä �� 1 2 2 2 21 � � � � � � � � � � � � �� C t C t a t C t( , ) ( , , )� 1 1� � � � � � �� t C , (6) C t C t( , , ) ~ ( , ) � � 1 , C t C t( , , ) ~ ( , )� � 2 , (7) C C( , , ) ~ ( , )� � 0 0� , C Ct ( , , ) ~ ( , )� � 0 � , (8) ãäå � � � � � � � � 2 2 2( , ) ( , ) ( , )� � � � � � x y — èçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ. Â ïðåäïîëîæåíèÿõ äîñòàòî÷íîé ãëàäêîñòè è òàê íàçûâàåìûõ ñèëüíûõ [2] óñëî- âèé ñîãëàñîâàííîñòè íà÷àëüíûõ è ãðàíè÷íûõ óñëîâèé ðåøåíèå çàäà÷è (6)–(8) áó- äåì èñêàòü â ñîîòâåòñòâèè ñ àñèìïòîòè÷åñêèì ìåòîäîì Âèøèêà–Ëþñòåðíèêà [8, 9] â âèäå àñèìïòîòè÷åñêîãî ðÿäà 66 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 6 C t C ti i i n ( , , , ) ( , , )� � � � � � � � 0 � � � � � �� i i i i n nt L R t( ( , , ) ( , , )) ( , , , )� 0 1 1 , (9) ãäå C ti ( , , )� (i n� 0, ) — ÷ëåíû ðåãóëÿðíîé ÷àñòè àñèìïòîòèêè, �i t( , , ) ( , )i n� �0 1 — ôóíêöèè òèïà ïîãðàíñëîÿ â îêðåñòíîñòè � �� * , Li ( , , ) � — óãëîâûå ïîãðàíôóíêöèè â îêðåñòíîñòè ( , , )� 0 , � � � � � , � � � t — ïîãðàí- ñëîéíûå ïåðåìåííûå, Rn�1 — îñòàòî÷íûé ÷ëåí. Óðàâíåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ðåãóëÿðíîé ÷àñòè àñèìïòîòèêè ïîëó÷àþòñÿ ïðè- ìåíåíèåì ñòàíäàðòíîé ïðîöåäóðû ìåòîäà âîçìóùåíèé è èìåþò âèä 1 1 2� � � � � � �� t C t C gi i i( , ) ( , , t ) ( , )i n� 0 , (10) ãäå ôóíêöèè g ti ( , , )� ðåêóððåíòíî âûðàæàþòñÿ ÷åðåç C ti�1 ( , , )� : g t i a t Ci i ( , , ) ( ), ( , ) ( , , � � � � � � � � � � � � � �� 0 0 12 2 1� t i n) ( , ).� � � � � � 1 Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîãðàíñëîéíûõ ôóíêöèé �i ( , )i n� �0 1 . Óêàçàííûå óðàâíåíèÿ èìåþò âèä a t t di i i1 12 2 2 1� � � � � � �� ( , , )t ( , )i n� �0 1 , (11) ãäå d t i t t Ai i i i( , , ) ( ), ( , )* � � �� 0 0 2 1 2 1 2 1� � � �� 1 2 2 1 2 1 1 1 ( , ) � � a t t i� � � � �� ! " # � � � � � � � �� i ia t i1 2 2 2 2 1 � ( 1 1, ),n � � � � � � � � � � � A i ni ( , ) ( , ) � �1 1 — êîýôôèöèåíòû ïðè i-õ ñòåïåíÿõ � ðàçëîæåíèÿ ôóíêöèè � � � �2 ( , )� â ðÿä Òåéëîðà â îêðåñòíîñòè òî÷êè � �� * , �� $1 0 . Êðàåâûå óñëîâèÿ äëÿ ôóíêöèé ÷ëåíîâ ðåãóëÿðíîé ÷àñòè àñèìïòîòèêè çàïèøåì â âèäå C t C ti i( , , ) ~ ( , ) * � � , C Ci i ( , , ) ~ ( , )( )� � 0 0� , C Ci it ( , , ) ~ ( , )� � 0 � (12) ( , )i n� 0 , ãäå ~ ( , ) ~ ( , ) ( ), ( , ), C t C t i i n i � � � � � � 1 0 0 1 ~ ( , ) ~ ( , ) ( ), ( , ), C C i i n i 0 0 0 0 1 � � � � � � � � ~ ( , ) ~ ( , ) ( ), ( , ). C C i i n i � � � � � � � � 0 0 1 Íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêîé ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ðåøåíèÿ çàäà÷ (10), (12) îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè C t C e U e di i t i t t ( , , ) ~ ( , ) ( , , )( )� � � � � �� 0 1 0 1 1 1 % ( , )i n� 0 , (13) ãäå ôóíêöèè U ti ( , , )� ( , )i n� 0 (ÿâëÿþùèåñÿ ðåøåíèÿìè ñîîòâåòñòâóþùèõ óãëî- ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 6 67 68 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 6 âûõ çàäà÷ Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ êîíâåêòèâíîãî ïåðåíîñà) îïðåäåëåíû â [2] è èìåþò âèä U t U t f t f U f f 0 0 1 ( , , ) ( , ( , )), ( , ), ( ( ( , ) ( ) � � � � � � & �� t t f, ), ), ( , ), � ' � � � � U t g s t f f s s ds t f i i ( , , ) ( , , ( , ) ( , )) ( , ) , � � � � � � � � &% 2 ( , ) ( , ), ( ( ( , ) ~ , ), , ~ ) ~ , � � � i n g f f t t t d ti t � � �� % 1 1 1 0 t f' � � � � � � � ( , ),� ïðè÷åì U t C t C t t ( , ) ~ ( , ) ~ ( , ) � � � � � 1 1 1 , U C C( ) ( , ) ~ ( , ) ~ ( , )0 0 1� � � � � � , f ds s ( , ) ( , ) , � � � � � � % 2 f �1 — ôóíêöèÿ, îáðàòíàÿ ôóíêöèè f ïî ïåðåìåííîé � (òàêàÿ ôóíêöèÿ ñóùåñòâóåò, ïîñêîëüêó � �2 ( , )s ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíî äèôôåðåí- öèðóåìîé, îãðàíè÷åííîé è ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííîé [2]). Ôóíêöèè ïîãðàíñëîéíîãî òèïà � i i n( , )� �0 1 íàõîäÿòñÿ èç óðàâíåíèé (11) ñ ó÷åòîì êðàåâûõ óñëîâèé �i it p t( , , ) ( , )0 � , �i iL( , , ) ( , , ) 0 0� � , �i ( 0 ( ) (� ( , )i n� �0 1 , (14) ãäå p t C t C t i C t i ni i( , ) ~ ( , ) ( , , ) ( ), ( , , ) ( , * * � � � � � � � 2 0 0 1 ), ( ).0 1i n� � � � � � � � Èñïîëüçóÿ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (11), (14) ìåòîä Ðèìàíà [10], ïîñëå ïðîñòûõ, íî ãðîìîçäêèõ ïðåîáðàçîâàíèé íàõîäèì ôóíêöèè �i â âèäå �i a t i it e J t p p( , , ) ( ( ) ) ( , ) ( � � � � � � � � � � � � � % 1 2 0 0 2 2 1 � � � � , ) � � � � � � � � � � � � � e d t 2 � � � � � � � � �J t d a L Li i i0 2 0 ( ( )( ) ) ( , , ) ( , , ) ( ,� � � � , )0 000 � � � �� %%% � t � � � � � � � � � � � � � ! " � #� �exp ( , , ) 1 0 2 1 � � � � � � a t d d d Li ( , )i n� �0 1 , (15) ãäå � � � � � � 1 1 2 1 2a ( ), � �2 1� , J z0 ( ) — ôóíêöèÿ Áåññåëÿ íóëåâîãî ïîðÿäêà [10]. Èç ÿâíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ôóíêöèé �i (15) íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò, ÷òî ýòè ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè ïîãðàíñëîéíîãî òèïà ïî ïåðåìåííîé , ÷òî îïðàâ- äûâàåò èõ íàçíà÷åíèå êàê ïîïðàâîê íà âûõîäå ôèëüòðàöèîííîãî ïîòîêà èç ðàñ- ñìàòðèâàåìîãî ïëàñòà. Àíàëîãè÷íî èçëîæåííîìó âûøå äëÿ îïðåäåëåíèÿ óãëîâûõ ïîãðàíôóíêöèé Li ( , )i n� �0 1 ïîëó÷àåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êðàåâûõ çàäà÷ �� 1 2 2 2 2 2 1 � � � � � � � � � � � � � � L a L L fi i i i( , ) ( ,* �, ) ( , )i n� �0 1 , (16) L L i n L i i i ( , , ) , ( , , ) ( , ) ( , ), ( , , 0 0 0 0 1 � � � � � ( (� � � � � 0 0 1) ( , ) ( , ),� � � � � � � i i n (17) ãäå � i i i t i n f( , ) ( ), ( , , ) ( , ), ( , , )� � � � � � � $� 0 0 0 1 11 0� 0, � � � � f a L Li i i( , , ) ( , )* � � � � � � � � � � � � � � � � 2 1 1 � � � � � � � � � � �� A a L Li k k k k i 1 2 2 1 1 1 1 ( , ) � � � � � � �Li 1 � ( , ).i n� �1 1 Çàìåíîé � � � L U � �( , , ), ãäå U — íîâàÿ íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ, ðàññìàòðèâàåìàÿ çàäà÷à ) * �i n( , )0 1 ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ êîí- âåêòèâíîé äèôôóçèè (òåïëîïðîâîäíîñòè) íà ïîëóîñè 0 ' ' �� ñ îäíîðîäíûì ãðà- íè÷íûì óñëîâèåì â òî÷êå � 0 ( ôèãóðèðóåò êàê ïàðàìåòð). Èñêëþ÷àÿ èç óêàçàí- íîãî óðàâíåíèÿ êîíâåêòèâíóþ ñîñòàâëÿþùóþ è èñïîëüçóÿ ìåòîäèêó èíòåãðàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñ áåñêîíå÷íûìè ïðåäåëàìè [11, 12], ïîëó÷àåì ðåøåíèå ðàññìàòðè- âàåìûõ çàäà÷ â âèäå L e f Gi a i i i( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) � � � � � � � � � � � � � 1 22 + d dv� � � 0 %% � � � � � � � � �� (18) ( , )i n� �0 1 , ãäå +i i a ( , , ) ( , )exp ( , ) � � � � � � � � �� % 2 2 1 200 % sin ( ) sin ( )�� d d , G f a i i( , , ) ( , , )exp ( , )( ) � � �� 2 21 1 2 � � � � � �� %% 00 � sin ( ) sin ( )�� d d , � � � � �� ( , ) ( , ) � � � � � � � 2 1 2 2 1 2 24 a a . Èç ÿâíîãî âèäà ôóíêöèé Li (18) ñëåäóåò, ÷òî îíè ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè ïîãðàí- ñëîéíîãî òèïà ïî ïåðåìåííûì è �. Îòìåòèì òàêæå, ÷òî â ïðàêòè÷åñêèõ ðàñ÷åòàõ äîñòàòî÷íî íàéòè íåñêîëüêî ïåðâûõ ÷ëåíîâ àñèìïòîòè÷åñêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ (9). ÑÈÍÃÓËßÐÍÎ ÂÎÇÌÓÙÅÍÍÀß ÊÐÀÅÂÀß ÇÀÄÀ×À ÔÈËÜÒÐÀÖÈÎÍÍÎ-ÊÎÍÂÅÊÒÈÂÍÎÉ ÄÈÔÔÓÇÈÈ Â ÑËÓ×ÀÅ ÑËÀÁÎ ÂÛÐÀÆÅÍÍÎÉ ÐÅËÀÊÑÀÖÈÎÍÍÎÑÒÈ ÄÈÔÔÓÇÈÎÍÍÎÃÎ ÏÐÎÖÅÑÑÀ È ÏÐÅÎÁËÀÄÀÍÈß ÊÎÍÂÅÊÒÈÂÍÎÃÎ ÌÅÕÀÍÈÇÌÀ ÌÀÑÑÎÏÅÐÅÍÎÑÀ Â ñëó÷àå ñëàáî âûðàæåííûõ ðåëàêñàöèîííûõ ñâîéñòâ äèôôóçèîííîãî ïðîöåññà è ïðåîáëàäàíèÿ êîíâåêòèâíîãî ìåõàíèçìà ìàññîïåðåíîñà íàä äèôôóçèîííûì ïîëî- æèì � ��1 � , , � ��2 2� , , D a� � , ãäå � � 0 — ìàëûé ïàðàìåòð. Îïóñêàÿ äàëåå çíàê «øòðèõ», ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (6) â âèäå �� 1 2 2 2 21 � � � � � � � � � � � � �� C t C t a t C t( , ) ( , ,� )� � � � � � � �� 1 1� � �t C . (19) Òàêèì îáðàçîì, èçó÷åíèå äèíàìèêè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ðàñòâîðèòåëÿ â ôèëüòðàöè- îííîì ïîëå ñêîðîñòåé â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ êðàåâîé çàäà÷è (19), (7), (8). ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 6 69 70 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 6 Â ðàìêàõ îòìå÷åííûõ âûøå óñëîâèé ãëàäêîñòè è ñîãëàñîâàííîñòè [2] ðåøåíèå çàäà÷è (19), (7), (8) èùåì ñîãëàñíî àñèìïòîòè÷åñêîìó ìåòîäó [8, 9] â âèäå C t C ti i i n ( , , , ) ( , , )� � � � � � � � 0 � � � � � � �� i i i i i n nP t L R( ( , , ) ( , , ) ( , , )) ~ � 0 1 1, (20) ãäå C ti ( , , )� ( , )i n� 0 — ÷ëåíû ðåãóëÿðíîé ÷àñòè àñèìïòîòèêè, �i t( , , ) , Pi ( , , )� � ( , )i n� �0 1 — ïîãðàíè÷íûå ôóíêöèè, èñïîëüçóåìûå äëÿ îïèñàíèÿ ïî- ãðàíñëîÿ â îêðåñòíîñòÿõ � �� (ïîïðàâêè íà âûõîäå ôèëüòðàöèîííîãî òå÷åíèÿ èç ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè Gz ) è t � 0 ñîîòâåòñòâåííî, Li ( , , ) � ( , )i n� �0 1 — óãëîâûå ïîãðàíôóíêöèè, �, — îïðåäåëåííûå âûøå ïîãðàíñëîéíûå ïåðåìåííûå,~ Rn�1 — îñòàòî÷íûé ÷ëåí. Èñïîëüçóÿ ñòàíäàðòíóþ ïðîöåäóðó ìåòîäà âîçìóùåíèé [8, 9], äëÿ îïðåäåëåíèÿ ðåãóëÿðíîé ÷àñòè àñèìïòîòèêè ïîëó÷àåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü çàäà÷ � � � � � � � � � � � C t C g ti i i 2 ( , ) ( , , ) ( , )i n� 0 , (21) C t C t0 1( , , ) ~ ( , ) * � � , C C0 00( , , ) ~ ( , )� � � , (22) C ti ( , , ) * � � 0, C Pi i( , , ) ( , , )� � 0 0� � ( , )i n�1 , (23) ãäå g t i a C t C t i ( , , ) ( ), ( , ) ( , , ) � � � � � � � � � � � � � � � � 0 0 2 0 1 2 0� � � � � � � � � � � � � �� 1 2 0 2 2 1 1 2 1 1 C t i a C t C i i ( ), ( , ) ( , , )� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� t a t C C t i n i i 2 2 1 2 1 2 2 ( ) ( , ). � � � � � � � � � � Îòñþäà, íà îñíîâå ðåçóëüòàòîâ ðàáîòû [2], ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèÿ äëÿ ðåøåíèÿ C0 âûðîæäåííîé çàäà÷è êîíâåêòèâíîãî ïåðåíîñà C t C t f t f C f f 0 1 0 1 ( , , ) ~ ( , ( , )), ( , ), ~ ( ( ( , ) � � � � � � & �� t t f, ), ), ( , ), � ' � � � � (24) è äèôôóçèîííûõ ïîïðàâîê C i ni ( , )�1 C t g f t f d i i ( , , ) (~, , (~, ) ( , )) (~, ) ~ , � � � � � � � � � � � � � 2% % & � � �� t f i n g f t f t t di t ( , ) ( , ), ( ( ~ ( , ) ), , ~ ) ~ � � � 1 1 1 0 t P f f t t fi � � � ' � � � � � � � � � � � �( ( ( , ) ), , ), ( , ),1 0� � (25) ãäå ôóíêöèÿ f ( , )� îïðåäåëåíà â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå. Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì ðåêóððåíòíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè çàäà÷ äëÿ îïðåäåëå- íèÿ ôóíêöèé òèïà ïîãðàíñëîÿ Pi , �i è L i ni ( , )� �0 1 : � � � � � � � � 1 2 2 0 0 1 � � � � � � � � � � � � P P q i n P r i i i i i ( , , ) ( , ), ~ ( , � � �), ( , , ) ( ) ( , ),P i ni ( (� � � � � � � � � 0 0 1 (26) a r t i n t t i i i i i � � � � � � � � � 2 2 0 1 0 � � � � ( , , ) ( , ), ( , , ) ( , ), ( , , ) ( ) ( , ),�i t i n ( (� � � � � � � 0 0 1 (27) �� 1 2 2 2 2 2 2 1 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � L L a Li i i( , )* � � 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � Li � � � ~ ( , , ) ( , )f i ni � 0 1 , (28) L P L i ni i i( , , ) ( , , ), ( , ) ( , )0 0 0 1 � � � �� ( (� � � , (29) L L t i i i i( , , ) ( , , ), ( , , ) ( , , ) ( � 0 0 0 01� � � � � � � � �� i n� �0 1, ) , (30) ãäå q i P i i ( , , ) ( ), ( , ) (� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� 0 0 1 11 2 1 0 ), ( , )� � � � � � � � �� 1 2 2 2 11 1a Pi� P i ni� � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 2 1 � ( , ), ~ ( , ) ( ), ~ ( , ) ( , , ) ( ), ( r i C C t i C i i � � � � � � � � � � � � 0 0 0 10 1 � , , ) ( , ), 0 2 1 � � � � � � � � � � � t i n � � � i it C t C t i C t i n( , ) ~ ( , ) ( , , ) ( ), ( , , ) ( , * � � � � � 2 0 0 1 ), ( ),0 1i n� � � � � � � r t0 0( , , ) $ , r t t t a1 2 0 2 1 0 2 0( , , ) ( , ) �� , r t t t A r2 2 1 2 0 2 0 1 1( , , ) ( , ) ( , ) ( ,* � � �� , )t � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � A t a t a1 2 2 0 1 0 2 2 1( , ) � � � � � � � � � � � � � � � 1 1 2 0 2 � � a ,� � , ( , ) ( , ) ( , )* A1 2 � � � � �� , , ~ ( , , )f0 0 � $ , ~ ( , , ) ( , )f A a L 1 1 2 2 0 2 11 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � L0 . Íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêîé ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è (26) äàåòñÿ ñëåäóþùèìè ñîîòíîøåíèÿìè [13]: P e r q e di i i( , , ) ~ ( , ) ( , , )� � � � � � �� %1 1 1 0 � � � � �� % q di ( , , )� � � � ( , )i n� �0 1 . (31) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 6 71 Ôóíêöèè �i i n( , )� �0 1 , êàê ðåøåíèÿ çàäà÷ (27), íàõîäèì â âèäå �i i a a i it t e e r t d r( , , ) ( , ) ( ) ( , , ) � � � � �� %1 0 ( , , )� � � t e da1 0 � � � � � �� % ( , )i n� �0 1 . (32) Îòíîñèòåëüíî çàäà÷ (28)–(30) äëÿ îïðåäåëåíèÿ óãëîâûõ ïîãðàíôóíêöèé Li ( , )i n� �0 1 îòìåòèì, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå ðåøåíèå ýòèõ çàäà÷ ìîæíî ïîëó÷èòü ñ èñ- ïîëüçîâàíèåì ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ [14, 15]. Â ñëó÷àå � �1 2� óäàåòñÿ èñêëþ÷èòü êîíâåêòèâíóþ ñîñòàâëÿþùóþ èç óðàâíåíèÿ (28) è ïîëó÷èòü àíàëèòè÷åñêîå ðåøå- íèå, â ÷àñòíîñòè ñ ïîìîùüþ ìåòîäà èíòåãðàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé [11, 12]. Â êà- ÷åñòâå ïðèìåðà ïðèâåäåì ðåøåíèå çàäà÷è ïðè i � 0. Èìååì L e P f Ga 0 2 0( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , * � � � � � � � � � � + � � � � � � � � � � � � � % )d 0 , (33) ãäå + �( , , ) ( , , ) ( , , )* � � � � � � �� %% 2 0 00 0 00 2P e Qa ( , , ) sin ( ) sin ( ) � � � � � � �d d , Q a a K( , , ) ( , ) ( , , * � � � � � � � � �� 1 1 41 2 2 ) ( , , )� K � � � , K a a( , , ) ( , )* � � � � � � � � �� 1 4 1 4 1 2 2 1 ! " � #� � �1 � �� ! " # sh 1 4 1 4 1 2 2 1 � � � � � � ( , ) exp * a a � � �� ! " � #� 1 2 1 1 41 2 2 � � � � � � ( , )* a a , f a P a ( , , ) ( , ) ( , , ) ( , )* * * * � � � � � � � � � � � � � � � 2 0 1 2 4 4 � � � � � � P0 ( , , )� � � � � � �� 1 2 0 2 P ( , , ) , G K d d( , , ) ( , , )sin ( ) sin ( ) � � �� % 2 1 00 � % . Êðàòêî îñòàíîâèìñÿ íà âîïðîñå âçàèìîñâÿçè ðàññìàòðèâàåìîé ðåëàêñàöèîííîé ìîäåëè ñ êëàññè÷åñêèìè ìîäåëÿìè. Çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèÿ (21) äëÿ îïðåäåëåíèÿ ðåãóëÿðíûõ ÷ëåíîâ àñèìïòîòèêè ÿâëÿþòñÿ êëàññè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè êîíâåêòèâ- íîãî ìàññîïåðåíîñà ðàñòâîðèìûõ âåùåñòâ â äâóõìåðíîì ôèëüòðàöèîííîì ïîòîêå. Îòñþäà çàêëþ÷àåì, ÷òî íåêëàññè÷åñêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ôèëüòðàöèîí- íî-êîíâåêòèâíîé äèôôóçèè â óñëîâèÿõ ïðåîáëàäàíèÿ êîíâåêòèâíîãî ìåõàíèçìà ìàññîïåðåíîñà â íåêîòîðîì ñìûñëå «áëèçêà» ê êëàññè÷åñêîé ìîäåëè êîíâåêòèâíî- ãî ìàññîïåðåíîñà, áàçèðóþùåéñÿ íà èçâåñòíîì [16] óðàâíåíèè ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà. Óòî÷íÿÿ ñêàçàííîå, îòìåòèì, ÷òî, ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ ïîãðàíñëîéíîãî òèïà P( , , )� � «ïîäïðàâëÿåò» ðåøåíèå C t0 ( , , )� â ìîìåíò âðåìåíè t * ( , )0 � , çàòóõàÿ ýêñïîíåíöèàëüíî íà áîëüøèõ ïðîìåæóòêàõ âðåìåíè, ðåøåíèå çàäà÷è ôèëüòðàöèîí- íî-êîíâåêòèâíîé äèôôóçèè â ðàìêàõ ðàññìàòðèâàåìîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè, ó÷èòûâàþùåé ýôôåêòû ïàìÿòè, îòëè÷àåòñÿ îò ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåé çàäà÷è â ðàìêàõ êëàññè÷åñêîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè êîíâåêòèâíîãî ìàññîïåðåíîñà ëèøü äëÿ ìàëûõ çíà÷åíèé âðåìåíè t. 72 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 6 ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Â ðàáîòå ðàçâèòà ìåòîäèêà àñèìïòîòè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ ðåøåíèé ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííûõ êðàåâûõ çàäà÷ ôèëüòðàöèîííî-êîíâåêòèâíîé äèôôóçèè ðàñòâîðè- ìûõ âåùåñòâ â ðàìêàõ íåêëàññè÷åñêîé êîíâåêòèâíî-äèôôóçèîííîé ìîäåëè ñ ðå- ëàêñàöèåé â ñëó÷àå ïðåîáëàäàíèÿ êîíâåêòèâíûõ ñîñòàâëÿþùèõ íàä äèôôóçèîí- íûìè. Ýôôåêòèâíîñòü ýòîé ìåòîäèêè îáóñëîâëåíà, ïðåæäå âñåãî, âîçìîæíîñòüþ ðàñùåïëåíèÿ ñëîæíîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè èñõîäíîãî ïðîöåññà íà ïîñëåäîâà- òåëüíîñòü ðåøåíèé áîëåå ïðîñòûõ çàäà÷. Ðåçóëüòàòû ïðîâåäåííûõ èññëåäîâàíèé ñâèäåòåëüñòâóþò î òîì, ÷òî ó÷åò ýôôåêòîâ ïàìÿòè ïðè ìîäåëèðîâàíèè äèíàìèêè ïðîöåññà òèïà «äèôôóçèÿ–êîíâåêöèÿ–ôèëüòðàöèÿ» îñîáåííî âàæåí íà íà÷àëüíûõ ñòàäèÿõ ïðîòåêàíèÿ óêàçàííîãî ïðîöåññà. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Á î ì á à À . ß . , Á ó ë à â à ö ü ê è é Â . Ì . , Ñ ê î ï å ö ü ê è é Â . Â . Íåë³í³éí³ ìàòåìàòè÷í³ ìîäåë³ ïðîöåñ³â ãåîã³äðîäèíàì³êè. — Êè¿â: Íàóê. äóìêà, 2007. — 292 ñ. 2. Á î ì á à À . ß . , Á à ð à í î â ñ ü ê è é Ñ . Â . , Ï ð è ñ ÿ æ í þ ê ² . Ì . Íåë³í³éí³ ñèíãóëÿðíî çáóðåí³ çàäà÷³ òèïó «êîíâåêö³ÿ-äèôóç³ÿ». — Ð³âíå: ÍÓÂÃÏ, 2008. — 252 ñ. 3. Ë à â ð è ê Â . È . , Á î ì á à À . ß . , Â ë à ñ þ ê À . Ï . Îá àñèìïòîòè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè ðåøåíèé íåêîòîðûõ çàäà÷ ìàññîïåðåíîñà ïðè ôèëüòðàöèè â íåîäíîðîäíîé ñðåäå. — Êèåâ, 1985. — 16 ñ. — (Ïðåïð. / ÀÍ ÓÑÑÐ. Èí-ò ìàòåìàòèêè; 85–72). 4. Ë ÿ ø ê î È . È . , Ä å ì ÷ å í ê î Ë . È . , Ì è ñ ò å ö ê è é Ã . Å . ×èñëåííîå ðåøåíèå çàäà÷ òåïëî- è ìàññîïåðåíîñà â ïîðèñòûõ ñðåäàõ. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1991. — 264 ñ. 5. Ë û ê î â À . Â . , Á å ð ê î â ñ ê è é Á . Ì . Çàêîíû ïåðåíîñà â íåíüþòîíîâñêèõ æèäêîñòÿõ // Òåïëî- è ìàññîîáìåí â íåíüþòîíîâñêèõ æèäêîñòÿõ. — Ì.: Ýíåðãèÿ, 1968. — Ñ. 5–14. 6. Ä è í à ð è å â Î . Þ . , Í è ê î ë à å â Î . Â . Î ðåëàêñàöèîííûõ ïðîöåññàõ â íèçêîïðîíèöàåìûõ ïîðèñòûõ ìàòåðèàëàõ // Èíæ.-ôèç. æóðí. — 1990. — 58, ¹ 1. — Ñ.78–81. 7. Á ó ë à â à ö ü ê è é Â . Ì . , Ê ð è â î í î ñ Þ . Ã . , Ñ ê î ï å ö ü ê è é Â . Â . Íåêëàñè÷í³ ìàòåìàòè÷í³ ìîäåë³ ïðîöåñ³â òåïëî- òà ìàñîïåðåíîñó. — Êè¿â: Íàóê. äóìêà, 2005. — 283 ñ. 8. Â è ø è ê Ì . È . , Ë þ ñ ò å ð í è ê Ë . ß . Ðåãóëÿðíîå âûðîæäåíèå è ïîãðàíè÷íûé ñëîé äëÿ ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ìàëûì ïàðàìåòðîì // Óñïåõè ìàò. íàóê. — 1957. — 12, âûï. 5. — Ñ. 3–122. 9. Â à ñ è ë ü å â à À . Á . , Á ó ò ó ç î â Â . Ô . Àñèìïòîòè÷åñêèå ìåòîäû â òåîðèè ñèíãóëÿðíûõ âîçìóùåíèé. — Ì.: Âûñø. øê., 1990. — 208 ñ. 10. Ò è õ î í î â À . Í . , Ñ à ì à ð ñ ê è é À . À . Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. — Ì.: Íàóêà, 1972. — 259 ñ. 11. Ä è ò ê è í Â . À . , Ï ð ó ä í è ê î â À . Ï . Èíòåãðàëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ è îïåðàöèîííîå èñ÷èñëåíèå. — Ì.: Íàóêà, 1974. — 544 ñ. 12. Ê à ð ò à ø î â Ý . È . Àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû â òåïëîïðîâîäíîñòè òâåðäûõ òåë. — Ì.: Âûñø. øê., 1979. — 415 ñ. 13. Á ó ë à â à ö ê è é Â . Ì . , Ñ ê î ï å ö ê è é Â . Â . Îáîáùåííàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü äèíàìèêè êîíñîëèäàöèîííûõ ïðîöåññîâ ñ ðåëàêñàöèåé // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2008. — ¹ 5. — Ñ. 25–34. 14. Á à õ â à ë î â Í . Ñ . , Æ è ä ê î â Í . Ï . , Ê î á å ë ü ê î â Ã . Ì . ×èñëåííûå ìåòîäû. — Ì.: Íàóêà, 1987. — 600 ñ. 15. Ñ à ì à ð ñ ê è é À . À . , Ã ó ë è í À . Â . ×èñëåííûå ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. — Ì.: Íàó÷. ìèð, 2003. — 316 ñ. 16. Ë û ê î â À . Â . Òåïëîìàññîîáìåí. — Ì.: Ýíåðãèÿ, 1978. — 479 ñ. Ïîñòóïèëà 29.01.2009 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 6 73

Математическое моделирование некоторых сингулярно возмущенных процессов диффузии с релаксацией

Institution

Similar Items