Об одном методе нахождения стабилизационного управления накопительным фондом с функциями страховой компании
Знайдено стабілізаційні фінансові «уливання» у стабілізаційний фонд, що забезпечують мінімум функціоналу якості. Зокрема, розглянуто квадратичний функціонал, що описує відхилення капіталу фонду від деякої заданої траєкторії. We find financial flows that stabilize a stabilization fund and minimize th...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Datum: | 2010 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45653 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об одном методе нахождения стабилизационного управления накопительным фондом с функциями страховой компании / Б.В. Бондарев, А.В. Баев // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 6. — С. 120–127. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860242918877429760 |
|---|---|
| author | Бондарев, Б.В. Баев, А.В. |
| author_facet | Бондарев, Б.В. Баев, А.В. |
| citation_txt | Об одном методе нахождения стабилизационного управления накопительным фондом с функциями страховой компании / Б.В. Бондарев, А.В. Баев // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 6. — С. 120–127. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Знайдено стабілізаційні фінансові «уливання» у стабілізаційний фонд, що забезпечують мінімум функціоналу якості. Зокрема, розглянуто квадратичний функціонал, що описує відхилення капіталу фонду від деякої заданої траєкторії.
We find financial flows that stabilize a stabilization fund and minimize the quality functional. In particular, we consider a quadratic functional that describes deviations of the capital stock from a certain trajectory.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:32:15Z |
| format | Article |
| fulltext |
120 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 6
ÓÄÊ 519.21
Á.Â. ÁÎÍÄÀÐÅÂ, À.Â. ÁÀÅÂ
ÎÁ ÎÄÍÎÌ ÌÅÒÎÄÅ ÍÀÕÎÆÄÅÍÈß ÑÒÀÁÈËÈÇÀÖÈÎÍÍÎÃÎ
ÓÏÐÀÂËÅÍÈß ÍÀÊÎÏÈÒÅËÜÍÛÌ ÔÎÍÄÎÌ Ñ ÔÓÍÊÖÈßÌÈ
ÑÒÐÀÕÎÂÎÉ ÊÎÌÏÀÍÈÈ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìîäåëü Ï. Ñàìóýëüñîíà, ñëîæíûé ïðîöåññ Ïóàññîíà, ñòî-
õàñòè÷åñêèé èíòåãðàë, íåðàâåíñòâî Èåíñåíà, ïóàññîíîâñêàÿ ìåðà, ñòîõàñòè-
÷åñêîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
 ðàáîòå [1] ðàññìîòðåíà ìîäåëü íàêîïèòåëüíîé ñèñòåìû ñ ïîòðåáëåíèåì, êîòîðàÿ
çàíèìàåòñÿ òàêæå èíâåñòèðîâàíèåì êàê â áåçðèñêîâûå, òàê è â ðèñêîâûå àêòèâû
(ò.å. ôîíä ôóíêöèîíèðóåò íà BS-ðûíêå) è îáëàäàåò íåêîòîðûìè ôóíêöèÿìè
«ñòðàõîâàíèÿ».  ñëó÷àéíûå ìîìåíòû âðåìåíè ê êîìïàíèè ìîæåò áûòü ïðåäúÿâ-
ëåí èñê, âåëè÷èíà êîòîðîãî ñëó÷àéíà è îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: åñëè
óïðàâëÿþùàÿ âåëè÷èíîé èñêà — íåîòðèöàòåëüíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà � ïðèíè-
ìàåò çíà÷åíèå x, 0 1� � �x � , à êàïèòàë êîìïàíèè íà äàííûé ìîìåíò âðåìåíè
ñîñòàâëÿåò �( )t , òî êîìïàíèÿ âûïëà÷èâàåò ïî èñêó ñóììó x t�( ) . Åñëè ñëó÷àéíàÿ
âåëè÷èíà � ïðèíèìàåò çíà÷åíèå x, � � x, òî êîìïàíèÿ âûïëà÷èâàåò ïî èñêó ñóì-
ìó ��( )t . Ïðè ýòîì ó÷èòûâàåòñÿ òàêæå ïîòðåáëåíèå ñðåäñòâ ñî ñêîðîñòüþ (ñì.,
íàïðèìåð, [2]) 0 1� u t t( , ( )).�  êà÷åñòâå ôóíêöèîíàëà êà÷åñòâà èñïîëüçóåòñÿ
ôóíêöèîíàë Ð. Ìåðòîíà [2]
M e u s s dss
T
�
� � �� �� �[ ( , ( ))] ,1
0
0 1, (1)
� � 0 — êîýôôèöèåíò íåïðåðûâíîãî äèñêîíòèðîâàíèÿ. Ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî öåíà
ðèñêîâîãî àêòèâà (àêöèè) S t t T( ), 0 � � , îïèñûâàåòñÿ ìîäåëüþ Ï. Ñàìóýëüñîíà [3]
S t S t t W t( ) exp ( )� � �
�
��
�
�
��
0
2
2
�
�
� , (2)
ãäå W t( ) , 0 � �t T, — ñòàíäàðòíûé âèíåðîâñêèé ïðîöåññ. Ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî â
ìîìåíò âðåìåíè t êàïèòàë ñòðàõîâîé êîìïàíèè ðàâåí �( )t , ÷àñòü ñðåäñòâ u t�( ),
0 1� �u , âûäåëÿåòñÿ íà ïîêóïêó àêöèé, îñòàâøèåñÿ ñðåäñòâà ( ) ( )1� u t� , 0 1� �u ,
ïîñòóïàþò íà áàíêîâñêèé ñ÷åò ïîä ïðîñòóþ ïðîöåíòíóþ ñòàâêó r � 0 (êàê è â [2],
ñ÷èòàëîñü, ÷òî � � r). Ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî â ìîìåíò âðåìåíè 0 � �t T ïðîèñõî-
äèò ïîòðåáëåíèå ñðåäñòâ ñî ñêîðîñòüþ u t t1 0( , ( ))� � , ñóììàðíûå âûïëàòû ñòðàõî-
âîé êîìïàíèè íà ïðîìåæóòêå âðåìåíè îò t äî t t� � îïèñûâàþòñÿ âåëè÷èíîé
� � �( ) ( , )
( )
( )
t
i Z t
Z t t
i
� �
�
�
1
�
, (3)
ãäå � i — íåçàâèñèìûå, ïîëîæèòåëüíûå, îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå
âåëè÷èíû, óïðàâëÿþùèå âåëè÷èíàìè âûïëàò êîìïàíèè. Ïðåäñòàâëåíèå (3) åñòü
íå ÷òî èíîå êàê ïðîèçâåäåíèå �( )t íà íåêîòîðûé ñëîæíûé ïðîöåññ Ïóàññîíà.
Ïóñòü P x F xi( ) ( )� �� � , Z t( ) — ïðîöåññ Ïóàññîíà ñî ñðåäíèì
t , íåçàâèñèìûé
îò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè { }� i ,
� �
� � �
� � �
( , )
, ,
, .
�
� � �
�
�
0 1
(4)
� Á.Â. Áîíäàðåâ, À.Â. Áàåâ, 2010
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 6 121
Òàêèì îáðàçîì, åñëè ê êîìïàíèè â ìîìåíò âðåìåíè t ïðåäúÿâëåí èñê âåëè-
÷èíû �, òî êîìïàíèÿ âûïëà÷èâàåò êëèåíòó ïî èñêó âåëè÷èíó ��( )t ïðè
0 1� � �� � è âåëè÷èíó ��( )t ïðè � �� .
Î÷åâèäíî, ÷òî 0 1� �u . Êëàññ R äîïóñòèìûõ ñêîðîñòåé ïîòðåáëåíèÿ u t x1 ( , )
ñîñòîèò èç ôóíêöèé
R �
� � � �
�
u t x u t u t x t x T R
u t
1 1 1
1
0 0 0 0( , ): ( , ) , ( , ) , ( , ) [ , ] ,
( ,x
x
c t t x T R
c t dt
T
)
( ) , ( , ) [ , ) ,
[ ( )] ,
�
� � �� � �
� �� � �
�
0
0 1
0
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
.
 ðàáîòå [1] ðåøåíà ñëåäóþùàÿ çàäà÷à: íàéäåíû òàêèå óïðàâëåíèÿ 0 1� �u ,
u t x1 ( , )�R, êîòîðûå ìàêñèìèçèðóþò ïëàòó
M e u s s dss
T
�
� � �� �� �[ ( , ( ))] ,1
0
0 1,
� � 0 — êîýôôèöèåíò íåïðåðûâíîãî äèñêîíòèðîâàíèÿ. Ðåøåíèå áûëî íàéäåíî
êëàññè÷åñêèì ñïîñîáîì: ñîñòàâëÿëîñü óðàâíåíèå Ð. Áåëëìàíà, íàõîäèëèñü öåíà
óïðàâëåíèÿ è îïòèìàëüíûå óïðàâëåíèÿ, ïðè ýòîì ñóùåñòâåííûì áûëî òðåáîâà-
íèå 0 1� �� . Äëÿ îïèñàíèÿ ýâîëþöèè êàïèòàëà ôîíäà ïîëó÷åíî ñòîõàñòè÷åñêîå
äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ñ öåíòðèðîâàííîé ìåðîé Ïóàññîíà
d t u t dt dW t u t rdt u t t dt� � � � � �( ) ( )( ( )) ( ) ( ) ( , ( ))� � � � � �1 1
� �
�� ��
� �
� � � � � � �
��( ) ( , ) ( ) ( ) ( , )~( , )t F d dt t d dt
0 0
.
(5)
1. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
 íàñòîÿùåé ñòàòüå ðàññìîòðåíà ìîäåëü íàêîïèòåëüíîé ñèñòåìû, êîòîðàÿ çàíè-
ìàåòñÿ òàêæå èíâåñòèðîâàíèåì êàê â áåçðèñêîâûå, òàê è â ðèñêîâûå àêòèâû è
îáëàäàåò, êàê è â [1], íåêîòîðûìè ôóíêöèÿìè ñòðàõîâàíèÿ, ò.å. êîìïàíèÿ ôóíê-
öèîíèðóåò íà BS-ðûíêå. Âîçìîæíû òàêæå äåíåæíûå èíòåðâåíöèè ñî ñêîðîñòüþ
u t x1 ( , ), ãäå t (0 � �t T) — ìîìåíò âðåìåíè ïîñòóïëåíèÿ ñðåäñòâ. Ïðè ýòîì âåëè-
÷èíà ñêîðîñòè çàâèñèò îò x — ñîáñòâåííîãî êàïèòàëà ôîíäà íà äàííûé ìîìåíò.
Î÷åâèäíî, ÷òî óðàâíåíèå ýâîëþöèè êàïèòàëà òàêîãî ôîíäà èìååò âèä
d s u s ds dW s ut x
u u
t x
u u
t x
u u
� � � � �,
,
,
,
,
,
( ) ( )( ( )) ( )1 1 1� � � � 1 1
1( ) ( , ( )),
,
s rds u s s dst x
u u� ��
� �
��
�
� � � � � � ��t x
u u
t x
u u
s F d dt s,
,
,
,
( ) ( , ) ( ) ( ) ( , )~1 1
0
�( , )d dt
0
��
� ,
� t x
u u
t x,
,
( )1 � , t s T� � . (6)
 ïîñëåäíåì íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ïðîàíàëèçèðîâàâ âûâîä óðàâíåíèÿ áàëàíñà
â [1]. Ôîðìàëüíî óðàâíåíèå (6) ñëåäóåò èç (5), åñëè ïîòðåáëåíèå (�u s s dst x1 ( , ( )),� )
çàìåíÿåòñÿ âíåøíèì äåíåæíûì «âëèâàíèåì» â ôîíä ( ( , ( )) ),u s s dst x1 � .
Ôóíêöèîíàëîì êà÷åñòâà ñ÷èòàåòñÿ ôóíêöèîíàë
R t x u u M T T
u s s
t x
u u t x
u u
( , , , ) ( , ( ))
( , ( ))
,
, ,
,
1
1
2
2
1
1
� �� �
�
� [ ( )]
( , ( ))
,
, ,
,
�
�
t x
u u t x
u u
t
T
s
ds Q s s ds
1
1
2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
, (7)
ãäå �( , )s x è Q s x( , ) — íåêîòîðûå îãðàíè÷åííûå ôóíêöèè. Çàäà÷à óïðàâëåíèÿ ñî-
122 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 6
ñòîèò â ìèíèìèçàöèè ïî u u, 1 ôóíêöèîíàëà (7) íà ìíîæåñòâå äîïóñòèìûõ óïðàâ-
ëåíèé [ , ]0 1 �U, ñîñòîÿùåãî èç ôóíêöèé, ïðè êîòîðûõ ñóùåñòâóåò ñèëüíîå ðåøå-
íèå óðàâíåíèÿ (6). Â äàëüíåéøåì áóäåì òàêæå ïðåäïîëàãàòü, ÷òî | ( , )| | |u t x C x1 � .
 íàñòîÿùóþ ñõåìó âïèñûâàåòñÿ, íàïðèìåð, ðàñ÷åò ïîðòôåëÿ èíâåñòîðà
(ò.å. äîëè 0 1� �u ), êîòîðûé ïðîâîäèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: ïðè íåêîòîðîé ôèê-
ñèðîâàííîé äîëå u*, 0 1� �u* , ñòàáèëèçàöèîííûå âëèâàíèÿ u s x1 ( , ) îáÿçàíû îáåñ-
ïå÷èòü ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå ôóíêöèîíàëó
R t x u u M s
u s
t x
u u
m
t x
u
( , , , ) ln ( )
( ,
*
,
, ,*
*
1
2
1
2
1�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
,
,
,
( ))
[ ( )]
,
*
u
t x
u u
t
T s
s
ds m
1
12 2
0
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� , (8)
d s s u u r c ds ut x
u u
t x
u u
� � �
�,
,
,
, * *
* *
( ) ( )( ( ) ( ))1 1 1 1� � � � � ( , ( )),
,*
s s dst x
u u
� 1 �
� �
��
�� � �� ���
�u s dW s s dt x
u u
t x
u u*
,
,
,
,* *
( ) ( ) , ( )~( ,1 1
0
ds) , (9)
� � �� �� �t x
u u
nt x t s T c F d,
,*
( ) , , ( ) , ( )1
0
� � � �
��
� ,
ãäå u* — ôèêñèðîâàíî.
Cóòü îïòèìàëüíûõ âëèâàíèé (ëèáî îòáîðà ñðåäñòâ) çàêëþ÷àåòñÿ â îáåñïå÷åíèè ìàê-
ñèìàëüíûõ çíà÷åíèé êàïèòàëà â òåðìèíàëüíûé ìîìåíò, ò.å. â ìîìåíò âðåìåíè T (ïåðâîå
ñëàãàåìîå ìèíèìàëüíî); ïðè ýòîì ñóììàðíûå ñòàáèëèçàöèîííûå âîçäåéñòâèÿ (âòîðîå
ñëàãàåìîå) äîëæíû áûòü òàêæå ìèíèìàëüíû. Ïîñëå òîãî, êàê íàéäåíî çíà÷åíèå ôóíê-
öèîíàëà R t x u R t x u u
u U
( , , ) min ( , , , )* *�
�1
1 , íàõîäèòñÿ R t x R t x u
u
( , ) min ( , , )
*
*�
� �0 1
.
2. ÎÑÍÎÂÍÎÉ ÐÅÇÓËÜÒÀÒ
Ïóñòü êëàññ äîïóñòèìûõ óïðàâëåíèé ñîñòîèò èç òàêèõ ôóíêöèé, ïðè êîòîðûõ ðå-
øåíèå
d s a s s ds u s s ds st x
u
t x
u
t x
u
� � � �, , ,( ) ( , ( )) ( , ( )) ( ,1 1 1
1� � � � t x
u
s dW s, ( )) ( )1 �
� � � �
��
� � � �
� �( , , ( ))~( , ), ( ) ,, ,
,
s s d ds t x t s Tt x
u
t x
u1 11
0
, (10)
ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî. Ïóñòü òàêæå � t x
u
,
1 — ìåðà, ïîðîæäåííàÿ ðåøåíè-
åì (10) â ïðîñòðàíñòâå òðàåêòîðèé {� t x
u
s t s T, ( ): }1 � � , � t x,
0 — ìåðà, ïîðîæäåííàÿ
ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ
d s a s s ds s s dW s st x t x t x� � � � � �, , ,( ) ( , ( )) ( , ( )) ( ) ( ,0 0 0� � � , ( ))~( , ),�
�t x s d ds0
0
��
� , (11)
� t x t x t s T,
, ( ) ,1 0 � � � .
Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî óïðàâëåíèÿ u t x1 ( , ) òàêèå, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå
u t x
t x
C
2
2
( , )
( , )�
� � �� , (12)
òîãäà ïëîòíîñòü ìåðû � t x,
0 îòíîñèòåëüíî � t x
u
,
1 èìååò âèä (ñì. [4, 5])
� �
�
� �
�
�
t x t x
t x
t x
u s s
s s
d, ,( ( )) exp
( , ( ))
( , ( ))
� �
1
2
1
2 0
2 0
s
u s s
s s
dW s
t x
t xt
T
t
T
�
�
��
�
�
��
��
1
0
0
( , ( ))
( , ( ))
( )
�
� �
�
�
. (13)
Òåîðåìà 1. Íà êëàññå äîïóñòèìûõ óïðàâëåíèé ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
R t x u M T T Q s st x t x( , , ) ln exp ( , ( )) ( , ( )), ,1
0 02
1
2
1
2
� � � �� � � ds
t
T
� �
!
"
#
#
�
�
ln
( , ( ) ( , , ( )))
( , ( ))
~(
, ,
,
� � � � �
� �
�
s s s s
s s
d
t x t x
t x
0 0
0
, )ds
T
00
��
��
$
%
&
&
, (14)
ïðè÷åì ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ ïðè óïðàâëåíèè
u t x t x
t x
t x
x
1
2 1
( , ) ( , )
( , )
( , )
�
�
�
�
�
�
.
(15)
Çäåñü �( , )t x — ðåøåíèå çàäà÷è
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�� �
�
�
�
� � �
s
a s x
x
s x
x
s x s x
( , ) ( , ) ln
( , ( , , )1
2
2
2
2
)
( , )
( ) ( , )
�
�
�
�
s x
dF Q s x
0
2
0
��
� � � ,
� �2ln ( , ) ( , )� T x T x� . (16)
Äîêàçàòåëüñòâî. Âîñïîëüçóåìñÿ èäåÿìè è ìåòîäàìè, èçëîæåííûìè â ðàáî-
òå [6]. Çàïèøåì ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèîíàëà ñòîèìîñòè (7) â ñëåäóþùåì âèäå:
R t x u M T T
u s s
t x
u t x
u
( , , ) ln exp ( , ( ))
( , ( ))
(
,
,
1
1
2
2
1
1
� �� �
�
� s s
Q s s ds
t x
u t x
u
t
T
, ( ))
( , ( ))
,
,
�
�
1
1�
�
�
�
�
�
�
�
�
!
"
#
#
#
$
%
&
&
&
� �
� � � �M T T
u s s
s
t x
u t x
u
2
1
2
1
2
1
1
1
2
2
ln exp ( , ( ))
( , ( ))
( ,
,
,
� �
�
� �
�
t x
u t x
u
t
T
s
Q s s ds
,
,
( ))
( , ( ))
1
1�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
!
"
#
#
#
�
� ��
u s s
s s
dW s
st x
u
t x
u
t
T
t x
u
1
1
1
( , ( ))
( , ( ))
( ) ln
( ,,
,
,�
� �
� � 1 1
1
0
( ) ( , , ( )))
( , ( ))
~( , )
,
,
s s s
s s
d ds
t x
u
t x
u
t
���
�
� � �
� �
�
T
�
$
%
&
&&
. (17)
Âîñïîëüçîâàâøèñü íåðàâåíñòâîì Èåíñåíà äëÿ ôóíêöèè f x x( ) ln� � , x � 0 ,
èç (17) c ó÷åòîì (13) èìååì íåðàâåíñòâî
R t x u M T T
u s
t x
u t x
u
( , , ) ln exp ( , ( ))
( ,
,
,
1
1
2
2
1
2
1
2
1
1
� � � �� �
� ( ))
( , ( ))
( , ( ))
,
,
s
s s
Q s s ds
t x
u t x
u
t
T
� �
�
2 1
1�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
!
"
�
#
#
#
� ��
u s s
s s
dW s
st x
u
t x
u
t
T
t x
u
1
1
1
( , ( ))
( , ( ))
( ) ln
( ,,
,
,�
� �
� � 1 1
1
0
( ) ( , , ( )))
( , ( ))
~( , )
,
,
s s s
s s
d ds
t x
u
t x
u
t
���
�
� � �
� �
�
T
�
$
%
&
&&
�
� � � � �
!
"
# �2
1
2
1
2
0 0ln exp ( , ( )) ( , ( )), ,M T T Q s s dst x t x
t
T
� � �
#
�
�
ln
( , ( ) ( , , ( )))
( , ( ))
~(
, ,
,
� � � � �
� �
�
s s s s
s s
d
t x t x
t x
0 0
0
, )ds
t
T
0
��
��
$
%
&
&
.
(18)
Çíàê ðàâåíñòâà â íåðàâåíñòâå Èåíñåíà äîñòèãàåòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ êîíñòàíòîé [7]. Ïîêàæåì, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè (15)
ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ñòîÿùàÿ ïîä çíàêîì ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ â íåðàâåíñòâå
(17), íå ñëó÷àéíàÿ. Âîñïîëüçîâàâøèñü îáîáùåííîé ôîðìóëîé Èòî [8], èìååì
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 6 123
124 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 6
� � �
�
�
�
�
�
�
�
1
2
1
1 1�( , ( )) ln ( , ) ( , (, ,T T t x
s
à s st x
u
t x
u
� �
�
�
� )) ( , ( )),
,�
�
�
�
�
�
�� u s s
x
t x
u
t
T
1
1 1
1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
!
"
#
� �
�
� � �
�
�
2 2
2
2
2
1 1
2 2
( , ( )) ( , ( )), ,s s
x
s s
x
t x
u
t x
u
$
%
&
�
�
�
�
�
2
ds
�
�
�
�
�
�� �
�
�
� � � �
s s
x
dW s
s s s
t x
u t x
u
, ( )) ( ) ln
( , ( ) ( , ,
,
,1
1
1 �
� �
t x
u
t x
u
t
T
t
T s
s s
,
,
( )))
( , ( ))
1
1
0
�
�
�
�
�
��
���
�
�
�
�
�
�
�
1 1 1
�
�
� � � ��
x
s s dF dst x
u
( , , ( )) ( ),
, �
�
� �
�
t
T
t x
u
t x
u
t x
u
s s s s
s0
1 1
1
ln
( ) ( , , ( )))
,
, ,
,
� � � � �
� �
( ,
( ( ))
~( , )
s
d ds
� .
(19)
Ïîñêîëüêó ïðè u s s s s
x
t x
u
t x
u
1
21 1
1
( , ( )) ( , ( )), ,� � �
�
�
�
�
�
ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ
u s s
x x
s st x
u
t x
u
1
2
21 1
1 1
2
1
( , ( )) ( , (, ,�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
!
"
#
$
%
& )) �
�
�
�
!
"
#
$
%
& �
1
2
1
2
2
2 1
2
1
1
�
�
� �
�
�x
s s
u s s
t x
u t x
u
( , ( ))
( , ( ))
,
,
2 1( , ( )),s st x
u
�
, (20)
�� � �
�
� �
� �
s s
x
u s s
s s
t x
u t x
u
t x
u,
,
,
( ))
( , ( ))
( , ( ))
1
1
1
1 1�
�
� ,
òî èç (19) ñ ó÷åòîì (16) è (20) ñëåäóåò
� � �ln ( , ) ( , ( ))
( , ( ))
( ,
,
,
� �
�
�
t x T T
u s s
s
t x
u t x
u
1
2
1
2
1
1
1
2
2
�
�
�
t x
u
t
T
t x
u
t
T
s
d s Q s s ds
,
,
( ))
( , ( ))
1
1
1
2� �� �
� ��
u s s
s s
dW s
st x
u
t x
u
t
T
t x
u
1
1
1
( , ( ))
( , ( ))
( ) ln
,
,
,�
� �
� �( , 1 1
1
0
( ) ( , ( )))
( ))
~( , )
,
,
s s s
s s
d ds
t x
u
t x
u
t
���
�
� ���
� �
�
( ,
T
� ,
ò.å.
� � ��2 1
2
2
1
1
ln ( , )
( , ( ))
( , ( ))
(
,
,
�
�
� �
t x
u s s
s s
ds Q
t x
u
t x
u
t
T
s s ds T st x
u
t x
u
t
T
, ( )) ( , ( )), ,� �1 1� �� �
� ��2 2
1
1
1
u s s
s s
dW s
st x
u
t x
u
t
T
t( , ( ))
( , ( ))
( ) ln
,,
,
,�
� �
� �( x
u
t x
u
t x
u
s s s
s s
d ds
1 1
1
0
( ) ( , , ( )))
, ( ))
~( ,
,
,
���
�
� � �
� �
�
(
)
t
T
� . (21)
Äðóãèìè ñëîâàìè, âåëè÷èíà, ñòîÿùàÿ ïîä çíàêîì ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ
â (18), — íå ñëó÷àéíàÿ; ñëåäîâàòåëüíî, ìèíèìóì â (15) äîñòèãàåòñÿ ïðè óïðàâ-
ëåíèè (13).
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Çàìå÷àíèå 1. Èç ðàâåíñòâà (21), â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò
M
u s s
s s
ds M Q s
t x
u
t x
u
t
T
t x
u1
2
2
1
1
1
( , ( ))
( , ( ))
( , (
,
,
,
�
� �
�� � s ds M T s t xt x
u
t
T
)) ( , ( )) ln ( , ),� � �� � � �1 2 . (22)
Çàìå÷àíèå 2. Ôóíêöèÿ V s x t x( , ) ln ( , )� �2 � ÿâëÿåòñÿ öåíîé óïðàâëåíèÿ.
Äåéñòâèòåëüíî, çàïèøåì óðàâíåíèå Ð. Áåëëìàíà [9] äëÿ óðàâíåíèÿ (13)
ñ ôóíêöèîíàëîì êà÷åñòâà (7). Íåòðóäíî óâèäåòü, ÷òî
0
1
21
1
2
2
2
� � � �
�
�
�
min ( ( , ) ) ( , )
u U
V
s
a s x u
V
x
s x
V
x
�
�
�
�
�
�
�
� � � ��
��
�
��
� � � �
�
�
��V s x s x V s x s x
V
x
F d( , ( , , )) ( , ) ( , , ) ( )
0
��
� � �
�
�
��
u
Q s x1
2
2�
( , ) , (23)
V T x x( , ) ( )� � .
Îòñþäà èìååì
u
V
x
1
2
2
� �
� �
�
. (24)
Ïîäñòàâèâ (24) â (23), ïîëó÷èì
0
1
2
1
4
2
2
2
2� � � � !
"
#
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
V
s
a s x
V
x
s x
V
x
s x
V
x
( , ) ( , ) ( , )
$
%
& �
2
� � � ��
��
�
��
� � � �
�
�
��V s x s x V s x s x
V
x
F d( , ( , , )) ( , ) ( , , ) ( )
0
��
� � �Q s x V T x x( , ), ( , ) ( ).�
(25)
Ïîêàæåì, ÷òî V s x t x( , ) ln ( , )� �2 � ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì (25). Äåéñòâèòåëüíî,
� � � !
"
#
$
%
& �2
1
2
1 1
2
2
1
2
12
2
2
�
��
� �
��
�
�
�
��
�s
a s x
x
s x
x
( , ) ( , )
�
� �
�
�
�
��
�
�
x
s x
x2
2
2
1
4
2
1�
�
�
�
�
�
�
�
�
!
"
#
$
%
& �( , )
� � � � �
�
�
�
�
�
2
1
� � � � � �
�
��
�
ln ( , ( , , )) ln ( , ) ( , , )s x s x s x s x
x � � �
��
� F d Q s x� �( ) ( , )
0
0 ,
� �2ln ( , ) ( )T x x� ,
òàê êàê èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî (16).
Ñëåäñòâèå.  ñëó÷àå óðàâíåíèÿ (9) ïðè óñëîâèè | ( , )| | |u t x C x1 � íåðàâåí-
ñòâî (14) î÷åâèäíî ïðèìåò âèä
R t x u u M T T Q st x
u
t
T
( , , , ) ln exp ( , ( )) ( ,*
,
,*
1
02
1
2
1
2
� � � � �� � � t x
u s ds,
,*
( ))0 �
!
"
#
#
�
�
ln
( , ( )[ ( , )])
( , ( ))
*
*
*
*
,
,
,
,
� � � �
� �
u t x
u
u t x
u
s s
s s
0
0
0
1�
��
$
%
&
&
&
~ ,
� � �d ds
t
T
. (26)
Âìåñòî ñîîòíîøåíèÿ (15) èìååì
u t x x
t x
t x
x
u
u
1
2 2 1
( , )
( , )
( , )
*
*
� �
�
��
�
, (27)
à óðàâíåíèå (16) ïðèìåò âèä
��
�
��
�
� �
� �
�
u u u
s x
x u u r u x
x
* * *
( ( ) ) ( )* * *� � � � �1
1
2
2 2 2
2
2
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 6 125
�
�
�
��
��
� � �
�
� ��u
u
u
u
s x
s x
dF Q*
*
*
*ln
( , ( ( , )))
( , )
( )
1 1
2
0
( , )s x � 0, (28)
� �2ln ( , ) ( , )*�
u
T x T x� .
Òîãäà öåíà óïðàâëåíèÿ îïðåäåëèòñÿ âûðàæåíèåì
V t x t x
u
u
( , ) min ln ( , )
*
*� �
� �
2
0 1
� . (29)
Ðàññìîòðèì ïðèìåð. Ïóñòü
�( , ) ln , , ( , )s x x m Q s xm� � ��2 0 0 ,
ò.å. íà òðàåêòîðèÿõ (9) ìèíèìèçèðóåòñÿ ôóíêöèîíàë (8).
Áóäåì íàõîäèòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (28) â âèäå �
u u
ms x g s x* *( , ) ( )� � ,
g s
u* ( ) � 0 , òîãäà
' � � � � ��g s x u u r mg s x u m m g
u
m
u
m
* *( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( )* * *� �1
1
2
12 2
u
ms x* ( ) � �
� � � � ��
��
�
� � ��m dF g s x g T xm
u
mln ( ( , )) ( ) ( ) , ln ( ) ln*1 0 2
0
x m�2 .
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ g s
u* ( ) ïîëó÷àåì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå
' � � � � � ��
��
g s u u r m u m m
u* ( ) ( ( ) ) ( ) ( )* * *� �1
1
2
12 2
� �
�
�
�
�
� �
��
�
� � ��m dF g s g T
u u
ln ( ( , )) ( ) ( ) , ( )* *1 0 1
0
. (30)
Ðåøåíèå çàäà÷è (30) î÷åâèäíî èìååò âèä
g s x u u r mg s x u m m g
u
m
u
m
u* * *( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( )* * *� � � � ��� �1
1
2
1 2 ( )s x m� �
� � � � �
��
�
�
� � ��m dF g s x g T xm
u
mln ( ( , )) ( ) ( ) , ln ( ) ln*1 0 2
0
x m�2 . (31)
Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèåì çàäà÷è (28) áóäåò �
u
m
u
s x x g s* *( , ) ( )� � ,
à îïòèìàëüíûì óïðàâëåíèåì — ôóíêöèÿ
u t x x
g t x
mx g t mx
u
m
m
u1
2 2 1 21
( , )
( )
( )
*
*� � � �
�
� �� � .
Î÷åâèäíî òàêæå, ÷òî
R s x u x g s m x g s m xm
u u
( , , ) ln ( ) ln ln ( ) ln*
* *� � � � � ��2 2 2 2
� � � � � � �2 1
1
2
1 12 2( ( ) ) ( ) ( ) ln ( ( , ))* * *� �
� � �u u r m m m u m dF ( ) ( )�
0
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�T s ,
min ( , , ) ln
*
*
0 1
2
� �
� �
u
R s x u m x
126 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 6
�
� � � � � �
��
�2 2 1
1
2
1
0
2rm m dF T s r m
� � � � ��ln ( ( , )) ( )( ), ( ) , u
m m m m dF T s r
* ,
( ) ln ( ( , )) ( )( ),
�
� � � � �
��
�
0
2 1 2 12
0
� �
� � �� � � � �
�
�
�
�
�
� �
1
2
1 12( ) , .*m u
Çàìå÷àíèå 3. Åñëè m � 1, òî â ñèëó óñëîâèÿ 0 � �r � èìååì u* � 0 . Ïðè ýòîì
min ( , , ) ln ln ( ( , )) ( )
*
*
0 1
2 2 2 1
� �
� � � �
u
R s x u m x rm m dF
� � ��
0
��
� �( )T s .
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 íàñòîÿùåé ñòàòüå ïðè íàõîæäåíèè îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ñòîõàñòè÷åñêîé
ñèñòåìîé ñî ñêà÷êàìè àâòîðû îïèðàëèñü íà äâà ñóùåñòâåííûõ ìîìåíòà: 1) ïëîò-
íîñòü «îïîðíîé ìåðû» íå ñîäåðæèò â ñåáå ïóàññîíîâñêèõ èíòåãðàëîâ; 2) ïðåäëî-
æåííûé â ðàáîòå [6] ìåòîä íàõîæäåíèÿ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ñòîõàñòè÷åñ-
êîé ñèñòåìîé íå òðåáóåò óñòàíîâëåíèÿ àïðèîðíîé «ãëàäêîñòè» öåíû óïðàâëåíèÿ
ïî íà÷àëüíûì óñëîâèÿì.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ.
1. Á î í ä à ð å â Á . Â . , Á à å â À . Â . Óïðàâëåíèå íàêîïèòåëüíî-ïîòðåáèòåëüñêèì ôîíäîì ñ ôóíêöèÿìè
ñòðàõîâîé êîìïàíèè // Óêð. ìàò. âåñòíèê. — 2006. — 3, ¹ 2. — C. 166–186.
2. M e r t o n R . C . Optimal consumption and portfolio rules in a continuous time model // J. Economic
Theory. — 1971. — 3. — P. 373–413.
3. Ø è ð ÿ å â À . Í . Îñíîâû ñòîõàñòè÷åñêîé ôèíàíñîâîé ìàòåìàòèêè: ôàêòû, ìîäåëè. Ò. 1, 2. — Ì.:
ÔÀÇÈÑ, 1998. — 1017 ñ.
4. à è õ ì à í È . È . Ñ ê î ð î õ î ä À .  . Ñòîõàñòè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ è èõ
ïðèëîæåíèÿ. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1982. — 612 ñ.
5. Æ à ê î ä Æ . , Ø è ð ÿ å â À . Í . Ïðåäåëüíûå òåîðåìû äëÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. Ò. 1. — Ì.: Èçä.
ôèðìà «Ôèç.-ìàò. ëèò.», 1994. — 366 ñ.
6. Á à ê ë à í Â . Â . Îá îïòèìàëüíîì óïðàâëåíèè íåêîòîðûìè äèôôóçèîííûìè ïðîöåññàìè // Òåîðèÿ
ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. Âûï 4. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1976. — Ñ. 13–18.
7. Õ à ð ä è Ã . Ã . , Ë è ò ò ë â ó ä Ä . Å . , Ï î ë è à Ã . Íåðàâåíñòâà. — Ì.: ÈË, 1948. — 456 ñ.
8. à è õ ì à í È . È . , Ñ ê î ð î õ î ä À .  . Ñòîõàñòè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. — Êèåâ:
Íàóê. äóìêà, 1968. — 354 ñ.
9. Ô ë å ì è í ã Ó . , Ð è ø å ë Ð . Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå äåòåðìèíèðîâàííûìè è ñòîõàñòè÷åñêèìè
ñèñòåìàìè. — Ì.: Ìèð, 1978. — 316 ñ.
Ïîñòóïèëà 21.01.2009,
Ïîñëå äîðàáîòêè 11.01.2010
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 6 127
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-45653 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:32:15Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бондарев, Б.В. Баев, А.В. 2013-06-17T07:15:34Z 2013-06-17T07:15:34Z 2010 Об одном методе нахождения стабилизационного управления накопительным фондом с функциями страховой компании / Б.В. Бондарев, А.В. Баев // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 6. — С. 120–127. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45653 519.21 Знайдено стабілізаційні фінансові «уливання» у стабілізаційний фонд, що забезпечують мінімум функціоналу якості. Зокрема, розглянуто квадратичний функціонал, що описує відхилення капіталу фонду від деякої заданої траєкторії. We find financial flows that stabilize a stabilization fund and minimize the quality functional. In particular, we consider a quadratic functional that describes deviations of the capital stock from a certain trajectory. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Об одном методе нахождения стабилизационного управления накопительным фондом с функциями страховой компании Про один метод знаходження стабілізаційного управління накопичувальним фондом з функціями страхової компанії A method to find a stabilizing control for a stabilization fund with functions of an insurance company Article published earlier |
| spellingShingle | Об одном методе нахождения стабилизационного управления накопительным фондом с функциями страховой компании Бондарев, Б.В. Баев, А.В. Системный анализ |
| title | Об одном методе нахождения стабилизационного управления накопительным фондом с функциями страховой компании |
| title_alt | Про один метод знаходження стабілізаційного управління накопичувальним фондом з функціями страхової компанії A method to find a stabilizing control for a stabilization fund with functions of an insurance company |
| title_full | Об одном методе нахождения стабилизационного управления накопительным фондом с функциями страховой компании |
| title_fullStr | Об одном методе нахождения стабилизационного управления накопительным фондом с функциями страховой компании |
| title_full_unstemmed | Об одном методе нахождения стабилизационного управления накопительным фондом с функциями страховой компании |
| title_short | Об одном методе нахождения стабилизационного управления накопительным фондом с функциями страховой компании |
| title_sort | об одном методе нахождения стабилизационного управления накопительным фондом с функциями страховой компании |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45653 |
| work_keys_str_mv | AT bondarevbv obodnommetodenahoždeniâstabilizacionnogoupravleniânakopitelʹnymfondomsfunkciâmistrahovoikompanii AT baevav obodnommetodenahoždeniâstabilizacionnogoupravleniânakopitelʹnymfondomsfunkciâmistrahovoikompanii AT bondarevbv proodinmetodznahodžennâstabílízacíinogoupravlínnânakopičuvalʹnimfondomzfunkcíâmistrahovoíkompaníí AT baevav proodinmetodznahodžennâstabílízacíinogoupravlínnânakopičuvalʹnimfondomzfunkcíâmistrahovoíkompaníí AT bondarevbv amethodtofindastabilizingcontrolforastabilizationfundwithfunctionsofaninsurancecompany AT baevav amethodtofindastabilizingcontrolforastabilizationfundwithfunctionsofaninsurancecompany |