Устойчивость в импульсных системах с марковскими возмущениями в схеме усреднений. I. Принцип усреднения для импульсных марковских систем
Використано метод малого параметру Боголюбова–Митропольського для вивчення поведінки стохастичних диференціальних систем при дослідженні відповідних властивостей розв’язків усереднених систем. The Bogoliubov–Mitropolsky small parameter method is used to study the behavior of stochastic differential...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Datum: | 2010 |
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45654 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Устойчивость в импульсных системах с марковскими возмущениями в схеме усреднений. I. Принцип усреднения для импульсных марковских систем / Е.Ф. Царьков, В.К. Ясинский, И.В. Малык // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 6. — С. 128–139. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859712297543401472 |
|---|---|
| author | Царьков, Е.Ф. Ясинский, В.К. Малык, И.В. |
| author_facet | Царьков, Е.Ф. Ясинский, В.К. Малык, И.В. |
| citation_txt | Устойчивость в импульсных системах с марковскими возмущениями в схеме усреднений. I. Принцип усреднения для импульсных марковских систем / Е.Ф. Царьков, В.К. Ясинский, И.В. Малык // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 6. — С. 128–139. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Використано метод малого параметру Боголюбова–Митропольського для вивчення поведінки стохастичних диференціальних систем при дослідженні відповідних властивостей розв’язків усереднених систем.
The Bogoliubov–Mitropolsky small parameter method is used to study the behavior of stochastic differential systems in the analysis of the corresponding properties of solutions of averaged systems.
|
| first_indexed | 2025-12-01T05:55:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
128 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 6
ÓÄÊ 519.217; 519.718
Å.Ô. ÖÀÐÜÊÎÂ, Â.Ê. ßÑÈÍÑÊÈÉ, È.Â. ÌÀËÛÊ
ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ Â ÈÌÏÓËÜÑÍÛÕ ÑÈÑÒÅÌÀÕ
Ñ ÌÀÐÊÎÂÑÊÈÌÈ ÂÎÇÌÓÙÅÍÈßÌÈ Â ÑÕÅÌÅ ÓÑÐÅÄÍÅÍÈÉ.
I. ÏÐÈÍÖÈÏ ÓÑÐÅÄÍÅÍÈß
ÄËß ÈÌÏÓËÜÑÍÛÕ ÌÀÐÊÎÂÑÊÈÕ ÑÈÑÒÅÌ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñòîõàñòè÷åñêàÿ ñèñòåìà, èìïóëüñíàÿ ìàðêîâñêàÿ ñèñòåìà,
ìàëûé ïàðàìåòð, íîðìèðîâàííîå ðåøåíèå.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Îäíèì èç íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûõ ìåòîäîâ èññëåäîâàíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì
ÿâëÿåòñÿ ìåòîä óñðåäíåíèÿ ïî ÿâíî âõîäÿùåìó âðåìåíè [4]. Ýòîò ìåòîä óñïåøíî
ðàáîòàåò è â òåîðèè ñëó÷àéíûõ âîçìóùåíèé [1, 2, 5, 6, 10–13] (áîëåå äåòàëüíóþ
áèáëèîãðàôèþ ìîæíî íàéòè â ñïèñêå ïåðâîèñòî÷íèêîâ ïðèâåäåííûõ ìîíîãðàôèé).
Ñîãëàñíî ýòîìó ìåòîäó óäàåòñÿ íå òîëüêî ïîñòðîèòü óñðåäíåííóþ ñèñòåìó,
ïðèáëèæåííî îïèñûâàþùóþ äèíàìèêó èñõîäíîé ìîäåëè, íî è âûïèñûâàòü ñòîõà-
ñòè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ (ÑÄÓ) äëÿ íîðìèðîâàííûõ óêëîíåíèé ðå-
øåíèÿ èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ îò ñîîòâåòñòâóþùèõ ðåøåíèé óñðåäíåííîãî äâèæåíèÿ.
 ñëó÷àå èìïóëüñíûõ ñèñòåì ïðèíöèï óñðåäíåíèÿ Áîãîëþáîâà–Ìèòðîïîëü-
ñêîãî îáîñíîâàí â ìîíîãðàôèè [5], à ïðè íàëè÷èè ñëó÷àéíûõ âîçìóùåíèé — â ðà-
áîòå [6]. Äëÿ ÿñíîñòè èçëîæåíèÿ âíà÷àëå ïðèâåäåì èçâåñòíûå ðåçóëüòàòû [5, 6, 14].
 îòëè÷èå îò áîëüøèíñòâà ðàáîò ïî ìåòîäó óñðåäíåíèÿ èìïóëüñíûõ ñèñòåì çäåñü
ðàññìàòðèâàåì èìïóëüñíûå ñèñòåìû ñ ìàðêîâñêèìè ïåðåêëþ÷åíèÿìè.
 íàñòîÿùåé ñòàòüå äîêàçàíà âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ ïðåäåëüíûõ òåîðåì
äëÿ èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè, êàê ýòî ïðîâåäåíî â ñëó÷àå ãëàäêèõ ñòîõàñòè÷åñ-
êèõ ñèñòåì [10–13]. Âî âòîðîé è òðåòüåé ÷àñòÿõ ýòîé ðàáîòû óäàëîñü ïîñòðîèòü
óñðåäíåííóþ ñèñòåìó è äèôôóçèîííóþ àïïðîêñèìàöèþ, àíàëèç êîòîðûõ ñ ïî-
ìîùüþ ñîâðåìåííûõ êîìïüþòåðíûõ òåõíîëîãèé ïîçâîëÿåò îïòèìèçèðîâàòü
âû÷èñëåíèÿ â äåñÿòêè ìèëëèîíîâ ðàç.
1. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Ïóñòü íà âåðîÿòíîñòíîì áàçèñå (�, , ,� F P), F t tt� � �{ }� , 0 0 , [15] çàäàíî äèô-
ôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (ÄÓ) � ñî ñëó÷àéíîé ïðàâîé ÷àñòüþ âèäà
dx
dt
f t x� � �( , , ) . (1)
Çäåñü èìååò ìåñòî îòîáðàæåíèå f : � � �� � � �n m� , � � 0 — ìàëûé ïàðàìåòð.
Îòíîñèòåëüíî ïðàâîé ÷àñòè êðîìå íåïðåðûâíîñòè ïî t è x äëÿ îòîáðàæåíèÿ
f t x ( , , )� îáû÷íî äåëàþòñÿ ïðåäïîëîæåíèÿ:
1)
x m
� è
�t � ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû f t x{ }, , � — �s
t -èçìåðèìû, ãäå
{ }�s
t t s, � � 0 — ñåìüÿ �-àëãåáð, êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ � �
s
t
s
t
2
2
1
1� ïðè
[ , ] [ , ]s t s t2 2 1 1� ;
2) ñóùåñòâóåò êîíñòàíòà L , êîãäà
�t � è x y m, � âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà
E f t x L{| |}( , , )� � , E f t x f t y L x y{ |}| ( , , ) ( , , ) | |� �
�
,
ãäå E{ }� — îïåðàöèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ;
© Å.Ô. Öàðüêîâ, Â.Ê. ßñèíñêèé, È.Â. Ìàëûê, 2010
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 6 129
3) åñëè êðîìå ïðåäïîëîæåíèé 1–2 ðàâíîìåðíî ïî t �� è x m � ñóùåñòâóåò
ïðåäåë
lim ( , , ) ( )
t
t
t T
E
T
f s x ds f x
��
�
�
�
�
�
��
�
�
�
��
�
1
0� ,
òî ðåøåíèå ÄÓ� (1) â ñðåäíåì íà èíòåðâàëå âðåìåíè o
1
�
�
�
�
�
�
� îêàçûâàåòñÿ áëèçêèì
ê ñîîòâåòñòâóþùåìó ðåøåíèþ óñðåäíåííîãî äâèæåíèÿ [4]
dy
dt
f y� ( ) .
Îáîáùåíèþ ýòîãî óòâåðæäåíèÿ íà ñëó÷àé èìïóëüñíûõ âîçìóùåíèé ÄÓ� (1)
âèäà
� x g x t
t k k
k
� � �( ( ), ) (2)
ïîñâÿùåíà ðàáîòà [6], ðåçóëüòàòû êîòîðîé êîðîòêî èçëîæèì äëÿ ÿñíîñòè äàëü-
íåéøèõ èññëåäîâàíèé.
Çäåñü, êàê è ðàíåå (óñëîâèÿ 1–3), ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî:
4) �
s
t
k
k -èçìåðèìîñòü g xk ( , )�
x m
� , k � ;
5) âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ
E g x g y L x yk k{ |}| ( , ) ( , ) | |� �
�
k �,
x m
� ,
y m
� ;
E g x Lk{ |}| ( , )� �
k �,
x m
� ;
6) ñóùåñòâóþò ïðåäåëû
lim ( , ) ( )
T
k
t t t T
E
T
g x g x
k
�� � � �
!
!
!!
!
!
!!
�
�
�
��
�
�
�
��
�
1
0� ,
lim ( , )
T
k
t t t T
E
T
g x r
k
�� � � �
!
!
!!
!
!
!!
�
�
�
��
�
�
�
��
� � �
1
�
ðàâíîìåðíî ïî t �� è x m � .
Îáîçíà÷èì x t s x( , , )0 ðåøåíèe (1), (2) ïî íà÷àëüíûì äàííûì x s x( ) � 0 è
x t s x( , , )0 — ðåøåíèå óðàâíåíèÿ óñðåäíåííîãî äâèæåíèÿ
dx
dt
f x g x� ��[ ( ) ( )] (3)
ïî òåì æå íà÷àëüíûì óñëîâèÿì x s x( ) � 0 .
Òåîðåìà 1. Ïóñòü âûïîëíåíû ïðåäïîëîæåíèÿ 1–4. Òîãäà äëÿ ëþáûõ Q � 0 è
� � 0 ìîæíî óêàçàòü òàêîå �0 0� , ÷òî äëÿ âñåõ 0 0� �� � âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
sup
0
0 00 0
� �
�
t Q
x t x x t x
/
| ( , , ) ( , , )|
�
� . (4)
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðåøåíèå x t x( , )0 ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî, èáî ïðàâàÿ
÷àñòü (3) óäîâëåòâîðÿåò ãëîáàëüíîìó óñëîâèþ Ëèïøèöà. Ïðè ýòîì ñóùåñòâóåò òà-
êàÿ ìîíîòîííî óáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ �( )t �1, ÷òî lim ( )
t
t
��
�� 0 è ðàâíîìåðíî ïî
t � 0 è x R m èìåþò ìåñòî íåðàâåíñòâà:
E f s x f x ds
T
T
t
t T
[ ( , , ) ( )]
( )
�
�
�
�
!
!
!!
!
!
!!
�
�
�
��
�
�
�
��
� "
2
;
E g x g x T
T
k
t t t T
k
k
( , ) ( )
[ ( )]
�
�
� � �
"
!
!
!!
!
!
!!
�
�
�
��
�
�
�
��
�
2
2
4
"T (5)
ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì T � 0 .
Ïóñòü â èíòåðâàëå ( , )0 T íàõîäèòñÿ d1 òî÷åê { }t k .Òîãäà ïðè âñåõ 0 � � �� t T
ðåøåíèÿ x t c( , , )� ÄÓ� (1) ïî íà÷àëüíûì äàííûì x c c( , , )� � � ìîæíî çàïèñàòü
t T[ , ]0
x t c c f s c ds R t T
l
( , , ) ( , , ) ( , , , )� � � �
�
� � �� ( )mod P , (6)
ïðè÷åì ñðåäíåå çíà÷åíèå R t T( , , , )� � óäîâëåòâîðÿåò îöåíêå
E R t T E f s x s c f s c ds
t
{| |}( , , , ) |[ ( , ( , , ), ) ( , , )] |� � � � � �
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
��
� �2
1
2Lc T (7)
ïðè íåêîòîðîì c1 0� .
Ïóñòü òàêæå
x t c c f s c ds
t
1 ( , , ) ( , , )� �
�
� � � .
Òîãäà èç (7) ñëåäóåò, ÷òî íà êîíå÷íîì èíòåðâàëå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1) äàííûå
x t c( , , )� è x t c1 ( , , )� áëèçêè ñ òî÷íîñòüþ äî âåëè÷èíû ïîðÿäêà ìàëîñòè �2 .
Òàê, ê ìîìåíòó ïåðâîãî ñêà÷êà t1
t t( , )0 1
x t x x t x o( , , ) ( , , ) ( )0 00 1 0
2� � � .
Äàëåå,
x t x x t x g x t x o( , , ) ( , , ) ( ( , , ), ) ( )1 0 1 1 0 1 1 1 0
20 0 0 0� � � � �� � �
� � � ��x f s x ds g x o
t
0 0 1 0
2� � � � �
�
( , , ) ( , ) ( ) .
Íà ñëåäóþùåì èíòåðâàëå âðåìåíè
t t t( , )1 2
x t x x f s x ds g x f s x d
t
( , , ) ( , , ) ( , ) ( , , )0 0 0 0 1 0 0� � � ��� � � � �
�
s o
t
t
�� � �( )2
� � �x t x g x o1 0 1 0
20( , , ) ( , ) ( )� � � .
Îòñþäà
x t x x t x g x g x( , , ) ( , , ) [ ( , ) ( , )] (2 0 1 2 0 1 0 2 0
20 0 0 0� � � � �� � � � ) .
Èñõîäÿ èç ýòîãî, ìîæíî ïîñòðîèòü ïðèáëèæåíèå ê ðåøåíèþ íà èíòåðâàëå [ , ]0 T
x t x x t x g x
j
k
( , , ) ( , , ) ( , ) ( )0 0 00 1 0 1 0
1
2� � �
�
� � � (8)
��t t t k dk k( , ), ,1 11 , ïðè÷åì t Td1 1� � .
Èñïîëüçóÿ ýòî ïðèáëèæåíèå, ìîæíî çàïèñàòü ðàâåíñòâî
x T x x T x g x o x f
t T
( , , ) ( , , ) ( , ) ( ) [0 00 1 0 1 0
0
2
0
1
� � � � �
� �
� � � � ( ) ( ) ]x T g x T0 0� �
�
�
�
� �
� � � �[ ( , ) ( )] [ ( , ) ( ) ],f t x f x dt g x g x T
T
t T
0 0
0
1 0
0
0
1
� o( )�2 . (9)
130 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 6
Îáîçíà÷èì A x x T f x g x0 0 0 0 0# � �� [ ( ) ( )] , òîãäà èç (8), (9) è óñëîâèé 1–6
ìîæíî ïîëó÷èòü íåðàâåíñòâî
E x T x A x T T M{| |}( , , ) ( )0 0 0 0
2
1
� ��� � (10)
ïðè íåêîòîðîì �( )T è M1 0� , êîòîðûå çàâèñÿò îò T è d1 .
Åñëè äàëåå ïîëîæèòü Ax x T x0 00# ( , , ) , òî èç ïîëó÷åííûõ âûøå íåðàâåíñòâ
ñëåäóåò
| | ( ) ( ) ( ) ( )Ax A x f x g x f x g x dt LCT0 0 0 0 0
0
2 2
� �
���
�
$
,
ãäå L C, — êîíñòàíòû. Îòñþäà ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
E x T x Ax T T M LCT| ( , , ) | ( ) ( )0 0 0
2
1
2
� � ��� � . (11)
Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîëó÷èòü íà èíòåðâàëå ( , )T T2 ñîîòíîøåíèå
x t x x t T x t T x T g x T ol
l
k
( , , ) ( , , ( , , ( ))) ( ( ), ) (0 0
0
2� � �
�
� � � )
�t t tk k( , )1 , k d d� �1 22, ... , , t Td2 1 2� � ,
ò.å.
x T x x T x f t x T x dt g x
T
T
( , , ) ( , , ) ( , ( , , ), ) (2 0 0 00 0 0
2
1� � ��� � � ( ), ) ( )T
T t T
� �
� �
� �
1 2
20
� � � �
x T x f x T g x T T f t x T f( ), , [ ( ( )) ( ( ))] [ ( , ( , , ), )0 00 � � � � ( ( , , ))]x T x dt
T
T
0 0
2
� �
�
�
� �
� � �[ ( ( , , ), ) ( ( )) ] ( )g x T x g x T T
T t T
1 0
2
20 0
1
. (12)
Ñëåäîâàòåëüíî, èìååì íåðàâåíñòâî
E x T x A x T x T T M T d{ |}| ( , , ) ( , , ) ( ) ( , )2 0 00 0 0
2
2
� ��� � . (13)
Òîãäà èç (11)–(13) ëåãêî çàïèñàòü
E x T x x T x| ( , , ) ( , , )|2 0 2 00 0
�
�
�
�E x T x A x E x T x A x T x| ( , , ) | | ( , , ) ( , , )|2 0 2 0 00
2
0 0 0 0
�
�
�E A x T x A Ax E A Ax A x| ( , , ) ( )| | ( ) |0 0 0 0 0 0
2
00
� � � �
� ��� � � �( ) ( , ) ( ) | ( , , ) |T M T d LT E x T x Ax LCT2
2 0 0
2 21 0
� � � " �� � � �[ ( )] [ ( ) ]1 1 1LT T T M .
Êàê âèäèì, êîíñòàíòà M1 çàâèñèò îò T d d, ,1 2 . Çàòåì àíàëîãè÷íî ñòðîèì ïðèáëè-
æåíèå ê ðåøåíèþ íà èíòåðâàëå [ , ]2 3T T è ò.ä.
Ñëåäîâàòåëüíî, íà k-ì øàãå
t k T kT(( ) , )1 , kT
Q
�
�
ìîæíî ïîëó÷èòü îöåíêó
(Q — íåêîòîðîå ôèêñèðîâàííîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 6 131
132 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 6
E x kT x x kT x E x kT x A x Lk| ( , , ) ( , , )| | ( , , ) | (0 0 0 10 0 0 0
�
� �� � T T T Ml
l
k
) [ ( ) ]
�
�
0
1
� � ,
ãäå M çàâèñèò îò T è max
1� �
�
j k
jd d, k � .
Òàêèì îáðàçîì, ñäåëàâ ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ, ìîæíî çàïèñàòü öåïî÷-
êó íåðàâåíñòâ
E x kT x x kT x LT T T Cl
l
k
| ( , , ) ( , , )| ( ) [ ( )0 0 10 0
0
1
� � �
�
� � � � 0 ( )]T �
�
�
� � � ��
�
�
� � �
�
��( )
[ ( ) ] ( )
( ) (/1 1
10
0LT
LT
T T C CT LT
T
k
Ck
Q T T
kT
)%
&'
(
)*
�
� � �%
&'
(
)*
( )e o
T
k
C T
kT
LQ ( )
( ) ( )
�
�
� 0 . (14)
Çàôèêñèðóåì T è �0 òàê, ÷òîáû ïðè � � ( , )0 0 âûïîëíÿëîñü óñëîâèå
e
T
k
LQ � �( )
�
4
; � � �
� �
( ( ))
( )
( )
( )
e
C T
T
T
k
LQ � � �0 0
4
0 .
Òîãäà èç íåðàâåíñòâà (14) ëåãêî óâèäåòü, ÷òî
E x kT x x kT x| ( , , ) ( , , )|0 0
4
0 0
�
�
, k
Q
T
� %
&'
(
)*
1 2, , ... ,
�
,
ïðè t k T kT
(( ) , )1 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
| ( , , ) (( ) , , )| | ( ) ( ) |
( )
x t x x k T x f x g x dt
k T
k
0 1 00 0
1
� � �
�� �CT . (15)
Íà ýòîì æå èíòåðâàëå èìååì
E x t x x k T x f t x t x dt| ( , , ) (( ) , , )| | ( , ( , , ), )|
(
0 1 0 00 0 0
� � �
k T
kT
� �
1)
� � �
� �
| ( ( , , ), )| ( )
( )
g x t x C T d
k T t kT
1 0
1
0
1
� � . (16)
Òàêèì îáðàçîì, êàê òîëüêî âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ �
�
CT �
4
, �
�
( )T d C� �
4
, èç
(14)–(16) ñëåäóåò îöåíêà (4). Ýòèì çàâåðøàåòñÿ äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1. �
2. ÀÑÈÌÏÒÎÒÈÊÀ ÍÎÐÌÈÐÎÂÀÍÍÛÕ ÓÊËÎÍÅÍÈÉ
ÎÒ ÓÑÐÅÄÍÅÍÍÎÃÎ ÐÅØÅÍÈß
Ïóñòü x t x t s x( ) ( , , )# 0 — ðåøåíèå (1), (2), à x t x t s x( ) ( , , )# 0 — ðåøåíèå óðàâíå-
íèÿ (3) ïî òåì æå íà÷àëüíûì äàííûì x s x s x( ) ( )� � 0 .
Îïðåäåëåíèå 1. Íîðìèðîâàííûì óêëîíåíèåì ðåøåíèÿ x t( ) çàäà÷è (1), (2) îò
ðåøåíèÿ x t( ) óðàâíåíèÿ óñðåäíåííîãî äâèæåíèÿ (3) íàçîâåì âûðàæåíèå [4]
�
�
� ( )
( ) ( )
t
x t x t
#
.
Íàðÿäó ñ çàäà÷åé (1), (2) ðàññìîòðèì «÷àñòè÷íî óñðåäíåííóþ» ñèñòåìó
óðàâíåíèé
dy
dt
f t y g y� �� �[ ( , , ) ( )] . (17)
Ëåììà 1. Åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 1, òî ïðè
�Q 0 è âñåõ t
Q
%
&'
(
)*
0,
�
èìååì ïðåäåëüíîå ñîîòíîøåíèå
lim
| ( ) ( )|
� ���
�
E x t y t
0 , (18)
ãäå x t x t x( ) ( , , )� 0 0 — ðåøåíèå (1), à y t y t x( ) ( , , )� 0 0 — ðåøåíèå (17).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàçîáüåì îòðåçîê 0,
Q
�
%
&'
(
)*
íà îòðåçêè äëèíû T � 0 . Åñëè
t kT k T �[ , ( ) ]1 , òî
1 1
1
� �
� �E x t x kT E f t x t dt
kT
k T
| ( ) ( )| ( , ( ), )
( )
� �
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
��
� � � �
� � �
� �
�
�
�
�
�| ( ( ), )| ( )
( )
g x t
LT Ld
T d
kT t k T
1 1
11
L , (19)
ãäå d d
l
l#
max
�
.
Ïðè òåõ æå çíà÷åíèÿõ àðãóìåíòà t èìååì îöåíêó
1 1
0
� �
� �E y t y kT E f t y t g y t dt
kT
| ( ) ( )| | ( , ( ), )| | ( ( ))|
� �( )
( )k T
LT
�
� �
1
�
�
. (20)
Àíàëîãè÷íî ðàíåå ïîëó÷åííûì îöåíêàì èìååì
x T x f t x dt g x R T d
T
tl
( ) ( , , ) ( , ) ( , , , )� � � ��
�
0 0
0
1 0 1 1
0
� � � � � �
�
T
,
y T x f t x g x dt R T d
T
( ) [ ( , , ) ( )] ( , , , )� � � ��0 0 0
0
1 1� � � � .
Òîãäà
E R T d M T d| ( , , , )| ( , )1
2
1� � �� , E R T d M T d| ( , , , )| ( , )1
2
1� � �� .
Ñëåäîâàòåëüíî, ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
E x T y T E g x g x T M T d
t T
| ( ) ( )| | ( , ) ( ) | ( ,
�
�
� �
� � �{ }1 0 0
0
2
2
1
) ,
à çíà÷èò,
E x T y T
T
M T d| ( ) ( )|
( )
( , )
� ��
�
�
2
2
2 .
Íà âòîðîì èíòåðâàëå áóäåì èìåòü
E x T y T| ( ) ( )|2 2
�
� � � ��E x T f t x T dt g x T R T d
T
T
( ) ( , ( ), ) ( ( ), ) ( , , , )� � � � � �
2
1 2 2
�
�
�
�� � �
y T
T t T
( )
1 2
� �
�
�
�
��
��� � � �[ ( , ( ), ) ( ( ))] ( , , , )f t x T g y T dt R T d
T
T
2 2
2
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 6 133
�
�
�E x T y T LTE x T y T| ( ) ( )| | ( ) ( )|� { }
�
� �
� �
� � �E g x T g y T T M T d
T t T
1
2
2
2
1
( ( ), ) ( ( )) ( , ) ( ) | ( ) ( )|1�
��LT E x T y T
�
��
�
�
( )
| ( ) ( )| ( , )
T
TLE x T y T M T d
2
2
2 .
Ñ èñïîëüçîâàíèåì ýòèõ îöåíîê íà k-ì øàãå ïîëó÷èì
E x kT y kT LT
T
TL E x k T y| ( ) ( )|
( )
| (( ) ) ((
� � ��
�
�
�
�
�
1
2
1� �
�
k T M T dk
�1 2) )| ( , )� ,
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî
k �
lim | ( ) ( )|
� ��
�
0
1
0E x kt y kT . (21)
Äàëåå, ïðè t kT k T �[ , ( ) ]1 îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì îöåíêó
1 1 1 1
� � � �
E x t y t E x t y kT E y t y kT E| ( ) ( )| | ( ) ( )| | ( ) ( )|
�
�
� | ( ) ( )|x kT y kT
,
ïîýòîìó óòâåðæäåíèå ëåììû 1 íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò èç îöåíîê (19)–(21).
Äëÿ «÷àñòè÷íîãî» óñðåäíåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé (17) ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü
òåîðåìó îá àñèìïòîòèêå íîðìèðîâàííûõ óêëîíåíèé èç ðàáîòû [7].
Òåîðåìà 2. Ïóñòü äëÿ ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (17)
F t y g y f t y( , , ) ( ) ( , , )� �# � (22)
âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
1) ðàâíîìåðíàÿ îãðàíè÷åííîñòü ïðè íåêîòîðîì � � 0 :
E F t y L| ( , , )|� �6 3� �
�t � è x m � ;
2) äèôôåðåíöèðóåìîñòü è ðàâíîìåðíàÿ îãðàíè÷åííîñòü ïðîèçâîäíûõ ïî x :
| ( , , )|DF t x L� � , | ( , , )|D F t x L2 � �
�t � ,
x m
� , � � ;
3) ðàâíîìåðíîå ïî t0 �� , x m � ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëîâ
lim ( , , ) ( )
T
t
t T
E F t x dt F x
� � �
�
� #{ }�
0
1
,
lim [ ( , , ) ( , , ) ][ ( , , )
T T
E F t x E F t x E F s x E F
���
1
{ } { } { } {� � � ( , , ) ] ( ) ;s x dtds A xT
t
t T
t
t T
� }
0
0
0
0 ��
�� #
4) ñåìåéñòâî �-àëãåáð óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ðàâíîìåðíîãî ñèëüíîãî ïåðåìå-
øèâàíèÿ
sup sup
t A
B
t
t
P AB P A P B P B
� �
�
�
�
�
�
�
�
#
0
1
�
� �
�| ( ) ( ) ( )| ( ) (� ) ,
ïðè÷åì
� � � �� �[ ( )] /( )�
�
� � �2
0
d ;
5) ïðè íåêîòîðîì �0 0�
� �[ , ]0 0 âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ
E F
s
x
s
F x
s
� �
�
�
, ,�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
��
%
&
'
(
)
* � "�
0
�
�ds C ,
134 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 6
E DF
s
x
s
DF x
s
� �
�
�
, ,�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
��
%
&
'
(
)
* � "�
0
�
�ds C,
ãäå x t( ) — ðåøåíèå (3).
Òîãäà ñëó÷àéíûé ïðîöåññ
Z t Z t
y
t
x
t
� � �
�
�
�
�
( ) ( , )
,
# #
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
ñëàáî ñõîäèòñÿ íà [ , ]0 Q ïðè �� 0 ê ðåøåíèþ ÑÄÓ
dZ H t Z dt G t dW t0 0� �( ) ( ) ( ) , Z0 0 0( ) � ,
ãäå
H t Df x
t
Dg x
t
( ) ( ) ( )# �
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
��
%
&
'
(
)
*
� �
,
G t A x
t
( ) [ ( ( ))] /�
�
1 2 ,
W t W t( ) ( , )# � — m -ìåðíûé ïðîöåññ áðîóíîâñêîãî äâèæåíèÿ [15, 16].
Çàìå÷àíèå 1.  ñèëó ëåììû 1 ìîæíî èñïîëüçîàòü òåîðåìó 2 äëÿ àíàëèçà
àñèìïòîòèêè íîðìèðîâàííûõ îòêëîíåíèé �� ( )t ðåøåíèÿ (1), (2) îò ðåøåíèÿ óñðåä-
íåííîãî ðåøåíèÿ. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî ïðåäïîëîæèòü ðàâíîìåðíóþ îãðàíè÷åí-
íîñòü E g xj
p| ( , )|� ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì p, à òàêæå ðàâíîìåðíîå ïî � � 0 è
T Q [ , ]0 óñëîâèå ìàëîñòè
g x
s
ds Eg x
t
j
j
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
��
�
�
��
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
, �
� �
� �
�
�
�
�
j
C
�
� , (23)
êîòîðîå àíàëîãè÷íî óñëîâèþ (5). Óòî÷íåíèå äîêàçàòåëüñòâà ìîæíî íàéòè â ðàáîòå [6].
Çàìå÷àíèå 2. Ïðèâåäåì íåêîòîðûå ðàññóæäåíèÿ îòíîñèòåëüíî âîçìîæíîñòè ïðè-
ìåíåíèÿ îïèñàííûõ âûøå ðåçóëüòàòîâ. Ïðåäïîëîæèì âûïîëíåíèå òàêèõ óñëîâèé.
1. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå
� ( , ) ( , , )f t x E f t x# { }�
è êîððåëÿöèîííàÿ ìàòðèöà
K t s x E f t x f t x f s x f s x T( , , ) [ ( , , ) � ( , )][ ( , , ) � ( , )]#
{ }� �
ïðàâîé ÷àñòè (1) èìåþò ïåðèîä
� 0 , ò.å.
� ( , ) � ( , )f t x f t x� �
,
K t s x K t s x( , , ) ( , , )� � �
.
2. Ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî p � , ÷òî t tj p j� � �
, E g x E g xj p j{ } { }� �( , ) ( , )� �
ïðè âñåõ j � .
Òîãäà âû÷èñëÿþòñÿ ñðåäíèå
f x f t x dt( ) � ( , )# �
1
0
,
� ( ) ( , )g x E g xj
j
p
#
�
1
1
�{ }.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 6 135
3. Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî �f è åå ïðîèçâîäíûå ïî x äî âòîðîãî ïîðÿäêà óäîâ-
ëåòâîðÿþò óñëîâèþ Ãåëüäåðà ïî t âäîëü ðåøåíèé x t( ) ÄÓ� (3), à òàêæå óñëîâèÿì
| ( ( , )) ( ( , )) | | |E g x t E g x t c t tj j j i j i{ } { }� � �
�
1 ,
| ( ( , )) ( ( , )) | | |E Dg x t E Dg x t c t tj j j i j i{ } { }� � �
�
1
i j, � , òî íåñëîæíî óáåäèòüñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè óñëîâèÿ 5 òåîðåìû 2 è óñëî-
âèÿ (23).
Ïðèìåíèì ïðèâåäåííûå òåîðåòè÷åñêèå âûêëàäêè äëÿ àíàëèçà êîëåáàíèé â ðå-
àëüíûõ ñèñòåìàõ [4].
3. ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈÉ ÏÐÈ ÈÌÏÓËÜÑÍÛÕ ÑËÓ×ÀÉÍÛÕ ÂÎÇÌÓÙÅÍÈßÕ
Ïðè àíàëèçå ìíîãî÷èñëåííûõ êîëåáàíèé â ðåàëüíûõ ñèñòåìàõ âî ìíîãèõ ñëó÷à-
ÿõ îïåðèðóþò óðàâíåíèåì âèäà
�� [ ( , , � ) ( , � )] ( , )x x f t x x x x t� � �� � � � � �2 , (24)
ãäå f t x x( , , � )� — äîñòàòî÷íî ãëàäêàÿ 2�-ïåðèîäè÷åñêàÿ ïî ïåðâîìó àðãóìåíòó
ôóíêöèÿ; � �( , )t — ñòàöèîíàðíûé â øèðîêîì ñìûñëå ñëó÷àéíûé ïðîöåññ [15] ñ
íóëåâûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì è êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèåé K ( )� ;
�( , � )x x — äîñòàòî÷íî ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ, õàðàêòåðèçèðóþùàÿ èíòåíñèâíîñòü øóìà
â òî÷êå ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà ( , � )x x . Ïóñòü â ìîìåíòû âðåìåíè t i ñèñòåìà (24)
ïîäâåðæåíà èìïóëüñíûì âîçìóùåíèÿì
+� � [ ( , � ) ( , � ) ( )]x I x x T x x
t i i
i
� �� � � , (25)
ãäå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû � �i ( ) èìåþò íóëåâîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå; ôóíê-
öèè I x xi ( , � ) è T x x( , � ) èìåþò íåîáõîäèìóþ ãëàäêîñòü, ïðè÷åì I x x I x xi p� �( , � ) ( , � ) ,
t ti p i� � �
2�
�
ïðè íåêîòîðîì p � è
i � .
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ðàññìîòðèì ëèøü íåðåçîíàíñíûé ñëó÷àé, êîãäà � «ïëî-
õî» àïïðîêñèìèðóåòñÿ ÷èñëàìè
r
s
� ïðè r s, � è òî÷êè
2�
�
k
ïðè k � íå ÿâëÿþòñÿ
òî÷êàìè äèñêðåòíîãî ñïåêòðà ïðîöåññà � �( , )t .
 ìíîãî÷èñëåííûõ ïðèëîæåíèÿõ, êàê ïðàâèëî, ñèñòåìó (24), (25) çàïèñûâàþò â
âèäå îäíîãî óðàâíåíèÿ, èñïîëüçóÿ äåëüòà–ôóíêöèþ Äèðàêà �( )t , ò.å.
�� [ ( , , � ) ( , � ) ( , )]x x f t x x x x t� � � �� � � � � �2
� �
� �
� � � �{ }[ ( , � ) ( , � ) ( )] ( )I x x T x x t ti i i
t ti0
. (26)
Ñäåëàâ çàìåíó ïåðåìåííûõ
x a� sin � ; � cosx a� � � ; � �
� �t
â óðàâíåíèè (26), óæå äëÿ íîâûõ ïåðåìåííûõ a è � ëåãêî çàïèñàòü ñëåäóþùóþ
ñèñòåìó óðàâíåíèé:
da
dt
f t a a a a t� � �
�
�
� � � � � � � � �[ ( , sin , cos ) ( sin , cos ) ( )
� �
{ }[ ( sin , cos ) ( sin , cos ) ( )] ( )I a a T a a t ti i i� � � � � � � � �
0� �
"
t ti
cos ]� ;
136 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 6
d
dt a
f t a a a a t
�
�
�
� � � � � � � � � ��
� �[ ( , sin , cos ) ( sin , cos ) ( )
� �
{ }[ ( sin , cos ) ( sin , cos ) ( )] ( )I a a T a a t ti i� � � � � � � � �1
0� �
"
t ti
sin ]� .
Ýòó ñèñòåìó óðàâíåíèé ìîæíî òàêæå ïåðåïèñàòü â èçâåñòíîé ôîðìå áåç èñïîëü-
çîâàíèÿ äåëüòà–ôóíêöèè:
da
dt
f t a a a a t� � "
�
�
� � � � � � � � �[ ( , sin , cos ) ( sin , cos ) ( )] cos � ;
d
dt a
f t a a a a t
�
�
�
�
� � � � � � � � ��
�[ ( , sin , cos ) ( sin , cos ) ( )] " sin � ;
+�a I a a T a a
t i i
i
� �
�
�
� � � � � � �[ ( sin , cos ) ( sin , cos )1 1 1 1 1 1 1 1 ( )] cos� �" i ;
+��
�
�
� � � � � �
t i
i a
I a a T a a�
�[ ( sin , cos ) ( sin , cos )1 1 1 1 1 1 1 1 � � �i i( )] sin" , (27)
ãäå a a t1 1# ( ) , � �1 1# ( )t .
Îòìåòèì, ÷òî íàèáîëåå ÷àñòî â ïðèëîæåíèÿõ ôóíêöèè f t x x( , , � )� , �( , � )x x ,
I x xi ( , � ) , T x x( , � ) àïïðîêñèìèðóþòñÿ ìíîãî÷ëåíàìè, êîòîðûå çàâèñÿò òîëüêî îò x è �x.
Ïîýòîìó ôóíêöèè
f t a f t a a a a( ) ( , , , ) [ ( , sin , cos ) ( sin , cos )1 � � � � � � � � � � �� � � �( )] cost " ;
f t a f t a a a a( ) ( , , , ) [ ( , sin , cos ) ( sin , cos )2 � � � � � � � � � � �� � � �( )] sint " ;
I x x I a a T a a
i i i
( ) ( , � ) [ ( sin , cos ) ( sin , cos ) ] c1 � � "� � � � � � � os � ;
I x x I a a T a a
i i i
( ) ( , � ) [ ( sin , cos ) ( sin , cos ) ] s2 � � "� � � � � � � in �
ìîæíî ñ÷èòàòü òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ìíîãî÷ëåíàìè. Òîãäà
,
,
� �
�
�
� � � � �I a A a k B a
i
j
ik
j
k
N
ik
j( ) ( ) ( )( , , ) ( ( , ) sin ( , )
1
cos )k� ; j �1 2, ; i p�1, .
Îáîçíà÷èì
Z a t A a k B aj
k
N
ik
j
ik
j( , , , ) [ ( , ) sin ( , ) c( ) ( )� �
�
� � �#
�
�
1
1
os ]� �
�
i
p
1
�
�
�
�
cos ( )
( )
[ ( , ) sin( ) (n t t
kv n
kv B a k Ai
n
ik
j
ik
�
� �
2 2
1
j i
n
a k
n t t
n kv n
) ( , ) cos ]
sin ( )
[( ) ]
� �
�
�
�
2 2
1
;
r t
t
( ) �
1
2�
�
t [ , ]0 2� ; � �( ) ( )t k r t� #2
t [ , ]0 2�
k � .
Èç îïðåäåëåíèÿ Z j ñëåäóåò, ÷òî ïðè t t i-
dZ
d
dZ
dt
I a
r t ti i i
j
i
i
p
�
� �
� �
�
� �
,
,
�
( ) ( , , )
( )
1
.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 6 137
138 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 6
Ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííûõ
a b u b t� �
�
�
�( ) ( , , , )1
0 ,
�
�
�
��
0
2
0
b
u b t( ) ( , , , ) ,
ãäå
u b t f t a Ij j
i
j( ) ( )
/
(( , , , ) [ ( , , , )
�
�
� � �
�
�
� ��
0
0
2
0
2
1
2
# ��� ) ( )( , ) ( )
�0 0
1
�
f bj
i
p
� �
�
�
�
�
�
� �
2 1
0 0I b dtd Z b t I b
i
j
i
p
j i
j( ) ( )( ) ( , , , ) ( , , ) (t t i
i
p
�
)
1
; j �1 2, ;
I b E I b
i
j
i
j( ) ( )( ) ( , , )� { }
�0 ;
f b E f t a dtdj j
0 2
0
2
0
2
2
( ) ( )( )
( )
( , , , )# ��
�
�
� � � �
� � ��
{ } , j �1 2, .
Çäåñü èíòåãðàëû îçíà÷àþò òàêóþ ïåðâîîáðàçíóþ, ñðåäíåå êîòîðîé ïî ïåðèîäàì
2�
�
è 2� ðàâíî íóëþ. Ïîäñòàâèâ ýòè âûðàæåíèÿ â (26), ïîëó÷èì
db
dt
F b
d
dt
b
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
( );
( ) ,0 .
(28)
ãäå F b f b I b
i
i
p
( ) ( ) ( )( ) ( )# �
�
0
1 1
02
�
�
, .( ) ( ) ( )( ) ( )b f b I b
i
i
p
# �
�
0
2 2
02
�
�
.
Ïîñêîëüêó E t{ ( )}� � 0 , E j{ }� � 0
j � ,
�t � , òî â óðàâíåíèè ïåðâîãî ïðè-
áëèæåíèÿ (28) øóìû îòñóòñòâóþò.
Åñëè äëÿ àïïðîêñèìèðóåìîé ñèñòåìû (26) âûïîëíåíû ïðåäïîëîæåíèÿ 1–5, òî
îñóùåñòâèì ïåðåõîä ê ñèñòåìå äëÿ íîðìèðîâàííûõ óêëîíåíèé
d b d
d
da
F b d� � � � �
�
� � � �� �11 1
1
( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ;
dr b d t b d
d
da
b
b
� � �� � � � � � �
�
�
�
21 1 22 2
1
( ( )) ( ) ( ( )) ( )
( ( ))
(
.
)
( )
�
�
��
�
�
�� � � �d , (29)
ãäå
�( )0 0� ; b( )0 0� ; �11 11� A a( ) ; � 21
21
11
( )
( )
( )
a
A a
A a
� ; � 22 22
21
2
11
( ) ( )
( )
( )
a A a
A a
A a
�
;
A a dt dsk
t s
a t a t11
0
2
1
2
( ) ( sin , cos ) (�
�
�
��
�
�
�� "��� �
� � �
�
a s a s t ssin , cos ) sin sin�
�
� �
� ;
A a
a
dt dsk
t s
a t a t22 3
0
2
1
2
( ) ( sin , cos )�
�
�
��
�
�
�� "�
� � �
� �
�
� �( sin , cos ) sin sina s a s t s
�
� �
� ,
�1 ( )t , � 2 ( )t — ãàóññîâñêèå ïðîöåññû ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè, � �� t —
ìåäëåííîå âðåìÿ.
Èç ïðèâåäåííûõ âûøå ðåçóëüòàòîâ ñëåäóåò, ÷òî ñëó÷àéíûé ïðîöåññ
1 1
0
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
a b
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�,
�
�
�
�
��
�
�
��
�
�
�
�
�
�
ñëàáî ñõîäèòñÿ ê ìàðêîâñêîìó ãàóññîâñêîìó ïðîöåññó { }� � � � �( , ), ( , )r (ñì. [15, 16]).
Òàêèì îáðàçîì, ñèñòåìó äëÿ íîðìèðîâàííûõ óðàâíåíèé (29) ìîæíî àíàëèçèðî-
âàòü ñ èñïîëüçîâàíèåì ïëîòíîñòè ñîâìåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðîöåññà
{ }g r( , ), ( , )� � � � , êîòîðóþ ïðè íåêîòîðûõ äîïîëíèòåëüíûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ óäàåòñÿ
âûïèñàòü â ÿâíîì âèäå [17].
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. à è õ ì à í È . È . , Ñ ê î ð î õ î ä À .  . Ñòîõàñòè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. — Êèåâ: Íàóê.
äóìêà, 1968. — 354 ñ.
2. à è õ ì à í È . È . , Ñ ê î ð î õ î ä À .  . Òåîðèÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. — Ì.: Íàóêà, 1975. — 496 ñ.
3. Ê à ë í û í å Ä . À . , Ö à ð ü ê î â à  . Í . Ñëó÷àéíûå âîçìóùåíèÿ ïàðàìåòðîâ ëèíåéíîé èòåðàöèé //
Ïðîáëåìû ñëó÷àéíîãî ïîèñêà. — Ðèãà: Çèíàòíå, 1988. — Âûï. 11. — Ñ. 150–166.
4. Á î ã î ë þ á î â Í . Í . , Ì è ò ð î ï î ë ü ñ ê è é Þ . À . Ìåòîä óñðåäíåíèÿ â íåëèíåéíîé ìåõàíèêå. —
Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1971. — 440 ñ.
5. Ñ à ì î é ë å í ê î À . Ì . , Ï å ð å ñ ò þ ê Í . À . Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ èìïóëüñíûìè âîçäåé-
ñòâèÿìè. — Êèåâ: Âèùà øêîëà, 1967. — 287 ñ.
6. Ñ à ì î é ë å í ê î À . Ì . , Ñ ò à í æ è ö ê è é À . Í . Î ôëóêòóàöèÿõ â ñõåìå óñðåäíåíèÿ äëÿ äèôôåðåí-
öèàëüíûõ óðàâíåíèé ñî ñëó÷àéíûìè èìïóëüñíûì âîçäåéñòâèÿìè // Óêð. ìàò. æóðí. — 1989. — ¹ 5.
— Ñ. 631–641.
7. Õ à ñ ü ì è í ñ ê è é Ð . Ç . Î ñëó÷àéíûõ ïðîöåññàõ, îïðåäåëÿåìûõ äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè
ñ ìàëûì ïàðàìåòðîì // Òåîð. âåðîÿòíîñòåé è åå ïðèìåíåíèÿ. — 1966. — 2, ¹ 2. — Ñ. 240–259.
8. Õ à ñ ü ì è í ñ ê è é Ð . Ç . Ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà äëÿ ðåøåíèé äåôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèé ñî
ñëó÷àéíîé ïðàâîé ÷àñòüþ // Òàì æå. — 2, ¹ 3. — Ñ. 444–462.
9. Ö à ð ü ê î â Å . Ô . Ñëó÷àéíûå âîçìóùåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíî-ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé. — Ðèãà:
Çèíàòíå, 1989. — 419 ñ.
10. B l a n k e n s h i p G . , P a p a n i c o l a o u G . C . Stability and control of stochastic system with wide – band
noise disturbance. 1 SIAM // J. Appl. Mat. — 1978. — 34. — P. 437–476.
11. K o r o l y u k V . S . Averaging and stability of dynamical system with rapid markov switchings. —
Umea: Univ. of Umea, S — 90167, 1991. — Febr. — 15 p.
12. K o r o l y u k V . S . , L i m n i o s N . Diffusion approximation of integral functional in double merging and
averaging scheme // Theory Probab. and Math. Statist. — 2000. — 60. — P. 87–94.
13. K o r o l y u k V . S . , L i m n i o s N . Diffusion approximation of evolutionary systems with equilibrium in
asymptotic split phase space // Theory Probab. and Math. Statist. — 2005. — 70. — P. 71–82.
14. T s a r k o v Y e . Asymptotic methods for stability analysis of Markov impulse dynamical systems //
Nonlinear Dynamic and Systems Theory. — 2002. — 1, N 2. — P. 103–115.
15. Æ à ê î ä Æ . , Ø è ð ÿ å â À . Í . Ïðåäåëüíûå òåîðåìû äëÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåñîâ. — Ì.: Íàóêà, 1994. —
Ò. 1. — 544 ñ.
16. Ê î ð î ë þ ê  . Ñ . , Ö à ð ê î â ª . Ô . , ß ñ è í ñ ü ê è é  . Ê . Éìîâ³ðí³ñòü, ñòàòèñòèêà òà âèïàäêîâ³
ïðîöåñè. Âèïàäêîâ³ ïðîöåñè. Êîìï’þòåðíå ìîäåëþâàííÿ. — ×åðí³âö³: Çîëîò³ ëèòàâðè, 2009. — Ò. Ç.
— 798 ñ.
17. Ö à ð ü ê î â Å . Ô . , Ñ â å ð ä à í Ì . Ë . Óñòîé÷èâîñòü ñòîõàñòè÷åñêèõ èìïóëüñíûõ ñèñòåì. — Ðèãà:
Èçä-âî Ðèæñêîãî òåõí. óí-òà, 1994. — 306 ñ.
Ïîñòóïèëà 05.05.2009
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 6 139
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-45654 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T05:55:47Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Царьков, Е.Ф. Ясинский, В.К. Малык, И.В. 2013-06-17T07:18:53Z 2013-06-17T07:18:53Z 2010 Устойчивость в импульсных системах с марковскими возмущениями в схеме усреднений. I. Принцип усреднения для импульсных марковских систем / Е.Ф. Царьков, В.К. Ясинский, И.В. Малык // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 6. — С. 128–139. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45654 519.217; 519.718 Використано метод малого параметру Боголюбова–Митропольського для вивчення поведінки стохастичних диференціальних систем при дослідженні відповідних властивостей розв’язків усереднених систем. The Bogoliubov–Mitropolsky small parameter method is used to study the behavior of stochastic differential systems in the analysis of the corresponding properties of solutions of averaged systems. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Устойчивость в импульсных системах с марковскими возмущениями в схеме усреднений. I. Принцип усреднения для импульсных марковских систем Стійкість в імпульсних системах з марковськими збуреннями в схемі усереднювань. I. Принцип усереднювання для імпульсних марковських систем Stability in pulse systems with Markov perturbations in averaging scheme. Part 1. Averaging principle for pulse Markov systems Article published earlier |
| spellingShingle | Устойчивость в импульсных системах с марковскими возмущениями в схеме усреднений. I. Принцип усреднения для импульсных марковских систем Царьков, Е.Ф. Ясинский, В.К. Малык, И.В. Системный анализ |
| title | Устойчивость в импульсных системах с марковскими возмущениями в схеме усреднений. I. Принцип усреднения для импульсных марковских систем |
| title_alt | Стійкість в імпульсних системах з марковськими збуреннями в схемі усереднювань. I. Принцип усереднювання для імпульсних марковських систем Stability in pulse systems with Markov perturbations in averaging scheme. Part 1. Averaging principle for pulse Markov systems |
| title_full | Устойчивость в импульсных системах с марковскими возмущениями в схеме усреднений. I. Принцип усреднения для импульсных марковских систем |
| title_fullStr | Устойчивость в импульсных системах с марковскими возмущениями в схеме усреднений. I. Принцип усреднения для импульсных марковских систем |
| title_full_unstemmed | Устойчивость в импульсных системах с марковскими возмущениями в схеме усреднений. I. Принцип усреднения для импульсных марковских систем |
| title_short | Устойчивость в импульсных системах с марковскими возмущениями в схеме усреднений. I. Принцип усреднения для импульсных марковских систем |
| title_sort | устойчивость в импульсных системах с марковскими возмущениями в схеме усреднений. i. принцип усреднения для импульсных марковских систем |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45654 |
| work_keys_str_mv | AT carʹkovef ustoičivostʹvimpulʹsnyhsistemahsmarkovskimivozmuŝeniâmivshemeusredneniiiprincipusredneniâdlâimpulʹsnyhmarkovskihsistem AT âsinskiivk ustoičivostʹvimpulʹsnyhsistemahsmarkovskimivozmuŝeniâmivshemeusredneniiiprincipusredneniâdlâimpulʹsnyhmarkovskihsistem AT malykiv ustoičivostʹvimpulʹsnyhsistemahsmarkovskimivozmuŝeniâmivshemeusredneniiiprincipusredneniâdlâimpulʹsnyhmarkovskihsistem AT carʹkovef stíikístʹvímpulʹsnihsistemahzmarkovsʹkimizburennâmivshemíuserednûvanʹiprincipuserednûvannâdlâímpulʹsnihmarkovsʹkihsistem AT âsinskiivk stíikístʹvímpulʹsnihsistemahzmarkovsʹkimizburennâmivshemíuserednûvanʹiprincipuserednûvannâdlâímpulʹsnihmarkovsʹkihsistem AT malykiv stíikístʹvímpulʹsnihsistemahzmarkovsʹkimizburennâmivshemíuserednûvanʹiprincipuserednûvannâdlâímpulʹsnihmarkovsʹkihsistem AT carʹkovef stabilityinpulsesystemswithmarkovperturbationsinaveragingschemepart1averagingprincipleforpulsemarkovsystems AT âsinskiivk stabilityinpulsesystemswithmarkovperturbationsinaveragingschemepart1averagingprincipleforpulsemarkovsystems AT malykiv stabilityinpulsesystemswithmarkovperturbationsinaveragingschemepart1averagingprincipleforpulsemarkovsystems |