Об одной теореме М.А. Красносельского
Доведено критерій розв’язності операторного рівняння другого роду з правильним ендоморфізмом хаусдорфова бочкового простору. Отримане твердження — узагальнення теореми Красносельського про збіжність методу простої ітерації розв’язання рівняння з нерозтягуючим самоспряженим оператором. The solvabilit...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45659 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об одной теореме М.А. Красносельского / С.И. Ляшко, В.В. Семенов // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 6. — С. 180–183. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859624861720117248 |
|---|---|
| author | Ляшко, С.И. Семенов, В.В. |
| author_facet | Ляшко, С.И. Семенов, В.В. |
| citation_txt | Об одной теореме М.А. Красносельского / С.И. Ляшко, В.В. Семенов // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 6. — С. 180–183. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Доведено критерій розв’язності операторного рівняння другого роду з правильним ендоморфізмом хаусдорфова бочкового простору. Отримане твердження — узагальнення теореми Красносельського про збіжність методу простої ітерації розв’язання рівняння з нерозтягуючим самоспряженим оператором.
The solvability criterion for a second-kind operator equation with correct endomorphism of Hausdorff barreled spaces is proved. The resultant assertion is a generalization of M.A. Krasnoselski’s theorem on the convergence of the Picard iteration method for solving equations with nonexpansive selfadjoint operators.
|
| first_indexed | 2025-11-29T10:06:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
Ñ.È. ËßØÊÎ, Â.Â. ÑÅÌÅÍÎÂ
ÓÄÊ 517.9 ÎÁ ÎÄÍÎÉ ÒÅÎÐÅÌÅ Ì.À. ÊÐÀÑÍÎÑÅËÜÑÊÎÃÎ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìåòîä ïðîñòîé èòåðàöèè, ñõîäèìîñòü, îïåðàòîðíîå óðàâíå-
íèå, ðàçðåøèìîñòü, áî÷å÷íîå ïðîñòðàíñòâî.
 ðàáîòàõ [1, 2] èçó÷àëàñü ñõîäèìîñòü ìåòîäà ïðîñòîé èòåðàöèè äëÿ ðåøåíèÿ
óðàâíåíèÿ
x Ax f� � (1)
ñ ëèíåéíûì ñàìîñîïðÿæåííûì îïåðàòîðîì A, äåéñòâóþùèì â ãèëüáåðòîâîì
ïðîñòðàíñòâå H. Ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî | | | |A � 1. Îñíîâíîé ðåçóëüòàò ñòàòüè [1] —
ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 1 (Ì.À. Êðàñíîñåëüñêîãî). Ïóñòü �1 íå ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷å-
íèåì îïåðàòîðà A, óðàâíåíèå (1) ïðè äàííîì f H� èìååò ðåøåíèå (âîçìîæíî, íå
åäèíñòâåííîå). Òîãäà ïðè ëþáîì íà÷àëüíîì ïðèáëèæåíèè x H0 � ïîñëåäîâàòåëü-
íûå ïðèáëèæåíèÿ
x Ax f nn n� � � �1 0 1 2( , , , ... )
ñõîäÿòñÿ ê îäíîìó èç ðåøåíèé îïåðàòîðíîãî óðàâíåíèÿ (1).
Öåëü íàñòîÿùåé ðàáîòû — ïîëó÷èòü îáîáùåíèå äàííîé òåîðåìû äëÿ îïåðàòî-
ðîâ, äåéñòâóþùèõ â áàíàõîâûõ è, áîëåå òîãî, â íåíîðìèðîâàííûõ ëîêàëüíî
âûïóêëûõ ïðîñòðàíñòâàõ.
Ïóñòü E — õàóñäîðôîâî òîïîëîãè÷åñêîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî, A — ýíäî-
ìîðôèçì ïðîñòðàíñòâà E (ëèíåéíûé íåïðåðûâíûé îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé èç ïðî-
ñòðàíñòâà E â E). Ðàññìîòðèì îïåðàòîðíîå óðàâíåíèå
x Ax y� � , (2)
ãäå y E� — èçâåñòíûé ýëåìåíò E.
Äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2) ïðèìåíèì ìåòîä ïðîñòîé èòåðàöèè
x Ax yn n� ��1 , (3)
ãäå x E0 � — çàäàííîå íà÷àëüíîå ïðèáëèæåíèå. Ïîðîæäåííóþ èòåðàöèîííîé
ïðîöåäóðîé (3) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ( )xn ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
x y Ay A y A y A xn
n n� � � � � ��2 1
0� . (4)
Ïîêàæåì, ÷òî äëÿ îïðåäåëåííîãî íèæå êëàññà ýíäîìîðôèçìîâ ñóùåñòâóåò ïðî-
ñòàÿ ñâÿçü ìåæäó ðàçðåøèìîñòüþ îïåðàòîðíîãî óðàâíåíèÿ (2) è ñõîäèìîñòüþ ïî-
ñëåäîâàòåëüíîñòè ( )xn , ïîðîæäåííîé ðàâåíñòâîì (3).
Îïðåäåëåíèå 1. Ýíäîìîðôèçì A íàçîâåì ïðàâèëüíûì, åñëè äëÿ ïðîèçâîëüíî-
ãî ýëåìåíòà x E� ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ( )A xn ñõîäèòñÿ â ïðîñòðàíñòâå E.
180 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 6
© Ñ.È. Ëÿøêî, Â.Â. Ñåìåíîâ, 2010
Äëÿ ïðàâèëüíîãî ýíäîìîðôèçìà A ïðîñòðàíñòâà E îïðåäåëèì ñëåäóþùèé ëè-
íåéíûé îïåðàòîð B E E: � :
Bx A x x E
n
n� �
� �
lim , .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî E — õàóñäîðôîâî áî÷å÷íîå ïðîñòðàíñòâî. Òîãäà ëèíåéíûé
îïåðàòîð B — ýíäîìîðôèçì ïðîñòðàíñòâà E [3, ñ. 105, ñëåäñòâèå 1].
Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ýëåìåíòîâ y E* *� è x E� èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå
� � � � � � � ( ) , , , ,* *
,
*
,
*
,
* *
* * *A y x y A x y Bx B y xn
E E
n
E E E E E*, E
ïðè n � � ,
ãäå A E E* * *: � , B E E* * *: � — ñîîòâåòñòâóþùèå ñîïðÿæåííûå îïåðàòîðû.
Òàêèì îáðàçîì, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (( ) )* *A yn ñõîäèòñÿ â ñëàáîé òîïîëîãèè
�( , )*E E ê ýëåìåíòó B y E* * *� .
Èñïîëüçóÿ ýòîò ôàêò è óñëîâèå ñõîäèìîñòè èç îïðåäåëåíèÿ ïðàâèëüíîñòè ýí-
äîìîðôèçìà A, ïîëó÷àåì
� � � � � � �y A x A y A x B y Bx y Bn
E E
n n
E E E E
*
,
* *
,
* *
,
*
* * *( ) , , ,2 2 x
E E
*,
ïðè n � � .
Ñëåäîâàòåëüíî, A x B xn2 2� â òîïîëîãèè �( , )*E E .
Ïîëó÷èëè, ÷òî B B2 � . Êðîìå òîãî, ïîñêîëüêó
BAx A x Bx ABx
n
n� � �
��
�lim 1 ,
èìååì B AB BA� � . Îòñþäà ñëåäóåò
R B N I A( ) ( )� � . (5)
Ñôîðìóëèðóåì îñíîâíîé ðåçóëüòàò ðàáîòû.
Òåîðåìà 2. Ïóñòü A — ïðàâèëüíûé ýíäîìîðôèçì õàóñäîðôîâà áî÷å÷íîãî ïðî-
ñòðàíñòâà E. Òîãäà y R I A� �( ) â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà äëÿ ïðîèçâîëü-
íîãî ýëåìåíòà x E0 � ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (4) ñõîäèòñÿ â ïðîñòðàíñòâå E ê ðåøåíèþ
îïåðàòîðíîãî óðàâíåíèÿ (2).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü äëÿ ýëåìåíòà y E� ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ( )xn , îïðåäå-
ëåííàÿ (4), ñõîäèòñÿ â ïðîñòðàíñòâå E ê ýëåìåíòó x E� . Ïîêàæåì, ÷òî x — ðåøåíèå
îïåðàòîðíîãî óðàâíåíèÿ (2) ñ ïðàâîé ÷àñòüþ y E� , ò.å. y R I A� �( ) .
Äåéñòâèòåëüíî, ïîñêîëüêó
Bx B y Ay A y A y A x nBy Bxn
n n� � � � � � � ��( )2 1
0 0� ,
èìååì By � 0 , èíà÷å ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ( )Bxn íå áóäåò îãðàíè÷åííîé â E, ÷òî
ïðîòèâîðå÷èò ñõîäèìîñòè ( )xn .
Ñëåäîâàòåëüíî, ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå
( )( )I A y Ay A y y A y y By yn n� � � � � � � � ��
�
1 ïðè n � � .
Äàëåå èìååì
y Ay A y x Bxn� � � � ��
�
1
0 ïðè n � � .
Òàêèì îáðàçîì, óñòàíîâëåíî ðàâåíñòâî ( )( )I A x Bx y� � �0 , íî â òî æå âðåìÿ,
ó÷èòûâàÿ óñëîâèå (5), ïîëó÷àåì ( )( ) ( )I A x Bx I A x� � � �0 . Ñëåäîâàòåëüíî, ñïðà-
âåäëèâî ðàâåíñòâî ( )I A x y� � .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî y R I A� �( ) . Òîãäà äëÿ íåêîòîðîãî ýëåìåíòà x E� èìååì
y x Ax� � è âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
y Ay A y x Ax Ax A x A x A x x A xn n n n� � � � � � � � � � � �� �
� �
1 2 1 .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 6 181
Çàôèêñèðóåì ýëåìåíò x E0 � è ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
x y Ay A y A y A xn
n n� � � � � ��2 1
0� .
Ïîñêîëüêó A x Bxn � è A x Bxn
0 0� ïðè n � �, ïîëó÷àåì
x x Bx Bxn � � � 0 ïðè n � �.
Êðîìå òîãî, íåñëîæíî óñòàíîâèòü, ÷òî ýëåìåíò x Bx Bx� � 0 — ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2).
Äåéñòâèòåëüíî, ( )( ) ( ) ( )I A x Bx Bx x Ax I A B x x y� � � � � � � � �0 0 â ñèëó (5).
Ñ ïîìîùüþ êëàññè÷åñêîé ñïåêòðàëüíîé òåîðåìû [4, 5] ïîêàæåì, ÷òî ïðàâèëüíûå ñàìî-
ñîïðÿæåííûå îïåðàòîðû â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå äîïóñêàþò ïðîñòîå îïèñàíèå.
Òåîðåìà 3. Ïóñòü A — ñàìîñîïðÿæåííûé ëèíåéíûé íåïðåðûâíûé îïåðàòîð,
äåéñòâóþùèé â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H. Òîãäà îïåðàòîð A ïðàâèëüíûé â òîì
è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà | | | |A
1 è �1íå ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì îïå-
ðàòîðà A.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü | | | |A
1 è ÷èñëî �1 íå ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíè-
åì ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà A. Ïóñòü E � — ðàçëîæåíèå åäèíèöû, ñîîòâåòñòâó-
þùåå îïåðàòîðó A: A dE�
�
�
1
1
� � .
Ïîêàæåì, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî x H� ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
A x dE xn n�
�
�
1
1
� �
ñõîäèòñÿ â ïðîñòðàíñòâå H ïðè n � � .
Îáîçíà÷èì H1 ñîáñòâåííîå ïîäïðîñòðàíñòâî îïåðàòîðà A, ñîîòâåòñòâóþùåå
ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ � � 1(âîçìîæíî, H1 0� { }), à H
2
� , H
3
� — ëèíåéíûå ïîäïðîñ-
òðàíñòâà âåêòîðîâ âèäà
x dE x�
� �
�
�
1
1
�
�
� , x dE x dE x� �
�
� �
�
�
� �
1
1
1
1�
�
�
�
ñîîòâåòñòâåííî (0 1� �� ). Òîãäà H H H H�
1 2 3
� � . Ïóñòü P1, P2 , P3 — îðòîãî-
íàëüíûå ïðîåêòîðû íà ïîäïðîñòðàíñòâà H1, H
2
� , H
3
� ñîîòâåòñòâåííî.
Èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî
A x A P x A P x A P x P x A P x A P xn n n n n n� � � � � �1 2 3 1 2 3 . (6)
Îöåíèì âòîðîå è òðåòüå ñëàãàåìîå â (6):
| | | | ( ) | | | |A P x dE x P xn
H
n
H
H2
1
1
2
21�
�
� �
�
� � ��
�
�
,
| | | | | | | | | | | |A P x A P x P xn
H
n
H H3
1
3 3
�
� .
Ïîñêîëüêó
| | | | ( , ) ( , )P x d E x x d E x xH H H3
1
1
1
1
� �
�
� �
�
�
� ��
�
�
�
è ÷èñëî �1 íå ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ðàçðûâà ôóíêöèè � �� ( , )E x x H , ïðè êàæäîì
ôèêñèðîâàííîì ýëåìåíòå x H� èìååì lim | | | |
n
HP x
��
�
3
0 .
182 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 6
Ïóñòü � — ïðîèçâîëüíîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî. Âûáåðåì ÷èñëî � � ( , )0 1 òàê,
÷òîáû èìåëî ìåñòî íåðàâåíñòâî | | | |P x H3
2
�
�
. Òîãäà äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n � �
ïîëó÷àåì
| | ( ) | | ( ) | | | |A P x P x P xn
H
n
H2 3 21
2
� � � � ��
�
� ,
ò.å. ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ( )A xn ñèëüíî ñõîäèòñÿ ê âåêòîðó P x1 .
Îáðàòíî, ïóñòü ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð A H H: � — ïðàâèëüíûé. Åñëè �1—
ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå îïåðàòîðà A, x E� � — ñîîòâåòñòâóþùèé ñîáñòâåííûé âåêòîð,
òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê A x xn n� � � �( )1 íå ñõîäèòñÿ â ïðîñòðàíñòâå E, ÷òî ïðî-
òèâîðå÷èò ïðàâèëüíîñòè îïåðàòîðà A.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî | | | |A � 1. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî � � �( , | | | | )0 1A ðàññìîòðèì ëè-
íåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî H H� � ýëåìåíòîâ âèäà
x dE x�
�
�
� �
�
�
1
2
1
.
Ïóñòü ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò x H� � \ { }0 . Äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ( )A xn èìååì
îöåíêó
| | | | ( ) | | | |A x dE x xn
H
n
H
n
H� � � � ��
�
�
� �
�
�
�
�
1
2
1
1
2
,
÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïðàâèëüíîñòè îïåðàòîðà A.
Çàìå÷àíèå 1. Î÷åâèäíî, ÷òî èç òåîðåì 2 è 3 ñëåäóåò òåîðåìà Ì.À. Êðàñíîñåëü-
ñêîãî, ñôîðìóëèðîâàííàÿ â íà÷àëå ñòàòüè.
Çàìå÷àíèå 2.  [6] òåîðåìà 2 ïîëó÷åíà äëÿ ýíäîìîðôèçìîâ áàíàõîâûõ ïðî-
ñòðàíñòâ è èñïîëüçîâàíà äëÿ ôîðìóëèðîâêè êðèòåðèÿ âêëþ÷åíèÿ y R T� ( ) , ãäå T —
ñàìîñîïðÿæåííûé íåîòðèöàòåëüíûé îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé â ãèëüáåðòîâîì ïðî-
ñòðàíñòâå.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ê ð à ñ í î ñ å ë ü ñ ê è é Ì . À . Î ðåøåíèè ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé óðàâíåíèé
ñ ñàìîñîïðÿæåííûì îïåðàòîðîì // Óñïåõè ìàò. íàóê. — 1960. — 15, âûï. 3. — Ñ. 161–165.
2. Ï ð è á ë è æ å í í î å ðåøåíèå îïåðàòîðíûõ óðàâíåíèé / Ì.À. Êðàñíîñåëüñêèé, Ã.Ì. Âàéíèêêî,
Ï.Ï. Çàáðåéêî. — Ì.: Íàóêà, 1969. — 456 ñ.
3. Ð î á å ð ò ñ î í À . , Ð î á å ð ò ñ î í  . Òîïîëîãè÷åñêèå âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà. — Ì.: Ìèð, 1967. —
257 ñ.
4. Ý ä â à ð ä ñ Ð . Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç. — Ì.: Ìèð, 1969. — 1071 ñ.
5. Á å ð å ç à í ñ ê è é Þ . Ì . , Ó ñ Ã . Ô . , Ø å ô ò å ë ü Ç . Ã . Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç. — Êèåâ: Âèùà
øê., 1990. — 600 ñ.
6. Ë ÿ ø ê î Ñ . È . , Í î ì è ð î â ñ ê è é Ä . À . , Ï å ò ó í è í Þ . È . , Ñ å ì å í î â Â . Â . Äâàäöàòàÿ
ïðîáëåìà Ãèëüáåðòà. Îáîáùåííûå ðåøåíèÿ îïåðàòîðíûõ óðàâíåíèé. — Ì.: ÎÎÎ «È.Ä. Âèëüÿìñ»,
2009. — 192 ñ.
Ïîñòóïèëà 08.07.2009
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 6 183
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-45659 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-29T10:06:28Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ляшко, С.И. Семенов, В.В. 2013-06-17T07:33:07Z 2013-06-17T07:33:07Z 2010 Об одной теореме М.А. Красносельского / С.И. Ляшко, В.В. Семенов // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 6. — С. 180–183. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45659 517.9 Доведено критерій розв’язності операторного рівняння другого роду з правильним ендоморфізмом хаусдорфова бочкового простору. Отримане твердження — узагальнення теореми Красносельського про збіжність методу простої ітерації розв’язання рівняння з нерозтягуючим самоспряженим оператором. The solvability criterion for a second-kind operator equation with correct endomorphism of Hausdorff barreled spaces is proved. The resultant assertion is a generalization of M.A. Krasnoselski’s theorem on the convergence of the Picard iteration method for solving equations with nonexpansive selfadjoint operators. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Краткие сообщения Об одной теореме М.А. Красносельского Про одну теорему М.О. Красносельського On an M.A. Krasnoselski theorem Article published earlier |
| spellingShingle | Об одной теореме М.А. Красносельского Ляшко, С.И. Семенов, В.В. Краткие сообщения |
| title | Об одной теореме М.А. Красносельского |
| title_alt | Про одну теорему М.О. Красносельського On an M.A. Krasnoselski theorem |
| title_full | Об одной теореме М.А. Красносельского |
| title_fullStr | Об одной теореме М.А. Красносельского |
| title_full_unstemmed | Об одной теореме М.А. Красносельского |
| title_short | Об одной теореме М.А. Красносельского |
| title_sort | об одной теореме м.а. красносельского |
| topic | Краткие сообщения |
| topic_facet | Краткие сообщения |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45659 |
| work_keys_str_mv | AT lâškosi obodnoiteorememakrasnoselʹskogo AT semenovvv obodnoiteorememakrasnoselʹskogo AT lâškosi proodnuteoremumokrasnoselʹsʹkogo AT semenovvv proodnuteoremumokrasnoselʹsʹkogo AT lâškosi onanmakrasnoselskitheorem AT semenovvv onanmakrasnoselskitheorem |