Исследование абсолютной интервальной равномерной устойчивости систем нейтрального типа методом функций Ляпунова
Доказаны достаточные условия абсолютной интервальной устойчивости решений нелинейных систем регулирования нейтрального типа, равномерной по отклонению аргумента. Построены оценки экспоненциального затухания решений. Аппаратом исследования выбран метод функций Ляпунова....
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и вычислительная техника |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН України та МОН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45686 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Исследование абсолютной интервальной равномерной устойчивости систем нейтрального типа методом функций Ляпунова / А.В. Шатырко, Д.Я. Хусаинов // Кибернетика и вычисл. техника. — 2011. — Вип. 166. — С. 3-14. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859470988750618624 |
|---|---|
| author | Шатырко, А.В. Хусаинов, Д.Я. |
| author_facet | Шатырко, А.В. Хусаинов, Д.Я. |
| citation_txt | Исследование абсолютной интервальной равномерной устойчивости систем нейтрального типа методом функций Ляпунова / А.В. Шатырко, Д.Я. Хусаинов // Кибернетика и вычисл. техника. — 2011. — Вип. 166. — С. 3-14. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и вычислительная техника |
| description | Доказаны достаточные условия абсолютной интервальной устойчивости решений нелинейных систем регулирования нейтрального типа, равномерной по отклонению аргумента. Построены оценки экспоненциального затухания решений. Аппаратом исследования выбран метод функций Ляпунова.
|
| first_indexed | 2025-11-24T09:45:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
3
Сложные системы управления
УДК 517.929
А.В. Шатырко, Д.Я. Хусаинов
ИССЛЕДОВАНИЕ АБСОЛЮТНОЙ ИНТЕРВАЛЬНОЙ
РАВНОМЕРНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ
НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА МЕТОДОМ
ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА
Доказаны достаточные условия абсолютной интервальной устойчивости
решений нелинейных систем регулирования нейтрального типа, равномерной по от-
клонению аргумента. Построены оценки экспоненциального затухания решений. Аппа-
ратом исследования выбран метод функций Ляпунова.
Асимптотическая устойчивость в целом нулевого решения систем с нели-
нейностью «секторного вида» получила название абсолютной устойчивости
[1, 2]. В настоящей статье рассматриваются системы дифференциально-
разностных уравнений нейтрального типа. Исследование проводится методом
функций Ляпунова с функцией вида суммы квадратичной формы и интеграла
от нелинейности [2, 3]. В последнее время исследуются системы
с неточно заданными коэффициентами. Получила развитие так называемая
«интервальная абсолютная устойчивость» [4–7]. Настоящая работа является
продолжением статей [1, 5–8]. Цель ее — улучшить с позиций прикладной ма-
тематики ранее полученные авторами результаты. С помощью терминологии,
определений и обозначений работ [1, 5–8] получены конструктивные, с вычис-
лительной точки зрения, достаточные условия абсолютной интервальной рав-
номерной по запаздыванию устойчивости и вычислены коэффициенты экспо-
ненциального затухания решений интервальной системы.
1. Постановка задачи
Рассмотрим системы нелинейных дифференциально-разностных урав-
нений с отклоняющимся аргументом нейтрального типа
))(()()()]()([ tfbtBxtAxtDxtx
dt
d
σ+τ−+=τ−− , ),()( T txct =σ 0≥t . (1)
Здесь DBARtx n ,,,)( ∈ — квадратные матрицы с постоянными коэффи-
циентами, 0,, >τ∈ nRcb — постоянное запаздывание, )(σf — непрерывная
функция, удовлетворяющая условию Липшица, 0)0( =f и условию «сектора»
0)]([ >σσ−σ fk , 0>k . (2)
Под решением системы будем понимать кусочно-непрерывно дифферен-
цируемую функцию ),(tx которая тождественно удовлетворяет системе (1)
А.В. Шатырко, Д.Я. Хусаинов, 2011
ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2011. Вып. 166
4
и начальным условиям ),()(),()( ttxttx ψ=ϕ= & где )(),( tt ψϕ — произвольные
непрерывные функции, определенные при .0≤≤τ− t
Большинство реальных объектов, процессов, систем функционирует
в условиях неопределенности. Например, параметры систем могут быть
не точно известны, но принимают свои значения из некоторых заранее за-
данных интервалов, и тогда более адекватной моделью системы управления
является система дифференциальных уравнений с неточно заданными пара-
метрами вида
, 0 ,)()(
)),(()()()()()]()([
T ≥=σ
σ+τ−∆++∆+=τ−−
ttxct
tfbtxBBtxAAtDxtx
dt
d
(3)
где njibBaA ijij ,1,},{},{ =∆=∆∆=∆ — матрицы с коэффициентами, прини-
мающими значения из некоторых фиксированных интервалов
ijija α≤∆ || , ijijb β≤∆ || , nji ,1, = . (4)
Определение. Будем говорить, что система (1) абсолютно интервально ус-
тойчива, если нулевое решение системы (3) экспоненциально устойчиво
при произвольной функции )(σf , удовлетворяющей «условиям сектора» (2),
и матрицах ,,1,},{},{ njibBaA ijij =∆=∆∆=∆ с коэффициентами, принимаю-
щими значения из интервалов (4).
2. Абсолютная устойчивость систем регулирования, описываемых
уравнениями нейтрального типа
Для исследования абсолютной интервальной устойчивости используем
функцию Ляпунова вида Лурье–Постникова [2, 3] с экспоненциальным множи-
телем
})({),(
)(
0
T ∫
σ
γ σσβ+=
x
t dfHxxetxV (5)
и с положительно-определенной матрицей H. Как следует из введенных век-
торных и матричных норм [1, 5–8] и условия (2), для функции ),( txV справед-
лива следующая двусторонняя оценка:
,||),(),(||)( 2
max
2
min xHetxVxHe tt βλ≤≤λ γγ
.||
2
1)(),( 2
maxmax ckHH β+λ=βλ (6)
Для дальнейших исследований в конечномерных пространствах (вычисли-
тельная конструктивность) существенным является использование условий
Б.С. Разумихина [9, 10] при построении оценки полной производной функции
),( txV вдоль решений системы.
Будем считать, что система без отклонения аргумента
5
))(()()()()( tfbtxBAtxDI
dt
d
σ++=− , )()( T txct =σ , ,0≥t
асимптотически устойчива. Поскольку по условию 1|| <D , то ее можно за-
писать в виде
)),(()()()()()( 11 tfbDItxBADItx σ−++−= −−& ),()( T txct =σ .0≥t (7)
И если матрица )()( 1 BADI +− − асимптотически устойчивая, то матрич-
ное уравнение Ляпунова
CBADIHHBADI −=+−++− −− )()()]()[( 1T1 (8)
при произвольной положительно-определенной матрице C имеет единствен-
ное решение — положительно-определенную матрицу H [11]. Пусть γα∂ ,
tV —
поверхность уровня α=),( txV функции Ляпунова (5), а γα,
tV — область в
расширенном фазовом пространстве ,RR n × которую она ограничивает, т.е.
},),(:),{(, α=×∈=∂ γα txVRRtxV n
t .}),(:),{(, α<×∈=γα txVRRtxV n
t (9)
Приведем ряд вспомогательных утверждений.
Лемма 1. Пусть τ<≤τ− mtm )1( . Тогда система уравнений нейтрального
типа (3) эквивалентна системе уравнений с запаздыванием
+τ−+++τ−= ∑
−
=
−
1
1
1 )(][)()()(
m
i
im itxBDADtAxmtxDtx && +τ−− )(1 mtBxDm
∑
−
=
τ−σ+
1
0
))((
m
i
i itfbD ∑ ∑
−
= =
− τ−∆+τ−∆+
1
0 1
1 )()(
m
i
m
i
ii itxBDitAxD (10)
с начальными условиями ),()( ttx ϕ≡ ),()( ttx ψ=& 0≤≤τ− t .
Доказательство. Перепишем систему (3) в виде
))(()()()()()()( tfbtxBBtxAAtxDtx σ+τ−∆++∆++τ−= && . (11)
Подставив вместо )( τ−tx& его значение, определенное аналогичной зави-
симостью
))(()2()()()()2()( τ−σ+τ−∆++τ−∆++τ−=τ− tfbtxBBtxAAtxDtx && ,
и проделав так 1−m итераций ),)1(( τ<≤τ− mtm получим соотношение
+τ−∆++∆++∆++τ−= ∑
−
=
−
1
1
1 )()]()([)()()()(
m
i
im itxBBAADDtxAAmtxDtx &&
6
+τ−∆++ − )()(1 mtxBBDm ∑
−
=
τ−σ
1
0
))((
m
i
i itfbD .
Отсюда следует соотношение (10).
Лемма 2. Пусть для производной функции ),( txV вдоль решения системы
(3) )(tx при 0>t выполняется неравенство
,|)(||)(|)),(( 2 txNetxMettxV
dt
d tt θγ +−< 0>M , 0>N . (12)
Тогда имеет место неравенство
×
λ
βλ
+
γ+
βλ
−βϕ< τ )(
),(
),(2
1exp||)0(||),(|)(|
min
max
max H
Ht
H
MxHtx
γ+
βλ
−−γ−θ×
βλγ+θ+
× t
H
Mt
HM
N
),(2
1exp})exp{(
),()2( maxmax
. (13)
Доказательство проводится аналогично лемме 3 [1].
Лемма 3. Пусть для решения )(tx системы (3) при ,Ts <≤τ− ,0≥T вы-
полняется .))),((,))),(( ,, γαγα ∂∈∈ tt VTTxVssx Тогда справедливо нера-
венство
.|)(|]),(1[|)()(| TxHeTxTx βϕ+≤τ−− τγ (14)
Доказательство. Как следует из двусторонних оценок (6), имеет место со-
отношение
≤<τ−τ−≤τ−λτ−γ )),(()),((|)(|)( 2
min
)( TTxVTTxVTxHe T
.|)(|),( 2
max TxHe T βλ≤ γ
Отсюда
|)(|),(|)(| TxHeTx βϕ<τ− τγ .
В результате
<τ−+≤τ−− |)(||)(||)()(| TxTxTxTx |)(|]),(1[ TxHe βϕ+ τγ .
Лемма 4. Пусть для решения )(tx системы (3) при ,Ts <≤τ− ,0≥T вы-
полняется γα∈ ,))),(( tVssx , γα∂∈ ,))),(( tVTTx . Тогда справедливо неравенство
+βϕ+++≤τ−− τγ
τ
− |)(|]),(1[||)0(|||)|1(||2|)()(| 1 TxHeKxDDTxTx m &&&
7
|)(|]),(1[
||1
|| TxHe
D
A
βϕ+
−
∆
+ γτ |,)(|]),(1[
||1
|| TxHe
D
B
βϕ+
−
∆
+ τγ (15)
.
||1
||||||||
D
cbkBAK
−
++
=
Доказательство. Как следует из вида системы (3), имеет место нера-
венство
≤τ−− |)()(| TxTx && +τ−− |)2()(||| TxTxD && +τ−−∆+ |)()(||| TxTxAA
+τ−−∆++ |)2()(||| TxTxBB ||))(())((|||| τ−σ−σ TfTfb .
Повторив оценку )1( −m раз, получим
≤τ−− |)()(| TxTx && +τ−−+−τ−−− |])()0(||)0())1(([||| 1 mTxxxmTxD m &&&&
+τ−−∆++ |)()(||| TxTxAA ...|)2()(||||| +τ−−τ−∆+ TxTxAAD
+τ−−−τ−−∆++ − |))1(())2((|||||... 2 mTxmTxAAD m
+τ−−τ−∆++ |)2()(||| TxTxBB ...|)3()2(||||| +τ−−τ−∆+ TxTxBBD
+τ−−τ−−∆++ − |)())1((|||||... 2 mTxmTxBBD m
|))(())((||| τ−σ−σ+ TfTfb ...|))2(())((||||| +τ−σ−τ−σ+ TfTfbD
<τ−−σ−τ−−σ+ − |))1(())2((|||||... 2 mTmTbD m
+βϕ+
−
∆+
++< γτ
τ
− |)(|]),(1[
||1
||
||)0(|||)|1(||2 1 TxHe
D
AAxDD m &
+βϕ+
−
∆+
+ γτ |)(|]),(1[
||1
|| TxHe
D
BB
|)(|]),(1[
||1
|||| TxHe
D
cbk
βϕ+
−
γτ .
Отсюда следует утверждение (15) леммы 4.
Для большей наглядности дальнейших результатов введем следующие
обозначения:
ν+
ν+
ν+γβ−
=γνβ
k
ScS
cSkS
HS 1
2
1)(
2
1
1
1
],,,[
0
22TT0
12
0
12
20
11
1 ,
=γβ
0
22
T0
12
0
12
0
11
0
)(
],,[
SS
SS
HS ,
)]()[()]()[( 1T10
11 BADIHHBADIHS +−−+−−γ−= −− ,
8
cBAbDIHS )(
2
1])[( 10
12 +β−−−= − , bDIcS 1T0
22 )( −−β−= ,
×β+−+−= −− ||]|)(||)(|[2{),( 11
1 ckkDIHDDIHBDBR
],),(1[}]|)(||)(|[ 1T1T βϕ+×−+−× γτ−− HeKDIcBDIc
]|)(||||)(|[)1(2),( 1T1
2 DDIcckDIHDDDBR −− −β+−+= , (16)
,|)(|||
]),(1[
||1
|)(||||)(|2
)(
1T
1T1
1
−
γτ
−−
−β+
+βϕ+
−
−β+−
=•
DIHcck
He
D
DDIcckDIHDL
] ×−+−β+
+
−
−β+−
=•
−−
−−
|)(|2|)(|||
||1
|)(||||)(|2
)(
11T
1T1
2
DIHDIcck
D
DDIcckDDIHDL
,|)(|||]),(1[ 1T −γτ −β+βϕ+× DIHcckHe
,]|)(||||)(|2[)||1(2)( 1T1
3 DDIcckDIHDDL −− −β+−+=•
)},,(]),,,[(){1(][~
11min21 DBRHSM −γνβλα−α−=• τ=• ||)0(||
||
),(][ x
D
DBNN & ,
,01 >α ,02 >α ,121 <α+α
||
1ln1
Dτ
−γ=θ .
Приведем утверждение об интервальной абсолютной устойчивости систе-
мы (1), соответственно получим оценки сходимости решений системы (3).
Теорема. Пусть 1|| <D и существует положительно-определенная матри-
ца H и параметры ,0,0 >ν>β
||
1ln10
Dτ
<γ< , при которых выполняется не-
равенство
0),(]),,,[( 11min >−γνβλ DBRHS , (17)
а «возмущенные» матрицы удовлетворяют соотношениям
)(
][~
||
1
1 •
•
α<∆
L
MA ,
)(
][~
||
2
2 •
•
α<∆
L
MB , 01 >α , 02 >α , 121 <α+α . (18)
Тогда система (1) абсолютно интервально устойчива в метрике 1C при произ-
вольном 0>τ , причем для произвольного решения )(tx , ,0>t системы (3)
9
справедлива следующая оценка сходимости:
×βϕ≤ τ||)0(||),(|)(| xHtx
×
βλγ−θ+•
•
λ
βλ
+
γ+
βλ
•
−×
),()2(][~
][~
)(
),(
),(
][~
2
1exp
maxmin
max
max HM
N
H
Ht
H
M
γ+
βλ
•
−−γ−θ× t
H
Mt
),(
][~
2
1exp}){(exp
max
, (19)
а для его производной —
+
+≤ τ
−
ττ
||
1
ln
||)0(||
||
||||)0(|||)(| D
t
ex
D
Bxtx &&
×βϕ×
−
∆+∆+++
++ τ||)0(||),(
||1
||||||||||
|| xH
D
BABDAcbkA
×
βλγ+θ+•
•
×
λ
βλ
+
γ+
βλ
•
−×
),()2(][~
][~
)(
),(
),(
][~
2
1exp
maxmin
max
max HM
N
H
Ht
H
M
γ+
βλ
•
−−γ−θ× t
H
Mt
),(
][~
2
1exp}){(exp
max
. (20)
Доказательство. Перепишем систему (3) в виде
+σ+−τ−+−τ−++=− ))(()]()([)]()([)()()()( tfbtxtxDtxtxBtxBAtxDI &&&
)]()([)()( txtxBtxBA −τ−∆+∆+∆+ .
Поскольку ,1|| <D можно записать
+σ+−τ−+−τ−++−= − ))}(()]()([)]()([)(){()()( 1 tfbtxtxDtxtxBtxBADItx &&&
)]()([)()()()( 11 txtxBDItxBADI −τ−∆−+∆+∆−+ −− . (21)
Вычислим полную производную функции Ляпунова вида (5) вдоль ре-
шений системы (21). Проведя несложные преобразования и используя обозна-
чения (16), запишем ее в виде суммы квадратичной формы с «возмущениями»:
×σ−= γ )))((),(()),(( T tftxettxV
dt
d t ],,[0 γβHS +σ× TT )))((),(( tftx
10
+−τ−−σβ+−×
×−τ−+−−τ−+
−γ−
γ−γ
)]()([)())(()(])[(
)]()([2)(])[()]()([2
1TT1
T1T
txtxBDIctfetHxDDI
txtxetHxBDItxtxe
t
tt &&
)]()([)())(( 1T txtxDDIctfe t && −τ−−σβ+ −γ +σσβγ+ ∫
σ
γ
)(
0
)(
t
t dfe
+∆+∆−+σβ+ −γ )()()(])(2))(([ 1TT txBADIHtxctfe t
)]()([)]()(2))(([ 1TT txtxBDIHtxctfe t −τ−∆−+σβ+ −γ .
Используя так называемую S -процедуру [12] и свойства (2) функции )(σf
и мажорируя значение интеграла, запишем полученное выражение с матрицей
],,,[1 γνβHS в виде
×σ−= γ )))((),(()),(( T tftxettxV
dt
d t +σ×γνβ TT
1 )))((),((],,,[ tftxHS
+−τ−−σβ+−×
×−τ−+−−τ−+
−γ−
γ−γ
)]()([)())(()(])[(
)]()([2)(])[()]()([2
1TT1
T1T
txtxBDIctfetHxDDI
txtxetHxBDItxtxe
t
tt &&
+σ−σσν−−τ−−σβ+ γ−γ ))]((1)([))(()]()([)())(( 1T tf
k
ttfetxtxDDIctfe tt &&
+∆+∆−+σβ+ −γ )()()(])(2))(([ 1TT txBADIHtxctfe t
.)]()([)]()(2))(([ 1TT txtxBDIHtxctfe t −τ−∆−+σβ+ −γ (22)
Рассмотрим каждое из «возмущений» в момент .)1( τ<≤τ− mTm
1. Для первого «возмущения» получаем оценку
≤−τ−−≤−−τ− −− |)()(||)(||)(|)(])[()]()([ 1T1T TxTxTxDIHBTHxBDITxTx
.|)(|]),(1[|)(| 21 TxHeDIHB βϕ+−≤ γτ− (23)
2. Для второго «возмущения» получаем
≤−−τ− − )(]))][(()([ T1 THxDDITxTx && ≤−τ−− − |)()(||)(||)(| 1 TxTxTxDIHD &&
+βϕ+++−≤ γτ
τ
−− |)(|]),(1[||)0(|||)|1(||2{|)(| 11 TxHeKxDDDIHD m &
+βϕ+
−
∆
+ γτ |)(|]),(1[
||1
|| TxHe
D
A
=βϕ+
−
∆ γτ |)(||})(|]),(1[
||1
|| TxTxHe
D
B
11
×−++−= −
τ
−− |)(||)(|||)0(||)||1(|||)(|2 111 DIHDTxxDDDIHD m &
+βϕ+× γτ 2|)(|]),(1[ TxHeK +βϕ+
−
∆ γτ 2|)(|]),(1[
||1
|| TxHe
D
A
2|)(|]),(1[
||1
|| TxHe
D
B
βϕ+
−
∆
+ γτ . (24)
3. Для третьего «возмущения» имеем
×−β≤τ−−−σβ −− |)(|||)]()([)())(( 1T1T BDIcckTxTxBDIcTf
2|)(|]),(1[ TxHe βϕ+× γτ . (25)
4. Для четвертого «возмущения» получаем
++−β≤
≤τ−−−β≤
≤τ−−−σβ
ς
−−
−
−
|)(|||)0(|||||)|1(|)(|||2
|)(||)()(||)(|||
)]()([)())((
11T
1T
1T
TxxDDDDIcck
TxTxTxDDIcck
TxTxDDIcTf
m &
&&
&&
+βϕ+−β+ γτ− 21T |)(|]),(1[|)(||| TxHeKDDIcck
+βϕ+
−
∆
−β+ γτ− 21T |)(|]),(1[
)(1
||
|)(||| TxHe
D
ADDIcck
21T |)(|]),(1[
)(1
||
|)(||| TxHe
D
BDDIcck βϕ+
−
∆
−β+ γτ− . (26)
5. Для пятого «возмущения» имеем
+∆−+β≤
≤∆+∆−+σβ
−
−
212
1TT
|)()(||||)(||]|2||[
)()()]()(2))(([
TxTxADIHck
TxBADIHTxctf
212 |)(||||)(||]|2||[ TxBDIHck ∆−+β+ − . (27)
6. Для шестого «возмущения» получаем
+β≤−τ−∆−+σβ − 21TT ||[)]()([)]()(2))(([ cktxtxBDIHtxctf
21 |)(|]),(1[|||)(|]||2 TxHeBDIH βϕ+∆−+ τγ− . (28)
После подстановки оценок возмущений (23)–(28) в момент времени Tt =
в значение полной производной функции Ляпунова с использованием обозна-
чений (16) для ),,(1 DBR ),,(2 DBR ),(1 •L )(2 •L получаем
12
ו+−γνβλ−≤ γγ )(|)(|)},(]),,,[({)),(( 1
2
11min LeTxDBRHSeTTxV
dt
d TT
+∆•+∆× γ 2
2
2 |)(|||)(|)(||| TxBLeTxA T |)(|||)0(||),(2 TxxDBRe T
τ
γ & .
Пусть существуют симметричная, положительно-определенная матрица H
и параметры ,,, γνβ при которых выполняется условие (17). Тогда, положив
,
)(
),(]),,,[(||
1
11min
1 •
−γνβλ
α<∆
L
DBRHSA
)(
),(]),,,[(||
2
11min
2 •
−γνβλ
α<∆
L
DBRHSB , ,1,0,0 2121 <α+α>α>α
и обозначив
),(]),,,[()1(][~
11min21 DBRHSM −γνβλα−α−=• ,
получим
|)(|||)0(||)(|)(|)(~)),(( 3
2 TxxLeTxMeTTxV
dt
d Tt
τ
γγ •+•−≤ & .
Поскольку по предположению τ<≤τ− mTm )1( , то
,
||
1
||
1|| ||
1
ln
||
1
ln
1 D
T
D
m
m e
D
e
D
D τ
−−
− <=
поэтому для оценки полной производной
+•−< γ− 2|)(|][~)),(( TxMeTTxV
dt
d T |)(|][~ TxNe T •θ ,
||
1ln1
Dτ
−γ=θ ,
τ
•
=• ||)0(||
||
)(
)(~ 3 x
D
L
N & .
Поскольку согласно условиям теоремы параметры системы таковы, что
,0][~
>•M выполняются условия (12) леммы 2, поэтому при 0≥t справедливо
неравенство
.
),(
][~
2
1exp})exp{(
),()2(][~
][~
)(
),(
),(
][~
2
1exp||)0(||),(||)(
maxmax
min
max
max
γ+
βλ
•
−−γ−θ×
βλγ+θ+•
•
×
×
λ
βλ
+
γ+
βλ
•
−βϕ< τ
t
H
Mt
HM
N
H
Ht
H
MxHtx
Покажем, что при выполнении условий теоремы экспоненциальная устойчи-
вость будет и в метрике 1C . Как следует из результатов леммы 1, для произ-
водной )(tx& в момент времени τ<≤τ− mTm )1( будет выполняться соот-
13
ношение
∑∑
∑
−
=
−
=
τ
−
−
=
−
τ
+τ−∆+τ−σ++
+τ−+++≤
1
0
1
0
1
1
1
1
|)(||||||))((|||||||)0(|||||
|)(||||||)(|||||)0(|||||)(|
m
i
i
m
i
im
m
i
im
iTxDAiTfbDxBD
iTxDBDATxAxDTx &&
.|)(|||||||
1
1∑
=
− τ−∆∆+
m
i
i iTxBDB
С учетом ограничений (2), накладываемых на функцию )),(( tf σ ),()( T txct =σ
имеем
|)(||||)(||))((| τ−≤τ−σ≤τ−σ iTxckiTkiTf .
Отсюда
++++≤ τ
−
τ |)(|]||||||||[||)0(||||||||)0(|||||)(| 1 TxcbkDAxBDxDTx mm &&
∑∑
−
=
−
=
− +τ−∆+τ−+++
1
0
1
1
1 |)(||||||)(||]|||||||[||
m
i
i
m
i
i iTxDAiTxcbkDBDAD
.|)(|||||||
1
1∑
=
− τ−∆∆+
m
i
i iTxBDB
Подставив вместо |)(| Tx и |)(| τ− iTx их верхние оценки, записанные в (19),
получим
++≤ τ
−
τ ||)0(||||||||)0(|||||)(| 1 xBDxDTx mm &&
|)(|max
||1
||||||||||
||
0
sx
D
BABADcbkA
Ts ≤≤
−
∆+∆+++
++ ,
а поскольку
||
1
ln
1 ]||)0(||
||
||||)0(||[||)0(||||||||)0(|||| D
T
mm ex
D
BxxBDxD τ
−
τττ
−
τ +≤+ && ,
то для любого t следует
||
1ln
]||)0(||
||
||||)0(||[|)(| D
t
ex
D
Bxtx τ
−
ττ +≤ && ×
−
∆+∆+++
++
||1
||||||||||||
D
BABDAcbkA
×
λ
βλ
+
γ+
βλ
•
−βϕ× τ )(
),(
),(
][~
2
1exp||)0(||),(
min
max
max H
Ht
H
MxH
]
),(
][~
2
1exp})[exp{(
),()2(][~
][~
maxmax
γ+
βλ
•
−−γ−θ×
βλγ+θ+•
•
× t
H
Mt
HM
N ,
14
т.е. неравенство (20) теоремы.
Замечание 1. В условиях абсолютной устойчивости, сформулированных
в теореме 1, требуется существование положительно-определенной матрицы
H и параметров ,
||
1ln10,0,0
Dτ
<γ<>ν>β при которых разность
),(]),,,[( 11min DBRBHS −γνλ также положительно определена. Нахождение
конструктивных значений этих величин переходит в отдельную задачу нели-
нейной оптимизации.
Замечание 2. В условиях теоремы 1 получены условия равномерной
по запаздыванию абсолютной устойчивости. Поэтому условия накладывают
очень строгие ограничения на матрицу .B
1. Шатырко А.В., Хусаинов Д.Я. Исследование абсолютной устойчивости нелинейных сис-
тем специального вида с последействием методом функций Ляпунова // Международный
научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики». — 2011. — № 4.
— С. 7–20.
2. Лурье А.И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. —
М.; Л.: Гостехиздат, 1951. — 251 с.
3. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем. — М.:
Изд-во АН СССР, 1963. — 261 с.
4. Хусаинов Д.Я., Шатырко А.В. Метод функций Ляпунова в исследовании устойчивости
дифференциально-функциональных систем. — Киев: Изд-во Киев. ун-та, 1997. — 236 с.
5. Шатирко А.В., Хусаінов Д.Я. Дослідження інтервальної стійкості диференціальних сис-
тем регулювання із запізненням за допомогою функціоналів Ляпунова–Красовського //
Вісн. Київ. нац. ун-ту імені Тараса Шевченка. Фіз.-мат. науки. — 2009. — Вип. 3. —
С. 212–221.
6. Шатирко А.В., Хусаінов Д.Я. Абсолютна інтервальна стійкість диференціальних систем
регулювання нейтрального типу // Проблеми динаміки та стійкості багатовимірних сис-
тем. Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2009. — 6, № 3. — С. 232–
247.
7. Шатырко А.В., Хусаинов Д.Я. Абсолютная интервальная устойчивость систем непрямо-
го регулирования нейтрального типа // Проблемы управления и информатики. — 2009.
— № 3. — С. 5–16.
8. Шатырко А.В. Абсолютная интервальная устойчивость систем регулирования ней-
трального типа // Доп. НАНУ. — 2011. — № 2. — С. 18–23.
9. Разумихин Б.С. Устойчивость эредитарных систем. — М.: Наука, 1988. — 112 с.
10. Разумихин Б.С. Об устойчивости систем с запаздыванием // Прикл. математика и меха-
ника. — 1956. — 20, № 4. — С. 500–512.
11. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. — М.: Наука, 1970. — 240 с.
12. Якубович В.А. S-процедура в нелинейной теории управления // Вестн. Ленинград. ун-та.
Мат.–Мех.–Астрономия. — 1971. — № 1. — С. 62–77.
Киевский национальный университет
имени Тараса Шевченко Получено 14.09.2011
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-45686 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0452-9910 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-24T09:45:35Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН України та МОН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Шатырко, А.В. Хусаинов, Д.Я. 2013-06-17T18:45:12Z 2013-06-17T18:45:12Z 2011 Исследование абсолютной интервальной равномерной устойчивости систем нейтрального типа методом функций Ляпунова / А.В. Шатырко, Д.Я. Хусаинов // Кибернетика и вычисл. техника. — 2011. — Вип. 166. — С. 3-14. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0452-9910 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45686 517.929 Доказаны достаточные условия абсолютной интервальной устойчивости решений нелинейных систем регулирования нейтрального типа, равномерной по отклонению аргумента. Построены оценки экспоненциального затухания решений. Аппаратом исследования выбран метод функций Ляпунова. ru Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН України та МОН України Кибернетика и вычислительная техника Сложные системы управления Исследование абсолютной интервальной равномерной устойчивости систем нейтрального типа методом функций Ляпунова Article published earlier |
| spellingShingle | Исследование абсолютной интервальной равномерной устойчивости систем нейтрального типа методом функций Ляпунова Шатырко, А.В. Хусаинов, Д.Я. Сложные системы управления |
| title | Исследование абсолютной интервальной равномерной устойчивости систем нейтрального типа методом функций Ляпунова |
| title_full | Исследование абсолютной интервальной равномерной устойчивости систем нейтрального типа методом функций Ляпунова |
| title_fullStr | Исследование абсолютной интервальной равномерной устойчивости систем нейтрального типа методом функций Ляпунова |
| title_full_unstemmed | Исследование абсолютной интервальной равномерной устойчивости систем нейтрального типа методом функций Ляпунова |
| title_short | Исследование абсолютной интервальной равномерной устойчивости систем нейтрального типа методом функций Ляпунова |
| title_sort | исследование абсолютной интервальной равномерной устойчивости систем нейтрального типа методом функций ляпунова |
| topic | Сложные системы управления |
| topic_facet | Сложные системы управления |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45686 |
| work_keys_str_mv | AT šatyrkoav issledovanieabsolûtnoiintervalʹnoiravnomernoiustoičivostisistemneitralʹnogotipametodomfunkciilâpunova AT husainovdâ issledovanieabsolûtnoiintervalʹnoiravnomernoiustoičivostisistemneitralʹnogotipametodomfunkciilâpunova |