Оптимальные множества практической устойчивости дифференциальных включений с многозначным импульсным воздействием
Доказывается компактность максимальных множеств сильной практической устойчивости дифференциальных включений с импульсным воздействием, изучаются свойства границы и внутренних точек данных множеств. Для линейного включения с импульсным воздействием получена функция Минковского, обратная функция Минк...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и вычислительная техника |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН України та МОН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45687 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Оптимальные множества практической устойчивости дифференциальных включений с многозначным импульсным воздействием / Я.Н. Линдер, В.В. Пичкур // Кибернетика и вычисл. техника. — 2011. — Вип. 166. — С. 15-24. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859801160592916480 |
|---|---|
| author | Линдер, Я.Н. Пичкур, В.В. |
| author_facet | Линдер, Я.Н. Пичкур, В.В. |
| citation_txt | Оптимальные множества практической устойчивости дифференциальных включений с многозначным импульсным воздействием / Я.Н. Линдер, В.В. Пичкур // Кибернетика и вычисл. техника. — 2011. — Вип. 166. — С. 15-24. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и вычислительная техника |
| description | Доказывается компактность максимальных множеств сильной практической устойчивости дифференциальных включений с импульсным воздействием, изучаются свойства границы и внутренних точек данных множеств. Для линейного включения с импульсным воздействием получена функция Минковского, обратная функция Минковского и опорная функция максимального множества, а также критерий принадлежности точки к ее границе. Результаты имеют алгоритмическую направленность.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:13:15Z |
| format | Article |
| fulltext |
15
УДК 517.929.4
Я.Н. Линдер, В.В. Пичкур
ОПТИМАЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА ПРАКТИЧЕСКОЙ
УСТОЙЧИВОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
ВКЛЮЧЕНИЙ С МНОГОЗНАЧНЫМ
ИМПУЛЬСНЫМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ
Доказывается компактность максимальных множеств сильной практи-
ческой устойчивости дифференциальных включений с импульсным воздействием, изу-
чаются свойства границы и внутренних точек данных множеств. Для линейного вклю-
чения с импульсным воздействием получена функция Минковского, обратная функция
Минковского и опорная функция максимального множества, а также критерий принад-
лежности точки к ее границе. Результаты имеют алгоритмическую направленность.
Введение
Системы, на которые влияют кратковременные, но существенные внешние
силы, целесообразно описывать дифференциальными уравнениями с импульс-
ным воздействием. Такие соотношения на данный момент достаточно изучены.
В работах [1–4] исследуются вопросы существования, единственности, про-
должимости, непрерывной зависимости решений от начальных условий, а так-
же устойчивость систем с импульсным воздействием. Задачи практической ус-
тойчивости для таких соотношений с импульсами рассматриваются в [5]. В ра-
ботах [5–8] построены критерии практической устойчивости систем с
импульсным воздействием, получены алгоритмы для нахождения экстремаль-
ных областей начальных условий и их оптимальных оценок.
При условии постоянно действующих возмущений правая часть системы
дифференциальных уравнений приобретает многозначный характер [1, 9–11].
Задачи, связанные с дифференциальными включениями с импульсным воздей-
ствием, на данный момент интенсивно исследуются. В [1, 4] рассматриваются
вопросы существования, непрерывной зависимости от начальных условий,
продолжимости решений дифференциальных включений с импульсным воз-
действием. В [7] изучены свойства максимального по включению множества
для сильной и слабой устойчивости дифференциальных включений, приведены
методы аппроксимации этого множества.
В статье обосновываются свойства множества начальных условий,
для каждой точки из которого все решения дифференциального включения
с импульсным воздействием принадлежат фазовым ограничениям на заданном
временнóм интервале. Импульсные воздействия рассматриваются в фиксиро-
ванные моменты времени. В случае линейного дифференциального включения
с линейным импульсным воздействием получен критерий принадлежности
точки границе оптимального множества, найден функционал Минковского
и опорный функционал. Полученные результаты имеют алгоритмическую
направленность.
Используем следующие обозначения: T — транспонирование; |||| ⋅ — ев-
клидова норма в ;nR )(comp nR — совокупность всех непустых компактных
множеств из )(conv; nn RR — совокупность всех непустых выпуклых компак-
Я.Н. Линдер, В.В. Пичкур, 2011
ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2011. Вып. 166
16
тов из ;nR )(,)( +− xfxf — соответственно левая и правая границы функции f
в точке 1R∈x ; Aint — внутренность, A∂ — граница множества А;
}1=||||:{= xxS nR∈ — единичная сфера; =)(αεK }||||:{ ε≤α−∈ xx nR —
замкнутый шар радиуса ε с центром в точке α; )0(= ε
ε + KAA — ε-рас-
ширение множества ;A })(:{= AxKxA n ⊂∈ ε
>ε< R — ε-сужение мно-
жества A; ||||inf=),( xA
Ax
−ααρ
∈
— расстояние от точки a к множеству А;
),(sup=),( BBA
Aa
αρβ
∈
— полуметрика Хаусдорфа между множествами А и В;
)},(,),(max{=),( ABBABA ββα — метрика Хаусдорфа; =)(suplim t
t
Φ
τ→
Φρ∈=
τ→
))(,(inflim: ttx
t
nR — верхняя топологическая граница отобра-
жения ;Φ )(FΓ — график отображения ;F )(F∆ — трубка отображения F;
ψψ
∈
Tsup=),( xAc
Ax
— опорная функция множества .nA R⊂
Свойства оптимального множества начальных условий
Рассмотрим дифференциальное включение с импульсным воздействием
,=,=,}1,2,...,{,),[,),( 001 TtNittxF
dt
dx
Niii ττ∈ττ∈∈ − (1)
,}11,2,...,{,))(()( −∈τ∈τ − NixGx iii (2)
где nx R∈ — вектор фазовых координат, ,),( Dtx ∈ D — область в .1+nR
Кроме того, для любого },1,2,{ Ni K∈ отображение )(conv: n
i DF R→ удов-
летворяет основным условиям на ),,[ 1 ii ττ − т.е. множество его значений непус-
то, ограничено, замкнуто и выпукло, а само отображение полунепрерывно
сверху по t [9]. Также существуют непрерывные положительные функции
)(tLi такие, что ||,||)()),(,),(( vutLtvFtuF iii −≤α если .),(,),( Dtvtu ∈ Отоб-
ражения )(conv: nn
iG RR → непрерывны, }.1,1,2,{ −∈ Ni K
Решением дифференциального включения с импульсным воздействием (1)
, (2) назовем абсолютно непрерывную на промежутках, которые не содержат
,1},{1,2,, −∈τ Nii K функцию ),,,( 00 txtx которая удовлетворяет диффе-
ренциальному включению (1) почти всюду, а в точках iτ удовлетворяет усло-
вия (2) [1].
Рассмотрим многозначное отображение ),(: tt ΦΦ a которое задает
фазовые ограничения. Отображение )(: tt Φ→Φ компактозначно и полуне-
прерывно сверху на интервалах }.,2,1,{,),[ 1 Nit ii K∈ττ∈ − График ,)( D⊂ΦΓ
),(0 tΦ∈ ),,0(0 tFi∈ ),,[ 1 iit ττ∈ − }.,,21,{ Ni K∈ Кроме этого, ),0(0 iG∈
17
},1,,1,2{ −∈ Ni K т.е. точка 0 принадлежит )(tΦ для всех ],[ 0 Ttt ∈ и является
решением включения (1), (2).
Нулевое решение дифференциального включения (1), (2) называется
},,)(,{ 00 TttG Φ -устойчивым, если для произвольной точки 00 Gx ∈ и решения
),,( 00 txtx включения (1), (2), а также для любого ],[ 0 Ttt ∈ выполняется соот-
ношение .)(),,( 00 ttxtx Φ∈
Совокупность )( 0* tG Φ⊆ называется максимальным по включению мно-
жеством при исследовании практической устойчивости решения 0)( ≡tx вклю-
чения (1), (2) с фазовыми ограничениями, заданными отображением ,Φ если
нулевое решение { }TttG ,,)(, 0* Φ -устойчиво и *0 GG ⊆ для всех множеств
,)( 00 tG Φ⊆ для которых имеет место { }TttG ,,)(, 00 Φ -устойчивость решения
0)( ≡tx включения (1), (2). Другими словами, множество *G состоит из всех
начальных условий, для которых значения соответствующих
решений (1), (2) принадлежат образам отображения Φ на интервале .],[ 0 Tt
Цель настоящего исследования — анализ свойств множества *G . Будем
считать, что *int0 G∈ . Имеет место следующая теорема.
Теорема 1. Если )(comp],[: 0
nTt RaΦ — компактозначное отобра-
жение, то множество *G — компакт, .],[ 0 Ttt ∈
Доказательство. Ограниченность *G следует из ограниченности ),( 0tΦ
так как .)( 0* tG Φ⊆ Докажем замкнутость .*G Выберем последовательность
,=lim,}{ 0* xxGx kk ⊂ где .∞→k Покажем, что .*0 Gx ∈ Предположим
от противного, что существует ],[ 0 Tt∈τ такое, что некоторое решение
)(),,(= 00 τΦ∉τ txxz . Вследствие того, что 0* =lim,}{ xxGx kk ⊂ открыто,
существует 0>r такое, что .)(/)( τΦ⊂ n
r zK R Зафиксируем /2= rε . Пусть
.),[ 1+ττ∈τ ii Согласно [10] для траектории ),,( 00 txtx существует решение
),,( 0txtx k такое, что .<||),,(),,(|| 000 ετ−τ txxtxx k Следовательно, значение
.>,)(),,( 00 kktxx k τΦ∉τ Получили противоречие.
Теорема доказана.
Лемма 1. Пусть отображение )(conv: nnG RR → непрерывно, опорная
функция ),)(( ψxGc непрерывна на nD R⊆ и не имеет на этом множестве мак-
симумов. Тогда для любого Dx∈ и для как угодно малого 0>ε имеет место
включение )),((int)( xKGxG ε⊆ где .)(=))(( )( yGxKG xKyU
ε∈ε
Доказательство. Пусть, от противного, .))(()( ∅≠∂∩ ε xKGxG Тогда
существует такое направление ,S∈ψ что ),))(((=),)(( ψψ ε xKGcxGc [13].
Из этого следует, что для любого )(xKy ε∈ выполняется неравенство
.),)((),)(( ψ≥ψ yGcxGc Следовательно, точка x — локальный максимум
18
функции .),)(( ψxGc Получаем противоречие условию отсутствия максимумов
функции .),)(( ψxGc
Лемма доказана.
Следствие 1. Пусть выполняются условия леммы 1. Тогда для любых ог-
раниченных множеств nYX R⊂, таких, что ,int YX ⊆ и для как угодно
малого 0>ε выполняется .)(int)( YGXG ⊆
Следствие 2. В условиях леммы 1 отображение G является открытым, т.е.
для любого открытого множества U множество )(UG также открыто.
Следствие 3. Пусть отображение G непрерывно дифференцируемо,
т.е. для каждого S∈ψ опорная функция ),)(( ψxGc гладкая по .x Тогда усло-
вие отсутствия максимумов эквивалентно следующему условию: в точках, в
которых градиент по x опорной функции нулевой, матрица Гессе
от ),)(( ψxGc положительно определена. В частности, если для каждого Dx ∈
градиент опорной функции ),)(( ψxGc ненулевой, лемма 1 выполняется.
Обозначим ),,( 00 txtX множество достижимости дифференциального
включения (1), (2), которое соответствует начальному условию .=)( 00 xtx
Другими словами, ),,,(=),,( 0000 txtxtxtX U где объединение осуществляется
по всем решениям дифференциального включения (1), (2). На каждом
отрезке }1,2,...,{,],[ 1 Niii ∈ττ − введем отображения ),,,(=),,(~
0000 txtXtxtX i
),[ 1 iit ττ∈ − и .),,(suplim=),,(~
0000 txtXtxX
it
ii
τ→
τ Также введем отображения
),(=)(~ tti ΦΦ ),[ 1 iit ττ∈ − и .)(suplim=)(~ t
it
ii ΦτΦ
τ→
Пусть .),( 0 Dtp ∈ Обозначим
.}1,2,...,{,),,(~=),)(,(~=)( 00
)(
0
0
NitxtXtpKtXtM i
pKx
ri
r
i
r
∈
∈
U
Из определения следует, что ),(int)( tMtM h
i
r
i ⊆ ,< hr ],,[ 1 iit ττ∈ −
.}1,2,...,{ Ni ∈ Имеет место следующее утверждение.
Лемма 2. Пусть для отображений },1,...,2,1{),( −∈ NixGi выполняются
условия леммы 1. Тогда справедливы включения ),(int)( tMtM h
i
r
i ⊆ ,< hr
.}1,2,...,{],,[ 1 Nit ii ∈ττ∈ −
Доказательство. На отрезке ],[ 10 ττ утверждение верно, исходя из свойств
решений дифференциальных включений [7]. В момент времени 1= τt имеем
.)(int)( 1111 τ⊆τ hr MM Согласно следствию 1 леммы 1 получаем
).(=))((int))((=)( 1211111112 ττ⊆ττ hhrr MMGMGM
Из )(int)( 1212 τ⊆τ hr MM и свойств решений дифференциальных включений [7]
следует .],[,)(int)( 2122 ττ∈⊆ ttMtM hr Продолжая аналогичные рассуждения,
19
последовательно переходим из интервала ],[ 21 ττ на ],[ 32 ττ и т.д. к ,],[ 1 NN ττ −
доказываем на каждом из них включение .<,)()( hrtMtM h
i
r
i ⊆
Лемма доказана.
Теорема 2. Пусть Φ — полунепрерывное сверху компактозначное
отображение. Для того чтобы ,*0 Gx ∂∈ необходимо и достаточно, чтобы
)())(( 0 ΦΓ⊆Γ xX и существовало }1,2,...,{ Ni ∈ такое, что ∩∆ ))(~( 0xX i
.)~( ∅≠Φ∆∩ i
Доказательство. Необходимость. Пусть .*0 Gx ∂∈ Предположим от про-
тивного, что для каждого }1,2,...,{ Ni ∈ .=)~())(~( 0 ∅Φ∆∩∆ ii xX Покажем, что
отображение r
i
r
i txtXtxX )),,(~(:)(~
000 a полунепрерывно сверху на ],[ 1 ii ττ − и
для каждого ],[ 1 iit ττ∈ − множество r
i txtX )),,(~( 00 — компакт. Действительно,
отображение )(~
01 xX полунепрерывно сверху и компактозначно в каждой
точке первого интервала, а следовательно, )(~
01 xX r тоже владеет этими
свойствами. Значит, rtxX )),,(~( 0011 τ — компакт и =))),,(~(( 00111
rtxXG τ
rtxX )),,(~( 0012 τ= — компакт, принимая во внимание непрерывность и ком-
пактозначность отображения )(1 ⋅G . Тогда )(~
02 xX r полунепрерывно сверху
и компактозначно в каждой точке из .],[ 21 ττ Продолжая рассуждения,
доказываем справедливость утверждения на каждом интервале ,],[ 1 ii ττ −
.}1,2,...,{ Ni ∈ Следовательно, для каждого отрезка ],[ 1 ii ττ − существует 0,>iρ
для которого ∅Φ∆∩∆ΦΓ⊆Γ =)~())(~(),~())(~( 00 i
r
ii
r
i xXxX при ][0, ir ρ∈ .
Таким образом, ]}}1,2,...,{,min{[0,,],[,)()),,(( 000 NirTttttxtX i
r ∈ρ∈∈Φ⊂ .
Выберем последовательность *0 ,}{ Gxxx kk ∉→ . По теореме о непрерывной
зависимости решений дифференциальных включений с импульсным воз-
действием от начальных условий [1] мы можем выбрать 0>δ такое,
что как только ,<|||| 0 δ− kxx для произвольного решения ),,( 0txtx k сущест-
вует решение ),,,( 00 txtx для которого .||),,(),,(|| 000 rtxtxtxtx k ≤− Следо-
вательно, .)(),,( 0 ttxtx k Φ∈ Получили противоречие определению .*G
Достаточность. От противного. Пусть )())(( 0 ΦΓ⊆Γ xX и существует
}1,2,...,{ Ni ∈ такое, что ∅≠Φ∆∩∆ )~())(~( 0 ii xX , но .*0 Gx ∂∉ Тогда существует
окрестность *0 int Gx r ⊂ . По лемме 2 r
ii MtxtX int),,(~
00 ⊂ при ],,[ 1 iit ττ∈ −
.}1,2,...,{ Ni ∈ Поскольку ,)~()())(~( 0 i
r
ii MxX ΦΓ⊆Γ⊆Γ ,=)())(~( 0 ∅∆∩∆ r
ii MxX
то ,=)~())(~( 0 ∅Φ∆∩∆ ii xX ],,[ 1 iit ττ∈ − .}1,2,...,{ Ni ∈
Теорема доказана.
Следствие 1. Пусть )(
*
iG — максимальные по включению множества
практической устойчивости дифференциального включения ,),( txF
dt
dx
i∈
20
],[ 1 iit ττ∈ − . Тогда *0 Gx ∂∈ тогда и только тогда, когда для каждого
}...,,1,2{ Ni ∈ выполняется )(
*00 ),,( i
i GtxX ⊆τ и существует }...,,1,2{ Ni ∈ такое,
что .),,( )(
*00 ∅≠∂∩τ∂ i
i GtxX
Следствие 2. Точка *0 intGx ∈ тогда и только тогда, когда для каждого
},...,1,2{ Ni ∈ выполняется )(
*00 int),,( i
i GtxX ⊆τ .
Следствие 3. Точка *0 intGx ∈ тогда и только тогда, когда ⊆Γ ))(( 0xX
)(ΦΓ⊆ и для каждого },...,1,2{ Ni ∈ пересечение .=)~())(~( 0 ∅Φ∆∩∆ ii xX
Свойства оптимального множества в случае линейных
дифференциальных включений с импульсным воздействием
Рассмотрим линейное дифференциальное включение с импульсным воз-
действием
,=,=,}1,2,...,{,),[,)()( 001 TtNittUxtA
dt
dx
Niiii ττ∈ττ∈+∈ − (3)
,}11,2,...,{,)()( −∈+τ∈τ −+ NiVxBx iiii (4)
где ),,[,,)( 1 ii
nn
ii tBtA ττ∈∈ −
×R iV — выпуклый компакт. Кроме того,
)(tAi — непрерывные на ),,( 1 ii ττ − iB — невырожденные матрицы. Условие
невырождености необходимо в результате следующих соображений. Запишем
опорную функцию импульсного воздействия .),(=),( TT ψ+ψψ+ iiii VcBxVxBc
Тогда для выполнения леммы 1 необходимо, чтобы 0= T ≠ψ′ ix Bc для каждого
,S∈ψ т.е. чтобы матрица iB была невырожденной.
Обозначим ,)(),(=)( i dssUstttQ i
i
i Θ∫ τ
где ),( stiΘ — фундаментальная
матрица системы ,)(= xtA
dt
dx
i нормированная в точке ,s интеграл рассмат-
риваем в смысле Ауманна [13]. Анализируем включение (3), (4) на практи-
ческую устойчивость, предполагая, что отображение ),(: tt ΦΦ a которое за-
дает фазовые ограничения, выпуклозначно и непрерывно по Хаусдорфу
на .),( 1 ii ττ −
На интервале ),[ 1 iit ττ∈ − решение будет иметь вид =),,( 00 txtX
),()(= 0 tMxtH + где
×
ττΘτΘ −
−
− ∏∑ ),(),(=)( 1j
1=2=
1 jjj
k
ij
i
k
ii BttM
21
,)())(( 11121 tQVQB ikkkk −−−−− ++τ×
.),[,),(),(=)( 11j
1
1=
iijjj
ij
ii tBttH ττ∈
ττΘτΘ −−
−
∏
Оператор произведения в выражениях для )(,)( tMtH является произведением
с обратным порядком умножения:
≥−
∏
.<,1
,,...
=
1
= ba
baBBB
B
baa
i
b
ai
В данной формуле )(),( tMtH являются разрывными в точках переключения. В
таком случае отображения ),,(~
00 txtX i запишем +})({=),,(~
000 xtHtxtX ii
,)(tM i+ где ),(=)( tHtH i )(=)( tMtM i для всех ,),[ 1 iit ττ∈ − а
.)(lim=)(,)(lim=)( tMMtHH
it
ii
it
ii
−τ→−τ→
ττ (5)
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 3. Множество *G выпукло.
Доказательство. Возьмем две произвольные точки a и b из множества *G .
Поскольку ),(),,( 0 ttatX Φ⊆ ),(),,( 0 ttbtX Φ⊆ то вследствие выпуклости мно-
жества .)(),,()(1),,()( 00 ttbtXtatXt Φ⊆λ−+λΦ С другой стороны,
.]1,0[),())(1)((),,()1(),,( 00 ∈λ+λ−+λ=λ−+λ tMbatHtbtXtatX Значит,
.)(1 *Gba ∈λ−+λ
Теорема доказана.
Согласно теореме 2 для того чтобы ,*0 Gx ∂∈ необходимо и достаточно,
чтобы )(),,( 00 ttxtX Φ⊆ и существовали ],[,}1,2,...,{ 1 iitNi ττ∈∈ − такие, что
.)~())(~( 0 ∅≠Φ∆∩∆ ii xX Итак, исходя из свойств опорной функции [13],
получим
),)(~(),),,(~( 00 ψΦ≤ψ tctxtXc ii ],[,1},{0,1,..., 1 iitSNi ττ∈∈ψ−∈∀ − . (6)
Но, с другой стороны, существует S∈ξ такое, что
.),)(~(=),),,(~( 00 ξΦξ tctxtXc ii (7)
Выписав опорный функционал для ),,,(~
00 txtX i получим
.),)((})({=
=),)((),})(({=),),,(~(
0
T
000
ψ+ψ
ψ+ψψ
tMcxtH
tMcxtHctxtXc
ii
iii
Из (6), (7) следует, что для каждого ],[,},{1,2,..., 1 iitSNi ττ∈∈ψ∈ −
22
),)((),)(~(})({ 0
T ψ−ψΦ≤ψ tMctcxtH iii (8)
и существуют ,S∈ξ ,}{1,2,..., Ni ∈ ],[ 1 ii ττ∈τ − такие, что
.),)((),)(~(=})({ 0
T ξτ−ξτΦτξ iii MccxH (9)
Систему (8), (9) при условии
0>),)((),)(~( ψ−ψΦ tMctc ii (10)
можно переписать в виде
1,
),)((),)(~(
),(),( 01j
1
1=
T
≤
ψ−ψΦ
ττΘτΘψ +
−
∏
tMctc
xBt
ii
jjj
ij
ii
;,],[},{1,2,..., 1 StNi ii ∈ψττ∈∈ − при этом для некоторого ,}{1,2,...,, NiS ∈∈ξ
],[ 1 ii ττ∈τ − будет достигаться равенство. Условие (10) эквивалентно принад-
лежности нулевого решения задачи (1), (2) множеству .*G
Критерий. Для того чтобы ,*0 Gx ∂∈ необходимо и достаточно, чтобы
выполнялось соотношение
1,=
),)((),)(~(
),(),(
maxmaxmax
01j
1
1=
T
],[},,1,2{ 1 ψ−ψΦ
ττΘτΘψ +
−
∈ψττ∈∈
∏
− tMctc
xBt
ii
jjj
ij
ii
StNi iiK
(11)
где )(tM i определяются согласно (5).
Следствие 1. Функция
),)((),)(~(
),(),(
maxmaxmax=)(
01j
1
1=
T
],[},,1,2{
0*
1 ψ−ψΦ
ττΘτΘψ +
−
∈ψττ∈∈
∏
− tMctc
xBt
xm
ii
jjj
ij
ii
StNi iiK
является функцией Минковского множества ,*G при этом =*G
.}1)(:{ 0*0 ≤∈= xmx nR
Доказательство. По определению функционал Минковского =),( *Gxm
}/:0>{inf *Gtxt ∈= [12]. Пусть .nx R∈ Тогда в результате компактности
и выпуклости множества *G и критерия 1 имеем ** ),(/ GGxmx ∂∈ и
.1=)),(/( ** Gxmxm Вследствие положительной однородности функционала
Минковского получаем .),(=)( ** Gxmxm
Следствие доказано.
Следствие 2. Функция деформации множества *G имеет вид
23
,,
),(),(
),)((),)(~(
minminmin=)(
1
1
1=
T],[},,1,2{
*
1
Sl
lBt
tMctclk
jjjj
ij
ii
ii
StNi ii
∈
ττΘτΘψ
ψ−ψΦ
+
−
′∈ψττ∈∈
∏−K
(12)
где S ′ — совокупность всех ,S∈ψ для которых знаменатель выражения (12)
положительный. Тогда .},)](0,[,=:{= ** SllkkklkxG n ∈∈∈R
Замечание. Если выпуклозначное отображение Φ кусочно непрерывное
на отрезке ],,[ 0 Tt ),( −Φ t )( +Φ t ограничены, ],,[ 0 Ttt ∈ то формула (11) имеет
вид
,1=}),,(),,,({maxmaxmaxmax
],[},,1,2{ 1
ψψ +−
∈ψττ∈∈ −
itKitK
StNi iiK
где
,
),)((),)(~(
),(),(
= ),,(
01j
1
1=
T
ψ−ψΦ
ττΘτΘψ
ψ
−
+
−−
∏
tMctc
xBt
itK
ii
jjj
ij
ii
,
),)((),)(~(
),(),(
=),,(
01j
1
1=
T
ψ−ψΦ
ττΘτΘψ
ψ
+
+
−+
∏
tMctc
xBt
itK
ii
jjj
ij
ii
причем },,...,1,2{,0>),)((),)(~(,0>),)((),)(~( NitMctctMctc iiii ∈ψ−ψΦψ−ψΦ +−
],,[ 1 iit ττ∈ − .S∈ψ В этом случае функция деформации множества *G запи-
сывается таким образом:
.
),(),(
),)(()},)(~(,),)(~(min{
minminmin=)(
1j
1
1=
T
'],[}1,2{ 1
lBt
tMctctc
lk
jjj
ij
ii
iii
StNi ii
ττΘτΘψ
ψ−ψΦψΦ
+
−
+−
∈ψττ∈∈
∏
−K
Из соотношения (8) следует, что ),,)((),)(~(0
T
0 ψ−ψΦ≤ψ tMctcx ii где
.],[,,= 1
T
0 iii tSH ττ∈∈ψψψ − Матрицы )(tH i являются невырожденными,
поэтому .))((= 0
T1 ψψ − tH i Затем получаем
,}1,2{,],[
,)))((,)(()))((,)(~(
1
0
T1
0
T1
0
T
0
Nit
tHtMctHtcx
ii
iiii
K∈ττ∈
ψ−ψΦ≤ψ
−
−−
.
))))((,)(()))((,)(~((minmin
0
0
T1
0
T1
],[}1,2{
0
T
0
1
n
iiii
tNi
tHtMctHtcx
ii
R∈ψ∀
ψ−ψΦ≤ψ −−
ττ∈∈ −K
24
Функция в правой части неравенства положительно однородна, и это неравен-
ство однозначно определяет точки множества .*G По теореме о взаимосвязи
между опорной функцией и выпуклым множеством [12]
=),( 0* ψGc
)).))((,)(()))((,)(~((minmin 0
T1
0
T1
],[},...,1,2{ 1
ψ−ψΦ= −−
ττ∈∈ −
tHtMctHtcco iiii
tNi ii
(13)
Здесь )(⋅oc — выпуклая оболочка функции [12]. Таким образом, получаем сле-
дующее утверждение.
Теорема 4. Опорная функция множества *G имеет вид (13).
Выводы. В данной работе анализируются свойства максимального
по включению множества практической устойчивости дифференциальных
включений с импульсным воздействием. Обоснована компактность и теорема о
внутренних и граничных точках множества *G . Доказан критерий принадлеж-
ности точки границе множества *G в случае линейного дифференциального
включения с линейным импульсным воздействием, найден функционал Мин-
ковского, функция деформации и опорная функция такого множества.
1. Перестюк Н.А., Плотников В.А, Самойленко А.М., Скрипник Н.В. Импульсные диффе-
ренциальные уравнения с многозначной и разрывной правой частью. — Киев: Ин-т ма-
тематики НАН Украины, 2007. — 428 с.
2. Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсным воз-
действием. — Киев: Выща шк., 1987. — 286 с.
3. Lakshmikantham V., Bainov D.D., Simeonov P.S. Theory of impulsive differential equations.
— World Sci., 1989. — 273 с.
4. Benchora M., Henderson J. Impulsive differential equations and inclusions. — Contemporary
Mathematics and its Appl. — 2. — USA: Hindawi Publish. Corpor., 2006. — 366 c.
5. Гаращенко Ф.Г., Пічкур В.В. Критерії практичної стійкості для динамічних систем з ім-
пульсним впливом // Вісн. Київ. нац. ун-ту імені Тараса Шевченка. Кібернетика. —
2002. — Вип. 3. — С. 35–37.
6. Гаращенко Ф.Г., Хитько И.В. Максимальные по включению множества практической
устойчивости импульсных систем // Кибернетика и вычислительная техника. — 2004. —
Вып. 142. — С. 65–72.
7. Башняков О.М., Гаращенко Ф.Г., Пічкур В.В. Практична стійкість, оцінки та
оптимізація. — Київ: Київ. нац. ун-т імені Тараса Шевченка, 2008. — 383 с.
8. Бублик Б.Н., Гаращенко Ф.Г., Кириченко Н.Ф. Структурно-параметрическая оптимиза-
ция и устойчивость динамики пучков. — Київ: Наук. думка, 1985. — 304 с.
9. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывными правыми частями и диф-
ференциальные включения // Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные
уравнения. — М.: Физматлит, 2003. — С. 265–288.
10. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М.: Нау-
ка, 1985. — 223 с.
11. Aubin J.-P., Frankowska H. Set-valued analysis. — Boston: Birkhauser, 1990. — 460 c.
12. Половинкин Е.С., Балашов М.В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. —
М.: Физматлит, 2004. — 416 с.
13. Благодатских В.И. Теория дифференциальных включений. — М.: Изд-во МГУ, 1979. —
88 с.
Киевский национальный университет
имени Тараса Шевченко Получено 18.10.2011
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-45687 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0452-9910 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:13:15Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН України та МОН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Линдер, Я.Н. Пичкур, В.В. 2013-06-17T18:48:03Z 2013-06-17T18:48:03Z 2011 Оптимальные множества практической устойчивости дифференциальных включений с многозначным импульсным воздействием / Я.Н. Линдер, В.В. Пичкур // Кибернетика и вычисл. техника. — 2011. — Вип. 166. — С. 15-24. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0452-9910 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45687 517.929.4 Доказывается компактность максимальных множеств сильной практической устойчивости дифференциальных включений с импульсным воздействием, изучаются свойства границы и внутренних точек данных множеств. Для линейного включения с импульсным воздействием получена функция Минковского, обратная функция Минковского и опорная функция максимального множества, а также критерий принадлежности точки к ее границе. Результаты имеют алгоритмическую направленность. ru Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН України та МОН України Кибернетика и вычислительная техника Сложные системы управления Оптимальные множества практической устойчивости дифференциальных включений с многозначным импульсным воздействием Article published earlier |
| spellingShingle | Оптимальные множества практической устойчивости дифференциальных включений с многозначным импульсным воздействием Линдер, Я.Н. Пичкур, В.В. Сложные системы управления |
| title | Оптимальные множества практической устойчивости дифференциальных включений с многозначным импульсным воздействием |
| title_full | Оптимальные множества практической устойчивости дифференциальных включений с многозначным импульсным воздействием |
| title_fullStr | Оптимальные множества практической устойчивости дифференциальных включений с многозначным импульсным воздействием |
| title_full_unstemmed | Оптимальные множества практической устойчивости дифференциальных включений с многозначным импульсным воздействием |
| title_short | Оптимальные множества практической устойчивости дифференциальных включений с многозначным импульсным воздействием |
| title_sort | оптимальные множества практической устойчивости дифференциальных включений с многозначным импульсным воздействием |
| topic | Сложные системы управления |
| topic_facet | Сложные системы управления |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45687 |
| work_keys_str_mv | AT linderân optimalʹnyemnožestvapraktičeskoiustoičivostidifferencialʹnyhvklûčeniismnogoznačnymimpulʹsnymvozdeistviem AT pičkurvv optimalʹnyemnožestvapraktičeskoiustoičivostidifferencialʹnyhvklûčeniismnogoznačnymimpulʹsnymvozdeistviem |