О платоновых телах и одной минимаксиминной функции
Рассмотрена функция преимущества убегающего над группой преследователей (функция Чикрия) для случая игрового взаимодействия в трехмерном пространстве. Получены точные значения функции для некоторых значений количества преследователей. Для остальных значений количества преследователей получена нижняя...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и вычислительная техника |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН України та МОН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45689 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О платоновых телах и одной минимаксиминной функции / Л.Г. Орехова // Кибернетика и вычисл. техника. — 2011. — Вип. 166. — С. 39-46. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-45689 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Орехова, Л.Г. 2013-06-17T18:52:43Z 2013-06-17T18:52:43Z 2011 О платоновых телах и одной минимаксиминной функции / Л.Г. Орехова // Кибернетика и вычисл. техника. — 2011. — Вип. 166. — С. 39-46. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 0452-9910 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45689 518.9 Рассмотрена функция преимущества убегающего над группой преследователей (функция Чикрия) для случая игрового взаимодействия в трехмерном пространстве. Получены точные значения функции для некоторых значений количества преследователей. Для остальных значений количества преследователей получена нижняя оценка функции. Также улучшена нижняя оценка функции преимущества убегающего для случаев игрового взаимодействия в многомерном пространстве. ru Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН України та МОН України Кибернетика и вычислительная техника Сложные системы управления О платоновых телах и одной минимаксиминной функции Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О платоновых телах и одной минимаксиминной функции |
| spellingShingle |
О платоновых телах и одной минимаксиминной функции Орехова, Л.Г. Сложные системы управления |
| title_short |
О платоновых телах и одной минимаксиминной функции |
| title_full |
О платоновых телах и одной минимаксиминной функции |
| title_fullStr |
О платоновых телах и одной минимаксиминной функции |
| title_full_unstemmed |
О платоновых телах и одной минимаксиминной функции |
| title_sort |
о платоновых телах и одной минимаксиминной функции |
| author |
Орехова, Л.Г. |
| author_facet |
Орехова, Л.Г. |
| topic |
Сложные системы управления |
| topic_facet |
Сложные системы управления |
| publishDate |
2011 |
| language |
Russian |
| container_title |
Кибернетика и вычислительная техника |
| publisher |
Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН України та МОН України |
| format |
Article |
| description |
Рассмотрена функция преимущества убегающего над группой преследователей (функция Чикрия) для случая игрового взаимодействия в трехмерном пространстве. Получены точные значения функции для некоторых значений количества преследователей. Для остальных значений количества преследователей получена нижняя оценка функции. Также улучшена нижняя оценка функции преимущества убегающего для случаев игрового взаимодействия в многомерном пространстве.
|
| issn |
0452-9910 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/45689 |
| citation_txt |
О платоновых телах и одной минимаксиминной функции / Л.Г. Орехова // Кибернетика и вычисл. техника. — 2011. — Вип. 166. — С. 39-46. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT orehovalg oplatonovyhtelahiodnoiminimaksiminnoifunkcii |
| first_indexed |
2025-11-27T02:49:23Z |
| last_indexed |
2025-11-27T02:49:23Z |
| _version_ |
1850792549399134208 |
| fulltext |
39
УДК 518.9
Л.Г. Орехова
О ПЛАТОНОВЫХ ТЕЛАХ И ОДНОЙ
МИНИМАКСИМИННОЙ ФУНКЦИИ
Рассмотрена функция преимущества убегающего над группой преследо-
вателей (функция Чикрия) для случая игрового взаимодействия в трехмерном прос-
транстве. Получены точные значения функции для некоторых значений количества
преследователей. Для остальных значений количества преследователей получена нижняя
оценка функции. Также улучшена нижняя оценка функции преимущества убегающего
для случаев игрового взаимодействия в многомерном пространстве.
Введение
В теории убегания хорошо известна задача убегания одного убегающего от
группы преследователей [1]. Для обеспечения убегания из любых начальных
положений на полубесконечном интервале должны выполняться определенные
условия преимущества убегающего над каждым из преследователей. Эти усло-
вия удобно выражаются некоторой числовой функцией ),( νω n [1]. Здесь n —
размерность игрового пространства, ν — количество преследователей. Настоя-
щая работа посвящена вычислению значений функции ),,( νω n а если сделать
это не удается, то получению ее нижних оценок.
Постановка задачи
Определим ),( νω n — функцию Чикрия [1]. Пусть ,...,,1, υ=ipi и ν —
единичные векторы из евклидового пространства nR . Введем в рассмотрение
функцию целочисленного аргумента
,,...2,1,...;2,1|,),(|minmaxmin),(
,...,11||||1||||
=ν==νω
ν===
nVpn i
iVpi
(1)
где ),( ⋅⋅ — модуль скалярного произведения, принимающий значения между
нулем и единицей.
Ранее в работах [2, 3] была получена нижняя оценка
,
2
sin),(
π
≥νω
k
n (2)
где k = max(n, ν), n, ν ≥ 2. Эта оценка основывалась на том, что для двумерного
пространства существует формула для точного вычисления функции «превос-
ходства» :),( νω n
ν
π
=νω
2
sin),(n для 2,=≥ν n
Л.Г. Орехова, 2011
ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2011. Вып. 166
40
а также на соображениях о том, что для фиксированного числа преследователей
при увеличении размерности пространства возможности убегания расширяют-
ся, а значит, функция «превосходства» увеличивается.
В данной работе получены точные значения функции ),( νω n для некото-
рых значений числа преследователей, а также описан процесс получения более
строгой нижней оценки для размерностей пространства .3≥n Для нахождения
значений функции ),( νω n заметим, что векторы pi и – pi лежат
на одной прямой линии и все эти линии пересекаются в одной точке — начале
координат, а вектор ν — единичный вектор, выходящий из начала координат.
Прямые, пересекающиеся в нуле, образуют своеобразный «ежик». Для уяс-
нения связи данной геометрической конструкции с прямыми и вставляемым
вектором ν с функцией ),( νω n проведем следующие рассуждения.
Для начала зафиксируем положение «ежика» и вектора ν и найдем угол
между вектором и каждой прямой. Затем из всех этих углов найдем минималь-
ный (внутренний min). Теперь, оставляя «ежик» неподвижным, переместим
вектор в такое положение, чтобы обозначенный выше угол стал максимальным
(max в формуле для ),( νω n ). И, наконец, для получения значения функции
),( νω n нужно изначально расположить прямые так, чтобы минимизировать
найденный выше максимальный угол (внешний min).
Случай трехмерного пространства R3
В данном случае «ежик» разбивает пространство на определенное количе-
ство пирамид, вершины которых совпадают с началом координат. Назовем эти
пирамиды элементарными. Основаниями данных пирамид есть многогранни-
ки. Очевидно, что эти многогранники обладают следующими свойствами:
1) имеют четное число вершин;
2) для каждой вершины найдется одна и только одна вершина, симметрич-
ная ей относительно центра многогранника (центр многогранника в данном
случае — точка пересечения прямых — преследователей).
Очевидно, что на основе конкретно взятого «ежика» можно построить не
один многогранник (можно по-разному скомпоновать пирамиды. Например,
две треугольные пирамиды с общей гранью можно объединить в одну четырех-
угольную).
Посмотрим на способ построения пирамид с точки зрения игрока, который
распоряжается построением единичного вектора. Он стремится занять положе-
ние, «максимально далекое от ближайшей прямой». Под этим термином нужно
понимать такое положение вектора убегающего, при котором минимальный из
углов, который вектор образует с прямыми, будет максимальным. Идеальное
положение для него — занять линию высоты правильной пирамиды, причем
желательно, чтобы эта пирамида была как можно «шире»,
т.е. чтобы угол между ее высотой и боковым ребром был как можно больше,
т.е. вектор будет «искать» правильные пирамиды, из них выберет самую «ши-
рокую» и станет на линию ее высоты.
Теперь посмотрим на способ построения пирамид с точки зрения преследо-
вателя, задающего построение «ежика». Выбранная вектором «самая широкая
41
правильная пирамида должна быть как можно «уже», т.е., чтобы угол между ее
высотой и боковым ребром был как можно меньше. Логично предположить, что
оптимальная ситуация для «ежика» — когда он разбивает пространство на аб-
солютно одинаковые, как можно более «узкие», пирамиды.
В этом случае построенный многогранник будет правильным. Разумеется,
эти рассуждения носят интуитивный характер, однако помогают понять анали-
тические возможности при нахождении значений функции .),( νω n
Точные значения функции Чикрия для некоторых значений
числа преследователей
Существует пять типов правильных многогранников [4]. Эти многогран-
ники и их свойства описаны более двух тысяч лет назад древнегреческим фи-
лософом Платоном, чем и объясняется их общее название.
Числовые характеристики платоновых тел приведены в табл. 1. Для нас
наиболее важными будут такие характеристики, как форма грани и радиус опи-
санной и вписанной окружностей [4].
Таблица 1. Числовые характеристики платоновых тел
Много-
гранник m R r k Г В Р
Тетраэдр 3 a⋅
2
3 a⋅
6
1 3 4 4 6
Гексаэдр
(куб) 4 a⋅3 a 3 6 8 12
Октаэдр 3 a⋅2 a⋅
3
2 4 8 6 12
Икосаэдр 3 )55(2
4
+
a
34
53 +
⋅a 5 20 12 30
Додекаэдр 5 )51(
4
3
+⋅
a
5
2210
4
+
a 3 12 20 30
Примечание: m — число сторон грани, R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной
окружности, k — число граней, сходящихся в вершине, Г — число граней, В — число вершин, Р —
число ребер
Из этих пяти многогранников тетраэдр не удовлетворяет определенному
выше свойству 2, а значит, исключим его из рассмотрения.
Для каждого из видов многогранников нужно найти n — число диагоналей
многогранника, проходящих через центр масс (оно же число преследователей)
и sin(α) — синус угла между боковым ребром и высотой, проведенной из вер-
шины элементарной пирамиды (оценку функции «превосходства» .)),( νω n Бу-
дем искать sin(α) из соотношения радиусов описанной и вписанной окружно-
стей.
Покажем, что если α — угол между боковым ребром и высотой, проведен-
ной из вершины элементарной пирамиды, то cos(α) равен отношению радиуса
вписанной в многогранник окружности к радиусу описанной вокруг много-
гранника окружности.
42
На рис. 1 изображен правильный многогранник. Точка О — центр много-
гранника, а учитывая его правильность — также центр вписанной и описанной
сфер. OABCDE — элементарная пирамида, OF — высота, опущенная из вер-
шины, угол FOD = α — угол между боковым ребром и высотой, проведенной из
вершины элементарной пирамиды.
E
A D
Рис. 1. Элементарная пирамида в составе правильного многогранника
Окружность, описанная вокруг многогранника, проходит через все его
вершины, а значит, она проходит через вершины A, B, C, D и E. Так как О —
центр окружности, проходящей через точки A, B, C, D и E, то OA = OB =
= OC = PD = OE = R — радиус описанной окружности.
Точка О — центр вписанной окружности, отрезок OF перпендикулярен
плоскости ABCDE (как высота пирамиды OABCDE, проведенная из точки О).
Значит, ABCDE является касательной к вписанной окружности. А так как по-
лученные результаты справедливы для всех элементарных пирамид в много-
граннике, отрезок OF = r является радиусом вписанной окружности.
Из треугольника FOD следует, что
./ = Ο/Ο=)α RrDFcos( (3)
Проведем расчеты согласно формуле (3) и свойствам тригонометрических
функций.
Расчеты для гексаэдра:
.
3
2
3
111)(cos1)(sin)3,3(
22
2 =
−=
−=α−=α=ω
R
r
Расчеты для икосаэдра:
.
56
152
)55(2
4
34
53
11)(cos1)sin()6,3(
2
2
2 −
=
+
+
⋅
−=
−=α−=α=ω
a
a
R
r
43
Расчеты для октаэдра и додекаэдра проводятся аналогично. Полученные
результаты приведены в табл. 2.
Как видим, значения функции ),( νω n совпадает для пар многогранников
гексаэдр–октаэдр и икосаэдр–додекаэдр. Такое совпадение вызвано тем, что со-
ответствующие пары многогранников двойственные, т.е. каждой грани исход-
ного многогранника соответствует вершина двойственного и каждой вершине
исходного — грань двойственного.
Таблица 2. Точное значение функции Чикрия для некоторых комбинаций входных па-
раметров
Размерность про-
странства, n
Число преследо-
вателей, ν
Многогранник Значение функции
),( νω n
3 3 Гексаэдр (куб)
3
2
3 4 Октаэдр
3
2
3 6 Икосаэдр
56
152 −
3 10 Додекаэдр
56
152 −
Нижняя оценка для функции ω(3,ν)
Как уже говорилось ранее, наилучшая ситуация для достижения внешнего
«min» в записи функции Чикрия складывается, когда множество прямых, кото-
рые пересекаются в одной точке, разбивает пространство на абсолютно одина-
ковые, как можно более «узкие» элементарные пирамиды.
Логично, что пирамиды тем «уже», чем их больше. Однако количество пи-
рамид ограничено количеством прямых, которые формируют боковые ребра
пирамид. Значит, нужно формировать пирамиды так, чтобы каждая прямая
служила ребром как можно большему числу разных пирамид, а значит, дву-
гранный угол при ребре пирамиды должен быть как можно меньше. Из этого
следует, что оптимальное решение — расположить прямые так, чтобы они раз-
бивали все пространство на равные треугольные пирамиды.
Разумеется, не для каждого количества прямых (ν) такое расположение
возможно. Но предположив, что оно существует, мы можем получить нижнюю
оценку функции .),( νω n
Итак, используя ν прямых, которые пересекаются в одной точке, мы разде-
лили трехмерное пространство на равные правильные треугольные пирамиды.
Для простоты вычислений примем длину всех боковых ребер всех пирамид
равной 1. Одна из таких пирамид изображена на рис. 2.
44
B
C A
D
E
1
α
β
Рис. 2. Элементарная пирамида
Обозначим двугранный угол при ребре пирамиды буквой β. Угол между
высотой пирамиды и ее боковым ребром обозначим α. Искомая величина —
ω(3,ν) = sin(α). Поскольку длина бокового ребра равна 1, sin(α) равен длине
отрезка ОА. Обозначим эту длину символом r.
Решим простую задачу стереометрии. Пусть х — длина отрезка CD.
В силу правильности пирамиды BD = x.
Применим теорему косинусов к треугольнику CDB:
)(cos22 22 β−= xxCB . В силу правильности пирамиды имеем == BACA
)(cos22 22 β−= xx . Из треугольника ABD по теореме Пифагора
)(cos2)(cos22 2222222 β−=−β−=−= xxxxxBDABAD .
Из треугольника EBD по теореме Пифагора
,1 222 xBDEBED −=−=
.)(cos211 222 β−+−===+ xxxAEADED
Решив это уравнение, получим
)(cos1
)(cos21
β−
β−
=x . В треугольнике АВС
ОА — радиус окружности, описанной около правильного треугольника.
Значит, ОА = АВ / √3:
)(cos1
)(cos21
3
2
3
)(cos22
3
22
β−
β−
⋅=
β−
===
xxABrOA .
В результате получаем
)(cos1
)(cos21
3
2)(sin 22
β−
β−
⋅==α r .
Всего имеется ν прямых, которые пересекаются в одной точке. Они обра-
зуют 2ν лучей, которые начинаются в одной точке.
45
Пусть каждый луч является ребром одновременно для К1 пирамид. Дву-
гранный угол при ребре пирамиды равен β, сумма двугранных углов, вершиной
которых является один луч, равна 2π, а значит, число К1 может быть рассчитано
по формуле ./2K1 βπ= Всего имеем 2ν лучей, каждый является ребром для К1
пирамид, для формирования одной пирамиды нужно три разных луча. Значит,
количество пирамид может быть рассчитано по формуле
.
3
4
3
2 1
β
πν
=
ν
=
K
N (4)
Телесный угол Θ трехгранного угла выражается через образующие его
двугранные углы по формуле [5] π−α+α+α=Θ 321 .
В нашем случае пирамида является правильной, а значит, двугранные уг-
лы при боковых ребрах пирамиды равны между собой: ,321 β=α=α=α
значит,
.3 π−β=Θ (5)
Телесный угол в точке пересечения прямых равен 4π (полный телесный
угол). Этот угол делится гранями пирамид на N равных трехгранных углов,
каждый из которых равен:
N
π
=Θ
4 .
С учетом (4) и (5), получим
π−β=
πν
β⋅π 3
4
34 .
Отсюда следует
)1(3 −ν
πν
=β . Подставив этот результат в (3), получим
.
)1(3
cos1
)1(3
cos21
3
2)(sin 22
−ν
πν
−
−ν
πν
−
⋅==α r
Значит, нижняя новая оценка для значений функции Чикрия для трех-
мерного пространства будет выглядеть так:
−ν
πν
−
−ν
πν
−
⋅≥νω
)1(3
cos1
)1(3
cos21
3
2),3( , где ν ≥ 3. (6)
46
Эта оценка достижима для значений ν, при которых существует такое рас-
положение в трехмерном пространстве ν прямых, пересекающихся в одной точ-
ке, при котором эти прямые разбивают все пространство на равные треуголь-
ные пирамиды. Для других значений ν эта оценка недостижима.
Из табл. 1 ясно, что существует всего два возможных преследователя, при
этом пространство разбивается на равные правильные треугольные пирамиды.
Соответствующее количество преследователей равно 3 и 6. Нетрудно убедить-
ся, что для этих значений ν точное значение функции Чикрия совпадает с оцен-
кой (6), что подтверждает достижимость оценки при оптимальном расположе-
нии преследователей. Для других известных значений ),( νω n
из табл. 2 легко убедиться, что точное значение функции больше оценки (6),
что подтверждает недостижимость оценки в случае, когда не существует распо-
ложения прямых, при котором пространство разбивается на равные правильные
треугольные пирамиды.
При увеличении размерности пространства при фиксированном количестве
преследователей убегающий получает больше возможностей для маневров, а
значит, его преимущество над преследователями растет. Исходя
из этого, можем сформулировать следующее утверждение.
Теорема. Для размерности пространства 3≥n и при наличии 3≥ν пре-
следователей нижняя оценка Чикрия будет выглядеть так:
.
)1(3
cos1
)1(3
cos21
3
2),(
−
π
−
−
π
−
⋅≥νω
k
k
k
k
n
Заключение
Получены точные значения функции Чикрия для некоторых значений чис-
ла преследователей при взаимодействии участников игры в трехмерном про-
странстве. Получена нижняя оценка функции Чикрия для игр, происходящих в
пространстве размерности n ≥ 3 с количеством участников ν ≥ 3.
1. Чикрий А.А. Линейная проблема убегания от нескольких преследователей // Изв. Сов.
Академии наук: Техн. киб. — 1978. — № 4. — С. 46–50.
2. Chikrii A.A. The problem of avoidance for controlled dynamic objects // J. of mathematics,
game theory and algebra. Nova Sci. Publ., Inc. — 1998. — 7, N 2/3. — P. 81–94.
3. Орехова Л.Г., Терновая Е.В. О двух проблемах в нелинейной теории убегания с группа-
ми участников // Кибернетика и вычислительная техника. — 2010. — Вып. 160. — С.
86–90.
4. Платон. Собр. соч. в 4-х т. Т. 3. — М.: Мысль, 1994. — 656 с.
5. Изместьев И.В. О сумме углов многогранника // Математическое просвещение. Сер. 3.
— 2006. — 10. — С. 132-150.
Национальный технический университет Украины
«Киевский политехнический институт» Получено 06.09.2011
|