К решению проблемы динамического деформирования пьезоэлектрических многослойных пластин на основе гибридного ВКБ-Галеркин метода
The paper deals with the problem of the behavior of a symmetric orthotropic piezoelectric sandwich plate subjected to the dynamic normal loading q(x, y, t) taking into consideration the damping coefficient variable in time. A hybrid WKB-Galerkin method is applied to solve the problem. The results ob...
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4577 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | К решению проблемы динамического деформирования пьезоэлектрических многослойных пластин на основе гибридного ВКБ-Галеркин метода / В.З. Грищак, О.А. Ганилова // Доповіді Національної академії наук України. — 2008. — № 5. — С. 13-20. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860111416462147584 |
|---|---|
| author | Грищак, В.З. Ганилова, О.А. |
| author_facet | Грищак, В.З. Ганилова, О.А. |
| citation_txt | К решению проблемы динамического деформирования пьезоэлектрических многослойных пластин на основе гибридного ВКБ-Галеркин метода / В.З. Грищак, О.А. Ганилова // Доповіді Національної академії наук України. — 2008. — № 5. — С. 13-20. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | The paper deals with the problem of the behavior of a symmetric orthotropic piezoelectric sandwich plate subjected to the dynamic normal loading q(x, y, t) taking into consideration the damping coefficient variable in time. A hybrid WKB-Galerkin method is applied to solve the problem. The results obtained are compared with numerical results.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:33:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.3
© 2008
В.З. Грищак, О. А. Ганилова
К решению проблемы динамического деформирования
пьезоэлектрических многослойных пластин на основе
гибридного ВКБ-Галеркин метода
(Представлено академиком НАН Украины В.П. Шевченко)
The paper deals with the problem of the behavior of a symmetric orthotropic piezoelectric
sandwich plate subjected to the dynamic normal loading q(x, y, t) taking into consideration
the damping coefficient variable in time. A hybrid WKB-Galerkin method is applied to solve
the problem. The results obtained are compared with numerical results.
В связи с широким использованием пьезоэлектрических материалов в современных ком-
позитных структурах [1–3] особый интерес представляет рассмотрение трехслойной пьезо-
электрической пластины, находящейся в электрическом поле под действием динамической
внешней нагрузки. Следует отметить, что подобного рода задача была рассмотрена в ра-
боте [4] для вязкоупругих пластин, согласно модели слоистых оболочек из вязкоупругих
пьезоматериалов, описанной в [5]. Решение основного уравнения задачи проводилось мето-
дами усреднения и конечных элементов.
Обращает на себя внимание тот факт, что поведение напряженно-деформируемых плас-
тин с интегрированными в них активаторами и сенсорами в основном рассматривается на
основе метода конечных элементов [4, 6]. Поэтому особый интерес представляют исследо-
вания в этой области на основе точных и приближенных аналитических методов, позволя-
ющие провести качественный анализ полученных решений.
При анализе реальных механических процессов возникает необходимость в интегрирова-
нии сингулярных дифференциальных уравнений, содержащих большие и малые параметры
при старшей производной и не допускающих в ряде случаев точных решений. В этом слу-
чае приближенное решение поставленной задачи удобно искать в виде асимптотического
решения по данному параметру.
Можно назвать ряд подходов, являющихся гибридными, которые основываются на идее
построения “уточняющего” решения, полученного на основе последовательности координат-
ных функций асимптотического разложения [7–10]. Если специальным образом определить
неизвестные параметры, то “уточняющее” гибридное решение исходного уравнения хорошо
согласуется с точным решением на большом интервале изменения коэффициентов урав-
нения. Гибридный ВКБ-Галеркин метод, подробное описание которого представлено в ра-
ботах [7, 8], демонстрирует особенно хорошие результаты при отыскании приближенного
решения сингулярных дифференциальных уравнений, в частности с переменными коэффи-
циентами, содержащих параметр при старшей производной независимо от его величины.
В данной работе рассматривается трехслойная пьезоэлектрическая ортотропная плас-
тина, находящаяся в электрическом поле под действием динамической внешней нагрузки,
с учетом переменного во времени коэффициента демпфирования. Решение поставленной
задачи основано на использовании гибридного ВКБ-Галеркин метода.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №5 13
Рис. 1. Ортотропная симметрично собранная пьезоэлектрическая пластинка
Рассмотрим прямоугольную пластинку (a × b), шарнирно опертую по всему контуру.
Ортотропная пластинка симметрично собрана, относительно координатной плоскости xOy,
из пьезоэлектрического материала и имеет толщину h. Приложенная нагрузка иницииру-
ется электрической составляющей V (x, y, t) и механической динамической составляющей
в форме
Zm = q(t) sin
πx
a
sin
πy
b
− 2ρhε(t)
∂w
∂t
− ρh
∂2w
∂t2
, (1)
где
ρ =
3∑
k=1
ρkhk
h
, (2)
где ρk, hk — плотность и толщина k-го слоя соответственно.
Для рассматриваемой пластинки (рис. 1) согласно [11] для жесткостей получим следу-
ющие выражения:
Kik = 0, Cik = 2[δ0B
0
ik(δ − δ0)Bik], Dik =
2
3
[δ3
0B
0
ik + (δ3 − δ3
0)Bik], (3)
учитывая, что
δ1 = δ2 = δ, B′
ik = B′′
ik = Bik. (4)
В этом случае основные уравнения движения пластинки в рамках гипотез, описанных
в [11–13], можно записать в виде [1, 14, 15]
L11(Cik)u0 + L12(Cik)v0 − L13(Kik)w = ρh
∂2u0
∂t2
+
N∑
k=1
e0k
31
∂V k
∂x
,
L22(Cik)v0 + L12(Cik)u0 − L23(Kik)w = ρh
∂2v0
∂t2
+
N∑
k=1
e0k
32
∂V k
∂y
,
L33(Dik)w − L13(Kik)u0 − L23(Kik)v0 = Zm −
N∑
k=1
e0k
31z
k
0
∂2V k
∂x2
−
N∑
k=1
e0k
32z
k
0
∂2V k
∂y2
,
(5)
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №5
где
L11(Cik) = C11
∂2
∂x2
+ C66
∂2
∂y2
, L22(Cik) = C22
∂2
∂y2
+ C66
∂2
∂x2
,
L12(Cik) = (C12 + C66)
∂2
∂x∂y
, L13(Kik) = K11
∂3
∂x3
+ (K12 + 2K66)
∂3
∂x∂y2
,
L23(Kik) = K22
∂3
∂y3
+ (K12 + 2K66)
∂3
∂y∂x2
,
L33(Dik) = D11
∂4
∂x4
+ D22
∂4
∂y4
+ 2(D12 + 2D66)
∂4
∂x2∂y2
.
(6)
Координата срединной плоскости k-го слоя согласно [15] определена как zk
0 = (1/2)(zk +
+ zk−1).
Отметим, что исходная система (5) с учетом (3) распадается на две самостоятельные
подсистемы: первые два уравнения представляют собой некоторую плоскую задачу, а тре-
тье — задачу поперечного изгиба пластинки, которая нас интересует:
D11
∂4w
∂x4
+ 2(D12 + 2D66)
∂4w
∂x2∂y2
+ D22
∂4w
∂y4
= Z, (7)
где
Z = Zm −
N∑
k=1
e0k
31z
k
0
∂2V k
∂x2
−
N∑
k=1
e0k
32z
k
0
∂2V k
∂y2
.
Рассмотрим решение основного уравнения согласно классической теории многослойных
пластин в случае, когда на пластинку действует динамическая нагрузка вида (1)
D11
∂4w
∂x4
+2(D12+2D66)
∂4w
∂x2∂y2
+D22
∂4w
∂y4
= q(t) sin
πx
a
sin
πy
b
−2ρhε(t)
∂w
∂t
−ρh
∂2w
∂t2
. (8)
Решение будем искать в виде
w(t) = f(t) sin
πx
a
sin
πy
b
. (9)
Тогда, обозначив
D̃ = π4
(
D11
a4
+ 2
D12 + 2D66
a2b2
+
D22
b4
)
;
˜̃
D =
D̃
ρ2h2
; q̃(t) =
q(t)
ρ2h2
;
ε(t) =
ε(t)
ρh
; λ2 =
1
ρh
,
(10)
уравнение (8) перепишем в виде следующего неоднородного дифференциального уравнения
с переменными коэффициентами:
λ2f ′′(t) + 2ε(t)f ′(t) +
˜̃
Df(t) = q̃(t), (11)
где λ2 — параметр при старшей производной.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №5 15
Решение уравнения (11) имеет вид
f(t) = fc(t) + fp(t), (12)
где fc(t) — решение однородного уравнения и fp(t) — частное решение.
Найдем решение однородного дифференциального уравнения, полученного из уравне-
ния (11). Согласно описанному в [7, 8] гибридному ВКБ-Галеркин методу ВКБ-приближе-
ние имеет вид
f(t, λ) = exp
[ t∫
a
(
1
λ
f0(t) + f1(t)
)
dt
]
. (13)
Подставляя (13) в однородное уравнение, получаем
λ2
[
1
λ
f0
′ + f1
′ +
1
λ2
f2
0 + f2
1 + 2
1
λ
f0f1
]
+ 2ε(t)
[
1
λ
f0 + f1
]
+
˜̃
D = 0. (14)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях параметра λ, приходим к системе
уравнений
{
f2
0 + 2ε(t)f1 +
˜̃
D = 0,
f0
′ + 2f0f1 = 0,
или
f1 = −
1
2
d
dt
ln f0,
ε(t)f0
′ − f3
0 − ˜̃
Df0 = 0.
(15)
Решение второго уравнения системы (15) находим, используя подстановку f0 = U(t)V (t).
Таким образом, решение системы (15) имеет вид
f1 = −
1
2
d
dt
ln f0,
f0 = ±i exp
(
˜̃
D
∫
dt
ε(t)
)
2
∫ exp
(
2
˜̃
D
∫
dt
ε(t)
)
ε(t)
dt
−1/2
.
(16)
На втором шаге решения согласно гибридному ВКБ-Галеркин методу исходная функция
представляется в форме
f̃(t, λ) = exp
[ t∫
a
[δ01(λ) + iδ02(λ)]f0(t)dt
]
, (17)
где f0 — полученная для ВКБ-решения функция (16). Тогда однородное уравнение, полу-
ченное из (11), примет вид
λ2[(δ01 + iδ02)f0
′ + (δ2
01 + 2iδ01δ02 − δ2
02)f
2
0 ] + 2ε(t)[δ01 + iδ02]f0 +
˜̃
D = 0. (18)
Согласно условию ортогональности
b∫
a
R(δ0, . . . , δN , f0, . . . , fN , f0
′, . . . , f
(n−1)
N , t, ε)fi(t)dt = 0
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №5
для R и N + 1 координатной функции [7, 8], учитывая, что f0 = ±if0, получаем
b∫
a
[λ2[(−δ01 − iδ02)f0
′
f0 + (−δ2
01i + 2δ01δ02 + iδ2
02)(±f0
3
)] + 2ε(t)[−δ01 − iδ02]f0
2 +
+ i
˜̃
D(±f0)]dt = 0. (19)
Приравнивая коэффициенты при действительной и мнимой частях уравнения, приходим
к системе
{
Aδ02 − Bδ2
01 + Bδ2
02 + W = 0,
Aδ01 + 2Bδ01δ02 = 0,
(20)
где
A =
b∫
a
[−λ2f0
′
f0 − 2ε(t)f0
2
]dt, B =
b∫
a
λ2f0
3
dt, W =
b∫
a
˜̃
Df0dt. (21)
Решение системы (20) имеет вид
δ01 =
√
4BW − A2
2B
,
δ02 = ∓
A
2B
.
(22)
Таким образом, гибридное решение однородного уравнения определяется формулой (17)
с учетом (22).
Для получения частного решения уравнения (11) в качестве примера рассмотрим два
случая коэффициента затухания при заданном внешнем воздействии q(t):
ε(t) = Ct и ε(t) = MeKt, (23)
где C, M , K — произвольные константы. Тогда гибридное решение (17) примет вид
f̃(t, λ) = e−δ02
√
˜̃
Dt
(
c1 sin δ01
√
˜̃
Dt + c2 cos δ01
√
˜̃
Dt
)
, (24)
где c1, c2 — произвольные константы. Частное решение определено по методу вариации
произвольных постоянных.
Согласно (12) общее решение имеет вид
f(t) = e−δ02
√
˜̃
Dt
(
(c1 + c1) sin δ01
√
˜̃
Dt + (c2 + c2) cos δ01
√
˜̃
Dt
)
, (25)
где
c1 =
∫
q̃(t)eδ02
√
˜̃
Dt cos δ01
√
˜̃
Dt
λ2δ01
√
˜̃
D
dt, c2 = −
∫
q̃(t)eδ02
√
˜̃
Dt sin δ01
√
˜̃
Dt
λ2δ01
√
˜̃
D
dt.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №5 17
Для сопоставления полученного приближенного аналитического решения с результата-
ми прямого численного анализа рассмотрим квадратную пластинку (a = b = 2 м), состав-
ленную из трансверсально изотропных пьезоэлектрических слоев, плоскости изотропии ко-
торых параллельны координатной плоскости xOy. Пьезоэлектрическим материалом слоев
пластины является BaTiO3, тогда согласно [1, 11]
Q11 = Q22 = 120 · 109 H/м2, Q12 = 36,2 · 109 H/м2, Q66 = 42 · 109 H/м2,
Dij =
h/2∫
−h/2
Qijz
2dz, e0k
31 = e0k
32 = −12,3 Кл/м2, ρ = 5,7 · 103 кг/м3,
θ = 1; R = 10; q0 = 108;
h
a
= 0,1; h = 0,2; δ = 2δ0 =
h
2
= 0,1;
(26)
где h — полная толщина пластинки.
Пластинка подвергается механической нагрузке в форме (1) и электрической в форме
V k(x, y, t) = ϕk(t) sin
πx
a
sin
πy
b
, (27)
действие которой одинаково во всех слоях, т. е. ϕk(t) = ϕ(t).
Для рассматриваемого случая уравнение (7) с учетом (3) и системы (5) примет вид
D11
∂4w
∂x4
+ 2(D12 + 2D66)
∂4w
∂x2∂y2
+ D22
∂4w
∂y4
= q(t) sin
πx
a
sin
πy
b
− 2ρhε(t)
∂w
∂t
−
− ρh
∂2w
∂t2
+
N∑
k=1
e0k
31z
k
0ϕ(t)
(
π
a
)2
sin
πx
a
sin
πy
b
+
N∑
k=1
e0k
32z
k
0ϕ(t)
(
π
b
)2
sin
πx
a
sin
πy
b
. (28)
В качестве примера положим, что q(t) = Rϕ(t) и ϕ(t) = q0 cos θt. Тогда уравнение (28)
примет вид
D11
∂4w
∂x4
+ 2(D12 + 2D66)
∂4w
∂x2∂y2
+ D22
∂4w
∂y4
= −2ρhε(t)
∂w
∂t
− ρh
∂2w
∂t2
+
+
[
R +
(
π
a
)2 N∑
k=1
e0k
31z
k
0 +
(
π
b
)2 N∑
k=1
e0k
32z
k
0
]
ϕ(t) sin
πx
a
sin
πy
b
. (29)
Решение этого уравнения аналогично решению уравнения (8).
Для получения графической интерпретации полученного решения (25) воспользуемся
программным комплексом MAPLE. Для прямого численного решения исходного уравне-
ния (29) используем метод Рунге–Кутта. Результаты численного анализа на основе предло-
женного гибридного асимптотического метода и численного метода Рунге–Кутта представ-
лены на рис. 2 и в табл. 1. Сопоставление численных результатов демонстрирует достаточно
высокую эффективность по величине параметра приближенного аналитического решения,
возрастающую с течением времени независимо от характера изменения коэффициента дем-
пфирования.
Отметим, что полученное приближенное аналитическое решение (25) уравнения (8) мо-
жет быть использовано, согласно [3], в случае колебаний однослойной пьезоэлектрической
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №5
Рис. 2. Поведение характеристической функции f(t) при коэффициенте демпфирования ε(t) = t (1 ), ε(t) =
= 5t (2 ), ε(t) = e
0,09t (3 )
Таблица 1
ε(t) = t
t Гибридное решение f(t) Численное решение по методу Рунге–Кутта
0,03 −0,1071743990 −0,105764863015825688
0,035 −0,1124892722 −0,133609903608793212
0,04 −0,1154273314 −0,159883542812304684
2 0,04565994967 0,0422282881712131159
3 0,1086357085 0,107532028638544108
4 0,07173229785 0,0716948593241360234
5 −0,03112145658 −0,0311270814887880908
пластины, эффект связанности электрического и механического полей которой находит
отражение в изменении жесткостных характеристик (коэффициента Пуассона и жесткости
при цилиндрическом изгибе), а также в случае колебаний биморфной пьезоэлектричес-
кой пластины. Полученное решение позволяет решать ряд практических задач, связанных
с вычислением величины тока проводимости в цепи генератора и параметров электроупру-
гого поля (напряженность электрического поля, распределение электростатического потен-
циала в пластине, электрическая индукция и т. д.), с анализом резонансных и антирезонанс-
ных частот колебаний в переменном электрическом поле и анализом других динамических
эффектов, возникающих в связанных электромеханических полях.
1. Ishihara M., Noda N. Nonlinear dynamic behaviour of a piezothermoelastic laminated plate with anisotropic
material properties // Acta mech. – 2003. – No 166. – P. 103–118.
2. Kasap S.O. Principles of electrical engineering materials and devices. – New York: McGraw-Hill, 2000. –
690 p.
3. Гринченко В. Т., Улитко А.Ф., Шульга Н.А. Электроупругость. – Киев: Наук. думка, 1989. – 280 с. –
(Механика связанных полей в элементах конструкций: В 5 т.; Т. 5).
4. Карнаухов В. Г., Козлов А.В., Пятецкая Е. В. Демпфирование колебаний вязкоупругих пластин с
помощью распределенных пьезоэлектрических включений // Акуст. вiсник. – 2002. – 5, № 4. – С. 15–
32.
5. Карнаухов В. Г., Киричок И.Ф., Козлов В.И. Электромеханические колебания и диссипативный ра-
зогрев вязкоупругих тонкостенных элементов с пьезоэффектом // Прикл. механика. – 2001. – 37,
№ 2. – С. 45–77.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №5 19
6. Mota Soares C.M., Mota Soares C.A., Franco Correia V.M. Optimal design of piezolaminated structures //
Composite Structures. – 1999. – No 47. – P. 625–634.
7. Gristchak V. Z., Ganilova O.A. Application of a hybrid WKB-Galerkin method in control of the dynamic
instability of a piezolaminated imperfect column // Techn. Mech. – 2006. – No 26. – P. 106–116.
8. Gristchak V., Dmitrieva Ye. A hybrid WKB-Galerkin method and its application // Ibid. – 1995. – No 15. –
P. 281–294.
9. Geer J. F., Andersen C.M. Hybrid perturbation galerkin technique with application to slender body
theory // SIAM J. Appl. Math. – 1989. – No 49. – P. 344–361.
10. Geer J. F., Andersen C.M. Investigating a hybrid perturbation-Galerkin technique using computer algebra /
NASI – 18107. – Hampton, Virginia, 1988. – 26 p.
11. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. Прочность, устойчивость и колебания. – Москва:
Наука, 1987. – 360 с.
12. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. – Москва: Наука, 1974. – 448 с.
13. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. – Москва: Физматгиз, 1957. – 463 с.
14. Lee C.K. Theory of laminated piezoelectric plates for the design of distributed sensors and actuators.
Part 1: Governing equations and reciprocal relationships // J. Acoust. Soc. Amer. – 1990. – 87, No 3. –
P. 1144–1158.
15. Miller S. E., Abramovich H., Oshman Y. Active distributed vibration control of anisotropic piezoelectric
laminated plates // J. Sound and Vibr. – 1995. – 183, No 5. – P. 797–817.
Поступило в редакцию 12.09.2007Запорожский национальный университет
УДК 517.9
© 2008
П.О. Касьянов
Схема Дубiнського для класу еволюцiйних рiвнянь
з вiдображеннями псевдомонотонного типу
в нерефлексивних банахових просторах
(Представлено членом-кореспондентом НАН України В. С. Мельником )
We study differential-operator equations with nonlinear mappings of the pseudomonotone type
in nonreflexive Banach spaces. The main theorem on the existence of a periodic solution is
proved. Important a priori estimates are obtained.
При дослiдженнi диференцiально-операторних рiвнянь та включень з вiдображеннями псев-
домонотонного типу в функцiональних рефлексивних банахових просторах часто викорис-
товують такi пiдходи: метод Фаедо–Гальоркiна, метод скiнченних рiзниць, метод нелiнiйних
напiвгруп операторiв, метод сингулярних збурень тощо. Метод нелiнiйних напiвгруп опе-
раторiв у банахових просторах розроблений О.О. Толстоноговим та Ю. I. Уманським [1, 2].
О.М. Вакуленко, В.С. Мельник, П.О. Касьянов та В.В. Ясiнський розвинули метод сингу-
лярних збурень в [3–5], метод Фаедо–Гальоркiна та метод скiнченних рiзниць розроблений
П.О. Касьяновим, В.С. Мельником та Л. Тоскано в [5–8].
У данiй роботi розглядаються еволюцiйнi рiвняння з нелiнiйними операторами wλ0
-псев-
домонотонного типу. За схемою Ю.А. Дубiнського [9] доводиться розв’язнiсть перiодичних
задач у класi нерефлексивних банахових просторiв.
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №5
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4577 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:33:53Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Грищак, В.З. Ганилова, О.А. 2009-12-07T15:42:15Z 2009-12-07T15:42:15Z 2008 К решению проблемы динамического деформирования пьезоэлектрических многослойных пластин на основе гибридного ВКБ-Галеркин метода / В.З. Грищак, О.А. Ганилова // Доповіді Національної академії наук України. — 2008. — № 5. — С. 13-20. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4577 539.3 The paper deals with the problem of the behavior of a symmetric orthotropic piezoelectric sandwich plate subjected to the dynamic normal loading q(x, y, t) taking into consideration the damping coefficient variable in time. A hybrid WKB-Galerkin method is applied to solve the problem. The results obtained are compared with numerical results. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика К решению проблемы динамического деформирования пьезоэлектрических многослойных пластин на основе гибридного ВКБ-Галеркин метода Article published earlier |
| spellingShingle | К решению проблемы динамического деформирования пьезоэлектрических многослойных пластин на основе гибридного ВКБ-Галеркин метода Грищак, В.З. Ганилова, О.А. Математика |
| title | К решению проблемы динамического деформирования пьезоэлектрических многослойных пластин на основе гибридного ВКБ-Галеркин метода |
| title_full | К решению проблемы динамического деформирования пьезоэлектрических многослойных пластин на основе гибридного ВКБ-Галеркин метода |
| title_fullStr | К решению проблемы динамического деформирования пьезоэлектрических многослойных пластин на основе гибридного ВКБ-Галеркин метода |
| title_full_unstemmed | К решению проблемы динамического деформирования пьезоэлектрических многослойных пластин на основе гибридного ВКБ-Галеркин метода |
| title_short | К решению проблемы динамического деформирования пьезоэлектрических многослойных пластин на основе гибридного ВКБ-Галеркин метода |
| title_sort | к решению проблемы динамического деформирования пьезоэлектрических многослойных пластин на основе гибридного вкб-галеркин метода |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4577 |
| work_keys_str_mv | AT griŝakvz krešeniûproblemydinamičeskogodeformirovaniâpʹezoélektričeskihmnogosloinyhplastinnaosnovegibridnogovkbgalerkinmetoda AT ganilovaoa krešeniûproblemydinamičeskogodeformirovaniâpʹezoélektričeskihmnogosloinyhplastinnaosnovegibridnogovkbgalerkinmetoda |