Оператори iнтерлiнацiї лагранжевого типу на системi взаємно перпендикулярних прямих з використанням узагальнених полiномiв
Interlineation operators of the functions of two variables (blending function interpolation) with traces of a given function on a system of mutually perpendicular straight lines is investigated. For the construction of these operators, we use generalized polynomials which are not algebraic polynomia...
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4579 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Оператори iнтерлiнацiї лагранжевого типу на системi взаємно перпендикулярних прямих з використанням узагальнених полiномiв / О.М. Литвин, Н.I. Штепа // Доп. НАН України. — 2008. — № 5. — С. 25-29. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859798274648571904 |
|---|---|
| author | Литвин, О.М. Штепа, Н.I. |
| author_facet | Литвин, О.М. Штепа, Н.I. |
| citation_txt | Оператори iнтерлiнацiї лагранжевого типу на системi взаємно перпендикулярних прямих з використанням узагальнених полiномiв / О.М. Литвин, Н.I. Штепа // Доп. НАН України. — 2008. — № 5. — С. 25-29. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | Interlineation operators of the functions of two variables (blending function interpolation) with traces of a given function on a system of mutually perpendicular straight lines is investigated. For the construction of these operators, we use generalized polynomials which are not algebraic polynomials. Some examples are considered.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:11:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.6
© 2008
О.М. Литвин, Н. I. Штепа
Оператори iнтерлiнацiї лагранжевого типу на системi
взаємно перпендикулярних прямих з використанням
узагальнених полiномiв
(Представлено академiком НАН України I. В. Сергiєнком)
Interlineation operators of the functions of two variables (blending function interpolation) with
traces of a given function on a system of mutually perpendicular straight lines is investigated.
For the construction of these operators, we use generalized polynomials which are not algebraic
polynomials. Some examples are considered.
Постановка задачi. Вважаємо вiдомими:
а) систему взаємно перпендикулярних прямих, якi, не обмежуючи загальностi, вважаємо
паралельними осям координат:
X : x = Xi, i = 1,m; Y : y = Yj, j = 1, n; Xi, Yj ∈ E = [0, 1]; m,n > 1;
б) систему слiдiв на цих лiнiях деякої функцiї (взагалi кажучи, невiдомої) f(x, y) ∈
∈ Cm,n(D), D = E2:
Φ: φi(y) = f(Xi, y), i = 1,m; Ψ: ψj(x) = f(x, Yj), j = 1, n;
в) системи лiнiйно незалежних на E функцiй однiєї змiнної (x або y)
U1 : u1,0(x), u1,1(x), . . . , u1,m−1(x), . . . ; U2 : u2,0(y), u2,1(y), . . . , u2,n−1(y), . . . .
Треба побудувати за допомогою цiєї iнформацiї оператори iнтерлiнацiї Lm,n(X,Y,Φ,Ψ,
U1, U2;x, y) з властивостями:
Lm,n(X,Y,Φ,Ψ, U1, U2;Xi, y) = φi(y), i = 1,m,
Lm,n(X,Y,Φ,Ψ, U1, U2;x, Yj) = ψj(x), j = 1, n.
Дана задача, як i задача iнтерполювання, не має єдиного розв’язку, але при вiдповiдних
обмеженнях на системи U1, U2, X, Y такi оператори iснують i єдинi. Дослiдимо iнтерлiнацiю
функцiй двох змiнних операторами, що використовують узагальненi полiноми
Pm(x) =
m−1
∑
k=0
Cku1,k(x), Qn(y) =
n−1
∑
ℓ=0
Dℓu1,ℓ(y).
Для практики, крiм добре вивченої полiномiальної системи функцiй uk(x) = xk, k ∈
∈ N0 = {0, 1, 2, . . .}, цiкавими є також системи uk(x) = eαxxk, k ∈ N0, α ∈ R; uk,ℓ(x) =
= eαℓxxk, αℓ ∈ R, k ∈ N0, 1 6 ℓ 6 M , та iншi системи функцiй — розв’язкiв звичайних
диференцiальних рiвнянь зi сталими коефiцiєнтами.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №5 25
У данiй роботi вперше формулюються основнi твердження про явнi вирази для операто-
рiв узагальненої полiномiальної iнтерлiнацiї на системi взаємно перпендикулярних прямих
та зображення залишкових членiв наближення з їх допомогою диференцiйовних функцiй.
Детальнiше дослiджуються наближення функцiй двох змiнних операторами узагальненої
iнтерлiнацiї функцiй з використанням полiномiв двох написаних вище систем функцiй.
Оператори полiномiальної iнтерлiнацiї (blending function interpolation) на системi вза-
ємно перпендикулярних прямих x = Xi, y = Yj , i = 1,m, j = 1, n (тобто оператори
Lm,n(X,Y ; Φ;Ψ; {xp}, {yq};x, y)) дослiджувалися в роботах [1–14] (див. бiблiогр. у [10, 11]).
Полiномiальний базис xi, yj, xiyj, 0 6 i 6 m− 1; 0 6 j 6 n− 1, що задовольняє диференцi-
альне рiвняння
∂m+nu
∂xm∂yn
= 0 є частинним випадком базису, що задовольняє диференцiальне
рiвняння загального вигляду
m
∑
p=0
ap(x)
∂p
∂xp
n
∑
q=0
bq(y)
∂qu
∂yq
= 0,
ap(x), bq(y) ∈ C(R). Це дозволяє стверджувати, що в загальному випадку можна отримати
кращу точнiсть наближення до конкретної функцiї f(x, y) або до конкретного класу функ-
цiй. Тому актуальною є побудова i дослiдження операторiв iнтерлiнацiї для iнших систем
лiнiйно незалежних функцiй u1,i(x), u2,j(y), 0 6 i 6 m − 1; 0 6 j 6 n − 1.
Позначення. Для побудови операторiв iнтерполювання узагальненими полiномами за-
мiсть системи лiнiйно незалежних на E функцiй ui(x) ∈ Cn(R), i = 0, n − 1, якi задоволь-
няють умову △ 6= 0, △ = det[uµ(Xν)]ν=1,n
µ=0,n−1
, введемо систему {Vi(x)}
n
i=1,
Vi(x) =
n−1
∑
k=0
aikuk(x).
Коефiцiєнти aik визначимо шляхом розв’язання таких систем лiнiйних алгебраїчних рiв-
нянь Vi(Xj) =
n−1
∑
k=0
aikuk(Xj) = δi,j , 1 6 i, j 6 n, δi,i − 1; δi,j − 0, i 6= j. Як вiдомо, якщо
wn−1(x) = det[u
(j)
i (x)]j=0,n−1
i=0,n−1
— вронськiан системи ui(x), i = 0, n − 1, то загальний розв’я-
зок неоднорiдного диференцiального рiвняння Lny = f(x),
Lny :=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
u0(x) . . . un−1(x) y(x)
u′0(x) . . . u′n−1(x) y′(x)
. . . . . . . . . . . .
u
(n)
0 (x) . . . u
(n)
n−1(x) y(n)(x)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
w−1
n−1(x),
можна знайти методом варiацiї довiльних сталих у виглядi y =
n−1
∑
k=0
Ck(x)uk(x).
Допомiжнi твердження. Якщо врахувати вирази для Vi(x) через u0(x), . . . , un−1(x),
то можна довести такi леми.
Лема 1. Якщо wn−1(x) 6= 0, x ∈ E, то Wn(x) 6= 0, x ∈ E, де Wn(x) — вронськiан
системи функцiй {Vi(x)}
n
i=1 : Wn(x) = det[V
(j)
i (x)]j=0,n−1
i=1,n
.
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №5
Лема 2. Хай y(t) ∈ Cn(E), An,k(t) — алгебраїчнi доповнення до k-го елемента n-го
рядка у Wn(t). Тодi
y(x) =
n
∑
k=1
Ck0Vk(x) +
n
∑
k=1
x
∫
Xk
Vk(x)An,k(t)
Wn(t)
Lny(t) dt,
Ck0 ∈ R, k = 1, n. Для дослiдження залишку
Rny(x) =
n
∑
k=1
x
∫
Xk
Vk(x)An,k(t)
Wn(t)
Lny(t) dt
наближення функцiї y(x) операторами iнтерполювання
Ony(x) =
n
∑
k=1
Ck0Vk(x), Ony(Xp) = Cp0, p = 1, n,
у виглядi
Rnf(x) = Lny(ξ)Ω(x,X, {ui}), X1 6 ξ 6 Xn,
Ω(x,X, {ui}) =
n
∑
k=1
x
∫
Xk
Vk(x)An,k(t)
Wn(t)
dt
потрiбно дослiдити функцiю Ω(x,X, {ui}). Зокрема, для неї справедлива
Лема 3. Функцiя Ω(x,X, {ui}) є розв’язком n-точкової крайової задачi
LnZn(x) = 1, x /∈ X; Zn(Xp) = 0, p = 1, n.
Приклади.
1. Якщо uk(t) = xk, k ∈ N0, то Ω(x,X, {xi}) =
1
n!
n
∏
k=1
(x −Xk), Ln =
dn
dxn
.
2. Якщо uj(t) = ejt = (et)j = xj = uj(x), x = et, j ∈ N0, то вводячи замiсть функцiї
y(t) функцiю z(x) = y(lnx), замiсть вузлiв tk, k = 1, n, вузли Xk = etk , k = 1, n, можна для
функцiї z(x) написати iнтерполяцiйний полiном за степенями xi, тобто полiном Лагранжа.
У результатi маємо
z(x) =
n
∑
k=1
z(xk)
n
∏
i=1,i6=k
x− xi
xk − xi
+ z(n)(ξ)
n
∏
k=1
(x− xk)
n!
,
z(n)(ξ) =
dnz(x)
dxn
∣
∣
∣
∣
x=ξ
, X1 6 ξ 6 Xn.
Пiсля замiни змiнної отримаємо
z(x) = z(et) = y(t) =
n
∑
k=1
y(tk)
n
∏
i=1,i6=k
et − etj
etk − etj
+ z(n)(ξ)
n
∏
k=1
(et − etk)
n!
.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №5 27
Якщо y(t) ∈ Cn[a, b], то для практики корисним є зображення операторiв zn(t) у виглядi
добутку диференцiальних операторiв першого порядку:
z(n)(x)|x=et =
dnz(x)
dxn
∣
∣
∣
∣
x=et
=
1
ent
n−1
∏
i=0
(
d
dt
− i
)
y(t).
Для системи {ui(x)} загального вигляду таке зображення можна виконати методом, ви-
клaденим у роботi [15].
Оператори узагальненої полiномiальної iнтерлiнацiї функцiй двох змiнних.
Хай u1k(x), u2ℓ(y), x, y ∈ E; k, ℓ ∈ N0, — двi системи лiнiйно незалежних на E функцiй
з властивостями:
1) їх вронськiани не дорiвнюють нулю
w10(x) = u10(x) 6= 0, x ∈ E; w20(y) = u20(y) 6= 0, y ∈ E;
w1n−1(x) = det[u1
(s)
k (x)]s=0,n−1
k=0,n−1
6= 0, x ∈ E, ∀n ∈ N = {1, 2, . . .};
w2n−1(y) = det[u2
(p)
ℓ (y)]p=0,n−1
ℓ=0,n−1
6= 0, y ∈ E, ∀n ∈ N ;
2) цi системи задовольняють умови
△1 = det
[
u1k(Xq)
]q=1,n
k=0,n−1
6= 0 ∀Xq ∈ E, 0 6 X1 < X2 < · · · < Xm 6 1;
△2 = det
[
u2ℓ(Yp)
]p=1,n
ℓ=0,n−1
6= 0 ∀Yp ∈ E, 0 6 Y1 < Y2 < · · · < Yn 6 1.
Використовуючи лiнiйнi комбiнацiї вказаних систем функцiй, побудуємо iншi двi системи
функцiй V 1k(x), V 2i(y), 1 6 k 6 m; 1 6 ℓ 6 n з властивостями V 1k(Xq) = δk,q, k, q = 1, n;
V 2ℓ(Yp) = δℓ,p, ℓ, p = 1, n. На основi твердження леми 1 можна довести, що вронськiани цих
нових систем лiнiйно незалежних функцiй теж будуть задовольняти умови
W1m(x) = det
[
V 1
(s)
k (x)
]s=0,m−1
k=1,m
6= 0, x ∈ E, m > 2,
W2n(y) = det
[
V 2
(p)
ℓ (y)
]p=0,n−1
ℓ=1,n
6= 0, y ∈ E, n > 2.
Введемо до розгляду оператори
O1f(x, y) =
m
∑
k=1
f(Xk, y)V 1k(x); O2f(x, y) =
n
∑
ℓ=1
f(x, Yℓ)V 2ℓ(y),
що є операторами iнтерполювання узагальненими полiномами за однiєю змiнною
O1f(Xk, y) = f(Xk, y), k = 1,m; O2f(x, Yℓ) = f(x, Yℓ), ℓ = 1, n.
Теорема 1. Оператори
Of(x, y) = (O1 +O2 −O1O2)f(x, y)
iнтерлiнують кожну неперервну функцiю f(x, y) на системi взаємно перпендикулярних
прямих x = Xp, p = 1,m; y = Yq, q = 1, n:
O1f(Xp, y) = f(Xp, y), p = 1,m; O2f(x, Yq) = f(x, Yq), q = 1, n.
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №5
Теорема 2. Якщо Rif(x, y) = (I − Oi)f(x, y), i = 1, 2, то для залишку Rf(x, y) =
= (I−O)f(x, y) наближення функцiї f(x, y) оператором iнтерлiнацiї Of(x, y) виконується
спiввiдношення
Rf(x, y) = R1R2f(x, y).
Таким чином, дослiдженi оператори iнтерлiнацiї за допомогою узагальнених полiномiв,
якi не є алгебраїчними полiномами, можуть знайти застосування в рiзних галузях науки,
зокрема в теорiї наближення функцiй при побудовi сплайнiв вiд двох змiнних неполiномi-
ального типу (L-сплайнiв, узагальнених B-сплайнiв тощо).
1. Mangeron D. Sopra un problema al contorno per un’ equatione differentiable alle derivative parziali di
quartordine conle caratteristice reali dopie // Rend. Accad. sci. fiz. e mat. Napoli. – 1932. – No 2. –
P. 28–40.
2. Gordon W. Blending function methods for bivariate and multivariate interpolation and approximation //
SIAM J. Numer. Anal. – 1971. – No 4. – P. 158–177.
3. Coons S. A. Surface for computer-aided design of space forms // Project Mac report MAC-TR-41. Cambri-
dge. – 1967. – June. – P. 3–30.
4. Алберг Д.Е., Нильсон Е., Уолш Д. Теория сплайнов и ее приложения. – Москва: Мир, 1972. – 316 с.
5. Рвачев В.Л. Геометрические приложения алгебры логики. – Киев: Техника, 1967. – 212 с.
6. Рвачев В.Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения. – Киев: Наук. думка, 1982. – 550 с.
7. Анiкеєнко А.М., Литвин О.М., Рвачов В.Л., Сафонов М.О. Про формулу розкладу в околi кута //
Доп. АН УРСР. Сер. А. – 1972. – № 2. – С. 99–101.
8. Литвин О.М., Федько В. В. Обобщенная кусочно-эрмитова интерполяция // Укр. мат. журн. – 1976. –
28, № 6. – С. 812–819.
9. Литвин О.М. Iнтерлiнацiя функцiй та деякi її застосування. – Харкiв: Основа, 2002. – 544 с.
10. Литвин О.М. Методи обчислень. Додатковi роздiли. – Київ: Наук. думка, 2005. – 331 с.
11. Корнейчук Н.П., Переверзев С. В. К вопросу о приближении функций двух переменных операторами,
построенными на базе одномерных операторов // Теория функций и топология: Сб. науч. тр. Ин-та
математики АН УРСР. – Киев, 1983. – С. 43–49.
12. Литвин О.Н., Сергиенко И.В. Методы аппроксимации функций и современные компьютерные те-
хнологии. Обзор // Кибернетика и системный анализ. – 2007. – № 1. – С. 64–81.
13. Lytvyn O.N. Interlineation and interflatation functions of many variables (blending functions interpolation)
and economical algorithms in the Approximation theory. Computational Methods // Proc. 1st Intern. Conf.
of Comput. Methods, Sing pore, 15–17 Dec., 2004 / Eds. G.R. Liu, V.B.C. Tan, X. Han. – Singapore:
Springer, 2006. – Bd. 2. – P. 1105–1110.
14. Lytvyn O.M. Methods of a solution of boundary-value problems of continuum mechanics, reducing to
system of ordinary linear (LIDE) or nonlinear (NIDE) integro-differential equations // Num. modelling
in continuum mechanics. Proc. of the 4th summer conf. held in Prague, 31 July – 4 Aug., 2000 / Eds.
M. Feistauer, R. Rannacher, K. Kozel. – Pragua, 2001. – P. 240–250.
15. Widder D.V. A generalization of Taylor’s series // Trans. Amer. Math. Soc. – 1928. – 30. – P. 129–135.
Надiйшло до редакцiї 29.05.2007Українська iнженерно-педагогiчна академiя, Харкiв
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №5 29
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4579 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:11:09Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Литвин, О.М. Штепа, Н.I. 2009-12-07T15:45:33Z 2009-12-07T15:45:33Z 2008 Оператори iнтерлiнацiї лагранжевого типу на системi взаємно перпендикулярних прямих з використанням узагальнених полiномiв / О.М. Литвин, Н.I. Штепа // Доп. НАН України. — 2008. — № 5. — С. 25-29. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4579 519.6 Interlineation operators of the functions of two variables (blending function interpolation) with traces of a given function on a system of mutually perpendicular straight lines is investigated. For the construction of these operators, we use generalized polynomials which are not algebraic polynomials. Some examples are considered. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Оператори iнтерлiнацiї лагранжевого типу на системi взаємно перпендикулярних прямих з використанням узагальнених полiномiв Article published earlier |
| spellingShingle | Оператори iнтерлiнацiї лагранжевого типу на системi взаємно перпендикулярних прямих з використанням узагальнених полiномiв Литвин, О.М. Штепа, Н.I. Математика |
| title | Оператори iнтерлiнацiї лагранжевого типу на системi взаємно перпендикулярних прямих з використанням узагальнених полiномiв |
| title_full | Оператори iнтерлiнацiї лагранжевого типу на системi взаємно перпендикулярних прямих з використанням узагальнених полiномiв |
| title_fullStr | Оператори iнтерлiнацiї лагранжевого типу на системi взаємно перпендикулярних прямих з використанням узагальнених полiномiв |
| title_full_unstemmed | Оператори iнтерлiнацiї лагранжевого типу на системi взаємно перпендикулярних прямих з використанням узагальнених полiномiв |
| title_short | Оператори iнтерлiнацiї лагранжевого типу на системi взаємно перпендикулярних прямих з використанням узагальнених полiномiв |
| title_sort | оператори iнтерлiнацiї лагранжевого типу на системi взаємно перпендикулярних прямих з використанням узагальнених полiномiв |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4579 |
| work_keys_str_mv | AT litvinom operatoriinterlinaciílagranževogotipunasistemivzaêmnoperpendikulârnihprâmihzvikoristannâmuzagalʹnenihpolinomiv AT štepani operatoriinterlinaciílagranževogotipunasistemivzaêmnoperpendikulârnihprâmihzvikoristannâmuzagalʹnenihpolinomiv |