Розв’язки крайової перiодичної задачi для неоднорiдного лiнiйного гiперболiчного рiвняння другого порядку
We obtained the conditions of solvability of a boundary-value inhomogeneous periodic problem for particular values of the period ω on the base of a solution of the boundary-value periodic problem utt − uxx = g(x, t), u(0, t) = u(π, t) = 0, u(x, t + ω) = u(x, t). This solution is represented with the...
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4580 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Розв’язки крайової перiодичної задачi для неоднорiдного лiнiйного гiперболiчного рiвняння другого порядку / Ю.О. Митропольський, Г.П. Хома, С. Г. Хома-Могильська // Доп. НАН України. — 2008. — № 5. — С. 30-36. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859660584275935232 |
|---|---|
| author | Митропольський, Ю.О. Хома, Г.П. Хома-Могильська, С. Г. |
| author_facet | Митропольський, Ю.О. Хома, Г.П. Хома-Могильська, С. Г. |
| citation_txt | Розв’язки крайової перiодичної задачi для неоднорiдного лiнiйного гiперболiчного рiвняння другого порядку / Ю.О. Митропольський, Г.П. Хома, С. Г. Хома-Могильська // Доп. НАН України. — 2008. — № 5. — С. 30-36. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | We obtained the conditions of solvability of a boundary-value inhomogeneous periodic problem for particular values of the period ω on the base of a solution of the boundary-value periodic problem utt − uxx = g(x, t), u(0, t) = u(π, t) = 0, u(x, t + ω) = u(x, t). This solution is represented with the formula u(x, t) = u0(x, t) + u~(x, t). Here, u0(x, t) is the solution corresponding to the homogeneous periodic problem and u~(x, t) is a partial solution of the inhomogeneous equation where u~(x, t+ω) = u~(x, t). We demonstrate that the obtained solution contains the results that were found before.
|
| first_indexed | 2025-11-30T09:13:01Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.944
© 2008
Академiк НАН України Ю.О. Митропольський, Г. П. Хома,
С. Г. Хома-Могильська
Розв’язки крайової перiодичної задачi для
неоднорiдного лiнiйного гiперболiчного рiвняння
другого порядку
We obtained the conditions of solvability of a boundary-value inhomogeneous periodic problem
for particular values of the period ω on the base of a solution of the boundary-value peri-
odic problem utt − uxx = g(x, t), u(0, t) = u(π, t) = 0, u(x, t + ω) = u(x, t). This solu-
tion is represented with the formula u(x, t) = u0(x, t) + ũ(x, t). Here, u0(x, t) is the solution
corresponding to the homogeneous periodic problem and ũ(x, t) is a partial solution of the
inhomogeneous equation where ũ(x, t+ω) = ũ(x, t). We demonstrate that the obtained solution
contains the results that were found before.
При розв’язаннi крайових задач для рiвнянь у частинних похiдних, як зазначалося в стат-
тi [1], першочерговими є питання про встановлення умов їх розв’язностi та iснування єди-
ного розв’язку вказаних задач. У данiй роботi ми дослiджуємо умови розв’язностi крайової
перiодичної задачi u(0, t) = u(π, t) = 0, u(x, t + ω) = u(x, t) для лiнiйного неоднорiдного
гiперболiчного рiвняння другого порядку utt − uxx = g(x, t), розглядаючи випадки ω = π
та ω = 4π.
π-перiодичнi розв’язки крайової перiодичної задачi. Припустимо, що
ω =
2s − 1
2m − 1
π, s,m ∈ N, (2s − 1, 2m − 1) = 1.
Тодi
νk =
2πk
ω
=
2(2m − 1)
2s − 1
k, k ∈ N.
Розглянемо найпростiший випадок m = s = 1. При цьому система (18) роботи [1]
B +
∞∑
k=1
(A1
k cos νkt + A3
k sin νkt) + ũ(0, t) = 0,
Aπ + B +
∞∑
k=1
(A1
k cos νkπ + A2
k sin νkπ) cos νkt +
+
∞∑
k=1
(A3
k cos νkπ + A4
k sin νkπ) sin νkt + ũ(π, t) = 0
(1)
розв’язностi лiнiйної неоднорiдної крайової ω-перiодичної задачi
utt − uxx = g(x, t), u(0, t) = u(π, t) = 0, (2)
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №5
u(x, t + ω) = u(x, t), 0 6 x 6 π, t ∈ R, (3)
для νk = 2k, ω = π, набуває вигляду
B +
∞∑
k=1
(A1
k cos 2kt + A3
k sin 2kt) + ũ(0, t) = 0,
Aπ + B +
∞∑
k=1
(A1
k cos 2kt + A3
k sin 2kt) + ũ(π, t) = 0.
(4)
Очевидно, система (4) при ũ(0, t) = ũ(π, t) = const для всiх t ∈ R завжди має єдиний
розв’язок
B = −ũ(0, t), A = 0, A1
k = A3
k = 0, k ∈ N.
Вважатимемо знову, що ũ(x, t) = (Sg)(x, t), де
(Sg)(x, t) = −
1
4
x∫
0
dξ
t+x−ξ∫
t−x+ξ
g(ξ, τ)dτ −
1
4
π∫
x
dξ
t−x+ξ∫
t+x−ξ
g(ξ, τ). (5)
Справедливi твердження.
Лема 1. Якщо g ∈ Cπ
⋂
A1 = {g : g(x, t) = g(π − x, t) = g(x, t + π)}, то g ∈ A2 =
= {g : g(x, t) = g(π − x, t + π) = g(x, t + 2π)}.
Зауважимо, що властивостi класу функцiй A2 детально вивченi в [1].
Лема 2. Якщо g ∈ Cπ
⋂
A1, то
(Sg)(0, t) = (Sg)(π, t) = const. (6)
Доведення. Те, що (Sg)(0, t) = const i (Sg)(π, t) = const, випливає з леми 2 роботи [1],
оскiльки A1 ⊂ A2. Нехай g ∈ A1. Тодi
(Sg)(π, t) = −
1
4
π∫
0
dξ
t+π−ξ∫
t−π+ξ
g(ξ, τ) dτ = −
1
4
π∫
0
dη
t+η∫
t−η
g(π − η, τ) =
= −
1
4
π∫
0
dη
t+η∫
t−η
g(η, τ) ≡ (Sg)(0, t),
що й потрiбно було довести.
Отже, покладаючи ũ(x, t) = (Sg)(x, t), у випадку ω = π на основi лем 1 i 2 даної роботи
та теореми 1 роботи [1] ми отримуємо такий вiдомий результат.
Теорема 1 [2]. Якщо g ∈ Gπt
⋂
A1, то функцiя u = R1g, яка визначена формулою
u(x, t) = (R1g)(x, t) ≡ (Sg)(x, t) +
1
4
π∫
0
dξ
t+ξ∫
t−ξ
g(ξ, τ), (7)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №5 31
є єдиною функцiєю з класу C2,2
π
⋂
A1, яка задовольняє умови крайової перiодичної зада-
чi (2), (3) при ω = π. Крiм цього, R1 ∈ L(Cπ
⋂
A1, C1,1
π
⋂
A1), R1 ∈ L
(
Gπt
⋂
A1, C
2,2
π
⋂
A1
)
.
Зауваження 1. Система (4) розв’язностi крайової ω = π-перiодичної задачi (2), (3) зав-
жди має тривiальний розв’язок, якщо ũ(0, t) = ũ(π, t) ≡ 0, t ∈ R.
Справедливi твердження.
Лема 3. Якщо g ∈ Cπ
⋂
A−
2 = {g : g(x, t) = g(π − x, t + π) = g(x, t + 2π) = −g(x,−t)},
то ũ(0, t) ≡ (Sg)(0, t) = 0 i ũ(π, t) ≡ (Sg)(π, t) = 0, t ∈ R.
Доведення. Оскiльки при g ∈ Cπ
⋂
A−
2
(Sg)(0, 0) = −
1
4
π∫
0
dξ
ξ∫
−ξ
g(ξ, τ) ≡ 0;
(Sg)(π, 0) = −
1
4
π∫
0
dξ
π−ξ∫
−π+ξ
g(ξ, τ) = −
1
4
π∫
0
dξ
π−ξ∫
−(π−ξ)
g(ξ, τ) ≡ 0,
то на основi леми 2 маємо (Sg)(0, t) = (Sg)(π, t) = 0, t ∈ R, що й потрiбно було довести.
Теорема 2. Якщо g ∈ Gπt
⋂
A−
k , k = 1, 2, то функцiя
u(x, t) = (Sg)(x, t) (8)
є єдиною функцiєю з класу C2,2
π
⋂
A−
k , k = 1, 2, яка задовольняє умови крайової перiодичної
задачi (2), (3) при ω = kπ, k = 1, 2.
4π-перiодичнi розв’язки крайової перiодичної задачi. Припустимо, що
ω =
2πp
2s − 1
, p = 2m, m, s ∈ N, (p, 2s − 1) = 1.
Тодi
νk =
2πk
ω
=
2s − 1
2m
k.
Розглянемо знову частковий випадок s = m = 1, тобто, коли ω = 4π. У цьому випадку
νk = k/2, k ∈ N i система (1) розв’язностi крайової ω = 4π-перiодичної задачi (2), (3)
набуває вигляду
B +
∞∑
k=1
(
A1
k cos
kt
2
+ A3
k sin
kt
2
)
+ ũ(0, t) = 0,
Aπ + B +
∞∑
k=1
(
A1
k cos
kπ
2
+ A2
k sin
kπ
2
)
cos
kt
2
+
+
∞∑
k=1
(
A3
k cos
kπ
2
+ A4
k sin
kπ
2
)
sin
kt
2
+ ũ(π, t) = 0.
(9)
Припустимо, що значення ũ(0, t) частинного розв’язку неоднорiдного рiвняння utt −
− uxx = g(x, t) тотожно дорiвнює нулевi, тобто ũ(0, t) ≡ 0 для всiх t ∈ R. Тодi перше
рiвняння системи (9) має єдиний нульовий розв’язок
B = 0, A1
k = A3
k = 0, k ∈ N. (10)
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №5
Пiдставляючи розв’язок (10) у друге рiвняння системи (9), одержуємо таку рiвнiсть:
Aπ + B +
∞∑
k=1
(
A2
k sin
kπ
2
cos
kt
2
+ A4
k sin
kπ
2
sin
kt
2
)
+ ũ(π, t) = 0. (11)
Припустимо, що при ũ(π, t) 6≡ const рiвняння (11) має єдиний ненульовий розв’язок.
Тодi згiдно з формулою (17) [1] розв’язок крайової перiодичної задачi (1), (2) при ω = 4π
запишеться так:
u(x, t) = Ax +
∞∑
k=1
(
A2
k cos
kt
2
+ A4
k sin
kt
2
)
sin
kx
2
+ ũ(x, t) ≡ u0(x, t) + ũ(x, t), (12)
де u0(x, t) — розв’язок однорiдного рiвняння utt−uxx = 0, а ũ(x, t) — неоднорiдного рiвняння
utt − uxx = g(x, t) i такий, що ũ(0, t) = 0 i ũ(π, t) 6≡ const для всiх t ∈ R.
Вкажемо клас функцiй, для якого iснує точний розв’язок крайової перiодичної зада-
чi (1), (2) при ω = 4π. Для цього доведемо, що при умовi, коли невiдома 4π-перiодична
функцiя µ(t) для всiх t ∈ R допускає розклад у рiвномiрно збiжний ряд Фур’є вигляду
µ(t) =
a0
2
+
∞∑
k=1
(
ak cos
kt
2
+ bk sin
kt
2
)
, (13)
розв’язок
u0(x, t) = Ax +
∞∑
k=1
(
A2
k cos
kt
2
+ A4
k sin
kt
2
)
sin
kx
2
(14)
однорiдного рiвняння utt − uxx = 0, що входить у формулу (12), може бути зображений
у виглядi
u0(x, t) =
1
2
t+x∫
t−x
µ(α) dα. (15)
Справдi, пiдставляючи (13) у формулу (15), знаходимо
u0(x, t) =
1
2
t+x∫
t−x
{
a0
2
+
∞∑
k=1
(
ak cos
kα
2
+ bk sin
kα
2
)}
dα =
=
a0
2
x +
1
2
∞∑
k=1
{
2ak
k
sin
kα
2
∣∣∣∣
t+x
t−x
−
2bk
k
cos
kα
2
∣∣∣∣
t+x
t−x
}
=
=
a0
2
x+
1
2
∞∑
k=1
{
2ak
k
(
sin
k
2
(t+x)−sin
k
2
(t−x)
)
−
2bk
k
(
cos
k
2
(t+x)−cos
k
2
(t−x)
)}
=
=
a0
2
x +
∞∑
k=1
{
2ak
k
cos
kt
2
+
2bk
k
sin
kt
2
}
sin
kx
2
.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №5 33
Таким чином, покладаючи в останнiй рiвностi
a0
2
= A,
2ak
k
= A2
k,
2bk
k
= A4
k, k ∈ N, (16)
i враховуючи позначення u0(x, t) у формулах (14) i (15), одержуємо при нашому припущен-
нi (16), що u0(x, t) =
1
2
t+x∫
t−x
µ(α) dα, що й потрiбно було довести. Отже, у випадку ω = 4π
розв’язок крайової перiодичної задачi (2), (3) має вигляд
u(x, t) =
1
2
t+x∫
t−x
µ(α) dα + ũ(x, t), (17)
де µ(t) — невiдома неперервно диференцiйована i 4π — перiодична функцiя, а ũ(x, t) —
частинний розв’язок крайової ω = 4π-перiодичної задачi (2), (3) такий, що ũ(0, t) ≡ 0,
ũ(π, t) 6≡ const, для всiх t ∈ R.
Якщо вважати, що
ũ(x, t) = (S1g)(x, t) ≡ −
1
2
x∫
0
dξ
t+x−ξ∫
t−x+ξ
g(ξ, τ) dτ (18)
i припустити, що g ∈ Gπt, g(x, t+4π = g(x, t), µ ∈ C1
π(R), µ(t+4π) = µ(t), t ∈ R, то функцiя
u(x, t) =
1
2
t+x∫
t−x
µ(α) dα + (S1g)(x, t) (19)
є єдиним класичним розв’язком ω = 4π-перiодичної задачi (2), (3), причому u(0, t) для всiх
t ∈ R.
Покажемо, що iснує клас функцiй µ(t), для яких виконується друга крайова умова
u(π, t) ≡
1
2
t+π∫
t−π
µ(α) dα −
1
2
π∫
0
dξ
t+π−ξ∫
t−π+ξ
g(ξ, τ) dτ = 0. (20)
Диференцiюючи рiвнiсть (20), маємо
µ(t + π) − µ(t − π) =
π∫
0
{g(ξ, t + π − ξ) − g(ξ, t − π + ξ)} dξ. (21)
Позначимо через A4π такий клас функцiй:
A4π := {g : g(x, t) = −g(x, t + 2π)}.
Лема 4. Якщо g ∈ Cπ
⋂
A4π, то g ∈ Q4π.
Доведення. Справдi, g(x, t + 4π) = g(x, t + 2π + 2π) = −g(x, t + 2π) = g(x, t), що й
потрiбно було довести.
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №5
Замiнюючи у рiвностi (21) t на t + π i припускаючи, що µ(t) ∈ A4π i g ∈ A4π, знаходимо
µ(t) =
1
2
π∫
0
(g(ξ, t − ξ) + g(ξ, t + ξ)) dξ. (22)
Отже, ми показали, що для кожної функцiї g ∈ A4π iснує функцiя µ(t), яка належить
класу A4π. У результатi пiдстановки її у формулу (19) одержуємо в класi функцiй A4π
такий точний розв’язок:
u(x, t) =
1
4
t+x∫
t−x
dα
π∫
0
(g(ξ, α − ξ) + g(ξ, α + ξ)) dξ −
1
2
x∫
0
dξ
t+x−ξ∫
t−x+ξ
g(ξ, τ) dτ (23)
крайової перiодичної задачi (2), (3) при ω = 4π.
Перетворюючи (23), знаходимо
u(x, t) =
1
4
π∫
0
dξ
t+x∫
t−x
(g(ξ, α − ξ) + g(ξ, α + ξ)) dα −
1
2
x∫
0
dξ
t+x−ξ∫
t−x+ξ
g(ξ, τ) dτ =
=
1
4
π∫
0
dξ
t+x−ξ∫
t−x−ξ
g(ξ, τ) dτ +
1
4
π∫
0
dξ
t+x+ξ∫
t−x+ξ
g(ξ, τ) dτ −
1
2
x∫
0
dξ
t+x−ξ∫
t−x+ξ
g(ξ, τ) dτ =
=
1
4
π∫
0
dξ
t+x−ξ∫
t−x−ξ
g(ξ, τ) dτ +
1
4
π∫
0
dξ
t−x+ξ∫
t+x−ξ
g(ξ, τ) dτ +
1
4
π∫
0
dξ
t+x+ξ∫
t−x+ξ
g(ξ, τ) dτ −
−
1
4
π∫
0
dξ
t−x+ξ∫
t+x−ξ
g(ξ, τ) dτ −
1
2
x∫
0
dξ
t+x−ξ∫
t−x+ξ
g(ξ, τ) dτ =
=
1
4
π∫
0
dξ
t+x+ξ∫
t−x−ξ
g(ξ, τ) dτ −
1
4
π∫
0
dξ
t−x+ξ∫
t+x−ξ
g(ξ, τ) dτ −
1
4
x∫
0
dξ
t+x−ξ∫
t−x+ξ
g(ξ, τ) dτ ≡
≡ (Sg)(x, t) +
1
4
π∫
0
dξ
t+x+ξ∫
t−x−ξ
g(ξ, τ) dτ. (24)
Теорема 3 [3]. Якщо g ∈ Gπt
⋂
A4π, то функцiя
u(x, t) = (R4π)(x, t) ≡ (Sg)(x, t) +
1
4
π∫
0
dξ
t+x+ξ∫
t−x−ξ
g(ξ, τ) dτ (25)
є єдиною функцiєю з класу C2,2
π
⋂
A4π, яка задовольняє умови крайової перiодичної зада-
чi (2), (3) при ω = 4π.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №5 35
Таким чином, на основi умови розв’язностi (18) роботи [1] дослiджено i доведено iсну-
вання π-перiодичних i 4π-перiодичних розв’язкiв крайової ω-перiодичної задачi.
1. Митропольський Ю.О., Хома-Могильська С. Г. Умови iснування розв’язкiв крайової перiодичної
задачi для неоднорiдного лiнiйного гiперболiчного рiвняння другого порядку. I // Укр. мат. журн. –
2005. – 57, № 7. – С. 912–921.
2. Митропольський Ю.О., Хома Н. Г. Перiодичнi розв’язки квазiлiнiйних гiперболiчних рiвнянь дру-
гого порядку // Там же. – 1995. – 47, № 10. – С. 1370–1375.
3. Домбровський I.В. Iснування гладкого розв’язку квазiлiнiйного гiперболiчного рiвняння другого по-
рядку // Наук. вiстi НТУУ “КПI”. – 2000. – № 6 (14). – С. 136–141.
Надiйшло до редакцiї 11.09.2007Iнститут математики НАН України, Київ
Тернопiльський нацiональний економiчний унiверситет
УДК 517.95
© 2008
Г.А. Снiтко
Розв’язнiсть оберненої задачi для параболiчного
рiвняння з невiдомим молодшим коефiцiєнтом в областi
з вiльною межею
(Представлено членом-кореспондентом НАН України Б. Й. Пташником)
We established the conditions of existence and uniqueness of a solution to the inverse problem
for a one-dimensional parabolic equation with unknown time dependent minor coefficient in a
domain with free boundary.
У роботi дослiджено обернену задачу визначення залежного вiд часу коефiцiєнта при не-
вiдомiй функцiї в параболiчному рiвняннi другого порядку загального вигляду в областi
з вiльною межею. Зазначимо, що в працi [1] встановлено умови однозначного визначення
залежних вiд часу коефiцiєнтiв a(t), q(t) у параболiчному рiвняннi
ut = a(t)uxx + q(t)u + f(x, t), (x, t) ∈ (0, h) × (0, T ).
У [2] розглянуто задачу визначення q(t) у рiвняннi, коли старший коефiцiєнт вiдомий, a(t) =
= 1, а додаткова умова має вигляд
s(t)∫
0
u(x, t)dx = E(t), t ∈ [0, T ], 0 < s(t) 6 h.
Задача з вiльною межею з iнтегральною умовою перевизначення дослiджена в [3].
В областi ΩT = {(x, t) : 0 < x < h(t), 0 < t < T} з невiдомою межею x = h(t) розглядаємо
параболiчне рiвняння з невiдомим коефiцiєнтом c = c(t)
ut = a(x, t)uxx + b(x, t)ux + c(t)u + f(x, t), (x, t) ∈ ΩT , (1)
36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №5
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4580 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-30T09:13:01Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Митропольський, Ю.О. Хома, Г.П. Хома-Могильська, С. Г. 2009-12-08T10:17:21Z 2009-12-08T10:17:21Z 2008 Розв’язки крайової перiодичної задачi для неоднорiдного лiнiйного гiперболiчного рiвняння другого порядку / Ю.О. Митропольський, Г.П. Хома, С. Г. Хома-Могильська // Доп. НАН України. — 2008. — № 5. — С. 30-36. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4580 517.944 We obtained the conditions of solvability of a boundary-value inhomogeneous periodic problem for particular values of the period ω on the base of a solution of the boundary-value periodic problem utt − uxx = g(x, t), u(0, t) = u(π, t) = 0, u(x, t + ω) = u(x, t). This solution is represented with the formula u(x, t) = u0(x, t) + u~(x, t). Here, u0(x, t) is the solution corresponding to the homogeneous periodic problem and u~(x, t) is a partial solution of the inhomogeneous equation where u~(x, t+ω) = u~(x, t). We demonstrate that the obtained solution contains the results that were found before. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Розв’язки крайової перiодичної задачi для неоднорiдного лiнiйного гiперболiчного рiвняння другого порядку Article published earlier |
| spellingShingle | Розв’язки крайової перiодичної задачi для неоднорiдного лiнiйного гiперболiчного рiвняння другого порядку Митропольський, Ю.О. Хома, Г.П. Хома-Могильська, С. Г. Математика |
| title | Розв’язки крайової перiодичної задачi для неоднорiдного лiнiйного гiперболiчного рiвняння другого порядку |
| title_full | Розв’язки крайової перiодичної задачi для неоднорiдного лiнiйного гiперболiчного рiвняння другого порядку |
| title_fullStr | Розв’язки крайової перiодичної задачi для неоднорiдного лiнiйного гiперболiчного рiвняння другого порядку |
| title_full_unstemmed | Розв’язки крайової перiодичної задачi для неоднорiдного лiнiйного гiперболiчного рiвняння другого порядку |
| title_short | Розв’язки крайової перiодичної задачi для неоднорiдного лiнiйного гiперболiчного рiвняння другого порядку |
| title_sort | розв’язки крайової перiодичної задачi для неоднорiдного лiнiйного гiперболiчного рiвняння другого порядку |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4580 |
| work_keys_str_mv | AT mitropolʹsʹkiiûo rozvâzkikraiovoíperiodičnoízadačidlâneodnoridnogoliniinogogiperboličnogorivnânnâdrugogoporâdku AT homagp rozvâzkikraiovoíperiodičnoízadačidlâneodnoridnogoliniinogogiperboličnogorivnânnâdrugogoporâdku AT homamogilʹsʹkasg rozvâzkikraiovoíperiodičnoízadačidlâneodnoridnogoliniinogogiperboličnogorivnânnâdrugogoporâdku |