Об устойчивости стационарных вращений динамически симметричного твердого тела на струнном колеблющемся подвесе
The equations of movement are introduced, and the stability of stationary movements of a solid body on the oscillating string suspension is investigated.
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4586 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об устойчивости стационарных вращений динамически симметричного твердого тела на струнном колеблющемся подвесе / В.И. Слынько // Доп. НАН України. — 2008. — № 5. — С. 82-88. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859479054986510336 |
|---|---|
| author | Слынько, В.И. |
| author_facet | Слынько, В.И. |
| citation_txt | Об устойчивости стационарных вращений динамически симметричного твердого тела на струнном колеблющемся подвесе / В.И. Слынько // Доп. НАН України. — 2008. — № 5. — С. 82-88. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | The equations of movement are introduced, and the stability of stationary movements of a solid body on the oscillating string suspension is investigated.
|
| first_indexed | 2025-11-24T11:50:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 531.36
© 2008
В.И. Слынько
Об устойчивости стационарных вращений динамически
симметричного твердого тела на струнном
колеблющемся подвесе
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.А. Мартынюком)
The equations of movement are introduced, and the stability of stationary movements of a solid
body on the oscillating string suspension is investigated.
Исследованию стационарных задач динамики твердого тела на струнном подвесе посвящено
большое количество исследований, которые подытожены в работе [1], где также приведен
достаточно полный обзор полученных теоретических и экспериментальных результатов.
Уравнения движения твердого тела в случае переменного подвеса выведены в работе [2].
В настоящей работе рассматривается устойчивость простейшего вращения твердого тела на
колеблющемся струнном подвесе в случае, когда колебания точки подвеса носят импульс-
ный характер.
1. Уравнения движения. Рассмотрим тяжелое осесимметричное, однородное, абсо-
лютно твердое тело, подвешенное на струнном подвесе в подвижной точке O1 [1]. Переме-
щение этой точки описывается 2θ периодической функцией
χ(t) =
v0t,
(
−
1
2
+ 2k
)
θ 6 t 6
(
1
2
+ 2k
)
θ,
v0(θ − t),
(
1
2
+ 2k
)
θ 6 t 6
(
3
2
+ 2k
)
θ.
Другим своим концом струнный подвес прикреплен к телу в некоторой точке O2, распо-
ложенной на оси его симметрии. Принимается, что струнный подвес является абсолютно
твердым невесомым телом (стержнем). Исходя из вида функции χ(t), можем заключить,
что на интервалах времени (kθ, (k + 1)θ) точка подвеса движется равномерно, а в момен-
ты времени t = kθ происходит удар, в результате которого обобщенные скорости системы
претерпевают разрыв первого рода, а соответствующие обобщенные координаты остаются
непрерывными.
Введем неподвижную систему координат ξηζ с начальной в точке O и с осью ζ, направ-
ленной вертикально вверх (рис. 1). При этом относительно этой системы координат точка
подвеса O1 движется по закону ξ = 0, η = 0, ζ = χ(t). В центре масс G твердого тела по-
местим начала двух других систем координат ξ1η1ζ1 и xyz. Оси первой системы координат
постоянно параллельны соответствующим осям подвижной системы ξηζ, оси второй — жест-
ко связаны с твердым телом. При этом ось z системы xyz направлена по оси динамической
симметрии тела и является главной центральной осью инерции. Положение тела и жест-
ко связанной с ним системы координат xyz относительно поступательно перемещающейся
системы ξ1η1ζ1 определим тремя углами Эйлера–Крылова α, β и γ [3], изображенными на
рис. 2. В свою очередь, углами α1 и β1 (см. рис. 1) зададим положение струны O1O2 по
82 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №5
Рис. 1 Рис. 2
отношению к неподвижной системе координат ξηζ. Струнный подвес можно рассматривать
как реономную геометрическую связь
x2 + y2 + (z − χ(t))2 = l2,
где x, y, z — координаты точки O2 в неподвижной системе координат. Координаты ξG, ηG,
ζG центра масс тела G определяются по формулам
ξG = −l sinβ1 − a sin β,
ηG = l sin α1 cos β1 + a sin α cos β,
ζG = −l cos α1 cos β1 − a cos α cos β + χ(t).
Кинетическая энергия системы имеет вид
T =
1
2
(m(ξ̇2
G + η̇2
G + ζ̇2
G) + A(ω2
x + ω2
y) + Cω2
z),
а потенциальная энергия определяется формулой
V = mgζG = −mg(l cos α1 cos β1 + a cos α cos β).
Примем также, что кроме силы тяжести на систему действуют малые силы трения
в шарнире O1, которые можно задать функцией Релея
R =
µ(α̇2
1 + β̇2
1)
2
,
µ — положительный коэффициент.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №5 83
При t 6= kθ уравнения движения имеют форму уравнений Лагранжа второго рода
d
dt
(
∂L
∂q̇
)
−
∂L
∂q
= Qq,
где q — обобщенная координата, а Qq — соответствующая ей обобщенная сила
Qq = −
∂R
∂q̇
.
При t = kθ уравнения движения по Голдстейну имеют форму
∂L
∂q̇
∣∣∣∣
t=kθ−0
=
∂L
∂q̇
∣∣∣∣
t=kθ+0
.
Из этих уравнений получается следующая нелинейная система уравнений движения при
t 6= kθ:
(ma2 cos2 β + A cos2 β + C sin2 β)α̈ +
+ mal(cos α1 cos β1 cos α cos β + sin α1 cos β1 sin α cos β)α̈1 +
+ mal(cos α1 sin β1 sin α cos β − sin α1 sin β1 cos α cos β)β̈1 +
+ mal(cos α1 cos β1 sin α cos β − sin α1 cos β1 cos α cos β)α̇2
1 −
− 2(ma2 sin β cos β + A sin β cos β − C sinβ cos β)α̇β̇ −
− 2amal(cos α1 sin β1 cos α cos β + sin α1 sin β1 sin α cos β)α̇1β̇1 +
+ mal(cosα1 cos β1 sinα cos β − sin α1 cos β1 cos α cos β)β̇2
1 + C cos ββ̇γ̇ +
+ mga sin α cos β + C sinβγ̈ = Qα;
ma2β̈ − mal(sin β1 cos β − cos α1 cos β1 cos α sinβ − sinα1 cos β1 sin α sin β)β̇2
1 −
− 2mal(sin α1 sin β1 cos α sin β − cos α1 sin β1 sinα sin β)α̇1β̇1 +
+ mal(sin α sin β sin α1 cos β1 + cos α1 cos β1 cos α sin β)α̇2
1 +
+ mal(sin α1 cos β1 cos α sin β − sin α sin β cos α1 cos β1)α̈1 +
+ mal(cos β1 cos β + cos α1 sinβ1 cos α sin β + sin α1 sin β1 sin α sinβ)β̈1 +
+ (ma2 cos β sin β + A sin β cos β)α̇2 − C(α̇ sin β + γ̇) cos βα̇ + mga sin β cos β = Qβ;
ml2β̈1 − mal(cos β1 sin β − cos α1 sin β1 cos α cos β − sin α1 sin β1 sinα cos β)β̇2 −
− 2aml(cos α1 sin β1 sin α sin β − sin α1 sin β1 cos α cos β)α̇β̇ +
+ mal(cos β1 cos β + cos α1 sinβ1 cos α sin β + sin α1 sinβ1 sin α sin β)β̈ +
+ mal(cos α1 sinβ1 cos α cos β + sin α1 sinβ1 sin α cos β)α̇2 +
+ mal(cos α1 sinβ1 sin α cos β − sin α1 sinβ1 cos α cos β)α̈ +
+ ml2 sin β1 cos β1α̇
2
1 + mgl sin β1 cos α1 = Qβ1
;
C(sin βα̈ + cos βα̇β̇ + γ̈) = Qγ ;
84 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №5
при t = kθ:
(A cos2 β + C sin2 β + ma2 cos2 β)∆α̇ +
+ mal(cos α1 cos β1 cos α cos β + + sin α1 cos β1 sin α cos β)∆α̇1 +
+ mal(cos α1 sin β1 sin α cos β − sin α1 sin β1 cos α cos β)∆β̇1 + C sin β∆γ̇ =
= (−1)k2mv0a sin α cos β;
ml2 cos2 β1∆α̇1 + mal(cos α1 cos β1 cos α cos β + sin α1 cos β1 sin α cos β)∆α̇ +
+ mal(− sinα sin β cos α1 cos β1 + sinα1 cos β1 cos α sinβ)∆β̇ =
= (−1)k2mv0l sin α1 cos β1;
(A + ma2)∆β̇ + mal(cos β1 cos β + cos α1 sin β1 cos α sin β + sin α1 sin β1 sinα sin β)∆β̇1 +
+ mal(− sinα sin β cos α1 cos β1 + sinα1 cos β1 cos α sinβ)∆α̇1 =
= (−1)k2mv0a cos α sin β;
ml2∆β̇1 + mal(cos β1 cos β + cos α1 sinβ1 cos α sin β + sin α1 sin β1 sin α sinβ)∆β̇ +
+ mal(cos α1 sin β1 sin α cos β − sin α1 sin β1 cos α cos β)∆α̇ =
= (−1)k2mv0l cos α1 sin β1;
∆α̇ sin β + ∆γ̇ = 0;
∆α = 0, ∆β = 0, ∆α1 = 0, ∆β1 = 0, ∆γ = 0.
2. Стационарные движения. Нетрудно показать, что уравнения движения имеют
решение
α = β = 0, α1 = β1 = 0, γ̇ = ω, γ = ωt + γ0. (1)
Для этого стационарного решения определим переменные возмущенного движения
x1 = α1, x2 = β1, x3 = α, x4 = β.
Тогда уравнения возмущенного движения представимы в виде системы дифференциальных
уравнений с импульсным воздействием [4]
Aẍ(t) + (B + G)ẋ(t) + Cx(t) = 0, t 6= kθ,
x(t+) = x(t), Aẋ(t+) = Aẋ(t) + Dkx(t), t = kθ,
(2)
где постоянные матрицы A, B, G, C соответствуют инерционным, диссипативным, гироско-
пическим и потенциальным силам и имеют вид
A =
ml2 0 mal 0
0 ml2 0 mal
mal 0 A + ma2 0
0 mal 0 A + ma2
, B =
µ 0 0 0
0 µ 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №5 85
G =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 Cω
0 0 −Cω 0
, C =
mgl 0 0 0
0 mgl 0 0
0 0 mga 0
0 0 0 mga
,
а матрицы Dk имеют вид
Dk = 2(−1)kmv0
l 0 0 0
0 l 0 0
0 0 a 0
0 0 0 a
, k = 1, 2.
3. Устойчивость стационарных движений. Рассмотрим вопрос об устойчивости по
Ляпунову рассматриваемого стационарного движения. Для этого в первом приближении
достаточно рассмотреть вопрос об устойчивости линейной системы уравнений возмущенно-
го движения (2). Эту систему уравнений можно привести к нормальной форме
ż(t) = Ãz(t), t 6= kθ,
z(t+) = B̃kz(t), t = kθ,
где z = (xT , ẋT )T , а Ã и Bk — блочно-диагональные матрицы вида
à =
(
0 I
−A−1C −A−1(B + G)
)
, B̃k =
(
I 0
A−1Dk I
)
.
Определим матрицу монодромии [4] Φ = B2e
AθB1e
Aθ, тогда необходимым и достаточным
условием асимптотической устойчивости системы уравнений возмущенного движения (2)
будет принадлежность всех характеристических чисел матрицы монодромии открытому
единичному кругу комплексной плоскости. Однако, в отличие от системы обыкновенных
дифференциальных уравнений, где аналогичные условия асимптотической устойчивости
сведены к неравенствам на коэффициенты системы (например, условия Рауса–Гурвица),
получение таких условий для системы уравнений (2) затруднительно, поскольку для вы-
числения матричных экспонент в аналитическом виде необходимо решить задачу нахожде-
ния собственных значений матрицы восьмого порядка. Приведем некоторые достаточные
условия асимптотической устойчивости стационарного движения (1).
Определим матрицы H, H1 и H2
H =
0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 1
−
(A+ma2)g
Al
0
mga2
Al
0 −
(A+ma2)µ
mAl2
0 0
aCω
lA
0 −
(A+ma2)g
Al
0
mga2
Al
0 −
(A+ma2)µ
mAl2
−
aCω
lA
0
mga
A
0 −
mga
A
0
aµ
Al
0 0 −
Cω
A
0
mga
A
0 −
mga
A
0
aµ
Al
Cω
A
0
,
86 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №5
H1 =
−2ml 0 0 0 0 0 0 0
0 −2ml 0 0 0 0 0 0
0 0 −2ma 0 0 0 0 0
0 0 0 −2ma 0 0 0 0
2µ(A + ma2)
Al
0 0 −
2a2mCω
Al
2ml 0 0 0
0
2µ(A + ma2)
Al
2a2mCω
Al
0 0 2ml 0 0
−
2maµ
A
0 0
2maCω
A
0 0 2ma 0
0 −
2maµ
A
2maCω
A
0 0 0 0 2ma
,
H2 =
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
−4m2l2 0 0 0 0 0 0 0
0 −4m2l2 0 0 0 0 0 0
0 0 −4m2a2 0 0 0 0 0
0 0 0 −4m2a2 0 0 0 0
.
Пусть G — симметричная положительно-определенная матрица; p — четное натуральное
число. Рассмотрим матричное уравнение
p−1∑
l=1
l∑
k=0
(1 + (−1)l−1)
Ck
l θl−1
l!
HkX(HT )l−k = −G, (3)
где Ck
l =
l!
k!(l − k)!
— биноминальные коэффициенты.
Теорема. Предположим, что матричное уравнение (3) имеет положительно-опреде-
ленное симметричное решение X и выполняется неравенство
e2‖H‖θ
θ
(e2‖H‖θ(v0‖H−1H1‖+v2
0
‖H−1H2‖) − 1) <
λm(G)
λM (X)
+ O(θp). (4)
Тогда стационарное движение (1) асимптотически устойчиво.
Доказательство проводится на основе работы [5].
Численный пример. Рассмотрим стационарное движение твердого тела на струнном
подвесе при значениях параметров m = 0,01, A = C = 0,01, a = 0,1, l = 10, g = 9,8, ω = 1,
µ = 0,1.
Условие устойчивости стационарного движения можно представить в виде неравенства
e3,88θ
θ
(eθ(1,09v0+0,22v2
0
) − 1) < 1,01,
ограничивающего изменения параметров импульсных колебаний точки подвеса.
1. Ишлинский А.Ю., Стороженко В.А., Темченко М.Е. Вращение твердого тела на струне и смежные
задачи. – Москва: Наука. – 1991. – 345 с.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №5 87
2. Золотенко Г.Ф. Движение твердого тела, подвешенного на нити переменной длины // Изв. АН СССР.
МТТ. – 1988. – № 1. – С. 16–19.
3. Ишлинский А.Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. – Москва: Наука, 1976. – 670 с.
4. Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. –
Киев: Вища шк., 1987. – 286 с.
5. Слынько В.И. Линейные матричные неравенства и устойчивость движения импульсных систем //
Доп. НАН України. – 2008. – № 4. – С. 68–71.
6. Lobas L.G., Koval’chuk V.V., Bambura O.V. Evolution of the equilibrium states of an inverted pendu-
lum // Int. Apl. Mech. – 2007. – 43, No 4. – P. 121–129.
7. Lobas L.G., Koval’chuk V.V., Bambura O.V. Evolution of the equilibrium states of an inverted pendu-
lum // Ibid. – No 3. – P. 344–351.
8. Мартынюк А.А., Никитина Н.В. Нахождение предельного значения энергии двойного математи-
ческого маятника // Ibid. – № 9. – С. 106–115.
Поступило в редакцию 26.11.2007Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
88 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №5
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4586 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-24T11:50:37Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Слынько, В.И. 2009-12-08T10:33:05Z 2009-12-08T10:33:05Z 2008 Об устойчивости стационарных вращений динамически симметричного твердого тела на струнном колеблющемся подвесе / В.И. Слынько // Доп. НАН України. — 2008. — № 5. — С. 82-88. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4586 531.36 The equations of movement are introduced, and the stability of stationary movements of a solid body on the oscillating string suspension is investigated. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Об устойчивости стационарных вращений динамически симметричного твердого тела на струнном колеблющемся подвесе Article published earlier |
| spellingShingle | Об устойчивости стационарных вращений динамически симметричного твердого тела на струнном колеблющемся подвесе Слынько, В.И. Механіка |
| title | Об устойчивости стационарных вращений динамически симметричного твердого тела на струнном колеблющемся подвесе |
| title_full | Об устойчивости стационарных вращений динамически симметричного твердого тела на струнном колеблющемся подвесе |
| title_fullStr | Об устойчивости стационарных вращений динамически симметричного твердого тела на струнном колеблющемся подвесе |
| title_full_unstemmed | Об устойчивости стационарных вращений динамически симметричного твердого тела на струнном колеблющемся подвесе |
| title_short | Об устойчивости стационарных вращений динамически симметричного твердого тела на струнном колеблющемся подвесе |
| title_sort | об устойчивости стационарных вращений динамически симметричного твердого тела на струнном колеблющемся подвесе |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4586 |
| work_keys_str_mv | AT slynʹkovi obustoičivostistacionarnyhvraŝeniidinamičeskisimmetričnogotverdogotelanastrunnomkoleblûŝemsâpodvese |