Проблемы математической теории пластичности
Приведены результаты исследований автора по развитию и разработке теории определяющих
 соотношений процессов пластического деформирования в современной математической
 теории пластичности. Обсуждаются два основных ее классических направления:
 теория течения и теория процессо...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы прочности |
|---|---|
| Дата: | 2000 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2000
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46186 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Проблемы математической теории пластичности / В.Г. Зубчанинов // Проблемы прочности. — 2000. — № 1. — С. 22-41. — Бібліогр.: 36 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860017686181838848 |
|---|---|
| author | Зубчанинов, В.Г. |
| author_facet | Зубчанинов, В.Г. |
| citation_txt | Проблемы математической теории пластичности / В.Г. Зубчанинов // Проблемы прочности. — 2000. — № 1. — С. 22-41. — Бібліогр.: 36 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы прочности |
| description | Приведены результаты исследований автора по развитию и разработке теории определяющих
соотношений процессов пластического деформирования в современной математической
теории пластичности. Обсуждаются два основных ее классических направления:
теория течения и теория процессов. В основе первого направления лежит концепция
существования предельной поверхности и возможность разложения деформаций на упругую
и пластическую части. Второе, бурно развивающееся направление, напротив, не использует
концепцию существования предельных поверхностей и не допускает разложение деформаций
на упругие и пластические части, за исключением случаев простого нагружения и
простой разгрузки. Считается, что при сложном нагружении и сложной разгрузке деформация
является упругопластической (неполной пластической либо неполной упругой). Сближение
указанных двух направлений в теории пластичности, как считает автор, при
сложном нагружении неизбежно, поскольку они предназначены для исследования закономерностей
одних и тех же физико-механических процессов пластического деформирования
различных сред. Одна из таких возможностей сближения приведена в данной работе.
The paper presents the results of the
investigations performed by the author, which
involved the development of the theory of determining relationships for the processes of
plastic deformation in the present-day
mathematical theory of plasticity. Two main
classical trends are discussed: the theory of
flow and the theory of processes. The former
trend is based on the concept of the existence of
a limiting surface and the possibility of
resolving strains into the elastic and plastic
components. The latter trend, which is being
vigorously developed, on the contrary, does not
use the concept of the existence of limiting
surfaces and does not allow resolving strains
into elastic and plastic components with the
exception of the cases of simple loading and
simple unloading. At complex loading and at
complex unloading, the strain is considered to
be elastoplastic (nontotally plastic or nontotally
elastic). In the author’s opinion, in the theory
of plasticity under complex loading the
aforementioned two trends inevitably come
closer together, since they are intended for the
investigation of the regularities in the same
physicomechanical processes of plastic
deformation of various media. One of the
possibilities for their coming together is
described in the present paper.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:46:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.374
Проблемы математической теории пластичности
В . Г . З у б ч а н и н о в
Тверской государственный технический университет, Тверь, Россия
Приведены результаты исследований автора по развитию и разработке теории опре
деляющих соотношений процессов пластического деформирования в современной мате
матической теории пластичности. Обсуждаются два основных ее классических направ
ления: теория течения и теория процессов. В основе первого направления лежит концепция
существования предельной поверхности и возможность разложения деформаций на упругую
и пластическую части. Второе, бурно развивающееся направление, напротив, не использует
концепцию существования предельных поверхностей и не допускает разложение дефор
маций на упругие и пластические части, за исключением случаев простого нагружения и
простой разгрузки. Считается, что при сложном нагружении и сложной разгрузке дефор
мация является упругопластической (неполной пластической либо неполной упругой). Сбли
жение указанных двух направлений в теории пластичности, как считает автор, при
сложном нагружении неизбежно, поскольку они предназначены для исследования законо
мерностей одних и тех же физико-механических процессов пластического деформирования
различных сред. Одна из таких возможностей сближения приведена в данной работе.
1. Процессы нагружения и деформирования. Физический процесс в
частице тела с координатами х к (к = 1, 2, 3) будем считать заданным, если
заданы как непрерывно дифференцируемые функции времени г шесть
компонент тензора деформаций (Х к , г) либо напряжений о у (х к , г), а
также температура Т(х к , г) и другие нетермомеханические параметры
где е 0 = еи /3; о 0 = о г /3; Э у , Б у - компоненты тензоров-девиаторов.
С учетом Эу = 0, Б у = 0 вместо £ у , о у при задании процесса могут
быть использованы другие шесть независимых величин из £0 , Эц либо
о 0 , Б й . В шестимерных совмещенных эвклидовых пространствах дефор
маций Е 6 и напряжений X 6 с общим неподвижным ортонормированным
репером {ек } указанные выше процессы деформирования и нагружения
представляются траекториями шестимерных векторов деформаций £ и на
пряжений Б :
Здесь г0 < т < г; £ | , Б - модули векторов е, Б , равные модулям тензоров,
в (х к , г).
Представим компоненты тензоров (еу ), (о у ) в виде [1-5]
еу = £ 0 + Э у ; о у = о 0 + Б у (и ] = 1 2 3), (1)
е(т) = Э к (т)ек , Б (т) = Б к (т)ек (к = 0 1 , 2 ..., 5 ) (2 )
(3)
^3 о 0 + о 2 ;
© В. Г. ЗУБЧАНИНОВ, 2000
22 1ББМ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 1
Проблемы математической теории пластичности
Э , о - модули тензоров-девиаторов деформаций и напряжений соответ
ственно
Э = 'Э Э ; о = 4 ^ ^ ’ (4)
где Э о, Э з - проекции вектора деформаций:
Э о = л/3 Со, Э! = ^ 2 Э ц , Э 2 =л/2
э з = 4 2 Э!2, э 4 = 4 2 э 23 , э 5 = 7 2 э
Э 22 + Т Э 11
л/2
= ~ (Э 22 - Э 33 ),2 22 зз (5)
31-
Аналогичные выражения можно написать для проекций вектора напря
жений в X 5 , что в обоих случаях вытекают из общих преобразований,
приведенных в работе в [1]:
Эо = 3 3 , ^ Ч 3 ^ Э ц , Эц = ^ в р п (п = 0 , 1 , 2 , . . . , 5 ) , (6 )
где коэффициенты в к = в у образуют таблицу
ц к = 0 к = 1 к = 2 к = 3 к = 4 к = 5
11 1/л/2 1 0 0 0 0
22 1/л/2 - 1 2 л/3/2 0 0 0
33 1/л/2 - 1 2 -431г 0 0 0
12, 21 0 0 0 л/3/2 0 0
23, 32 0 0 0 0 л/3/2 0
31, 13 0 0 0 0 0 л/3/2
Шесть функций Эу (т ) характеризуют задание траектории деформации
С( т ) в Е 6 , шесть функций Б к (т ) - траектории напряжений Б (т ) в X 6.
Внутренняя геометрия траектории деформаций в Е 6 определяется дви
жением по ней репера Френе {р к } (к = 0, 1, ..., 5), положение которого на
траектории определяет длина дуги траектории я(т), где г0 < т < г. Еди
ничные орты ру связаны уравнениями Френе [1-4]
йр к
— = - к у-1 Рк-1 + к кРк+ 1 (к = 0 , 1 , ..., 5) , (7)
где к к (х) - пять параметров кривизны и кручения траектории (к - 1 = к 5 = 0);
йя - приращение дуги я траектории деформации,
йя = 7 щЭкйЭк = у[щЦ Ё Ц . (8)
1ББМ 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2000, № 1 23
Соотношения, аналогичные (7), (8), могут быть записаны для траекто
рии напряжений, по которой движется репер Френе {дк } в X 6 с пара
метрами внутренней геометрии: длиной дуги траектории X и параметрами
кривизны и кручения к п (п = 1, 2, ..., 5). Траектория деформации е(т)
может быть задана шестью параметрами внутренней геометрии: длиной
дуги х и пятью параметрами кривизны и кручения к п (п = 1, 2, ..., 5), а
траектория напряжений Б (т ) - длиной дуги X и пятью параметрами
кривизны и кручения к п. В этом случае необходимо также задать положение
траекторий при г = г о в Е 6 и X 6 соответственно. Это важно подчеркнуть,
поскольку ортогональные преобразования вращения и отражения траекто
рий в Е 6 и X 6 сохраняют не только их внутреннюю геометрию (параметры
х, к п либо X, к п), но и инварианты £о, Э либо о о, о , но не сохраняют в
общем случае третьи инварианты 1 3 = |э,у| или I ° = |£,у|, либо, что одно и
то же, углы р и ^ вида деформированного и напряженного состояний
соответственно. Для определения углов р , ^ имеем формулы
В. Г. Зубчанинов
Все три инварианта £о, Э , 13 либо о о, о , 10 сохраняют свои значения
только для частного случая таких преобразований, соответствующих вра
щению координатных осей в точке тела физического пространства. Это
означает, что физический процесс сохраняется лишь для весьма узкого,
специального вида преобразований в Е 6 [1, 2]. Данное обстоятельство
должно учитываться при построении теории определяющих соотношений.
Траектория деформаций е(т) в Е 6 при заданном репере ек с по
строенными в каждой ее точке х вектором напряжений Б и приписанными
к этим точкам параметрами Т (т ), в (т ) названы [1, 2 ] “образом процесса
нагружения в пространстве деформаций”. Аналогичное определение имеет
место для пространства напряжений X 6 . Вектор напряжений в каждой
точке траектории деформаций можно формально представить в репере
Френе {р к } следующим образом:
В соответствии с постулатом макроскопической определимости (ПМО),
макроскопическое физическое состояние в точке среды в момент времени г
однозначно определяется процессом нагружения [1, 2, 4]. Поэтому соотно
шение ( 10) может стать физическим законом, если входящие в него коэф
фициенты Рк будут определены как функционалы процесса (т),Т (т ),в (т ),
инвариантные относительно преобразований вращения координатных осей
х ; в точке тела, т.е. в физическом пространстве. В этом случае ПМО
естественным образом приводит к определяющим соотношениям вида (10),
в которых функционалы процесса зависят от длины дуги траектории Б либо
инварианта Э (х), а также к п (х), Т (х), в(х) и инвариантов е0 (х), I ° (х):
со83р = 3 л /б Э ^ /Э ; соэЗ^ = 3л/б(Б^/о. (9)
Б = РкРк (к = 0,1, . . . , 5). (10)
24 1ББМ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 1
Проблемы математической теории пластичности
р к = рк К к п , Т, в , £о, 13 } (к = 0 ,1 , . . . , 5), (11)
где параметр прослеживания процесса
і
5 = IV ° Р і ( 12)
о
Представление деформации в частице тела как совокупности изменения
объема и формы является вполне естественным и удобным с точки зрения
постановки экспериментальных исследований. Поэтому вполне естествен
ным является задание физического процесса не в Е 6 и X 6, а в пятимерном
подпространстве тензоров-девиаторов Е 5 , X 5 . В этом случае шести ком
понентам тензора деформаций = д у £ 0 + должно быть поставлено в
соответствие шесть независимых величин из ео , Э ^ , или, что одно и то же,
траектория деформаций Э (т ) = Э ке к (к = 1,2, . . . , 5) в Е 5 и е0 в каждой ее
точке. В этом случае под образом процесса следует понимать совокупность
траектории деформаций Э (т ) при заданном репере {ек } с построенным в
каждой ее точке вектором напряжений о = Б кек и приписанными к этим
точкам параметрами е0 (я), Т (я), в(я), где я = s(г). Определяющее соотно
шение можно представить в виде [1, 5, 6 ]
0 = Рк {^ к т , ^ 13 , T, в } гРк (к = 1 , 2 , ..., 5 ) ; (13)
(14)
где 5 - длина дуги траектории; р к - единичные орты пятимерного репера
Френе; к т (т = 1,2, 3, 4) - параметры кривизны и кручения пятимерной
траектории в Е 5 .
Вид уравнений Френе (7) при этом такой же, но к о = 0, к 5 = 0, поэтому
имеем четыре параметра кривизны и кручения к т (5), где т = 1, 2, 3, 4.
Разложим систему уравнений Френе (7) в Е 5 на четыре подсистемы [7]
^р т ~ $р т+1 ^
— — = Кт Рт + Ь — ----= - КтРт . (15)
а$ а$
Для т = 1, т = 4 подсистемы дают вращение репера Френе вокруг орты
р з со скоростями К1, к 4 в гиперплоскости, образуемой соприкасающи
мися плоскостями с реперами (р 1, р 2) и (р 4 , р 5) соответственно. Эту
гиперплоскость назовем соприкасающейся по аналогии с трехмерными тра
екториями. Вектор р з ортогонален этой плоскости, и его можно назвать
гипербинормалью пятимерного репера Френе. Таким образом, параметры
к 1, к 4 характеризуют кривизны траекторий деформации в Е 5 .
НБЫ 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2000, № 1 25
Для т = 2, т = 3 подсистемы (15) дают вращение со скоростями к 2 , к 3
вокруг ортов р 1, р 5 , которые по аналогии с трехмерным случаем обуслов
ливают направления касательных к пятимерной траектории. Параметры
к 2 , к з характеризуют кручение пятимерной траектории деформации, при
чем орты р 1, р 5 , около которых происходит это кручение, являются двумя
ее гипернормалями.
Таким образом, в каждый момент движения по траектории репер Френе
{р к } совершает поступательное движение вдоль касательных векторов
р 1, р 5 в соприкасающейся гиперплоскости, части которой, определяемые
плоскостями с реперами (р 1, р 2 ), (р 3 , р 4 ), могут независимо закручивать
ся относительно этих же ортов. Это придает перемещению репера Френе по
траектории характер винтового движения в Е 5 . Четыре параметра кривизны
и кручения к т (я) представляют собой натуральные уравнения траектории и
вместе с длиной дуги я определяют пять параметров ее внутренней гео
метрии.
Аналогичные выводы можно привести для траектории нагружения в
X 5.
Если свойства рассматриваемой среды не зависят от третьих инва
риантов I з = |Э1у| , 1 3 = ^ или их влиянием можно пренебречь (например,
в случае металлов и их сплавов), то не только сама среда, отнесенная к
физическому пространству с координатами х к, но и пространства Е 6 , Е 5 и
X 6 , X 5 становятся изотропными. В этом случае приходим к постулату
изотропии: образ физического процесса в Е 5 сохраняется при всех пре
образованиях вращения и отражения, если в соответствующих точках тра
ектории деформации сохраняются параметры £0 , Т , в [1, 2, 4]. Анало
гичную формулировку можно дать в пространстве X 5 .
Отметим, что понятие образа процесса можно несколько расширить,
если в каждой точке траектории наряду с вектором 3 (либо Э ) рас
сматривать другие физические векторы, например й3 (либо йЭ ) [1, 2 - 6 ].
Параметры кривизны и кручения к т (т = 1, 2, 3, 4) могут быть вычис
лены по рекурентной формуле [2, 4]
В. Г. Зубчанинов
к 2-1 +
йр к
йя
(к = 1 , 2 , . . . , 5) . (16)
Соотношения Френе (7) позволяют с учетом р 1 = йЭ/йя последова
тельно найти входящие в (16) векторы р к :
йЭ 2Э йЭ й
- + —р 1 = ~ Г , к 1 р 2 к 2 р 3 = к 1 , ,йя йя 2 йя йя
й 2Э
к 1 йя2
к 3р 4 = к 2р 2 + ~ Т ( р 3 X к 4р 5 = к 3р 3 + ~Т( р 4) йя йя
(17)
2
26 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 1
Проблемы математической теории пластичности
и получить формулы для к m :
2Э d 2Э d 23 ij d 23ij2 и Э d 2Э
к і =
ds2 ds2 ds2 ds2
2 2 к 2 = - к 2 +
2 2 к 2 = - к 2 +
2 2 к 2 = - к 2 +
d_
ds
d_
ds
d_
ds
2
кі ds2
к 1 dЭ + 1 d
к 2 ds к 2 ds
= - к 2 - _L ̂ Э
кі ds7
+
x ^ \2
^ 3
к і ds3
Ґ 2 —Л
d 2Э
кі ds2
к 2 d Э 1 d
+ --------
к 1к 3 ds2 к 3 ds
к 1 dЭ + 1 d
к 2 ds к 2 ds
_L
к 1 ds7
(18)
/у
2
2
2. Общие дифференциально-нелинейные определяющие соотноше
ния теории процессов. Далее будем рассматривать представление про
цессов в пятимерном совмещенном девиаторном пространстве, поскольку
оно естественным образом отражает два основных типа деформирования
сплошных сред - изменение формы и объема.
Введем угловые координаты в репере Френе {p k } согласно формулам
о = cose kp k (к = 1, . . . ,5) . (19)
Здесь и далее “л ” над буквой относится к единичным векторам [4-8]. Тогда
соотношение (13) можно записать в виде
О = ркРк = o cos ß kp k , (20)
где
Pk = 0 •Р к = o cos ß к . (21)
Представим также в репере Френе векторы
dä * ̂ do о л
~ г = р к Р к ; - г = р к Р к . (2 2 )ds ds
Дифференцируя (21) по s, с учетом (15), (19), (22) получаем
Рк = d s C0S в к + ОРк ; (23)
рк = ( cosßк ) ' - ( к к co sß к+1 - к k - lcosß k- l ), (24)
ISSN 0556-171X. Проблемыі прочности, 2000, № 1 27
В. Г. Зубчанинов
где штрих означает дифференцирование по длине дуги s. Введем кроме
угловых координат в k полярные сферические согласно формулам [4, 8 ]
cos в 1 = cos ft j; cos в 2 = sin ft 1 cos ft 2 ; cos в з = sin ft 1 sin ft 2 cos ft 3;
cos в 4 = sin ft 1 sin ft 2 sin ft 3 cos ft 4 ; cos в 5 = sin ft 1 sin ft 2 sin ft 3 sin ft 4 (25)
так, что cos в k cos в k = 1.
Умножая теперь (23), (24) на cos в k и производя индексное сумми
рование с учетом (25), получаем
о ' = Pk* cos в k = P cos в 1; (26)
Pk cos в k = 0 (27)
где P - функция, введенная А. А. Ильюшиным [2]. Поскольку о = оо , то
дифференцируя это соотношение с учетом (2 2 ) имеем
о ' = о 'о + оР£ p k . (28)
Исключая из (28) вектор p 2 , с помощью (19) находим
= M kPk + М о (k = 1 , 2 , . . . , 5 ) , (29)
ds
где
M k = о (Pk - P20 cosв k /cosв 2 ) , M 2 = 0; (30)
M = о ' - M k cos в k. (31)
Соотношение (29) можно записать также в виде
= (M k + M cos в k ) p k . (32)
Функционалы о ', M к по-прежнему должны зависеть от параметров
к m , £0 , 13 , T , в как функций длины дуги s. Следовательно, соотношения
(29), (32) полностью отражают физический процесс в E 5 и потому явля
ются общими дифференциально-нелинейными определяющими соотноше
ниями математической теории пластичности. Если, в частности, функци
оналы процесса не будут зависеть от третьего инварианта 1 3 , то эти же
соотношения будут удовлетворять требованиям постулата изотропии [1, 2 ].
Используя (24), (25), функционалы процесса (30) запишем в развер
нутом виде:
28 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2000, № 1
M 1 sinft 1 cosft2/ ° = - Ф 1 cosft2 + Ф 2 sinft 1 cosf t2 s in ft2 -
- K1(cos ft 1 sin ft 2) 2;
M 3 cos ft 2 / O' = Ф 2 sin ft 1 cos ft 3 - Ф 3 sin ft 1 sin ft 2 cos ft 2 sin ft 3 -
- k 1 cos ft 1 sin ft 2 cos ft 3 + к 2 sin ft 1(cos ft 2 sin ft 3 ) 2;
M 4 cos ft 2 / O = Ф 2 sin ft 1 sin f t3 cos ft 4 +
+ sin ft 1 sin ft 2 cos ft 2(Ф 3 cos ft 3 cos ft 4 - Ф 3 sin ft 3 sin ft 4 ) -
- K1cos ft 1 sin ft 2 sin ft 3 cos ft 4 - (33)
- к 2 sin ft 1(cos ft 2 ) 2 sin ft 3 cos ft 3 cos ft 4 +
+ к 3 sin ft 1 sin ft 2 cos ft 2 cos ft 3 (sin ft 4 ) 2;
M 5 cos ft 2 / O = sin ft 1[(ф 2 sin ft 3 + Ф 3 sin ft 2 cos ft 2 cos ft 3 )sin ft 4 +
+ Ф 4 sin ft 2 cos ft 2 sin ft 3 cos ft 4 ] - sin ft 4 [к1 cos ft 1 sin ft 2 sin ft 3 +
+ sin ft 1 cos ft 2 cos ft 3( к 2 cos ft 2 sin ft 3 + к 3 sin ft 2 cos ft 4 )],
Проблемы математической теории пластичности
где
ф m = ft rn + к m cos ft m+1 (m = 1 , 2 , 3 , 4 , ft 5 = 0). (34)
Функционалы M k ответственны за векторные свойства материала, о ' - за
скалярные свойства. Для их конкретизации необходима постановка базовых
экспериментов по исследованию векторных и скалярных свойств матери
алов. Для различных классов траекторий должны быть изучены зависимость
ft m (s) и O(s).
Если соотношения (33) разрешить относительно полярных угловых
координат ft m, то получим систему уравнений:
ftj + к 1 cos ft 2 = - [M 1 sin ft 1 + M 0 cos ft 1 sin ft 2 ]/ о;
sin ft 1(ft 2 + к 2 cos ft 3 ) = к 1 sin ft 1 cos ft 2 + M 0 cos ft 2 1о;
sin ft 1 sin ft 2( ft 3 + к 3 cos ft 4 ) = к 1 sin ft 1 cos ft 2 sin ft 3 +
+ (M * cos ft 3 - M 3 sin ft 3 ) /о; (35)
sin ft 1 sin ft 2 sin ft 3( ft 4 + к 4) = к 3 sin ft 1 sin ft 2 cos ft 3 sin ft 4 +
+ ( M 5 cos ft 4 - M 4 sin ft 4 ) /O,
где
M 0 = M 3 cos ft 3 + M * sin ft 3; M * = M 4 cos ft 4 + M 5 sin ft 4. (36)
Уравнения (35) при конкретизированных функционалах либо функциях
процесса служат для определения углов ft m.
Полученные определяющие соотношения являются дифференциально
нелинейными в отличие от таковых в теории течения. Они описывают как
активный, так и пассивный процессы упругопластического деформирова-
ISSN 0556-171X. Проблемыг прочности, 2000, № 1 29
В. Г. Зубчанинов
ния. Активный процесс определяется из условия положительности элемен
тарной работы формоизменения:
dA = ойЭ = ods cos ft j. (37)
Если dA < 0, то процесс считается пассивным. Таким образом, в среде
допускается существование границы раздела зон активного и пассивного
деформирования, определяемой из условия dA = 0 (ft 1 = п /2). Однако при
исследовании процессов граница как таковая не используется, и пред
ставляет чисто методологический интерес.
Еще одна форма определяющих соотношений получена в [8]. Запишем
вектор Э в репере Френе в виде
Э = cosa kp k (к = 1 , 2 , . . . ,5) . (38)
Исключая из (19), (38) вектор p 2 , находим
д = АоЭ + A mp m (m = 1 , 3 , 4 , 5 ) , (39)
где
A0 = cos в 2 /cos a 2 ; A m = cos в m - A0 cos a m . (40)
Исключив p 3 из (29), (39), получим дифференциально нелинейную
форму определяющих соотношений:
d d /ds = N rp r + N dd + М ЭЭ (r = 1 , 4 , 5 ) , (41)
где
N r = M r - M 3 A r |A з , N Э = - M 3 A o /A 3 ;
< N d = д ' - N r cos в r - N э cos a = M + M 3 /A 3; (4 2 )
cos a = д ■ Э = cos в k cos a k.
Определяющее соотношение (41) привлекательно тем, что содержит
четыре основных физических вектора: dd , d Э , д , Э , так как p 1 = d ^ d s , д =
= д /д , Э = Э /Э . Это позволило конкретно исследовать локально простые
процессы и дать им новое толкование [4, 8 ], что дало возможность найти
пути сближения теории процессов и теории течения.
Определяющие соотношения в пространстве напряжений, аналогичные
(29), (32), (41), построены в работах [9, 10]. Все они представляют собой
общие законы связи между напряжениями и деформациями в математи
ческой теории пластичности. Для ряда сред, в том числе металлов и их
сплавов, третьи инварианты не оказывают существенного влияния на точ-
30 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2000, № 1
ность функционалов и функций процессов. В этом случае не только началь
но изотропное физическое пространство, но и пятимерное девиаторное
пространство становится изотропным. Это означает, что мы приходим к
постулату изотропии [1, 2]. Данное свойство некоторых сред настолько
упрощает экспериментальные исследования и построение функционалов и
функций процессов, что становится возможным решение краевых задач
прямым методом, известным как метод СН-ЭВМ [1, 2].
Другое упрощение теории процессов, связанное со сближением с совре
менной теорией течения, будет рассмотрено ниже.
3. Постулат локальной размерности и частны е варианты теории
процессов. Движение репера Френе по траектории вместе с векторами
о , й о , йЭ создает в каждой ее точке локальный образ процесса. В зави
симости от необходимости в этих точках можно рассматривать либо естест
венный {p k}, либо общий неподвижный координатный {ек } реперы. Отне
сем пространство X 5 вектора о к реперу {p k}. Представим выражение (19)
для вектора о в репере Френе в полярных сферических координатах (25)
следующим образом:
о = cos ft 1Р 1 + sin ft 1{cOS ft 2 p 2 + sin ft 2 [COS ft 3 P 3 +
+ sin ft 3(cOS ft 4 P 4 + sin ft 4 p 4 )]}. (43)
Разложим X 5 на два пересекающихся подпространства Z I П с ортонор-
мированными векторами {p 1, p 2 , p }, {p 3 , p 4 , p 5}, в которых соответст
венно
о = cos ft 1 p 1 + sin ft 1(cos ft 2 p 2 + sin ft 2 p ); (44)
p = cos ft 3 p 3 + sin ft 3(cos ft 4 p 4 + sin ft 4 p 5). (45)
Вектор p, принадлежащий одновременно к Z- и П-подпространствам, явля
ется их пересечением и ортогонален соприкасающейся плоскости ( p 1, p 2 ).
Вектор p входит в число базисных векторов Z-подпространства, но не
может быть базисным в П-подпространстве в силу зависимости (45). Размер
ность каждого из рассматриваемых подпространств равна трем, хотя раз
мерность исходного пятимерного пространства сохраняется и равна 3 + 3 -
- 1 = 5. В качестве реперов в Z- и П-подпространствах могут быть также
приНЯГЫ {p ь p 2 } ,{ p 2 , p 3 , p 4 , p 5 } либ° { p2 , p 3 , p },{p 4 , p 5 } и др.
Важно, что при любом разложении вектор йЭ = p d в П-подпространство
не попадает, поэтому оно является неполным для построения локального
образа процесса. На основании этого логически правомерным будет утверж
дение, названное нами постулатом локальной размерности образа процесса:
локальный образ процесса содержится в Z-подпространстве, размерность
которого определяется классом рассматриваемых траекторий деформиро
вания.
Проблемы математической теории пластичности
ISSN 0556-171X. Проблемыг прочности, 2000, № 1 31
В. Г. Зубчанинов
Рассмотрим ряд классов траекторий различной размерности 2-подпро
странства.
1. Одномерный локальный образ. Здесь можно выделить два класса
траекторий - прямолинейные и траектории малой кривизны:
а) простое нагружение [3]. В этом случае к т = 0, &т = 0 (т = 1, 2, 3, 4).
Из (19), (29)-(33), (38) следует 3 = р 1, Э = р 1, М 3 = М 4 = М 5 = 0, что при
водит к соответствиям теории малых упругопластических деформаций:
3 = — Э , й3 = — й Э , (46)
Э йЭ ( )
где связь между 3 и Э устанавливается законом Роша-Эйхингера [3] в
виде универсальной для любого напряженного состояния зависимости
3 = Ф (Э ); (47)
о/Э = 2 в р , йоIйЭ = 2 в к , (48)
где О р , - пластический (секущий) и касательный модули сдвига.
Закон пропорциональной (простой) разгрузки имеет вид закона Гука:
Л3 = 2 вА Э ; (49)
б) траектории малой сен-венановской кривизны [2, 11-14]. В этом
случае кривизны к 1 ^ 0, к 2 = к 3 = к 4 = 0 (т = 1, 2, 3, 4). Кривизна к 1
настолько мала, что угол сближения & 1 практически равен нулю. Из (19),
(29)-(33) следует
3 = р 1; М 3 = М 4 = М 5 = 0; (50)
йЭ = — 3; й3 = й ~ й Э ; йя = ^й Э цйЭ ц = ^йякйяк , (51)
где модуль 3 связан с длиной дуги я универсальной зависимостью
3 =Ф ( я). (52)
Однако эта зависимость теряет смысл, если я велика [15]. Образ процесса
является локально простым или скользящим [4, 5, 8 ]. Данная теория была
впервые предложена в работе [11].
2. Двумерный локальный образ. Здесь возможны два типа траекторий -
плоская, расположенная в гиперплоскости Е 5 , и траектории весьма малого
кручения, описываемые гипотезой компланарности [1]:
а) гиперплоские траектории. В этом случае векторы 3 , й 3 , йЭ лежат в
гиперплоскости {р 1, р 2 , р 3 , р 4}, кручения траектории нет (к 2 = к 3 = 0).
32 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 1
Проблемы математической теории пластичности
Вследствие этого депланация плоскостей (p ь p 2), (p 4 , p 5) отсутствует,
поэтому f t2 = f tз = 0. Из соотношений (19), (29)-(33) следует M 3 = M 4 =
= M 5 = 0
о = cos ft i p i + sin ft i p 2 ; (53)
do/ ds = M i p i + (do/ ds - M 1 cos ft 1)(T; (54)
M i sin ft i = - o( dft i /d s + к i) . (55)
Аппроксимации, конкретизирующие M i, do/ds, приведены автором ра
нее [4, 7, 8 -i0 , i5];
б) гипотеза компланарности Ильюшина [i, 2]. Согласно этой гипотезе,
допускаются малые кручения к 2 , к 3 , которые практически не вызывают де-
планации плоскостей (p i , p 2), ( p 4 , p 5), что приводит к условиям f t2 ~ 0 ,
ft 3 ~ 0. Это означает, что соотношения (53) - (55) для гиперплоской тра
ектории принимаются в качестве аппроксимационных для этого класса
траекторий деформирования сверхмалого кручения.
3. Трехмерный локальный образ. К этому случаю относятся плоские
трехпараметрические задачи и задачи с траекториями малого кручения:
а) плоские задачи [3, 4] реализуются в трехмерном изображающем
девиаторном подпространстве E 3 . Локальный образ в общем случае де
формирования также трехмерный, поскольку к 3 = к 4 = 0, ft 3 = ft 4 = 0. Из
соотношений (i9), (29)-(33) получаем основные уравнения:
о = cos ft i p i + sin ft i(cos ft 2 p 2 + sin ft 2 p 3 ); (56)
doI ds = M i p i + M o + M 3 p 3 , (57)
где
M = do/ ds - M i cos ft i - M 3 sin ft i sin ft 2; (58)
M i sin ft i cos ft 2/o = - (dft i /d s + к 1 cos ft 2) +
+ ( dft 2 / ds + к 2 )sin ft i cos ft i sin ft 2 - к 1(cos ft i sin ft 2)2; (59)
M 3 cos ft 2 1 o = (dft 2 / ds + к )sin ft 1 - к 1 cos ft 1 sin ft 2 . (60)
Конкретизация do/ ds, f tm дана в работе [15];
б) гипотеза малого кручения (2-я гипотеза компланарности) [4-8]. В
соответствии с этой гипотезой, параметры кручения к 2 , к 3 малы настоль
ко, что вектор o остается лежать в гиперплоскости, поворачиваясь вместе с
ней возле орта p 3 так, что ft 2 = ft 3 = 0. При этом соотношения (19),
(29)-(33) принимают вид
o = cos ft 1 p 1 + sin ft 1 p 2 ; (61)
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2000, № 1 33
da/ ds = M 1 p 1 + M($ + M 3 p 3 ; (62)
В. Г. Зубчанинов
M 1 sin ft 1/ о = - ( dft 1/ ds + к 1),
<M 3 = к 2о sin ft 1, (63)
M = dо/ds - M 1 cos ft 1.
Если допустить, что ft 2 = 0, ft 3 Ф 0, к 2 Ф 0, к 3 Ф 0, то соотношения (61)-
(63) теории малого кручения полностью сохраняются. При этом ft 4 , к 4 -
произвольны. В этом случае границы применения теории существенно рас
ширяются. Если ft 2 Ф 0, ft 3 = 0, то соотношения теории сохраняются при
условии к 3 = 0.
4. Четырехмерный образ. Данный случай может быть реализован при
объемном напряженном состоянии:
а) теория среднего кручения и произвольных кривизн. Назовем так
теорию, в которой кручение плоскости (P 4 , P 5 ) практически отсутствует
(ft 3 = 0) вследствие малости параметра кручения к 3 Ф 0. Тогда из (19),
(29)-(33) следуют уравнения данной теории:
о = cos ft 1 p 1 + sin ft 1(cos ft 2 p 2 + sin ft 2 p 3 ); (64)
d5/ds = M 1 p 1 + M о + M 3 p 3 + M 4 p 4 , (65)
где
M 1 sin ft 1 cos ft 2 /о = - Ф 1 cos ft 2 + Ф 2 sin ft 1 cos ft 1 sin ft 2 -
- ̂ ( c o s ft 1 sin ft 2 )2; (6 6 )
M 3 cos ft 2 / о = Ф 2 sin ft 1 - к 1 cos ft 1 sin ft 2; (67)
M 4 cos ft 2/о = к 3 sin ft 1 sin ft 2 cos ft 2; M 5 = 0; (6 8 )
M = dо/ds - M 1 cos ft 1 - M 3 sin ft 1 sin ft 2 , (69)
где при вычислении Ф 2 следует учесть ft 3 = 0. В соотношения (64)-(69)
параметры ft 4 , к 4 не вошли. Поэтому они не влияют на вид определяющих
соотношений и функций процесса и могут быть произвольными, в том числе
равными нулю.
5. Пятимерный локальный образ. Возможен в общем случае объемного
напряженного состояния:
а) теория средней кривизны и произвольного кручения. Так мы назовем
теорию при произвольных параметрах к 1, к 2 , к 3 и малом значении второй
кривизны к 4 , которое приводит к ft 4 ~ 0. В этом случае имеют место
пятичленные определяющие соотношения (19), (29). M 1, M 3 описываются
выражениями (6 6 ), (67), а для M 4 , M 5 получаем
34 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2000, № 1
M 4 cos ft 2 / д = Ф 2 sin ft 1 sin ft 3 + Ф 3 sin ft 1 sin ft 2 cos ft 2 cos ft 3 -
< - K1cos ft 1 sin ft 2 sin ft 3 - к 2 sin ft 1(cos ft 2 )2 sin ft 3 cos ft 3; (70)
M 5 cos ft 2 / д = к 4 sin ft 2 cos ft 2 sin ft 3 .
Если к 4 = 0, то M 5 = 0 ,и образ процесса становится четырехмерным;
б) общий случай теории процессов. В этом случае все параметры
процесса ft m , к m отличны от нуля. Им соответствуют пятичленные опре
деляющие соотношения (19), (29)-(33) и траектории большой кривизны и
большого кручения.
Приведенная классификация траекторий деформирования и соответст
вующих им локальных образов процессов упругопластического деформи
рования позволяет обоснованно ставить и проводить базовые эксперименты
по конкретизации и аппроксимации функций процессов M k . Если для
трехмерного локального образа достаточно постановки базовых экспери
ментов на тонкостенных трубчатых образцах, то для четырех- и пятимерных
локальных образов нужна постановка экспериментальных исследований но
вого типа. Одной из проблем экспериментальной пластичности становится
реализация четырех- и пятипараметрических испытаний образцов. Такие
испытания можно реализовать на трубчатых толстостенных образцах при
наличии мощной испытательной техники либо на тонкостенных слоистых
образцах из разных материалов, достаточно сильно отличающихся своими
упругопластическими свойствами.
К настоящему времени проведены многочисленные экспериментальные
исследования по установлению закономерностей упругопластического де
формирования различных материалов и сред, направленных на обоснование
физической достоверности теории процессов [5, 6 , 8 , 10, 16-31]. Достаточно
глубоко исследованы закономерности упругопластического поведения ме
таллов на двузвенных траекториях, плоских и пространственных многозвен
ных траекториях, плоских криволинейных траекториях постоянной и пере
менной кривизны, винтовых пространственных траекториях и т.п. Экспе
риментально обоснованы постулат изотропии, принцип запаздывания, пос
тулат размерности образа процесса, локально простые процессы, законо
мерности сложной разгрузки и др.
Построены аппроксимации функций процессов, достаточно хорошо от
вечающие опытным данным [15]. Систематические базовые испытания ма
териалов проведены на автоматизированном расчетно-экспериментальном
комплексе типа СН-ЭВМ, который включает в себя испытательную машину
кинематического типа для сложного деформирования, управляющую ЭВМ,
датчики сил и деформаций и др. [32].
4. Современная теория течения. Во всех теориях течения [1, 4, 33-36]
компоненты тензора деформаций и его девиатора разлагаются на упругую и
пластическую части. В векторной форме в E 5 это разложение имеет вид
Э = Э е + Э Р , dЭ = d 3 e + d 3 p , (71)
Проблемыг математической теории пластичности
ISSN 0556-171X. Проблемыг прочности, 2000, № 1 35
В. Г. Зубчанинов
где упругая часть Э e определяется законом Гука:
Э е = а / 2G , d 3 e = doj 2G , (72)
а пластическая часть Э р - принципом градиентальности [1]:
d Э p = dA grad f . (73 )
(В данном случае деформационной анизотропией пренебрегаем.)
Вектор напряжений обычно представляют в виде [35, 36]
а = а 0 + а , (74)
где а 0 = S ° e k - вектор активных напряжений; а = akeк - вектор микро
напряжений.
Вектору а 0 отвечает тензор-девиатор активных напряжений (SO) так,
что в E 5
г>0 г>0 / Л- 0 \ 2 0 Г> 0 S— _ч
S k S k = (а ) = S ijS ij. (75)
Второй и третий инварианты девиатора (S 0 ) определяются соотношениями
^т-0 _ ^ 0 ^ 0 т0 _
21 2 = S ijS ij; 1 3 = S 0S ij (76)
Вместо 10 рассмотрим параметр ^ вида напряженного состояния
!Л = со83р = 3л/6 5 ° / ( о 0)3 , (77 )
где р - фаза (или угол) вида напряженного состояния, создаваемая ( ) .
Представим поверхность текучести выражением
2 ( = Б0 - С 2 (ц , о0к) = 0, (78)
которое зависит от всех трех инвариантов тензора активных напряжений
о у = ^ у о 0 , о 0 = о кк / 3.
С учетом (73), (76), (77) получаем
= йкп , (79)
36 1ББ'И 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 1
Проблемы математической теории пластичности
где
(80)
(81)
тензором-девиатором. Параметр д = 3 С /3 }л определяется на основе обра
ботки экспериментальных данных. Для определения вектора а в [36] пред
ложено уравнение вида
траектории пластических деформаций в Е 5 .
Основные уравнения теории течения (79), (83), учитывающие трансля
ционное упрочнение, эффект Баушингера, изменение формы поверхности
текучести, можно получить как частный случай определяющих соотноше
ний теории процессов для трехмерного образа процесса в Е 5 . Полагая в (64)
N 4 = N 5 = 0, с учетом (71) получаем
Если теперь в (85) принять N р = N p + N о, то, используя (72), придем к
системе уравнений
^ = N p d Э p + й$р (N р а + N ^ 3 р ). (83)
Здесь
dsp = д /Щ Щ , (84)
где Эр - компоненты девиатора пластических деформаций; зр - длина дуги
dд = N р dЭ p + d s (N Рд + N ^ 3 р ), (85)
где
N p = N 1/ Ь ; N д
ЬУ о 2 в Э ) ;
; N 3 = N э /ЭЬ , Ь = 1 - N 1 . (86 )
/
d Э p = dk д 0 (87)
V
da = N pd Э p + ds (N Ра + N 3 3 р ). (88)
ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2000, № 1 37
В. Г. Зубчанинов
Из сравнения уравнений (83) с (88) следует, что (83), (88 ) по форме
совпадают, а уравнения (79), (87) приводят к соотношениям
Из уравнения (89) при заданной функции процесса N р и начальном
с трансляционно-изотропным упрочнением определяющие соотношения
имеют вид [4]
Сравнивая (93) с (87), (88 ), видим, что первое из них может иметь место
Если же о 0 = const, то d o 0 = о 0do"0 Ф 0 (d o ° ± о 0).
Второе соотношение (93) также оказывается неточным в общем случае
сложного нагружения, что уже отмечалось в работах [4, 36].
Таким образом, теорию течения с трансляционно-неизотропным упроч
нением можно рассматривать как один из классических вариантов конкрети
зации теории процессов. Дальнейшие исследования в этом направлении
связаны с теоретическо-экспериментальной конкретизацией функционалов
и функций процессов упругопластического деформирования различных
сред. Это весьма важно, так как способствует сближению теории течения с
теорией процессов в рамках общей математической теории пластичности.
Заключение. В работе приведено систематическое изложение совре
менного состояния теории процессов математической теории пластичности.
На основе постулата локальной размерности образов процесса дана их
классификация, предложены новые частные варианты теории пластичности.
Указан путь сближения теории течения с теорией процессов в рамках общей
математической теории пластичности.
(89)
od3 р = od3 - о do/ 2G = dX( n ■ о ) (90)
или
dX = = ds(l - p I2G )cos ft 1 / n cos ft f ;
n
(91)
dsp = gds, g = (1 - p 2 G )cos ft ̂ c o s ft f , (92)
где cos ft 1 = о ■ p 1; cos ft f = о ■ П.
положении поверхности текучести можно найти я0 и 3 0. В теории течения
d 3 p = dXd0; da = N p d 3 p + d ( N p ) 3 p ( a = N p3 p ). (93)
только при постоянном по величине и направлению векторе о 0 = о 0 о 0.
38 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2000, № 1
Проблемы математической теории пластичности
Р е з ю м е
Наведено результати досліджень автора щодо розвитку й розробки теорії
визначальних рівнянь процесів пластичного деформування в сучасній мате
матичній теорії пластичності. Обговорено основні ії класичні направлення:
теорія текучості й теорія процесів. В основі першого направлення лежить
концепція існування граничної поверхні й можливість розкладу деформацій
на пружну й пластичну частини. У другому направленні, що бурхливо
розвивається, навпаки, не використовується концепція існування граничних
поверхонь і не допускається розклад деформацій на пружну й пластичну
частини, за виключенням випадків простого навантаження і простого роз
вантажування. Прийнято, що у випадку складного навантаження й склад
ного розвантажування деформація є пружнопластичною (неповною плас
тичною або неповною пружною). Зближення цих двох направлень у теорії
пластичності, як вважає автор, в умовах складного навантаження неминуче,
оскільки вони призначені для дослідження закономірностей одних і тих же
фізико-механічних процесів пластичного деформування різних середовищ.
Одна з таких можливостей зближення наведена в даній роботі.
1. Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. - М.: МГУ, 1990. - 310 с.
2. Ильюшин А. А. Пластичность. Основы общей математической теории.
- М.: Изд-во АН СССР, 1963 . - 271 с.
3. Ильюшин А. А. Пластичность. Упругопластические деформации. - М.;
Л.: Гостехиздат, 1948. - 376 с.
4. Зубчанинов В. Г. Основы теории упругости и пластичности. - М.:
Высш. шк., 1990. - 368 с.
5. Зубчанинов В. Г. Постулат локальной размерности образа процесса и
определяющие соотношения в теории пластичности // Прикл. меха
ника. - 1989. - 34, № 5. - С. 86 - 97.
6 . Зубчанинов В. Г. Определяющие соотношения теории процессов плас
тического деформирования материалов при сложном нагружении //
Прочность и пластичность. Тр. IX конф. - М.: Ин-т проблем механики
РАН, 1996. - Т. 1. - С. 80 - 85.
7. Зубчанинов В. Г. Определяющие соотношения общей теории пластич
ности при сложном нагружении // Тверь: Твер. ГТУ, 1994. - С. 14 - 38.
8 . Зубчанинов В. Г. Об определяющих соотношениях теории упругоплас
тических процессов // Прикл. механика. - 1989. - 25, № 5. - С. 3 - 12.
9. Зубчанинов В. Г. Определяющие соотношения теории неупругих про
цессов в пространстве напряжений. Сообщ. 1. Теоретические основы //
Пробл. прочности. - 1992. - № 5. - С. 3 - 13.
10. Зубчанинов В. Г. Определяющие соотношения теории неупругих про
цессов в пространстве напряжений. Сообщ. 2. Экспериментальные
основы // Там же. - № 6 . - С. 3 - 12.
11. Ильюшин А. А. Связь между теориями Сен-Венана-Леви-Мизеса и
теорией малых упругопластических деформаций // Прикл. математика
и механика. - 1945. - 9, № 3. - С. 207 - 218.
0556-171Х. Проблемыг прочности, 2000, № 1 39
В. Г. Зубчанинов
12. Ильюшин А. А. О связи между напряжениями в механике сплошных
сред // Там же. - 1954. - 18, № 6 . - С. 641 - 6 6 6 .
13. Ильюшин А. А. Вопросы общей теории пластичности // Там же. - 1960.
- 24, № 3. - С. 399 - 411.
14. Ильюшин А. А. Об основах общей математической теории пластич
ности // Вопросы теории пластичности. - М.: Изд-во АН СССР, 1961.
- С. 3 - 29.
15. Зубчанинов В. Г. Об определяющих функциях процессов пластичес
кого деформирования // Устойчивость, пластичность, ползучесть. -
Тверь: Твер. ГТУ, 1998. - С. 3 - 21.
16. Зубчанинов В. Г. Экспериментальное исследование и обоснование тео
рии упругопластических процессов // Устойчивость и пластичность в
МДТТ. - Тверь: Политехи. ин-т, 1992. - С. 94 - 159.
17. Зубчанинов В. Г., Охлопков Н. Л. Экспериментальное исследование
закономерностей пластического деформирования металлов по плоским
криволинейным траекториям // Прикл. механика. - 1997. - 33, № 7. -
С. 65 - 71.
18. Зубчанинов В. Г., Охлопков Н. Л. О деформировании конструкционных
сталей по замкнутым траекториям непропорционального нагружения //
Математическое моделирование систем и процессов. - 1998. - № 6 . -
С. 30 - 37.
19. Зубчанинов В. Г. Проблемы теории пластичности и устойчивости // IV
Междунар. науч. симп. “Устойчивость и пластичность в МДТТ”: Тез.
докл. - Тверь: Твер. ГУ, 1998. - С. 4 - 11.
20. Зубчанинов В. Г. Пластическое деформирование стали по замкнутым
криволинейным траекториям // Пробл. прочности. - 1996. - № 4 . -
С. 19 - 26.
21. Зубчанинов В. Г., Охлопков Н. Л. Экспериментальное исследование
процессов пластического деформирования металлов при сложном на
гружении // Прочность и пластичность: Тр. IX конф. - М.: Ин-т
проблем механики РАН, 1996. - Т. 1. - С. 8 6 - 9 1 .
22. Зубчанинов В. Г., Охлопков Н. Л. О некоторых особенностях упроч
нения конструкционных сталей при деформировании по замкнутым
криволинейным траекториям // Пробл. прочности. - 1996. - № 5 . -
С. 17 - 22.
23. Зубчанинов В. Г., Охлопков Н. Л. Упрочнение конструкционных мате
риалов при сложном деформировании по замкнутым плоским тра
екториям // Там же. - 1997. - № 3. - С. 19 - 29.
24. Зубчанинов В. Г., Охлопков Н. Л., Гараников В. В. Расчет процессов
сложного деформирования по многозвенным ломаным траекториям //
Изв. вузов. Строительство. - 1998. - № 9. - С. 9 - 15.
25. Зубчанинов В. Г., Иванов Д. Е., Акимов А. В. Экспериментальное
исследование упругопластического деформирования сталей 40, 40Х
при сложном нагружении по плоским траекториям // Устойчивость и
пластичность в МДТТ. - Тверь: Твер. политехи. ин-т, 1993. - Ч. 3. -
С. 44 - 93.
40 1ББМ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 1
Проблемыг математической теории пластичности
26. Зубчанинов В. Г., Алъ-Делеми Саади Дж . Локально простые процессы
нагружения сплава АМГ6 в Р + р опытах // Устойчивость и плас
тичность в МДТТ. - Тверь: Твер. политехи. ин-т, 1993. - Ч. 2. - С. 163
- 167.
27. Ленский В. С. Экспериментальная проверка законов изотропии и запаз
дывания при сложном нагружении // Изв. АН СССР. Механика и
машиностроение. - 1960. - № 5. - С. 93 - 100.
28. Ленский В. С. Экспериментальная проверка основных постулатов об
щей теории упругопластических деформаций // Вопр. теории плас
тичности. - М.: Изд-во АН СССР, 1961. - С. 58 - 82.
29. Васин Р. А. Некоторые вопросы связи напряжений и деформаций при
сложном нагружении // Упругость и неупругость. - 1971. - № 1 . -
С. 59 - 126.
30. Вавакин А. С., Васин Р. А., Викторов В. В., Степанов А. П. Экспе
риментальное исследование упругопластического деформирования
стали при сложном нагружении по криволинейным пространственным
траекториям деформаций. - М.: ВИНИТИ, 1986. - 66 с. Деп. ВИНИТИ
16. 10. 8 6 . № 7298. В 8 6 .
31. Дегтярев В. П. Пластичность и ползучесть машиностроительных кон
струкций. - М.: Машиностроение, 1976. - 136 с.
32. Зубчанинов В. Г., Акимов А. В., Охлопков Н. Л. Автоматизированный
комплекс для исследования упругопластических свойств материалов
при сложном нагружении. Свидетельство на полезную модель. - М.:
Комитет РФ по патентам и тов. знакам, 1998, № 7.
33. Клюшников В. Д . Математическая теория пластичности. - М.: МГУ,
1979. - 207 с.
34. Ишлинский А. Ю. Прикладные задачи механики. Кн. 1. Механика
вязкопластических и не вполне упругих тел. - М.: Наука, 1986. - 359 с.
35. Новожилов В. В. Вопросы механики сплошной среды. - Л.: Судо
строение, 1989. - 397 с.
36. Бондаръ В. С., Фролов А. Н. Математическое моделирование процессов
неупругого поведения и накопления повреждений материала при слож
ном нагружении // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1990. -
№ 6 . - С. 99 - 107.
Поступила 24. 05. 99
1ББМ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 1 41
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-46186 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0556-171X |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:46:04Z |
| publishDate | 2000 |
| publisher | Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Зубчанинов, В.Г. 2013-06-28T13:12:33Z 2013-06-28T13:12:33Z 2000 Проблемы математической теории пластичности / В.Г. Зубчанинов // Проблемы прочности. — 2000. — № 1. — С. 22-41. — Бібліогр.: 36 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46186 539.374 Приведены результаты исследований автора по развитию и разработке теории определяющих
 соотношений процессов пластического деформирования в современной математической
 теории пластичности. Обсуждаются два основных ее классических направления:
 теория течения и теория процессов. В основе первого направления лежит концепция
 существования предельной поверхности и возможность разложения деформаций на упругую
 и пластическую части. Второе, бурно развивающееся направление, напротив, не использует
 концепцию существования предельных поверхностей и не допускает разложение деформаций
 на упругие и пластические части, за исключением случаев простого нагружения и
 простой разгрузки. Считается, что при сложном нагружении и сложной разгрузке деформация
 является упругопластической (неполной пластической либо неполной упругой). Сближение
 указанных двух направлений в теории пластичности, как считает автор, при
 сложном нагружении неизбежно, поскольку они предназначены для исследования закономерностей
 одних и тех же физико-механических процессов пластического деформирования
 различных сред. Одна из таких возможностей сближения приведена в данной работе. The paper presents the results of the
 investigations performed by the author, which
 involved the development of the theory of determining relationships for the processes of
 plastic deformation in the present-day
 mathematical theory of plasticity. Two main
 classical trends are discussed: the theory of
 flow and the theory of processes. The former
 trend is based on the concept of the existence of
 a limiting surface and the possibility of
 resolving strains into the elastic and plastic
 components. The latter trend, which is being
 vigorously developed, on the contrary, does not
 use the concept of the existence of limiting
 surfaces and does not allow resolving strains
 into elastic and plastic components with the
 exception of the cases of simple loading and
 simple unloading. At complex loading and at
 complex unloading, the strain is considered to
 be elastoplastic (nontotally plastic or nontotally
 elastic). In the author’s opinion, in the theory
 of plasticity under complex loading the
 aforementioned two trends inevitably come
 closer together, since they are intended for the
 investigation of the regularities in the same
 physicomechanical processes of plastic
 deformation of various media. One of the
 possibilities for their coming together is
 described in the present paper. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Проблемы математической теории пластичности Problems of the Mathematical Theory of Plasticity Article first published |
| spellingShingle | Проблемы математической теории пластичности Зубчанинов, В.Г. Научно-технический раздел |
| title | Проблемы математической теории пластичности |
| title_alt | Problems of the Mathematical Theory of Plasticity |
| title_full | Проблемы математической теории пластичности |
| title_fullStr | Проблемы математической теории пластичности |
| title_full_unstemmed | Проблемы математической теории пластичности |
| title_short | Проблемы математической теории пластичности |
| title_sort | проблемы математической теории пластичности |
| topic | Научно-технический раздел |
| topic_facet | Научно-технический раздел |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46186 |
| work_keys_str_mv | AT zubčaninovvg problemymatematičeskoiteoriiplastičnosti AT zubčaninovvg problemsofthemathematicaltheoryofplasticity |