Оценка долговечности на основе модели накопления повреждений
Проанализированы интервальные оценки границ времени до разрушения в задаче накопления повреждений с помощью модели, основанной на анализе нелинейных феноменологических дифференциальных уравнений. Решение получено в рамках метода стохастических дифференциальных уравнений, являющихся обобщением мод...
Saved in:
| Published in: | Проблемы прочности |
|---|---|
| Date: | 2000 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2000
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46193 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Оценка долговечности на основе модели накопления повреждений / В.Б. Ефлов // Проблемы прочности. — 2000. — № 1. — С. 151-156. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-46193 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Ефлов, В.Б. 2013-06-28T14:32:05Z 2013-06-28T14:32:05Z 2000 Оценка долговечности на основе модели накопления повреждений / В.Б. Ефлов // Проблемы прочности. — 2000. — № 1. — С. 151-156. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46193 539.3+519.216 Проанализированы интервальные оценки границ времени до разрушения в задаче накопления повреждений с помощью модели, основанной на анализе нелинейных феноменологических дифференциальных уравнений. Решение получено в рамках метода стохастических дифференциальных уравнений, являющихся обобщением модели накопления повреждений Качанова-Работнова. С использованием аппарата стохастических дифференциальных уравнений получена дисперсия оценки для границ времен накопления повреждений как функции параметров стохастического процесса. Вычислена оценка среднего времени до разрушения статистически однородного стержня при постоянном нагружении с учетом случайной компоненты нагрузки. Проаналізовано інтервальні оцінки границь часу до руйнування в задачі накопичення пошкоджень за допомогою моделі, що базується на аналізі нелінійних феноменологічних диференціальних рівнянь. Розв’язок одержано в рамках методу стохастичних диференціальних рівнянь, які є узагальненням моделі накопичення пошкоджень Качанова-Работнова. За допомогою апарата стохастичних диференціальних рівнянь одержана дисперсія оцінки для границь часу накопичення пошкоджень як функції параметрів стохастичного процесу. Вирахувана оцінка середнього часу до руйнування статистично однорідного стержня при постійному навантаженні з урахуванням випадкової компоненти навантаження. Analysis has been made of integral estimates of the fracture time limits in the problem on damage accumulation using a model based on the analysis of nonlinear phenomenological differential equations. A solution has been obtained within the framework of the method of stochastic differential equations, which are a generalization of the damage accumulation model of Kachanov and Rabotnov. With the use of the apparatus of stochastic differential equations, the author obtained the dispersion of the estimate of damage accumulation time limits as a function of the stochastic process parameters. The value of the average time to fracture of a statistically uniform rod under constant loading has been calculated taking into account the random component of the load. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Оценка долговечности на основе модели накопления повреждений Lifetime Evaluation Based on the Model of Damage Accumulation Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Оценка долговечности на основе модели накопления повреждений |
| spellingShingle |
Оценка долговечности на основе модели накопления повреждений Ефлов, В.Б. Научно-технический раздел |
| title_short |
Оценка долговечности на основе модели накопления повреждений |
| title_full |
Оценка долговечности на основе модели накопления повреждений |
| title_fullStr |
Оценка долговечности на основе модели накопления повреждений |
| title_full_unstemmed |
Оценка долговечности на основе модели накопления повреждений |
| title_sort |
оценка долговечности на основе модели накопления повреждений |
| author |
Ефлов, В.Б. |
| author_facet |
Ефлов, В.Б. |
| topic |
Научно-технический раздел |
| topic_facet |
Научно-технический раздел |
| publishDate |
2000 |
| language |
Russian |
| container_title |
Проблемы прочности |
| publisher |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Lifetime Evaluation Based on the Model of Damage Accumulation |
| description |
Проанализированы интервальные оценки границ времени до разрушения в задаче накопления
повреждений с помощью модели, основанной на анализе нелинейных феноменологических
дифференциальных уравнений. Решение получено в рамках метода стохастических дифференциальных
уравнений, являющихся обобщением модели накопления повреждений Качанова-Работнова.
С использованием аппарата стохастических дифференциальных уравнений получена дисперсия
оценки для границ времен накопления повреждений как функции параметров стохастического
процесса. Вычислена оценка среднего времени до разрушения статистически
однородного стержня при постоянном нагружении с учетом случайной компоненты нагрузки.
Проаналізовано інтервальні оцінки границь часу до руйнування в задачі
накопичення пошкоджень за допомогою моделі, що базується на аналізі
нелінійних феноменологічних диференціальних рівнянь. Розв’язок одержано в рамках методу стохастичних диференціальних рівнянь, які є узагальненням моделі накопичення пошкоджень Качанова-Работнова.
За допомогою апарата стохастичних диференціальних рівнянь одержана
дисперсія оцінки для границь часу накопичення пошкоджень як функції
параметрів стохастичного процесу. Вирахувана оцінка середнього часу до
руйнування статистично однорідного стержня при постійному навантаженні
з урахуванням випадкової компоненти навантаження.
Analysis has been made of integral estimates of the fracture time limits in the problem on damage accumulation using a model based on the analysis of nonlinear phenomenological differential equations. A solution has been obtained within the framework of the method of stochastic differential equations, which are a generalization of the damage accumulation model of Kachanov and Rabotnov. With the use of the apparatus of stochastic differential equations, the author obtained the dispersion of the estimate of damage accumulation time limits as a function of the stochastic process parameters. The value of the average time to fracture of a statistically uniform rod under constant loading has been calculated taking into account the random component of the load.
|
| issn |
0556-171X |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46193 |
| citation_txt |
Оценка долговечности на основе модели накопления повреждений / В.Б. Ефлов // Проблемы прочности. — 2000. — № 1. — С. 151-156. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT eflovvb ocenkadolgovečnostinaosnovemodelinakopleniâpovreždenii AT eflovvb lifetimeevaluationbasedonthemodelofdamageaccumulation |
| first_indexed |
2025-11-26T13:57:00Z |
| last_indexed |
2025-11-26T13:57:00Z |
| _version_ |
1850623831122640896 |
| fulltext |
УДК 539.3+519.216
О ценка д о л го в еч н о ст и на осн ове м одели н ак оп л ен и я
п овр еж ден и й
В. Б . Е ф л о в
Петрозаводский государственный университет
Проанализированы интервальные оценки границ времени до разрушения в задаче накопления
повреждений с помощью модели, основанной на анализе нелинейных феноменологических
дифференциальных уравнений. Решение получено в рамках метода стохастических диф
ференциальных уравнений, являющихся обобщением модели накопления повреждений Кача-
нова-Работнова.
С использованием аппарата стохастических дифференциальных уравнений получена дис
персия оценки для границ времен накопления повреждений как функции параметров сто
хастического процесса. Вычислена оценка среднего времени до разрушения статистически
однородного стержня при постоянном нагружении с учетом случайной компоненты на
грузки.
Предлагаемый подход к решению задачи оценки границ времени до раз
рушения базируется на модели Качанова-Работнова [1-4], а также на мето
дах решения стохастических дифференциальных уравнений. Основная цель
работы состоит в вычислении среднего времени до разрушения нагружен
ного образца, а также в получении оценки дисперсии времени его разру
шения. Известно, что с помощью классического подхода [1-4] получено
значение времени до разрушения, которое и интерпретируется как средняя
величина. В то же время установлено [5-11], что нелинейность задачи может
приводить к нетривиальным функциональным зависимостям дисперсии ре
шения при использовании строгого аппарата теории стохастических диф
ференциальных уравнений.
В работах [1-4] были введены две функции - ф и ю, которые изме
няются в интервалах 0 < ф < 1 и 1> ю > 0 и названы функциями сплошности
и поврежденности соответственно. Они связываются, как правило, соотно
шением ф = 1 - ю [1], которое удобно для интерпретации.
В начальном состоянии при отсутствии повреждений в классической,
детерминированной модели функция ф сплошности равна единице и убы
вает [1-4]. Из чисто технических соображений (удобство вычислений) далее
рассматривается функция сплошности.
Эволюция функции сплошности описывается кинетическим уравнени
ем, которое в общем случае имеет вид
| = ™ . . . ) . О)
где Б - функция от ф и некоторых других параметров, которые сущест
венны для рассматриваемого процесса и выбранной структуры модели. В
число основных параметров входят: тензор напряжений Та ; температура,
которая в нашем случае обозначена символом в, а также могут быть
© В. Б. ЕФЛОВ, 2000
Й'ОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, N 1 151
включены тензор деформаций и некоторые структурные параметры - рас
сеянная энергия, ориентированность упрочнения и т.д. Параметры модели
подбираются таким образом, чтобы их можно было просто оценить из
экспериментальных данных.
Исследуем простейший вариант модели, в котором температура при
нимается постоянной, структурные изменения не происходят, поэтому вре
мя не входит явным образом в правую часть динамического уравнения (1).
Полагаем также, что процесс разрушения зависит от уровня напряженного
состояния, т.е. от ТО. Пусть в качестве критерия длительной прочности по
отношению к некоторому эквивалентному напряжению О f f принят кри
терий максимального растягивающего напряжения:
О eff ~ О тах. (2)
При наличии сжимающих напряжений предполагается, что они зна
чительно меньше максимальных растягивающих напряжений О max. От
ношение О f / ф интерпретируется как некоторое эффективное напряже
ние. Далее принимаем, что уровень напряженного состояния тела заметно
меньше предела прочности. При сформулированных условиях и некоторых
дополнительных упрощающих допущениях [1] можно полагать, что ско
рость роста поврежденности определяется эффективным напряжением, что
формально приводит к следующей форме кинетического уравнения [1]:
В. Б. Ефлов
= - A
dt
О eff
ф
(3)
n
где A, n - некоторые константы.
Рассмотрим задачу о растяжении стержня. Выбор данной модели для
анализа обусловлен двумя причинами: существованием классического ре
шения данной задачи, принадлежащего Л. М. Качанову, а также возмож
ностью простой интерпретации конечных выражений.
Начальный этап анализа точно соответствует традиционному подходу
[1].
Пусть в детерминированном случае нагрузка постоянна (P = const).
Если разрушение стержня происходит при малой деформации, то изме
нением его поперечного сечения F 0 можно пренебречь:
P
° max = Т Г = ° 0 = const (4)
F 0 v '
При изучении стохастической интерпретации модели с помощью ре
зультатов работ [5-11] используем те же исходные положения, что и в
детерминированной модели, и сохраним все принятые обозначения, кроме
нагрузки P Ф const. Представим последнюю в виде
152 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2000, № 1
P = P0 + п , P0 = const, (5)
где п - случайная компонента с заданными статистическими свойствами:
Оценка долговечности на основе ...
(п( t)) = 0 , (п( t)п( t ')) = С л Д t - t '), Сп = const, (6 )
или дельта-коррелированный шум [5, 9, 11]. Полагаем, что относительная
величина флуктуирующей нагрузки мала:
п
P 00
<< 1. (7)
Для дальнейшего анализа изменим интерпретацию функции сплош
ности. В классических работах подразумевается, что достижение функцией
сплошности единицы соответствует времени до разрушения образца. В
данном случае допустим, что функция сплошности, достигшая определен
ного значения, определяет границы интервала функции распределения де
фектов. Для удобства рассмотрения и анализа примем, что при любом
заданном значении функции сплошности, достижение которого необходимо
оценить, эта функция равна единице.
С учетом принятых допущений и для о = о тах + о п кинетическое
уравнение (3) можно записать как
* = - л
dt
Ґ \ П
& max + &п
Ф
(8)
где о п - напряжение, соответствующее флуктуирующей нагрузке с за
данными стохастическими характеристиками:
(а я (t)) = 0, <&(t)&(t')> = С&<5( t - Ґ ) . (9)
Перепишем уравнение (8) в форме дифференциалов
Ф
d<p = -Adt. (10)
Из-за малости флуктуирующего члена преобразуем левую часть этого
уравнения к виду
/ _ + & \ - n Ґ& max + &п
Ф
і + -& п-
о
d<p = -Adt. ( 11)
max J
-n
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2000, № 1 153
Пусть функция сплошности от времени монотонна и не имеет нулей в
области своего определения, кроме, может быть, единственной точки на
границе интервала области значений. Данные предположения достаточно
естественны и следуют из определения общих термодинамических принци
пов и некоторых естественных условий. В таком случае можно считать, что
флуктуации напряжения имеют те же статистические свойства, что и сплош
ность как функция времени. Константы статистических характеристик при
этом будут другие:
(о я (ф)) = 0, (о(ф )о(ф ')) = С ° д(ф - ф '). (12)
Уравнение (11) с учетом малости флуктуаций напряжения о п может
быть переписано в стохастической форме [5]:
В. Б. Ефлов
- Adt —
f П
о max + о п
Ф
и ПФ"
# - ^ 7 Г ° п dф ■ (13)о 1гmax
Подчеркнем, что данное представление уравнения не является вполне
строгим, и единственным критерием верификации может служить его согла
сование с экспериментом.
Запишем уравнение (13) в стандартном для стохастического диффе
ренциального уравнения виде с учетом стохастических характеристик про
цесса:
̂ \ П | п
- а л = 1 ° ™ + ° п I Лф - С о ф), (14)
О тФ max
где dW (ф) - дифференциал по винеровскому процессу. Вычислим среднее
значение и ковариационную функцию для времени достижения функцией
сплошности заданных границ.
Для среднего времени получим
<t) = -------- 1-------- + | dW (ф) - -------- 1-------- , (15)
(n + 1)ao max о max a о (n + 1)ao max
что совпадает с классическим результатом [1], если интерпретировать зна
чение времени достижения границ как время до разрушения образца. Рас
считаем теперь корреляционную функцию для времени достижения задан
ных границ:
(W Ф) - (t( ф))][< Ф') - (t( ф ')>]) - (t( Ф)К Ф')) -
/ ф „У пг > Ф\,У Пг> \ mm(^ ' K ^ 2
= I Т г С г dW (Z ) | ^ dW (Z ) - |Ao n 1 * Ao n\ о A max o A max
nZ nc о
a o n+ 1max
dZ. (16)
о
154 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2000, № 1
Последний интеграл в (16) может быть проинтегрирован явно. Рас
считаем его для случая, когда значение ф равно ф т.е. для дисперсии. В
этом случае интеграл равен
Оценка долговечности на основе ...
̂ ^ 2 n 2 л / 2 , 2 п+ 1
I n ■ (17)*Л- m-jv
nZ пс П
АП п+1V max J
Таким образом, мы полностью определили стохастический процесс.
Если определить уровень относительных флуктуаций напряжения д о в
виде
до = ^ ° , (18)
то можно записать следующее представление для флуктуаций времени
достижения заданных границ на всем интервале времени при изменении
функции сплошности от единицы до нуля:
4д4 2 п+ 1
2 , i\\ П О а ф
‘ ( ф >)= А ^ п - з т 2 Г+Т ■ (19)*А - mov
откуда для 90%-ного доверительного интервала времени достижения границ
при нагрузке с шумящей компонентой типа стандартного винеровского
процесса получим
1 - ф п+1 ^ пд Пф п+1/2
{ = ( + 1)А п п ± Аап-1 (2 + -<\1/2 ’ (20)(п + 1)Ап max Ап тах(2п + 1)
0
или в стандартных обозначениях регулярного, нестохастического результата
[1]
1 - ф п+1 пд Пф п+1/2
,dam ~ ( п + 1)Ап 0 ± Ап 0- 1(2п + 1)1/2' (21)
где о о - критериальное напряжение в классическом случае.
Из полученного выражения видно, что экстремум флуктуаций времени
достижения границ может наблюдаться на границе интервала изменения
функции сплошности, когда ф = 0 (на границе разрушения), и в точке
Ф( (22)
2 п + 1
внутри интервала функции сплошности. В данном случае геШ близко к
начальному времени “жизни” нагруженного образца (флуктуации малы).
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2000, № 1 155
Полученный результат соответствует неформальному принципу, хоро
шо известному инженерам: образец либо ломается почти сразу, либо “жи
вет” долго. С формальной точки зрения такой принцип реализован благо
даря наличию дополнительного максимума дисперсии времени до разру
шения, рассматриваемой как функция сплошности. Как уже отмечалось,
данный результат является следствием нелинейности принятой модели.
Р е з ю м е
Проаналізовано інтервальні оцінки границь часу до руйнування в задачі
накопичення пошкоджень за допомогою моделі, що базується на аналізі
нелінійних феноменологічних диференціальних рівнянь. Розв’язок одержа
но в рамках методу стохастичних диференціальних рівнянь, які є узагаль
ненням моделі накопичення пошкоджень Качанова-Работнова.
За допомогою апарата стохастичних диференціальних рівнянь одержана
дисперсія оцінки для границь часу накопичення пошкоджень як функції
параметрів стохастичного процесу. Вирахувана оцінка середнього часу до
руйнування статистично однорідного стержня при постійному навантаженні
з урахуванням випадкової компоненти навантаження.
1. Качанов Л. М. Основы механики разрушения. - М.: Наука, 1974. -
312 с.
2. Работнов Ю. Н. Механизм длительного разрушения // Вопросы проч
ности материалов и конструкций. - М.: Изд-во АН СССР, 1959.
3. Работнов Ю. Н. О разрушении твердых тел // Проблемы механики
твердого деформированного тела. - Л.: Изд-во Судостроение, 1970.
4. Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. - М.: Наука,
1966.
5. Адомиан Дж. Стохастические системы. - М.: Мир, 1987. - 376 с.
6 . Гарнидер К. В. Стохастические методы в естественных науках. - М.:
Мир, 1986. - 528 с.
7. Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов.
- М.: Наука, 1977. - 568 с.
8 . Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные
уравнения. - Киев: Наук. думка, 1968.
9. Ефлов В. Б. Статистический и стохастический анализ. - Петрозаводск.
- Из-во ПГУ, 1995. - 108 с.
10. Хакен Г. Синергетика. - М.: Мир, 1980. - 406 с.
11. Эллиотт Р. Стохастический анализ и его приложения. - М.: Мир,
1986. - 351 с.
Поступила 15. 07. 98
В. Б. Ефлов
156 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 1
|