Структурно-механическое моделирование универсальной сверхпластичности
Анализируются свойства структурно-механических моделей, представляющих собой различные комбинации нелинейно-вязких элементов, при активном нагружении. Предполагается, что свойства 1-го элемента могут быть описаны простейшим степенным соотношением σi = Kiξi^Mi, где σi- напряжение; ξi - скорость дефор...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы прочности |
|---|---|
| Дата: | 2000 |
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2000
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46206 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Структурно-механическое моделирование универсальной сверхпластичности / Р.А. Васин, Ф.У. Еникеев, М.И. Мазурский, О.С. Мунирова // Проблемы прочности. — 2000. — № 2. — С. 5-19. — Бібліогр.: 35 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-46206 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Васин, Р.А. Еникеев, Ф.У. Мазурский, М.И. Мунирова, О.С. 2013-06-28T16:46:47Z 2013-06-28T16:46:47Z 2000 Структурно-механическое моделирование универсальной сверхпластичности / Р.А. Васин, Ф.У. Еникеев, М.И. Мазурский, О.С. Мунирова // Проблемы прочности. — 2000. — № 2. — С. 5-19. — Бібліогр.: 35 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46206 539.374:621.7.043 Анализируются свойства структурно-механических моделей, представляющих собой различные комбинации нелинейно-вязких элементов, при активном нагружении. Предполагается, что свойства 1-го элемента могут быть описаны простейшим степенным соотношением σi = Kiξi^Mi, где σi- напряжение; ξi - скорость деформации; Кі , mi - постоянные (0 ≤ mi ≤ 1). Основное внимание уделяется анализу принципиальной возможности описания сигмоидальной кривой сверхпластичности при разных видах соединения элементов. Установлено, что при последовательном или параллельном соединении кривая зависимости напряжения от скорости деформации в логарифмических координатах не является сигмоидальной, по-видимому, независимо от количества и свойств входящих в комбинацию элементов. Показано, что смешанное соединение трех нелинейно-вязких элементов дает возможность удовлетворительно описать универсальную кривую сверхпластичности. Проаналізовано властивості структурно-механічних моделей, що являють собою різні комбінації нелінійно-в’язких елементів, при активному навантаженні. Припускається, що властивості і-го елемента можуть бути описані найпростішим степенним співвідношенням σi = Kiξi^Mi, де σi- напруження; ξi - швидкість деформації; Кі , mi - сталі величини (0 ≤ mi ≤ 1). Основна увага зосереджена на аналізі принципової можливості опису сигмоїдальної кривої надпластичності при різних видах з ’єднання елементів. Встановлено, що при послідовному або паралельному з ’єднанні крива залежності напруження від швидкості деформації в логарифмічних координатах не є сигмоїдальною, очевидно, незалежно від кількості й властивостей елементів, що входять у комбінацію. Показано, що змішане з ’єднання трьох нелінійно-в’язких елементів дозволяє задовільно описати універсальну криву надпластичності. We analyze the features of structural-andmechanical models constituted by various combinations of nonlinearly viscous elements under active loading conditions. It is assumed that properties of the i-th element can be described by a simple power equation σi = Kiξi^Mi, where σi is the stress, ξi is the strain rate, and Кі , mi are material constants (0 ≤ mi ≤ 1). Particular emphasis has been placed on the analysis of the theoretical possibility to describe the sigmoidal superplastic curve by various combinations of elements. It is found that both in cases of parallel and sequential combination, the stress-strain rate curve in logarithmic coordinates is non-sigmodial, irrespective of the number and properties of elements involved. It is shown that mixed combination of three nonlinearly viscous elements describes fairly well the unified curve of superplasticity. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Структурно-механическое моделирование универсальной сверхпластичности Structural-and-Mechanical Modeling of the Unified Curve of Superplasticity Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Структурно-механическое моделирование универсальной сверхпластичности |
| spellingShingle |
Структурно-механическое моделирование универсальной сверхпластичности Васин, Р.А. Еникеев, Ф.У. Мазурский, М.И. Мунирова, О.С. Научно-технический раздел |
| title_short |
Структурно-механическое моделирование универсальной сверхпластичности |
| title_full |
Структурно-механическое моделирование универсальной сверхпластичности |
| title_fullStr |
Структурно-механическое моделирование универсальной сверхпластичности |
| title_full_unstemmed |
Структурно-механическое моделирование универсальной сверхпластичности |
| title_sort |
структурно-механическое моделирование универсальной сверхпластичности |
| author |
Васин, Р.А. Еникеев, Ф.У. Мазурский, М.И. Мунирова, О.С. |
| author_facet |
Васин, Р.А. Еникеев, Ф.У. Мазурский, М.И. Мунирова, О.С. |
| topic |
Научно-технический раздел |
| topic_facet |
Научно-технический раздел |
| publishDate |
2000 |
| language |
Russian |
| container_title |
Проблемы прочности |
| publisher |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Structural-and-Mechanical Modeling of the Unified Curve of Superplasticity |
| description |
Анализируются свойства структурно-механических моделей, представляющих собой различные комбинации нелинейно-вязких элементов, при активном нагружении. Предполагается, что свойства 1-го элемента могут быть описаны простейшим степенным соотношением σi = Kiξi^Mi, где σi- напряжение; ξi - скорость деформации; Кі , mi - постоянные (0 ≤ mi ≤ 1). Основное внимание уделяется анализу принципиальной возможности описания сигмоидальной кривой сверхпластичности при разных видах соединения элементов. Установлено, что при последовательном или параллельном соединении кривая зависимости напряжения от скорости деформации в логарифмических координатах не является сигмоидальной, по-видимому, независимо от количества и свойств входящих в комбинацию элементов. Показано, что смешанное соединение трех нелинейно-вязких элементов дает возможность удовлетворительно описать универсальную кривую сверхпластичности.
Проаналізовано властивості структурно-механічних моделей, що являють собою різні комбінації нелінійно-в’язких елементів, при активному навантаженні. Припускається, що властивості і-го елемента можуть бути описані найпростішим степенним співвідношенням σi = Kiξi^Mi, де σi- напруження; ξi - швидкість деформації; Кі , mi - сталі величини (0 ≤ mi ≤ 1). Основна увага зосереджена на аналізі принципової можливості опису сигмоїдальної кривої надпластичності при різних видах з ’єднання елементів. Встановлено, що при послідовному або паралельному з ’єднанні крива залежності напруження від швидкості деформації в логарифмічних координатах не є сигмоїдальною, очевидно, незалежно від кількості й властивостей елементів, що входять у комбінацію. Показано, що змішане з ’єднання трьох нелінійно-в’язких елементів дозволяє задовільно описати універсальну криву надпластичності.
We analyze the features of structural-andmechanical models constituted by various combinations of nonlinearly viscous elements under active loading conditions. It is assumed that properties of the i-th element can be described by a simple power equation σi = Kiξi^Mi, where σi is the stress, ξi is the strain rate, and Кі , mi are material constants (0 ≤ mi ≤ 1). Particular emphasis has been placed on the analysis of the theoretical possibility to describe the sigmoidal superplastic curve by various combinations of elements. It is found that both in cases of parallel and sequential combination, the stress-strain rate curve in logarithmic coordinates is non-sigmodial, irrespective of the number and properties of elements involved. It is shown that mixed combination of three nonlinearly viscous elements describes fairly well the unified curve of superplasticity.
|
| issn |
0556-171X |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46206 |
| citation_txt |
Структурно-механическое моделирование универсальной сверхпластичности / Р.А. Васин, Ф.У. Еникеев, М.И. Мазурский, О.С. Мунирова // Проблемы прочности. — 2000. — № 2. — С. 5-19. — Бібліогр.: 35 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT vasinra strukturnomehaničeskoemodelirovanieuniversalʹnoisverhplastičnosti AT enikeevfu strukturnomehaničeskoemodelirovanieuniversalʹnoisverhplastičnosti AT mazurskiimi strukturnomehaničeskoemodelirovanieuniversalʹnoisverhplastičnosti AT munirovaos strukturnomehaničeskoemodelirovanieuniversalʹnoisverhplastičnosti AT vasinra structuralandmechanicalmodelingoftheunifiedcurveofsuperplasticity AT enikeevfu structuralandmechanicalmodelingoftheunifiedcurveofsuperplasticity AT mazurskiimi structuralandmechanicalmodelingoftheunifiedcurveofsuperplasticity AT munirovaos structuralandmechanicalmodelingoftheunifiedcurveofsuperplasticity |
| first_indexed |
2025-11-26T12:30:08Z |
| last_indexed |
2025-11-26T12:30:08Z |
| _version_ |
1850623835435433984 |
| fulltext |
НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ
РАЗДЕЛ
УДК 539.374:621.7.043
С т р у к ту р н о -м ех ан и ч еск о е м о д ел и р о ван и е у н и в е р с а л ь н о й к р и в о й
св ер х п л асти ч н о сти
Р. А. Васина, Ф. У. Еникеев6, М. И. М азурский6, О. С. М унирова6
а НИИ механики МГУ, Москва, Россия
6 Институт проблем сверхпластичности металлов РАН, Уфа, Россия
Анализируются свойства структурно-механических моделей, представляющих собой раз
личные комбинации нелинейно-вязких элементов, при активном нагружении. Предполага
ется, что свойства 1-го элемента могут быть описаны простейшим степенным соот
ношением аI = К§™‘, где а ; - напряжение; §; - скорость деформации; К {, т{ - постоянные
(0 < т1 < 1). Основное внимание уделяется анализу принципиальной возможности описания
сигмоидальной кривой сверхпластичности при разных видах соединения элементов. Уста
новлено, что при последовательном или параллельном соединении кривая зависимости напря
жения от скорости деформации в логарифмических координатах не является сигмо
идальной, по-видимому, независимо от количества и свойств входящих в комбинацию эле
ментов. Показано, что смешанное соединение трех нелинейно-вязких элементов дает воз
можность удовлетворительно описать универсальную кривую сверхпластичности.
Структурная сверхпластичность (СП) наблюдается в материалах, име
ющих ультрамелкозернистую микроструктуру (средний размер зерен не
превышает 10...15 мкм) при повышенных температурах (Т > 0,4Гпл, где Тпл -
температура плавления по абсолютной шкале) и относительно низких зна
чениях скорости деформации (обычно в интервале 10- 4 ...10-1 с-1 ) [1-5].
Наиболее важной особенностью механического поведения материала в со
стоянии СП принято считать повышенную чувствительность напряжения
течения о к скорости деформации §, которую количественно характеризует
величина параметра т , входящего в простейшее степенное определяющее
соотношение (ОС):
о = К§ т , (1)
где К - постоянная материала, зависящая от температуры Т, среднего
размера зерен d и других структурных параметров. Выражение (1) может
быть переписано в виде
§ = Со п, 1
где С = 1/ К п и п = 1/ т.
© Р. А. ВАСИН, Ф. У. ЕНИКЕЕВ, М. И. МАЗУРСКИЙ, О. С. МУНИРОВА, 2000
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, N 2 5
Р. А. Васин, Ф. У. Еникеев, М. И. Мазурский, О. С. Мунирова
Если построить зависимость (1) в логарифмических координатах
lg о — lg £, то получится прямая линия, наклон которой равен т. В то же
время соответствующие экспериментальные данные не описываются выра
жением (1); обычно кривая СП в координатах lg о — lg £ имеет характерный
сигмоидальный вид [1-5] (рис. 1). Поэтому часто утверждают, что выра
жение (1) может рассматриваться только как локальная аппроксимация
сигмоидальной кривой для достаточно узкого интервала скорости дефор
мации, в котором можно принять т « const. В общем случае под величиной
параметра скоростной чувствительности понимают наклон сигмоидальной
кривой (обозначим его через М ):
д lg О д ln О
= д Ы = д ш У ' (2)
Например, в работе [2] параметр скоростной чувствительности опре
деляется как тангенс угла наклона кривой в координатах ^ о — ^
Величина М зависит от скорости деформации зависимость М (| ) имеет
характерный куполообразный вид, максимум которой М тах соответствует
оптимальной скорости деформации | ор1. для данной температуры (рис. 1,6).
Рис. 1. Стандартные кривые СП: а - сигмоидальная кривая СП; б - зависимость ее наклона
М от скорости деформации £.
Параметр скоростной чувствительности т в ОС (1) принято считать
наиболее важной механической характеристикой материала в состоянии СП.
Известен ряд работ, посвященных разработке различных методов экспе
риментального определения т [6-9]; часть из них вошла в соответст
вующие справочники и учебные пособия [1, 10, 11]. В то же время анализ
показывает, что параметр т представляет собой скалярную характеристику
процесса одноосного растяжения и не может рассматриваться как посто
янная материала [12]. В частности, величина параметра т сильно зависит от
скорости деформации - т = т ( £ ). Следует заметить, что величина т ( £ ) не
равна наклону сигмоидальной кривой СП М( £) = д ln о / д ln £, если тФ
Ф const, однако на это редко обращают внимание в литературе по СП [1, 3, 6,
13]. В ней обычно не проводится четкое различие между параметрами т и
М ; в некоторых случаях это может вызвать путаницу и неясности в изло
жении. Данная проблема подробно рассмотрена в работах [14, 15].
6 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2000, № 2
Структурно-механическое моделирование
Таким образом, феноменология СП достаточно хорошо изучена. Пред
лагались и многочисленные варианты физических (микроскопических) мо
делей СП [1-5]. При разработке таких моделей основной целью часто
ставится отыскание специфической комбинации известных микромеханиз
мов пластической деформации поликристаллов, которая могла бы описать
особенности механического поведения СП материалов. Принято рассмат
ривать три основных микромеханизма: зернограничное скольжение (ЗГС);
внутризеренное дислокационное скольжение (ВДС) и диффузионную ползу
честь (ДП). Обычно используется гипотеза об аддитивности вкладов этих
основных механизмов СПД, откуда следует
£ Р = £ ЗГС + £ ДП + £ ВДО (3)
причем под вкладом того или иного микромеханизма, например ЗГС, пони
мается отношение в згс = £ згс / £ [5, 16].
Считается, что для каждого микромеханизма деформации характерен
вполне определенный уровень скоростной чувствительности, поэтому в
теоретических моделях их часто описывают соотношением вида (1), где для
ЗГС принимается m ~ 0,5, для ДП - m ~ 1, а для ВДС - m ~ 0,1 [3, 5].
Несмотря на большое количество работ, посвященных физическим мо
делям СП, до сих пор остается открытым вопрос, какая модель или комби
нация микромеханизмов в большей степени отвечает экспериментальным
фактам. Авторы работ [5, 16-18] и ряда других полагают, что относи
тельный вклад ЗГС максимален во второй области СП, однако недавно
опубликована работа [19], которая противоречит этим представлениям.
Вместе с тем установлено [20, 21], что если построить зависимость M (£) в
координатах M / M max — £ / £ 0pt , где M max соответствует оптимальной
скорости деформации £ opt для данной температуры, то практически все
известные экспериментальные результаты ложатся на некоторую единую
кривую (рис. 2), которая может быть представлена, например, следующим
выражением:
M u = M maxexP[ - a 2 1§2(£ / £ o J L a ~ 0,5 (4)
Учитывая (2), из (4) после интегрирования находим
ig(£/£ opt) t
О С 2 2 £ l° g ------ = J M max exP(—a x )dx = m u (£ ) lg £----- , (5)
О opt ° £ opt
где О opt - значение напряжения, соответствующее оптимуму СП (рис. 1).
На рис. 3 представлены результаты расчетов M u (£), m u (£) и зави
симости О ~ £, полученные с помощью выражений (4) и (5). Очевидно, что
адекватные физические модели СП должны включать в себя такие зависи
мости напряжения от скорости деформации, которые позволили бы описать
универсальные кривые СП, представленные на рис. 3.
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2000, № 2 7
Р. А. Васин, Ф. У. Еникеев, М. И. Мазурский, О. С. М унирова
Рис. 2. Экспериментальные зависимости наклона сигмоидальной кривой СП от скорости
деформации в обычных (а) и логарифмических (б) координатах: • - МА21; А - БТ9; □ -
0,12С18Сг10№2Т; О -Т1Л1; ■ -Б120 3; - ТЮ; О -5083; X - Ш5Л110№>3У1Мо; * -№ 3Б1
[20, 21].
Рис. 3. Универсальные кривые СП: а - зависимости Ми(£) и ти(£), вычисленные в
соответствии с выражениями (4) и (5); б - зависимости напряжения от скорости деформации,
вычисленные в соответствии с (5) при различных М тах.
Как отмечено выше, усилия исследователей направлены на отыскание
специфической комбинации известных элементарных микромеханизмов.
Ограничить круг такого поиска можно, если воспользоваться одним из
стандартных методов механики деформируемого твердого тела, согласно
которому каждому из указанных выше микромеханизмов деформации может
быть поставлен в соответствие нелинейно-вязкий элемент (НВЭ), свойства
которого описываются выражением (1); отклик материала отвечает опреде
ленной комбинации этих элементов. Такие комбинации в механике принято
называть ст рукт урно-м еханическим и м оделям и пласт ичност и. Необходимо
подчеркнуть, что этот термин является устоявшимся и общепринятым, при
чем в данном случае термин “структурно-” не касается внутренней струк
туры материала.
8 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 2
Структурно-механическое моделирование
Рис. 4. Последовательное (а), параллельное (б) и смешанное (в) соединение нелинейно
вязких элементов.
Цель настоящей работы заключается в анализе различных структурно
механических моделей с точки зрения перспектив их использования для
описания сигмоидальной кривой СП и “купола” М в виде выражения (4).
При этом физический смысл моделей СП не обсуждается; основное вни
мание уделяется анализу принципиальной возможности описания сигмо
идальной кривой СП той или иной комбинацией НВЭ. Ниже рассмотрены
три типа соединения НВЭ: последовательное, параллельное и смешанное
(рис. 4).
На языке структурно-механических моделей СП выражение (2) может
быть представлено в виде комбинации трех последовательно соединенных
НВЭ, для которой £ = С 1о п + С 2о П2 + С 3 о Пз, а в общем случае последо
вательного соединения к элементов
к
£ = £ 1 + £ 2 +•••+£ к = 2 С ° Щ в £ +в 2 £ + -"+ в к £ , (6)
= 1
где в I = £ I / £ - относительный вклад /-го элемента в общую скорость
деформации. Очевидно, что в 1 + в 2 + ■■■+в к = 1; 0 — в I — 1 ( / = 1 ,2 ,..., к ).
Пусть о 5 = о ( £ 5) - некоторое характерное значение напряжения.
Обозначим вклады механизмов деформации при скорости £ = £ 5 через
в ъ , в 2 5,..., в Ь соответствеННо: в 1$£ $ = С /о п ( I = 1 ,2 , ..., к ; в ̂ + в 25 + ...
. . .+ в к$ = 1). Это позволяет исключить из уравнения (6) постоянные мате
риала С I , в результате оно принимает вид
_ def
£ = в 1э° П1 + в 25° Пг + . .+ в кэ° 4 = 0 Пс , (7)
где о = о / о s и £ = £ / £ s - нормированные значения напряжения и
скорости деформации соответственно; n c = 1/ m c; индекс с (от англ.
“consequent”) здесь и ниже указывает, что данная величина относится к
последовательно соединенным НВЭ. Таким образом, введение параметров
в is в правую часть (7) равносильно введению констант материала C i в
выражение (6). Заметим, что если в is есть вклад i-го элемента при £ = £ s,
то при £ Ф £ s вклад i-го элемента в суммарную скорость деформации равен
в i = в isO n = в is £ mcni ( i = 1 ,2 ,..., к ).
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2000, № 2 9
Р. А. Васин, Ф. У. Еникеев, М. И. Мазурский, О. С. Мунирова
Легко показать, что М = й ^ о / й ^ £ = й lg о / й lg £ при последова
тельном соединении НВЭ равно
М с (£) =
ßls ä n + ß 2 s ä n2 + ...+ ß ъ Р nk
ß l s n 1ä П1 + ß 2sn 2 ä n2 + ..+ ß ksn k ä
(8)
где о = о (£) - решение трансцендентного уравнения (7).
Анализ выражений (7), (8) начнем с предельных случаев. Можно пока
зать, что
lim M c (£) = mmax = max m t ; lim M c (£) = mmin = min m . (9)
£^ 0 /=1,2,..., k £^~ =1,2,...,k
Следовательно, при очень малых скоростях (£ / £ 5 ^ 0) величина пара
метров M c и mc стремится к mmax, а при больших скоростях (£ / £ 5 ^ т о ) -
к тг (тг
с
и т,- максимальное и минимальное значения пара-
метров тI в цепочке).
На рис. 5 представлены зависимости о и параметров М с , т с от
скорости деформации, вычисленные в соответствии с выражениями (7) и (8)
для комбинации из двух последовательно соединенных НВЭ т = 1,
т 2 = 0,5). Как видно, кривая ^ о — ^ £ выпуклая, кривые М с( ^ £) и
т с( ^ £) - монотонно убывающие; при малых скоростях доминирует вклад
элемента с максимальным т (т тах = т ! = 1), а при больших скоростях -
вклад элемента с минимальным т (т тш = т 2 = 0,5).
Рис. 5. Зависимости напряжения о (а) и параметров скоростной чувствительности тс и
Мс (б) от скорости деформации £ для комбинации из двух последовательно соединенных
нелинейно-вязких элементов, вычисленные в соответствии с выражениями (7) и (8) при
т1 = !; т2 = 0,5 в 1 * = в 2* = 0,5
k
Возникает естественный вопрос, что нового даст добавление допол
нительных элементов в цепочку, в частности, изменится ли характер зави
симостей М с( ^ £) и тс( ^ £) так, чтобы можно было получить сигмо
идальный график ^ о — ^ £, для которого характерно немонотонное изме-
10 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2000, № 2
Структурно-механическое моделирование
нение М и т (как видно из рис. 1 и 2, зависимости М ( ^ £) и т ( ^ £) для
сигмоидальной кривой СП представляют собой куполообразные кривые).
Были проведены дополнительные вычислительные эксперименты, в кото
рых варьировались как количество последовательно соединенных НВЭ (рас
четы проводились для к = 2, 3, 4, 5), так и относительные вклады этих
элементов в к , в 2я,... , в кя. Оказалось, что во всех случаях величины пара
метров М с и т с монотонно убывают от т тах = шах{т,-} до т ш1п = ш т { т ,-}.
Это означает, что кривая ^ о — ^ £ для цепочки из последовательно со
единенных НВЭ всегда является выпуклой и поэтому не может иметь
сигмоидальный вид ни при каких комбинациях параметров т 1 > 0 и в ; > 0
( I = 1, 2 ,..., к ). Таким образом, физические модели СП, основанные на сум
мировании вкладов различных механизмов в общую деформацию (скорость
деформации), не позволяют описать сигмоидальную кривую СП.
Рассмотрим параллельное соединение НВЭ (рис. 4,6). В этом случае
суммируются не скорости деформации, а напряжения. Другими словами,
каждый элемент дает вклад не в общую деформацию, а в общее напряжение;
например, для двух элементов
где К 1 , К 2 , т 1 , т 2 - постоянные материала.
В литературе по СП можно встретить аналоги такого рода схем, на
пример, при введении в рассмотрение так называемого порогового напря
жения [22] (в этом случае можно принять т 1 = 0). Недавно появилась работа
[23], в которой выражение типа (10) с отличными от нуля т 1 и т 2 было
успешно применено для аппроксимации экспериментальных данных, по
лученных для СП алюминиевого сплава 7075 и сплава Л1-4%Т1 со средним
размером зерен 1,3 и 1,6 мкм соответственно. Коэффициент корреляции
составлял не менее 0,999 для всех кривых. Выражения типа (10) широко
применяются в механике композитов; они могут быть использованы также
при моделировании реологического поведения двухфазных сплавов для
учета вклада каждой фазы в общее сопротивление деформации.
Пусть при о д = о (£ д) вклады первого и второго членов в правой части
(10) равны соответственно а ^ и а 2?, тогда (10) может быть записано в виде
где 0 = 0 / о q , £ = £ /£ q , а индекс p указывает, что рассматривается па
раллельное соединение (от англ. “parallel”). Вклады элементов равны
a j- = о i / о = а iq £ m' . Из (11) получаем следующее выражение для M p :
о = K 1| mi + K 21 m2 , (10)
(11)
(12)
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2000, № 2 11
Р. А. Васин, Ф. У. Еникеев, М. И. Мазурский, О. С. Мунирова
которое очевидным образом может быть обобщено на случай произвольного
количества параллельно соединенных НВЭ.
На рис. 6 представлены зависимости напряжения о и параметров тр и
М р от скорости деформации, вычисленные в соответствии с выражениями
(11) и (12). Как показали обширные численные эксперименты, выполненные
для случаев параллельного соединения двух, трех или четырех элементов,
характер этих кривых, как и характер кривых, приведенных на рис. 5, не
зависит ни от количества параллельно соединенных элементов, ни от отно
сительных вкладов а *: во всех случаях величины параметров М р и тр
монотонно возрастают от тт п̂ = т т { т г} до т тах = т а х { т г}. Это означает,
что кривая ^ о — ^ £ для параллельно соединенных НВЭ не может иметь
сигмоидальный вид ни при каких комбинациях параметров т г — 0 и в г — 0
( I = 1 ,2 ,..., к ). Таким образом, физические модели СП, основанные на сум
мировании вкладов в общее напряжение, также не позволяют описать
сигмоидальную кривую СП.
£ *
Рис. 6. Зависимости напряжения о (а) и параметров скоростной чувствительности тр и
Мр (б) от скорости деформации £ для комбинации из двух параллельно соединенных
элементов, вычисленные в соответствии с выражениями (11) и (12) при т 1 =1; т 2 =0,2;
а 1* = а 2 * =0,5-
Рассмотрим смешанное соединение трех НВЭ: два соединенных па
раллельно элемента подключены последовательно к третьему (рис. 4,в).
Поведение этой системы описывается системой уравнений:
о = к 1£ т 1 + к 2£ т 2 = К 3£ т 3; £ 1 = £ 2 ; £ = £ 1 + £3, (13)
где £ г- (/ = 1, 2, 3) - скорость деформации г-го элемента; К 1, т г- (/ = 1, 2, 3)
- постоянные.
Пусть при £ = £ 0 напряжение о = о 0 и
о 0 = К 1£ ш + К 2 £ т02 = а 10 о 0 + а 20 о 0;
(14)
£ 0 = £ 10 + £ 30 = в 10£ 0 + в 30£ 0.
18
б
12 ШЗИ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 2
Структурно-механическое моделирование
С учетом (14) из (13) имеем
5 = «10 f m1 + а 20f Г2 = - m - (f —f і) “ 3 = f
def _
в 3
(15)
где о = о / о 0; £ = £ / 1 0; а г-0 = а г-0 / в т ( г = 1 , 2 ); в 10 = в 20 и принято во
внимание, что £ 2 = £ 1 и £ 3 = £ — £ 1. Выражение для М может быть
записано в данном случае в виде
1 = f 3 + f з 3______________ 1— f 3 / f _____________
M m (f ) m3 f ß r ä 10m i ( f - 1 3 ) Г1 + a 20 Г 2 (f f 3 ) " 2 ’ (16)
где f 3 - решение (15)’ в котором f 1 = f — f 3 (индекс m - от англ. “mixed”).
Можно показать, что
lim M m ( f ) = M c; lim M m ( f ) = M p ; _lim_ M m ( f ) = m3 . (17)
a - 0 в3 - о p f 3 - f (17)
Если в цепочку входят элементы с одинаковым значением т
(т 1 = т 2 = ...= т к = т 0 ), то, как следует из выражений (7), (8), (11), (12),
(15) и (16), независимо от типа соединения имеют место равенства
М = т = т 0.
Расчеты показали, что путем выбора коэффициентов а 10 , а 20 , в 10, в 30
в выражении (16) можно получить немонотонные зависимости параметров
т{\% £) и М(\§, £ ) , соответствующие сигмоидальной кривой СП. На рис. 7
приведены результаты расчетов по (15) и (16) при а 10 = 0,94; а 20 = 0,06;
в 10 = 0,9999; в 30 = 0,0001; т 1 = 1; т 2 = 0,18; т з = 0,26. Как видно, получено
удовлетворительное соответствие с универсальными кривыми СП, пред
ставленными на рис. 3,а.
Рис. 7. Зависимости наклона M сигмоидальных кривых СП (а) и показателя скоростной
чувствительности т (б) от скорости деформации. (Сплошные линии - расчет по вы
ражениям (15), (16) при а 10 =0,94; вю =0,9999; т1 =1; m2 =0,18; m3 =0,26; штриховые -
расчет по (4Х (5) при Mтах = 1.)
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2000, № 2 13
Р. А. Васин, Ф. У. Еникеев, М. И. Мазурский, О. С. Мунирова
Набор постоянных, использованный при построении кривых на рис. 7,
не является единственно возможным; в табл. 1 приведены некоторые другие
наборы, которые позволяют достигнуть удовлетворительных результатов
при аппроксимации универсальных кривых СП. В последней колонке табли
цы указаны значения А среднеквадратического отклонения расчетных
данных от универсальной кривой М (£ ), представленной на рис. 2 ,6 .
Т а б л и ц а 1
Значения параметров в уравнениях (15), (16), позволяющие
удовлетворительно описать сигмоидальную кривую сверхпластичности
mi m2 m3 «10 а 20 в10 в 20 Д
1 0,18 0,26 0,94 0,06 0,9999 0,0001 0,05
1 0,10 0,46 0,96 0,04 0,9700 0,0300 0,05
1 0,40 0,25 0,87 0,13 0,9999 0,0001 0,09
1 0,30 0,25 0,90 0,10 0,9999 0,0001 0,06
1 0,33 0,25 0,88 0,12 0,9999 0,0001 0,07
1 0,20 0,50 0,94 0,06 0,9200 0,0800 0,08
Т а б л и ц а 2
Значения материальных констант для модели Зера-Бэкофена [24]
Материал d0, T ,oC T / T Размерность величин — фунт- (дюйм) 2(c)m
мкм
K1 m1 K2 m2 K3 m3
Pb-Sn
[24]
2,0 26 0,65 6,70-105 1 1,15-104 0,33 1,27-104 0,18
3,1 2,50-106 2,23-104 0,33 2,26-104 0,24
Pb-Sn
[25]
2,0 25 0,65 4,20-106 1 1,11-104 0,33 1,9-104 0,21
Pb-Sn
[26]
2,2 25 0,65 1,65-106 1 1,27-104 0,34 1,68-104 0,25
4,1 1,06-107 8,47-103 0,28 2,2-104 0,25
Al-Cu
[27]
2,3 520 0,97 2,20-105 1 2,63-103 0,33 1,17-104 0,25
7,7 2,46-106 2,77-102 0,11 3,54-104 0,39
В 1968 г. Зер и Бэкофен провели исследования механического отклика
сплавов системы олово-свинец со средним размером зерна 1...10 мкм при
температурах от комнатной до 170oC в интервале скоростей деформаций
_5 _2 _1
~10 ...10 с с использованием испытательной машины фирмы Instron
[24]. Испытания осуществлены при уменьшающейся скорости траверсы, что
обеспечивало режим деформирования о = const. В результате были полу
чены типичные сигмоидальные кривые СП, для описания которых авторы
предложили модель, представленную на рис. 4,в, причем из физических
соображений в [24] было принято, что m 1 = 1. Свойства двух других эле
ментов определялись при следующих допущениях: принималось, что эле
14 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2000, № 2
Структурно-механическое моделирование
мент 2 описывает асимптоту для сигмоидальной кривой СП (рис. 1,а) при
малых скоростях деформации (« ^ 0), а элемент 3 - при В табл. 2
представлены результаты, полученные Зером и Бэкофеном из таких эмпи
рических соображений для ряда сплавов по собственным и некоторым
литературным данным [24-27].
Для того чтобы использовать данные табл. 2, подставим (16) в (2); тогда
после некоторых преобразований получим следующее выражение для на
клона М сигмоидальной кривой:
\т хК ̂ + т2 К 2«22]т2
м = « - « 1
т
т , к 1« т 1 + т2 к 21 т 2 + «1
« - « 1
т3 К 3( | - | 1 ) т3
(18)
где « 1 - решение трансцендентного уравнения
о = К 1 « т 1 + К 2 « т 2 = К 3 ( 1 - 1 1 )т 3 . (19)
На рис. 8 представлены результаты расчетов М и о по формулам (18),
(19). При вычислениях использованы значения параметров т г-, К (г = 1, 2,
3) из табл. 2.
а б
Рис. 8. Сигмоидальные кривые СП и зависимости их наклона от скорости деформации,
рассчитанные по формулам (18), (19) для сплавов эвтектического состава олово-свинец (а) и
алюминий-медь (б).
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 2 15
Р. А. Васин, Ф. У. Еникеев, М. И. Мазурский, О. С. Мунирова
Проведенный в работе анализ различных комбинаций НВЭ показывает,
что существует проблема корректного учета относительных вкладов раз
личных механизмов деформации. В частности, многие физические модели
СП содержат в себе зависимости напряжения от скорости деформации,
аналогичные (2), см., например, [1, 3, 5, 16-18, 28-30]. В этой связи
возникают следующие вопросы. Почему скорости деформации суммиру
ются? Какой геометрической картине деформирования это соответствует?
Справедливо ли это только для растяжения (сжатия) или может быть обоб
щено на другие виды деформирования? В механике известна гипотеза
однородного напряженного состояния, в соответствии с которой напря
женное состояние в представительном объеме материала считается одно
родным, а деформации суммируются. Такая гипотеза в одноосном случае
эквивалентна рассмотренному выше случаю последовательного соединения
элементов.
Аналогом параллельного соединения элементов служит другая гипо
теза, согласно которой принимается, что деформированное состояние в
представительном объеме материала является однородным, тогда сумми
руются напряжения. Известны и смешанные гипотезы, промежуточные
между этими двумя, которые в некотором смысле могут быть аналогом
смешанного соединения.
Если при одноосном растяжении смысл всех этих гипотез достаточно
прозрачен и очевиден, то их обобщение на случай одноосного напряженно-
деформированного состояния представляет собой серьезную проблему. Уже
по своему виду уравнение (2) является чисто феноменологическим, по
скольку представляет собой по сути модельное предположение, заменя
ющее очень сложную физическую картину (сдвиги по плоскостям, не
однородность от зерна к зерну и внутри границ зерен и т.д.). Конечно,
возможно следующее возражение: выражение (2) относится к единичному
элементарному объекту (зерну, границе этого зерна). Но тогда нужно гово
рить о площадках сдвига, их ориентации и способах суммирования. Выра
жение (2) должно быть дополнено грамотной и физически обоснованной
схемой осреднения для перехода в нем к макровеличинам - так, как это
делается, например, в работах [31-35].
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант N 99-01
01032.
Р е з ю м е
Проаналізовано властивості структурно-механічних моделей, що являють
собою різні комбінації нелінійно-в’язких елементів, при активному наван
таженні. Припускається, що властивості і-го елемента можуть бути описані
найпростішим степенним співвідношенням о г = К г £ т , де о г - напружен
ня; £ і - швидкість деформації; К і , т г - сталі величини (0< т г < 1). Основна
увага зосереджена на аналізі принципової можливості опису сигмоїдальної
кривої надпластичності при різних видах з’єднання елементів. Встановлено,
що при послідовному або паралельному з ’єднанні крива залежності напру-
16 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 2
Структурно-механическое моделирование
ження від швидкості деформації в логарифмічних координатах не є сигмо-
їдальною, очевидно, незалежно від кількості й властивостей елементів, що
входять у комбінацію. Показано, що змішане з ’єднання трьох нелінійно-
в’язких елементів дозволяє задовільно описати універсальну криву над-
пластичності.
1. Г рабский М . В . Структурная сверхпластичность металлов / Пер. с
польск. - М.: Металлургия, 1975. - 272 с.
2. С м ирнов О. М . Обработка металлов давлением в состоянии сверх
пластичности. - М.: Машиностроение, 1979. - 184 с.
3. P adm anabhan K. A., D avies J. J. Superplasticity. - Berlin: Springer-Verlag,
1980. - 314 р.
4. Н овиков И. И., П орт ной В. К . Сверхпластичность сплавов с ультра-
мелким зерном. - М.: Металлургия, 1981. - 168 с.
5. К айбы ш ев О. А . Сверхпластичность промышленных сплавов. - М.:
Металлургия, 1984. - 224 с.
6. H edw orth J., S tow ell M . J . The measurement of strain rate sensitivity in
superplastic alloys // J. Mater. Sci. - 1971. - 6. - P. 1061 - 1069.
7. E nikeev F. U., M azursk i M . I. Determination of the strain rate sensitivity of
a superplastic material during load relaxation test // Scripta Metall. - 1995.
- 32, N 1. - P. 1 - 6.
8. Vasin R. A., E n ikeev F. U., M azursk i M . I. Determination of the strain rate
sensitivity of a superplastic material at constant load test // Mater. Sci. Eng.
- 1997. - A224. - P. 131 - 135.
9. Vasin R. A ., E n ikeev F. U., M azursk i M . I. Method to determine the strain
rate sensitivity of a superplastic material from the initial slopes of its
stress-strain curves // J. Mater. Sci. - 1998. - 33. - P. 1099 - 1103.
10. П олухин П. И., Г орелик С. С., В оронцов В. К . Физические основы
пластической деформации. - М.: Металлургия, 1982. - 584 с.
11. В ассерм ан А. М ., Д а нилкин В. А., К оробов О. С. и др. Методы контроля
и исследования легких сплавов: Справочник. - М.: Металлургия, 1985.
- 510 с.
12. E nikeev F. U . Strain-rate sensitivity index m : Definition, determination,
narrowness // Materials Science Forum. - 1997. - 243-245. - P. 77 - 82.
13. В асин P. А., Е никеев Ф. У. Введение в механику сверхпластичности: В
2 ч . - Уфа: Гилем, 1998. - Ч. I. - 280 с.
14. Vasin R. A., E n ikeev F. U., M azursk i M . I. On the strain rate sensitivity
values of superplastic materials // Mater. Sci. Eng. - 1998. - 255. - P. 169 -
171.
15. В асин P. А., Е никеев Ф. У., М азурский М . И . К вопросу об определении
чувствительности сверхпластичного материала к скорости деформации
// Завод. лаб. - 1998. - 64, № 9. - С. 50 - 55.
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2000, № 2 17
Р. А. Васин, Ф. У. Еникеев, М. И. Мазурский, О. С. Мунирова
16. Langdon T. G. Grain boundary sliding as a deformation process in creep and
superplasticity // Materials Science Forum. - 1994. - 170-172. - P. 53 - 58.
17. Valiev R. Z., K a ibyshev O. A . On the quantitative evaluation of superplastic
flow mechanisms // Acta Metal. - 1983. - 31, N 12. - P. 2121 - 2128.
18. П еревезенцев В. H . Современные представления о природе структур
ной сверхпластичности // Вопросы теории дефектов в кристаллах. - Л.:
Наука, 1987. - С. 85 - 100.
19. Н овиков И. И., Н икиф оров А. О., П олъкин В. И., Л евченко В. С.
Механизмы сверхпластической деформации алюминиевого сплава
АМг4 // Изв. вузов. Цветная металлургия. - 1996. - 1. - С. 43 - 48.
20. Сиренко А. А., Е никеев Ф. У., М урзинова М . А . К вопросу о единстве
природы сверхпластической деформации // Докл. РАН. - 1995. - 340,
№ 5. - С. 614 - 616.
21. Sirenko A. A., M urzinova V. A., E n ikeev F. U. On the universal relationship
between specific characteristics of superplastic deformation // J. Mat. Sci.
Ltrs. - 1995. - 14. - P. 773 - 774.
22. M o h a m ed F. H . On the threshold stress for superplastic flow // Ibid. - 1988.
- 7. - P. 215 - 217.
23. M urty G. S., B anerjee S. Evaluation of threshold stress from the stress-strain
rate data of superplastic materials // Scripta Metallurgica et Materialia. -
1994. - 31, No 6. - P. 707 - 712.
24. Z ehr S. W., B ackofen W. A . Superplasticity in lead-tin alloys // Trans.
ASME. - 1968. - 61. - P. 300 - 313.
25. Cline H. E., A lden T. H . Rate sensitive deformation in tin-lead alloys //
Trans. AIME. - 1967. - 239. - P. 710.
26. M artin J. A., B ackofen W. A . Superplasticity in electroplated composites of
lead and tin // Trans. ASME. - 1967. - 60. - P. 352 - 359.
27. H o lt D. L., B ackofen W. A . Superplasticity in the Al-33Cu eutectic alloy //
Ibid. - 1966. - 59. - P. 755 - 768.
28. P a cker C. M ., Sherby O. D . An interpretation of the superplasticity
phenomenon in two-phase alloys // Ibid. - 1967. - 60. - P. 21 - 28.
29. G hosh A. K., H am ilton C. H . Influence of material parameters and micro
structure on superplastic forming // Metallurgical Transactions A. - 1982. -
13A, N 5. - P. 733 - 743.
30. G hosh A. K . A New physical model for superplastic flow // Mat. Sci.
Forum. - 1994. - 170-172. - P. 39 - 46.
31. Б ат дорф С. Б., Б удянский Б. Mатематическая теория пластичности,
основанная на концепции скольжения // Механика. - 1962. - № 1 (71).
С. 135 - 155.
32. К адаш евич Ю . И., Н овож илов В. В . Теория необратимого деформи
рования поликристаллов // Пластичность и разрушение твердых тел. -
М.: Наука, 1988. - С. 73 - 85.
18 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2000, № 2
Структурно-механическое моделирование
33. М охелъ А. Н., С алганик Р. Л., Х рист ианович С. А . О пластическом
деформировании упрочняющихся металлов и сплавов. Определяющие
уравнения и расчеты по ним // Изв. АН СССР. Механика твердого тела.
- 1983. - № 4. - С. 119 - 141.
34. М алм ейст ер А. К . Основы теории локальности деформаций (обзор 1) //
Механика полимеров. - 1965. - № 4. - С. 12 - 27.
35. Н овож илов В. В., К адаш евич Ю . И . Микронапряжения в конструк
ционных материалах. - Л.: Машиностроение, 1990. - 223 с.
Поступила 01. 04. 99
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 2 19
|