Схема змішаного методу скінченних елементів для дослідження задачі про міжшаровий контакт в уточненій постановці. Повідомлення 1. Основні співвідношення й загальна методика побудови розрахункових схем у рамках {m, n }-апроксимації
Розглянуто задачу про міжшаровий контакт при врахуванні дискретності тонких шарів структури в рамках (m, n}-апроксимації. Змішаний метод скінченних елементів у формі переміщень-контактних напружень апробовано на задачах циліндричного згину дво- і тришарових пластин. Приведено загальну методику по...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы прочности |
|---|---|
| Дата: | 2000 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2000
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46211 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Схема змішаного методу скінченних елементів для дослідження задачі про міжшаровий контакт в уточненій постановці. Повідомлення 1. Основні співвідношення й загальна методика побудови розрахункових схем у рамках {m, n }-апроксимації / М.В. Марчук, М.М. Хом’як // Проблемы прочности. — 2000. — № 2. — С. 118-127. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859629842192924672 |
|---|---|
| author | Марчук, М.В. Хом'як, М.М. |
| author_facet | Марчук, М.В. Хом'як, М.М. |
| citation_txt | Схема змішаного методу скінченних елементів для дослідження задачі про міжшаровий контакт в уточненій постановці. Повідомлення 1. Основні співвідношення й загальна методика побудови розрахункових схем у рамках {m, n }-апроксимації / М.В. Марчук, М.М. Хом’як // Проблемы прочности. — 2000. — № 2. — С. 118-127. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы прочности |
| description | Розглянуто задачу про міжшаровий контакт при врахуванні дискретності тонких шарів
структури в рамках (m, n}-апроксимації. Змішаний метод скінченних елементів у формі
переміщень-контактних напружень апробовано на задачах циліндричного згину дво- і тришарових
пластин. Приведено загальну методику побудови аналогічних схем методу скінченних
елементів, вказано їх особливості.
Рассмотрено задачу о межслойном контакте с учетом дискретности тонких
слоев структуры в рамках {m, n}-аппроксимации. Смешанный метод конечных
элементов в форме перемещений - контактных напряжений апробирован
на задачах цилиндрического изгиба двух- и трехслойных пластин.
Приведено общую методику построения аналогичных схем метода конечных
элементов, указано их особенности.
We examine the problem of interlayer contact with the account of discrete nature of thin layers of the structure in the framework of the {m, n}-approximation. The mixed scheme of the finite-element method is applied to solving problems of cylindrical bending of bi- and three-layer plates. We describe the general technique for the construction of similar FEM-schemes and specify their peculiarities.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:09:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.3
С хем а зм іш ан о го м етоду ск ін ч ен н и х ел ем ен тів д л я д осл ід ж ен н я
з а д а ч і п р о м іж ш а р о в и й к о н т а к т в у т о ч н е н ій п о с т а н о в ц і .
П о в ід о м л ен н я 1. О сн овн і сп ів в ід н о ш ен н я й з а г а л ь н а м ето д и к а
побудови р о зр ах у н к о в и х схем у р а м к а х {т , и } -ап рок си м ац ії
М. В. М арчук, М. М. Хом’як
Інститут прикладних проблем механіки і математики НАН України ім. Я. С.
Підстригана, Львів, Україна
Розглянуто задачу про міжшаровий контакт при врахуванні дискретності тонких шарів
структури в рамках (т,п}-апроксимації. Змішаний метод скінченних елементів у формі
переміщень-контактних напружень апробовано на задачах циліндричного згину дво- і три
шарових пластин. Приведено загальну методику побудови аналогічних схем методу скін
ченних елементів, вказано їх особливості.
Вступ. Одна з характерних особливостей сучасних технологій і ви
робництв - інтенсивне застосування композиційних, у тому числі шару
ватих матеріалів із необхідними проблемно орієнтованими властивостями.
Шаруватість, як якість матеріалу чи об’єкта, часто використовується з кон
структивних або (і) експлуатаційних міркувань, але інженерний розрахунок
у цьому випадку зумовлений необхідністю побудови адекватних матема
тичних моделей та використання потужних обчислювальних ресурсів. Вра
хування стану міжшарової взаємодії, насамперед визначення міжшарових
контактних напружень (КН), є актуальною проблемою механіки компо
зиційних матеріалів.
Відомо, що суттєвий вплив на напружений стан шаруватих матеріалів
мають анізотропія властивостей, низька зсувна жорсткість і стиснення, а
особливо концентрація КН біля вільних країв та пошкоджень типу роз
шарувань (непроклеїв), що може привести до руйнування структури в ці
лому при значно нижчих навантаженнях, ніж для однорідних середовищ в
аналогічних умовах [1].
Окрім того, фізико-механічні й геометричні властивості шарів можуть
різнитися на порядок і більше, а пакет - мати складну несиметричну
структуру (із накладками і фасками) і вимагати для адекватного моде
лювання дискретного розгляду шарів в умовах об’ємного характеру напру-
жено-деформованого стану (НДС).
Одним із найбільш відомих чисельних методів дослідження об’єктів
складної геометрії, при достатньо загальному виді навантажень і граничних
умов (ГУ), є метод скінченних елементів (МСЕ). Однак у зв’язку з не
значною товщиною шару в порівнянні з іншими лінійними розмірами
розрахункові схеми (РС) на базі співвідношень теорії пружності привели б
до дискретних моделей з дуже великою кількістю вузлових параметрів
(ступенів свободи), а тому вони практично неприйнятні для розрахунків,
орієнтованих на застосування персональних комп’ютерів. Мета роботи -
побудова ефективного і достатньо універсального чисельного методу роз
рахунку шаруватих структур при дискретному розгляді шарів, а також його
апробація на типових задачах для дво- і тришарових структур.
© М. В. МАРЧУК, М. М. ХОМ’ЯК, 2000
118 ІББМ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 2
Схема змішаного мет оду скінченних елементів ... Повідомлення 1
Диференціально-матрична і варіаційна постановка задачі в рамках
{m, и}-апроксимації. В умовах коректності застосування до опису окремих
шарів рівнянь теорії оболонок (пластин) перехід від об’ємної теорії пруж
ності до двомірних теорій можна здійснити, розкладаючи всі величини в
ряди по поліномах Лежандра Pk ( t ) від нормальної координати z (j ) , t =
= z ( j) / h (j) Є [—1; + 1 ] де h (j) - товщина j -го шару. Такий аналітичний
підхід до отримання уточнених рівнянь анізотропних пластин і оболонок
використовувався в багатьох роботах [2, 3]. Відмітимо одну з основних його
переваг: можливість точного задоволення ГУ у напруженнях на лицьових
поверхнях (ЛП) z = ± h оболонки. {m, п}-апроксимація в теорії тонкостін
них елементів конструкцій грунтується на результаті апроксимації функції
та її першої похідної поліномами Лежандра [4, 5] і дозволяє підвищити
точність наближення (по z) для напружень при заданій точності наближення
переміщень. Вибір конкретних m = 1 і n = {0,1, 2} (необхідне виконання
умови m < n + 1)
n
U a = ua + P1( z / h )Y a (a A a ^ в , U z = 2 Pk ( z / h )w k (^ в ) ( 1 )
k=0
дозволяє врахувати деформації зсуву й обтиснення та їх вплив на розподіл
напружень о iz, і Є {a, в , z}. Тут U a , U р , U z - переміщення шару; u 0 =
= ( u a , Y a , u р , y р , w 0 , . . .)T - вектор узагальнених переміщень на середин
ній поверхні (СП) (коефіцієнтів розкладу в ряди Лежандра); (a, в) - система
криволінійних координат на СП, верхній індекс належності до шару опу
щено.
Припустимо, що кожен із тонких шарів постійної товщини адекватно
описується однією з цих моделей, обмежень на порядок розміщення і
загальну товщину шарів не накладається. Диференціально-матрична поста
новка контактної задачі для Ж-шарового композита (без врахування об’єм
них сил) включає:
а) геометричні співвідношення:
r (j ) = C U ) U 0j ) ; (2 )
б) співвідношення пружності:
о ( j ) = D (£j ) е (j ) + D + ) о (j J+1) + D —j ) о (j—1J ) ; (3)
в) рівняння рівноваги в “напруженнях” (4) або в “переміщеннях” (5):
L(J) о (j ) + F—j ) о (j—1,j ) + F+j ) о (j J +X) = 0; (4)
LUj) u (j ) + D —j ) о (j— ) + ^ + j ) о (j ,j +1) = 0, (5)
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2000, № 2 119
М. В. Марчук, М. М. Х о м ’як
ДЄ
ьЩ) = $ )Б V )с и ) , Б±і ) = ^ ) + )Б ± ) ; (6)
г) граничні умови на контурі СП:
є (і )5 (' ) = дК' ) Є (і)и (' ) = и (' ) - п \Є п ,о° п д и,0 ’ Є п,ии п и п,0 ; (7)
д ) умови ідеального механічного контакту на ЛП:
и + ) = и_-і+1); (8)
(5 ++) = - 5 - /+1) =<5(і ’і +1); (9)
е) умови в напруженнях на ЛП шарів, що не є контактними поверхнями
(КП):
5 (01) = 5 -0) = - 5 0 , 5 ( д д +1) = 5 +д ) = 5 д ; ( 10)
є) апроксимації для переміщень ЛП шарів:
и (і ) (± Н ( і ) ) = иі7') = В ± ) и ( і) + С ± и ) 5 (і-1’і) + С ± (і) 5 (і ’і +1). ( 1 1 )
Тут шари пронумеровані від 1 до N вздовж осі 2 , спрямованої вверх по
нормалі на поверхні 2 (1) = + Н(1). Для '-го шару введено позначення: и 0 ') =
= ( и О # ,." , и (гІ^,..., и 2{^) - вектор компонент переміщень; є ' = ( є О к , . - ,
, . . . , , . . . , 4 і ))Г - д е Фор м а ц і ї ; 5 (і) = ( д 0к , . . . , я , . . . , Я 2 І , . . . ,
Я 2#^)Г - напруження (зусилля-моменти); С ^ ' - матриця диференціальних
операторів не вище першого порядку; 5 ' - матриця пружних констант (в
загальному випадку - для анізотропного матеріалу); Б±і) - матриці кон
стант для врахування обтиснення; Ь ' , ї ї ' - матриці диференціальних
операторів рівноваги відповідно першого і другого порядку; , Є П ' -
матриці комбінацій напрямних косинусів зовнішньої нормалі п до контура
СП відносно системи координат (а, в) Для граничних значень компонент
переміщень и ' і напружень, проінтегрованих по товщині на торцях шару
Д ' ; 5 ± -) = (5 £ , 5 в? , 5 (/') )Г , 2 (і) = ± Н(і) - вектор напружень на лицьо
вій поверхні шару; В±і ) , С 1±( і) , С ± (і) - відповідно матриці впливу компо
нент переміщень СП шару, а також напружень на інших ЛП сусідніх шарів
на переміщення и (і)(± Н( і) ) даної ЛП шару.
120 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, N 2
Схема змішаного мет оду скінченних елементів ... Повідомлення 1
Введемо сумарний для пакета шарів вектор переміщень и = ( и (1),
и ( ) )т і КН 5 = ( 5 (1,2), . . . , 5 (^ -1, N ̂ )т . Не обмежуючи загальність по
становки, розглянемо тільки випадок однорідних головних ГУ для кожного
шару:
Є п і и П ) = 0 на Г^ ) / 0 . ( 1 2 )
На множині допустимих функцій, що задовольняють умови (12), ви
ходячи з (4), (8), (10) і (11), запишемо еквівалентне (за Ейлером) варіаційне
рівняння задачі у вигляді
N
д J L (и , 5) = 0 / ( 4 / )и (/) + Б - 7)5 (7-1,7) + Б+7)5 (7,-/'+1) )йи(/)^5 +
7=15(/)
N-1 N
+ 2 / (и-/ +1) - и+Л )Й5(/’/+ 1)^ 5 - 2 / ( с $ 5 / - ^ / і )йиП!)^ Г = 0,
/= 1 5 (/, У+1) /=1 гСУ)
(13)
де
и - / +1) - и+/) = 5_-/ +1)и (/+1) - Б+/ ) и (/) + (С - 0 '+1) - С + (/)) 5 (/',-/'+1) +
+ С - ( / ) 5 (/+1,/ +2) - С + и ) 5 (/-1,/ ) . (14)
Застосовуючи до (13) формулу Гріна при врахуванні умов (7), понизимо
порядок похідних (другий) і в результаті отримаємо симетричний відносно
и , 5 змішаний квадратичний функціонал:
J 4т ,п) = 2 ( / ( /) , и ( /) )і + 2 ( и ( /) , Б + д ( /’/ +1)) І +
=1 =1
Ж N
( 5 (./ >.7+1) в (./+1) Л (./+1^̂ її+ 2 ( л ° ’+1), п - +х5 (7',-/+1)) І + 2 ( 5 а 7 ’+1), в_-/'+1) л (/'+1))ц +
7=1 7=1
+ 2 ( 5 а у +1), в / Л ( /) ) ІІ - 2 ( 5 (ЛУ+1), с / ' + Ъ 5 (/'“ 1̂ ) )ІІ -
7=1 7=2
N-1
- 2 ( 5 (7',/'+1), [С+/,7+1) - С -7̂ - 7+2)]5 (7;7'+1)) ІІ -
=1
N-1
- 2 ( 5 (7'-1,7'+1),С+/,7'+1)5 (7’7'+1))іі - 1(Л ,5), (15)
=2
0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, N 2 121
М. В. Марчук, М. М. Х о м ’як
де - означає інтегрування по поверхні; індекс I відноситься до СП шару;
індекс II - до КП; 1( и , 5 ) - лінійна частина.
У випадку тонких шарів різницею між інтегруванням типу I і II по
сусідніх поверхнях можна знехтувати. Враховуючи це, для {т, п}-апрок-
симації оператори типу В і В, а також типу С симетричні, а саме:
[ В 9 + 1)]Т = В —] +1), [ В + ) ]т = В++) , і = іТ ж ; (16)
С и ,і +1) = С Iі-1,і ) , і = 2, N — 1,
С ОУ+Ч = С+і , і+1) - с - і +1,і +2 ) , і = 1, N — 1, (17)
де С ( і^'+1) - симетрична (і навіть діагональна) матриця з усіма додатніми
коефіцієнтами на діагоналі, що є особливістю вказаних моделей.
Функціонал (15) служить базовим для побудови РС змішаного МСЕ у
формі методу в переміщеннях-контактних напруженнях. Такий підхід має
ряд особливостей і переваг перед іншими схемами змішаного та гібридного
МСЕ [6-8]. Суттєво, що виконується умова неперервності напружень (9) при
переході через КП. Відмітимо також симетричність даної постановки, яка
виявляється в тому, що кожен із функціоналів J т п)(и ) = J т п)(и , 5 ) та
— J (тг,п)(5 ) = — J (т,п)(и Гіх, 5 ) є неперервним і випуклим квадратичним
функціоналом, якому притаманна коерцетивність [9, 10]. У припущенні
додатньої визначеності {т, п}-апроксимації квадратичної форми (КФ) енергії
деформації кожного з шарів і застосуванні формул типу (11) позитивно
вирішується питання про існування та єдиність розв’язку поставленої кон
тактної задачі. Зауважимо, що формула (11), отримана аналітичним шляхом,
фізично може бути трактована як введення в розгляд тонкого проміжного
шару з деякими усередненими відносно сусідніх шарів властивостями. Ана
логічні формули типу
и( г = ±Н ) = и( г = 0) + к о ( г = ± к ), (18)
які враховують залежність переміщень від КН (обтиснення - для прогинів),
у роботах [6, 11] вводилися з феноменологічних міркувань. Наступна особ
ливість даного підходу полягає в наявності від’ємно визначених блоків типу
С , що характерно для задач на екстремум типу “сідлової точки”. Справді,
КН в функціоналі (15) є множниками Лагранжа для врахування додаткових
умов “склейки” (8) розв‘язків у переміщеннях для окремих шарів. Оскільки
вимоги до гладкості КН не вищі, ніж до переміщень шарів, то зручно, з
точки зору програмної реалізації, апроксимацію як переміщень, так і КН
здійснювати однотипними скінченними елементами, наприклад квадратич
ними ізопараметричними елементами, що показали свою ефективність в
теорії оболонок і пластин [9].
122 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 2
Схема змішаного мет оду скінченних елементів ... Повідомлення 1
Загальна методика побудови РС змішаного М СЕ для шару. Схема
МСЕ для функціонала (15) з врахуванням (16), ( 17) повністю визначається
КФ (Л ^ и (7' \ и ( і) ), (С (7',7'+1)о (і -̂/+1), о ( і -̂/+1)) та білінійними формами (БЛФ)
(и ( і) , Б ± о (і ̂-/±1)) і ( о (-7'-1,7'+1), С++ ̂ +1) о ( і,і+1)) для кожного шару струк
тури. Зауважимо, що вклади в лінійну частину функціонала 1(и , о ) від
навантажень на зовнішніх ЛП шарів теж обчислюються за схемою БЛФ з
матрицями типу Б ± і С ± -̂/'+1) (вклади від навантажень на торцях шару з
контуром I і - за стандартною процедурою МСЕ в переміщеннях). Під РС
тут будемо розуміти підінтегральні вирази для вказаних КФ і БЛФ функ
ціонала (15), представлені у вигляді (індекс належності до шару опущено)
п и 2 £І * Т *
2 2 а і] и і £ и ],і = {и } [Л]{и } (19)
і ,і=1 к ,1=0
п и по 2
2 2 2 4 0 иі к о л = {и *}Т [Б± ]{о};
і=1 /=1 к ,1=0
по (20)
2 ( с і=±2) і/-° іо і = {о}Т
і , і= 1
*де {и } - вектори компонент переміщень, розширені своїми похідними; {о}
- КН. Тут [Л] - ( п и X п и ), [Б ± ] - (п и X по X [С±2 ] - (п о X по ) - блочНі
матриці коефіцієнтів, що залежать від механічних властивостей і геометрії
шару; п и - розмірність вектора и; п о - розмірність вектора КН о (по = 3
для загального випадку). Компоненти векторів позначені нижнім індексом,
індекс після коми, крім нуля, означає диференціювання по відповідній
координаті. Кожен із блоків цих матриць задає взаємовплив відповідних
компонент переміщень і КН у довільній точці області інтегрування. Внут
рішня структура блоків зумовлює вимоги гладкості до компонент відпо
відних векторів.
Для конкретної уточненої теорії шару, системи координат і геометрії
оболонки, записавши систему рівнянь рівноваги (5) (або (4) з подальшим
врахуванням (2) і (3)) і варіаційне рівняння (13), після застосування фор
мули Гріна отримаємо необхідні розрахункові формули. У зв’язку з громізд
кістю подібних викладок можна вважати доцільним розробку загальної
методики, придатної для використання не тільки в рамках {т, ^-апрокси
мації в теорії оболонок, але й при поширенні на теорії з врахуванням не-
механічних полів, наприклад термопружності, електродинаміки тощо. Ідея
полягає в структурному аналізі вихідних диференціальних співвідношень
еліптичної системи рівнянь (як правило, другого порядку) і їх табличному
представленні з подальшими формульними операціями над стовпцями таб
лиці, які можна реалізувати програмно в рамках аналітичних обчислень.
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 2 123
М. В. Марчук, М. М. Х о м ’як
Продемонструємо методику на одному з рівнянь рівноваги, наприклад
для прогинів ^о у рамках {1 , 2 }-апроксимації:
151иа + 152 ив + 153 У а + 154У в + 155 ̂ 0 + 156 Щ + 157 ̂ 2 + ї(^ ) = ° (21)
де
и = ( и а , и в , У а , У в , ̂ , ̂ , ™2 )Т ; 5 = (Та2 , т в ̂, )Т;
151 = (5 ( з Ьа + В в Ьв ) Д 1 + (В а Ьа + В( з Ьв )Э 1(-) + Ьа Л а ( Д 1 + д 1(-)) =
00 01 10
= 151 + 151 + 151 ;
152 = (Ва Ьа + В( з Ьв ) Д 2 + (В( з Ьа + Вв Ьв )Э 2 0 + Ьв Л в ( Д 2 + д 2 (-)) =
00 02 20
= 152 + 152 + 152 ;
153 = — Л а ( Д 1 + д1(-)) = 150; 154 = — Л в (Д 2 + Э 2(-)) = 154>;
155 = (В ЇїЬа + В в Ьв + 2 В авЬа Ьв ) - Л а ( Д 1 + д 1('))д1 0 -
— Л в (Д 2 + Э2())д 2 0 = ^ + 155 + 155 ;
ї 56 = (А а Ь а + ^ в Ь в ) ^ - 1 = ї060;
157 = 14 (Л а (Д 1 + д 1 ('))д 1(-) + 14 Л в ( Д 2 + д 2 0 )д2 ( ) = 5̂7 + 157.
Тут введено оператори диференціювання в ортогональних криволіній
них координатах (а, в):
а д = * > - ; д 2(.) ^ ^ ; Д , = М в - ; д 2 = д і А а ,
' и А,,да 2” А вдв 1 А в 2 А а (22)
де Аа , А в - параметри Ламе СП.
У випадку декартових координат на площині (плоского шару)
А а = А в = 1; д 1 0 = д (-)/Эх; д 2 0 = Э 0 /Э у ; Д 1 = Д 2 = 0. (23)
Таблиця для побудови РС повинна містити принаймні чотири основні
стовпці: перший - ненульові оператори ; другий - їх значення (зі знаком
“- ”); третій і четвертий - відповідні їм компоненти матриці квадратичної
1 24 І£ О Т 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2000, № 2
Схема змішаного мет оду скінченних елементів ... Повідомлення 1
форми а - та їх значення (зі знаком “+” ). Перші два стовпці заповнюються
на основі структурного аналізу рівнянь рівноваги, записаних у вигляді,
аналогічному (21). Третій стовпець міститиме компоненти матриці типу А,
відповідно до першого стовпця. Останній стовпець зі значеннями а -
отримуємо з другого стовпця наступним чином: 1 ) якщо присутній оператор
А і + д і (•), то відкидаємо його, інакше, якщо присутній лише оператор
д і (•), то відкидаємо його і змінюємо знак, інакше просто міняємо знак;
2) отриманий вираз домножаємо на коефіцієнти Ламе СП А і і А -,
і, - Є {а, в}, що відповідають нульовим верхнім індексам коефіцієнтів а - ,
наприклад вираз для а 01 - на А а , а 20 - на А в , а а 0° - на А а А в . Зворотний
порядок виконання вказаних операцій - еквівалентний побудові рівнянь
Ейлера функціонала І (15). Побудована таким чином таблиця міститиме
розгорнуте доведення еквівалентності класичної та варіаційної постановок.
Аналогічно можна отримати співвідношення для матриць типу В і С .
Зауважимо, що в практичних розрахунках найчастіше використовується {1,
0}-апроксимація (теорія типу Тимошенка), вектор переміщень шару для якої
має п’ять компонент: и = ( и а , и в , у а , У в, ^ о ) .
Ч исельний приклад. Для апробації викладеного варіанта змішаного
МСЕ розглянемо задачі про циліндричний згин дво- і тришарових шарнірно
підкріплених на краях пластин. Числові параметри приймалися наступ
ними: відношення довжини до загальної товщини пластини І / 2Н = 5.
Пластина складається з N = 2 або N = 3 ідентичних шарів із модулем Юнга
матеріалу Е і коефіцієнтом Пуассона V, постійне навантаження на ЛП
верхнього N -го шару о ̂ )+ / Е = — 0,001. В силу лінійності розглянутих
задач відносно параметра о / Е можливе масштабування результатів, тому
тут не прив’язуємося до конкретного матеріалу та одиниць навантаження і
довжини. СП і КП рівномірно розбивалися на 20 квадратичних елементів
кожна, 41 вузол на поверхні, 2 невідомих КН (т, о) і 3/5 невідомих пере
міщень шару (и , у , w 0 , W l, W2 ) у вузлі, загальна кількість ступенів віль
ності рівна 329/492 - для двошарової і 533/779 для тришарової структури
(чисельник/знаменник: {1, 0} / {1, 2}-апроксимація). Застосовувалися співвід
ношення зв’язаної теорії з врахуванням поздовжніх переміщень СП. Вва
жалося, що умови шарнірного підкріплення виконуються для кожного із
шарів, хоча можливий більш тонкий розрахунок, з умовами тільки для
нижнього шару. На рисунку,а для порівняння представлені прогини окре
мих шарів структури (в центральній частині, де вони найбільше різняться),
на рисункуб - дотичні напруження (в силу симетрії задачі відносно центру
І = 5 - тільки права частина, для лівої - слід поміняти знак), на рисунку,в -
нормальні КН.
Аналіз прогинів показує, що при збільшенні числа шарів жорсткість
структури зменшується, а прогини зростають. Для {1, 2}-апроксимації (тоб
то при врахуванні деформацій стиснення є гг Ф 0) це явище чітко виражене,
для {1 ,0}-апроксимації прогини шарів практично співпадають, що відпо
відає гіпотезі про недеформованість нормалі е гг = 0. Дотичні КН розпо-
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 2 125
М. В. Марчук, М. М. Х о м ’як
ділені лінійно по довжині й практично не залежать від вибору моделі,
нормальні ж співпадають для тришарової пластини, в той час як у випадку
двох шарів є суттєва якісна різниця. Врахування обтиснення ({1, 2}-апрок-
симація) “знімає” концентрацію на краю пластини згідно з {1, 0}-апрокси-
мацією. Аналогічні ефекти відмічено й в інших роботах (наприклад, в [11]),
вони відображають специфіку моделі, хоча при збільшенні шарів до трьох
ефект знімається. Очевидно, що вплив моделі є фактором малодослідженим,
і запропонований нами чисельний метод має хороші перспективи, зокрема,
при нарощуванні числа шарів.
о б
Прогини Wo (а), дотичні (б) і нормальні (в) контактні напруження N -шарової (М =2, 3)
шарнірно підкріпленої пластини в рамках {1, 0}- і {1, 2}-апроксимації. (У фігурних дужках
вказано порядок апроксимації, у квадратних - кількість шарів, у круглих - міжшарова
поверхня.)
Таким чином, відмітимо адекватність моделей {1, 0}- та {1, 2}-апрокси-
мації реальним процесам деформування і ефективність змішаного МСЕ при
розв’язуванні задач для шаруватих структур.
126 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 2
Схема змішаного мет оду скінченних елементів ... Повідомлення 1
Р е з ю м е
Рассмотрено задачу о межслойном контакте с учетом дискретности тонких
слоев структуры в рамках {т, п}-аппроксимации. Смешанный метод конеч
ных элементов в форме перемещений - контактных напряжений апроби
рован на задачах цилиндрического изгиба двух- и трехслойных пластин.
Приведено общую методику построения аналогичных схем метода конеч
ных элементов, указано их особенности.
1. Гузъ А. Н., К оханенко Ю . В . Краевые эффекты в композитах // Прикл.
механика. - 1995. - 31, № 3. - С. 3 - 23.
2. Алексеев А. Е. Двухпараметрическое семейство последовательных
{М , N }-приближений уравнений упругого слоя переменной толщины
// Прикл. механика и теорет. физика. - 1996. - 37, № 3. - С. 133 - 144.
3. В екуа И. Н . Некоторые общие методы построения различных вари
антов теории оболочек. - М.: Наука, 1982. - 288 с.
4. П елех Б. Л., Л азъко В. А . Слоистые анизотропные пластины и оболочки
с концентраторами напряжений. - Киев.: Наук. думка, 1982. - 296 с.
5. П елех Б. Л ., С ухоролъский М . А . Про один новий підхід до побудови
теорії оболонок з врахуванням граничних умов на поверхнях. - Доп.
АН УРСР. - Сер. А. - 1978. - № 5. - С. 441 - 444.
6. Г олованов А. И., П айм уш ин В. Н . Напряженно-деформируемое состо
яние и устойчивость трехслойных оболочек из КМ, имеющих зону
расслоения заполнителя с несущим слоем // Механика композитных
материалов. - 1993. - № 5. - С. 640 - 652.
7. Е рем енко С. Ю . Методы конечных элементов в механике деформиру
емых тел. - Харьков: Изд-во “Основа “ при Харьк. ун-те, 1991. - 272 с.
8. Григоренко Я. М ., К окош ин С. С. Численный анализ напряженного
состояния слоистых анизотропных оболочек на базе смешанной моде
ли МКЭ // Прикл. механика. - 1985. - 18, № 2. - С. 3 - 6.
9. М арчук М . В. Решение задач уточненной теории слоистых анизо
тропных пластин методом конечных элементов: Автореф. дис... канд.
физ.-мат. наук. - Львов, 1984. - 19 с.
10. В агін П. П., Іванова Н. В., Ш инкаренко Г. А . Аналіз зсувних оболонок:
коректність варіаційних задач динаміки // Математичні студії. - 1998. -
10, № 2. - С. 188 - 198.
11. К ит Г. С., М аксим ук А. В . Метод интегральных уравнений Вольтерра
в контактных задачах для тонкостенных элементов конструкций //
Теорет. и прикл. механика. - 1997. - 27. - С. 29 - 35.
Поступила 22. 12. 98
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 2 127
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-46211 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0556-171X |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:09:32Z |
| publishDate | 2000 |
| publisher | Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Марчук, М.В. Хом'як, М.М. 2013-06-28T18:35:29Z 2013-06-28T18:35:29Z 2000 Схема змішаного методу скінченних елементів для дослідження задачі про міжшаровий контакт в уточненій постановці. Повідомлення 1. Основні співвідношення й загальна методика побудови розрахункових схем у рамках {m, n }-апроксимації / М.В. Марчук, М.М. Хом’як // Проблемы прочности. — 2000. — № 2. — С. 118-127. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46211 539.3 Розглянуто задачу про міжшаровий контакт при врахуванні дискретності тонких шарів структури в рамках (m, n}-апроксимації. Змішаний метод скінченних елементів у формі переміщень-контактних напружень апробовано на задачах циліндричного згину дво- і тришарових пластин. Приведено загальну методику побудови аналогічних схем методу скінченних елементів, вказано їх особливості. Рассмотрено задачу о межслойном контакте с учетом дискретности тонких слоев структуры в рамках {m, n}-аппроксимации. Смешанный метод конечных элементов в форме перемещений - контактных напряжений апробирован на задачах цилиндрического изгиба двух- и трехслойных пластин. Приведено общую методику построения аналогичных схем метода конечных элементов, указано их особенности. We examine the problem of interlayer contact with the account of discrete nature of thin layers of the structure in the framework of the {m, n}-approximation. The mixed scheme of the finite-element method is applied to solving problems of cylindrical bending of bi- and three-layer plates. We describe the general technique for the construction of similar FEM-schemes and specify their peculiarities. uk Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Схема змішаного методу скінченних елементів для дослідження задачі про міжшаровий контакт в уточненій постановці. Повідомлення 1. Основні співвідношення й загальна методика побудови розрахункових схем у рамках {m, n }-апроксимації Mixed Scheme of the Finite-Element Method for the Investigation of the Interlayer Contact Problem in the Refined Formulation. Part 1. Basic Relations and General Method of Constructing Calculation Schemes in the Framework of the {m, n}-Approximation Article published earlier |
| spellingShingle | Схема змішаного методу скінченних елементів для дослідження задачі про міжшаровий контакт в уточненій постановці. Повідомлення 1. Основні співвідношення й загальна методика побудови розрахункових схем у рамках {m, n }-апроксимації Марчук, М.В. Хом'як, М.М. Научно-технический раздел |
| title | Схема змішаного методу скінченних елементів для дослідження задачі про міжшаровий контакт в уточненій постановці. Повідомлення 1. Основні співвідношення й загальна методика побудови розрахункових схем у рамках {m, n }-апроксимації |
| title_alt | Mixed Scheme of the Finite-Element Method for the Investigation of the Interlayer Contact Problem in the Refined Formulation. Part 1. Basic Relations and General Method of Constructing Calculation Schemes in the Framework of the {m, n}-Approximation |
| title_full | Схема змішаного методу скінченних елементів для дослідження задачі про міжшаровий контакт в уточненій постановці. Повідомлення 1. Основні співвідношення й загальна методика побудови розрахункових схем у рамках {m, n }-апроксимації |
| title_fullStr | Схема змішаного методу скінченних елементів для дослідження задачі про міжшаровий контакт в уточненій постановці. Повідомлення 1. Основні співвідношення й загальна методика побудови розрахункових схем у рамках {m, n }-апроксимації |
| title_full_unstemmed | Схема змішаного методу скінченних елементів для дослідження задачі про міжшаровий контакт в уточненій постановці. Повідомлення 1. Основні співвідношення й загальна методика побудови розрахункових схем у рамках {m, n }-апроксимації |
| title_short | Схема змішаного методу скінченних елементів для дослідження задачі про міжшаровий контакт в уточненій постановці. Повідомлення 1. Основні співвідношення й загальна методика побудови розрахункових схем у рамках {m, n }-апроксимації |
| title_sort | схема змішаного методу скінченних елементів для дослідження задачі про міжшаровий контакт в уточненій постановці. повідомлення 1. основні співвідношення й загальна методика побудови розрахункових схем у рамках {m, n }-апроксимації |
| topic | Научно-технический раздел |
| topic_facet | Научно-технический раздел |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46211 |
| work_keys_str_mv | AT marčukmv shemazmíšanogometoduskínčennihelementívdlâdoslídžennâzadačípromížšaroviikontaktvutočneníipostanovcípovídomlennâ1osnovníspívvídnošennâizagalʹnametodikapobudovirozrahunkovihshemuramkahmnaproksimacíí AT homâkmm shemazmíšanogometoduskínčennihelementívdlâdoslídžennâzadačípromížšaroviikontaktvutočneníipostanovcípovídomlennâ1osnovníspívvídnošennâizagalʹnametodikapobudovirozrahunkovihshemuramkahmnaproksimacíí AT marčukmv mixedschemeofthefiniteelementmethodfortheinvestigationoftheinterlayercontactproblemintherefinedformulationpart1basicrelationsandgeneralmethodofconstructingcalculationschemesintheframeworkofthemnapproximation AT homâkmm mixedschemeofthefiniteelementmethodfortheinvestigationoftheinterlayercontactproblemintherefinedformulationpart1basicrelationsandgeneralmethodofconstructingcalculationschemesintheframeworkofthemnapproximation |