Свободные колебания упругих мембран и двухслойной жидкости в прямоугольном канале с упругим дном
Построено аналитическое решение плоской задачи гидроупругости, описывающей взаимосвязанные свободные колебания упругих мембран, расположенных на свободной и внутренней поверхностях двухслойной идеальной несжимаемой жидкости в прямоугольном канале с плоским упругим дном в виде пластинки. Выведено и и...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2008
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4628 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Cвободные колебания упругих мембран и двухслойной жидкости в прямоугольном канале с упругим дном / Ю.Н. Koнoнoв, Е.А. Татаренко // Прикладна гідромеханіка. — 2008. — № 1. — С. 33-38. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859534380547964928 |
|---|---|
| author | Кононов, Ю.Н. Татаренко, Е.А. |
| author_facet | Кононов, Ю.Н. Татаренко, Е.А. |
| citation_txt | Cвободные колебания упругих мембран и двухслойной жидкости в прямоугольном канале с упругим дном / Ю.Н. Koнoнoв, Е.А. Татаренко // Прикладна гідромеханіка. — 2008. — № 1. — С. 33-38. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Построено аналитическое решение плоской задачи гидроупругости, описывающей взаимосвязанные свободные колебания упругих мембран, расположенных на свободной и внутренней поверхностях двухслойной идеальной несжимаемой жидкости в прямоугольном канале с плоским упругим дном в виде пластинки. Выведено и исследовано частотное уравнение. Рассмотрены случаи отсутствия мембран, случаи, когда мембрана находится только на свободной или внутренней поверхности двухслойной жидкости. Получено условие устойчивости связанных колебаний двухслойной жидкости, мембран и упругого дна. Проведены численные исследования собственных частот.
Побудовано аналiтичне рiшення плоскої задачi гiдропружностi, що описує взаємозалежнi вiльнi коливання пружних мембран, розташованих на вiльнiй i внутрiшнiй поверхнях двошарової iдеальної нестисливої рiдини в прямокутному каналi iз плоским пружним дном у виглядi пластинки. Виведено та дослiджено частотне рiвняння. Розглянуто випадки, коли мембрана вiдсутня, коли перебуває тiльки на вiльнiй або внутрiшнiй поверхнi двошарової рiдини. Отримано умову стiйкостi зв'язаних коливань двошарової рiдини, мембран i пружного дна. Проведено чисельнi дослiдження власних частот.
The analytical solution of a flat problem of the hydroelasticity describing interconnected free oscillations of elastic diaphragms, the arranged on free and interior surfaces of a two-layer ideal incompressible liquid in the rectangular channel with a flat elastic bottom is constructed. The frequency equation is deduced. Cases when the diaphragm is only on a free or interior surface of a two-layer liquid are considered. The condition of a stability of the connected oscillations of a two-layer liquid, diaphragms and an elastic bottom is received. Are carried out numerical researches of fundamental frequencies.
|
| first_indexed | 2025-11-25T23:24:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 1. С. 33 – 38
УДК 533.6.013.42
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ МЕМБРАН
И ДВУХСЛОЙНОЙ ЖИДКОСТИ
В ПРЯМОУГОЛЬНОМ КАНАЛЕ С УПРУГИМ ДНОМ
Ю. Н. K ОН О Н ОВ∗, Е. А. ТА ТА РЕ Н К О∗∗,
∗ Донецкий национальный университет
∗∗ Донбасская национальная академия строительства и архитектуры
Получено 31.08.2007
Построено аналитическое решение плоской задачи гидроупругости, описывающей взаимосвязанные свободные ко-
лебания упругих мембран, расположенных на свободной и внутренней поверхностях двухслойной идеальной несжи-
маемой жидкости в прямоугольном канале с плоским упругим дном в виде пластинки. Выведено и исследовано
частотное уравнение. Рассмотрены случаи отсутствия мембран, случаи, когда мембрана находится только на сво-
бодной или внутренней поверхности двухслойной жидкости. Получено условие устойчивости связанных колебаний
двухслойной жидкости, мембран и упругого дна. Проведены численные исследования собственных частот.
Побудовано аналiтичне рiшення плоскої задачi гiдропружностi, що описує взаємозалежнi вiльнi коливання пружних
мембран, розташованих на вiльнiй i внутрiшнiй поверхнях двошарової iдеальної нестисливої рiдини в прямокутному
каналi iз плоским пружним дном у виглядi пластинки. Виведено та дослiджено частотне рiвняння. Розглянуто
випадки, коли мембрана вiдсутня, коли перебуває тiльки на вiльнiй або внутрiшнiй поверхнi двошарової рiдини.
Отримано умову стiйкостi зв’язаних коливань двошарової рiдини, мембран i пружного дна. Проведено чисельнi
дослiдження власних частот.
The analytical solution of a flat problem of the hydroelasticity describing interconnected free oscillations of elastic di-
aphragms, the arranged on free and interior surfaces of a two-layer ideal incompressible liquid in the rectangular channel
with a flat elastic bottom is constructed. The frequency equation is deduced. Cases when the diaphragm is only on a
free or interior surface of a two-layer liquid are considered. The condition of a stability of the connected oscillations of
a two-layer liquid, diaphragms and an elastic bottom is received. Are carried out numerical researches of fundamental
frequencies.
ВВЕДЕНИЕ
В работах [1–2] исследованы собственные коле-
бания двухслойной идеальной несжимаемой жид-
кости в прямоугольном канале с жестким дном и
упругими мембранами или пластинками на свобо-
дной и внутренней поверхностях. В настоящем со-
общении обобщены результаты этих работ на слу-
чай плоского упругого дна в виде прямоугольной
пластинки. Задача о влиянии упругости дна на
собственные частоты колебаний однородной тяже-
лой идеальной жидкости, находящейся в прямом
круговом цилиндре, была рассмотрена в [3]. Обоб-
щение этой задачи на случай однородной и много-
слойной идеальной капиллярной жидкости с пози-
ций функционального анализа было дано в рабо-
тах [4–6]. В диссертации [7] дан анализ влияния
упругого дна на устойчивость движения вязкой
двухслойной жидкости.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим прямоугольный канал с плоским
упругим дном шириной b, заполненный двухслой-
ной идеальной и несжимаемой жидкостью c пло-
тностями ρn до глубин hn (n=1, 2). На свободной
поверхности верхней жидкости (n=1) и на поверх-
ности раздела двухслойной жидкости равномер-
но натянуты гибкие мембраны с растягивающими
усилиями в срединной поверхности Tn, массовой
плотностью материала ρ0n и толщиной δ0n. Края
мембран жестко закреплены на стенках канала.
Дно представляется в виде плоской упругой пла-
стинки, жестко защемленной по краю. Колебания
жидкостей, мембран и пластинки будем рассма-
тривать в плоской постановке. Систему коорди-
нат Oxyz расположим так, чтобы ось Ox была на-
правлена вдоль канала, а ось Oz совпадала с осью
симметрии его поперечного сечения и направлена
против ускорения силы тяжести. Плоскость Oxy
совпадает с плоскостью раздела жидкостей в не-
возмущенном состоянии. Задачу будем решать в
рамках линейной теории, а движения жидкостей
считать потенциальными.
Колебания мембран и пластинки описываются
уравнениями:
ρ0nδ0n
∂2w∗
n
∂t2
− Tn
∂2w∗
n
∂y2
=
= Pn − Pn−1, z = zn,
c© Ю. Н. Koнoнoв, Е. А. Татаренко, 2008 33
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 1. С. 33 – 38
ρ03δ03
∂2w∗
3
∂t2
+ D3
∂4w∗
3
∂y4
− T3
∂2w∗
3
∂y2
=
= pa − P2, z = z3,
(1)
при следующих граничных условиях
w∗
n
(
t,±
b
2
)
= 0,
w∗
3
(
t,±
b
2
)
= 0,
∂w∗
3
∂y
∣
∣
∣
∣
y=±b/2
= 0.
(2)
Поперечная нагрузка Pn(t, y), которую
испытывают мембраны и пластинка со сторо-
ны жидкости, может быть определена с помощью
линеаризованного интеграла Лагранжа–Коши
Pn =−ρn
[
∂2Φn
∂t2
∣
∣
∣
∣
z=zn
+ gz + χn
]
. (3)
Здесь z = w∗
n +zn для мембран и z = w∗
3 +z3 –
для пластинки; Φn(t, x, y) – потенциал смещений
n-ой жидкости; w∗
n(y, t) – нормальный прогиб n -
ой мембраны; w∗
3(y, t) – нормальный прогиб дна;
g – ускорение силы тяжести; χn(t) – произвольная
функция времени; z1 = h1, z2 = 0, z3 = −h2, P0 =
P3 = pa.
Потенциал смещений двухслойной жидкости
Φn(t, y, z) определяется из решения краевой зада-
чи:
∂2Φn
∂y2
+
∂2Φn
∂z2
= 0, (y, z) ∈ Qn,
∂Φn
∂y
∣
∣
∣
∣
y=±b/2
= 0,
∂Φn
∂z
∣
∣
∣
∣
z=zn
= w∗
n,
∂Φ2
∂z
∣
∣
∣
∣
z=−h2
= w∗
3 ,
∂Φ1
∂z
∣
∣
∣
∣
z=0
=
∂Φ2
∂z
∣
∣
∣
∣
z=0
,
b/2
∫
−b/2
w∗
n(t, y)dy =
b/2
∫
−b/2
w∗
3(t, y)dy = i∗0,
(4)
где Qn – область поперечного сечения канала, за-
нятая n -ой жидкостью.
Представим прогиб мембран и пластинки в виде
суммы статического и динамического прогибов:
w∗
n = w0
n + wn, w∗
3 = w0
3 + w3. (5)
Для исследования собственных колебаний меха-
нической системы запишем неизвестные динами-
ческие функции в виде
w3 =W3(y)eiωt, wn =Wn(y)eiωt,
χn =gcneiωt, Φn =φn(y, z)eiωt.
(6)
Подставим выражения (5)-(6) в соотношения (1)-
(4) и перейдем к безразмерным величинам в дина-
мической задаче. В качестве характерного линей-
ного размера выбираем ширину канала b. В ре-
зультате получим граничную задачу на собствен-
ные значения:
W ′′
n−γ2
nWn =λ2dn
(
φn−1(y, zn)
ρn−1
ρn
−
−φn(y, zn)) + dn
(
cn − cn−1
ρn−1
ρn
)
,
W IV
3 − −K3W
′′
3 − γ2
3W3 = d3
(
c2 − λ2φ2(y,−h2)
)
,
Wn
(
±
1
2
)
= 0, W3
(
±
1
2
)
= W ′
3
(
±
1
2
)
= 0,
1/2
∫
−1/2
Wn(y)dy =
1/2
∫
−1/2
W3(y)dy = i0,
∂2φn
∂y2
+
∂2φn
∂z2
= 0, (y, z) ∈ Qn,
∂φn
∂y
∣
∣
∣
∣
y=±1/2
= 0,
∂φ2
∂z
∣
∣
∣
∣
z=−h2
= W3,
∂φn
∂z
∣
∣
∣
∣
z=zn
= Wn,
∂φ1
∂z
∣
∣
∣
∣
z=0
=
∂φ2
∂z
∣
∣
∣
∣
z=0
,
(7)
где приняты следующие обозначения:
λ2 =
ω2b
g
, an =
gρ0nδ0nb
Tn
, dn =
ρngb2
Tn
,
γ2
n = dn
(
1 −
ρn−1
ρn
)
− λ2an, K3 =
T3b
2
D3
,
d3 =
ρ2gb4
D3
, a3 =
gρ03δ03b
3
D3
, γ2
3 = d3 + λ2a3,
cn – произвольные постоянные, n = 1, 2.
Будем предполагать, что выполняются неравен-
ства
λ2 <
dn
an
(
1 −
ρn−1
ρn
)
. (8)
2. ПОСТРОЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
После применения метода разделения перемен-
ных составляющие потенциала смещений жидко-
сти φn можно представить в виде
34 Ю. Н. Koнoнoв, Е. А. Татаренко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 1. С. 33 – 38
φn = i0z+
+2
∞
∑
k=1
inkch πk(z−zn+1) − in+1kch πk(z−zn)
πksh πkhn
Yk.
(9)
Здесь
Yk =cos πk
(
y +
1
2
)
, ink =
1/2
∫
−1/2
WnYkdy.
С учетом выражения (9) исходную задачу (7)
сведем к краевой задаче на собственные значения
для интегро-дифференциального уравнения отно-
сительно составляющей прогиба мембран и пла-
стинки:
W ′′
n −γ2
nWn= dnλ2i0zn
(
1−
ρn−1
ρn
)
+
+
∞
∑
k=1
BnkYk+ dn
(
cn −
ρn−1
ρn
cn−1
)
,
W IV
3 − K3W
′′
3 − γ2
3W3 =
= c2d3 + d3λ
2i0h2 −
∞
∑
k=1
B3kYk,
(10)
где
Bnk =
2λ2dn
πk
(
in−1kbn−1k
ρn−1
ρn
−inkunk+in+1kbnk
)
,
B3k =
2λ2d3
πk
(i2kb2k − u3ki3k),
bnk =
1
sh πkhn
, u3k = cth πkh2,
unk = cth πkhn +
ρn−1
ρn
cth πkhn−1.
Представив частные решения этих уравнений в
форме, отвечающей их правым частям
W ∗
n = W0n +
∞
∑
k=1
WnkYk,
W ∗
3 = W03 +
∞
∑
k=1
W3kYk,
запишем общее решение задачи в виде
Wn = Ansh γny + Bnch γny + W ∗
n(y),
W3 = A3ch p2y + B3sh p2y + C3 cos p1y+
+D3 sin p1y + W ∗
3 (y).
(11)
Здесь p1,2 =
√
0.5
(
√
K2
3 + 4γ2
3 ∓ K3
)
; An, Bn, A3,
B3, C3, D3 – произвольные постоянные, которые
определяются из граничных условий (7).
Подставляя выражения (11) в уравнение (10),
имеем
Wnk = −Bnk/ (γ2
n + π2k2),
W3k = −B3k/ ((πk)4 + K3π
2k2 − γ2
3),
−γ2
nW0n = dnλ2i0zn
(
ρn−1
ρn
− 1
)
+
+dn
(
cn −
ρn−1
ρn
cn−1
)
,
−γ2
3W03 = d3λ
2i0h2 + d3c2.
(12)
Выберем постоянную W0n, W03 из условия несжи-
маемости жидкостей, и с учетом выражения (12)
представим функцию Wn(y) следующим образом:
Wn(y) = Anch γny + Bnsh γny + W0n+
+
∞
∑
k=1
Annbn +
3
∑
j=1,n 6=j
Ajnbj
Yk,
W3(y)=A3ch p2y+B3sh p2y+C3 cos p1y+D3 sin p1y+
+W03 +
∞
∑
k=1
A33b3 +
2
∑
j=1
Aj3bj
Yk,
где
Aii =2 (δii−1), Aji =2(−1)i+jδji,
∆k =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1−M1ku1k M1kb1k 0
M2kb1kρ12 1−M2ku2k M2kb2k
0 M3kb2k 1−M3ku3k
∣
∣
∣
∣
∣
∣
,
Mnk =
λ2dn
πk (γ2
n+π2k2)
,
M3k =
λ2d3
πk (π4k4 + K3π2k2 − γ2
3)
,
bn =An
1/2
∫
−1/2
ch (γny) Ykdy+Bn
1/2
∫
−1/2
sh (γny) Ykdy,
b3 =An
1/2
∫
−1/2
ch (p2y) Ykdy+Bn
1/2
∫
−1/2
sh (p2y) Ykdy+
+Cn
1/2
∫
−1/2
cos (p1y) Ykdy+Dn
1/2
∫
−1/2
sin (p1y) Ykdy,
(13)
Ю. Н. Koнoнoв, Е. А. Татаренко 35
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 1. С. 33 – 38
δji – миноры соответствующих элементов опреде-
лителя ∆k. Для удобства записи здесь и далее тре-
тий индекс k будем опускать.
Неизвестные постоянные определим из условий
жесткого закрепления мембран и пластинки. При
этом получим линейную алгебраическую систему,
которая с учетом значений определенных интегра-
лов (13) расщепляется на две независимые подси-
стемы относительно An, A3 и относительно Bn, B3.
Условия существования нетривиальных реше-
ний этих систем приводят к двум характеристи-
ческим уравнениям относительно параметра λ.
Если значения λ совпадают с корнями уравне-
ния ∣
∣
∣‖aij‖i,j=1,3
∣
∣
∣ = 0, (14)
где
aij = fi + (−1)i+j
∞
∑
k=1
δji
Skj
, Skn = γ2
n + α2
k,
Sk3 = α4
k + K3α
2
k − γ2
3 ,
αk =2kπ, ρ12 = ρ1/ρ2,
f1 =
ρ12
2d1Q
, f2 =
1
2d2Q
, f3 =
1
2d3Q
,
Q = −λ2
(
ρ12
a1
d1
+
a2
d2
+
a3
d3
+ρ12h1+h2
)
,
(15)
то им соответствуют симметричные формы свя-
занных колебаний мембран, жидкостей и дна, а
частоты для несимметричных колебаний опреде-
ляются из выражений (14), (15) при
fi = 0, αk =βk, βk =(2k − 1)π. (16)
При выводе уравнения (14) гиперболические
функции были разложены на простейшие дроби
так, как это сделано в [8]. Хотя при этом корни это-
го уравнения находятся с большей погрешностью,
однако это удобно для численных исследований и
качественного анализа.
Если неравенство (8) не выполняется, то по ана-
логии с работой [8] переходим к новым перемен-
ным.
Для того, чтобы получить частотное уравне-
ние собственных колебаний двухслойной жидко-
сти при отсутствии n-ой мембраны, следует в опре-
делителе (14) вычеркнуть n-й столбец и n-ю стро-
ку, поскольку исключаются из рассмотрения со-
ответствующие граничные условия. Кроме этого,
в определителе ∆k следует положить Tn = 0,
ρ0nδ0n = 0.
Если в рассматриваемой механической системе
отсутствует верхняя мембрана, то частотное урав-
нение будет иметь вид
a22a33 − a23a32 = 0.
Здесь Q = −λ2
(
a2
d2
+
a3
d3
+ h2
)
,
∆k =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 −
λ2
αk
u1k
λ2
αk
b1k 0
M2kb1kρ12 1 − M2ku2k M2kb2k
0 M3kb2k 1 − M3ku3k
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
,
а если отсутствует и верхняя жидкость, то допол-
нительно полагаем ρ1 = 0.
Уравнение свободных колебаний однослойной
жидкости со свободной поверхностью и упругим
дном запишется так:
a33 = 0, Q = −λ2
(
a3
d3
+ h2
)
, ∆k =
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 −
λ2
αk
u1k
λ2
αk
b1k 0
0 1 −
λ2
αk
u2k
λ2
αk
b2k
0 M3kb2k 1 − M3ku3k
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
.
(17)
Остальные переменные вычисляются по форму-
лам (15)-(16). Для случая несимметричных коле-
баний это частотное уравнение будет следующим:
∞
∑
k=1
1 −
λ2
βk
u3k
∆k(β4
k + K3β2
k − γ2
3)
= 0, (18)
где
∆k =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 −
λ2
βk
u3k
λ2
βk
b2k
M3kb2k 1 − M3ku3k
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
.
Заметим, что с учетом одного слагаемого в
ряде (k = 1) уравнение (18) имеет корень
λ2 = β1thβ1h2, который соответствует первой соб-
ственной частоте колебаний однородной жидкости
с абсолютно жестким дном.
В случае, если одна из мембран или упругое
днище становятся абсолютно жесткими (i0 = 0),
то в симметричном и несимметричном случаях ве-
личины fi = 0.
Вычеркивая 3-й столбец и 3-ю строку в опреде-
лителе (14) и полагая fi = 0, D3 = ∞, получаем
частотное уравнение работы [1].
36 Ю. Н. Koнoнoв, Е. А. Татаренко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 1. С. 33 – 38
3. СТАТИЧЕСКИЙ ПРОГИБ
Статический прогиб определяется из краевой
задачи
w0′′
1 −d1w
0
1 =d1h1 + d1C1 +
pa
T1
,
w0′′
2 −d2(1 − ρ12)w
0
2 =d2 (C2 − ρ12C1) ,
w
0(IV )
3 −K3w
0′′
3 −d3w
0
3 =−d3h2 + d3c2+
pa
D3
(19)
при следующих граничных условиях
w0
n
(
±
1
2
)
= w0
3
(
±
1
2
)
= w0′
3
(
1
2
)
= 0.
Решение задачи (19) имеет вид
w0
n = c̃n
ch yrn
ch
rn
2
− 1
, w0
3 = c̃3×
×
r32sh
r32
2
cos r31y + r31 sin
r31
2
ch r32y
r32sh
r32
2
cos
r31
2
+ r31 sin
r31
2
ch
r32
2
−1
,
где c̃1 =h1 + C1 +
pa
d1T1
; c̃2 =
C2 − ρ12C1
1 − ρ12
;
c̃3 =h2 − C2 −
pa
d3D3
; rn =
√
dn
(
1 −
ρn−1
ρn
)
;
r3j =
√
0.5
(
√
K2
3 + 4d3 + (−1)jK3
)
.
cn находим из условия несжимаемости жидкости.
4. ИССЛЕДОВАНИЕ ВОПРОСА
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ КОЛЕБАНИЙ
Необходимым условием устойчивости совме-
стных колебаний мембран, упругого дна и дву-
хслойной жидкости является положительность
всех корней частотного уравнения (14). В случае
симметричных колебаний для приближенного ана-
лиза этого уравнения ограничимся одним слагае-
мым в рядах (15). В случае несимметричных коле-
баний учет одного слагаемого в уравнении (14) не
приводит к уравнению, содержащему неизвестную
частоту, поэтому оставим два слагаемых в a22. По-
требуем выполнения правила знаков Декарта для
полученных многочленов. Это приводит при не-
симметричных формах колебаний к условиям
ρ1 − ρ2 <
β2
1
gb2
T2, ρ2 < β4
1
D3
gb4
+ β2
1
T3
gb2
. (20)
Для симметричных колебаний вместо β1 подстав-
ляем α1.
Условия (20) не зависят от параметров верхней
мембраны, глубин заполнения и массовых хара-
ктеристик мембран и пластинки. Эти условия не
изменяются, если упругая мембрана отсутствует
на свободной поверхности или является абсолю-
тно жесткой. В случае абсолютно жесткого дна
(T3 = ∞) из двух неравенств (20) остается только
первое. Если более тяжелая жидкость находится
внизу сосуда (ρ2 ≥ ρ1), то это неравенство всегда
выполнено.
В случае однородной жидкости условия устой-
чивости следуют из (20), в которых полагается
ρ1 = 0.
На основании проведенных исследований обще-
го уравнения (14) для ряда частных случаев мож-
но предположить, что для m-слойной жидкости
условия устойчивости будут иметь вид
ρ1 − ρ2 <
β2
1
gb2
T2, ρ2 − ρ3 <
β2
1
gb2
T3, . . . ,
ρm−1 − ρm <
β2
1
gb2
Tm,
ρm+1 <β4
1
Dm+1
gb4 + β2
1
Tm+1
gb2 .
5. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТОВ
На рис. 1 показаны статические прогибы мем-
бран и пластинки при h1 = h2 = 0.5, ρ1 = 500,
ρ2 = 1000, b = 1, m1 = m2 = m3 = 10, D3 = 50.
Рис. 1, а соответствует параметрам T1 = T2 = T3 =
98.1, рис. 1, б – T2 = T3 = 98.1, T1 = 981, рис. 1, в –
T1 = T3 = 98.1, T2 = 981, рис. 1, г – T1 = T2 = 98.1,
T3 = 981. Кривые 1, 2, 3 обозначают прогибы верх-
ней, внутренней мембран и дна соответственно.
На основании приведенных графиков видно, что
на прогиб мембран и пластинки в наиболее значи-
тельной степени влияет натяжение дна.
На рис. 2 на примере однородной жидкости по-
казана зависимость первых двух собственных ча-
стот от натяжения мембраны для следующих зна-
чений параметров: ρ1 = 0, ρ2 = 1000, m2 = 10,
m3 = 10−5, T3 = 981, D3 = 10, h = 1 . Кривые
1, 2 соответствуют собственным частоты колеба-
ний мембраны в вакууме; 3, 4 – собственным ча-
стотам колебаний мембраны на поверхности одно-
родной жидкости в сосуде с абсолютно жестким
дном. Кривые, изображенные с помощью симво-
лов, соответствуют собственным частотам колеба-
ний механической системы с упругим дном. Из ри-
Ю. Н. Koнoнoв, Е. А. Татаренко 37
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 1. С. 33 – 38
Рис. 1. Статический прогиб мембран и дна
Рис. 2. Собственные частоты в случае однородной
жидкости
сунка видно, что упругость дна приводит к умень-
шению собственных частот. Следует отметить, что
глубина заполнения канала оказывает существен-
ное влияние на частоты при h2 =0.1 − 0.3.
Из рис. 2 следует, что для абсолютно жестко-
го дна при малых натяжениях мембраны частоты
возрастают, а при больших – убывают по сравне-
нию с частотами колебаний мембраны в вакууме.
Упругость дна приводит к появлению новой груп-
пы частот, которые меньше частот, вычисленных
для абсолютно жесткого дна.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Выведено частотное уравнение собственных ко-
лебаний двухслойной жидкости в прямоугольном
канале с плоским дном в виде упругой пластинки
и с упругими мембранами на свободной и внутрен-
ней поверхностях жидкости. Это уравнение иссле-
довано для ряда частных случаев: отсутствия мем-
бран, мембрана находится только на свободной
или внутренней поверхности двухслойной жидко-
сти.
Получены условия устойчивости совместных ко-
лебаний жидкостей, упругих мембран и упругого
дна. Эти условия не зависят от параметров верх-
ней мембраны, глубин заполнения и массовых ха-
рактеристик мембран и пластинки и имеют один
и тот же вид, если упругая мембрана отсутствует
на свободной поверхности или является абсолютно
жесткой.
Показано, что частотный спектр состоит из трех
наборов собственных частот, соответствующих ко-
лебаниям мембран и дна.
1. Кононов Ю. Н., Татаренко Е. А. Свободные колеба-
ния двухслойной жидкости с упругими мембранами
на "свободной"и внутренней поверхностях // Аку-
стичний вiсник.– 2003.– 6, № 4.– С. 44–52.
2. Кононов Ю. Н., Татаренко Е. А. Свободные коле-
бания двухслойной жидкости, разделенной упру-
гой пластинкой в прямоугольном канале // Теор.
и прикл. механика.– 2002.– 36.– С. 170–176.
3. Петренко М. П. О малых колебаниях идеальной
жидкости в сосуде с упругими днищами // При-
кладная механика.– 1969.– 5, No 6.– С. 44–50.
4. Нго Зуй Кан О движении несмешивающихся жид-
костей в сосуде с плоским упругим днищем // Изв.
АН СССР. МТТ.– 1979.– № 5.– С. 48–54.
5. Нго Зуй Кан О движении идеальной жидкости, по-
дверженной силам поверхностного натяжения, за-
полняющей сосуд с плоским упругим днищем //
Изв. АН СССР. МТТ.– 1980.– № 3.– С. 143–154.
6. Копачевский Н. Д., Крейн С. Г., Нго Зуй Кан Опе-
раторные методы в линейной гидродинамике: Эво-
люционные и спектральные задачи.– М.: Наука,
1989.– 416 с.
7. Имедашвили В. Г. Колебания жидкости в сосудах.–
Автореф. Дис...: Ростов, 2000.– 15 с.
8. Троценко В. А. Свободные колебании жидкости
в прямоугольном канале с упругой мембраной на
свободной поверхности // Прикладная механика.–
1995.– 31, N 8.– С. 74–80.
38 Ю. Н. Koнoнoв, Е. А. Татаренко
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4628 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-9087 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-25T23:24:45Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кононов, Ю.Н. Татаренко, Е.А. 2009-12-08T15:22:11Z 2009-12-08T15:22:11Z 2008 Cвободные колебания упругих мембран и двухслойной жидкости в прямоугольном канале с упругим дном / Ю.Н. Koнoнoв, Е.А. Татаренко // Прикладна гідромеханіка. — 2008. — № 1. — С. 33-38. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4628 533.6.013.42 Построено аналитическое решение плоской задачи гидроупругости, описывающей взаимосвязанные свободные колебания упругих мембран, расположенных на свободной и внутренней поверхностях двухслойной идеальной несжимаемой жидкости в прямоугольном канале с плоским упругим дном в виде пластинки. Выведено и исследовано частотное уравнение. Рассмотрены случаи отсутствия мембран, случаи, когда мембрана находится только на свободной или внутренней поверхности двухслойной жидкости. Получено условие устойчивости связанных колебаний двухслойной жидкости, мембран и упругого дна. Проведены численные исследования собственных частот. Побудовано аналiтичне рiшення плоскої задачi гiдропружностi, що описує взаємозалежнi вiльнi коливання пружних мембран, розташованих на вiльнiй i внутрiшнiй поверхнях двошарової iдеальної нестисливої рiдини в прямокутному каналi iз плоским пружним дном у виглядi пластинки. Виведено та дослiджено частотне рiвняння. Розглянуто випадки, коли мембрана вiдсутня, коли перебуває тiльки на вiльнiй або внутрiшнiй поверхнi двошарової рiдини. Отримано умову стiйкостi зв'язаних коливань двошарової рiдини, мембран i пружного дна. Проведено чисельнi дослiдження власних частот. The analytical solution of a flat problem of the hydroelasticity describing interconnected free oscillations of elastic diaphragms, the arranged on free and interior surfaces of a two-layer ideal incompressible liquid in the rectangular channel with a flat elastic bottom is constructed. The frequency equation is deduced. Cases when the diaphragm is only on a free or interior surface of a two-layer liquid are considered. The condition of a stability of the connected oscillations of a two-layer liquid, diaphragms and an elastic bottom is received. Are carried out numerical researches of fundamental frequencies. ru Інститут гідромеханіки НАН України Свободные колебания упругих мембран и двухслойной жидкости в прямоугольном канале с упругим дном Free oscillations of elastic membranes and two-layer liquid in rectangular channnel with elastic bottom Article published earlier |
| spellingShingle | Свободные колебания упругих мембран и двухслойной жидкости в прямоугольном канале с упругим дном Кононов, Ю.Н. Татаренко, Е.А. |
| title | Свободные колебания упругих мембран и двухслойной жидкости в прямоугольном канале с упругим дном |
| title_alt | Free oscillations of elastic membranes and two-layer liquid in rectangular channnel with elastic bottom |
| title_full | Свободные колебания упругих мембран и двухслойной жидкости в прямоугольном канале с упругим дном |
| title_fullStr | Свободные колебания упругих мембран и двухслойной жидкости в прямоугольном канале с упругим дном |
| title_full_unstemmed | Свободные колебания упругих мембран и двухслойной жидкости в прямоугольном канале с упругим дном |
| title_short | Свободные колебания упругих мембран и двухслойной жидкости в прямоугольном канале с упругим дном |
| title_sort | свободные колебания упругих мембран и двухслойной жидкости в прямоугольном канале с упругим дном |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4628 |
| work_keys_str_mv | AT kononovûn svobodnyekolebaniâuprugihmembranidvuhsloinoižidkostivprâmougolʹnomkanalesuprugimdnom AT tatarenkoea svobodnyekolebaniâuprugihmembranidvuhsloinoižidkostivprâmougolʹnomkanalesuprugimdnom AT kononovûn freeoscillationsofelasticmembranesandtwolayerliquidinrectangularchannnelwithelasticbottom AT tatarenkoea freeoscillationsofelasticmembranesandtwolayerliquidinrectangularchannnelwithelasticbottom |