Трехмерная лагранжева модель переноса многофракционных наносов и ее применение к описанию гравитационных течений
Предложена новая трехмерная лагранжева модель переноса связных и несвязных многофракционных наносов, когда тип донного материала и гранулометрический состав переменны в области моделирования. Модель сопряжена с трехмерными моделями гидродинамики, в которых используется сигма-система координат, позво...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2008
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4636 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Трехмерная лагранжева модель переноса многофракционных наносов и ее применение к описанию гравитационных течений / И.А. Бровченко, В.С. Мадерич // Прикладна гідромеханіка. — 2008. — Т. 10, № 2. — С. 3-12. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859749746273419264 |
|---|---|
| author | Бровченко, И.А. Мадерич, В.С. |
| author_facet | Бровченко, И.А. Мадерич, В.С. |
| citation_txt | Трехмерная лагранжева модель переноса многофракционных наносов и ее применение к описанию гравитационных течений / И.А. Бровченко, В.С. Мадерич // Прикладна гідромеханіка. — 2008. — Т. 10, № 2. — С. 3-12. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Предложена новая трехмерная лагранжева модель переноса связных и несвязных многофракционных наносов, когда тип донного материала и гранулометрический состав переменны в области моделирования. Модель сопряжена с трехмерными моделями гидродинамики, в которых используется сигма-система координат, позволяющая естественным образом описывать перенос в пограничном слое и переформирование дна. Результаты расчетов сопоставлены с аналитическим и численным решениями эйлеровых задач и лабораторным экспериментом. Модель применена к задаче зимней конвекции на арктическом шельфе, которая вызывает трогание наносов на склонах и усиление плотностных гравитационных течений за счет взвеси.
Запропонована нова тривимiрна лагранжева модель переносу зв'язних та незв'язних багатофракцiйних намулiв у випадку, коли тип донного матерiалу та його гранулометричний склад змiннi в областi моделювання. Модель спряжена з тривимiрними моделями гiдродинамiки, в яких використовується сiгма-система координат, що дозволяє природнiм чином описувати перенос у пограничному шарi та переформування дна. Результати розрахункiв спiвставленi з аналiтичним та чисельним розв'язками ейлерових задач та лабораторним експериментом. Модель застосована до задачi зимової конвекцiї на арктичному шельфi, що викликає рушання намулiв на схилах та пiдсилення густинних гравiтацiйних течiй за рахунок намулiв.
A new three-dimensional Lagrangian sediment transport model for cohesive and non-cohesive sediment for the case when bottom material type and it's grain-size composition are variable in the modeling area is proposed. The model is coupled with three-dimensional hydrodynamic models which use sigma-coordinate system that allow to describe naturally transport in boundary layer and bottom morphology. Calculation results were validated on the numerical and analytical solutions of Euler problems and laboratory experiment. Model was applied for the case study of winter convection on the Arctic shelf which causes triggering of sediment down slope movement and enhancement of the gravity current at the cost of sediment.
|
| first_indexed | 2025-12-01T23:28:57Z |
| format | Article |
| fulltext |
НАУКОВI СТАТТI ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 2. С. 3 – 12
УДК 532.465
ТРЕХМЕРНАЯ ЛАГРАНЖЕВА МОДЕЛЬ ПЕРЕНОСА
МНОГОФРАКЦИОННЫХ НАНОСОВ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
К ОПИСАНИЮ ГРАВИТАЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЙ
И. А. Б РО В Ч ЕН К О,∗ В. С. М АД Е РИ Ч∗∗
∗ Институт проблем математических машин и систем НАН Украины, Киев
∗∗ Department of Environmental Science, Hankuk University of Foreign Studies, Yongin Shi, Kyoungki Do,
Korea
Получено 10.09.2007
Предложена новая трехмерная лагранжева модель переноса связных и несвязных многофракционных наносов, ко-
гда тип донного материала и гранулометрический состав переменны в области моделирования. Модель сопряжена с
трехмерными моделями гидродинамики, в которых используется сигма-система координат, позволяющая естествен-
ным образом описывать перенос в пограничном слое и переформирование дна. Результаты расчетов сопоставлены
с аналитическим и численным решениями эйлеровых задач и лабораторным экспериментом. Модель применена
к задаче зимней конвекции на арктическом шельфе, которая вызывает трогание наносов на склонах и усиление
плотностных гравитационных течений за счет взвеси.
Запропонована нова тривимiрна лагранжева модель переносу зв’язних та незв’язних багатофракцiйних намулiв у
випадку, коли тип донного матерiалу та його гранулометричний склад змiннi в областi моделювання. Модель спря-
жена з тривимiрними моделями гiдродинамiки, в яких використовується сiгма-система координат, що дозволяє при-
роднiм чином описувати перенос у пограничному шарi та переформування дна. Результати розрахункiв спiвставленi
з аналiтичним та чисельним розв’язками ейлерових задач та лабораторним експериментом. Модель застосована до
задачi зимової конвекцiї на арктичному шельфi, що викликає рушання намулiв на схилах та пiдсилення густинних
гравiтацiйних течiй за рахунок намулiв.
A new three-dimensional Lagrangian sediment transport model for cohesive and non-cohesive sediment for the case when
bottom material type and it’s grain-size composition are variable in the modeling area is proposed. The model is coupled
with three-dimensional hydrodynamic models which use sigma-coordinate system that allow to describe naturally transport
in boundary layer and bottom morphology. Calculation results were validated on the numerical and analytical solutions
of Euler problems and laboratory experiment. Model was applied for the case study of winter convection on the Arctic
shelf which causes triggering of sediment down slope movement and enhancement of the gravity current at the cost of
sediment.
ВВЕДЕНИЕ
Моделирование переноса взвеси в воздушной и
водной средах представляет собой сложную зада-
чу, особенно в случае гравитационных взвесенесу-
щих потоков [1], в которых важно взаимодействие
полей взвеси и течений. Примером таких течений
на шельфе океанов и морей могут служить, на-
пример, мутьевые потоки в подводных каньонах
на склонах. Дополнительные сложности возника-
ют, когда взвесенесущие потоки являются поли-
дисперсными и когда плавучесть в гравитацион-
ных течениях поддерживается разностью темпе-
ратуры и солености наряду со взвесью. Взвесене-
сущие потоки из устьев рек в море [2] и шельфовая
конвекция в полярных морях [3] относятся к тако-
му типу течений.
В последние годы разработан ряд трехмерных
эйлеровых и лагранжевых моделей переноса на-
носов (см.напр.[4-7]). Лагранжевы модели [6-7]
имеют ряд преимуществ по сравнению с эйлеро-
выми моделями, которые обусловлены естествен-
ным описанием транспорта частиц и возможно-
стью описания переноса на масштабах, меньших
шага эйлеровой сетки. Однако, в отличие от эйле-
ровых моделей [4-5], в известных трехмерных ла-
гранжевых моделях не рассматриваются процес-
сы переноса многофракционных наносов. Обра-
тное влияние сил плавучести, вызванных наличи-
ем взвеси, также учитывалось лишь в некоторых
эйлеровых моделях (напр. [1-3]).
В настоящей работе описана трехмерная ла-
гранжева модель переноса связных и несвязных
многофракционных наносов, являющаяся обобще-
нием двумерной модели [8]. Модель сопряжена с
трехмерными моделями гидродинамики, в кото-
рых используется сигма-система координат, по-
зволяющая естественным образом описывать пе-
ренос в пограничном слое и переформирование
дна. Результаты расчетов сопоставлены с анали-
тическими и численными решениями эйлеровых
задач. Приведены результаты моделирования пе-
реноса взвеси в лабораторном канале [9]. Модель
применена к задаче зимней конвекции на арктиче-
ском шельфе, когда конвективные потоки вызыва-
ют трогание наносов на склонах и усиление пло-
c© И. А. Бровченко, В. С. Мадерич, 2008 3
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 2. С. 3 – 12
тностных гравитационных течений за счет взвеси.
1. ЛАГРАНЖЕВА МОДЕЛЬ
1.1. Общее описание модели
Так же, как и в [8], трехмерная лагранжева мо-
дель описывает размыв, перенос и осаждение мно-
гофракционных связных и несвязных наносов, а
также их смесей. В дальнейшем для краткости бу-
дем называть “песком” фракции несвязных нано-
сов, начиная с гальки и кончая размером частиц
D > 0.063 мм, а “илом” – наносы, включающие
собственно ил (0.063 мм > D > 0.004 мм) и глину
(D < 0.004 мм). Водный столб и дно разделены на
ряд слоев: водный слой, активный слой, несколь-
ко донных слоев и нижний донный слой (pис. 1).
Взвешенные наносы переносятся течениями и вол-
нами в водном слое. В активном слое (АС) ча-
стицы песка могут перемещаться в виде влекомых
наносов, вовлекаться в вышележащий слой воды
или выпадать в самый верхний (активный) дон-
ный слой (АДС). Если в результате эрозии или
дивергенции потока влекомых наносов толщина
АДС hAB становится равной нулю, то нижележа-
щий донный слой начинает взаимодействовать с
водным слоем и становится АДС. Если толщина
АДС превосходит некоторое значение h
(c)
AB, то во-
зникает новый донный слой. Неразмываемый ни-
жний донный слой находится ниже донных слоев.
Модель позволяет рассчитывать перенос любого
количества фракций песка. Предполагается, что
все частицы песка данного класса размеров в АС
и АДС равно подвержены действию потока воды
и вовлечению в водный слой и АС соответствен-
но. Распределение фракций песка в АС отличае-
тся от распределения в АДС вследствие различной
скорости вовлечения частиц разного размера в во-
дный слой. Такая сортировка приводит естествен-
ным образом к эффекту самоотмостки донного ма-
териала. Влияние мигрирующих донных гряд на
перенос и сортировку донного материала в моде-
ли не учитывается.
Илы перемещаются в виде взвеси только в во-
дном слое, вовлекаясь в него из АДС и осажда-
ясь в АДС. Моделируется только один класс илов.
Консолидация донных слоев в модели не учитыва-
ется. Процессы взмучивания песка и ила в сме-
си могут быть взаимосвязаны. Условие сохранения
массы смеси в АДС, включающей одну фракцию
ила и n фракций песка, имеет вид:
pm +
n
∑
i=1
psi = 1, (1)
Рис. 1. Схематическое представление процессов
переноса наносов в лагранжевой модели [8]
где psi и pm – содержание i-й фракции песка и
фракции ила соответственно, которое определяе-
тся как отношение массы частиц одного класса в
АДС на элементе поверхности дна к массе всех ча-
стиц наносов, содержащихся в этом объеме. Сле-
дуя [10-11], полагается, что взмучивание смеси ила
и песка происходит по закономерностям несвязных
наносов, если содержание связных наносов в АДС
pm ниже критического значения pm,cr, и по законо-
мерностям для связных наносов pm > pm,cr, если
концентрация связных наносов в АДС выше кри-
тической. В то же время, осаждение обеих форм
наносов происходит независимо. Значение pm,cr
для Северного моря, например, равно примерно
0.3 [10].
1.2. Перенос взвешенных наносов
Лагранжева техника используется для моделиро-
вания взмучивания, выпадения и переноса взвеси.
Концентрация взвеси характеризуется ансамблем
частиц, а задача переноса сводится к прослежи-
ванию траекторий частиц. Масса взвеси в водном
слое и в АС разделена на большое количество ча-
стиц одинаковой массы. Каждая частица обладает
тремя атрибутами при моделировании:
1. Состояние (либо “Взвешенная” либо “На дне”)
2. Класс размеров (от 1 до n-го, “0” класс соот-
ветствует илу)
3. Класс источника (от 1 до ns-того).
Частицы “На дне” располагаются в АС, где части-
цы песка и ила могут оставаться на дне. Частицы
песка в АС могут также двигаться в виде влеко-
мых наносов. АДС служит источником частиц для
АС, когда этот слой теряет массу за счет перехо-
да частиц в взвешенные наносы и/или диверген-
ции потока влекомых наносов. Он также абсор-
бирует частицы из АС, когда толщина последне-
го hA превосходит некоторое заданное значение.
Взвешенные частицы ила характеризуются диаме-
тром “хлопьев”Dfloc , образующихся в результате
4 И. А. Бровченко, В. С. Мадерич
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 2. С. 3 – 12
слипания (флоккуляции) частиц в турбулентном
водном слое. Частицы маркированы классом исто-
чника для того, чтобы иметь возможность просле-
дить траекторию частиц из заданного источника.
Для моделирования переноса взвешенных нано-
сов в водном слое используется лагранжева мо-
дель случайных блужданий (Random Dispersion
Model или RDM), в которой смещения частицы
моделируются как случайный марковский процесс
[12]. Уравнения для перемещений частицы d~x =
(dx, dy, dz) на каждом шаге по времени dt имеют
вид
dx = udt +
(
∂Kx
∂x
)
dt +
√
2Kdξx, (2)
dy = vdt +
(
∂Ky
∂y
)
dt +
√
2Kdξy, (3)
dz = wdt + wsdt +
(
∂Kz
∂z
)
dt +
√
2Kxdξz. (4)
Здесь ~U = (u, v, w) – адвективная составляющая
скорости частицы; ~x(t) = (x, y, z) – координаты
частицы; ось z направлена вверх, а начало ко-
ординат z = 0 расположено на невозмущенной
поверхности воды; ws – скорость гравитационно-
го осаждения частиц в воде, Kx, Ky, Kz – ненуле-
вые диагональные элементы тензора коэффициен-
тов турбулентной диффузии, в модели полагается
Kx = Ky = K; dξx, dξy, dξz – нормально распреде-
ленные случайные величины с отклонением, рав-
ным dt.
Смещение каждой частицы рассчитывалось с
помощью схемы Эйлера с дискретным временным
шагом ∆t = tn+1 − tn следующим образом:
∆xi = udt +
(
∂K
∂x
)
∆t + Px
√
6K∆t, (5)
∆yi = v∆t +
(
∂K
∂y
)
∆t + Py
√
6K∆t, (6)
∆zi = w∆t − ws∆t +
(
∂Kz
∂z
)
∆t + Pz
√
6Kz∆t, (7)
где Px, Py, Pz – случайные величины, равномер-
но распределенные на интервале [−1; 1]. Трехмер-
ные поля скорости и коэффициентов турбулен-
тной диффузии рассчитываются с помощью ги-
дродинамической модели. Эти значения линейно
интерполируются в пространстве и времени для
каждой частицы.
1.3. Параметризация потока наносов между во-
дным слоем и активным донным слоем в режи-
ме несвязных наносов
Гидродинамика взаимодействия частицы взвеси
на дне с потоком достаточно сложна и потоки взве-
си между водным слоем и АС в модели параме-
тризуются на основании известных полуэмпириче-
ских соотношений. Турбулентный поток взвешен-
ных несвязных наносов i-го класса Es на уровне
z = −H + a описывается следующим образом:
Kz
∂Cs,i
∂z
= −Es = −ws,iCa,i, (8)
где Cs,i – концентрация для i-го класса песка;
Ca,i – равновесная концентрация для этого класса
песка на некотором отсчетном уровне a над дном,
в качестве которого примем толщину АС hA. Для
равновесной концентрации был построен ряд по-
луэмпирических соотношений. Одними из наибо-
лее распространенных являются соотношения [14]:
Cs
a,i = ρs
0.015DiT
1.5
i
aD0.3
∗,i
, (9)
D∗,i = Di
[
(s − 1)g
ν2
]1/3
, (10)
Ti =
u2
∗
u2
∗cr,i(1 + pβ
m)
− 1, (11)
где ρs – плотность зерен песка; ν – кинематическая
вязкость воды; s = ρs/ρw, ρw – плотность воды; Di
– размер частиц песка i-го класса; u∗ – динамиче-
ская скорость; u∗i,cr – критическая динамическая
скорость для начала взмучивания, рассчитывае-
мая с использованием критерия Шилдса,
u∗cr,i =
√
(s − 1)gDiΘcr,i, (12)
где Θcr,i – параметр мобильности, который аппро-
ксимируется в [14] в виде
Θcr,i =
0.24D−1
∗,i , D∗,i ≤ 4,
0.14D−0.64
∗,i , 4 < D∗,i ≤ 10,
0.04D−0.1
∗,i , 10 < D∗, ≤ 20,
0.013D0.29
∗,i , 20 < D∗,i ≤ 150,
0.055, D∗,i > 150.
(13)
Cледуя [11], в выражении (11) для параметра Ti
учтено влияние содержания ила, приводящее к то-
му, что с увеличением доли ила в АДС значения
динамической скорости, при которых отсчетная
концентрация равна нулю, возрастают с увеличе-
нием доли ила в АДС. Параметр β = 0.75 ÷ 1.25
[11].
И. А. Бровченко, В. С. Мадерич 5
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 2. С. 3 – 12
Скорость падения частиц песка в воде ws,i рас-
считывается согласно [14]:
ws,i
gD2
i /ν
=
D
3/2
∗,i
18
, при Di ≤ 0.1,
10
D
3/2
∗,i
(√
1 + 0.01D3
∗,i − 1
)
,
при 0.1 < Di ≤ 1
1.1, при Di > 1,
(14)
где размеры частиц песка даны в миллиметрах.
Рассмотрим задание граничных условий для i-
го класса песка в лагранжевом методе на уровне
hA над поверхностью дна z = −H . В дальнейшем
для простоты индекс i в выводе опустим. Поток
песка каждого класса за счет взмучивания моде-
лируется путем порождения новых частиц данно-
го класса на уровне hA. Количество новых частиц,
возникающих за один временной шаг, будет:
N =
wsCa∆t
mp
(15)
где mp – масса одной частицы. Поток частиц в дно
за счет осаждения Ds должен быть равен
Ds = wsC
A
s (16)
где CA
s – концентрация песка данного класса на
уровне hA. Каждая частица, находящаяся на уров-
не z > hA, может пересечь границу АС z = hA−H
за один временной шаг при движении согласно
алгоритму (5)-(7) с некоторой вероятностью p(z).
Причем в каждый момент времени можно выде-
лить придонный слой толщиной ∆zbot, для кото-
рого
{
p(z′) = 0, z′ < ∆zbot
p(z′) > 0, z′ > ∆zbot
}
, (17)
где z′ = z −hA +H . При этом толщина слоя ∆zbot
зависит от временного шага, коэффициента турбу-
лентной диффузии и скорости осаждения. Коли-
чество взвеси данного класса, которое за один вре-
менной шаг пересекло границу АС, можно выра-
зить формулой
F =
∆zbot
∫
0
p(z′)Cs(z
′)dz′. (18)
Предположим, что частица, которая пересекла
границу, с вероятностью q остается в АС, а с ве-
роятностью (1 − q) возвращается в исходное по-
ложение. Тогда согласно (16), необходимо, чтобы
выполнялось равенство
q
∆zbot
∫
0
p(z′)C(z′)dz′ = wsC
A
s ∆t. (19)
Следовательно, вероятность, с которой частица
должна оставаться в АС, будет:
q =
wsC0∆t
∆zbot
∫
0
p(z′)C(z′)dz′
. (20)
Найдем вероятность p(z′). Согласно алгоритму
(4), частица, находящаяся на уровне z′, в следу-
ющий момент времени может оказаться равнове-
роятно в интервале
z′ ∈ [lw + lk − lr ; lw + lk + lr ], (21)
где
lw = −ws∆t,
lk =
∂Kz(z′)
∂z
∆t,
lr =
√
6Kz∆t. (22)
Тогда, согласно определению геометрической ве-
роятности,
p(z′) =
lw + lk − lr − z′
2lr
. (23)
Вблизи дна коэффициент диффузии линейно ра-
стет в соответствии с соотношениями логарифми-
ческого слоя:
K(z′) ≈ κu∗hA + κu∗z
′. (24)
Разложим концентрацию Cs(z
′) в ряд вблизи дна:
Cs(z
′) = CA
s +
∂CA
s (0)
∂z′
z′ + O(z′2). (25)
Тогда, используя условие (8) и отбрасывая в (25)
члены второго порядка малости, получим выра-
жение
Cs(z
′) = CA
s − wsCa
κu∗hA
z′. (26)
Толщина слоя ∆zbot определяется из соотноше-
ния
∆zbot = (lr − lw − lk)|z=∆zbot
. (27)
Подставляя выражения (17) и (24) в (13), получим
соотношение
∆zbot = 2lk + lw +
√
l2d + 6lwlk + 3l2k. (28)
6 И. А. Бровченко, В. С. Мадерич
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 2. С. 3 – 12
С учетом зависимостей (23), (26) получим окон-
чательное выражение для вероятности осаждения
частицы:
q =
wsC0∆t
1
2
I1 − lw + lk
2
I2 −
1
2
I3
, (29)
I1 =
∆zbot
∫
0
(C0 + kz) dz = ∆zbot(C0 + k∆zbot/2),
I2 =
∆zbot
∫
0
(C0 + kz)
√
l2d + 6lkz
dz ≈
≈ ∆zbot (C0 + k∆zbot/2)
√
l2d + 3lk∆zbot
,
I3 =
∆zbot
∫
0
z (C0 + kdz)
√
l2d + 6lkz
dz ≈
≈ ∆z2
bot (C0/2 + k∆zbot/3)
√
l2d + 3lk∆zbot
.
Перенос влекомых наносов i-го класса в активном
слое моделируется по формуле [13] с поправкой
[11] на эффект наличия ила в АДС. Поток вле-
комых наносов является вектором
~Qi = |Qi|
~ub
|ub|
, (30)
|Qi| /psi =
=
0, Ti < 0,
0.053
√
(s − 1)gD1.5
i D−0.3
∗,i T 2.1
i , 0 < Ti < 3,
0.1
√
(s − 1)gD1.5
i D−0.3
∗,i T 1.5
i , Ti > 3.
Перенос влекомых наносов рассчитывается ла-
гранжевым методом для каждого конечного эле-
мента дна. Частица перемещается со скоростью:
Ubi = u∗
(
10− 7
√
Θcr
Θ
)
, (31)
Θ =
u∗
(s − 1)gDi
. (32)
Полное число частиц, движущихся в элементе дна,
рассчитывается по формуле
Nbi = SE
|Qi|
VpUbi
, (33)
где SE – площадь элемента поверхности; Vp –
объем частицы. Это количество случайно выбран-
ных частиц перемещается в заданном элементе и
на каждом шаге во времени пересчитывается ра-
спределение частиц между элементами. Толщина
активного слоя для каждой градации размеров
остается постоянной во времени. Избыток частиц
поглощается в активный донный слой или же но-
вые частицы поступают в активный слой из актив-
ного донного при дивергенции потока влекомых
наносов.
При pm < pm,cr обмен песком и илом между
дном и водой происходит независимо. Обмен илом
описывается направленным вверх эрозионным по-
током E(m) и направленным вниз потоком выпа-
дения ила D(m):
w(m)
s C(m) + Kz
∂C(m)
∂z
= −E(m) + D(m), (34)
где w
(m)
s – скорость осаждения ила; C(m) – концен-
трация ила. Скорость осаждения ила зависит от
размеров хлопьев (флоков) Dfloc , образовавшихся
в результате флоккуляции, и описывается форму-
лой [15]
w(m)
s =
ρs − ρw
18µ
D
3−nf
0
D
nf−1
floc
1 + 0.15Re0.657
floc
, (35)
где nf – фрактальная размерность; µ – динамиче-
ская вязкость, Re – число Рейнольдса флока,
Refloc =
wsDfloc
ν
. (36)
Эволюция размеров флока рассчитывается с по-
мощью лагранжевой модели [15]:
dDfloc
dt
= kAC(m)
m GD
nf−1
floc −
−kBGq+1(Dfloc − D0)
pD2q+1
floc , (37)
где kA – параметр аггрегации; kB – параметр дро-
бления флоков; C
(m)
m – масcовая концентрация
ила; G =
√
ε/ν, ε – скорость диссипации энергии
турбулентности; параметры q = 1/2 и p = 3 − nf .
В равновесном случае dDfloc/dt = 0 и для сто-
ксового режима оседания получается упрощенная
формула при nf = 2 [15]:
w(m)
s =
(ρs − ρw)gD2
0
18µ
+
kA
kB
D0
ρs − ρw
18ν
C
(m)
m√
G
. (38)
На основании лабораторных экспериментов [15]
значения kA = 14.6 м2кг−1, kB = 14000 с1/2 м2
для частиц ила с диаметром D0 = 4 · 10−6 м.
И. А. Бровченко, В. С. Мадерич 7
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 2. С. 3 – 12
При u∗ > u
(m)
∗ce происходит вовлечение ила, опи-
сываемое формулой [16]
E(m) = pmE0
(
u2
∗
− u
(m)2
ce
u
(m)2
ce
)
,
D(m) = 0.
(39)
Здесь изменение содержания ила учитывается
множителем pm; u
(m)2
ce = τ
(m)
ce /ρw, τ
(m)
ce – крити-
ческие динамическая скорость и напряжение тре-
ния для начала эрозии соответственно, а E0 =
ρmM – параметр эрозии, ρm-плотность ила. Типи-
чное значение эмпирической постоянной M равно
10−7. В режиме несвязных наносов частицы ила
легко смываются с поверхности грунта [19] и u
(m)
∗ce
должно быть много меньше, чем u
(m)
∗ce в режиме
связных наносов.
При u∗ < u
(m)
∗cd поток ила, выпадающего на дно,
описывается формулой Кроне [17]:
E(m) = 0,
D(m) =
w
(m)
s C(m)
H
(
1 − u2
∗
u
(m)2
cd
)
,
(40)
когда концентрация ила в водном столбе C(m) <
C
(m)
0 . Здесь u
(m)2
cd = τ
(m)
cd /ρw , τ
(m)
cd – критическая
динамическая скорость и критическое касательное
напряжение для выпадения ила, соответственно,
C0 = 0.3 кгм−3 – критическая объемная концен-
трация ила.
Критическое напряжение трения для вовлече-
ния и выпадения ила являются функциями плот-
ности влажного грунта ρb [20]. Значения τe и τd
изменяются в диапазоне 0.1...1.0 и 0.05...0.25Н/м2,
соответственно.
1.4. Параметризация потока наносов между во-
дным слоем и активным донным слоем в режи-
ме связных наносов
В режиме связных наносов (pm ≥ pm,cr) взмучи-
вание ила и песка при u∗ > u
(m)
∗ce описывается фор-
мулой (39) с поправкой на содержание песка и ила:
E(m) = pmE0
(
u2
∗
− u
(m)2
ce
u
(m)2
ce
)
,
E
(s)
i = ps,iE0
(
u2
∗
− u
(m)2
ce
u
(m)2
ce
)
.
(41)
Предполагается, что процессы осаждения песка и
ила происходят независимо и описываются соотно-
шениями (20)-(40). Для режима связных наносов
транспорт влекомых наносов подавлен:
~Q
(s)
i = 0. (42)
Уровень дна изменяется в зависимости от процес-
сов взмучивания/осаждения и транспорта влеко-
мых наносов:
(1 − ε)
∂ς
∂t
=
1
ρs
n
∑
i=1
(
∇ ~Q
(s)
i − E
(s)
i + D
(s)
i
)
−
− 1
ρm
(E(m) + D(m)). (43)
Изменение содержания i-той фракции песка опре-
деляется уравнением
ρs(1 − ε)
∂psiς
∂t
= ∇ ~Q
(s)
i − E
(s)
i + D
(s)
i . (44)
1.5. Взаимодействие поля течений и взвесене-
сущих потоков
Взаимодействие течений и взвесенесущих пото-
ков упрощенно описывается на уровне средних по-
лей. Во-первых, переформирование дна, описыва-
емое ((43), влияет на поля течений. Во-вторых,
в водном слое изменяется плотность смеси вода–
взвесь, меняя тем самым силы плавучести, влия-
ющие на поля течений и на турбулентные потоки.
Описанная выше модель переноса взвеси была
сопряжена с трехмерной гидростатической мо-
делью [21] и c ее негидростатическим расшире-
нием [22,23]. Особенностью этих моделей является
использование σ – координаты, связанной с верти-
кальной координатой z соотношением:
σ =
z − H
η − H
, (45)
где η – отклонение уровня от невозмущенно-
го значения z = 0; H(x, y, t) = H0(x, y) − ζ,
причем H0(x, y) – начальная глубина. Примене-
ние σ–координаты позволяет проводить расчеты
при эволюционирующем во времени за счет эро-
зии/осаждения рельефе дна. Плотность смеси ρm
рассчитывалась следующим образом:
ρm =
N
∑
i=0
Csi + ρw
(
1 −
N
∑
i=0
Csi/ρsi
)
, (46)
где ρw(T, S, P ) – плотность морской воды как
функция температуры T , солености S и давления
P ; ρsi –плотность фракций взвеси.
2. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТОВ
2.1. Развитие слоя взвешенных наносов в гори-
зонтально однородном потоке
Рассмотрим задачу о взмучивании одного класса
несвязных наносов в горизонтально однородном
8 И. А. Бровченко, В. С. Мадерич
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 2. С. 3 – 12
Рис. 2. Сравнение профилей взвешенных наносов, рассчитанных лагранжевой и эйлеровой моделями, в
различные моменты времени
Рис. 3. Схема эксперимента [9]. Цифры в кружках соответствуют положению сечений, в которых
проводились измерения скорости течения и концентрации взвеси
канале. Соответствующая постановка эйлеровой
задачи имеет вид
∂C
∂t
+ ws
∂C
∂z
=
∂
∂z
Kz
∂C
∂z
, (47)
z = a − H : Kz
∂C
∂z
= wsCa; (48)
z = 0 : Kz
∂C
∂z
= wsC; (49)
t = 0 : C = 0. (50)
Профиль коэффициента вертикальной диффузии
задан в виде
K(z) = κu∗z
(
1 − z
H
)
.
Уравнение (47) имеет аналитическое стационарное
решение (профиль Рауза):
C(z) = Ca
(
h − z
z
a
h − a
)
ws
κu∗
. (51)
Нестационарное аналитическое решение уравне-
ния (47) с несколько иными граничными услови-
ями (C = Ca при z = a − H) было найдено в
работе [24]. Здесь мы получили решение эйлеро-
вой задачи (47)–(50) численно с использованием
конечно-разностного метода, неявной схемы и ме-
тода прогонки. Параметры расчетов: H = 0.4 м,
u∗ = 0.05 м/с, Ca = 1 кг/м, ws = 0.01 м/с, κ = 0.4,
mp = 3 · 10−8 кг. В лагранжевых расчетах исполь-
зовалось до 1000 000 частиц. Как следует из рис. 2,
лагранжева модель хорошо согласуется с числен-
ной эйлеровой моделью и достаточно точно вос-
производит аналитическое решение (51).
2.2. Лабораторный эксперимент
Были проведены расчеты для условий лабора-
торного эксперимента [9], в котором моделирова-
лась заносимость судоходного канала. Экспери-
мент проводился в лотке длиной 30 м, шириной 0.5
м и глубиной 0.7 м. Профиль дна рабочего участка
и положение профилей измерений приведены на
рис. 3. Слой наносов на дне состоял из фракции
мелкого песка диаметром 0.13 мм со скоростью
осаждения 0.013 м/с. Скорость потока на входе в
лоток была 0.5 м/с, а глубина слоя воды – 0.4 м.
Взвешенный песок той же фракции поступал на
входе, формируя равновесный профиль. В экспе-
рименте эффективная шероховатость ks = 0.025
м. Течения моделировались с помощью трехмер-
ной гидростатической модели РОМ [21]. В расче-
тах горизонтальное разрешение составляло 5 см.
По вертикали использовался 21 сигма-уровень со
сгущением у дна. Полное число лагранжевых ча-
стиц во взвешенных и влекомых наносах было око-
ло 30000. Временной шаг гидродинамической мо-
дели составлял 0.0025 с, тогда как шаг лагранже-
И. А. Бровченко, В. С. Мадерич 9
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 2. С. 3 – 12
Рис. 4. Сравнение рассчитанных и измеренных [9] профилей концентрации взвеси
Рис. 5. Вертикальный разрез солености в гравитационном течении на склоне при t = 2.5 сут.,
возникшем в результате термохалинной шельфовой конвекции (а) и термохалинной конвекции
со взмучиванием донных наносов на склоне
вой модели был в пять раз меньше. На рис. 4 при-
ведены измеренные и рассчитанные профили кон-
центрации взвешенных наносов в среднем сечении
лотка в точках, показанных на рис. 3. Мгновенная
концентрация на профиле была осреднена по ин-
тервалу 100 с. Как следует из рис. 4, результаты
10 И. А. Бровченко, В. С. Мадерич
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 2. С. 3 – 12
Рис. 6. Вертикальный разрез концентрации взвеси
в гравитационном течении на склоне при t = 2.5 сут.,
возникшем в результате термохалинной конвекции
со взмучиванием донных наносов на склоне
измерений и расчетов неплохо согласуются.
2.3. Моделирование гравитационных взвесе-
несущих течений, вызванных конвекцией на
шельфе
Модель была применена к исследованию возни-
кновения гравитационных взвесенесущих течений
на склонах в результате шельфовой конвекции
в океане [25]. Шельфовая конвекция представля-
ет собой распространенное явление в полярных
областях океана, когда в результате зимней кон-
векции, проникающей до дна относительно мел-
кого шельфа, плотность воды над шельфом ока-
зывается больше, чем в открытом океане, где кон-
векция охватывает более глубокие слои. Возника-
ющий градиент плотности приводит к гравитаци-
онному течению более плотной воды в глубинные
слои океана течений. Этот поток может мобили-
зовать тонкодисперсные наносы на склоне, что, в
свою очередь, может усилить плотностные грави-
тационные течения за счет взвеси. Эта проблема
рассматривалась в ряде работ, начиная с [3]. В
данной работе мы рассмотрим относительно про-
стую двумерную задачу о возбуждении взвесене-
сущих потоков плотностным гравитационным те-
чением на склоне между узким шельфом глуби-
ной 50 м и морем глубиной 200 м. Параметры
задачи соответствуют идеализированному описа-
нию конвекции на шельфе Новой Земли в Барен-
цевом море [25]. Использовалась сопряженная сис-
тема уравнений лагранжевой модели и гидроста-
тической модели POM [21]. Эффекты вращения
Земли не учитывались. Начальная температура и
соленость воды на шельфе T = −2oC и S = 34.8
соответственно. Температура и соленость воды в
открытом море T = 0oC и S = 34.3 соответствен-
но. Предполагается, что шельф и склон покрыты
илом с диаметром частиц 6 · 10−6 м и скоростью
Рис. 7. Положение фронта гравитационного течения
со временем. Термохалинная конвекция (1) и
термохалинная конвекция со взмучиванием донных
наносов на склоне (2)
оседания 1.9 · 10−6м/с. Критические напряжения
взмучивания и оседания равны 0.095 Н/м2.
Результаты расчетов представлены на рис. 5–7.
На рис. 5 приведены вертикальные разрезы соле-
ности в гравитационном течении на склоне через
2.5 суток после начала, которое возникло в резуль-
тате только термохалинной шельфовой конвекции
и термохалинной конвекции со взмучиванием дон-
ных наносов на склоне. Соответствующий верти-
кальный разрез концентрации взвеси представлен
на рис. 5, из которого видно, что взмучивание при-
водит к увеличению сил плавучести и ускорению
движения головы течения (см. также рис. 7). В
то же время, увеличение скорости гравитационно-
го течения сопровождается дополнительным вов-
лечением окружающих вод в гравитационное те-
чение. Поэтому по достижении подошвы склона
плотность воды в потоке будет меньше, чем в слу-
чае только термохалинного плотностного гравита-
ционного течения.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В статье приведена новая трехмерная лагранже-
ва модель, которая описывает перенос смеси свя-
зных и несвязных многофракционных наносов.
Тип донного материала и его гранулометрический
состав могут быть переменны в области модели-
рования. Метод RDM применяется для модели-
рования переноса взвешенных наносов. Модель
воспроизводит основные процессы переноса взве-
шенных и влекомых наносов и переформирова-
ния дна, включая эффекты самоотмостки. Приве-
ден вывод вероятности осаждения несвязных на-
И. А. Бровченко, В. С. Мадерич 11
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 2. С. 3 – 12
носов в зависимости от характеристик турбулен-
тности и скорости осаждения частиц наносов. Ре-
зультаты расчетов неплохо согласуются с анали-
тическим и численным решениями для эйлеровой
модели и с данными лабораторного эксперимен-
та. Модель была применена к исследованию во-
зникновения гравитационных взвесенесущих тече-
ний на склонах в результате шельфовой конвекции
в океане. Эта модель может быть особенно поле-
зна для расчетов локального переформирования
дна вокруг препятствий, моделирования дноуглу-
бительных работ или размыва дна под воздействи-
ем струй от судовых движителей или волн при
прохождении судов.
Настоящая работа выполнена при частичной
поддержке US CRDF (проект UKG2-582-KV-05) и
INTAS (проект 03-50-4620). The work of V. Maderi-
ch was supported by Hankuk University of Foreign
Studies Research Fund of 2007.
1. Huppert H.E. Gravity currents: a personal perspecti-
ve // J. Fluid Mech.– 2006.– 554.– P. 299–322.
2. Chao S.-Y. Hyperpycnal and buoyant plumes from
a sediment-laden rivers // J. Geoph. Res.– 1998.–
103.– P. 3067–3081.
3. Fohrmann, H., Backhaus, J. O., Blaume, F., Rumohr,
J. Sediments in bottom arrested gravity plumes-
numerical case studies // J. Phys. Oceanogr.– 1998.–
28.– P. 2250–2274.
4. Gessler D., Hall, B., Spasojevic M., Holly F.,
Pourtaheri H., Raphelt N. Application of 3D mobile
bed, hydrodynamic model // J. Hyd. Engr.– 1999.–
125.– P. 737–749.
5. Lesser G.R., Roelvink J.A., van Kester J.A.T.M.,
Stelling G. Development and validation of a three-
dimensional morphological model // Coastal Eng.–
2004.– 51.– P. 883–915.
6. Lane A. Development of a Lagrangian sediment
model to reproduce the bathymetric evolution of the
Mersey Estuary // Ocean Dynamics.– 2005.– 55.–
P. 541–548.
7. Krestenitis Y. N. , Kombiadou K. D. , SavvidisY.
G. Modelling the cohesive sediment transport in the
marine environment: the case of Thermaikos Gulf. //
Ocean Sci.– 2007.– 3.– P. 91–104.
8. Бровченко И. А., Мадерич В.С. Двумерная ла-
гранжева модель переноса многофракционных на-
носов // Прикладная гидромеханика.– 2006.– 8.–
С. 205-230.
9. Van Rijn, L. C. Mathematical modeling of sediment
in non-uniform flows // J. Hydr. Eng. ASCE.– 1986.–
No 6.– P. 433–455.
10. Van Ledden M. A process based sand-mud model., Fi-
ne sediment dynamics in the marine environment //
Fine sediment dynamics in the marine environment.
J.C. Winterwerp and C. Kranenburg eds.– Elsevier,
2002.– P. 577–594.
11. Van Ledden M Sand-mud segregation in estuaries
and tidal basins.– PhD Thesis: Delft University of
Technology, Delft,Netherlands, 2003.– 221 p.
12. Wilson J. D., Sawford B. L. Review of Lagrangian
stochastic models for trajectories in the turbulent
atmosphere // Bound.-Layer Meteor.– 1996.– 78.–
P. 191–210.
13. Van Rijn L. C. Sediment transport, Part I: Bed load
transport // J. Hyd. Engr.– 1984.– 110.– P. 1431–
1455.
14. Van Rijn L. C. Sediment transport, Part II:
Suspended load transport // J. Hyd. Engr.– 1984.–
110.– P. 1613–1641.
15. Winterwerp J.C. 1999. On the dynamics of high-
concentrated mud suspensions..– PhD Thesis: Delft
University of Technology, Delft,Netherlands, 1999.–
204 p.
16. Partheniades E. Erosion and deposition of cohesive
soil // J. Hydr. Div.ASCE.– 1965.– 91.– P. 105–139.
17. Krone R. B. Flume Studies of the Transport of
Sediment in Estuarial Processes.– Final Report:
Hydraulic Engineering Laboratory and Sanitary
Engineering Research Laboratory, University of Cali-
fornia, Berkeley, 1962.– 120 p.
18. Ariathurai R., Krone R. B. Finite element model for
cohesive sediment transport // J. Hydr. Div.ASCE.–
1976.– 104.– P. 323-328.
19. Torfs H., Mitchener H., Huysentruit H., Toorman E.
Settling and consolidation of mud/sand mixtures //
Coastal Eng.– 1996.– 29.– P. 27–45.
20. Hwang, K.-N, Mehta A. J. Fine sediment erodibili-
ty in Lake Okeechobee.– Report UFL/COEL-89/019:
Coastal and Oceanographic Enginnering Dept., Uni-
versity of Florida, Gainsville, 1989.– 120 p.
21. Mellor G.L. User’s guide for a three-dimensional, pri-
mitive equation, numerical ocean model. Program in
Atmospheric and Oceanic Sciences.– Princeton NJ:
Princeton University, 2003.– 53 p.
22. Kanarska Y., Maderich V. A non-hydrostatic
numerical model for calculating free-surface stratified
flows // Ocean Dynamics.– 2003.– 53.– P. 176-185.
23. Brovchenko I., Kanarska Y., Maderich V., Terletska
K. 3D non-hydrostatic modelling of bottom stability
under impact of the turbulent ship propeller jet //
Acta Geophysica.– 2007.– 55.– P. 47-55.
24. Hjelmfelt, A.T., Lenau, C.W. Nonequilibrium
transport of suspended sediment // ASCE Journal
of Hydraulic Division.– 1970.– No 7.– P. 1567–1586.
25. Ivanov, V.V., Shapiro, G.I., Huthnance, J.M.,
Aleynik, D.L., Golovin, P.N. Dense water
cascades around the world ocean // Progress in
Oceanography.– 2004.– 60.– P. 47-98.
12 И. А. Бровченко, В. С. Мадерич
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4636 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-9087 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T23:28:57Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бровченко, И.А. Мадерич, В.С. 2009-12-10T15:29:34Z 2009-12-10T15:29:34Z 2008 Трехмерная лагранжева модель переноса многофракционных наносов и ее применение к описанию гравитационных течений / И.А. Бровченко, В.С. Мадерич // Прикладна гідромеханіка. — 2008. — Т. 10, № 2. — С. 3-12. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4636 532.465 Предложена новая трехмерная лагранжева модель переноса связных и несвязных многофракционных наносов, когда тип донного материала и гранулометрический состав переменны в области моделирования. Модель сопряжена с трехмерными моделями гидродинамики, в которых используется сигма-система координат, позволяющая естественным образом описывать перенос в пограничном слое и переформирование дна. Результаты расчетов сопоставлены с аналитическим и численным решениями эйлеровых задач и лабораторным экспериментом. Модель применена к задаче зимней конвекции на арктическом шельфе, которая вызывает трогание наносов на склонах и усиление плотностных гравитационных течений за счет взвеси. Запропонована нова тривимiрна лагранжева модель переносу зв'язних та незв'язних багатофракцiйних намулiв у випадку, коли тип донного матерiалу та його гранулометричний склад змiннi в областi моделювання. Модель спряжена з тривимiрними моделями гiдродинамiки, в яких використовується сiгма-система координат, що дозволяє природнiм чином описувати перенос у пограничному шарi та переформування дна. Результати розрахункiв спiвставленi з аналiтичним та чисельним розв'язками ейлерових задач та лабораторним експериментом. Модель застосована до задачi зимової конвекцiї на арктичному шельфi, що викликає рушання намулiв на схилах та пiдсилення густинних гравiтацiйних течiй за рахунок намулiв. A new three-dimensional Lagrangian sediment transport model for cohesive and non-cohesive sediment for the case when bottom material type and it's grain-size composition are variable in the modeling area is proposed. The model is coupled with three-dimensional hydrodynamic models which use sigma-coordinate system that allow to describe naturally transport in boundary layer and bottom morphology. Calculation results were validated on the numerical and analytical solutions of Euler problems and laboratory experiment. Model was applied for the case study of winter convection on the Arctic shelf which causes triggering of sediment down slope movement and enhancement of the gravity current at the cost of sediment. ru Інститут гідромеханіки НАН України Трехмерная лагранжева модель переноса многофракционных наносов и ее применение к описанию гравитационных течений Three-dimensional Lagrangian model of multifractional sediments transport and its application to the simulation of gravitational currents Article published earlier |
| spellingShingle | Трехмерная лагранжева модель переноса многофракционных наносов и ее применение к описанию гравитационных течений Бровченко, И.А. Мадерич, В.С. |
| title | Трехмерная лагранжева модель переноса многофракционных наносов и ее применение к описанию гравитационных течений |
| title_alt | Three-dimensional Lagrangian model of multifractional sediments transport and its application to the simulation of gravitational currents |
| title_full | Трехмерная лагранжева модель переноса многофракционных наносов и ее применение к описанию гравитационных течений |
| title_fullStr | Трехмерная лагранжева модель переноса многофракционных наносов и ее применение к описанию гравитационных течений |
| title_full_unstemmed | Трехмерная лагранжева модель переноса многофракционных наносов и ее применение к описанию гравитационных течений |
| title_short | Трехмерная лагранжева модель переноса многофракционных наносов и ее применение к описанию гравитационных течений |
| title_sort | трехмерная лагранжева модель переноса многофракционных наносов и ее применение к описанию гравитационных течений |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4636 |
| work_keys_str_mv | AT brovčenkoia trehmernaâlagranževamodelʹperenosamnogofrakcionnyhnanosovieeprimeneniekopisaniûgravitacionnyhtečenii AT maderičvs trehmernaâlagranževamodelʹperenosamnogofrakcionnyhnanosovieeprimeneniekopisaniûgravitacionnyhtečenii AT brovčenkoia threedimensionallagrangianmodelofmultifractionalsedimentstransportanditsapplicationtothesimulationofgravitationalcurrents AT maderičvs threedimensionallagrangianmodelofmultifractionalsedimentstransportanditsapplicationtothesimulationofgravitationalcurrents |