Розв’язання крайових задач з використанням програмних засобів чебишовських наближень
Пропонуються два методи знаходження розв'язків крайових задач з використанням чебишовських наближень. Наводяться приклади розв’язання задач. Предлагаются два метода нахождения решений краевых задач с использованием чебышевских приближений. Приводятся примеры решения задач. Two methods using Che...
Saved in:
| Published in: | Комп’ютерні засоби, мережі та системи |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46389 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Розв’язання крайових задач з використанням програмних засобів чебишовських наближень / Л.П. Вакал // Комп’ютерні засоби, мережі та системи. — 2010. — № 9. — С. 47-53. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860122438117883904 |
|---|---|
| author | Вакал, Л.П. |
| author_facet | Вакал, Л.П. |
| citation_txt | Розв’язання крайових задач з використанням програмних засобів чебишовських наближень / Л.П. Вакал // Комп’ютерні засоби, мережі та системи. — 2010. — № 9. — С. 47-53. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Комп’ютерні засоби, мережі та системи |
| description | Пропонуються два методи знаходження розв'язків крайових задач з використанням чебишовських наближень. Наводяться приклади розв’язання задач.
Предлагаются два метода нахождения решений краевых задач с использованием чебышевских приближений. Приводятся примеры решения задач.
Two methods using Chebyshev approximations for finding boundary problems solutions are considered. Examples of proposed methods application are given.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:40:11Z |
| format | Article |
| fulltext |
Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2010, № 9 47
L. Vakal
SOLVING OF BOUNDARY
PROBLEMS USING SOFTWARE
FOR CHEBYSHEV
APPROXIMATIONS
Two methods using Chebyshev ap-
proximations for finding boundary
problems solutions are considered.
Examples of proposed methods ap-
plication are given.
Key words: Chebyshev approxima-
tions, boundary problems, ordinary
and partial differential equations.
Предлагаются два метода нахо-
ждения решений краевых задач с
использованием чебышевских при-
ближений. Приводятся примеры
решения задач.
Ключевые слова: чебышёвские
приближения, краевые задачи,
дифференциальные уравнения
обыкновенные и в частных произ-
водных.
Пропонуються два методи знахо-
дження розв'язків крайових задач
з використанням чебишовських
наближень. Наводяться приклади
розв’язання задач.
Ключові слова: чебишовські на-
ближення, крайові задачі, дифе-
ренціальні рівняння звичайні та з
частинними похідними.
Л.П. Вакал, 2010
УДК 519.6:004.42
Л.П. ВАКАЛ
РОЗВ’ЯЗАННЯ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ
З ВИКОРИСТАННЯМ ПРОГРАМНИХ
ЗАСОБІВ ЧЕБИШОВСЬКИХ
НАБЛИЖЕНЬ
Вступ. За можливостями застосування в
різних прикладних задачах найкращі че-
бишовські (рівномірні) наближення, на
думку багатьох спеціалістів [1, 2], значно
переважають інші, більш грубі, способи
наближень − інтерполяційний і квадрати-
чний. Проте широке використання чеби-
шовських наближень на практиці довгий
час гальмувалося через труднощі обчис-
лювального характеру. Останнім часом
завдяки появі ефективних програмних за-
собів рівномірні наближення стали актив-
но використовуватися при розв’язанні
прикладних задач у різних областях науки
і техніки, наприклад, при розрахунку еле-
ктричних фільтрів, при апроксимації тем-
пературної характеристики термодіодного
сенсора, при математичній обробці дослі-
дних даних, при стисненні чисельної ін-
формації [1, 3, 4].
Такими ж важливими за своїм практич-
ним значенням є різні можливі застосу-
вання чебишовських наближень для роз-
в’язання крайових задач для диференціа-
льних рівнянь як звичайних, так і з час-
тинними похідними, до яких приходять
при моделюванні різних фізичних проце-
сів. Проте в науковій літературі це питан-
ня висвітлено недостатньо. В роботах
[1, 2, 5] розглянуто лише декілька прикла-
дів розв’язання крайових задач з викорис-
танням чебишовських наближень. Дана
робота в деякій мірі має заповнити прога-
лини у цьому питанні.
Л.П. ВАКАЛ
Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2010, № 9 48
У статті розглядаються два методи наближеного розв’язання крайових за-
дач: метод чебишовських наближень і метод чебишовських наближень на межі.
Перший метод описується у застосуванні до крайової задачі для звичайного ди-
ференціального рівняння, другий − до крайової задачі для диференціального
рівняння з частинними похідними.
Крайові задачі для звичайних диференціальних рівнянь. Серед крайових
задач для звичайних диференціальних рівнянь суттєва частка припадає на задачі
для рівнянь і систем другого порядку. Такі задачі виникають у балістиці, теорії
пружності та ін. Лінійна крайова задача для диференціального рівняння другого
порядку полягає у знаходженні розв’язку рівняння
( ) ( ) ( )xfuxquxpuLu /// =++≡ , (1)
який задовольняє дві крайові умови
( ) ( ) 1111 γ=β+α= auauul / , ( ) ( ) 2222 γ=β+α= bubuul / , (2)
де p, q, f – неперервні на [ ]b,a функції; iii ,, γβα – задані числа і 022 >β+α ii ,
i = 1, 2.
Знайти точний розв’язок крайової задачі (припускається, що розв’язок існує
і він єдиний) вдається лише в окремих випадках. Тому були розроблені методи
наближеного розв’язання задачі (1), (2). Серед них виділяють групу чисельних
методів (метод скінченних різниць), які дозволяють отримати таблицю значень
шуканої функції, та групу аналітичних методів (Гальоркіна, колокації, най-
менших квадратів), в яких розв'язок крайової задачі знаходять у вигляді аналіти-
чного виразу.
Загальна ідея аналітичних методів є такою. Наближений розв’язок y(x) рів-
няння (1) шукають у вигляді
( ) ( ) ( )∑
=
ϕ+ϕ=
n
k
kkn xcxc,,c;xy
1
01 , (3)
де kϕ − лінійно незалежні, двічі неперервно диференційовні на [ ]b,a функції,
що задовольняють однорідні крайові умови ( 01 =ϕkl , 02 =ϕkl ), а функція 0ϕ
задовольняє крайові умови (2). В якості функцій kϕ , які називаються базисни-
ми, часто вибирають поліноми, тригонометричні функції та ін. Далі вводять ди-
ференціальну нев’язку µ :
( ) ( ) =−=µ xfLyc,,c;x n1 ( ) ( ) ( )xfxLxLc
n
k
kk −ϕ+ϕ∑
=
0
1
(4)
і параметри nc,,c 1 наближеного розв’язку (3) визначають так, щоб зробити
нев’язку (4) якомога меншою. Наприклад, у методі Гальоркіна ці параметри зна-
ходять з умови ортогональності нев’язки (4) кожній базисній функції kϕ :
( ) ( ) 01 =ϕµ∫ dxxc,,c;x k
b
a
n , n,k 1= ,
РОЗВ'ЯЗАННЯ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ З ВИКОРИСТАННЯМ ПРОГРАМНИХ ЗАСОБІВ…
Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2010, № 9 49
у методі колокації − з умови рівності нев’язки (4) нулю в заданих точках
( )b,axk ∈ , n,k 1= , у методі найменших квадратів − з умови мінімуму інтегралу
І (в інтегральному варіанті методу)
( )dxc,,c;xI
b
a
n∫ µ= 1
2
або мінімуму скінченної суми S (в дискретному або точковому варіанті)
( )∑
=
µ=
m
i
ni c,,c;xS
1
1
2 , ( ) nm,b,axi >>∈ .
У підсумку визначення параметрів kc у цих методах зводиться до
розв’язання системи лінійних рівнянь. Але обчислення матриці коефіцієнтів і
координат вектора правих частин вимагає у ряді методів інтегрування по всьому
відрізку. Явне обчислення інтегралів можливе тільки в тих випадках, коли фун-
кції p, q і f в рівнянні (1) мають дуже простий вигляд. Звичайно інтеграли дово-
диться обчислювати наближено (методами чисельного інтегрування), іноді мо-
жна скористатися комп’ютерними системами символьних обчислень.
Враховуючи сказане, для розв’язання крайової задачі (1), (2) пропонується
аналітичний метод, який не потребує складних попередніх обчислень і передба-
чає використання ефективних програмних засобів. Це метод чебишовських на-
ближень, в якому параметри kc розв’язку (3) визначаються з умови мінімуму
максимальної за модулем диференціальної нев’язки в точках ( )b,axi ∈ , m,i 1= :
( )ni
mi
ccx ,,;max 1
1
µ
≤≤ ncc ,,1
min
= , nm >> , (5)
тобто для знаходження невідомих параметрів застосовується чебишовський або
мінімаксний критерій [1]. Якщо записати диференціальну нев’язку (4) у вигляді
( ) =µ nc,,c;x 1 ( )nc,,c;x 1Ψ ( )xf~− , (6)
де Ψ − узагальнений поліном за деякою системою функцій kψ :
( ) ( ) ( )∑∑
==
ϕ=ψ≡Ψ
n
k
kk
n
k
kkn xLcxcc,,c;x
11
1 , (7)
а f~ − функція вигляду
( ) =xf~ ( ) ( )xLxf 0ϕ− ,
то легко бачити, що задача знаходження параметрів kc за мінімаксним критері-
єм (5) еквівалентна задачі найкращого чебишовського дискретного наближення
функції ( )xf~ на множині точок ( )b,axi ∈ , m,i 1= , узагальненим поліномом ви-
гляду (7), а саме:
( ) ( ) ( ) ( )ini
micc
ini
mi
xfccxxfccx
n
~,,;maxmin~,,;max 1
1,,
1
*
1 1
−Ψ=−Ψ
≤≤≤≤
. (8)
Л.П. ВАКАЛ
Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2010, № 9 50
Коефіцієнти полінома *Ψ і будуть шуканими значеннями параметрів розв’язку
(3) задачі (1), (2).
Далі наводиться приклад знаходження наближеного розв’язку лінійної кра-
йової задачі із застосуванням програмних засобів найкращого чебишовського
наближення функцій узагальненими поліномами [6].
Приклад 1. Знайти розв’язок крайової задачі
( ) ( ) ( ) .uu,uxu // 01111 2 ==−−=++ (9)
Розв’язання. З вигляду рівняння та крайових умов можна зробити висновок
щодо парності розв’язку задачі (9). Тому наближений розв’язок шукаємо у ви-
гляді
( ) ( ) ( )22
2
2
121 11 xxсxсc,c;xy −+−= . (10)
Диференціальна нев’язка у цьому випадку запишеться так:
( ) ( ) ( ) 11121 62
2
4
121 +−−+−−=µ xxcxcc,c;x . (11)
Згідно з методом чебишовських наближень параметри 1с і 2с розв’язку (10)
визначаємо як коефіцієнти узагальненого поліному
( ) ( ) ( ) ( ) ( )62
2
4
1221121 1121 xxсxсxсxсc,с;x −−+−−=ψ+ψ=Ψ ,
що здійснює найкраще чебишовське наближення функції ( ) 1−=xf~ на множині
точок проміжку ( )11− , .
Розрахунки виконувалися на комп’ютері за програмою [6], для роботи з
якою необхідно задати тільки сітку { } ( )11−⊂1== ,m,i,xE im та систему функцій
( ) ( ) ( )x,,x,x nψψψ 21 . Для сітки { }201 1 ( 1) 0,01; 1,201iE x i i= = − + − ⋅ = було
отримано такі значення коефіцієнтів:
9460=1 ,с ; 2 0,079с = − .
Для порівняння в табл. 1 наводяться параметри розв’язків крайової задачі
(9), знайдені за іншими аналітичними методами [7]. Максимальне за модулем
значення нев’язки (11) для цих методів є у 2−7 разів більшим, ніж для методу
чебишовських наближень.
ТАБЛИЦЯ 1. Параметри наближених розв’язків задачі (9)
Метод Коефіцієнти Максимум
нев’язки
1с 2с
Чебишовських наближень 0.946 − 0.079 0.104
Найменших квадратів (інтегральний) 0.985 − 0.078 0.190
Найменших квадратів (точковий) 0.932 − 0.047 0.389
Гальоркіна 0.988 − 0.054 0.436
Колокації 0.957 − 0.022 0.694
РОЗВ'ЯЗАННЯ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ З ВИКОРИСТАННЯМ ПРОГРАМНИХ ЗАСОБІВ…
Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2010, № 9 51
Крайові задачі для диференціальних рівнянь з частинними похідними.
Для розв’язання крайових задач для рівнянь з частинними похідними можна ви-
користовувати метод чебишовських наближень подібно до того, як він застосо-
вувався для звичайних диференціальних рівнянь. Але в багатьох випадках доці-
льніше для знаходження наближеного розв'язку використовувати метод чеби-
шовських наближень на межі. Опишемо цей метод на прикладі розв’язання кра-
йової задач для диференціального рівняння з частинними похідними еліптично-
го типу. До таких задач приходять при вивченні стаціонарних процесів різної
фізичної природи. Це, наприклад, стаціонарні електричні та магнітні поля, поте-
нціальний рух нестисливої рідини, стаціонарні теплові поля тощо.
У випадку двох незалежних змінних x і y крайова задача для рівняння з час-
тинними похідними еліптичного типу формулюється так: знайти функцію
( )y,xuu = класу ( ) ( )DCDC 12 ∩ , яка в області D задовольняє рівняння
( ) ( ) ( ) ( )y,xfuy,xr
y
uy,xq
x
uy,xpuLu =+
∂
∂
+
∂
∂
+∆≡ , (12)
а на її межі Г − крайову умову
( )y,xw
n
uuSu =
∂
∂
β+α≡ , (13)
де u∆ – оператор Лапласа, p, q, r, f, w – неперервні функції, n – зовнішня нор-
маль до Г,α і β– задані числа, причому 022 >β+α .
Метод чебишовських наближень на межі розв’язання крайової задачі (12),
(13) полягає у наступному. Задається функція ( )nc,,c;y,x 1Φ=Φ , що лінійно
залежить від параметрів ncc ,,1 , а саме:
( )nc,,c;y,x 1Φ ( ) ( )∑
=
ϕ+ϕ=
n
k
kk y,xcy,x
1
0 , (14)
яка для будь-яких значень nc,,c 1 точно задовольняє диференціальне рівняння
(12). Невідомі параметри kc визначають з умови мінімуму величини максима-
льного за модулем відхилення функції ΦS на множині точок ( ) Γ∈ii y,x , m,i 1= ,
від функції крайових умов w, тобто:
( ) ( )
nc,,ciiniimi
y,xwc,,c;y,xS
1
=−Φ 1≤≤1
minmax . (15)
Позначимо Ψ функцію
( ) =Ψ nc,,c;y,x 1 ( ) ≡Φ y,xS ( ) ( )∑
=
ψ+ψ
n
k
kk y,xScy,xS
1
0 ,
яку можна розглядати також як узагальнений поліномом
( ) =Ψ nc,,c;y,x 1 ( ) ( )∑
=
ψ+ψ
n
k
kk y,xcy,x
1
0 , (16)
Л.П. ВАКАЛ
Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2010, № 9 52
за системою функцій 00 ϕ=ψ S , kk Sϕ=ψ , n,k 1= .
Таким чином, задача знаходження параметрів kc за мінімаксним критерієм
(15) зводиться до задачі найкращого чебишовського дискретного наближення
функції w на множині точок ( ) Γ∈ii y,x узагальненим поліномом (16)
( ) ( ) ( ) ( ) δ≡−Ψ=−Ψ 1≤≤11≤≤1 1
iiniimic,,ciinii
*
mi
y,xwc,,c;y,xy,xwc,,c;y,x
n
maxminmax .
Коефіцієнти полінома найкращого наближення *Ψ будуть шуканими зна-
ченнями параметрів розв’язку (14) задачі (12), (13).
Далі наводиться приклад застосування методу чебишовського наближення
на межі для розв’язання крайової задачі про скрут балки.
Приклад 2. Знайти розв’язок задачі про скрут балки з поперечним перерізом
D (див. рисунок):
( ) 1
2
2
2
2
−=
∂
∂
+
∂
∂
≡∆
y
u
x
uy,xu в області D, ( ) 0=y,xu на межі Г. (17)
Межа Г складається з двох відрізків прямих 1±=y для 1≤x та двох дуг
півкіл одиничного радіуса з центрами у точках 1±=x , 0=y для 1≥x [5].
РИСУНОК. Поперечний переріз балки
Розв’язання. Наближений розв’язок шукаємо у вигляді
( ) ( ) ( )∑
=
ϕ+ϕ=Φ
n
k
kkn y,xcy,xc,,c;y,x
1
01 , (18)
( ) ( ) ( ) .n,k,iyxRey,x,yxy,x k
k 1
4
22
22
0 =+=ϕ
+
−=ϕ −
Відповідно до методу чебишовських наближень на межі параметри ck визна-
чаємо так, щоб максимальне за модулем відхилення функції (18) від нульових
граничних значень на множині точок ( ) Γ∈ii y,x була мінімально можливою.
РОЗВ'ЯЗАННЯ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ З ВИКОРИСТАННЯМ ПРОГРАМНИХ ЗАСОБІВ…
Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2010, № 9 53
З міркувань симетрії при обчисленнях обмежились чвертю контуру Г, при
цьому розрахунки виконувались на сітці, що складалась з 51 точки ( )ii y,x ,
де 050,xi = , 1=iy для 190,i = і ( ) π1 sin 20 6x ii = + − ⋅ , ( ) πcos 20 6y ii = − ⋅ для
5020,i = . У табл. 2 наводяться значення коефіцієнтів розв’язків (18) та відпо-
відні значення максимальних відхилень δ на межі, отримані за допомогою
програмних засобів найкращого чебишовського наближення функцій декількох
змінних для випадків n = 3, 5, 6 [6]. Слід зазначити, що коефіцієнт c1 дає також
наближене значення функції u у середній точці, тобто ( )1 1δ 0, 0 δc u c− ≤ ≤ + .
Наприклад, для n = 6 має місце оцінка ( )0,4402 0, 0 0,4447u≤ ≤ .
ТАБЛИЦЯ 2. Результати розв’язання задачі про скрут балки
Число коефі-
цієнтів n Значення коефіцієнтів ck Φ=δ max
3 c1= 0,44916078; c2 = 0,17384998; c3 = − 0,009992441 0,015318
5 c1= 0,44243973; c2 = 0,18134111; c3 = − 0,013958104;
c4= 0,00084237; c5 = 0,00002068 0,003681
6 c1= 0,44240959; c2 = 0,18099185; c3= − 0,013425684;
c4= 0,00044736; c5 = 0,00018264; c6= − 0,000028512 0,002244
Висновки. Для наближеного розв’язання крайових задач запропоновані два
аналітичні методи з використанням чебишовських наближень. Наведені прикла-
ди підтверджують ефективність цих методів і відповідних програмних засобів
при розв’язанні крайових задач як для звичайних диференціальних рівнянь, так і
для рівнянь з частинними похідними.
1. Ремез Е.Я. Основы численных методов чебышевского приближения. – Киев: Наук.
думка, 1969. – 623 с.
2. Коллатц Л., Крабс В. Теория приближений. Чебышевские приближения и их приложе-
ния. – М.: Наука, 1978. – 272 с.
3. Андруник В., Малачівський П. Неперервне мінімаксне сплайн-наближення температурної
характеристики сенсора експоненційним виразом // Комп’ютерні технології друкарства.
– 2007. – № 18. – С. 95–103.
4. Каленчук-Порханова А.А., Вакал Л.П. Наилучшая чебышевская аппроксимация для сжа-
тия численной информации // Компьютерная математика. – 2009. – № 1. – С. 99–107.
5. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. – М.: Мир, 1969. –
447 с.
6. Каленчук-Порханова А.О., Вакал Л.П. Побудова найкращих рівномірних наближень фун-
кцій багатьох змінних // Комп’ютерні засоби, мережі і системи. – 2007. – № 6. –
С. 141–148.
7. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. – М.: Наука,
1967. – 368 с.
Отримано 01.07.2010
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-46389 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1817-9908 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:40:11Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Вакал, Л.П. 2013-06-29T18:31:03Z 2013-06-29T18:31:03Z 2010 Розв’язання крайових задач з використанням програмних засобів чебишовських наближень / Л.П. Вакал // Комп’ютерні засоби, мережі та системи. — 2010. — № 9. — С. 47-53. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1817-9908 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46389 519.6:004.42 Пропонуються два методи знаходження розв'язків крайових задач з використанням чебишовських наближень. Наводяться приклади розв’язання задач. Предлагаются два метода нахождения решений краевых задач с использованием чебышевских приближений. Приводятся примеры решения задач. Two methods using Chebyshev approximations for finding boundary problems solutions are considered. Examples of proposed methods application are given. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Комп’ютерні засоби, мережі та системи Розв’язання крайових задач з використанням програмних засобів чебишовських наближень Solving of boundary problems using software for chebyshev approximations Article published earlier |
| spellingShingle | Розв’язання крайових задач з використанням програмних засобів чебишовських наближень Вакал, Л.П. |
| title | Розв’язання крайових задач з використанням програмних засобів чебишовських наближень |
| title_alt | Solving of boundary problems using software for chebyshev approximations |
| title_full | Розв’язання крайових задач з використанням програмних засобів чебишовських наближень |
| title_fullStr | Розв’язання крайових задач з використанням програмних засобів чебишовських наближень |
| title_full_unstemmed | Розв’язання крайових задач з використанням програмних засобів чебишовських наближень |
| title_short | Розв’язання крайових задач з використанням програмних засобів чебишовських наближень |
| title_sort | розв’язання крайових задач з використанням програмних засобів чебишовських наближень |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46389 |
| work_keys_str_mv | AT vakallp rozvâzannâkraiovihzadačzvikoristannâmprogramnihzasobívčebišovsʹkihnabliženʹ AT vakallp solvingofboundaryproblemsusingsoftwareforchebyshevapproximations |