Скорость распространения процесса в очаге как базовый параметр квазидинамических моделей: особенности алгоритма определения, по данным группы станций
Attention is called to the process propagation velocity preferred position in the collection of parameters of focal models and the quantitative assessment significance of a reduced value ζ = v/c even for models with constant velocity v = const (c is the elastic wave velocity). The scheme of determin...
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4642 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Скорость распространения процесса в очаге как базовый параметр квазидинамических моделей: особенности алгоритма определения, по данным группы станций / А.С. Костинский // Доп. НАН України. — 2008. — № 5. — С. 121-126. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4642 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Костинский, А.С. 2009-12-14T14:25:52Z 2009-12-14T14:25:52Z 2008 Скорость распространения процесса в очаге как базовый параметр квазидинамических моделей: особенности алгоритма определения, по данным группы станций / А.С. Костинский // Доп. НАН України. — 2008. — № 5. — С. 121-126. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4642 550.34.013 Attention is called to the process propagation velocity preferred position in the collection of parameters of focal models and the quantitative assessment significance of a reduced value ζ = v/c even for models with constant velocity v = const (c is the elastic wave velocity). The scheme of determination of the ratio ζ by records of three stations logically completes the author’s computational algorithm based on the time integration of a displacement with weight factors f(t) = tn, n = 0, 1, 2, . . .. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Науки про Землю Скорость распространения процесса в очаге как базовый параметр квазидинамических моделей: особенности алгоритма определения, по данным группы станций Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Скорость распространения процесса в очаге как базовый параметр квазидинамических моделей: особенности алгоритма определения, по данным группы станций |
| spellingShingle |
Скорость распространения процесса в очаге как базовый параметр квазидинамических моделей: особенности алгоритма определения, по данным группы станций Костинский, А.С. Науки про Землю |
| title_short |
Скорость распространения процесса в очаге как базовый параметр квазидинамических моделей: особенности алгоритма определения, по данным группы станций |
| title_full |
Скорость распространения процесса в очаге как базовый параметр квазидинамических моделей: особенности алгоритма определения, по данным группы станций |
| title_fullStr |
Скорость распространения процесса в очаге как базовый параметр квазидинамических моделей: особенности алгоритма определения, по данным группы станций |
| title_full_unstemmed |
Скорость распространения процесса в очаге как базовый параметр квазидинамических моделей: особенности алгоритма определения, по данным группы станций |
| title_sort |
скорость распространения процесса в очаге как базовый параметр квазидинамических моделей: особенности алгоритма определения, по данным группы станций |
| author |
Костинский, А.С. |
| author_facet |
Костинский, А.С. |
| topic |
Науки про Землю |
| topic_facet |
Науки про Землю |
| publishDate |
2008 |
| language |
Russian |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| description |
Attention is called to the process propagation velocity preferred position in the collection of parameters of focal models and the quantitative assessment significance of a reduced value ζ = v/c even for models with constant velocity v = const (c is the elastic wave velocity). The scheme of determination of the ratio ζ by records of three stations logically completes the author’s computational algorithm based on the time integration of a displacement with weight factors f(t) = tn, n = 0, 1, 2, . . ..
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4642 |
| citation_txt |
Скорость распространения процесса в очаге как базовый параметр квазидинамических моделей: особенности алгоритма определения, по данным группы станций / А.С. Костинский // Доп. НАН України. — 2008. — № 5. — С. 121-126. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kostinskiias skorostʹrasprostraneniâprocessavočagekakbazovyiparametrkvazidinamičeskihmodeleiosobennostialgoritmaopredeleniâpodannymgruppystancii |
| first_indexed |
2025-11-25T22:45:33Z |
| last_indexed |
2025-11-25T22:45:33Z |
| _version_ |
1850571691916263424 |
| fulltext |
УДК 550.34.013
© 2008
А.С. Костинский
Скорость распространения процесса в очаге
как базовый параметр квазидинамических моделей:
особенности алгоритма определения, по данным группы
станций
(Представлено академиком НАН Украины В. И. Старостенко)
Attention is called to the process propagation velocity preferred position in the collection of
parameters of focal models and the quantitative assessment significance of a reduced value
ζ = v/c even for models with constant velocity v = const (c is the elastic wave velocity).
The scheme of determination of the ratio ζ by records of three stations logically completes the
author’s computational algorithm based on the time integration of a displacement with weight
factors f(t) = tn, n = 0, 1, 2, . . ..
Классические очаговые модели [1–3], как заметил Б.В. Костров, неулучшаемы, если оста-
ваться в рамках понятий, на основе которых эти модели созданы. Выход за пределы “мате-
ринского” пространства образов полевой геологии неизбежен как условие развития, и один
из вариантов — взгляд на очаговую зону как на “островок” возбудимой среды [4]. Если быть
последовательным, это означает сохранить только представление об очаге как о нелиней-
ной открытой системе, далекой от термодинамического равновесия, о чем-то напоминаю-
щем нервную ткань, структурные элементы которой (“клетки”) способны к возбуждению
и к передаче возбуждения от одних участков к другим. Согласившись столь радикально
изменить язык описания, получаем дополнительные “степени свободы” конструирования,
но лишаемся ориентиров, возможности, например, оценить численные значения характер-
ных постоянных теории. Сложность и “полифония” объекта описания оставляет в нашем
распоряжении только аксиоматический метод и принципы, универсальность которых не
вызывает сомнения, даже если доказательств этой универсальности не существует. По не-
обходимости, на каком-то этапе вынужденно, превращаются в постулаты соотношения ме-
ханики упругих сред и “элементы конструкции” кинематических моделей. В выражении
для смещения в дальней зоне
Ui(~r, t) =
γiγpγqνk
4πρα3
∫∫
Σ
cjkpq
|~ξ − ~r|
∂
∂t
[
Uj
(
~ξ, t −
|~ξ − ~r|
α
)]
dΣ(ξ) +
+
(δip − γiγp)γqνk
4πρβ3
∫∫
Σ
cjkpq
|~ξ − ~r|
∂
∂t
[
Uj
(
~ξ, t −
|~ξ − ~r|
β
)]
dΣ(ξ)
можно увидеть “аксиому связи”, определяющую значение измеряемого вектора, и ей пред-
шествует в таком случае предположение о векторном характере поля [U(. . .)], характери-
зующего систему. Строго говоря, все, что служит источником волн, распространяющихся
в сплошной среде и регистрируемых на поверхности, может быть названо “очагом земле-
трясения”, например, скачок производной смещения, или компоненты тензора напряжений,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №5 121
в точках некоторой меняющейся поверхности. Соответственно этому, поставив на место “бес-
телесного” скачка смещения физически бесконечно тонкий слой возбудимой среды, можно
признать в некотором смысле равноправными гипотезы о трансформационных свойствах
поля, описывающего слой. Но скорость распространения процесса, даже переменная в пре-
делах слоя, всегда мысленно выделена, исключительна как параметр и обязательно уцелеет
в будущем описании. Поэтому, даже если предполагается, что очаг описывается моделью
почти полностью традиционной, где функция скачка смещения есть ограниченная во вре-
мени версия самоподобного решения [5]
∆U s(ρ, t) = Kv
√
t2 −
(
ρ
v
)2
H
(
t −
ρ
v
)
{1 − H(ρ − ρ0)}, K = const,
то полученные в эксперименте значения отношения v/c (c — скорость упругих волн), могут
сыграть существенную роль.
Алгоритм расчета параметров, основанный на интегрировании смещения по времени
с весовыми множителями f(t) = tn, n = 0, 1, 2, . . . [6], дает возможность для моделей [7, 8]
измерить по записям на одной станции параметр γ = v/c sin ϑ, угол ϑ образован нормалью
к площадке ~ν и направлением из центра площадки на точку наблюдения. Пусть в измере-
ниях на станциях C1, C2, C3 получены значения γ1, γ2, γ3. Для скаляра ζ = v/c и единичного
вектора ~ν имеем систему уравнений:
ζ sinϑk = γk, k = 1, 2, 3,
cos ϑk = ~ν~χk, 0 6 ϑk 6 π,
(1)
где ~χk — известные единичные вектора, задающие направления из центра площадки на
станции Ck (без ограничения общности можно предполагать, что тип волны на станциях
один и тот же). Координатная система произвольна, ее начало не совпадает ни с одной из
станций C1, C2, C3.
Будем искать решение системы (1) в соответствии со следующей схемой. Исключая
вектор ~ν из формулы (1), получаем уравнение для параметра ζ и ищем его положительные
решения (если они существуют), удовлетворяющие условиям существования вектора:
1
ζ
γk 6 1, k = 1, 2, 3. (2)
Синусы углов ϑk определятся по системе (1), косинусы — как ±
√
1 − (sin ϑk)2. Су-
ществует всего 8 косинус-троек (cos ϑ1, cos ϑ2, cos ϑ3), соответствующих синус-тройке
(sin ϑ1, sin ϑ2, sin ϑ3), каждая из них однозначно определяет вектор ~ν по формуле:
~ν =
1
[~χ1~χ2~χ3]
{cos ϑ1(~χ2 × ~χ3) + cos ϑ2(~χ3 × ~χ1) + cos ϑ3(~χ1 × ~χ2)}. (3)
Прежде чем вывести уравнение для ζ, рассмотрим в линейном (не обязательно евкли-
довом) векторном пространстве R3, элементы которого есть тройки вещественных чисел
(x, y, z), функцию — полином степени 2
∆(x, y, z) = a11x
2 + a22y
2 + a33z
2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz − o,
o ≡ [~χ1~χ2~χ3]
2,
122 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №5
с коэффициентами
a11 = (~χ2 × ~χ3)
2, a22 = (~χ3 × ~χ1)
2, a33 = (~χ1 × ~χ2)
2,
a12 = (~χ2~χ3) · (~χ3~χ1) − (~χ1~χ2), a13 = (~χ1~χ2) · (~χ2~χ3) − (~χ1~χ3),
a23 = (~χ1~χ3) · (~χ1~χ2) − (~χ2~χ3),
и поверхность второго порядка Φ0, заданную уравнением ∆ = 0. Пусть числовая коси-
нус-тройка (cos ϑ1, cos ϑ2, cos ϑ3) соответствует фиксированным векторам ~χk, k = 1, 2, 3,
и одному из возможных положений вектора ~ν. Если ее рассматривать как 3-вектор (x, y, z) ∈
∈ R3, поверхность Φ0 можно представить как множество всевозможных таких троек. Каж-
дая тройка принадлежит Φ0; легко убедиться в этом, возводя в квадрат обе части (3).
Характеристическое уравнение поверхности Φ0
λ3 − (a11 + a22 + a33)λ
2 + 3[~χ1~χ2~χ3]
2λ − [~χ1~χ2~χ3]
4 = 0
имеет три вещественных положительных корня λk, k = 1, 2, 3 (если предполагается, что сме-
шанное произведение [~χ1~χ2~χ3] не обращается в нуль для данной тройки станций и рассмат-
риваемого радиус-вектора гипоцентра). Поверхность Φ0, следовательно, есть эллипсоид
с центром в начале координат (т. е. в точке x = 0, y = 0, z = 0 в R3) и полуосями
lk =
|[~χ1~χ2~χ3]|
λ
1/2
k
, k = 1, 2, 3.
Можно показать, не используя (3) (например, с помощью метода неопределенных мно-
жителей Лагранжа), что все точки эллипсоида Φ0 принадлежат единичному кубу C0 с цент-
ром в нуле:
Φ0 ∈ C0, C0 : |x| 6 1, |y| 6 1, |z| 6 1.
Эллипсоид касается каждой грани куба в одной точке (например, для грани x = 1 это точка
(1, (~χ1~χ2), (~χ1~χ3))). Точки эллипсоидов Φk, k = 1, 2, 3, уравнения которых получаются из
уравнения для Φ0, если одна из координат меняет знак,
Φ1 : ∆(−x, y, z) = 0,
Φ2 : ∆(x,−y, z) = 0,
Φ3 : ∆(x, y,−z) = 0,
принадлежат этому же кубу C0.
Далее, сконструируем поверхность Φc как логическую сумму множеств Φ0 и Φk, k =
= 1, 2, 3. Левая часть уравнения для Φc есть произведение соответствующих левых частей
Φc : ∆(x, y, z) · ∆(−x, y, z) · ∆(x,−y, z) · ∆(x, y,−z) = 0
и зависит только от квадратов переменных x, y, z. Этот факт делает возможным, избежав
радикалов, перейти в уравнении для Φc к новым переменным x′, y′, z′, связанным с x, y,
z соотношениями:
(x′)2 = 1 − x2, (y′)2 = 1 − y2, (z′)2 = 1 − z2.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №5 123
Если 3-точка (x, y, z) пробегает Φc, то 3-точка (x′, y′, z′) пробегает поверхность Φs в R3, Φs,
так же, как Φc, помещается в границах куба C0. Уравнение для Φs может быть представ-
лено, после группирования членов одинаковой степени, в виде
4
∑
k=0
A2k(x
′2, y′2, z′2) = 0, (4)
где формы A2k имеют степень 2k по переменным x′, y′, z′. Коэффициенты форм полностью
определяются тремя скалярными произведениями, косинусами cos φ12 = (~χ1~χ2), cos φ13 =
= (~χ1~χ3), cos φ23 = (~χ2~χ3).
Подставляя x′, y′, z′ из соотношений
x′ =
1
ζ
· γ1, y′ =
1
ζ
· γ2, z′ =
1
ζ
· γ3
в уравнение (4), получаем уравнение для 1/ζ, это алгебраическое уравнение 8-го (факти-
чески 4-го) порядка
s0ω
4 + s1ω
3 + s2ω
2 + s3ω + s4 = 0, ω =
1
ζ2
(5)
с коэффициентами
s0 = δ(γ1, γ2, γ3) · δ(−γ1, γ2, γ3) · δ(γ1,−γ2, γ3) · δ(γ1, γ2,−γ3),
δ(x, y, z) = ∆(x, y, z) + o,
s1 = форма 3-й степени по переменным γ2
1 , γ2
2 , γ2
3 ; s2 = квадратичная форма по переменным
γ2
1 , γ2
2 , γ2
3 ; s3 = линейная форма по переменным γ2
1 , γ2
2 , γ2
3 ;
s3 = 32(sin φ12)
2(sin φ13)
2 × (sin φ23)
2(c1γ
2
1 + c2γ
2
2 + c3γ
2
3),
где
c1 = −(sin φ23)
2{(sin φ12)
2 + (sin φ13)
2 − 1 + cos φ12 cos φ13 cos φ23},
c2 = −(sin φ13)
2{(sin φ12)
2 + (sin φ23)
2 − 1 + cos φ12 cos φ13 cos φ23},
c3 = −(sin φ12)
2{(sin φ13)
2 + (sin φ23)
2 − 1 + cos φ12 cos φ13 cos φ23},
s4 = 16(sin φ12)
4(sin φ13)
4(sin φ23)
4.
Выражение для s0 есть произведение квадратичных форм, каждая из которых при усло-
вии o 6= 0 имеет строго положительные главные миноры матрицы ((sin φ...)
2, o, o2). Лидиру-
ющий коэффициент, следовательно, сохраняет знак “+” при любых значениях “наблюдае-
мых” переменных γ1, γ2, γ3, как и коэффициент s4. Исключительная сложность выражения
для s1 делает практически невозможным анализ многомерной поверхности s1 = 0, но ин-
варианты поверхности 2-го порядка s2(γ
2
1 , γ2
2 , γ2
3) = 0 обозримы, и первые два инварианта
I = a11 + a22 + a33, J =
∣
∣
∣
∣
a11 a12
a21 a22
∣
∣
∣
∣
+
∣
∣
∣
∣
a11 a13
a31 a33
∣
∣
∣
∣
+
∣
∣
∣
∣
a22 a23
a32 a33
∣
∣
∣
∣
124 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №5
Рис. 1. Поведение инварианта I определяющей квадрики коэффициента s2: точки трехмерной поверхно-
сти I = 0 в единичном кубе переменных cos φ23, cos φ13, cos φ12 (слева), двумерные сечения плоскостью,
проходящей через вертикальную ось (справа). Цифры соответствуют значению широтного угла
Рис. 2. Поведение инварианта J определяющей квадрики коэффициента s2: двумерные сечения плоскостью,
проходящей через вертикальную ось переменной cos φ12. Цифры соответствуют значению широтного угла
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №5 125
как функции трех переменных cos φ23, cos φ13, cos φ12, как выясняется, могут обращаться
в нуль в пределах единичного куба (см. рис. 1, 2).
Коэффициенты c1, c2, c3 линейной формы s3 в этих пределах не только не сохраняют
знак, но не могут одновременно быть ни положительными, ни отрицательными. Формы s2
и s3 в общем случае, следовательно, не являются знакоопределенными, число перемен зна-
ков в системе коэффициентов уравнения (5) не отслеживается, и какое-либо заключение
о числе положительных корней ω0 на уровне теоремы Декарта невозможно.
1. Molnar P., Tucker B.E., Brune J. N. Corner frequencies of P- and S-waves and models of earthquake
sources // Bull. Seism. Soc. Amer. – 1973. – 63. – P. 2091–2104.
2. Sato T., Hirasawa T. Body wave spectra from propagating shear crack // J. Phys. Earth. – 1973. – 21. –
P. 415–431.
3. Dahlen F.A. On the ratio of P-wave to S-wave corner frequencies for shallow earthquake sources // Bull.
Seism. Soc. Amer. – 1974. – 64. – P. 1159–1180.
4. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическая биофизика. – Москва: На-
ука, 1984. – 304 с.
5. Burridge R., Willis J. The self-similar problem of the expanding elliptical crack in an anisotropic solid //
Proc. Cambr. Philosoph. Soc. – 1969. – 66. – P. 443–468.
6. Kostinsky A. S. A calculation of kinematic model parameters for a focus from integral characteristics of a
spectrum of body waves // Доп. НАН України. – 1995. – No 5. – С. 88–90.
7. Kostinsky A. S. A quasi-dynamic model of focus with constant maximum value of displacement disconti-
nuity: theoretical seismograms // Там само. – 2000. – No 7. – С. 139–142.
8. Костинский А.С. Очаг землетрясения как возбудимая среда: простейший пример оптимального кон-
струирования // Там само. – 2002. – № 12. – С. 87–94.
Поступило в редакцию 04.10.2007Отдел сейсмологии Института геофизики
им. С.И. Субботина НАН Украины, Симферополь
126 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №5
|