Застосування чебишовської апроксимації при розв’язанні інтегральних рівнянь

Запропоновано два методи розв'язання інтегральних рівнянь Фредгольма з використанням чебишовської апроксимації функцій, які дозволяють підвищити точність наближених розв’язків. Предложены два метода решения интегральных уравнений Фредгольма с применением наилучшей чебышевской аппроксимации функ...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Комп’ютерні засоби, мережі та системи
Date:	2011
Main Author:	Вакал, Л.П.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2011
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46455
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Застосування чебишовської апроксимації при розв’язанні інтегральних рівнянь / Л.П. Вакал // Комп’ютерні засоби, мережі та системи. — 2011. — № 10. — С. 78-84. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860259897208209408
author	Вакал, Л.П.
author_facet	Вакал, Л.П.
citation_txt	Застосування чебишовської апроксимації при розв’язанні інтегральних рівнянь / Л.П. Вакал // Комп’ютерні засоби, мережі та системи. — 2011. — № 10. — С. 78-84. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.
collection	DSpace DC
container_title	Комп’ютерні засоби, мережі та системи
description	Запропоновано два методи розв'язання інтегральних рівнянь Фредгольма з використанням чебишовської апроксимації функцій, які дозволяють підвищити точність наближених розв’язків. Предложены два метода решения интегральных уравнений Фредгольма с применением наилучшей чебышевской аппроксимации функций, позволяющие повысить точность приближенных решений. Two methods for solving of Fredholm integral equations using Chebyshev approximation are proposed. The methods allow to enlarge of solutions accuracy.
first_indexed	2025-12-07T18:54:15Z
format	Article
fulltext	Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2011, № 10 78 L. Vakal USING OF CHEBYSHEV APPROXIMATION FOR SOLVING OF INTEGRAL EQUATIONS Two methods for solving of Fredholm integral equations using Chebyshev approximation are pro- posed. The methods allow to enlarge of solutions accuracy. Key words: Chebyshev approxima- tion, integral equations. Предложены два метода решения интегральных уравнений Фред- гольма с применением наилучшей чебышевской аппроксимации фун- кций, позволяющие повысить то- чность приближенных решений. Ключевые слова: чебышевская ап- проксимация, интегральные урав- нения. Запропоновано два методи розв'я- зання інтегральних рівнянь Фред- гольма з використанням чебишов- ської апроксимації функцій, які дозволяють підвищити точність наближених розв’язків. Ключові слова: чебишовська апро- ксимація, інтегральні рівняння.  Л.П. Вакал, 2011 УДК 519.6:004.42 Л.П. ВАКАЛ ЗАСТОСУВАННЯ ЧЕБИШОВСЬКОЇ АПРОКСИМАЦІЇ ПРИ РОЗВ’ЯЗАННІ ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ Вступ. Багато задач математичної фізики зводяться до і нтегральних рівнянь Фредго- льма. Це, наприклад, задачі відновлення сигналу в теорії автоматичного керування, визначення фононного спектра кристалів за теплоємністю, оптимальної лінійної фі- льтрації за наявності білого шуму, визначен- ня інтенсивності народження часток в ат- мосфері під впливом світлового потоку та ін. [1, 2]. Питання застосування чебишовських на- ближень для розв’язання інтегральних рів- нянь у науковій літературі, окрім роботи [3], практично не розглядались. У даній статті пропонуються два аналітичні методи, в яких задача наближеного розв’язання лінійних рівнянь Фредгольма зводиться до задачі найкращого чебишовського наближення функцій узагальненими поліномами за спе- ціальними системами базисних функцій. Такий підхід дозволяє підвищити точність наближених розв’язків і застосувати для їх знаходження ефективні програмні засоби чебишовської апроксимації функцій [4]. Постановка задачі. Розглядаються лінійні інтегральні рівняння Фредгольма І роду      , b a K x s y s ds f x  (1) та ІІ роду        , b a y x K x s y s ds f x  , (2) де  sxK ,  задана неперервна при bxa  , bsa  функція, яка називається ядром рів- няння;  xf  задана неперервна на  ,a b ЗАСТОСУВАННЯ ЧЕБИШОВСЬКОЇ АПРОКСИМАЦІЇ ПРИ РОЗВ'ЯЗАННІ ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2011, № 10 79 функція;  xy  шукана функція (розв’язок рівняння). Одним з найбільш поширених на практиці методів розв’язання рівнянь (1), (2) є метод квадратур [1, 5]. Він полягає у заміні інтегрального рівняння скін- ченною системою алгебраїчних рівнянь. Для цього застосовується один із мето- дів чисельного інтегрування. Менш тривіальним є метод заміни ядра рівняння близьким до нього виродженим ядром [5, 6]. До переваг даного методу слід від- нести можливість обходитися системами рівнянь, як правило, значно меншого порядку, ніж у методі квадратур, що є суттєвим моментом при практичних об- численнях [1]. Далі описуються два методи розв’язання інтегральних рівнянь Фредгольма, один з яких є розвитком згаданого методу заміни ядра виродженим. Метод найкращої чебишовської апроксимації ядра інтегрального рів- няння виродженим ядром. Якщо в рівнянні Фредгольма (2) ядро, яке позначи- мо  sxH , , вироджене, тобто його можна подати у вигляді скінченого ряду      sBxAzsxH k n k kk   1 , , (3) де    xAxA n,,1  і    xBxB n,,1   системи лінійно незалежних на проміжку  ,a b функцій, то розв’язок цього рівняння можна знайти в явному вигляді. Розв’язком рівняння (2) буде функція  xy~ вигляду         n k kk xAcxfxy 1 ~ . (4) Невідомі коефіцієнти ncc ,,1  знаходяться з системи n лінійних рівнянь [3]:   k n j jkjk fxcc   1 ,  nk ,1 , де                     b a jkkkj b a kkk dssAsBz dssfsBzf . (5) Якщо визначник системи (5) не дорівнює нулю, тобто  не є характеристич- ним числом ядра K(x, s), то система має єдиний розв’язок для ncc ,,1  , відпо- відно інтегральне рівняння (2) з виродженим ядром (3) теж має єдиний розв’язок  xy~ , який визначається за формулою (4) [1]. Розв'язок інтегрального рівняння (2) з довільним (не виродженим) ядром  sxK , можна апроксимувати розв’язком рівняння з виродженим ядром  sxH , , яке підбирається так, щоб      sxKsxH ,, при bxa  , bsa  . Якщо побудувати достатньо близьке до  sxK , вироджене ядро  sxH , , то розв’язавши рівняння з виродженим ядром, ми отримаємо розв’язок  xy~ , бли- Л.П. ВАКАЛ Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2011, № 10 80 зький до розв’язку  xy рівняння з ядром  sxK , і тією самою правою частиною [7], тобто буде справедливою нерівність      xyxy~ (  залежить від  ). Існує декілька способів побудови вироджених ядер, близьких до даного. Наприклад, ядро  sxK , можна апроксимувати інтерполяційним поліномом, ча- стковою сумою ряду Тейлора, поліномом найкращого квадратичного наближен- ня і т. д. [1, 5, 6]. Кожен з цих способів має свої недоліки, зокрема, ряди Тейлора дають непогане наближення тільки в околі деякої точки, але не на усьому про- міжку визначення  sxK , . Нами пропонується для побудови виродженого ядра застосовувати найкра- щу чебишовську апроксимацію функції  sxK , , що дозволить забезпечити зада- ну точність наближення ядра рівняння (2) на всьому проміжку його визначення. У цьому випадку функція  sxK , замінюється такою функцією  sxH ,* з кла- су  H узагальнених поліномів двох змінних       n k kk sxzsxH 1 ,, за системою лінійно незалежних базисних функцій      sBxAsx kkk  , , для якого максимальне за модулем відхилення від функції  sxK , в області  bsabxaD  , буде мінімальним              sxKsxHsxKsxH DsxHDsx ,,maxmin,,max , * ,   . (6) Слід зазначити, що найкращий чебишовський апроксимант  sxH ,* дає меншу похибку (в максимум-нормі) наближення функції  sxK , в області D, ніж найкращий квадратичний апроксимант того ж класу [3]. Розглянемо більш детально метод найкращої чебишовської апроксимації ядра рівняння виродженим ядром на прикладі розв’язання такого інтегрального рівняння Фредгольма ІІ роду       .1 1 0 xedssyexxy xxs   (7) Апроксимуємо ядро    1,  xsexsxK рівняння (7) виродженим ядром вигля- ду   34 3 23 2 2 1, sxzsxzsxzsxH  . Функцію  sxH , можна розглядати як уза- гальнений поліном двох змінних за системою 3-x базисних функцій   sxsx 2 1 ,  ,   23 2 , sxsx  ,   34 3 , sxsx  . У результаті обчислень за про- грамою найкращого чебишовського наближення узагальненими поліномами [4] на двовимірній сітці з кроком 0,1 за кожною змінною отримуємо такі значення коефіцієнтів полінома  sxH , : 011753,11 z , 432039,02 z , 273892,03 z , при цьому похибка апроксимації ядра  sxK , не перевищує 0,0006. ЗАСТОСУВАННЯ ЧЕБИШОВСЬКОЇ АПРОКСИМАЦІЇ ПРИ РОЗВ'ЯЗАННІ ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2011, № 10 81 Далі замість інтегрального рівняння (7) розв’язуємо рівняння       xedssysxHxy x   1 0 , (8) з виродженим ядром   34232 273892,0432039,0011753,1, sxsxsxsxH  . Роз- в’язком рівняння (8) згідно з (4) є функція   4 3 3 2 2 1 ~ xcxcxcxexy x  . Невідомі коефіцієнти ic відповідно до формул (5) знаходимо з системи 3-х лі- нійних рівнянь: 1 2 30,4987, 0,16455, 0,05057c c c     . Таким чином, наближеним розв’язком інтегрального рівняння (7) є функція   4 3 3 2 2 05057,016455,04987,0~ xcxcxxexy x  . (9) Для порівняння апроксимуємо ядро  sxK , сумою перших 3-х членів його розкладу в ряд Тейлора   62 , 3423 2 sxsx sxsxH  . У цьому випадку наближе- ний розв’язок матиме вигляд [5]   4 3 3 2 2 0422,01671,05010,0 xcxcxxexy x  . (10) Оскільки відомий точний розв’язок   1xy рівняння (7) [5], то можна порів- няти точність наближених розв’язків (9) і (10). Як видно з таблиці, абсолютна по- хибка 004,01  розв'язку (9), для знаходження якого застосовувалась найкра- ща чебишовська апроксимація ядра  sxK , , є удвічі меншою, ніж похибка 2 розв'язку (10), отриманого з використанням апроксимації функції  sxK , відріз- ком ряду Тейлора. ТАБЛИЦЯ. Порівняння наближених розв’язків  xy~ і  xy рівняння (7) Значення x 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Розв’язок  xy~ 1,0 1,00006 1,0002 1,0005 1,001 1,004 Розв’язок  xy 1,0 0,99996 0,9999 1,0002 1,002 1,0080 Похибка yy~ 1 0,0 0,00006 0,0002 0,0005 0,001 0,004 Похибка yy 2 0,0 0,00004 0,0001 0,0002 0,002 0,008 Метод мінімізації максимальної за модулем інтегральної нев’язки. Бу- демо шукати наближений розв'язок  xyn рівняння Фредгольма (2) у вигляді       n k kkn xcxy 1 , (11) де n ,,1   деякі задані лінійно незалежні функції. У цьому випадку інтегра- льна нев’язка матиме вигляд Л.П. ВАКАЛ Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2011, № 10 82          xfdsscsxKxcccx b a n k kk n k kkn     11 1 ,,,;  . (12) Мінімізувати нев’язку (12) можна різними методами, наприклад, методом колокацій, найменших квадратів, БубноваГальоркіна та ін. [5, 6]. Пропонуємо знаходити невідомі параметри ncc ,,1  з умови мінімуму максимальної за мо- дулем інтегральної нев'язки (12)   .min,,;max 1   n bxa ccx  (13) Запишемо нев’язку  у вигляді   nccx ,,; 1     xfccx n  ,,; 1  ,         .,,,; 11 1     b a n k kk n k kkn dsscsxKxcccx  (14) Як видно з формули (14), функція  лінійно залежить від kc , тому її мож- на розглядати як узагальнений поліном за деякою системою функцій ψ :k       n k kkn xcccx 1 1 ,,;  . (15) Отже, задача визначення параметрів kc наближеного розв’язку (11) інтегра- льного рівняння Фредгольма з умови (13) еквівалентна задачі найкращого чеби- шовського наближення функції  xf на множині точок  bax , узагальненим поліномом  nccx ,,; 1 *  вигляду (15), а саме:          xfccxxfx n bxaccbxa n   ,,;maxminmax 1 ,, * 1   . Коефіцієнти полінома  x* і будуть шуканими значеннями параметрів kc на- ближеного розв’язку  xyn інтегрального рівняння (2). Розглянемо два приклади розв’язання інтегральних рівнянь за цим методом. Приклад 1. Знайти розв’язок інтегрального рівняння Фредгольма І роду     xxxdssysxK  34 1 0 2, ,                101 101 , xsxs sxsx sxK . (16) До аналогічного рівняння приходять у задачах визначення статичного нава- нтаження, під дією якого закріплена на кінцях 0x і 1x струна одиничної до- вжини приймає форму, яка описується правою частиною рівняння [5]. Розв’язання. Наближений розв'язок рівняння (16) шукаємо у вигляді   2 2213 xcxccxy  . У цьому випадку інтегральна нев’язка буде такою:      1 2 4 3 1 2 2 0 μ , 2x K x s c c s c s ds x x x       ЗАСТОСУВАННЯ ЧЕБИШОВСЬКОЇ АПРОКСИМАЦІЇ ПРИ РОЗВ'ЯЗАННІ ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2011, № 10 83       .2 1262 34433221 xxxxx c xx c xx c  За методом мінімізації максимальної за модулем інтегральної нев’язки задача визначення невідомих 321 ,, ccc зводиться до задачі найкращого чебишовського наближення функції xxx  34 2 на проміжку  1,0 узагальненим поліномом    3 1k kkc ,    2 1 2 1 xxx  ,    3 2 6 1 xxx  ,    4 3 12 1 xxx  . У результаті обчислень за програмою [4] на сітці з кроком 0,01 за х отриму- ємо такі результати: 01 c , 122 c , 123 c , 0 . Отже, шуканий наближений розв’язок має вигляд   2 3 1212 xxxy  . Він є точним розв'язком інтегрального рівняння (16), що легко перевіряється прямою підстановкою  xy3 в (16). Приклад 2. Знайти розв’язок інтегрального рівняння Фредгольма ІІ роду       2 1 1 xdssysxshxy    . (17) Розв’язання. Розв'язок шукаємо у вигляді   xccxxy 21 2 2  . У цьому випадку інтегральна нев'язка є такою       shxchxxcshxcx  21 1 , 3504,212  sh ; 7358,02 1  e ; 8788,01416  chsh . Таким чином, задача знаходження невідомих 1c і 2c зводиться до задачі най- кращого чебишовського наближення функції shx на множині точок 11  x узагальненим поліномом      xcxcx 2211  за системою 2-х базисних фу- нкцій   shxx  11 і   chxxx 2 . З використанням програми [4] на сітці з кроком 0,01 за x отримуємо такі результати: 1 0,6128c   , 2 0,65996c   , 1365,0 . Отже, наближеним розв'язком рівняння (17) є функція   xxxy 65996,06128,02 2  . (18) Оскільки ядро     chxshsshxchssxshsxK , рівняння (17) вироджене, то можна отримати його точний розв’язок [6]   chxshxxxy  2 ;   6821,0 25,02 1416 2     sh chsh ;   5548,0125,0  sh . Це дозволяє порівняти точність розв’язку (18), отриманого методом мінімізації максимальної за модулем інтегральної нев’язки, і розв’язку   xxxy 5613,05423,02 2  , (19) знайденого методом найменших квадратів [6]. Обчислення показують, що абсо- лютна похибка наближеного розв’язку (18) в 1,4 рази менша, ніж похибка на- Л.П. ВАКАЛ Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2011, № 10 84 ближеного розв’язку (19). Отже, метод мінімізації максимальної за модулем ін- тегральної нев’язки дозволяє знаходити більш точний розв’язок інтегрального рівняння Фредгольма, ніж метод найменших квадратів. Висновки. Для наближеного розв’язання лінійних інтегральних рівнянь Фредгольма було запропоновано два аналітичні методи з використанням най- кращих чебишовських наближень. У першому методі, який є розвитком відомо- го методу заміни ядра близьким до нього виродженим ядром, передбачається застосування найкращої чебишовської апроксимації ядра інтегрального рівняння Фредгольма ІІ роду узагальненими поліномами двох змінних за спеціальними системами базисних функцій. Показано, що використання чебишовської апрок- симації забезпечує задану точність наближення в усій області визначення ядра і дозволяє отримати розв'язок інтегрального рівняння з більшою точністю, ніж при використанні інших видів наближень, зокрема, найкращих квадратичних наближень і часткових сум рядів Тейлора. В другому методі  мінімізації мак- симальної за модулем інтегральної нев'язки  розв'язання інтегральних рівнянь Фредгольма зводиться до побудови найкращих чебишовських наближень функ- цій однієї змінної. Ефективність методу було підтверджено на прикладах розв’язання рівняння Фредгольма І роду (задача про знаходження статичного навантаження, під дією якого закріплена на кінцях струна приймає задану фор- му), де вдалося отримати точний розв'язок, та рівняння Фредгольма ІІ роду, для якого знайдений за цим методом наближений розв’язок є більш точним, ніж розв’язок, отриманий за методом найменших квадратів. 1. Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. – Киев: Наук. думка, 1986. – 544 с. 2. Василенко Г.И. Теория восстановления сигналов. – М.: Сов. радио, 1979. – 272 с. 3. Коллатц Л., Крабс В. Теория приближений. Чебышевские приближения. – М.: Наука, 1978. – 272 с. 4. Каленчук-Порханова А.О., Вакал Л.П. Побудова найкращих рівномірних наближень функцій багатьох змінних // Комп’ютерні засоби, мережі і системи. – 2007. – № 6. – С. 141–148. 5. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 2. – М.: Наука, 1966. – 640 с. 6. Манжиров А.В., Полянин А.Д. Методы решения интегральных уравнений. Справочник. – М.: Факториал, 1999. – 272 с. 7. Краснов М.Л. Интегральные уравнения. Введение в теорию. – М.: Наука, 1975. – 304 с. Отримано 05.09.2011
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-46455
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1817-9908
language	Ukrainian
last_indexed	2025-12-07T18:54:15Z
publishDate	2011
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format	dspace
spelling	Вакал, Л.П. 2013-06-30T07:06:45Z 2013-06-30T07:06:45Z 2011 Застосування чебишовської апроксимації при розв’язанні інтегральних рівнянь / Л.П. Вакал // Комп’ютерні засоби, мережі та системи. — 2011. — № 10. — С. 78-84. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1817-9908 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46455 519.6:004.42 Запропоновано два методи розв'язання інтегральних рівнянь Фредгольма з використанням чебишовської апроксимації функцій, які дозволяють підвищити точність наближених розв’язків. Предложены два метода решения интегральных уравнений Фредгольма с применением наилучшей чебышевской аппроксимации функций, позволяющие повысить точность приближенных решений. Two methods for solving of Fredholm integral equations using Chebyshev approximation are proposed. The methods allow to enlarge of solutions accuracy. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Комп’ютерні засоби, мережі та системи Застосування чебишовської апроксимації при розв’язанні інтегральних рівнянь Using of Chebyshev approximation for solving of integral equations Article published earlier
spellingShingle	Застосування чебишовської апроксимації при розв’язанні інтегральних рівнянь Вакал, Л.П.
title	Застосування чебишовської апроксимації при розв’язанні інтегральних рівнянь
title_alt	Using of Chebyshev approximation for solving of integral equations
title_full	Застосування чебишовської апроксимації при розв’язанні інтегральних рівнянь
title_fullStr	Застосування чебишовської апроксимації при розв’язанні інтегральних рівнянь
title_full_unstemmed	Застосування чебишовської апроксимації при розв’язанні інтегральних рівнянь
title_short	Застосування чебишовської апроксимації при розв’язанні інтегральних рівнянь
title_sort	застосування чебишовської апроксимації при розв’язанні інтегральних рівнянь
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46455
work_keys_str_mv	AT vakallp zastosuvannâčebišovsʹkoíaproksimacííprirozvâzannííntegralʹnihrívnânʹ AT vakallp usingofchebyshevapproximationforsolvingofintegralequations

Застосування чебишовської апроксимації при розв’язанні інтегральних рівнянь

Institution

Similar Items