Генерацiя поверхневих гравiтацiйних хвиль локалiзованою областю завихреностi
Методом интегральних преобразований найдено решение задачи о генерации поверхностных гравитационных волн источником произвольной интенсивности, который находится на заданной глубине в идеальной несжимаемой жидкости. Получено асимптотическое решение задачи, которое описывает волны на большом расстоян...
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2008
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4654 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Генерацiя поверхневих гравiтацiйних хвиль локалiзованою областю завихреностi / О.В. Городецький, В.I. Нiкiшов // Прикладна гідромеханіка. — 2008. — Т. 10, № 2. — С. 48-58. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4654 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-46542025-02-23T18:29:49Z Генерацiя поверхневих гравiтацiйних хвиль локалiзованою областю завихреностi Generation of surface gravity waves by a localized vorticity region Городецький, О.В. Нiкiшов, В.I. Методом интегральних преобразований найдено решение задачи о генерации поверхностных гравитационных волн источником произвольной интенсивности, который находится на заданной глубине в идеальной несжимаемой жидкости. Получено асимптотическое решение задачи, которое описывает волны на большом расстоянии от источника. На основе метода отображений построено решение задачи о генерации поверхностных волн глубоко погруженной областью завихренности. Сделано уточнение известных результатов. Показано, что характер волновых движений определяется спектром флуктуаций завихренности. Методом iнтегральних перетворень знайдено розв'язок задачi про генерацiю поверхневих гравiтацiйних хвиль джерелом довiльної потужностi, що знаходиться на заданiй глибинi в iдеальнiй нестисливiй рiдинi. Отримано асимптотичний розв'язок задачi, що описує поверхневi хвилi на великiй вiдстанi вiд джерела. На основi використання методу вiдображень побудовано розв'язок задачi про генерацiю поверхневих хвиль глибоко зануреною областю завихреностi. Зроблено уточнення вiдомих результатiв. Показано, що характер хвильових рухiв визначається спектром флуктуацiй завихреностi. The problem of generation of surface gravitational waves by source of arbitrary strength that located at given depth in ideal incompressible fluid is solved by using the method of integral transformation. Asymptotic solution of the problem described the waves at large distance from source is obtained. The solution of the task about generation of surface waves by deeply submerged region of vorticity has been designed on the base of the method of image. The refinement of known results has been fulfilled. It is shown that the character of wave motion is determined by the spectrum of vorticity fluctuations. 2008 Article Генерацiя поверхневих гравiтацiйних хвиль локалiзованою областю завихреностi / О.В. Городецький, В.I. Нiкiшов // Прикладна гідромеханіка. — 2008. — Т. 10, № 2. — С. 48-58. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4654 532.465 uk application/pdf Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Методом интегральних преобразований найдено решение задачи о генерации поверхностных гравитационных волн источником произвольной интенсивности, который находится на заданной глубине в идеальной несжимаемой жидкости. Получено асимптотическое решение задачи, которое описывает волны на большом расстоянии от источника. На основе метода отображений построено решение задачи о генерации поверхностных волн глубоко погруженной областью завихренности. Сделано уточнение известных результатов. Показано, что характер волновых движений определяется спектром флуктуаций завихренности. |
| format |
Article |
| author |
Городецький, О.В. Нiкiшов, В.I. |
| spellingShingle |
Городецький, О.В. Нiкiшов, В.I. Генерацiя поверхневих гравiтацiйних хвиль локалiзованою областю завихреностi |
| author_facet |
Городецький, О.В. Нiкiшов, В.I. |
| author_sort |
Городецький, О.В. |
| title |
Генерацiя поверхневих гравiтацiйних хвиль локалiзованою областю завихреностi |
| title_short |
Генерацiя поверхневих гравiтацiйних хвиль локалiзованою областю завихреностi |
| title_full |
Генерацiя поверхневих гравiтацiйних хвиль локалiзованою областю завихреностi |
| title_fullStr |
Генерацiя поверхневих гравiтацiйних хвиль локалiзованою областю завихреностi |
| title_full_unstemmed |
Генерацiя поверхневих гравiтацiйних хвиль локалiзованою областю завихреностi |
| title_sort |
генерацiя поверхневих гравiтацiйних хвиль локалiзованою областю завихреностi |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4654 |
| citation_txt |
Генерацiя поверхневих гравiтацiйних хвиль локалiзованою областю завихреностi / О.В. Городецький, В.I. Нiкiшов // Прикладна гідромеханіка. — 2008. — Т. 10, № 2. — С. 48-58. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT gorodecʹkijov generaciâpoverhnevihgravitacijnihhvilʹlokalizovanoûoblastûzavihrenosti AT nikišovvi generaciâpoverhnevihgravitacijnihhvilʹlokalizovanoûoblastûzavihrenosti AT gorodecʹkijov generationofsurfacegravitywavesbyalocalizedvorticityregion AT nikišovvi generationofsurfacegravitywavesbyalocalizedvorticityregion |
| first_indexed |
2025-11-24T10:45:37Z |
| last_indexed |
2025-11-24T10:45:37Z |
| _version_ |
1849668285104128000 |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 2. С. 48 – 58
УДК 532.465
ГЕНЕРАЦIЯ ПОВЕРХНЕВИХ ГРАВIТАЦIЙНИХ ХВИЛЬ
ЛОКАЛIЗОВАНОЮ ОБЛАСТЮ ЗАВИХРЕНОСТI
О. В. Г О РО Д ЕЦ Ь К И Й, В. I. Н IК IШО В
Iнститут гiдромеханiки НАН України, Київ
Отримано 01.04.2008
Методом iнтегральних перетворень знайдено розв’язок задачi про генерацiю поверхневих гравiтацiйних хвиль дже-
релом довiльної потужностi, що знаходиться на заданiй глибинi в iдеальнiй нестисливiй рiдинi. Отримано асим-
птотичний розв’язок задачi, що описує поверхневi хвилi на великiй вiдстанi вiд джерела. На основi використання
методу вiдображень побудовано розв’язок задачi про генерацiю поверхневих хвиль глибоко зануреною областю зави-
хреностi. Зроблено уточнення вiдомих результатiв. Показано, що характер хвильових рухiв визначається спектром
флуктуацiй завихреностi.
Методом интегральних преобразований найдено решение задачи о генерации поверхностных гравитационных волн
источником произвольной интенсивности, который находится на заданной глубине в идеальной несжимаемой жид-
кости. Получено асимптотическое решение задачи, которое описывает волны на большом расстоянии от источника.
На основе метода отображений построено решение задачи о генерации поверхностных волн глубоко погруженной
областью завихренности. Сделано уточнение известных результатов. Показано, что характер волновых движений
определяется спектром флуктуаций завихренности.
The problem of generation of surface gravitational waves by source of arbitrary strength that located at given depth in
ideal incompressible fluid is solved by using the method of integral transformation. Asymptotic solution of the problem
described the waves at large distance from source is obtained. The solution of the task about generation of surface waves
by deeply submerged region of vorticity has been designed on the base of the method of image. The refinement of known
results has been fulfilled. It is shown that the character of wave motion is determined by the spectrum of vorticity
fluctuations.
ВСТУП
Вiдомо, що вплив вихрових рухiв на потенцiаль-
нi рухи вiдбувається через поле тиску. Локалiзова-
нi в просторi областi завихреностi, що є джерелом
генерацiї флуктуацiй тиску, можуть призводити
до виникнення упорядкованих потенцiальних ру-
хiв рiдини при наявностi обмежуючих поверхонь.
Таким типом руху можуть бути поверхневi гравi-
тацiйнi хвилi, течiя рiдини в яких є потенцiальною.
На вiдмiну вiд традицiйних пiдходiв, коли зна-
ходяться збурення на границi шляхом розв’язку
задачi про розподiл завихреностi в просторi [1, 2],
проаналiзуємо рух поза локалiзованою областю за-
вихреностi, розглядаючи її як занурене "джере-
ло" збурень. Локалiзованi областi завихреностi в
рiдинi можуть виникати за тiлами, що рухаються
(слiд за тiлом), можуть являти собою зони пере-
мiшування, енергiя яких пiдтримується турбулен-
тними вихорами, що швидко згасають на великiй
вiдстанi вiд областi.
Вiдомi розв’язки задач про генерацiю хвиль на
поверхнi роздiлу зануреними джерелами, диполя-
ми [3–5]. На вiдмiну вiд цих розв’язкiв, при вивчен-
нi генерацiї поверхневих хвильових рухiв локалi-
зованими областями завихреностi слiд враховува-
ти зворотний вплив, який чинить хвильовий рух
на вихровий рух. Як вiдомо, хвильовий рух згасає
з глибиною по експоненцiальному закону. З огля-
ду на це, в деяких випадках зворотним впливом
хвильових рухiв на вихровий рух в областi можна
знехтувати.
1. ГЕНЕРАЦIЯ ХВИЛЬОВИХ РУХIВ
ПУЛЬСУЮЧИМ ДЖЕРЕЛОМ
Перед тим, як перейти до задачi про генерацiю
поверхневих хвиль зануреною областю завихрено-
стi, розглянемо задачу про генерацiю поверхневих
хвиль пульсуючим джерелом. Традицiйний пiдхiд
до розв’язання цiєї задачi полягає в наступному.
Припускаємо [3], що пiд вiльною поверхнею рiди-
ни необмеженої глибини знаходиться джерело, по-
тужнiсть якого змiнюється по гармонiйному зако-
ну Q(t) = Q0e
iωt, де Q0 – постiйна величина, ω
– частота. Координати центра джерела є такими
(0, 0,−h) (див. рис. 1). Використовуючи метод зо-
бражень [6], фiктивне джерело потужностi Q роз-
мiщуємо в точцi з координатами (0, 0, h). Тодi по-
тенцiал швидкостi руху рiдини представляється у
виглядi
ϕ(x, y, z, t) =
Q0
4π
e(iωt)
[
ψ(x, y, z)−
48 c© О. В. Городецький, В. I. Нiкiшов, 2008
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 2. С. 48 – 58
−
(
1
√
r2 + (z + h)2
− 1
√
r2 + (z − h)2
)
]
, (1)
де декартова система координат (x, y, z) розташо-
вана на вiльнiй поверхнi, вiсь z направлена вверх,
r2 = x2 + y2, ψ(x, y, z) – функцiя, гармонiйна в
нижньому пiвпросторi, що забезпечує виконання
граничних умов на вiльнiй поверхнi. Цю функцiю
шукають в iнтегральному представленнi з ядром у
виглядi функцiї Бесселя першого роду нульового
порядку, виходячи з симетрiї задачi.
В данiй роботi використовується iнший пiдхiд.
Розглянемо задачу генерацiї поверхневих хвиль
джерелом змiнної потужностi, що знаходиться в
точцi x = 0, y = 0, z = −h (рис. 1). Вважаємо,
що рiдина є iдеальною i нестисливою. Потенцiал
швидкостi руху рiдини задовольняє рiвнянню Ла-
пласа з правою частиною, що вiдображає дiю дже-
рела.
Рис. 1. Розмiщення джерела збурень
Таким чином, розглянемо наступне рiвняння:
∆ϕ = Q(t)δ(x)δ(y)δ(z + h), (2)
де δ(x) – дельта функцiя. Вважаємо, що поту-
жнiсть джерела є гармонiйною функцiєю часу,
тобто
Q(t) = Q0e
iωt. (3)
Тодi потенцiал також є гармонiйною функцiєю ча-
су
ϕ = Φ(x, y, z)eiωt. (4)
Приведемо рiвняння (2) до безрозмiрного вигля-
ду. Для цього введемо характернi параметри дов-
жини h, швидкостi
√
gh i часу
√
h/g:
∆ϕ̃ = Q̃(t)δ(x̃)δ(ỹ)δ(z̃ + h̃). (5)
Граничнi умови запишемо у виглядi
ϕ̃→ 0, при z̃ → −∞,
∂ϕ̃
∂z
− ∂2ϕ̃
∂t2
= 0, при z̃ = 0. (6)
Надалi символ ” ˜ ” будемо опускати. З огляду
на (3) i (4), рiвняння (5) може бути представлене
у виглядi
∆Φ = Q0δ(x)δ(y)δ(z + h) (7)
з граничними умовами
ϕ→ 0, при z → −∞,
∂ϕ
∂z
− ω2ϕ = 0 при z = 0.
(8)
Застосуємо до рiвняння (7) iнтегральне перетво-
рення Фур’є по змiнних x та y. Тодi отримуємо
d2ϕ̂(k1, k2, z)
dz2
− k2ϕ̂(k1, k2, z) = Q0δ(z + h), (9)
де k2 = k2
1 + k2
2.
Задача звелася до розв’язку рiвняння (9) з гра-
ничними умовами (8). Розв’язок неоднорiдного ди-
ференцiального рiвняння (9) з граничними умова-
ми (8) представимо у виглядi лiнiйної комбiнацiї
функцiй Φ1, Φ2 [6]:
Φ(z) =
Φ1(z1)Φ2(z2)
W (−h)
, (10)
де Φ1,Φ2 – два лiнiйно-незалежних розв’язки
однорiдного диференцiального рiвняння; вронскi-
ан W (z) = Φ′
1(z)Φ2(z) − Φ′
2(z)Φ1(z),
z1 = z, z2 = −h, при z > −h,
z1 = −h, z2 = z, при z < −h.
Розв’язок неоднорiдного диференцiального рiвня-
ння (9) iз граничними умовами (8) має вигляд
ϕ̂(k1, y, k2) = − Q0
2k(k − ω2)
×
×
[
(k + ω2)ek(z−h) + (k − ω2)e−k|z−h|
]
.
(11)
Для знаходження потенцiалу швидкостi викона-
ємо обернене перетворення Фур’є:
Φ(x, y, z) = − Q0
8π2
∞
∫
−∞
eik1xdk1
∞
∫
−∞
eik2y 1
k(k − ω2)
×
О. В. Городецький, В. I. Нiкiшов 49
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 2. С. 48 – 58
×
[
(k + ω2)ek(z−h) + (k − ω2)e−k|z−h|
]
dk2. (12)
Для знаходження подвiйного iнтеграла переходи-
мо до полярної системи координат x = r cosφ, y =
r sinφ, k1 = k cos θ, k2 = k sin θ i виконуємо iнтегру-
вання по k i по θ
ϕ(r, φ, z) = − Q0
8π2
∞
∫
0
2π
∫
0
e
(
ikr(cosφ cos θ+sin φ sin θ)
)
×
×
[
(k + ω2)ek(z−h) + (k − ω2)e−k|z−h|
k(k − ω2)
]
kdkdθ. (13)
Використовуючи розклад Якобi [7], який дає
представлення плоскої хвилi через цилiндричнi
хвилi, можна показати, що
2π
∫
0
exp
[
irk cos φ cos θ
]
exp
[
irk sinφ sin θ
]
dθ =
= 2πJ0
(
kr
√
sin2 φ+ cos2 φ
)
= 2πJ0(kr),
де J0(kr) – функцiя Бесселя першого роду нульо-
вого порядку. Тодi (13) приймає вигляд
ϕ(r, ϕ, z) = −Q0
4π
∞
∫
0
J0(kr)×
×
(
k + ω2
k − ω2
ek(z−h) + e−k|z+h|
)
dk.
(14)
Представимо функцiю Бесселя у виглядi суми
функцiй Ханкеля першого i другого роду:
J0(kr) =
1
2
(
H
(1)
0 (kr) +H
(2)
0 (kr)
)
.
Тодi iнтегральне представлення потенцiалу швид-
костi (14) буде
ϕ(r, φ, z) = −Q0
8π
×
×
[
∞
∫
0
H
(1)
0 (kr)
(
k + ω2
k − ω2
ek(z−h) + ek(z+h)
)
dk+
+
∞
∫
0
H
(2)
0 (kr)
(
k + ω2
k − ω2
ek(z−h) + ek(z+h)
)
dk
]
=
= −Q0
8π
(I∗1 + I∗2 ). (15)
Розглянемо iнтеграли, враховуючи асимптоти-
чний вигляд функцiй Ханкеля при великих зна-
ченнях аргументу (kr) → ∞. Переходимо в ком-
плексну площину i замкнемо контур iнтегрування
Рис. 2. Контур iнтегрування
для I∗1 у верхнiй пiвплощинi. Контур складається
з дiйсної пiвосi, чвертi кола великого дiаметра CR
i уявної пiвосi. Для обчислення I∗2 складаємо ана-
логiчний контур у нижнiй пiвплощинi (рис. 2). Тут
полюс знаходиться на дiйснiй осi.
Скориставшись умовою випромiнювання Лай-
тхiлла, представимо параметр ω у виглядi суми
дiйсної i уявної частини [8]: ω = ωr − iε. Тодi мо-
жна записати eiωt = eiωrteεt. Очевидно, що в дано-
му випадку при t → −∞ збурення прагнутимуть
до нуля, а в даний момент часу залежать вiд часу
як eiωt. Оскiльки ω2 = ω2
r − 2iεωr , то полюс знахо-
диться в IV чвертi. Здiйснюючи iнтегрування по
контуру, отримуємо
ϕ(r, φ, z) = −Q0
8π
[
4
π
∞
∫
0
K0(kr) cos k|z + h|dk−
− 4
π
∞
∫
0
K0(kr)
ω4 − k2
ω4 + k2
cos k(z − h)dk+
+
8
π
∞
∫
0
K0(kr)
ω2k
ω4 + k2
sin k(z − h)dk−
−2iπH
(2)
0 (ω2r)2ω2eω2(z−h)
]
. (16)
Враховуючи [9], що
∞
∫
0
cos btK0(t)dt =
π
2
1√
1 + b2
, (|Imb| < 1),
знаходимо
∞
∫
0
K0(kr) cos k|z + h|dk =
π
2
1
√
r2 + (z + h)2
.
50 О. В. Городецький, В. I. Нiкiшов
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 2. С. 48 – 58
Крiм того,
∞
∫
0
K0(kr)
ω4 − k2
ω4 + k2
cos k(z − h)dk =
= −2
∞
∫
0
k2
ω4 + k2
K0(kr) cos k(z − h)dk+
+
π
2
· 1
√
r2 + (z − h)2
.
Остаточно для потенцiалу швидкостi матимемо
ϕ(r, φ, z) =
= −Q0
4π
[
1
√
r2 + (z + h)2
− 1
√
r2 + (z − h)2
]
−
−Q0
4π
[
4
π
∞
∫
0
k2
ω4 + k4
K0(kr) cos k(z − h)dk+
+
4
π
∫ ∞
0
ω2k
ω4 + k4
K0(kr) sin k(z − h)dk
]
+
+
Q0
4π
2iπω2H2
0(ω2r)eω2(z−h). (17)
Отриманий вираз, що описує поширення поверх-
невих гравiтацiйних хвиль, збiгається з вiдомими
результатами [3, 4], отриманими на основi застосу-
вання виразу (1). Виконавши iнтегрування части-
нами iнтегралiв у другому доданку, можна пока-
зати, що при великих значеннях ω2r їх сума має
порядок O(1/(ω2r)3) i їх вкладом можна знехту-
вати у подальшому. Для оцiнки останнього додан-
ка скористаємось асимптотичним представленням
функцiї Ханкеля [7] i в результатi, враховуючи
множник exp (iωt) для потенцiалу швидкостей при
великих ω2r, отримуємо
ϕ(r, φ, z, t) ≈
≈ Q0
2
[
iωeω2(z−h)
√
2
πr
e−i(ω2r−ωt−π/4)
]
.
(18)
2. ХВИЛI ВIД ДЖЕРЕЛА ДОВIЛЬНОЇ
ПОТУЖНОСТI
Отриманi результати можуть бути узагальненi
на загальний випадок джерела змiнної потужно-
стi. Замiсть залежностi (3) розглянемо довiльний
випадок, коли залежнiсть потужностi джерела вiд
часу має вигляд Q = Q(t). Зробимо одне обмеже-
ння: нехай iснує iнтеграл Фур’є вiд функцiї Q(t).
Тодi можна записати
Q(t) =
1
2π
∞
∫
−∞
Q̂(ω)eiωtdω,
де Q̂(ω) – спектр функцiї Q(t). Будемо розглядати
також спектральне представлення функцiї потен-
цiалу швидкостi
ϕ(t) =
1
2π
∞
∫
−∞
ϕ̂(ω)eiωtdω.
У цьому випадку, скориставшись результатами,
отриманими ранiше, запишемо
ϕ(t, x, y, z) =
1
2π
∞
∫
−∞
eiωtF (ω)dω, (19)
де вiдповiдно
F (ω) = − Q̂
4π
×
× =
∞
∫
0
J0(kr)
[
k + ω2
k − ω2
ek(z−h) + e−k|z+h|
]
dk. (20)
Розiб’ємо iнтеграл (19) на два:
ϕ(t, x, y, z) =
1
2π
0
∫
−∞
eiωtF (ω)dω+
+
1
2π
∞
∫
0
eiωtF (ω)dω = I1 + I2.
Зупинимося на розглядi тiльки асимптотичного
розв’язку задачi, справедливого для великих вiд-
станей вiд джерела. Як було показано ранiше,
основний внесок у цей розв’язок дає полюс пiдiн-
тегрального виразу (20). Розглянемо спочатку iн-
теграл I2. Представимо функцiю Бесселя у вигля-
дi суми функцiй Ханкеля, як це було зроблено в
роздiлi 2 i розiб’ємо iнтеграл I2 на два iнтеграли,
причому у першому iнтегралi як спiвмножник бу-
де функцiя Ханкеля першого роду, а у другому –
О. В. Городецький, В. I. Нiкiшов 51
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 2. С. 48 – 58
функцiя Ханкеля другого роду:
I2 = − Q̂
8π2
∞
∫
0
eiωt
∞
∫
0
1
2
(
H
(1)
0 (kr)
)
×
×
[
k + ω2
k − ω2
ek(z−h) + e−k|z+h|
]
dkdω−
− Q̂
8π2
∞
∫
0
eiωt
∞
∫
0
1
2
(
H
(2)
0 (kr)
)
×
×
[
k + ω2
k − ω2
ek(z−h) + e−k|z+h|
]
dkdω.
Переходячи в площину комплексних змiнних, здiй-
снюємо iнтегрування по контурах: для першого iн-
теграла вiн замикається у верхнiй пiвплощинi, для
другого – у нижнiй. Попереднiй аналiз показав, що
полюс у даному випадку знаходиться у четвертiй
чвертi i внесок вiд полюсу в даному випадку бу-
де мати iнтеграл, що мiстить функцiю H
(2)
0 (kr).
Виконавши iнтегрування, можна записати
I2 =
1
2π
∞
∫
0
2πiω2H
(2)
0 eω2(z−h) Q̂(ω)
4π
eiωtdω.
Використавши асимптотичне представлення
функцiї Ханкеля другого роду, маємо
I2 ∼= i
4π
√
2
πr
∞
∫
0
ωeω2(z−h)
[
Q̂(ω)ei(ωt−ω2r+π/4)
]
dω.
Аналогiчним чином знаходимо iнтеграл I1. Вiд-
мiннiсть полягає лише в тому, що значення ω < 0.
Полюс в (20), дотримуючись правила Лайтхiлла,
описується виразом k = ω2
r − 2iεωr , тобто при
ωr < 0 вiн буде знаходитись в першiй чвертi i його
вклад буде виражатися через iнтеграл, що мiстить
функцiю H
(1)
0 (kr). У результатi отримаємо
I1 ∼= − i
4π
√
2
πr
∞
∫
0
ωeω2(z−h)Q̂(−ω)e−i(ωt−ω2r+π/4)dω.
Повертаючись до (19), запишемо
ϕ(t, r, z) =
i
4π
√
2
πr
∞
∫
0
ωeω2(z−h)×
×
[
Q̂(ω)ei(ωt−ω2r+π/4)−
−Q̂(−ω)e−i(ωt−ω2r+π/4)
]
dω. (21)
Знайдемо тепер асимптотичний розв’язок зада-
чi, використовуючи метод стацiонарної фази [10].
Будемо шукати розв’язок вздовж шляхiв r = Ct
для великих значень t. У результатi знаходимо
ϕ(t, r, z) =
i
4π
√
2
πr
ω0e
ω2
0
(z−h)
√
2π
|t− 2C|×
×
[
Q̂(ω0)eit(ω0−Cω2
0
) − Q̂(−ω0)e−it(ω0−Cω2
0
)
]
, (22)
де ω0 =
t
2C
. Якщо спектр коливань потужностi
джерела симетричний, тобто Q(−ω) = Q(ω), то
ϕ(t, r, z) ∼= −
√
2
4π
t
r2
×
× exp
[
t2
4r2
(z − h)
]
Q
(
t
2r
)
sin
(
t2
4r2
)
. (23)
3. ГЕНЕРАЦIЯ ПОВЕРХНЕВИХ ХВИЛЬ
ЗАНУРЕНОЮ ОБЛАСТЮ ЗАВИХРЕНОСТI
Розглянемо генерацiю хвильових рухiв на вiль-
нiй поверхнi однорiдної iдеальної нестисливої рi-
дини необмеженої глибини областю Ω, завихре-
нiсть усерединi якої ~ω(t, x, y, z) вiдмiнна вiд нуля.
Область Ω знаходиться на вiдстанi h вiд вiльної
поверхнi (рис. 3). Рiвняння iмпульсу може бути за-
писане в такому виглядi:
ρ
[
∂~v
∂t
+ (~v · ∇)~v
]
= −∇p− ρg~m, (24)
де ~v – вектор швидкостi; p – тиск; ρ – густина; g
– прискорення сили тяжiння; ~m – одиничний ве-
ктор, спрямований вверх вздовж вертикальної ко-
ординати.
Розкладемо вектор швидкостi на потенцiальну i
вихрову компоненти:
~v = ∇ϕ+ ~vs,
де ϕ – потенцiал швидкостi руху рiдини. Вихрову
складову швидкостi покладаємо рiвною нулю поза
областю Ω. Тодi рiвняння (24) може бути представ-
лене в такому виглядi:
∂~vs
∂t
+ ∇∂ϕ
∂t
+ ∇~v
2
2
+ ∇p− p0
ρ
+
+∇(gz) = −(~ω × ~v), (25)
де p0 – тиск над вiльною поверхнею. Введемо в
розгляд функцiю Бернуллi, визначену наступним
чином:
B =
∂ϕ
∂t
+
~v2
2
+
p− p0
ρ0
+ gz. (26)
52 О. В. Городецький, В. I. Нiкiшов
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 2. С. 48 – 58
Рис. 3. Розмiщення областi завихреностi
Рiвняння (25) приймає вигляд
∇B = −∂~vs
∂t
− (~ω × ~v). (27)
В незавихренiй рiдинi, вiддаленiй вiд областi Ω,
маємо замiсть (26) рiвнiсть
B =
∂ϕ
∂t
+
1
2
(∇ϕ)2 +
p− p0
ρ0
+ gz. (28)
Також маємо рiвняння нестисливостi
∇~v = 0,
з якого отримуємо
∇~vs = 0, (29)
∇2ϕ = 0. (30)
Тодi, застосувавши операцiю дивергенцiї до (27),
знаходимо
∇2B = −∇(~ω × ~v). (31)
З рiвняння (27) або (31) видно, що при вiдсу-
тностi рухiв в областi Ω функцiя Бернуллi B стає
постiйною. При наявностi рухiв у данiй областi це
рiвняння може бути використане для опису функ-
цiї B.
Ми розглядаємо генерацiю поверхневих хвиль
глибоко зануреною областю i припускаємо, що ам-
плiтуда хвиль мала. Вiдомо [3, 4], що амплiтуда
поверхневих хвиль затухає по експонентi з глиби-
ною, а збурення, обумовленi зануреною областю
завихреностi, затухають по алгебраїчному (степе-
невому) закону [4]. Тому ми можемо припускати,
що вплив поверхневих хвиль на рух в межах до-
статньо глибоко зануреної областi Ω незначний.
Таким чином, якщо джерело задане (ми маємо
на увазi, що швидкiсть задана в межах обмеженої
областi), рiвняння (31) є рiвнянням Пуассона для
функцiї B. Припускаємо, що область зi збурення-
ми розташована на глибинi h i характерний розмiр
l областi – набагато менший, нiж глибина h, тобто
l << h. Розв’язок рiвняння (31) запишемо за до-
помогою функцiї Грiна. Вiдповiдно до роботи [6],
запишемо функцiю Грiна у виглядi
G(~x, ~x′) = − 1
4π
[
1
|~x− ~x′| +
1
|~x− ~x′′|
]
. (32)
Необхiдно зазначити, що в роботах [11, 12] при-
ймався до уваги тiльки перший доданок у вира-
зi (32), аргументуючи це тим, що область зави-
хреностi знаходилась далеко вiд вiльної поверхнi
i у цьому випадку можна використовувати фун-
кцiю Грiна для всього простору. У спiввiдношеннi
(32) враховано наявнiсть поверхнi роздiлу. У дано-
му випадку розглядається рiвняння Пуассона для
функцiї Бернуллi, i для неї виконується умова Не-
ймана [6]. Вектор ~́x′ показує мiсце розташування
елемента джерела, вектор ~x′′ показує мiсце розта-
шування зображення i ~x вiдповiдає точцi спосте-
реження (див. рис. 3). Таким чином, отримуємо
B(x, y, z, t) =
=
1
4π
∫
Ω
∇(~ω×~v)
[
1
√
(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z + z′)2
+
+
1
√
(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z + z′)2
]
dx′dy′dz′.
Введемо радiус у горизонтальнiй площинi r2 =
x2 + y2. Наближено можна записати, враховуючи
нерiвнiсть l � h:
√
(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z + z′)2 ∼=
∼=
√
r2 + (z + h)2 = R1,
i вiдповiдно
√
(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2 ∼=
О. В. Городецький, В. I. Нiкiшов 53
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 2. С. 48 – 58
∼=
√
r2 + (z − h)2 = R2.
Тодi
B(x, y, z, t) =
1
4π
(
1
R1
+
1
R2
)
∫
Ω
∇(~ω × ~v)dx′dy′dz′.
Введемо позначення
L(t) =
∫
Ω
∇(~ω × ~v)dx′dy′dz′ (33)
i отримуємо
B(x, y, z, t) =
L(t)
4π
(
1
R1
+
1
R2
)
. (34)
Лiнеаризована функцiя Бернуллi вiддалена вiд
областi джерела в нижньому пiвпросторi має ви-
гляд
∂ϕ
∂t
+
p− p0
ρ0
+ gz =
L(t)
4π
(
1
R1
+
1
R2
)
. (35)
Розглянемо поверхневi хвилi, утворенi зануре-
ною областю, в якiй вiдбуваються флуктуючi гi-
дродинамiчнi рухи, що характеризуються завихре-
нiстю, яка не дорiвнює нулю. Вважаємо, що сере-
довище напiвнескiнченне, а над ним знаходиться
повiтряна атмосфера. Для потенцiалу швидкостi
виконується рiвняння Лапласа ∆ϕ = 0. Гранична
умова на вiльнiй поверхнi з урахуванням кiнема-
тичної умови
∂ϕ
∂z
=
∂z
∂t
, при z = 0,
а також приймаючи до уваги рiвнiсть R1 = R2 =
= R при z = 0, може бути представлена у ви-
глядi
∂2ϕ
∂t2
+ g
∂ϕ
∂z
− ∂
∂t
L(t)
2πR
= 0, при z = 0, (36)
i друга умова
ϕ→ 0, при z → −∞.
Вважаємо, що L(t) = 0 при t = 0.
Слiд зазначити, що задача, яка розглядається,
аналогiчна задачi, яка розглядалась вище, про
генерацiю хвиль джерелом довiльної потужностi
Q(t).
Введемо характернi масштаби задачi: довжину
h i прискорення сили тяжiння g. Тодi рiвняння Ла-
пласа, граничнi i початкова умови у безрозмiрно-
му виглядi можуть бути представленi наступним
чином:
∆ϕ = 0, (37)
∂2ϕ
∂t2
+
∂ϕ
∂z
− ∂
∂t
L(t)
2π
√
r2 + 1
= 0, (38)
ϕ→ 0, при z → −∞, (39)
L(t) = 0, при t = 0. (40)
Таким чином, задача зводиться до розв’язку рiв-
няння (37) з початковою умовою (40) i граничними
умовами (38) i (39).
Для розв’язку задачi застосовуємо перетворен-
ня Фур’є по часу i перетворення Фур’є по коорди-
натам x i y. В результатi маємо
∂2ϕ̂
∂z2
= m2ϕ̂, m2 = k2
1 + k2
2 . (41)
Задовольняючи умову (39), знаходимо
ϕ̂ = Aemz . (42)
Застосовуємо перетворення до граничної умови
(38):
∂ϕ̂
∂z
− ω2ϕ̂ = iω
e−m ˆL(ω)
m
при z = 0, (43)
де L̂(ω) – спектр збурень швидкостi в областi Ω.
Пiдставляючи розв’язок (42) у (43), отримуємо
для вертикальної компоненти швидкостi
ŵ =
∂ϕ̂
∂z
= iω
e−memzL̂(ω)
m− ω2
.
Застосовуємо оберненi перетворення по k1, k2 i ω.
Проводимо замiну змiнних:
x = r cosϕ, y = r sinϕ, k1 = m cos θ, k2 = m sin θ,
i отримуємо
w =
1
(2π)2
∞
∫
−∞
iωL̂(ω)eiωt×
×
∞
∫
0
e−memzJ0(mr)
(m− ω2)
mdmdω. (44)
Для обчислення внутрiшнього iнтеграла в (44)
представимо функцiю Бесселя у виглядi суми
функцiй Ханкеля першого i другого родiв i розi-
б’ємо iнтеграл на суму двох iнтегралiв:
w =
1
(2π)2
(I1 + I2),
I1 =
1
2
0
∫
−∞
iωL̂(ω)eiωt
[
G1(ω, r) + G2(ω, r)
]
,
54 О. В. Городецький, В. I. Нiкiшов
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 2. С. 48 – 58
I2 =
1
2
∞
∫
0
iωL̂(ω)eiωt
[
G1(ω, r) +G2(ω, r)
]
,
G1(ω, r) =
∞
∫
0
e−memz
m− ω2
H
(1)
0 (mr)mdm,
G2(ω, r) =
∞
∫
0
e−memz
m− ω2
H2
0 (mr)mdm.
Пiдiнтегральнi вирази в G1(ω, r) i G2(ω, r) ма-
ють полюс на дiйснiй осi m. Оберемо шлях iнте-
грування навколо полюсiв так само, як i в зада-
чi про генерацiю поверхневих гравiтацiйних хвиль
зануреним джерелом змiнної потужностi, застосо-
вуючи правило Лайтхiлла. Використовуємо асим-
птотичне представлення функцiї Ханкеля, знахо-
димо
I1 = −1
2
infty
∫
0
iωL̂(−ω)e−iωt×
×
[
− 2πiω2e−ω2
eω2zH
(1)
0 (ω2r)+
+
2
π
∞
∫
0
e−imeimzK0(mr)
(m+ iω2)
mdm+
+
2
π
∞
∫
0
eime−imzK0(mr)
(m− iω2)
mdm
]
dω,
де K0(mr) – функцiя Макдональда, що швидко за-
тухає з ростом аргументу.
Обчислення I2 здiйснюється аналогiчним чи-
ном. У даному випадку полюс знаходиться в IV
чвертi, i шлях iнтегрування представлений на
рис. 4, b. Нехтуючи величинами, якi прямують
до нуля при великих значеннях аргументу, вер-
тикальна компонента швидкостi може бути пред-
ставлена у виглядi
w = −
∞
∫
0
G(ω)
[
L̂(−ω)e−iωtH
(1)
0 (ω2r)+
+L̂(ω)eiωtH2
0 (ω2r)
]
dω, (45)
де G(ω) =
1
4π
ω3e−ω2
eω2z.
Використовуючи асимптотичну форму функцiй
Ханкеля, вертикальна компонента швидкостi мо-
же бути представлена у виглядi
w = −2
∞
∫
0
Gω
√
2
πω2r
×
Рис. 4. Контури iнтегрування в комплекснiй площинi
×
[
L̂(−ω)e−i(ωt−ω2r+π/4) + L̂(ω)ei(ωt−ω2r+π/4)
]
dω.
Оцiнка цього виразу може бути зроблена на основi
методу стацiонарної фази для великих r i t вздовж
шляхiв r = ct, де c – стала. Тодi маємо оцiнку
виразу (45):
w = −2
√
2
ωsr
G(ωs)
[
L̂(−ωs)e−iωsteiω2
s
r+
+L̂(ωs)eiωste−iω2
s
r
]
, (46)
де ωs = 1/2c = t/2r.
Таким чином, отримано залежностi, що опису-
ють лiнеаризоване поле поверхневих хвиль, утво-
рених зануреною областю завихреностi. Для ве-
ликої глибини занурення даної областi зворотним
ефектом поверхневих хвиль на характеристиках
швидкостi i завихреностi в межах областi можна
знехтувати.
Для обчислення збурень поверхнi, якi генерую-
ться зануреною областю завихреностi, застосовує-
ться формула (46) i кiнематичнi умови на вiльнiй
поверхнi. Для проведення конкретних розрахункiв
необхiдно задати характеристики областi завихре-
ностi i обчислити вираз (33). Вiдмiтимо, що процес
лiнеаризацiї, який застосовувався при постановцi
задачi, а точнiше, при формулюваннi граничних
умов на вiльнiй поверхнi, не проводиться при об-
численнi L(t). Величина гiдродинамiчних рухiв у
межах областi не обов’язково мала. Iншими сло-
вами, при обчисленнi L(t) можуть бути врахованi
нелiнiйнi ефекти. В загальному випадку величина
L(t) залежить вiд вибору конкретної моделi руху.
Аналiз отриманих виразiв, що описують генера-
цiю поверхневих гравiтацiйних хвиль зануреним
джерелом змiнної потужностi i областю завихре-
ностi, показують, що мiж ними iснує певна ана-
О. В. Городецький, В. I. Нiкiшов 55
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 2. С. 48 – 58
Рис. 5. Залежнiсть функцiї L(t) вiд часу
логiя. Спiввiдношення мiж ними може бути вира-
жено у виглядi: "потужнiсть" джерела областi за-
вихреностi вiдповiдає швидкостi змiни потужностi
джерела змiнної iнтенсивностi:
∂Q
∂t
↔
∫
V ′
∇(~ω × ~v)dx′dy′dz′.
З мiркувань розмiрностей можна записати
L(t)∞v2
xl, де vx – характерна швидкiсть руху
в областi Ω; l – характерний розмiр областi,
(l << h).
Як було прийнято вище, в початковий момент
часу рух в областi Ω вiдсутнiй. Нехай iнтенсив-
нiсть руху спочатку зростає, а потiм спадає, що
повнiстю вiдповiдає фiзицi процесу виникнення
областей зi збуреннями швидкостi в реальних умо-
вах морського середовища. Тодi представимо L(t)
у виглядi L(t) = Cv2
x · lT (t), де T (t) – функцiя, що
вiдображає змiну iнтенсивностi руху вiд часу, при-
чому T (t) в даному випадку є безрозмiрною фун-
кцiєю; C – постiйна, що залежить вiд структури i
iнтенсивностi руху рiдини в областi Ω.
Розглянемо два приклади функцiї T (t) в насту-
пних формах:
T1(t) =
1
2
t
1 + e−t
e−t/2,
T2(t) =
1
2
t2
1 + e−t
e−t/2. (47)
Графiки функцiй T1(t) (крива 1) i T2(t) (крива
2) представленi на рис. 5.
Рис. 6. Спектр функцiї L(t)
Пiсля застосування перетворення Фур’є вiдпо-
вiдно маємо [13]
T̂1 =
iπ2
2
shπω
ch 2πω
, T̂2 =
π3
2
2 − ch 2πω
ch 3πω
. (48)
Спектри функцiй T̂1(ω) i T̂2(ω) зображенi на
рис. 6.
Формулу для вiдхилення вiльної поверхнi ζ для
спектрiв (48) отримуємо з (46) iз врахуванням кi-
нематичних граничних умов:
ζ =
i
√
2
4πr
ωse
−ω2
s×
×
[
L̂(−ωs)e−iωsteiω2
s
r + L̂(ωs)Eiωste−iω2
s
r
]
. (49)
Для проведення чисельних розрахункiв будемо
вважати, що характерна швидкiсть vx = 0.33, ха-
рактерний розмiр областi завихреностi l = 0.1, а
константа C = 1.
На рис. 7 та 8 представлено результати розра-
хункiв вiдхилення вiльної поверхнi вiд незбурено-
го рiвня ζ в залежностi вiд часу t для вiдстанi
r = 100, для спектрiв функцiї L(t) виду T̂1(ω) та
T̂2(ω) вiдповiдно. Порiвнюючи рис. 7 та 8, вiдмi-
тимо, що спiльним для обох спектрiв є те, що для
малих t iнтенсивнiсть хвильових рухiв незначна.
З часом, коли до точки спостереження доходять
хвилi, в яких зосереджена основна частина енер-
гiї, амплiтуда коливань значно зростає. При вели-
ких значеннях t, коли хвилi, в яких зосереджена
основна частина енергiї, вже пройшли точку спо-
стереження, iнтенсивнiсть хвиль рiзко спадає.
56 О. В. Городецький, В. I. Нiкiшов
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 2. С. 48 – 58
Рис. 7. Залежнiсть амплiтуди хвиль вiд часу
при r = 100 (перший тип збурень)
Рис. 8. Залежнiсть амплiтуди хвиль вiд часу
при r = 100 (другий тип збурень)
В той самий час, слiд вiдзначити ряд вiдмiнно-
стей для хвильових картин. Для величин вiдхиле-
ння вiльної поверхнi для другого спектру (рис. 8)
має якiсно iнший характер, значно складнiший
нiж для першого спектру (рис. 7). Це обумовлено
рiзним видом спектрiв T̂1(ω) та T̂2(ω). Як видно
з (48), спектр T̂2(ω) значно вiдрiзняється вiд T̂1(ω),
особливо для малих значень ω.
На рис. 9 та 10 для першої моделi спектру, T̂1(ω),
побудовано просторову картину хвиль для iнтер-
валу вiдстаней r = 20 ÷ 100 для моменту часу
t = 30 i t = 100 вiдповiдно. Аналогiчнi розрахун-
ки вiдхилення вiльної поверхнi зробленi для другої
моделi спектру T̂2(ω) при тих самих значеннях r
Рис. 9. Просторова картина збурень
при t = 30 (перший тип збурень)
Рис. 10. Просторова картина збурень
при t = 30 (другий тип збурень)
Рис. 11. Просторова картина збурень
при t = 100 (перший тип збурень)
i t. Результати представлено на рис. 11 (t = 30)
та рис. 12 (t = 100). Як i очiкувалось, висновки
вiдповiдають зробленим вище.
ВИСНОВКИ
Таким чином, у роботi методом iнтегральних
перетворень знайдено розв’язок задачi про гене-
рацiю поверхневих гравiтацiйних хвиль джерелом
змiнної потужностi, що знаходиться на заданiй
глибинi. Зроблено оцiнку iнтегральних виразiв,
знайдено асимптотичне представлення розв’язку,
що описує хвилi на великiй вiдстанi вiд джерела.
О. В. Городецький, В. I. Нiкiшов 57
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 2. С. 48 – 58
Рис. 12. Просторова картина збурень
при t = 100 (другий тип збурень)
Порiвняльний аналiз показав, що здобуте рiшення,
що описує поведiнку потенцiалу швидкостi, збiга-
ється з вiдомими результатами [4, 5], отриманими
iншими способами. Застосований пiдхiд дозволяє
вирiшувати задачi при наявностi ряду поверхонь
роздiлу. Застосування його доцiльне в задачах, ко-
ли один з шарiв заповнено, наприклад, в’язкою рi-
диною [14].
Розв’язок задачi про генерацiю поверхневих
хвиль пульсуючим джерелом узагальнено на випа-
док джерела довiльної змiнної потужностi. Пока-
зано, що характер хвилювання визначається спе-
ктром потужностi джерела. Методом стацiонар-
ної фази отримано асимптотичний розв’язок, що
описує хвильову картину на великих вiдстанях вiд
джерела.
Грунтуючись на методицi розв’язку задач про
генерацiї поверхневих гравiтацiйних хвиль джере-
лами (пульсуючої або змiнної довiльної потужно-
стi), отримано розв’язок задачi про генерацiю лi-
нiйних хвиль зануреною областю змiнних гiдроди-
намiчних рухiв. Розглянуто випадок, коли область
глибоко занурена в рiдину. Це дозволяє знехтува-
ти зворотним впливом поверхневих хвиль на рух
рiдини в областi завихреностi. Таке припущення
грунтується на тому, що вплив хвильового руху
затухає з глибиною по експоненцiальному закону,
у той час як збурення вiд областi завихреностi –
по степеневому.
Незважаючи на те, що розглядаються лiнiйнi
хвилi, величини гiдродинамiчних рухiв у межах
областi можуть бути великими, оскiльки параме-
три "джерела" розраховуються окремо. Цi флу-
ктуацiї, як правило, є результатом нелiнiйних вза-
ємодiй гiдродинамiчних полiв, що вiдомi або роз-
рахованi окремо i процес лiнеаризацiї до них не
застосовується.
В роботi розглянуто генерацiю поверхневих
хвиль глибоко зануреною областю завихреностi.
Такi областi можуть виникати внаслiдок дiї за-
нуреного концентрованого джерела кiлькостi ру-
ху. Вiдмiтимо, що наявнiсть кiнцевої глибини або
стратифiкацiї рiдини в даному випадку призво-
дить до того, що течiя, яка виникає, стає обме-
женою по глибинi i приймає двовимiрний харак-
тер. У результатi вихровi рухи можуть "когерен-
тним"чином досягати вiльної поверхнi [15, 16].
1. Сэффтэн Ф.Дж. Динамика вихрей.– М.: Научный
мир, 2000.– 375 с.
2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных
сред.– М.: Гос. изд.техн.-теор. лит-ры, 1953.– 788 с.
3. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений
жидкости.– М.: Наука, 1977.– 815 с.
4. Ламб Г. Гидродинамика.– М.-Л.: ОГИЗ, 1947.–
928 с.
5. Хаскинд М.Д. Гидродинамическая теория качки
корабля.– М.: Наука, 1972.– 327 с.
6. Морс Ф.М., Фешбах Г. Метод теоретической
физики.– М.: МУЛ, 1958.– T. 1, 931 с.; 1960.– T.
2, 897 c.
7. Коренев Б. Г. Введение в теорию бесселевых
функций.– М.: Наука, 1971.– 287 с.
8. Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях.– М.: Мир,
1981.– 598 с.
9. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специ-
альным функциям.– М.: Наука, 1979.– 830 с.
10. Федорюк М.В. Метод перевала.– М.: Наука, 1977.–
368 с.
11. Liu J.T.C. Generation of interfacial gravity waves
by submerged regions of fluctuating hydrodynami-
cal motions and fluid inhomogeneities // Physics of
Fluids.– 1979.– vol.22, N. 5.– P. 814-818.
12. Мадерич В.С., Никишов В.И., Стеценко А.Г. Ди-
намiка внутрiшнього перемiшування в стратифi-
кованому середовищi.– К.: Наукова думка, 1988.–
239 с.
13. Бейтмен Г, Эрдейи А. Таблицы интегральных пре-
образований. Т. 1.– М.: Наука, 1969.– 343 с.
14. Lu D.Q., Chwang A.T. Interfacial waves due to a si-
ngularity in a system of two-semi-infinite fluids //
Physics of Fluids.– 2005.– vol. 17.– P. 102107.
15. Sous D., Bonneton N., Sommeria J. Turbulent vortex
dipoles in a shallow water layer // Phys. Fluids.–
2004.– vol. 16, N. 8.– P. 2886-2898.
16. Voropayev S.I., Fernando H.J.S., Smirnov S.A.,
Morrison R. On surface signature by submerged
momentum sources // Phys. Fluids.– 2007.– vol. 19.–
P. 076603.
58 О. В. Городецький, В. I. Нiкiшов
|