Устойчивость границы фазового перехода в подвижной неньютоновской жидкости

Проведена аналитическая оценка критерия неустойчивости положения границы раздела фаз подвижного ядра потока и кристаллизованного слоя неньютоновской жидкости для случая степенной зависимости вязкости от скорости сдвига и стационарного теплообмена. Була проведена аналiтична оцiнка крiтерiя нестiйкост...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2008
Main Authors:	Бастеев, А.В., Дашков, А.В., Кравченко, О.В., Репалова, О.Н.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут гідромеханіки НАН України 2008
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4656
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Устойчивость границы фазового перехода в подвижной неньютоновской жидкости / А.В. Бастеев, А.В. Дашков, О.В. Кравченко, О.Н. Репалова // Прикладна гідромеханіка. — 2008. — Т. 10, № 2. — С. 69-74. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859957478841647104
author	Бастеев, А.В. Дашков, А.В. Кравченко, О.В. Репалова, О.Н.
author_facet	Бастеев, А.В. Дашков, А.В. Кравченко, О.В. Репалова, О.Н.
citation_txt	Устойчивость границы фазового перехода в подвижной неньютоновской жидкости / А.В. Бастеев, А.В. Дашков, О.В. Кравченко, О.Н. Репалова // Прикладна гідромеханіка. — 2008. — Т. 10, № 2. — С. 69-74. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.
collection	DSpace DC
description	Проведена аналитическая оценка критерия неустойчивости положения границы раздела фаз подвижного ядра потока и кристаллизованного слоя неньютоновской жидкости для случая степенной зависимости вязкости от скорости сдвига и стационарного теплообмена. Була проведена аналiтична оцiнка крiтерiя нестiйкостi положення межi роздiлу фаз рухомого ядра потоку та кристалiзованого шару неньютонiвської рiдини для стацiонарного теплообмiну, коли залежнiсть в'язкостi вiд швидкостi змiщення є степеневою. The analytical estimation of boundary stability between kernel of fluid and its crystallized layer has been made in the case of stationary heat exchange. The fluid was considered non-Newtonian with sedate dependence of viscosity from speed shear.
first_indexed	2025-12-07T16:20:32Z
format	Article
fulltext	КОРОТКI ПОВIДОМЛЕННЯ ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 2. С. 69 – 74 УДК 532 УСТОЙЧИВОСТЬ ГРАНИЦЫ ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА В ПОДВИЖНОЙ НЕНЬЮТОНОВСКОЙ ЖИДКОСТИ А. В. Б АС ТЕЕВ∗, А. В. Д АШ К ОВ∗∗, О. В. К РА В Ч ЕН К О∗∗∗, О. Н. РЕ П А ЛО В А∗∗∗∗ ∗Национальный аэрокосмический университет, ∗∗НПФ ООО Технология, ∗∗∗Институт проблем машиностроения им. А.Н.Подгорного НАН Украины, ∗∗∗∗ННЦ ХФТИ НАН Украины Получено 17.12.2007 Проведена аналитическая оценка критерия неустойчивости положения границы раздела фаз подвижного ядра по- тока и кристаллизованного слоя неньютоновской жидкости для случая степенной зависимости вязкости от скорости сдвига и стационарного теплообмена. Була проведена аналiтична оцiнка крiтерiя нестiйкостi положення межi роздiлу фаз рухомого ядра потоку та кри- сталiзованого шару неньютонiвської рiдини для стацiонарного теплообмiну, коли залежнiсть в’язкостi вiд швидкостi змiщення є степеневою. The analytical estimation of boundary stability between kernel of fluid and its crystallized layer has been made in the case of stationary heat exchange. The fluid was considered non-Newtonian with sedate dependence of viscosity from speed shear. ВВЕДЕНИЕ Данная статья посвящена вопросу изучения по- ведения нагретой неньютоновской жидкости при ее движении в сравнительно тонком канале. Такие течения характерны для технологий переработки и литья полимеров, и их главной отличительной особенностью является наличие интенсивных про- цессов теплообмена. Например, перепад темпера- тур расплавленное ядро потока – стенка форму- ющей оснастки может достигать в таких процес- сах 200◦C. При движении нелинейно-вязкой жид- кости по каналу происходит интенсивное охлажде- ние пристеночного слоя полимера, его кристалли- зация (так как температура формующей оснастки обычно много меньше температуры кристаллиза- ции полимера), рост кристаллизованного слоя по высоте и, как следствие всех этих процессов, – "закупорка" и остановка потока. С точки зрения конструирования оснастки, отладки технологиче- ских процессов, расчетов литьевых машин важ- но знать так называемую максимальную длину течения (или как говорят – проливаемость), ко- торая может быть реализована для конкретных заданных параметров течения. Более того, чре- звычайно интересным оказывается вопрос о по- дборе таких параметров, при которых длина те- чения будет максимальной либо закупорка вооб- ще не будет происходить. Эксперименты с проли- ваемостью полимерами тонких каналов различной геометрии показывают [1], что в большинстве слу- чаев реальная длина течения может быть гораздо выше, чем получаемая из существующих расче- тных моделей. Одним из недостатков имеющихся схем расчета является отсутствие учета процессов выделения теплоты за счет внутреннего трения в потоке. Однако для течения полимеров этот ис- точник тепла может быть вполне существенным – за счет высоких давлений, и соответственно высо- ких сдвиговых скоростей при гораздо большей по сравнению с ньютоновскими жидкостями величи- не кажущейся вязкости. Таких образом, цель на- стоящей работы – попытаться в какой-то мере во- сполнить существующий пробел в моделировании подобных процессов. 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассматривается задача об устойчивости грани- цы раздела фаз в подвижной подогретой жидко- сти, которая движется под давлением в канале ци- линдрической формы. Схема течения представле- на на рис. 1. Подвижное ядро потока 2 имеет тем- пературу, более высокую, чем холодная стенка ка- нала 3. В результате процесса охлаждения у стен- ки образуется неподвижный кристаллизованный слой высотой h0, которая может быть как постоян- ной величиной в случае стационарного процесса, так и получать некоторые приращения (возмуще- ния) h̃ при отклонениях от стационарности. В по- следнем случае нестационарного процесса может c© А. В. Бастеев, А. В. Дашков, О. В. Кравченко, О. Н. Репалова, 2008 69 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 2. С. 69 – 74 Рис. 1. Схема течения неньютоновской жидкости в канале происходить и постепенное увеличение толщины кристаллизованного слоя, вплоть до полной заку- порки канала и остановки течения. В данной ра- боте будем рассматривать устойчивость положе- ния границы раздела фаз при стационарном режи- ме, т.е., вообще говоря, исследовать возможность существования стационарного (относительно по- ложения границы) режима в подобной системе. Для решения этой задачи используем известную линейную схему исследования на устойчивость: линеаризацию возмущенного уравнения движения границы раздела. Для этого нам понадобится ре- шение уравнений теплопроводности в подвижной и неподвижной зонах с учетом процесса выделе- ния тепла за счет внутреннего трения в потоке. При решении задачи будем использовать следу- ющие допущения. Жидкость является нелинейно- вязкой, в качестве реологического закона взята степенная зависимость: η(S) = kS n−1 2 , (1) где S в общем случае – это функция тензора де- формаций течения, в нашем же случае простой геометрии – функция производной от скорости те- чения по радиусу канала r. Величину кажущейся вязкости η(S) принимаем зависящей от температу- ры. Вид этой зависимости будем считать экспонен- циальным. Согласно [2], именно такой вид зависи- мости наиболее точно соответствует эксперимен- тальным данным. Поскольку за основу расчетов взят степенной закон, то зависимость от темпера- туры может содержаться в степенном показателе n и/или показателе пластичности k. Следуя [3], при- мем, что n не зависит от температуры, а величина k зависит экспоненциально: k = k0e U RT , (2) где U – энергия активации течения; R – газо- вая постоянная; T – температура; k0 - постоянная часть показателя пластичности. Принимаем про- филь скорости течения, соответствующий степен- ному реологическому закону [5]. Также считаем, что теплоперенос в системе осуществляется толь- ко по высоте канала (радиусу трубы), и в системе присутствует выделение теплоты за счет внутрен- него трения. Движение потока считаем происхо- дящим только по оси канала. Температуру стенки канала Tst считаем постоянной. На границе разде- ла фаз считаем температуру равной температуре кристаллизации неньютоновской жидкости Tcr. 2. АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ С принятыми допущениями уравнение тепло- проводности для подвижного ядра потока (зоны 2) будет иметь вид: χ2 r ∂ ∂r ( r ∂T2 ∂r ) = −e U RT2 k0 cp ( um(3n + 1)r 1 n n(R0 − h0) n+1 n )n+1 , (3) где um – средняя скорость потока; χ2 – коэффи- циент температуропроводности; T2 – температу- ра в зоне 2. Уравнение (3) получается (с учетом принятых допущений) подстановкой выражения для скорости потока в уравнение теплопроводно- сти для несжимаемой жидкости [4].1 Введем сле- дующие безразмерные величины: r̂ = r R0 , ĥ0 = h0 R0 , (4) θ2 = T2 − Tcr Tcr β̃ = U RTcr . (5) Разлагая экспоненту в выражении (3) в ряд и учитывая соотношения (4) и (5), получим уравне- ние (3) в безразмерном виде: ∂2θ2 ∂r̂2 + 1 r̂ ∂θ2 ∂r̂ + γ̃ ( 1 − β̃θ2 ) r̂ n+1 n = 0, (6) где γ̃ = k0e βun+1 m Tcrχ2cpR n−1 0 ( 3n + 1 n )n+1 1 (1 − ĥ0) (n+1)2 n . (7) Следует отметить, что разложение в ряд при получении уравнения (6) выполнено в окрестно- сти θ2 ≈ 0, или что то же самое в окрестности 1Можно показать, что вид этого уравнения для нашего случая неньютоновской жидкости будет такой же как и в случае ньютоновской, но с учетом того, что вязкость теперь надо понимать как кажущуюся, т.е. не как константу, а как функцию от производной скорости. 70 А. В. Бастеев, А. В. Дашков, О. В. Кравченко, О. Н. Репалова ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 2. С. 69 – 74 T2 ≈ Tcr . Таким образом, это разложение спра- ведливо для случая, когда температура T2 близ- ка к температуре Tcr . Данное упрощение являе- тся правомочным, поскольку по смыслу задачи ис- следования на устойчивость мы решаем уравнение (3) в непосредственной окрестности границы, где температура подвижной жидкости действительно должна быть близка к Tcr . С помощью замены пе- ременных y = 1 − β̃θ2 x = 2n 3n + 1 √ β̃γ̃r 3n+1 2n (8) уравнение (6) может быть сведено к следующему: ∂2y ∂x2 + 1 x ∂y ∂x − y = 0. (9) Это известное уравнение Бесселя [6, 7], которое имеет решение вида: y = C1I0(x) + C2K0(x), (10) где I0(x),K0(x) – функции Бесселя первого и вто- рого рода соответственно. Обратная подстановка дает: θ2 = 1 β̃ [1 − C1I0 (f(r̂)) − C2K0 (f(r̂))] , (11) где мы ввели обозначение f(x) = 2n 3n + 1 √ β̃γ̃x 3n+1 2n . (12) Для вычисления констант C1 и C2 используем краевые условия: r̂ = 1 − ĥ0 → θ2 = 0, (13) r̂ = 0 → ∂θ2 ∂r̂ = 0. (14) Условие (14) следует из симметричности темпе- ратурного профиля на оси канала. Применяя усло- вие (14) и учитывая наличие логарифма в K0, име- ем C2 = 0; для вычисления C1 используем (13). В результате окончательно имеем решение в виде: θ2 = 1 β̃  1 − I0 (f(r̂)) I0 ( f(1 − ĥ0) )   . (15) Для дальнейшей работы с уравнением переме- щения границы раздела нам нужна не сама темпе- ратура θ2, а ее производная ∂θ2 ∂r̂ . Учитывая выра- жение для производной от функции I0 [8]: ∂θ2 ∂r̂ = √ γ̃ β̃ I1 (f(r̂)) I0 ( f(1 − ĥ0) ) r̂ n+1 2n . (16) Также нам понадобится аналогичная производ- ная для температуры T1 в кристаллизованной фа- зе – зона 1. Для этого мы должны решить уравне- ние теплопроводности для этой зоны. Из постанов- ки задачи очевидно что это уравнение Лапласа. С учетом краевых условий на границах зоны 1 r = R0 − h0; T1 = Tcr; r = R0; T1 = Tst (17) производная его решения имеет вид: ∂θ1 ∂r̂ = ∆T ln(1 − ĥ0) 1 r̂ , (18) где θ1 = T1 − Tcr Tcr , ∆T = Tcr − Tst Tcr . Уравнение подвижной границы в безразмерном виде имеет вид [9, 10]: ∂θ1 ∂r̂ \| r̂=1−ĥ −α̃ ∂θ2 ∂r̂ \| r̂=1−ĥ = ξ ∂ĥ ∂τ , (19) где α̃ = α2 α1 – отношение коэффициентов теплопе- редачи; ξ – безразмерная теплота плавления рас- сматриваемой среды. Уравнение (19) представля- ет собой уравнение баланса потоков тепла на гра- нице: разница между приходящим потоком от по- движного ядра и уходящим потоком через стенку канала равна теплоте, расходуемой на приграни- чную кристаллизацию, которая и обуславливает перемещение границы со скоростью ∂ĥ ∂τ . Подставив в (19) выражения для производных (18) и (16), находим уравнение для переменной ĥ: ∆T ln(1 − ĥ0)(1 − ĥ) − α̃ √ γ̃ β̃ I1 ( f(1 − ĥ) ) I0 ( f(1 − ĥ0) )× ×(1 − ĥ) n+1 2n = ξ dĥ dτ . (20) Уравнение в возмущениях получается подста- новкой ĥ = ĥ0 + h̃, (здесь h̃ – бесконечно малое возмущение равновесного положения границы ĥ0) и последующей линеаризацией относительно нуле- вой окрестности бесконечно малого возмущения h̃. После пренебрежения квадратичными членами и математических упрощений получаем линеаризо- ванное уравнение для возмущений А. В. Бастеев, А. В. Дашков, О. В. Кравченко, О. Н. Репалова 71 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 2. С. 69 – 74 ∆T ln(1 − ĥ0)(1 − ĥ0)2 h̃− −α̃γ̃I(β̃, γ̃, ĥ0, n)h̃ = ξ dĥ dτ , (21) где I(β̃ , γ̃, ĥ0, n) = (1 − ĥ0) n+1 2n − − 1 2n √ β̃γ̃ I1 ( f(1 − ĥ0) ) I0 ( f(1 − ĥ0) )× × 3n + 1 + (n + 1)(1 − ĥ0) 1 n √ (1 − ĥ0) n+1 n . (22) Уравнение (21) допускает решение вида: h̃ ∼ eστ . (23) Подставляя это решение, получаем соотношение для σ и условие устойчивости σ < 0 в виде (1 − ĥ0) n+1 2n − 1 2n √ β̃γ̃ I1 ( f(1 − ĥ0) ) I0 ( f(1 − ĥ0) )× (24) × 3n + 1 + (n + 1)(1 − ĥ0) 1 n √ (1 − ĥ0) n+1 n > ∆T α̃γ̃ ln(1 − ĥ0)(1 − ĥ0)2 . Для анализа полученного выражения предста- вим коэффициент γ̃ через следующие числа подо- бия: Re = Rn 0u2−n m ρ k 8 ( 6n + 2 n )n – обобщенное число Рейнольдса; (25) Pe = umR0 χ2 – число Пекле; (26) Eu = ∆P ρu2 m – число Эйлера. (27) C учетом выражений (25) – (27): γ̃ = Pe ReEu Tp 1 2n−3 ( 3n + 1 n ) 1 (1 − h0) (n+2)2 n , (28) где Tp – введенный нами для удобства коэффици- ент, который условно назовем “технологическим”, Рис. 2. Кривая нейтральной устойчивости в координатах Re - ĥ0 так как он включает в себя основные параметры, характеризующие свойства неньютоновской жид- кости и внешние условия течения: Tp = ∆Peβ̃ Tcrcpρ . (29) Tаким образом, получено неравенство (24), ко- торое может быть использовано для построения кривой нейтральной устойчивости при варьирова- нии имеющихся безразмерных параметров. Очеви- дно, что уравнение для построения нейтральной кривой является сильно нелинейным. Для анали- за уравнения и графического построения исполь- зовались численные расчеты: решалось трансцен- дентное уравнение относительно числа Re и по- следовательно находились все корни, соответству- ющие положительным Re. Затем по полученным точкам проводилось построение кривой. Получен- ные кривые изображены на рис. 2–3. 3. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ На рис. 2 показана кривая нейтральной устой- чивости для значения степенного показателя те- чения n=0.15, построенная в координатах Re – ĥ0. Области устойчивости соответствует область сле- ва от кривой, а области неустойчивости – область внутри кривой. Из вида зависимости можно сде- лать следующие выводы. Для конкретных значе- ний безразмерных чисел и параметров течения су- ществует некая величина высоты кристаллизован- ного слоя (которую можно назвать критической) – ĥ0 \|cr, ниже которой граница будет устойчива для любых чисел Рейнольдса, которые могут реализо- вываться в течении. Значение этой величины опре- деляется точкой перегиба нейтральной кривой. В 72 А. В. Бастеев, А. В. Дашков, О. В. Кравченко, О. Н. Репалова ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 2. С. 69 – 74 Рис. 3. Изменение формы нейтральной кривой для различных величин степенного показателя течения n областях ĥ0 > ĥ0 \|cr устойчивость может иметь место при низких и высоких числах Re, однако существует достаточно широкий диапазон, в ко- тором будет иметь место неустойчивость. Причем с увеличением ĥ0 область неустойчивости расши- ряется. Интересно отметить, что если трактовать увеличение числа Рейнольдса как рост скорости потока, то происходящее при этом увеличение те- пловыделения отнюдь не означает улучшения си- туации с устойчивостью и соответственно стаби- лизацией границы, так как при одной и той же ве- личине ĥ0 мы можем при этом попасть в область внутри кривой. Косвенно это может служить во- зможным объяснением того, что зачастую при уве- личении давления и скорости впрыска на литье- вых машинах не удается добиться роста величины проливаемости. Полученная кривая также свидетельствует о том, что в случае сравнительно больших величин ĥ0 устойчивость вряд ли может быть получена, так как для этого нужны либо слишком малень- кие, либо слишком большие величины числа Re. Т. е. если в течении каким-то образом толщина кристаллизованного слоя достигла величин свыше 5–7 процентов радиуса канала, то стабильное по- ложение такой границы уже невозможно в пра- ктическом отношении, поскольку течения с теми числами Рейнольдса, при которых может ожида- ться устойчивость, труднореализуемы в техноло- гическом плане. На рис. 3 показано изменение кривой нейтраль- ной устойчивости при изменении степенного по- казателя течения n. Как видно из графиков, увеличение n расширяет область гарантирован- ной устойчивости (здесь термин “гарантированная устойчивость” нужно понимать в относительном смысле применительно к данной задаче, тaк кaк устойчивость может быть потеряна и из-за других типов возмущений). Таким образом псевдопласти- ки с большей величиной n более предпочтительны в смысле обеспечения устойчивости границы; диа- пазон параметров, при которых может проявлятся устойчивость, для них гораздо шире. В примене- нии к полимерам это означает, что такие материа- лы как полистирол и полиамид должны вести себя лучше, чем полиэтилен или полипропилен. Инте- ресно отметить, что у кривых с разными n перегиб происходит при одинаковой величине Re. Факти- чески это означает, что вне зависимости от типа материала при равных внешних условиях течения кривая нейтральной устойчивости имеет перегиб при одной и той же величине Re, т. е. сохраняет свою форму. Отсюда можно сделать следующий качественный вывод: внешние параметры течения, такие как перепад давлений, температуры в значи- тельной степени определяют качественное поведе- ние границы фазового перехода, практически де- лая его однотипным для разных типов псевдопла- стиков. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Найдено условие устойчивости путем изучения стационарных уравнений в предположении о во- змущении только лишь границы раздела сред. Та- кой подход имеет два недостатка. Первый из них – это вопрос о возможной потере устойчивости границы из-за возмущений других типов – в дан- ном случае гидродинамических и тепловых. Ясно, что такие возмущения могут приводить к сдвигу границы, так как могут менять гидродинамиче- ский профиль течения, а, следовательно, и режим выделения внутренней теплоты внутри ядра по- тока. Однако для неньютоновских жидкостей во- змущения такого типа оказываются по-видимому не столь существенным явлением. Переход к тур- булентности для таких жидкостей вообще явление редкое из-за большой величины кажущейся вязко- сти, хотя смена профилей течения из-за возмуще- ний возможна. Второй из недостатков – это то, что многие процессы течения неньютоновских жидко- стей являются скорее нестационарными, по край- ней мере в некой своей начальной фазе. И здесь возникает вопрос, как производить оценку величи- ны h0, при которой течение стабилизируется и ста- новится стационарным. Очевидно, что для этого надо решать нестационарную задачу начального переходного процесса. Однако это соображение не отменяет необходимости исследования сначала бо- лее простых моделей, с последующим переходом к А. В. Бастеев, А. В. Дашков, О. В. Кравченко, О. Н. Репалова 73 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 2. С. 69 – 74 более сложным случаям. В заключение остановим- ся на вопросе возможности практических прило- жений полученных зависимостей. В формулу (24) входят такие величины, как Tp, ∆T , которые включают в себя технологически настраиваемые параметры течения: давление впрыска, темпера- туры жидкости и стенок, физические параметры полимера. Все эти величины в современных литье- вых машинах могут настраиваться и регулирова- ться с высокой степенью точности. Даже физиче- ски параметры полимера сейчас могут быть изме- ненны с помощью широкого ряда присадок, пла- стификаторов и модификаторов различного на- значения. Таким образом, вывод, сделанный в пре- дыдущем разделе о высокой степени управляемо- сти положением границы с помощью внешних па- раметров, позволяет надеятся, что условие (24) может быть использовано для практической оцен- ки режимов течений, при которых проливаемость (длина течения) будет выше. 1. Бастеев А. В., Дашков А. В., Кравченко О. В., Репалова О. Н. Влияние теплообмена на форму- емость полимеров под давлением // Проблемы машиностроения.– 2005.– T. 8, N 1.– С. 95–101. 2. Фройштетер Г. Б, Данилевич С. Ю., Pадионова Н. В. Течение и теплообмен неньютоновских жидко- стей в трубах.– Киев: Наукова думка, 1990.– 216 с. 3. Бостанджиян С. А., Черняева С. М. О гидродина- мическом тепловом взрыве неньютоновской жид- кости // ДАН СССР.– 1966.– T. 170.– С. . 4. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. Том VI.– М.: Наука, 1988.– 736 с. 5. Уилкинсон У. Л. Неньютоновские жидкости.– М.: Мир, 1964.– 216 с. 6. Смирнов В. И. Курс высшей математики, T. 2.– М.: Наука, 1974.– 656 с. 7. Джексон Д. Ряды Фурье и ортогональные полиномы.– M.: Гос. изд. ин. лит., 1948.– 260 с. 8. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы инте- гралов,сумм,рядов и произведений.– М.: Гос. изд. физ.-мат.лит., 1963.– 1099 с. 9. Лыков А. Теория теплопроводности.– М.: Высшая школа, 1967.– 599 с. 10. Эккерт Э. Р., Дрейк Р. М. Теория тепло- и массообмена.– M.: Гос. энергетическое изд-во, 1961.– 680 с. 74 А. В. Бастеев, А. В. Дашков, О. В. Кравченко, О. Н. Репалова
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4656
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1561-9087
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T16:20:32Z
publishDate	2008
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
record_format	dspace
spelling	Бастеев, А.В. Дашков, А.В. Кравченко, О.В. Репалова, О.Н. 2009-12-15T12:54:45Z 2009-12-15T12:54:45Z 2008 Устойчивость границы фазового перехода в подвижной неньютоновской жидкости / А.В. Бастеев, А.В. Дашков, О.В. Кравченко, О.Н. Репалова // Прикладна гідромеханіка. — 2008. — Т. 10, № 2. — С. 69-74. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4656 532 Проведена аналитическая оценка критерия неустойчивости положения границы раздела фаз подвижного ядра потока и кристаллизованного слоя неньютоновской жидкости для случая степенной зависимости вязкости от скорости сдвига и стационарного теплообмена. Була проведена аналiтична оцiнка крiтерiя нестiйкостi положення межi роздiлу фаз рухомого ядра потоку та кристалiзованого шару неньютонiвської рiдини для стацiонарного теплообмiну, коли залежнiсть в'язкостi вiд швидкостi змiщення є степеневою. The analytical estimation of boundary stability between kernel of fluid and its crystallized layer has been made in the case of stationary heat exchange. The fluid was considered non-Newtonian with sedate dependence of viscosity from speed shear. ru Інститут гідромеханіки НАН України Устойчивость границы фазового перехода в подвижной неньютоновской жидкости Stability of phase transition boundary in moving non-Newtonian fluid Article published earlier
spellingShingle	Устойчивость границы фазового перехода в подвижной неньютоновской жидкости Бастеев, А.В. Дашков, А.В. Кравченко, О.В. Репалова, О.Н.
title	Устойчивость границы фазового перехода в подвижной неньютоновской жидкости
title_alt	Stability of phase transition boundary in moving non-Newtonian fluid
title_full	Устойчивость границы фазового перехода в подвижной неньютоновской жидкости
title_fullStr	Устойчивость границы фазового перехода в подвижной неньютоновской жидкости
title_full_unstemmed	Устойчивость границы фазового перехода в подвижной неньютоновской жидкости
title_short	Устойчивость границы фазового перехода в подвижной неньютоновской жидкости
title_sort	устойчивость границы фазового перехода в подвижной неньютоновской жидкости
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4656
work_keys_str_mv	AT basteevav ustoičivostʹgranicyfazovogoperehodavpodvižnoinenʹûtonovskoižidkosti AT daškovav ustoičivostʹgranicyfazovogoperehodavpodvižnoinenʹûtonovskoižidkosti AT kravčenkoov ustoičivostʹgranicyfazovogoperehodavpodvižnoinenʹûtonovskoižidkosti AT repalovaon ustoičivostʹgranicyfazovogoperehodavpodvižnoinenʹûtonovskoižidkosti AT basteevav stabilityofphasetransitionboundaryinmovingnonnewtonianfluid AT daškovav stabilityofphasetransitionboundaryinmovingnonnewtonianfluid AT kravčenkoov stabilityofphasetransitionboundaryinmovingnonnewtonianfluid AT repalovaon stabilityofphasetransitionboundaryinmovingnonnewtonianfluid

Устойчивость границы фазового перехода в подвижной неньютоновской жидкости

Institution

Similar Items