Пространственная весовая функция для трещины в виде полосы применительно к задаче термоупругости
Построена пространственная весовая функция и получено выражение для определения коэффициента интенсивности напряжений нормального отрыва применительно к трещине в форме полосы в случае термоупругой задачи. Побудовано просторову вагову функцію й отримано загальний вираз для визначення коефіцієнта...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Проблемы прочности |
|---|---|
| Datum: | 2001 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2001
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46562 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Пространственная весовая функция для трещины в виде полосы применительно к задаче термоупругости / Н.М. Бородачев // Проблемы прочности. — 2001. — № 1. — С. 117-124. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-46562 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Бородачев, Н.М. 2013-06-30T20:34:37Z 2013-06-30T20:34:37Z 2001 Пространственная весовая функция для трещины в виде полосы применительно к задаче термоупругости / Н.М. Бородачев // Проблемы прочности. — 2001. — № 1. — С. 117-124. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46562 539.375 Построена пространственная весовая функция и получено выражение для определения коэффициента интенсивности напряжений нормального отрыва применительно к трещине в форме полосы в случае термоупругой задачи. Побудовано просторову вагову функцію й отримано загальний вираз для визначення коефіцієнта інтенсивності напружень нормального відриву стосовно тріщини у вигляді смуги у випадку термопружної задачі. We constructed a spatial weight function and obtained a relation for determination of the mode I stress intensity factor in the case of a striplike crack in a framework of thermoelastic problem. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Пространственная весовая функция для трещины в виде полосы применительно к задаче термоупругости Spatial Weight Function for a Striplike Crack Applied to the Thermoelastic Problem Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Пространственная весовая функция для трещины в виде полосы применительно к задаче термоупругости |
| spellingShingle |
Пространственная весовая функция для трещины в виде полосы применительно к задаче термоупругости Бородачев, Н.М. Научно-технический раздел |
| title_short |
Пространственная весовая функция для трещины в виде полосы применительно к задаче термоупругости |
| title_full |
Пространственная весовая функция для трещины в виде полосы применительно к задаче термоупругости |
| title_fullStr |
Пространственная весовая функция для трещины в виде полосы применительно к задаче термоупругости |
| title_full_unstemmed |
Пространственная весовая функция для трещины в виде полосы применительно к задаче термоупругости |
| title_sort |
пространственная весовая функция для трещины в виде полосы применительно к задаче термоупругости |
| author |
Бородачев, Н.М. |
| author_facet |
Бородачев, Н.М. |
| topic |
Научно-технический раздел |
| topic_facet |
Научно-технический раздел |
| publishDate |
2001 |
| language |
Russian |
| container_title |
Проблемы прочности |
| publisher |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Spatial Weight Function for a Striplike Crack Applied to the Thermoelastic Problem |
| description |
Построена пространственная весовая функция и получено выражение для определения
коэффициента интенсивности напряжений нормального отрыва применительно к трещине
в форме полосы в случае термоупругой задачи.
Побудовано просторову вагову функцію й отримано загальний вираз для
визначення коефіцієнта інтенсивності напружень нормального відриву стосовно
тріщини у вигляді смуги у випадку термопружної задачі.
We constructed a spatial weight function and
obtained a relation for determination of the
mode I stress intensity factor in the case of a
striplike crack in a framework of thermoelastic
problem.
|
| issn |
0556-171X |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46562 |
| citation_txt |
Пространственная весовая функция для трещины в виде полосы применительно к задаче термоупругости / Н.М. Бородачев // Проблемы прочности. — 2001. — № 1. — С. 117-124. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT borodačevnm prostranstvennaâvesovaâfunkciâdlâtreŝinyvvidepolosyprimenitelʹnokzadačetermouprugosti AT borodačevnm spatialweightfunctionforastriplikecrackappliedtothethermoelasticproblem |
| first_indexed |
2025-11-27T06:26:14Z |
| last_indexed |
2025-11-27T06:26:14Z |
| _version_ |
1850804868595318784 |
| fulltext |
УДК 539.375
Пространственная весовая функция для трещины в виде полосы
применительно к задаче термоупругости
Н. М. Бородачев
Киевский международный университет гражданской авиации, Киев, Украина
Построена пространственная весовая функция и получено выражение для определения
коэффициента интенсивности напряжений нормального отрыва применительно к трещине
в форме полосы в случае термоупругой задачи.
Рассмотрим линейно-упругое изотропное неограниченное тело. При
этом воспользуемся декартовой системой координат X ! , X 2 ,X 3 . В теле име
ется плоская внутренняя трещина, занимающая область Б в плоскости
х з = 0. Граничный контур Г - плоская кривая. Положительную ориентацию
Б + поверхности Б будем связывать с х 3 = 0+, отрицательную ориентацию
Б - - с х з = 0- . Рассмотрим только (наиболее важный с прикладной точки
зрения) случай трещины нормального отрыва.
Пусть на обе части поверхности трещины действует внутреннее дав
ление р ( х 1 ,х 2 ), перпендикулярное к плоскости трещины. Кроме того, задан
закон изменения температуры Т (х ! , х 2 ) поверхностей трещины (величина
Т (х ! ,х 2 ) отсчитывается от известной начальной температуры).
Считаем, что имеет место симметрия относительно плоскости х з = 0.
Тогда поставленная задача сводится к решению термоупругой задачи для
полупространства х 3 > 0 со следующими граничными условиями при
х з = 0:
о 33 = - р (х Ь х 2 )
и 3 = 0
° 31 = ° 32 = 0
\ Т = Т (X1, х 2 )
| д Т
= 0
при (х 1>х 2 ) е S +;
при (х 1,х 2 ) ^ S +;
при 1х 11< |х 2 | <
при (х 1,х 2 ) £ S +;
при (х 1>х 2 ) ^ S +.
(1)
Дифференциальное уравнение равновесия с учетом температурных сла
гаемых имеет вид [1]
1 2 1 + V
--------graddivu +V u - 2 -------- grada T = 0, (2)
1- 2v 1- 2v v ’
где u - вектор перемещений; V - коэффициент Пуассона; T - температура,
отсчитываемая от натурального состояния; a - коэффициент линейного
расширения.
© Н. М. БОРОДАЧЕВ, 2001
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2001, N2 1 117
Н. М. Бородачев
При стационарном распределении температуры
V 2Т = 0. (3)
Поскольку рассматривается линейная задача, можно отдельно изучать
действие нагрузки и температурного поля, а затем результаты складывать.
Решение задачи, когда к поверхностям трещины приложены нагрузки, пола
гаем известным. Ниже рассмотрим задачу, связанную с влиянием только
температурного поля.
Распределение перемещений, деформаций и напряжений в упругом теле
можно найти путем решения термоупругой краевой задачи (1)-(3). Однако в
линейной механике разрушения наибольший интерес представляет коэф
фициент интенсивности напряжений (КИН). КИН нормального отрыва в
любой точке М граничного контура трещины Г можно определить по
формуле
К 1( М ) = Я к 1( М ; 0 ) р ( 0 № + / / К Т ( М ; 0 )Т (0 ) 0 5 ,
5 5 ^
где М Е Г ; 0 Е 5 + . Величины К 1(М ;0 ) и К Т (М ;0 ) называются весо
выми функциями, позволяющими находить КИН в зависимости от давления
р ( 0 ) и температуры Т (0 ) на поверхностях трещины Б + и Б - соответ
ственно.
Таким образом, если известны весовые функции К 1(М ; 0 ) и
Т
К (М ;0 ), то КИН К 1( М ) в зависимости от давления р ( 0 ) и температуры
Т (0 ) на поверхностях трещины можно найти по формуле (4).
В работе [2] показано, что
К 1( М ; 0 ) = К 1/2( М ) М ( М ; 0 )д пи з ( 0 ) / и (0 ) . (5)
Формула (5) дает самое общее представление пространственной весовой
функции К 1(М ; 0 ). Здесь и з - проекция вектора перемещений на ось
хз; д пи з - вариация перемещения поверхности трещины Б + , вызванная
вариацией контура трещины дп; К (М ) - кривизна граничной кривой Г в
точке М ; N ( М ; 0 ) - гармоническая функция в области Б + , которая выра
жает гармоническую функцию и ( 0 ) внутри контура Г через значения на
граничном контуре / (М ), т.е.
и ( 0 ) = / / ( М ) N ( М ; 0 ) & ,
(6)
где функция / ( М ) задана на кривой Г,
/ ( М ) = ” 2 ^ К 1/2( М ) К 1( М )д п ( М ). (7)
Г
118 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2001, № 1
Пространственная весовая функция для трещины
Формула (5) дает самое общее представление для весовой функции
K j ( M ;Q ). Она применима, когда кривизна граничного контура трещины
является переменной величиной. Однако в некоторых случаях кривизна
постоянна (круговая трещина) и даже равна нулю (трещина в виде полосы).
В этих случаях формулу (5) можно упростить. При K ( M ) = K = const фор
мула (7) принимает вид
С учетом соотношения (8) формула (5) преобразуется следующим образом:
Формула (10) дает общее представление пространственной весовой
функции при постоянной кривизне граничного контура трещины.
Применим общую формулу (10) к построению пространственной
термоупругой весовой функции для неограниченного упругого тела с тре
щиной в виде полосы. Подобная задача без учета влияния температуры
рассматривалась в [3].
Решение поставленной задачи основывается на трех предположениях:
температуру можно определить без учета деформаций тела, деформации
малы и материал подчиняется закону Гука [4, 5].
Построим весовую функцию для трещины в форме полосы, располо
женной в неограниченном, однородном и изотропном упругом теле. При
этом
Здесь 2а - ширина полосы. Из соображений симметрии видно, что весовые
K 1/2 K j( M )d n ( M ).
Подставляя эту формулу в (6), получим
U ( Q ) = K 1/2U *(Q), (8)
где
(9)
K i( M ; Q ) = N ( M ; Q )d nU 3 ( Q ) / U * ( Q ). (10)
S = {Q : — a < x i < a.i, — oo < x 2 <<*>, x 3 = 0},
и граничный контур трещины Г состоит из двух частей (Г(+) и Г (—)):
Г (+) = { M : y i = ± а , — оо < у 2 < ж, у 3 = 0}.
функции для участков контура трещины Г (+) и Г ( ) связаны соотно
шением
K i( )(У2 ;x ь x 2 ) = K i(+)(У2 , — x ь x 2 ).
ISSN 0556-171X. Проблемыы прочности, 2001, № 1 119
Н. М. Бородачев
Благодаря этому свойству можно ограничиться вычислением только
весовой функции К (+).
В выражение ( 1 0) для весовой функции входит гармоническая функция
N (М ; Q ). Эту функцию можно определить по формуле
# ( М ; 0 = - д^ ^ } Ш , ( 11)
дп
где G (M ; Q ) - функция Грина для области, занимаемой трещиной. Если
областью трещины является полоса, то функция Грина может быть полу
чена с помощью конформного отображения.
Известно [6], что функция
, . 0 Z П
W z ) = tg —- , Ю = — , Z = X! + IX 2
2 2 a
является конформным отображением области трещины на единичный круг.
Используя этот результат, можно найти функцию Грина и затем по формуле
(11) - гармоническую функцию N (M ; Q ). После соответствующих пре
образований получим
(+W ч 1 cos ox ,
n ( )(M ;Q) = — (----------- )-----:--------■ (12)4a ch o (x 2 — y 2 ) — sin ox 1 v y
Формула (12) определяет гармоническую функцию в полосе, когда точка M
расположена на части контура трещины Г (+).
*В формулу (10) входят также функции о nu 3(Q ) и U ( Q ). Эти функции
определяются с использованием какого-либо (“пробного”) решения рассмат
риваемой задачи.
В качестве более простой (пробной) задачи рассмотрим следующую
смешанную термоупругую плоскую задачу:
при x з = 0 имеем
mm
JD
= - Р 0 при х і < а;
и з = 0 при хі > a;
° 31 = 0 при — ж < х 1 < оо
\Т = То при хі < a;
| д Т
[Эх з
= 0 при > a,
(13)
где p о = const; Г0 = const. Для решения термоупругой задачи с краевыми
условиями (13) можно применить метод парных интегральных уравнений
[7]. В результате получим
120 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2001, № 1
Пространственная весовая функция для трещины ...
1 — v / 1 + V \ о 2 1/2и з(х1,0) = ------- 1 р о —а ,« --------To l(а — л , ) при |лi|< a. (14)
« \ 1 —v ) v '
К И Н K 1 можно найти по формуле
V 2 и у из(л 1 ,о)
к 1 = ----------- lim -------------— .
2(1 — v ) л1^ а—0 ( a — л 1)
Подставляя в последнюю формулу выражение ( 14), запишем
1 /2 / 1 + V \
к 1 = а I Ро — а« у — v Т о |. ( 15)
Далее необходимо найти вариацию перемещения и 3. Выберем такую
вариацию контура трещины Г , когда д Г = д Г (+)( M ) = д а = const. Вычислим
вариацию перемещения и 3 (см. формулу ( 14)), вызванную вариацией кон
тура трещины д Г (+ ) = да:
д (+) и 3 (Q ) = ( p о
*
Переходим к определению функции U (Q ). Для этого используем
формулу (9). Подставив в нее значение K 1 из ( 15) с учетом, что дп(M ) =
= д Г (+) ( M ) = да = const, имеем
U * ( Q ) = п(1 — 2 )а да ( p о —а « ^ То ) / N (+) ( M ; Q )ds.
2 « \ 1 —v /Г*(+)
1 + v \(1 —v )(а + л 1) да
а « 1—7 То ) 2_7 ------- ^ ■ (16)1 v ) 2«(а — л 1)
Затем, подставив в это выражение формулу ( 12), получим
U *(Q ) = П8 и а Г ( р о —а « £ То )l(Q ), (17)
где
I ( Q ) = /
cos 0)л ydy 2
ch " (л 2 — y 2 ) " sin 0)л
Вычисляя этот интеграл, находим
I (Q ) = 2( а + л 1). ( 18)
ISSN 0556-171X. Проблемыы прочности, 2001, № 1 121
Н. М. Бородачев
Подставив (18) в (17), запишем
г т * ^ ч n ( 1 - v )д а ( 1 + v ^ V
U ( Q ) = ^ 1/2 ̂p о - а р 1— v То j (а + х 1). (19)
На основании (16) и (19) имеем
д (+) u 3(Q ) _ 2 а1/2
U * ( Q ) п ( а 2 - х 2 )1/2
(20)
Формула (20) выражает пробное решение, соответствующее краевой
термоупругой задаче (13).
Теперь можно построить весовую функцию. Для этого подставим выра
жения (12) и (20) в формулу (10). В результате получим
^ (± )/ /04— 1 C0S "Х 1
’ 2 п а 1/2(а 2 - х 2 )1/2 ch ю ( х 2 - у 2 ) + sin ю х 1 ' (21)
Формула (21) дает выражение пространственной термоупругой весовой
функции для трещины в виде полосы, находящейся в неограниченном
упругом теле.
Определение КИН для трещины в форме полосы, находящейся под
действием давления p (Q ) = p (х 1,х 2) и температуры Т ( Q ) = Т (х 1,х 2 ), сво
дится к вычислению квадратур. С помощью формул (4) и (21) получим
(±)( у ) = 1 Г C0s ю х1 Г Р ( х 1 ,х 2 ) - в Т (х 1 ,х 2 ) ,
1 2 2 п а 1/2 _а( а 2 - х ? ) 1/2 1- roochю (х2 - у 2) + sinюх1 2 , ( )
где
П п 1+ V
ю = — ; р = а /и ------ .
2а 1 — V
По формуле (22) можно определить КИН для трещины в виде полосы,
находящейся под совместным действием давления и температуры.
Рассмотрим пример вычисления КИН по формуле (22). Наибольший
интерес представляет случай, когда
р ( х 1 , х 2 ) = 0 при |х 2 |> Ь;
Т (х 1,х 2 ) = 0 при |х 2 |> Ь. (23)
Далее полагали, что в прямоугольнике
- а < х 1 < а , - b < х 2 < b
122 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2001, № 1
Пространственная весовая функция для трещиныг ...
функции р (х ! ,х 2 ) и Т (х ! ,х 2) не зависят от координаты х 2, т.е.
р (х ь х 2) = р (х 1); Т (х ь х 2 ) = Т(х 1) . (24)
При выполнении условий (23) и (24) формула (22) преобразуется сле
дующим образом:
гл ± ) / 1 Г [Р (x 1) - ß T (x 1)]dx1 Г
* 1 ( У 2) - Л ,/2 J , 2 2 ч 1/2 J
cos 0) x 1d x 2
2па ( а 2 - x 2 )1/2 - Гc h a (x 2 - У2 ) + sina x 1
(25)
Рассмотрим частный случай формулы (25). Пусть в области —а < х 1 < а ,
—6 < х 2 < Ь функции р(х 1) и Т (х 1) имеют вид
Р ( х 1) - Р
1/2
; t (х 1) - t
2 \
1 - ^
\ а /
1/2
где p = const; Т = const. В этом случае формула (25) принимает вид
* }±>(, 2) - ( Р - ß T )
а Г
J d x 1 J 1
cos a x 1d x 2
2па 3/2 - ™' 1- Г ch a (x 2 - У 2 ) + sin (ax 1
(26)
Вычислив в выражении (26) интеграл по переменной х 2 [8], получим
K 1(±)( | ,y ) = - а 1/2( p — вТ)Ф]_±)( I ,Y), (27)
где
, , пГ
a x 1 - *1; a y 2 - f ; а Г - — - у ; a x 2 - *2 ,
2а
1 п/2
ф (±) ( | ,у ) - — J F (±)(*1,£ ,y )d*1;
п —п /2
f (±)( *1, y , I ) - m > + ;in * .c + у - f ) .
ch(у - f ) + sin *1
. 1 + sin *1 ch( у + f )
arcsin
ch( у + f ) + sin *1
F (±)(*1,у ,f ) - п - arcsin
при |f |> у;
1 + sin *1 ch(у - f )
ch(у - f ) + sin *1
. 1 + sin *1 ch( у + f )
arcsin-------------- =-------- при f < у.
ch( у + f ) + sin *1
(28)
-а
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2001, № 1 123
Н. М. Бородачев
При вычислении интеграла (28) использовали квадратурную формулу
Гаусса. На рисунке показана зависимость функции Ф (+) от параметра у при
£ = 0, т.е. в центре граничного контура трещины.
Р е з ю м е
Побудовано просторову вагову функцію й отримано загальний вираз для
визначення коефіцієнта інтенсивності напружень нормального відриву сто
совно тріщини у вигляді смуги у випадку термопружної задачі.
1. Л у р ь е А . И . Теория упругости. - М.: Наука, 1970. - 939 с.
2. Б о р о д а ч е в Н . М . Об одном методе построения весовой функции для
тела с трещиной // Прикл. математика и механика. - 1998. - 62, № 2. -
С. 329 - 333.
3. Б о р о д а ч е в А . Н . Общий метод построения пространственных весовых
функций для упругих тел с трещинами // Там же. - 1993. - 57, № 6. -
С. 120 - 127.
4. Б о л и Б ., У эйн ер Д ж . Теория температурных напряжений. - М.: Мир,
1964. - 517 с.
5. М е л а н Э., П а р к у с Г . Термоупругие напряжения, вызываемые стаци
онарными температурными полями. - М.: Физматгиз, 1958. - 167 с.
6. С и д о р о в Ю . В ., Ф ед о р ю к М . В ., Ш а б у н и н М . И . Лекции по теории
функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1989. - 477 с.
7. С н ед д о н И . Преобразования Фурье. - М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1955.
- 667 с.
8. Г р а д ш т е й н И . С., Р ы ж и к И. М . Таблицы интегралов, сумм, рядов и
произведений. - М.: Наука, 1971. - 1108 с.
Поступила 27. 10. 99
124 /б'б'Ж 0556-171Х. Проблемы прочности, 2001, № 1
|