Компьютерное моделирование физико-механических процессов в реакционной ячейке аппаратов высокого давления при синтезе алмазов
Рассмотрено конечноэлементное моделирование связанных нелинейных нестационарных процессов электро-, теплопроводности и термопластичности с учетом фазовых переходов в материалах. В качестве практического приложения разработана методика компьютерного моделирования процесса спонтанной кристаллизации...
Saved in:
| Published in: | Проблемы прочности |
|---|---|
| Date: | 2001 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2001
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46599 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Компьютерное моделирование физико-механических процессов в реакционной ячейке аппаратов высокого давления при синтезе алмазов / А.А. Лещук, Н.В. Новиков, В.И. Левитас // Проблемы прочности. — 2001. — № 3. — С. 108-128. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-46599 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Лещук, А.А. Новиков, Н.В. Левитас, В.И. 2013-07-01T20:09:26Z 2013-07-01T20:09:26Z 2001 Компьютерное моделирование физико-механических процессов в реакционной ячейке аппаратов высокого давления при синтезе алмазов / А.А. Лещук, Н.В. Новиков, В.И. Левитас // Проблемы прочности. — 2001. — № 3. — С. 108-128. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46599 539.3:666.233 Рассмотрено конечноэлементное моделирование связанных нелинейных нестационарных процессов электро-, теплопроводности и термопластичности с учетом фазовых переходов в материалах. В качестве практического приложения разработана методика компьютерного моделирования процесса спонтанной кристаллизации алмазов. Решена задача по определению полей температуры, напряжений и концентраций фаз в реакционном объеме аппарата высокого давления и в локальной системе алмаз-расплав-графит в процессе кристаллизации алмазов. Установлены существенная связанность этих полей, взаимовлияние решений для реакционной смеси и локальной системы, эффект саморегуляции давления в реакционной зоне, заключающийся в колебательном характере изменения давления относительно линии фазового перехода графит-алмаз. Розглянуто скінченноелементне моделювання зв’язаних нелінійних нестаціонарних процесів електро-, теплопровідності і термопластичності з урахуванням фазових переходів у матеріалах. Розроблено методику комп’ютерного моделювання процесу спонтанної кристалізації алмазів як практичний додаток. Розв’язано задачу по визначенню полів температури, напружень і концентрації в реакційному об’ємі апарата високого тиску та в локальній системі алмаз-розплав-графіт у процесі кристалізації алмазів. Установлено суттєву зв’язаність цих полів, взаємовплив рішень для реакційної суміші і локальної системи, ефект саморегуляції тиску в реакційній зоні, що заклю- чається в коливальному характері зміни тиску щодо лінії фазового переходу графіт-алмаз. The present work deals with the FEM modeling of coupled nonlinear non-steady processes of electrical, heat conduction, and thermoplasticity with regard to phase transitions in materials. As a practical application a procedure for computer-aided modeling of diamond spontaneous crystallization process has been developed. A problem on determination of temperature, stresses, and concentration fields in the reaction volume of high-pressure apparatus and in the local diamond-melt-graphite system under diamond crystallization conditions has been solved. The results demonstrate: a significant coupling of these fields; an interrelation of the solutions for the reaction mixture and for the local system; the effect of self-regulation of pressure in the reaction zone consisting in pressure oscillation with respect to graphite-diamond phase transition line. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Компьютерное моделирование физико-механических процессов в реакционной ячейке аппаратов высокого давления при синтезе алмазов Computer Simulation of Physical-Mechanical Processes in a Reaction Cell of High-Pressure Apparatus during Diamond Synthesis Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Компьютерное моделирование физико-механических процессов в реакционной ячейке аппаратов высокого давления при синтезе алмазов |
| spellingShingle |
Компьютерное моделирование физико-механических процессов в реакционной ячейке аппаратов высокого давления при синтезе алмазов Лещук, А.А. Новиков, Н.В. Левитас, В.И. Научно-технический раздел |
| title_short |
Компьютерное моделирование физико-механических процессов в реакционной ячейке аппаратов высокого давления при синтезе алмазов |
| title_full |
Компьютерное моделирование физико-механических процессов в реакционной ячейке аппаратов высокого давления при синтезе алмазов |
| title_fullStr |
Компьютерное моделирование физико-механических процессов в реакционной ячейке аппаратов высокого давления при синтезе алмазов |
| title_full_unstemmed |
Компьютерное моделирование физико-механических процессов в реакционной ячейке аппаратов высокого давления при синтезе алмазов |
| title_sort |
компьютерное моделирование физико-механических процессов в реакционной ячейке аппаратов высокого давления при синтезе алмазов |
| author |
Лещук, А.А. Новиков, Н.В. Левитас, В.И. |
| author_facet |
Лещук, А.А. Новиков, Н.В. Левитас, В.И. |
| topic |
Научно-технический раздел |
| topic_facet |
Научно-технический раздел |
| publishDate |
2001 |
| language |
Russian |
| container_title |
Проблемы прочности |
| publisher |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Computer Simulation of Physical-Mechanical Processes in a Reaction Cell of High-Pressure Apparatus during Diamond Synthesis |
| description |
Рассмотрено конечноэлементное моделирование связанных нелинейных нестационарных
процессов электро-, теплопроводности и термопластичности с учетом фазовых переходов
в материалах. В качестве практического приложения разработана методика компьютерного
моделирования процесса спонтанной кристаллизации алмазов. Решена задача по определению
полей температуры, напряжений и концентраций фаз в реакционном объеме
аппарата высокого давления и в локальной системе алмаз-расплав-графит в процессе
кристаллизации алмазов. Установлены существенная связанность этих полей, взаимовлияние
решений для реакционной смеси и локальной системы, эффект саморегуляции давления в
реакционной зоне, заключающийся в колебательном характере изменения давления относительно
линии фазового перехода графит-алмаз.
Розглянуто скінченноелементне моделювання зв’язаних нелінійних нестаціонарних
процесів електро-, теплопровідності і термопластичності з урахуванням
фазових переходів у матеріалах. Розроблено методику комп’ютерного
моделювання процесу спонтанної кристалізації алмазів як практичний
додаток. Розв’язано задачу по визначенню полів температури, напружень і
концентрації в реакційному об’ємі апарата високого тиску та в локальній
системі алмаз-розплав-графіт у процесі кристалізації алмазів. Установлено
суттєву зв’язаність цих полів, взаємовплив рішень для реакційної суміші і
локальної системи, ефект саморегуляції тиску в реакційній зоні, що заклю-
чається в коливальному характері зміни тиску щодо лінії фазового переходу
графіт-алмаз.
The present work deals with the FEM modeling
of coupled nonlinear non-steady processes of
electrical, heat conduction, and
thermoplasticity with regard to phase transitions
in materials. As a practical application a
procedure for computer-aided modeling of diamond
spontaneous crystallization process has
been developed. A problem on determination of
temperature, stresses, and concentration fields
in the reaction volume of high-pressure apparatus
and in the local diamond-melt-graphite system
under diamond crystallization conditions
has been solved. The results demonstrate: a significant
coupling of these fields; an interrelation
of the solutions for the reaction mixture
and for the local system; the effect of
self-regulation of pressure in the reaction zone
consisting in pressure oscillation with respect
to graphite-diamond phase transition line.
|
| issn |
0556-171X |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46599 |
| citation_txt |
Компьютерное моделирование физико-механических процессов в реакционной ячейке аппаратов высокого давления при синтезе алмазов / А.А. Лещук, Н.В. Новиков, В.И. Левитас // Проблемы прочности. — 2001. — № 3. — С. 108-128. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT leŝukaa kompʹûternoemodelirovaniefizikomehaničeskihprocessovvreakcionnoiâčeikeapparatovvysokogodavleniâprisintezealmazov AT novikovnv kompʹûternoemodelirovaniefizikomehaničeskihprocessovvreakcionnoiâčeikeapparatovvysokogodavleniâprisintezealmazov AT levitasvi kompʹûternoemodelirovaniefizikomehaničeskihprocessovvreakcionnoiâčeikeapparatovvysokogodavleniâprisintezealmazov AT leŝukaa computersimulationofphysicalmechanicalprocessesinareactioncellofhighpressureapparatusduringdiamondsynthesis AT novikovnv computersimulationofphysicalmechanicalprocessesinareactioncellofhighpressureapparatusduringdiamondsynthesis AT levitasvi computersimulationofphysicalmechanicalprocessesinareactioncellofhighpressureapparatusduringdiamondsynthesis |
| first_indexed |
2025-11-27T00:05:39Z |
| last_indexed |
2025-11-27T00:05:39Z |
| _version_ |
1850787265683390464 |
| fulltext |
УДК 539.3:666.233
Компьютерное моделирование физико-механических процессов в
реакционной ячейке аппаратов высокого давления при синтезе
алмазов
А. А. Л ещ ука, Н. В. Н овикова, В. И. Л евитас6
а Институт сверхтвердых материалов им. В. Н. Бакуля НАН Украины, Киев,
Украина
6 Техасский технический университет, Лаббок, Техас, США
Рассмотрено конечноэлементное моделирование связанных нелинейных нестационарных
процессов электро-, теплопроводности и термопластичности с учетом фазовых переходов
в материалах. В качестве практического приложения разработана методика компьютер
ного моделирования процесса спонтанной кристаллизации алмазов. Решена задача по опре
делению полей температуры, напряжений и концентраций фаз в реакционном объеме
аппарата высокого давления и в локальной системе алмаз-расплав-графит в процессе
кристаллизации алмазов. Установлены существенная связанность этих полей, взаимовлия
ние решений для реакционной смеси и локальной системы, эффект саморегуляции давления в
реакционной зоне, заключающийся в колебательном характере изменения давления отно
сительно линии фазового перехода графит-алмаз.
К л ю ч е в ы е сл ова : давление, температура, концентрация, алмаз, графит,
металлический расплав, компьютерное моделирование, фазовый переход,
конечноэлементная модель.
Введение. Для специалистов в области технологии синтеза алмазов с
исследовательской и практической точек зрения всегда актуальна задача,
которую можно решить, объединив методы термомеханики сплошных сред,
вычислительной механики, компьютерного материаловедения: прогнозиро
вание распределений давления и температуры в реакционной ячейке аппа
рата высокого давления (АВД) с целью совершенствования существующих и
разработки новых технологий синтеза алмазов.
Известно, что алмазы высокого качества могут быть получены только
вблизи линии фазового равновесия графит-алмаз (А. В. Курдюмов, А. И.
Пилянкевич, 1979 г.; Н. В. Новиков и др., 1987 г.). Как следует из экспе
риментов и расчетов, температура и давление распределяются в реакци
онном объеме АВД существенно неоднородно. Возникает вопрос, как полу
чить высококачественные алмазы в таких неоднородных условиях. Чтобы
ответить на него, можно использовать полученные нами результаты числен
ного моделирования процесса синтеза алмазов.
Рассмотрим процессы, протекающие в реакционном объеме АВД с
момента начала нагрева. До нагрева реакционный объем представляет собой
сжатую порошковую смесь (до давлений 4-5 ГПа) графита и мелких частиц
сплава-растворителя углерода. Его нагрев осуществляется путем пропуска
ния электрического тока и, как следствие, выделения джоулева тепла. При
нагреве происходит перераспределение напряженного состояния АВД. По
достижении определенных значений давления (~ 5,5 ГПа) и температуры
© А. А. ЛЕЩУК, Н. В. НОВИКОВ, В. И. ЛЕВИТАС, 2001
108 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2001, N 3
Компьютерное моделирование физико-механических процессов
(~1300°С) в реакционном объеме происходит фазовое превращение угле
рода: начинается рост алмазных частиц в металлическом расплаве на цент
рах кристаллизации, представляющих собой углеродные кластеры. Спонтан
ная кристаллизация алмазных частиц происходит в результате наложения
различных физико-механических процессов: резистивного электронагрева и
теплопереноса, термоупругопластического деформирования, фазовых пре
вращений.
В настоящей работе рассматривается общая термомеханическая модель
спонтанной кристаллизации алмазов в АВД. Ее использование позволяет
вычислить оптимальные р , Г-условия алмазной кристаллизации и анализи
ровать кинетику процесса синтеза алмазов на двух масштабных уровнях
(рис. 1): 1-й уровень (макроуровень) - весь АВД с эффективными значе
ниями физических свойств материала реакционного объема; 2-й уровень
(локальный) — единичная частица алмаза, растущая в металлическом рас
плаве.
\ 5"
графит (г)
металлический
расплав (м)
алмаз (а)
Рис. 1. Схема для расчета процесса спонтанной кристаллизации алмазов в АВД на двух
масштабных уровнях: 1 - реакционный объем; 2 - деформированный контейнер.
Термомеханическая модель. Моделирование термомеханического со
стояния реакционной ячейки в процессе кристаллизации алмазов может
быть осуществлено путем решения замкнутой системы связанных урав
нений механики сплошной среды [1].
1. К вази ст ац и он арн ы е уравн ен и я элект рост ат ики:
div[y ( p ,T , х , r ) grad p( t )] = 0;
P( r s p ,t) = f 1( r s p ,tX in( rs {,t) = - n T ( P ,T ,х , r s { ) grad P( tX (1)
где у - коэффициент электропроводности; p - давление; T - температура; х -
концентрация компонентов; r - радиус-вектор точек рассматриваемой
области АВД V с граничной поверхностью S; p - электрический потенциал; t
- время; f 1 - известная функция; in - проекция вектора плотности тока на
направление внешней нормали n к S i ; S = S p + S i .
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2001, № 3 109
А. А. Лещук, Н. В. Новиков, В. И. Левитас
2. Н елинейны е уравн ен и я нест аци онарной т еп лоп роводн ост и :
c( p ,T , х , r) р( p ,T , x , r ) ̂ =
d t
I |2= div[A(p , T ,х , r)g rad T ]+ y ( p , T ,х , r) |g radp(t) | ;
T ( rs T , t ) = f 2 ( r s T , t ) ; h n( rs h ,t) = - n -^(p ,T ,х , rs h )grad T ;
hn(rSa ,t) = a ( r Sa )[T - 0 ( r Sa , t ) ]= - n '^ (p ,T ,х , rSh )grad T ;
T ( r , 10 ) = TH( r X
(2)
где c - теплоемкость; p - плотность; X - коэффициент теплопроводности;
Y |grad <p|2 - плотность источников джоулева тепла; h n - проекция вектора
теплового потока на внешнюю нормаль n к S h ; а - коэффициент тепло
отдачи; 0 - температура окружающей среды; S = S T + Sh + S а ; 10 - момент
времени, с которого начинается рассмотрение процесса электронагрева; f 2
и Тн - известные функции.
3. У равнения т еории п ласт и ческого т ечения.
3.1. Уравнения р а в н о в е с и я :
- = 0,
dr (3)
где о - тензор истинных напряжений Коши; г - радиус-вектор точек объема
V ’ в деформированном состоянии.
3.2. Г еом ет ри чески е соот н ош ен и я :
F = Fe -UT -U f -U p; d r = iidt;
d = і
2
dll + / du
dr I dr
1
w = -
2
du I dll
dr \ dr
2
; d = — (B e + uI) + d
ц
$ т a & a
B e = B e + B e w + w B e; ц = ^ г ; v = ^ 3
p p
(4)
e = [«T (T , х )T + 1]зІ р 0( х г ,х m ) 2 2 \ о 2 t sn \ i 3 ^/?2 і ч і і і—---------------; a = - \ { i / i (B e) + - (^ - 1)i + 1,
P (х а ,х г>х m ) 3 L 2 J
где F - градиент полной деформации; Fe ,Up - градиенты упругой и пласти
ческой деформации; UT = (a T + 1)I - градиент температурной деформации;
a T - коэффициент температурного расширения (КТР); I - единичный тен
зор; U f = 3 р 0(х г ,х м ) /р ( х a ,х г ,х м ) I - градиент деформации перехода
графит ̂ алмаз; р 0 ,р - плотность реакционной смеси при нормальных усло
виях до и после образования алмазов; х м = const, х г = 1 — х a — х м; и -
вектор скорости перемещения; d , d p , w - тензоры скорости деформации,
110 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2001, № 3
Компьютерное моделирование физико-механических процессов
скорости пластической деформации, вихря; 1$ е - производная Яумана от
тензора меры упругой деформации Фингера В е; I^ (В е ) - первый инвариант
тензора В е.
3.3. Ф изические уравнения:
где 8 - девиатор тензора о ; q - параметр Одквиста; Г ( о , q ,Т) - функция
нагружения; Е - изотропный тензор упругих постоянных, в котором посто
янные Ламе зависят от о 0 , Т , х а ; 6 = 0, Г < 0 , d р = 0 - в упругой области;
6 = 1, Г = 0 - в пластической области.
3.4. К р а е в ы е у с л о в и я :
где и - вектор перемещений; р - вектор поверхностных сил; п - вектор
где х т - скорость изменения массовой концентрации алмазных частиц; И, В
- константы; 2 а - энергия активации перехода графит ̂ алмаз; Я - универ
сальная газовая постоянная.
5. К ри т ери й ф а зо во го п ерехода граф и т ^ а л м а з :
где Тпл - температура плавления сплава-растворителя углерода; р - сво
бодная энергия локальной системы (рис. 1,6); Я а - радиус алмазного заро
дыша; и г - радиальное перемещение наружной поверхности графитового
слоя; Б а - площадь поверхности алмазного зародыша.
d р = £ 8 - закон пластического течения;
1 Г д Г д Г д Г • 1 *
£ = - ! — :Е:В е + — : Е : ( ^ - и1) + — Т !; 8 = о - о 01;
Х І д О -СТ дТ ]
0( г, І0 ) = <О н( г); q( r , = q н ( г);
и (гБи , 0 = и н(гБи , 0 ; 0 (гБО , 0 ' п = Р(гБО , 0 ; Б ' = Б и + Б о ,
внешней нормали к Б д ; д н , q н , и н - заданные параметры.
4. К и нет ическое ур а вн ен и е ф а зо во го п ерехода граф и т ^ алмаз:
ІББМ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2001, № 3 111
А. А. Лещук, Н. В. Новиков, В. И. Левитас
6. У равнения т ерм оуп ругост и для локальн ого у р о в н я :
(1 + V ) (1 - 2v )
Е
° в = -------------------0 (1 + V ) (1 - 2v)
где Е , V , а - соответственно модуль Юнга, коэффициент Пуассона и КТР;
е г , е в , о г , о@ - радиальные и тангенциальные деформации и напряжения
соответственно; е^ = (р г —р а ) / 3 р г - линейная фазовая деформация; р г и
р а - соответственно плотность графита и алмаза; и - радиальное переме
щение.
Связанность определяющих соотношений обусловлена зависимостью
физико-механических характеристик материалов элементов реакционной
ячейки от давления, температуры, концентрации компонентов реакционной
среды и принятием критерия фазового перехода (р,Г-условие), который
определяет область кристаллизации алмазов. Замкнутость системы уравне
ний на разных масштабных уровнях устанавливается через модули реакци
онной смеси, которые определяются интегрально по объему из решения
задачи для локальной системы алмаз - металлический расплав - графит:
мация локальной системы и, соответственно, ее упругая, температурная и
фазовая составляющие.
Конечноэлементная модель. Совместный расчет электрических, тепло
вых, механических, концентрационных полей в элементах АВД в процессе
спонтанной алмазной кристаллизации выполняется путем численного реше
ния связанной задачи механики сплошной среды. Решение такой задачи
предполагает поэтапное применение численных методик для расчета каж
дого поля в отдельности с дальнейшим объединением всех методик в
единый вычислительный алгоритм, учитывающий связанность всех полей.
Рассмотрим особенности конечноэлементных моделей для задач тепло-,
электропроводности, термопластичности с учетом фазовых переходов мате
риалов, особенностей конструкции АВД, зависимости свойств материалов
от температуры, давления и концентрации компонентов реакционной среды
Г
где К , О , а - эффективные значения модулей объемного сжатия, сдвига
и линейного КТР реакционной смеси; е У, е Уе , е ^ , еV - объемная дефор-
[2].
112 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2001, № 3
Компьютерное моделирование физико-механических процессов
1. Т еплопроводност ь. Краевая задача теплопроводности (2) в конечно
элементной постановке сводится к вариационной задаче об определении
минимума некоторого функционала [3], который в осесимметричном случае
принимает вид
Х = / [ 2 Я (Р ,Т ,х , г Т 2 - у ( Р , Т , х , г) § гайИ 2 Т +
Б *- 2
д Т 1
+ с(р , Т ,х , г )р ( р , Т ,х , г) — Т \2 n rd S +
д? J
+ J Нп ( г, 1)Т2пЫ Ь + 1 J а ( г)[Т — 0 ( г, ?)]22 п Ы Ь, (^)
к 2 Ьа
где Б - площадь осевого сечения; Ь к и Ьа - части границы Ь = Ьт + Ь к + Ьа
площади Б , на которых заданы тепловой поток и условия конвективного
теплообмена соответственно; Нп - проекция вектора теплового потока на
внешнюю нормаль к Ьк. Процедура построения решения с использованием
функционала (6) предполагает также учет температуры, заданной на грани
це Ьт , и начального условия Т ( г, ?0).
В соответствии с порядком построения разрешающей системы урав
нений методом конечных элементов (МКЭ) определим искомую функцию
температуры для треугольного элемента е с узлами г, у, к :
Т е = [М М у Мк ][Т Ту Тк ]т = [N ] {Т}е. (7)
Здесь М т - функции формы элемента, М т = а т + Ьтг + с т 2 (т = г, у , к).
Константы а т , Ьт , с т определяются по соотношениям [3]:
а г = 2Б7 ( Х ] У к — х кУУ); Ьг = 2 ^ (У у — У к ); с г = 2 ^ ( х к — х у ), (8)
1 х г У г
где 2 Б е = det 1 х у Уу - удвоенная площадь элемента е. Постоянные
1 х к У к.
а у , Ь у , с у и а к , Ь к , Ск определяются из (8) путем циклической переста
новки.
Минимизируя функционал (6), определяем вклад каждого элемента в
общую систему уравнений. При этом в пределах элемента значения с, р , Я и
у в фиксированный момент времени постоянны и вычисляются в центре
тяжести элемента. Кроме того, на соответствующих сторонах граничных
элементов значения к п, а и 0 постоянны и вычисляются в центре этих
сторон. В результате имеем
0556-171Х. Проблемы прочности, 2001, № 3 113
À. À. Лещук, H. В. Новиков, В. И. Левитас
д х е
dTm
= f ІЖ( p e ,T e , x e )
d T e d ( d T e \ d T e d
+
dr dTm { d r і dz dTm
' d T e x
V dz /
■Y( p e T e , x e ) d t Ÿ + { d £ 2
d r I \ d z
d T e
dTm
+
+ c( p e , T e , x e )p( p e , T e, x e ) і 2 n rd S +
a t dT m I
d T e
+ hn ( t ) f ------2 n rd L + a e f
re dTm reLh La
T e д Г . - е e ( t ) d T ‘
dT m dT m
2 n rd L , m = i, j , k.
Подставив в последнее выражение интерполяционную формулу (7) и ее
производную по времени д Т е / дг = [Ж]д{Т} е / дг, получим систему уравне
ний для элемента:
Э;х е = [h( p e T e , x e )]e{T}e + [g( p e T e , Xe )]e d { T } - + { f ( t)}e.
д{Т }е ‘ " дг
Здесь [Л]е - матрица теплопроводности элемента:
[й (р е ,Т е ,х е)]е = Л (ре ,Т е,х е) / [В ]т [В\ ln r d S + а е / [N ]т [N ]2жМЬ,
1а
(9)
где [В ]т - матрица производных от функций формы,
[В ]т
dN i d N i
dr dz
d N j d N j
dr dz
d N k dN k
dr dz
[&]е - матрица теплоемкости элемента:
[£( р е , Т е х е )]е = С( р е , Т е , Xе )р( р е , Т е , Xе) / [ N ]т [Ж ] 2 л М Б ; (10)
S
еS
114 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2001, № 3
Компьютерное моделирование физико-механических процессов
{ / } е - вектор-столбец правых частей, учитывающий действие внутренних
источников тепла, теплового потока и конвективного теплообмена на гра
нице:
|2
{ / ( О Г = - у ( Р е Т е ,* е) Iёгаар(г) / [ N ]Т2 п Ы 8 +
з е
+ К ( ( ) [ [ N ]Т2п гсИ — а е0 е ( ( ) [ [ N ]т 2 п г ^ . / ч
\е (11)
ьа
Система уравнений для всей области относительно неизвестных узло
вых значений {Т} получена из условия минимума функционала (1):
= [Н ( р ,Т , х )]{Т} + [О( р ,Т , х )]® + {Г т (р , г)} = 0, (12)
д{Т} дг
где [ Н ] = ^ [ Л ] е , О ] = ^ [ ? ] е , [Рт ] = ^ [ / ] е - соответственно матрица
е е е
теплопроводности, теплоемкости и вектор-столбец правых частей системы
элементов.
Как видно, (12) представляет собой систему дифференциальных урав
нений первого порядка. Для замены этой системы конечно-разностным
аналогом запишем уравнение изменения температуры на временном интер
вале [т, т + Ат] через некоторый весовой множитель о :
Т ( г) = ( 1 - о)Тт + о)Тт+АЛ , г = т + о )А t, 0 < о < 1, (13)
откуда
д Т д Т до Тт+Аг — Тт
— = -------- = ^ + А ------ --, (14)
дг до дг А г у ’
где Тт+Аг и Тт - температура соответственно в конце и в начале временного
интервала. Подставляя (13) и (14) в (12) и полагая {РТ} в пределах вре
менного интервала неизменным, получаем семейство двухслойных разност
ных схем:
о [Н ( р ,Т , х )] + А [О ( Р ,Т , х )]}{Т }т+Аг =
= {( о — 1)[Н ( р ,Т , х ) ] + А О ( Р ,Т , х )]{ Т }т — Р ( р)}. (15)
Отметим, что решение системы (15) должно удовлетворять заданным значе
ниям температуры в граничных узлах [4].
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2001, N 3 115
А. А. Лещук, Н. В. Новиков, В. И. Левитас
Запишем уравнения (15) в окончательном виде:
[А(р , Т ,х)]{Т}т+д, = [Р(р , Т ,х)]{Т}т - {Г т(р)}. (16)
Матрицы [А] и [Р] являются комбинациями матриц [Н] и [С]. Полагая
узловые значения температуры в начале временного интервала {Т}т извест
ными и решая (16), получаем температуру в конце интервала {Т}т+Дг.
В случае установившегося теплопереноса в функционале (6) отсут
ствует слагаемое, содержащее производную д Т / дг, и соответствующие па
раметры не зависят от г. Это приводит к разрешающей системе уравнений:
Принципиальным является вопрос интегрирования уравнений (9)—(11),
которое можно проводить как численно, так и точно. Последний случай —
более удобен при использовании формул интегрирования произведений
степеней Ь-координат, которые в треугольном элементе служат функциями
формы. Указанный способ подробно рассмотрен в [3, 4], где соответству
ющие матрицы для треугольного элемента расписаны в конечном виде.
Таким образом, решение нелинейных задач теплопроводности МКЭ
сводится к решению систем квазилинейных алгебраических уравнений (16)
или (17).
2. Э л ек т роп роводн ост ь. Поскольку уравнения установившихся электро-
и теплопереноса изоморфны, вариационный функционал для краевой задачи
электропроводности (1) запишем по аналогии с (6):
где Ь ; — часть границы Ь площади Б, на которой задана плотность тока; 1п —
проекция вектора плотности тока на внешнюю нормаль к Ь .
Искомую функцию электрического потенциала в элементе определим
через ее узловые значения:
Проводя известную процедуру минимизации (18) на классе аппроксими
рующих функций (19), придем к разрешающей системе уравнений МКЭ
типа (17):
водности и вектор-столбец правой части, учитывающий заданную плотность
[Н ( р ,Т , х )]{Т } + {Гт ( р)} = 0. (17)
Р Є = [К і К к ][Р і Р ] Р к ]т = [N ]{Р }Є■ (19)
[Н э( р ,Т, х )]{Р } + {̂ э ( і )} = ° (20)
где [Н э ] = 2 [ А э ]е ,{ ^ э } = ^ { / э }е - соответственно матрица электропро-
Є Є
116 ІББК 0556-171Х. Проблемы прочности, 2001, № 3
Компьютерное моделирование физико-механических процессов
тока на границе. На эту систему необходимо наложить ограничения, свя
занные с заданными значениями электрического потенциала в граничных
узлах. Подматрицы [h3]e и { / э } е определяются соответственно из (9) и (11)
I |2при а = у | grad щ = 0 и заменой X величиной у , hn - in .
Таким образом, задача электростатики в конечноэлементной постановке
сводится к решению системы обыкновенных линейных алгебраических урав
нений (20).
3. Терм опласт ичност ь. Построим конечноэлементный аналог системы
уравнений упругопластической задачи (3)-(5) при наличии больших дефор
маций [6], объемных фазовых превращений и нестационарных температур
ных полей. Записанные ниже соотношения в приращениях справедливы для
каждого элемента дискретизированной области.
3.1. Уравнения р а в н о в е с и я :
f [D ] > } d V ' = {F},
V'
где [D] - матрица формы; {о} - вектор истинных напряжений Коши; V ' -
объем тела в деформированном состоянии в момент времени t; {F} - вектор
обобщенных узловых нагрузок.
3.2. Г еом ет ри чески е соот нош ения:
1
| {d }dt = [D ] {д ы } ; {d }dt = - {B e } d t + { d p }dt +
I И-
a 2 2Г t 3 n 1
,м = -т у ; a = 3 | в к/ і ( {ве}) + 2 ( в к - 1 ) | + 1;
P К
e h = («T„ T h + 1)^ н ; в к = (a TK T k + 1)bK,
{I};
(22)
где } - вектор скорости деформации; д перед переменной обозначает ее
приращение; {и } - вектор перемещений; { В е} = {В е} + [м?]{Бе} - производ
ная Яумана от вектора упругой деформации {Ве} ([^] - матрица вихря);
{^р } - вектор скорости пластической деформации; {I} - единичный
вектор; 1 1({Бе}) - первый инвариант {Ве}; а Т = а т(Тн ,х н ), а Тк =
= а т (Тк ,х к ) - соответственно КТР в начальный и конечный моменты де
формирования; Ь н = 3 Р со / Р с( х н ) , Ьк = 3 Р со / Р с (х к ) - компоненты тензора
градиента деформации, обусловленной фазовым переходом, соответственно
в начальный и конечный моменты деформирования (р с0, р с - плотность
реакционной среды при нормальных условиях до и после образования
алмазов).
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2001, № 3 117
А. А. Лещук, Н. В. Новиков, В. И. Левитас
3.3. Ф изические уравнения:
{<7}дг =
' и ГдГ 1т ^ х
[ Е к ] - £ ^ [ Е к ] { Б }[ — [Е к]
у и [ д а !
и { й } д - -ви 6в{1}
Р к
+
+ ([Е к ] - [ Е н ]){Ве } - £ ^
и
дГ 1 т дГ
д д | <1Е к ] - [Е . ] ){Ве > + ~ 'дТ [Е ,]{ Б }; (23)
и = и { д Т Г [Е к ]{Б! - ! ( 3 {Б № ( ) " .
где {~} = {д} + М { д } - производная Яумана от вектора {д}; [Ек ] =
= [Е(р к ,Тк ,х к )], [Ен ]= [Е(р Н,ТН,х н )] - матрицы упругих констант соот
ветственно в конечный и начальный моменты деформирования; {Б} -
вектор девиатора напряжений; Г ({д }, q,Т) - функция нагружения;
£ = 0 , Г < 0 - в упругой области; £ = 1, Г = 0 - в пластической области;
2
q = ^ ^ ({ ^ Р } т {^р})1 2 д* - параметр Одквиста.
Уравнения (23) дают однозначную зависимость приращений напряже
ний от приращений {^}дг, дув и дГ.
Таким образом, термоупругопластическая задача с учетом конечных
деформаций, вызванных пластическим деформированием и фазовыми пере
ходами, в конечноэлементной постановке сводится к решению уравнений
(21)—(23), к которым необходимо добавить граничные и начальные условия.
Обобщая изложенное, констатируем, что конечноэлементная модель для
определения термомеханического состояния АВД в процессе спонтанной
алмазной кристаллизации включает связанные системы конечноэлементных
уравнений задач теплопроводности (16), электропроводности (2 0 ), термо-
упругопластичности (21)—(23), уравнение для скорости изменения массовой
концентрации алмазов {дха } = / 3 ({р}, {Г}), критерий превращения графит
^ал м аз {р } > / 4 ({Г}, {ха }), {Г}> / 5({р}), где {ха } и {р} - векторы узловых
значений концентрации алмазов и давления соответственно; / 3 , / 4 , / 5 -
известные функции.
В ы числит ельны й алгорит м . Алгоритм решения связанной задачи
электро- и теплопроводности подробно изложен в [5]. Для решения термо
упругопластической задачи используется метод начальных напряжений [6 ],
который наиболее экономичен по времени решения задач теории пластич
ности. Основная идея метода состоит в конечноэлементном решении набора
упругих задач в приращениях перемещений [К ]{ди} = {дГ} ([К] - матрица
жесткости), определении по формулам (22) и (23) приращений деформаций
и напряжений, а также итерационном удовлетворении условий равновесия
(21 ).
Остановимся подробнее на алгоритме решения связанной задачи, наи
более полно характеризующем термомеханику спонтанной кристаллизации
алмазов.
118 1ББМ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2001, № 3
Компьютерное моделирование физико-механических процессов
В качестве исходных данных задаются поля напряжений и интенсив
ности пластической деформации, которые определяются из решения задачи
о сжатии реакционной ячейки. Таким образом, процесс моделируется от
момента начала нагрева ячейки, т.е. при заданных давлении в холодном
состоянии, комнатной температуре и нулевой алмазной концентрации.
Принимается следующий алгоритм. На каждом временном шаге у про
исходит последовательное решение связанных уравнений. Сначала решается
задача электропроводности и определяются поле электропотенциала {<£>} и
поле источников джоулева тепла {0}, после чего решается задача тепло
проводности и определяется поле температуры {Г}. Зная прирост темпе
ратуры {дТ( ) } = {Г( ) } - {Г( t j_ l ) } , путем решения термоупругопласти
ческой задачи определяется изменение напряжений и соответственно
прирост давления в реакционной зоне {др(tJ■ )} = {р ( t J■) } - {р ( tJ - 1)}■ Далее,
используя критерий фазового перехода графит ̂ алмаз, находим зону воз
можного зарождения и роста алмазных частиц. Если таковая имеется, в
каждом ее элементе интегрируем кинетическое уравнение для скорости
изменения массовой концентрации алмазных частиц и устанавливаем при
рост концентрации {д х а }.
Внутри каждого временного шага решения проводим итерационное
самосогласование полей {<£>}, {0}, {Г}, {р}, {ха } путем учета зависимости
физико-механических характеристик от температуры, давления, концентра
ции фаз. Проводим также согласование решений механической задачи на
эффективном уровне реакционной смеси и локальном уровне отдельной
алмазной частицы (кристалла), растущей в металлическом расплаве. Для
этого из анализа напряженно-деформированного состояния на локальном
уровне определяем эффективные модули реакционной смеси и расчетное
давление фазового перехода, которое используем для определения области
алмазной кристаллизации в реакционной зоне АВД. Отметим, что на каждой
последующей п-й итерации электро- и теплофизические свойства матери
алов определяются в зависимости от некоторых значений температуры Рт ,
давления Рр и концентрации Рх , полученных как средние между значениями
этих параметров на предыдущих временном шаге у — 1 и итерации п — 1:
РТп,у = 2 [Т(tj—1) + Тп—1,у Ъ Ррп,у = 1 [Р ( tj—1) + Рп—1,у Ъ
Рхп,у = 1 [х ( t J - 1) + х п—1,у ].
На первой итерации Р т 1 у = Г ( tJ_1), Р р1 у = р(^-—1), Рх1 у = х ( t J—l) . При ре
шении термоупругопластической задачи методом начальных напряжений
предполагается учет зависимостей механических свойств от температуры,
давления и концентрации фаз (при условии линейной аппроксимации Г и
х а в пределах временного шага). Решение задачи на каждом временном
шаге считаем достигнутым лишь после выполнения всех условий сходи
мости:
0556-171Х. Проблемы прочности, 2001, № 3 119
А. А. Лещук, Н. В. Новиков, В. И. Левитас
таХ |Тп, у — Тп -1, у | < А Т , т а х |Рп, у — Р п—1, у | < А р , т а х х п, у — х п—1, у | < А х ,
где А т , А р , Ах - сравнительно малые величины.
Если на каждом временном шаге соответствующие приращения { д Т },
{д р } и {дх а } незначительны и не вызывают существенных изменений
свойств материалов, задачу можно решать безытерационно. В этом случае
свойства материалов на последующем временном шаге вычисляются по
соответствующим полям, полученным на предыдущем шаге. Отметим так
же, что решение задачи проводится в деформированной конфигурации, т.е. с
учетом изменения координат узлов конечноэлементной сетки.
На основании предложенной модели и вычислительного алгоритма
разработано программное обеспечение для моделирования связанных про
цессов деформирования и электрического нагрева материалов, претерпе
вающих фазовые превращения первого рода. Данная вычислительная мето
дика прошла апробацию при решении большого количества как тестовых
[7], так и прикладных задач [8-10].
М оделирование физико-механического состояния реакционной
ячейки АВД. Решение задачи совместного определения полей давления,
температуры и концентрации алмазных частиц рассматривается с момента
нагрева АВД. Поле давления в холодном состоянии (до нагрева АВД)
получено из решения контактной упругопластической задачи о сжатии кон
тейнера и реакционной смеси в ячейке твердотельного АВД [6, 11].
Для моделирования физико-механических полей в реакционном объеме
АВД использовались две расчетные схемы аппарата типа наковальни с
углублениями диаметром 35 мм. Первая включала всю конструкцию аппа
рата для решения задачи электронагрева и состояла из 1176 узлов и 2193
треугольных элементов. Вторая расчетная схема для решения термоупруго
пластической задачи состояла из матрицы, контейнера, реакционной зоны с
торцовым нагревателем, которые были разбиты на 981 узел и 1724 элемента,
причем на реакционную смесь приходилось 185 узлов и 323 элемента. В
процессе решения связанной задачи электро-, теплопроводности и термо
пластичности применялась процедура поэлементного переноса с одной ко
нечноэлементной сетки на другую значений температуры, давления, кон
центраций различных фаз реакционной смеси.
Граничные и начальные условия для расчета полей электропотенциала
и температуры определялись экспериментально [5]. В качестве начальных
условий для решения термоупругопластической задачи приняты поля на
пряжений, накопленных пластических деформаций (параметр Одквиста) и
объемных деформаций, полученные после сжатия матрицы и снаряженного
контейнера в АВД [6, 11]. По этим же полям напряжений определялись
узловые усилия на боковой и торцевой поверхностях матрицы, которые
использовались в качестве статических граничных условий и в процессе
решения задачи не изменялись. На оси симметрии и в горизонтальной
плоскости симметрии задавались кинематические граничные условия в виде
равенства нулю нормальных к этим границам перемещений. Свойства ис
пользуемых в АВД материалов взяты из [12].
120 0556-171Х. Проблемыы прочности, 2001, № 3
Компьютерное моделирование физико-механических процессов
Торцовый нагреватель представляет собой смесь графита и литограф
ского камня в массовом соотношении 1:1, реакционная смесь до образо
вания алмазов состоит из графита и металлического сплава № —Мп—С в
массовом соотношении 1,5:1. Константы, входящие в уравнения
фазового перехода графит ̂ алмаз, следующие: Q а = 180-10 Дж/моль;
В = 2 ,9-105 с-1 ,5; И = 1,5; Я = 8,314 Дж/(моль-°С).
Анализ напряженного состояния АВД в холодном состоянии [11] пока
зал, что в области деформируемого уплотнения имеют место большие
упругопластические деформации, достигающие 200%. В области нагрева
теля и реакционной смеси давление составляет 4,7 ГПа. При этом компо
ненты девиатора тензора напряжений не превышают пределы текучести
соответствующих материалов. Следовательно, можно считать, что частицы
смеси и объем нагревателя находятся в упругом состоянии.
Условие пластического течения контейнера принято в форме Шлей-
хера—Надаи с учетом зависимости предела текучести литографского камня
от давления, температуры и параметра Одквиста [13].
В результате численного решения поставленной задачи получены поля
температуры, давления и концентрации алмазных частиц в реакционной
зоне АВД. На рис. 2 приведены распределения термодинамических пара
метров, когда зона алмазной кристаллизации определялась из условия плав
ления металлического сплава и превышения давления над равновесным для
системы графит—алмаз [14]. Алмазные частицы начинают образовываться в
центре реакционной зоны через 35 с от начала нагрева аппарата при
Т = 1119°С и р = 5,5 ГПа, затем область возможного фазового перехода
расширяется. Перепад температуры по вертикальной оси в 4-5 раз больше,
чем по горизонтальной. В начальный момент времени синтеза напряжения
распределяются сравнительно однородно: разброс значений давления не
превышает 0,15 ГПа. С увеличением концентрации алмазных частиц давле
ние падает вследствие уменьшения удельного объема реакционной смеси
(графит трансформируется в более плотную модификацию углерода — ал
маз) и распределяется существенно неоднородно: разброс значений состав
ляет порядка 0,75 ГПа при г = 63 с. Преобладающее влияние на форми
рование полей давления оказывают фазовые превращения. Поэтому качест
венная картина изобар становится подобной полю концентрации алмазов.
Более подробную информацию можно получить при анализе графиков
изменения термодинамических параметров в реакционном объеме в про
цессе нагрева АВД и кристаллизации алмазов (рис. 3). Как видно, в начале
нагрева давление повышается. К моменту начала превращений (г = 35 с)
прирост давления в центре реакционного объема составляет порядка 0,8 ГПа
при Т = 1100°С, что хорошо согласуется с экспериментом [15]. В даль
нейшем с увеличением концентрации алмазных частиц наблюдается моно
тонное падение давления. При г = 51 с рост алмазных частиц в центре
реакционной ячейки прекращается. Этот момент характеризуется умень
шением давления в ячейке ниже линии фазового равновесия графит—алмаз.
Затем давление начинает опять возрастать, и рассматриваемая точка при
г = 55 с возвращается в область кристаллизации. Далее вновь продолжается
1ББМ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2001, № 3 121
А. А. Лещук, Н. В. Новиков, В. И. Левитас
рост концентрации алмазных частиц до следующего момента падения дав
ления ниже равновесного. Процесс повторяется неоднократно. Увеличение
давления при постоянной концентрации алмазных частиц обусловлено по
вышением температуры, жесткости реакционной смеси и главное фазовыми
переходами в близлежащих к рассматриваемой точках реакционной зоны
при постоянном усилии в горизонтальном сечении аппарата. Таким образом
проявляется периодический характер изменений давления в реакционной
ячейке АВД при кристаллизации алмазных частиц, что объясняет возмож
ность производства высококачественных алмазов при сильно неоднородных
распределениях давления и температуры.
/=35,2 с
= 59,2 с
Рис. 2. Рассчитанные поля температуры, °С (а), давления, ГПа (б) и концентрации алмазных
частиц, % (в) в реакционной зоне в различные моменты времени нагрева.
При моделировании физико-механических полей в реакционной зоне
область кристаллизации алмазов можно определять по двум критериям
превращения графита в алмаз. Вышеприведенные результаты получены с
учетом критерия, когда область кристаллизации алмазов определяется усло
вием плавления сплава-растворителя и ростом эффективного давления выше
122 ШЗМ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2001, № 3
Компьютерное моделирование физико-механических процессов
равновесного. Рассмотрим результаты расчета с использованием термодина
мического критерия, позволяющего учесть область гистерезиса превраще
ния, которая характеризует отклонение реального давления превращения
графит — алмаз от равновесного.
□—о—□
Т--------- 1--------- I--------- 1--------- 1--------- 1--------- ■--------- 1--------- 1--------- 1--------- 1--------- 1--------- 1--------- 1
С
Рис. 3. Изменение термодинамических параметров в центре реакционной зоны в процессе
нагрева АВД и кристаллизации алмазных частиц.
Как видно из рис. 4, давление в начальный момент роста алмазов
монотонно падает. Согласно первому варианту учета условий фазового
перехода (кривая 1), его падение продолжается до значения концентрации
алмазов ~ 10%. С этого момента рост алмазов прекращается, что говорит о
снижении давления ниже равновесного для системы графит-алмаз. Затем
при постоянной концентрации алмазов давление в рассматриваемой точке
повышается, и, как только оно становится выше равновесного, возобно
вляется рост алмазов, давление снова падает, и т.д. Изменение давления в
процессе кристаллизации для второго варианта учета условий фазового
перехода представлено на рис. 4 кривой 2, которая в начальный момент
совпадает с кривой 1. Однако при концентрации ~6% рост алмазов пре
кращается, что свидетельствует о снижении давления ниже кривой превра
щения графит-алмаз, полученной из термодинамического критерия фазо
вого перехода. Далее наблюдается эффект саморегуляции давления вокруг
линии фазового превращения.
ШБЫ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2001, № 3 123
А. А. Лещук, Н. В. Новиков, В. И. Левитас
Таким образом, с учетом в критерии фазового превращения графит-
алмаз области гистерезиса, в которой фазовые переходы отсутствуют, рас
считано изменение давления в зависимости от концентрации алмазных
частиц. Результаты существенно отличаются от полученных согласно пер
вому варианту учета условий фазового перехода. Так, например, 10%-ной
концентрации алмазных частиц соответствует давление 4,7 ГПа и 5,1 ГПа
соответственно для первого и второго вариантов учета условий фазового
перехода.
р , ГТТа р, ГПа
Рис. 4. Изменение давления в центре реакционной зоны в процессе алмазной кристаллизации:
1, 2 - соответственно первый и второй варианты использования различных критериев
фазового перехода.
Рис. 5. Изменение эффективного давления в центре реакционной зоны (1) и локального
давления на алмазную частицу (2).
На рис. 5 представлено изменение давления в центре реакционной зоны
и на межфазной поверхности алмаз - металлический расплав в процессе
кристаллизации. В рассмотренном интервале изменения концентрации
алмазных частиц эффективное давление в исследуемой точке реакционной
зоны падает с увеличением концентрации и повышается при постоянной
концентрации. В отличие от этого локальное давление на алмазную частицу
практически всегда повышается, и только, начиная с 10%-ной концентра
ции, оно незначительно падает. Монотонное повышение давления в про
цессе роста частицы можно объяснить увеличением жесткости системы
алмаз - металлический расплав - графит и концентрацией напряжений
вблизи межфазной границы расплав - графит. При малых концентрациях
алмазных частиц, соответствующих стадии зародышеобразования, отличие
давлений в смеси и на алмазной частице достигает 1 ГПа, а, например, при
6%-ной концентрации разность давлений составляет уже 2,3 ГПа и далее
увеличивается.
Таким образом, представленные результаты свидетельствуют о значи
тельном отличии эффективного давления в реакционной смеси от давления в
одной из ее компонент - образовавшейся алмазной частице.
124 0556-171Х. Проблемы прочности, 2001, № 3
Компьютерное моделирование физико-механических процессов
Рис. 6. Распределение напряжений в локальной системе алмаз - металлический расплав -
графит для различных уровней эффективного давления в реакционной зоне р и концен
трации алмазных частиц ха: а - р =5,52 ГПа, ха =0,9%; б - р =5,13 ГПа, ха =5,7%; в -
р =5,30 ГПа, ха =7,7%; г - р =5,40 ГПа, ха =12,0%.
Рассмотрим, как распределяются радиальные о г и тангенциальные о^
напряжения в тройной системе алмаз - металлический расплав - графит в
зависимости от величины приложенного давления р и размера алмазного
кристалла.
На рис. 6 приведено изменение напряжений в зависимости от при
веденного радиуса системы алмаз - металлический расплав - графит при
различной концентрации алмазных частиц х а . Внешнее давление, прило
женное к графиту, использовали из решения задачи для макроуровня, т.е. для
реакционной смеси.
Как видно, в графите имеет место существенная неоднородность и
негидростатичность напряженного состояния. Так, при 0,9%-ной концен
трации алмазных частиц (рис. 6,а) перепад радиальных напряжений дости
Н ЗЫ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2001, № 3 125
А. А. Лещук, Н. В. Новиков, В. И. Левитас
гает 1,2 ГПа, тангенциальных - 0,5 ГПа. Непосредственно на межфазной
границе расплав-графит скачок напряжений а $ составляет 2,3 ГПа. Пола
гаем, что по алмазным частицам и в расплаве напряжения распределены
однородно, и эти фазы находятся в условиях гидростатического сжатия
(а г = а $ = 6,7 ГПа).
С ростом концентрации алмазных частиц в реакционной ячейке неодно
родность напряженного состояния в графитовой составляющей увеличи
вается. Скачок тангенциальных напряжений А а $ на межфазной поверх
ности расплав-графит при х = 5,7% составляет 5 ГПа (рис. 6 ,6 ), при
х = 7,7% - 5,8 ГПа (рис. 6,в), при х = 12% - 7,5 ГПа (рис. 6,г). Зависимости
Аа $ (х а ) и А а г (х а ) приведены на рис. 7 (Аа г - разность радиальных на
пряжений на межфазной границе расплав-графит и внешней поверхности
графитового слоя).
До., Да0, ГПа
12 ха,%
Рис. 7. Изменение неоднородности напряженного состояния в локальной системе в процессе
роста концентрации алмазных частиц.
Полученные распределения напряжений на локальном масштабном
уровне в системе алмаз - металлический расплав - графит характеризуют
наличие неоднородности энергии внутренних напряжений и используются
при расчете условий превращения, которые, в свою очередь, применяются
при моделировании процесса кристаллизации алмазных частиц на эффек
тивном уровне реакционной смеси. Таким образом учитывается одна из
особенностей связи решений на двух масштабных уровнях: реакционная
смесь ^ локальная система алмаз-расплав-графит.
В ы в о д ы
1. Разработана модель процесса синтеза алмазов в реакционной ячейке
АВД и исследовано термомеханическое состояние реакционной ячейки при
спонтанной алмазной кристаллизации на макро- и микроуровнях.
126 0556-171Х. Проблемы прочности, 2001, № 3
Компьютерное моделирование физико-механических процессов
2. Приведено сравнение результатов для двух вариантов учета условий
фазового перехода графит ̂ алмаз и установлен характер саморегуляции
давления вблизи линии превращения. Получены кривые изменения давле
ния в реакционной смеси и на межфазной поверхности алмаз - метал
лический расплав.
3. Проанализировано напряженное состояние в локальной системе
алмаз-расплав-графит в зависимости от приложенного давления и размера
алмазных частиц. Установлена степень влияния концентрации алмазных
частиц на неоднородность и негидростатичность напряженного состояния в
объеме реакционной ячейки.
Р е з ю м е
Розглянуто скінченноелементне моделювання зв’язаних нелінійних нестаці
онарних процесів електро-, теплопровідності і термопластичності з ураху
ванням фазових переходів у матеріалах. Розроблено методику комп’ютер
ного моделювання процесу спонтанної кристалізації алмазів як практичний
додаток. Розв’язано задачу по визначенню полів температури, напружень і
концентрації в реакційному об’ємі апарата високого тиску та в локальній
системі алмаз-розплав-графіт у процесі кристалізації алмазів. Установлено
суттєву зв’язаність цих полів, взаємовплив рішень для реакційної суміші і
локальної системи, ефект саморегуляції тиску в реакційній зоні, що заклю-
чається в коливальному характері зміни тиску щодо лінії фазового переходу
графіт-алмаз.
1. Н ови ков Н. В., Л ещ ук А. А . Термомеханические аспекты процесса
спонтанной кристаллизации алмаза // Механіка руйнування матеріалів і
міцність конструкцій (випуск 2): В 3 т. / Під заг. ред. В. В. Панасюка. -
Львів: Каменяр, 1999. - Т. 1. - С. 104 - 108.
2. Л ещ ук А. А . Конечноэлементная модель процесса спонтанной кристал
лизации алмаза в аппарате высокого давления // Вест. СевГТУ: Меха
ника, энергетика, экология. - 2000. - Вып. 25. - С. 12 - 20.
3. Z ien k iew icz О. C. a n d M organ К . Finite Elements and Approximation. -
New York: John Wiley & Sons, 1983.
4. Н о р р и Д ., д е Ф риз Ж . Введение в метод конечных элементов. - М.:
Мир, 1 9 8 1 .- 304 с.
5. Н ови ков Н. В., Л еви т а с В. И ., Ш ест аков С. И. и др . Моделирование
электрических, температурных полей и полей термонапряжений в АВД
методом конечных элементов // Сверхтвердые материалы. - 1983. -
№ 3. - С. 3 - 8.
6. Idesm an A. V. a n d L ev ita s V. I. Finite element procedure for solving contact
thermoplastic problems at large strain, normal and high pressures // Comp.
Meth. Appl. Mech. Eng. - 1995. - 126. - P. 39 - 66.
ISSN 0556-l7 lX . Проблемы прочности, 200l, M 3 127
А. А. Лещук, Н. В. Новиков, В. И. Левитас
7. Н ови ков Н. В., Л еви т а с В. И ., Зол от арев Р. А. и др . Тестирование
пакетов программ, предназначенных для решения задач термомеха
ники // Докл. АН УССР. Сер. А. - 1985. - № 4. - С. 30 - 35.
8. L ev ita s V. I., Idesm an A. V., L esh ch u k A. A ., a n d P o lo tn y a k S. B. Numerical
modeling of thermomechanical processes in high pressure apparatus applied
for superhard materials synthesis // High Pressure Science and Technology
(Proc. Xlth AIRAPT Int. Conf.). - Kiev: Naukova Dumka, 1989. - Vol. 4. -
P. 38 - 40.
9. N o v ik o v N. V., L e v ita s V. I., L esh ch u k A. A ., a n d Id e sm a n A. V.
Mathematical modeling of diamond synthesis process // High Pres. Res. -
1991. - 7. - P. 195 - 197.
10. L esh ch u k A. A., N o v ik o v N. V., a n d M a yd a n yu k A. P . Thermomechanical
state of a HPA reaction cell at the graphite-to-diamond phase transition //
High Pressure Science and Technology (Proc. of the Joint XV AIRAPT and
XXXIII EHPRG Int. Conf.). - Singapore: World Scientific Publishing Co.
Pte. Ltd., 1996. - P. 225 - 227.
11. И д есм ан А. В., Л еви т а с В. И . Напряженно-деформированное состояние
элементов АВД с учетом больших деформаций // Получение и приме
нение сверхтвердых материалов. - Киев: Ин-т сверхтвердых матери
алов АН УССР, 1986. - С. 80 - 85.
12. Р а зр а б о т к а уточненной математической модели процесса синтеза ал
мазных кристаллов в твердофазовых аппаратах высокого давления:
Отчет о НИР: Ин-т сверхтвердых материалов НАН Украины. - № ГР
UA01002074; Инв. № 6720. - Киев, 1994. - 112 с.
13. L ev ita s V. I. Large Deformation of Materials with Complex Rheological
Properties at Normal and High Pressure. - New York: Nova Science
Publishers, 1996. - 374 p.
14. Н ови ков H. В., Л еви т а с В. И., Л ещ ук А. А., И д есм ан А. В. Моде
лирование процесса синтеза алмаза в реакционной зоне аппарата высо
кого давления // Докл. АН УССР. Сер. А. - 1988. - № 7. - С. 40 - 43.
15. Ш ульж ен ко А. А., М аслен ко Ю . С., Б ел о усо в И. С. и др . Исследование
изменения давления в условиях высоких температур при синтезе сверх
твердых материалов // Влияние высоких давлений на вещество. - Киев:
Ин-т пробл. материаловедения АН УССР, 1977. - С. 113 - 117.
Поступила 20. 03. 2001
128 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2001, № 3
|