Об одной задаче управления стохастической динамической системой
Исследуется стохастическое дифференциальное уравнение с дробным винеровским полем. Доказана теорема существования оптимального управления решением соответствующего уравнения. Досліджено стохастичне диференційне рівняння з дробовим вінерівським полем. Доведено теорему існування оптимального керування...
Saved in:
| Published in: | Теорія оптимальних рішень |
|---|---|
| Date: | 2009 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2009
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46636 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об одной задаче управления стохастической динамической системой / Т.В. Пепеляева // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2009. — № 8. — С. 36-41. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859637269491613696 |
|---|---|
| author | Пепеляева, Т.В. |
| author_facet | Пепеляева, Т.В. |
| citation_txt | Об одной задаче управления стохастической динамической системой / Т.В. Пепеляева // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2009. — № 8. — С. 36-41. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Теорія оптимальних рішень |
| description | Исследуется стохастическое дифференциальное уравнение с дробным винеровским полем. Доказана теорема существования оптимального управления решением соответствующего уравнения.
Досліджено стохастичне диференційне рівняння з дробовим вінерівським полем. Доведено теорему існування оптимального керування розв’язком відповідного рівняння.
The stochastic differential equation with the fractional Wiener sheet is investigated. The existence theorem of optimal control of the corresponding equation solution is proved.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:16:48Z |
| format | Article |
| fulltext |
36 Теорія оптимальних рішень. 2009, № 8
ÒÅÎвß
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÈÕ
вØÅÍÜ
Исследуется стохастическое
дифференциальное уравнение с
дробным винеровским полем. До-
казана теорема существования
оптимального управления решени-
ем соответствующего уравнения.
Т.В. Пепеляева, 2009
ÓÄÊ 519.21
Ò.Â. ÏÅÏÅËßÅÂÀ
ÎÁ ÎÄÍÎÉ ÇÀÄÀ×Å ÓÏÐÀÂËÅÍÈß
ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÎÉ
ÑÈÑÒÅÌÎÉ
Введение. При решении многих задач фи-
нансовой математики, экономики, телеком-
муникаций и других областей человеческой
деятельности для моделирования динамиче-
ских систем используют стохастические
процессы и поля. До недавнего времени наи-
лучшей такой моделью считался винеров-
ский процесс (винеровское поле). Но недав-
ние исследования показали, что такие про-
цессы и поля не совсем точно описывают
динамику соответствующих явлений, а более
точной моделью может быть дробный вине-
ровский процесс (или поле). Это было под-
тверждено экспериментальным путем и
оценкой реальных данных.
В работах [1, 2] исследован дробный вине-
ровский процесс с параметром Харста
Н∈(1/2, 1) и задача управления соответст-
вующей динамической стохастической сис-
темой. В настоящей работе исследуется дро-
бное винеровское поле с параметрами Харста
(Н,Н′)∈(0, 1/2)
2
, а также соответствующие
стохастические уравнения. Рассмотрена за-
дача управления решением этих уравнений.
Основные результаты сформулированы и
доказаны в виде теорем. Полученные утвер-
ждения дают условия существования опти-
мального управления полями. Результаты
данных исследований могут использоваться
в экономике и других областях, где возника-
ют задачи оптимального управления.
Пусть (Ω, ℜ ,Ρ) − вероятностное про-
странство, zℜ , z∈А, А= [0,1]
2
− двупа-
раметриче-с кое семейство σ -подалгебр
ℜ , причем zz ℜ⊂ℜ
1
, если z1≤ z, где вы-
ражение z1≤ z означает покоординатное нера-
венство между z1 = (t1,s1) и z = (t,s).
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ
Теорія оптимальних рішень. 2009, № 8 37
Обозначим L2([0,1]
2
) пространство zℜ -измеримых полей ϕ = {ϕ(t, s), t,s∈A},
таких, что:
∫ ∫
1
0
1
0
E |ϕt,s(ω)|2dtds<∞.
И пусть L([0,1]
2
) пространство zℜ -измеримых полей ϕ = {ϕ(t, s), t,s∈D},
для которых справедливо
P{ ∫ ∫
1
0
1
0
E |ϕt,s(ω)|2dtds < ∞}=1.
Для функций из классов L2([0,1]
2
) и L([0,1]
2
) определен стохастический ин-
теграл следующим образом:
I(ϕ)= ∫ ∫
1
0
1
0
E |ϕ(t, s)|2 dW (t,s).
Пусть HH
zB
′, − дробное винеровское поле с параметрами Харста
(H, H′)∈(0,1/2)2, т. е. HH
zB
′, − гауссовское поле с ковариационной функцией
RH, H ′ (z,z′) =
= ( ) ( )( ),
4
1
,
222222,, HHHHHHHH
z
HH
z ssssttttBBE
′′′′
′
′ −′−′+−′−′+=
z = (t, s), z′= (t′, s′).
Заметим, что при H=H′=1/2 HH
zB
′, − обычное винеровское поле.
Пусть (С, ℑ ) − измеримое пространство непрерывных на А функций f с по-
током σ-алгебр zℑ = σ{f (z1), z1≤ z }, ℑ = σ{f (z), z∈А }.
Рассмотрим уравнение
ξ(t,s) = ξ0 + ∫ ∫ ξ
t s
dxdyuyxa
0 0
),,,( +
HH
stB
′,
),( , (t,s)∈А, (1)
где a − zℑ -измеримый функционал, u: А→U
~
− управление, которое не зависит
от будущего. Пусть U − класс всех управлений, для которых существует реше-
ние уравнения (1). ℵ − наименьшая σ-алгебра борелевских подмножеств из А,
U
~ℵ − σ-алгебра борелевских подмножеств из Ũ, (U
~
, U
~ℵ ) − метрический
компакт.
Задача оптимизации управления решением уравнения (1) состоит в том,
чтобы найти управление u* в классе допустимых управлений, которое миними-
зировало стоимость управления F и задается таким образом:
1 1
0 0
( ) ( , , ( , ), ( , , ( , )) ,u u
F u E f t s t s u t s t s dtdsξ ξ= ∫ ∫
Т.В. ПЕПЕЛЯЕВА
38 Теорія оптимальних рішень. 2009, № 8
где f (z, ξ, u) − непрерывная неотрицательная функция, (z, ξ, u)∈ А×C×U
~
, ξu
(z) −
решение уравнения (1), которое соответствует управлению u = u (z, ξu
(t)).
Пусть )(inf uFZ
Uu∈
= . Величину Z будем называть оптимальной стоимостью
управления в классе U. Управление γ называется оптимальным в U, если стои-
мость F(u) при u = γ достигает минимума.
Найдем условия существования оптимального управления решением
уравнения (1).
Согласно [3] дробное винеровское поле HH
B
′,
допускает интегральное
представление
HH
zB
′, = ∫ ∫ ′′ ′
t
zHH
s
dWzzK
0
,
0
),( ,
где KH,H′ (z,z′) = KH (s,s′) KH′ (t,t′), а KH (s,s′) и KH′ (t,t′) определенные в [2].
Ядро КH,H′ определяет оператор КH,H′ в L
2
([0,1]
2)
таким образом:
(KH,H′ h)(s, t)= I2H,2H′ t1/2−H s1/2−H′ I1/2−H,1/2−H′ tH−1/2sH′−1/2h, h∈L2([0,1]2),
где Iα,β
f(x,y) = ∫ ∫
−β−α −−
βΓαΓ
x y
dudvvufvyux
0 0
11
),()()(
)()(
1
,
Γ − функция Ейлера, α, β > 0, f∈L([0,1]
2
).
Обратный оператор
1
,
−
′HHK определяется таким образом:
hDstDststhK HHHHHHHH
HH
′−′−′−−′−−−
′ = 2,2212121,2121211
, ),( ,
где dudv
vyux
vuf
yx
yxfD
x y
∫ ∫ βα
βα
−−∂∂
∂
β−α−
=
0 0
2
,
)()(
),(
)1( )Г1Г(
1
),( .
Пусть a(t, s, х, u) удовлетворяет таким условим:
1) a(t, s, х, u) есть ℵ× ℑ × U
~ℵ − измеримая функция;
2) ∀ (t,s)∈А функция a(t, s, х, u) есть ℑ × U
~ℵ − измеримой;
3) ∀ (t,s)∈А, х∈C функция a(t, s, х, u) − непрерывна на Ũ;
4) ∀ (t,s)∈А, х∈C множество a(t, s, х, Ũ) = { a(t, х, u), u∈ Ũ} выпуклое
и замкнутое;
5) ∃L > 0, такое, что
|a(t, s, х, u)|2 ≤ L(1+х2
);
6) ∃M > 0, такое, что
|K−1
( ∫ ∫ βαβα
t s
dduxa
0 0
),,,( )|2≤M(1+х2
),
где х − норма в С([0,1]
2
).
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ
Теорія оптимальних рішень. 2009, № 8 39
Вопрос существования слабого решения уравнения (1) был исследован
в [3], где получен следующий результат.
Теорема 1. Пусть выполнено условие 5) для a(t, s, x, u). Тогда уравнение (1)
имеет слабое решение.
Приведем формулирования теоремы Гирсанова для дробного винеровского
поля [3] и леммы [4], которые нам понадобятся в дальнейшем.
Теорема 2. Пусть поле η={ηt, z∈A} с интегрированной траекторией
и ∫+= ′′
],0[
,,~
z
y
HH
z
HH
z dyuBB .
Предположим, что:
1) (A))( 2
],0[
2
1,
2
1
LIdyu
z
HH
y∫
+′+
∈ почти наверное;
2) Eζ=1,
где
−
−=ζ ∫ ∫∫ ∫
−
′
−
′
22 ]1,0[
2
],0[
1
,
]1,0[ ],0[
1
, )(
2
1
)(exp dzzdyuKdWzdyuK
z
yHHz
z
yHH .
Тогда поле HH
zB
′,~
− zℜ − дробное винеровское поле c параметрами Харста
(H,H′) по новой вероятности P
~
, определенной как ζ=
dP
Pd
~
.
Лемма 1. Пусть ξn ≥ 0, n =1, 2, …, − последовательность случайных величин,
таких, что ξn→ξ за вероятностью при n→∞. Если Еξn=Еξ=с, то
∞→n
lim Еξn− ξ= 0.
Положим au (t,s, х)=a(t,s, х, u(t, х)), (t,s)∈[0,1]
2
, х∈C, u∈ Ũ.
Зафиксируем вероятностное пространство (Ω, ℜ ,Ρ0) с винеровским полем
W= (Wz, zℜ , Ρ0).
Определим множество D таким образом:
D = exp{
1,1
0,0ζ ( au), u∈U},
где
1,1
0,0ζ (au) =
1
',
]1,0[ 2
( −
∫ HHK ∫ ∫
t s
ua
0 0
(α,β,W)dαdβ)dW(t,s) −
−
2
1 1
',
]1,0[ 2
( −
∫ HHK ∫ ∫
t s
ua
0 0
(α,β,W) dα dβ)
2
dtds.
Т.В. ПЕПЕЛЯЕВА
40 Теорія оптимальних рішень. 2009, № 8
Множество G определим следующим образом:
G={an: Eexp
1,1
0,0ζ (an) =1}.
Теорема 3. Пусть выполнены условия 1)−6) для функционала a(t,s,x,u),
множество G замкнуто в смысле сходимости по вероятности. Тогда существует
управление u*∈ U, такое, что
F(u*) =
Uu∈
inf F(u).
Доказательство. Докажем, что множество плотностей D −−−− слабый компакт
в пространстве L1([0,1]
2
). Для этого покажем, что D равномерно ограниченное
и слабо замкнутое множество в L1([0,1]
2
).
Действительно из свойства 6) функционала а, неравенства Иенсена и тео-
ремы 2 Гирсанова для дробных винеровских полей вытекает следующее.
Существует константа γ*
>1 такая, что
U∈u
sup E0 exp{γ* 1,1
0,0ζ ( au)}< ∞.
Докажем теперь замкнутость множества D в пространстве L1.
Пусть последовательность элементов exp
1,1
0,0ζ (an)∈D сходится к ρ ∈L1
по вероятности. Имеем, что Eexp
1,1
0,0ζ (an) =1 и Еρ =1. Тогда по лемме 1 имеем, что
∞→n
lim Еexp
1,1
0,0ζ (an) − ρ= 0,
откуда вытекает замкнутость множества D в пространстве L1.
Следовательно, множество D слабо компактно в пространстве L1. Функцио-
нал F(u) является непрерывным. Доказательство данной теоремы вытекает
из того, что непрерывная на компакте функция достигает своего минимума на-
компакте.
Теорема доказана.
Выводы. В работе исследовано дробное винеровское поле, рассмотрена за-
дача управления решением стохастического дифференциального уравнения. До-
казана теорема существования оптимального управления полями, удовлетво-
ряющие стохастическим уравнениям с дробным винеровским полем.
Т.В. Пепеляєва
ПРО ОДНУ ЗАДАЧУ КЕРУВАННЯ СТОХАСТИЧНОЮ ДИНАМІЧНОЮ СИСТЕМОЮ
Досліджено стохастичне диференційне рівняння з дробовим вінерівським полем. Доведено
теорему існування оптимального керування розв’язком відповідного рівняння.
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ
Теорія оптимальних рішень. 2009, № 8 41
T.V. Pepeljaeva
ABOUT SOME CONTROL PROBLEM OF THE STOCHASTIC DYNAMIC SYSTEM
The stochastic differential equation with the fractional Wiener sheet is investigated. The existence
theorem of optimal control of the corresponding equation solution is proved.
1. Дериева Е.Н., Пепеляева Т.В. Об одной задаче управления случайными процессами // Ки-
бернетика и системный анализ. − 2004. − № 1. − С. 116−121.
2. Пепеляева Т.В. Теорія оптимальних рішень. − 2004. − № 3. − С. 133−141.
3. Erraoui M., Nualart D., Ouknine Yo. Hyperbolic stochastic partial differential equation with addi-
tive fractional brownian sheet // Barcelona: Math. Prepr. Ser. − 2002. − N 307. − 19 p.
4. Кнопов П.С. Оптимальные оценки параметров стохастических систем. − Киев: Наук.
думка, 1981. − 151 с.
Получено 23.03.2009
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-46636 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0013 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:16:48Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Пепеляева, Т.В. 2013-07-04T18:37:47Z 2013-07-04T18:37:47Z 2009 Об одной задаче управления стохастической динамической системой / Т.В. Пепеляева // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2009. — № 8. — С. 36-41. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. XXXX-0013 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46636 519.21 Исследуется стохастическое дифференциальное уравнение с дробным винеровским полем. Доказана теорема существования оптимального управления решением соответствующего уравнения. Досліджено стохастичне диференційне рівняння з дробовим вінерівським полем. Доведено теорему існування оптимального керування розв’язком відповідного рівняння. The stochastic differential equation with the fractional Wiener sheet is investigated. The existence theorem of optimal control of the corresponding equation solution is proved. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Теорія оптимальних рішень Об одной задаче управления стохастической динамической системой Про одну задачу керування стохастичною динамічною системою About some control problem of the stochastic dynamic system Article published earlier |
| spellingShingle | Об одной задаче управления стохастической динамической системой Пепеляева, Т.В. |
| title | Об одной задаче управления стохастической динамической системой |
| title_alt | Про одну задачу керування стохастичною динамічною системою About some control problem of the stochastic dynamic system |
| title_full | Об одной задаче управления стохастической динамической системой |
| title_fullStr | Об одной задаче управления стохастической динамической системой |
| title_full_unstemmed | Об одной задаче управления стохастической динамической системой |
| title_short | Об одной задаче управления стохастической динамической системой |
| title_sort | об одной задаче управления стохастической динамической системой |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46636 |
| work_keys_str_mv | AT pepelâevatv obodnoizadačeupravleniâstohastičeskoidinamičeskoisistemoi AT pepelâevatv proodnuzadačukeruvannâstohastičnoûdinamíčnoûsistemoû AT pepelâevatv aboutsomecontrolproblemofthestochasticdynamicsystem |