О многократной поимке убегающего
Рассматриваются процессы игрового взаимодействия группы преследователей и одного убегающего. Целью является многократная поимка убегающего Получены достаточные условия решения задачи за некоторое гарантированное время. Розглядаються конфліктно керовані процеси з групою переслідувачів і одним втікаче...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Теорія оптимальних рішень |
|---|---|
| Дата: | 2009 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2009
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46639 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О многократной поимке убегающего / А.В. Чикрий // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2009. — № 8. — С. 56-60. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859609268436598784 |
|---|---|
| author | Чикрий, А.В. |
| author_facet | Чикрий, А.В. |
| citation_txt | О многократной поимке убегающего / А.В. Чикрий // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2009. — № 8. — С. 56-60. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Теорія оптимальних рішень |
| description | Рассматриваются процессы игрового взаимодействия группы преследователей и одного убегающего. Целью является многократная поимка убегающего Получены достаточные условия решения задачи за некоторое гарантированное время.
Розглядаються конфліктно керовані процеси з групою переслідувачів і одним втікачем. Отримані достатні умови багатократної поїмки за скінченний гарантований час.
Conflict-controlled processes with group of pursuers and single evader are studied. Sufficient conditions for multiple capture in a finite quaranteed time are obtained.
|
| first_indexed | 2025-11-28T10:22:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
56 Теорія оптимальних рішень. 2009, № 8
ÒÅÎвß
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÈÕ
вØÅÍÜ
Рассматриваются процессы иг-
рового взаимодействия группы
преследователей и одного убе-
гающего. Целью является много-
кратная поимка убегающего По-
лучены достаточные условия
решения задачи за некоторое
гарантированное время.
А.В. Чикрий, 2009
ÓÄÊ 518.9
À.Â. ×ÈÊÐÈÉ
Î ÌÍÎÃÎÊÐÀÒÍÎÉ
ÏÎÈÌÊÅ ÓÁÅÃÀÞÙÅÃÎ
Введение. Для квазилинейных игровых за-
дач с дискретным временем и группой пре-
следователей в задаче многократной поимки
получены достаточные условия завершения
игры за конечное гарантированное время.
При этом базовым является метод разре-
шающих функций [1].
Движение конфликтно управляемого объ-
екта ( )1 ,...,z u z zν= в конечномерном евкли-
довом пространстве nR описывается систе-
мой квазилинейных разностных уравнений
( 1) ( ) ( ) ( , ( ), ( ))i i i i iz t A t z t t u t v t+ = + ϕ ,
0 0, 1,...,t t t= + ( ) in
iz t R∈ , 1,...,i = ν , (1)
где t – номер шага,
0 0t ≥ , ( )iA t – квадрат-
ные матрицы порядка
in с ограниченными
элементами, ( , , )i it u vϕ – ограниченные по t
и непрерывные по iu , v вектор-функции,
( )iU t и ( )V t – непустые компакты при каж-
дом 0t t≥ , 1,2,..., .i = ν .
Терминальное множество состоит из мно-
жеств * *
1 ,...,M Mν , каждое из которых имеет
вид * 0
i i iM M M= + , где 0
iM – линейные под-
пространства из inR , а iM – выпуклые ком-
пакты, принадлежащие ортогональным до-
полнениям iL к 0
iM в пространстве i
n
R .
Считаем, что преследователю известно
мгновенное значение управления убегающего
в момент t вместе с его предысторией и на-
чальное состояние 0 0 0
1( ,..., )z z zν= , т. е.
0
0( ) ( , ( )), ( ) { ( ), ,..., }i i i t tu t u z v v v s s t t= ⋅ ⋅ = = . (2)
О МНОГОКРАТНОЙ ПОИМКЕ УБЕГАЮЩЕГО
Теорія оптимальних рішень. 2009, № 8 57
Рассмотрим задачу преследования группой объектов (1). При этом, если
траектория ( )iz t выходит на множество *
iM , то выигрыш преследователей со-
ставляет 0iq ≥ . Выход на множества
jM ∗ , j i≠ , в последующие моменты траек-
тории ( )jz t добавляет в копилку преследователей выигрыш jq . Для окончания
игры (1) суммарный выигрыш преследователей должен быть не меньше некото-
рой фиксированной величины 0Q ≥ . Подобные задачи рассматривались в [1, 2].
Будем считать, что дискретная игра (1) может быть закончена из начального
положения 0 0
0 1( ,..., )z z zν= за время, 0T t− , 0( )T T z= , если существует отобра-
жение, ставящее в соответствие 0( , ( ))tz v ⋅ функции 0( ) ( , ( )) ( )i i t iu t u z v U t= ⋅ ∈ та-
кие, что сумма коэффициентов iq , соответствующих траекториям ( )iz t , которые
попадают на терминальные множества *
iM не позже, чем в момент времени ,T
должна быть не меньше Q при любых управлениях 0( ) ( , ) ( )v t v t z V t= ∈ , 0t t= ,
0 1,..., 1t T+ − .
Пусть iπ – операторы ортогонального проектирования из in
R на iL ,
1,...,i = ν .
Тогда
( , , ( ), ) ( , 1) ( , ( ), )i i i i i iF t k U k v t k k U k v= π Φ + ϕ ,
где 0 ,..., 1k t t= − , 0 1,...,t t= + ( , ) ( 1)i it k tΦ = Α − … ( )i kΑ , ( , )i t tΑ – единичная
матрица порядка in , 1,...,i = ν .
( )
( , ) ( , , ( ), )i i i
v V k
F t k F t k U k v
∈
= I .
Условие 1 [3]. Множества значений многозначных отображений ( , )iF t k –
непусты для всех ,t k , 0t t> , 0 1t k t≤ ≤ − , 1,...,i = ν .
Рассмотрим функции ( , )if t k такие, что ( , ) ( , )i if t k F t k∈ для всех 0t t> ,
0 1t k t≤ ≤ − , и обозначим
0
1
0 0
0 0( , , ) ( , ) ( , )
t
i i i i i i
k t
t t z t t z f t k
−
=
ξ = π Φ +∑ , 1,...,i = ν .
Образуем многозначные отображения
0 0
0 0( , , , , ( )) { 0 : ( ( , , ))i i i i i i iP t t k z v k M t t z= ρ ≥ ρ − ξ ∩
{ ( , , ( ), ( )) ( , )} }i i iF t k U k v k f t k∩ − ≠ ∅ ,
0
0( , , )i i it t z Mξ ∉ , 1,...,i ν= . (3)
А.В. ЧИКРИЙ
58 Теорія оптимальних рішень. 2009, № 8
Условие 2. Множества значений многозначных отображений
0
0( , , , , ( ))i iP t t k z v k – выпуклы при любых
0t t> ,
0 1t k t≤ ≤ − , ( ) ( )v k V k∈ ,
1,...,i = ν .
Введем функции
0 0
0 0( , , , , ( )) max{ : ( , , , , ( ))}i i i i i it t k z v k P t t k z v kρ = ρ ρ ∈ ,
0 1
0 0( , , , , ( )) ( )i it t k z v k t t −ρ = − , 0
0( , , )i i it t z Mξ ∈ ,
0
1
0 0
0 0( , , , , ( )) ( , , , , ( ))
t
i i i i
k t
t t k z v t t k z v k
−
=
ρ ⋅ = ρ∑ .
Пусть
jD – некоторое подмножество множества {1,..., }I = ν , состоящее из
разных элементов, 0 2j ν< ≤ .
Обозначим
( ) { : }
j
j i
i D
D Q D q Q
∈
= ≥∑ .
Рассмотрим функции
0 0
0 0
( ) ( )
( , , ) 1 inf max min ( , , , ( ))
jj
i i
v i DD D Q
t t z t t z v
⋅ ∈∈
µ = − ρ ⋅ ,
0 0
0( ) min{ : ( , , ) 0}T T z t t t z= = µ ≤ .
Теорема 1. Пусть в игре (1) выполнены условия 1, 2 и существуют функции
( , )if t k , ( , ) ( , )i if t k F t k∈ , 1,...,i = ν , 0t t> , 0 1t k t≤ ≤ − такие, что 0
( )T T z= < +∞ .
Тогда игра может быть закончена из начального состояния 0z за время
0
0( ) .T z t−
Доказательство. Пусть 0( ) ( ( ),..., ( 1))v v t v T⋅ = − – произвольное управление
убегающего. Рассмотрим функции
0
1
0
0 0
( )
( , , , ( )) 1 max min ( , , , , )
jj
t
i i
i DD D Q
k t
h T t z v T t k z v
−
∈∈
=
⋅ = − ρ∑ , (4)
0
1
0
0 0( , , , ( )) 1 ( , , , , ( ))
t
i i i
k t
h T t z v T t k z v k
−
=
⋅ = − ρ∑ , (5)
где i принадлежит множеству jD% , доставляющему максимум сумме в выраже-
нии (4). И пусть 0
0( , , )i i iT t z Mξ ∉ . При 0 1t t= + , функции (4) и (5) равны едини-
це. Так как 0( )T T z= < +∞ , то существует такой первый момент *t , 0 * 1t t T≤ ≤ − ,
что 0
*( , 1, , ( ))h T t z v+ ⋅ ≤ +∞ , а значит для любого ji D∈ % найдутся такие моменты
времени *
it , *
0 * 1it t t T≤ ≤ ≤ − , что * 0( , 1, , ( )) 0i i ih T t z v− ⋅ ≤ .
Тогда для k , *
0 it k t≤ < управления ( )iu k , ( ) ( )i iu k U k∈ , и функции
( )i im k M∈ ,
ji D∈ % будем выбирать из системы уравнений
О МНОГОКРАТНОЙ ПОИМКЕ УБЕГАЮЩЕГО
Теорія оптимальних рішень. 2009, № 8 59
( , 1) ( , ( ), ( ))) ( , )i i i i iT k k u k v k f T kπ Φ + ϕ − =
0 0
0 0( , , , , ( ))( ( ) ( , , ))i i i i iT t k z v k m k T t z= ρ − ξ . (6)
Этот выбор возможен в силу условия 1.
Для *
it разрешающие функции * 0 *
0( , , , , ( ))i i i iT t t z v tρ находим из условия
*
0
0
01 ( , , , , ( )) 0
it
i i
k t
T t k z v k
=
− ρ =∑ . (7)
Это можем сделать в силу условия 2. Управления *( )i iu t , * *( ) ( )i i i iu t U t∈ и
*( )i i im t M∈ для ji D∈ % выбираем из системы (6) с учетом (7). Для всех остальных
* 1,..., 1ik t T= + − положим 0
0( , , , , ( )) 0i iT t k z v kρ = и управления ( ) ( )i iu k U k= на-
ходим из полученной системы (6) с нулевой правой частью, которая разрешима
в силу условия 1.
Если для некоторого
j
i D∈ % 0
0( , , )i i iT t z Mξ ∈ , то управления ( ) ( )i iu k U k=
найдем из соотношения (6), в котором положим 0
0( ) ( , , )i i im k T t z= ξ , а разре-
шающие функции 0
0( , , , , ( ))i iT t k z v kρ =
0
1
( )T t
=
−
, 0 ,..., 1.k t T= −
Прибавив и вычтя
0
1
( , )
T
i
k t
f T k
−
=
∑ ,
ji D∈ % из выражения ( )i iz Tπ =
0
1
0
0( , ) ( , 1) ( , ( ), ( ))i i i i i i i
k t
T t z T k k u k v k
τ−
=
= π Φ + π Φ + ϕ∑ , в силу (6) и (7) получаем
0
1
0 0
0 0( ) ( , , ) (1 ( , , , , ( )))
T
i i i i i i
k t
z T T t z T t k z v k
−
=
π = ξ + − ρ +∑
0
1
0
0( , , , , ( )) ( )
T
i i i
k t
T t k z v k m k
−
=
+ ρ∑ .
Так как для всех
j
i D∈ % 0( , , , ( )) 0i ih T T z v ⋅ = , согласно способу выбора
управлений, то
0
1
0
0( ) ( , , , , ( )) ( )
T
i i i i i
k t
z T T t k z v k m k
−
=
π = ρ∑ ,
ji D∈ % ,
откуда из выпуклости множеств iM получаем ( )i i iz T Mπ ∈ , для всех
j
i D∈ % .
Из принадлежности
jD% множеству ( )D Q следует
i
i D
q Q
∈
≥∑
%
.
Теорема доказана.
А.В. ЧИКРИЙ
60 Теорія оптимальних рішень. 2009, № 8
Г.В. Чикрій
ПРО БАГАТОКРАТНУ ПОЇМКУ ВТІКАЧА
Розглядаються конфліктно керовані процеси з групою переслідувачів і одним втікачем. Отри-
мані достатні умови багатократної поїмки за скінченний гарантований час.
A.V. Chikrii
ON MULTIPLE CAPTURE OF THE EVADER
Conflict-controlled processes with group of pursuers and single evader are studied. Sufficient condi-
tions for multiple capture in a finite quaranteed time are obtained.
1. Чикрий А.А. Конфликтно управляемые процессы. – Киев: Наук. думка, 1992. – 384 с.
2. Григоренко Н.Л. Математические методы управления несколькими динамическими про-
цессами. – М.: Изд-во МГУ, 1990. – 198 с.
3. Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. – М.: Наука, 1988. – 2. – 576 с.
Получено 31.03.2009
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-46639 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0013 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-28T10:22:00Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Чикрий, А.В. 2013-07-04T18:52:04Z 2013-07-04T18:52:04Z 2009 О многократной поимке убегающего / А.В. Чикрий // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2009. — № 8. — С. 56-60. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. XXXX-0013 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46639 518.9 Рассматриваются процессы игрового взаимодействия группы преследователей и одного убегающего. Целью является многократная поимка убегающего Получены достаточные условия решения задачи за некоторое гарантированное время. Розглядаються конфліктно керовані процеси з групою переслідувачів і одним втікачем. Отримані достатні умови багатократної поїмки за скінченний гарантований час. Conflict-controlled processes with group of pursuers and single evader are studied. Sufficient conditions for multiple capture in a finite quaranteed time are obtained. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Теорія оптимальних рішень О многократной поимке убегающего Про багатократну поїмку втікача On multiple capture of the evader Article published earlier |
| spellingShingle | О многократной поимке убегающего Чикрий, А.В. |
| title | О многократной поимке убегающего |
| title_alt | Про багатократну поїмку втікача On multiple capture of the evader |
| title_full | О многократной поимке убегающего |
| title_fullStr | О многократной поимке убегающего |
| title_full_unstemmed | О многократной поимке убегающего |
| title_short | О многократной поимке убегающего |
| title_sort | о многократной поимке убегающего |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46639 |
| work_keys_str_mv | AT čikriiav omnogokratnoipoimkeubegaûŝego AT čikriiav probagatokratnupoímkuvtíkača AT čikriiav onmultiplecaptureoftheevader |