Моделирование и создание алгоритмов для финансовых моделей
Рассматриваются некоторые алгоритмические подходы к моделированию случайных величин и процессов для получения расчетных оценок цены акций, опционов и других видов ценных бумаг. Розглядаються деякі алгоритмічні підходи до моделювання випадкових величин та процесів для одержання розрахункових оцінок ц...
Saved in:
| Published in: | Теорія оптимальних рішень |
|---|---|
| Date: | 2009 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2009
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46643 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Моделирование и создание алгоритмов для финансовых моделей / Л.Б. Вовк, А.П. Кнопов // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2009. — № 8. — С. 83-90. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859850327738548224 |
|---|---|
| author | Вовк, Л.Б. Кнопов, А.П. |
| author_facet | Вовк, Л.Б. Кнопов, А.П. |
| citation_txt | Моделирование и создание алгоритмов для финансовых моделей / Л.Б. Вовк, А.П. Кнопов // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2009. — № 8. — С. 83-90. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Теорія оптимальних рішень |
| description | Рассматриваются некоторые алгоритмические подходы к моделированию случайных величин и процессов для получения расчетных оценок цены акций, опционов и других видов ценных бумаг.
Розглядаються деякі алгоритмічні підходи до моделювання випадкових величин та процесів для одержання розрахункових оцінок ціни акцій, опціонів та інших видів цінних паперів.
Some algorithmic approaches to the random values and processes modeling for obtaining the calculated estimators for stock, options and other kinds of valuable papers are investigated.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:40:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
Теорія оптимальних рішень. 2009, № 8 83
ÒÅÎвß
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÈÕ
вØÅÍÜ
Рассматриваются некоторые
алгоритмические подходы к моде-
лированию случайных величин и
процессов для получения расчет-
ных оценок цены акций, опционов
и других видов ценных бумаг.
© Л.Б. Вовк, А.П. Кнопов, 2009
ÓÄÊ 519.21
Ë.Á. ÂÎÂÊ, À.Ï. ÊÍÎÏÎÂ
ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ È ÑÎÇÄÀÍÈÅ
ÀËÃÎÐÈÒÌÎÂ
ÄËß ÔÈÍÀÍÑÎÂÛÕ ÌÎÄÅËÅÉ
Введение. Еще в начале ХХ века француз-
ским ученым Л. Башелье [1] была предложе-
на естественная модель для определения це-
ны акции tS в некоторый момент времени t .
Эта модель использовала понятие геометри-
ческого броуновского движения, при этом
стоимость акции tS определялась как реше-
ние линейного стохастического уравнения
вида
( )
ttt
dWdtSdS σ+µ= , (1)
где µ – коэффициент роста, σ – коэффици-
ент волатильности, tW – стандартный вине-
ровский процесс. Такого же типа стохастиче-
ские уравнения возникают и при определе-
нии цены покупки европейского опциона и
нахождения других важных характеристик
европейского и американского опционов [2].
Очевидно, чтобы находить решение уравне-
ния (1) и в явном виде получать численное
значение для tS , необходимо иметь реализа-
ции винеровского процесса tW или реализа-
ции решения уравнения (1).
Метод Монте-Карло
Проблема моделирования состоит в следую-
щем. Пусть случайная величина имеет функцию
распределения ( )xµ . Сгенерируем последо-
вательность случайных событий ...,...,,
1 n
XX
в соответствии с функцией распределения µ .
Используя закон больших чисел, можно утвер-
ждать, что если f является µ -интегрируемой
функцией, то
( ) ( ) ( )
1
1
lim n
N
n N
f X f x dx
N→∞
≤ ≤
= µ∑ ∫ . (2)
Л.Б. ВОВК, А.П. КНОПОВ
84 Теорія оптимальних рішень. 2009, № 8
Чтобы воспроизвести этот метод на компьютере, будем действовать
следующим образом. Считаем, что у нас есть способ получения независимых
реализаций { }∞
=1nnU равномерно распределенной на [ ]1,0 случайной величины
U . Рассмотрим общий метод получения независимых реализаций случайных
величин с заданным законом распределения ( )xµ . Он основан на следующем
утверждении.
Теорема 1 [3]. Если величина x удовлетворяет уравнению
( ) udy
x
=µ∫
∞−
, ( )1
x u
−= µ ,
где u – случайная величина, равномерно распределенная на [ ]1,0 , то x распре-
делена по закону ( )xµ .
Заметим, что в практических расчетах наиболее удобно получать реализа-
ции U с помощью некоторого алгоритма. Числа, получаемые таким способом,
называют псевдослучайными. Большинство языков программирования преду-
сматривают закодированную функцию типа random, возвращающую псевдослу-
чайное число между 0 и 1 или случайное целое число в заданном диапазоне. До-
казать теоретически, что тот или иной алгоритм дает последовательность с нуж-
ными свойствами, во многих случаях достаточно сложная задача. Поэтому стро-
гое доказательство часто заменяется интуитивными соображениями или теоре-
тически обосновываются некоторые свойства алгоритма, а затем используются
тесты, на основании которых оценивается качество алгоритма.
Моделирование случайных величин
В финансовой математике наиболее распространенными являются гауссов-
ские и экспоненциальные законы распределения (в случае непрерывных моде-
лей) и пуассоновский закон (в случае дискретных моделей).
Моделирование гауссовского закона
Методы моделирования гауссовских случайных величин основаны как на
использовании центральной предельной теоремы, так и на оригинальных иссле-
дованиях Н. Винера [4], В. Янсона [5] и Р. Кронмаля [6]. Последний метод осно-
ван на том, что величины ( ) ( )
21 2coslog2 xx π−=ξ и ( ) ( )
21 2sinlog2 xx π−=η
являются независимыми и нормально распределенными с нулевым средним и
единичной дисперсией, если 1x и 2x равномерно распределены на [ ]1,0 .
Для моделирования гауссовской случайной величины со средним m и дис-
персией σ достаточно взять gmX σ+= , где g – стандартная гауссовская слу-
чайная величина.
МОДЕЛИРОВАНИЕ И СОЗДАНИЕ АЛГОРИТМОВ ДЛЯ ФИНАНСОВЫХ МОДЕЛЕЙ
Теорія оптимальних рішень. 2009, № 8 85
Моделирование экспоненциального закона
Напомним, что случайная величина ξ распределена по экспоненциальному
закону, если ее плотность распределения имеет вид
( ) ( )
( )
0 , 0,
0, 0,
x
f t dt
f x e xp x
x
−
ξ
∫ ≥=
<
а ( )xf – неотрицательная, интегрируемая на любом конечном промежутке
[ ]A,0 функция, такая, что ( ) ∞=∫∞→
A
A
dttf
0
lim . Если ( ) λ=xf , то можно моделиро-
вать ξ , учитывая, что если U равномерно распределено на [ ]1,0 , то ( ) λ/log U
распределено экспоненциально с параметром λ .
Этот метод моделирования экспоненциального закона называется "метод
обратной функции распределения".
Моделирование пуассоновской случайной величины
С показательным распределением тесно связано пуассоновское распределе-
ние. Пуассоновская случайная величина – это дискретная величина, такая, что
функция распределения имеет вид
{ } 0,
!
≥
λ
=== λ− n
n
enxPp
n
n
.
Процесс Пуассона является дискретным, и соответствующая случайная ве-
личина принимает значения ...,2,1=n с вероятностями np . Процесс Пуассона,
кроме того, является марковским с переходной плотностью вероятности
( )
( ) ( )
0
exp , ,
,
0, ,
y x
f y x f t dt y x
p x y
y x
−
− − ≥
=
<
∫
т.е. разность xy − распределена по показательному закону. Функцию ( )xf на-
зывают параметром пуассоновского закона. Если начальное распределение яв-
ляется показательным с параметром ( )xf , то последовательность сумм ∑
=
ξ
n
i
i
1
,
...,2,1=n , где
iξ независимы и распределены по показательному закону, обра-
зуют реализации пуассоновского процесса с параметром ( )xf . Если ( ) λ=xf
постоянна, то моделирование плотности показательного распределения, а следо-
вательно, и пуассоновского распределения, не представляет труда. Если же ( )xf
– произвольная и достаточно сложная функция, то поставленная задача может
быть достаточно трудоемкой.
Л.Б. ВОВК, А.П. КНОПОВ
86 Теорія оптимальних рішень. 2009, № 8
Если { }
1≥iiT – последовательность экспоненциальных случайных величин
с параметром λ , то { }∑
∞
=
++≤≤++ +
=
1
...... 111
n
TTtTTt nn
nN 1 является пуассоновской с парамет-
ром tλ . Тогда случайная величина 1N распределена по тому же закону, что и
переменная X , которую мы хотим смоделировать. С другой стороны, всегда
можно представить экспоненциальные переменные iT как ( ) λ− /log
i
U ,
где { }∞
=1iiU – независимые случайные величины, равномерно распределенные на
[ ]1,0 , и тогда 1N можно записать так:
{ }1 1 1
1 ... ...
1
,
n nU U e U U
n
N n −λ
+
∞
⋅ ⋅ ≤ ≤ ⋅ ⋅
=
=∑ 1
откуда и строится алгоритм моделирования пуассоновской случайной величины.
Моделирование гауссовских векторов
Многомерные модели в основном будут использоваться в гауссовских процес-
сах со значениями в n
R . Приведем метод моделирования этого вида случайных
величин. Допустим, мы хотим смоделировать гауссовский вектор ( )
n
XX ...,,
1
=X ,
характеризующийся вектором средних значений ( ) ( ) ( )( )
nn
XEXEmm ...,,...,,
11
==m
и матрицей дисперсий ( )n
jiij 1, =
σ=Г , где ( ) ( ) ( )
jijiij
XEXEXXE −=σ . Матрица Г
положительно определена, следовательно, имеет обратную. Можно найти квадрат-
ный корень матрицы Г , т.е. матрицу A , такую, что ГAA =×T , где A
T – транспо-
нированная к A матрица. Поскольку как Г , так и A являются обратимыми, можно
рассматривать вектор ( )mXAZ −= −1 . Легко проверить, что этот вектор является
гауссовским с нулевым средним. Кроме того, матрица дисперсий представима
в виде
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) IAГA ==σ=−−=
−−
=
−−
=
−− ∑∑ ij
n
lk
kljlik
n
lk
lljlkkikji
AAmXAmXAZZE
1T1
1,
11
1,
1T1
E ,
следовательно, Z – гауссовский вектор с нулевым средним и единичной матри-
цей дисперсий. Закон распределения вектора AZmX += можно смоделировать
таким образом:
1) получить матрицу A , извлекая квадратный корень из Г ;
2) смоделировать n независимых стандартных нормальных величин
( )nggG ...,,1= ;
3) сложить AGm + .
Моделирование стохастических процессов
Изложенные ранее методы дают возможность моделировать случайные
процессы в задачах, когда изучается динамика стоимости портфеля акций в те-
чение всего времени его оборота. Рассмотрим некоторые простые приемы моде-
лирования некоторых классов процессов.
МОДЕЛИРОВАНИЕ И СОЗДАНИЕ АЛГОРИТМОВ ДЛЯ ФИНАНСОВЫХ МОДЕЛЕЙ
Теорія оптимальних рішень. 2009, № 8 87
Моделирование Броуновского движения
Выделим два метода моделирования Броуновского движения ( )
0≥ttW .
Первый из них содержит "перенормированный случайный путь". Пусть { }∞
=0iiX –
последовательность независимых, одинаково распределенных случайных вели-
чин, соответствующих
{ } { }
2
1
1,
2
1
1 =−=== ii XPXP .
Тогда имеем ( ) 0=iXE , ( ) 1
2 =iXE . Рассмотрим nn XXS ++= ...1 . Броуновское
движение можно аппроксимировать с помощью процессов ( )
0≥t
n
tX , где
[ ]nt
n
t S
n
X
1
= ,
[ ]x – наибольшее целое число, не превышающее x .
Второй метод основан на том, что если { }∞
=0iig – последовательность незави-
симых случайных величин со стандартным нормальным распределением, и если
0≥∆t , nnn gSSS =−= −10 ,0 , то закон ( )nStStSt ∆∆∆ ...,,, 10 идентичен зако-
ну ( )tntt WWWW ∆∆∆ ...,,,, 20 , т.е. броуновское движение можно аппроксимировать
с помощью [ ]tt
n
t STX ∆∆= .
Моделирование стохастических дифференциальных уравнений
Существует множество методов, некоторые из них достаточно сложные,
моделирования решений стохастических дифференциальных уравнений. Рас-
смотрим только базисный метод, называющийся "аппроксимация Эйлера".
Принцип данного метода состоит в следующем: рассмотрим стохастическое
дифференциальное уравнение
( ) ( )
σ+=
=
.
,0
tttt
dWXdtXbdX
xX
Время определяется с помощью фиксированного t∆ . Определим процесс
с дискретным временем
( ) ( ) ( )( ){ }
−σ+∆=−
=
∆∆++ .
,
11
0
tntnnnnn
WWStSbSS
xS
Пусть [ ]tt
n
t SX ∆= .
Теорема 2 [7]. Для любого 0>T
tCXXE
Tt
n
t
Tt
∆≤
−
≤
2
sup ,
где TC – константа, зависящая только от T .
Л.Б. ВОВК, А.П. КНОПОВ
88 Теорія оптимальних рішень. 2009, № 8
Закон распределения последовательности ( ){ }∞
=∆∆+ −
01 ntntn WW является зако-
ном распределения последовательности независимых нормально распределен-
ных случайных величин с нулевым средним и дисперсией t∆ . При моделирова-
нии заменим ( ){ }∞
=∆∆+ −
01 ntntn WW на tgn ∆ , где { }∞
=0nng – последовательность не-
зависимых стандартных нормальных случайных величин. Аппроксимируемую
последовательность { }∞
=1
'
nnS определим следующим образом:
( ) ( )
∆σ+∆+=
=
+ .''''
,'
1
0
tgSStbSS
xS
nnnnn
Последовательность независимых гауссовских случайных величин { }∞
=0nng
можно моделировать с помощью последовательности независимых случайных
величин { }∞
=0iiU , таких, что { } { }
2
1
11 =−=== ii UPUP .
Далее рассмотрим некоторые подходы к моделированию случайных процес-
сов в задачах финансовой математики.
Модель Блэка-Шоулза
Рассмотрим задачу моделирования решения уравнения
( )
σ+=
=
,
,0
ttt
dWrdtXdX
xX
(3)
где tX – стоимость акций; r – процентная ставка; σ – волатильность процесса.
Допустимы два подхода. Первый состоит в использовании аппроксимации
Эйлера. Положим
( )
∆σ+∆+=
=
+ tgtrSS
xS
nnn
1
,
1
0
и моделируем tX с помощью [ ]tt
n
t SX ∆= .
Второй метод состоит в использовании точного решения (3):
σ+
σ
−=
tt
WtrtxX
2
exp
2
и моделировании броуновского движения согласно с одним из вышеприведен-
ных методов. В этом случае получаем
∆σ+∆
σ
−= ∑
=
n
i
in gttnrxS
1
2
2
exp .
Моделирование моделей со скачками
Пускай процесс ( )
0≥ttX описывает динамику активов
МОДЕЛИРОВАНИЕ И СОЗДАНИЕ АЛГОРИТМОВ ДЛЯ ФИНАНСОВЫХ МОДЕЛЕЙ
Теорія оптимальних рішень. 2009, № 8 89
( ) ( ) t
t
Wt
N
j
jt
eUxX
σ+σ−µ
=
+= ∏ 2
1
2
1 , (4)
где ( )
0≥ttW – стандартное броуновское движение; ( )
0≥ttN – пуассоновский про-
цесс с интенсивностью ;λ { }∞
=1jjU – последовательность независимых одинаково
распределенных случайных величин со значениями в ( )∞+− ,1 и распре-
делением ( )xµ .
При моделировании этого процесса за время tn∆
( ) ( ) ( )( )tntnttttn XXXXxXxX ∆−∆∆∆∆∆ ××××= 12 ... .
Рассмотрим ( )( )tktkk XXY ∆−∆= 1 . Можно доказать, что { }∞
=1kkY – последователь-
ность независимых одинаково распределенных случайных величин. Поскольку
ntn YxYX ...1=∆ , моделирование Х сводится к моделированию последовательности
{ }∞
=1kkY независимых одинаково распределенных случайных величин. Будем дей-
ствовать следующим образом:
1) смоделируем стандартную гауссовскую случайную величину g ;
2) смоделируем пуассоновскую случайную величину с параметром t∆λ ;
3) если nN = , смоделируем n независимых случайных величин с функци-
ей распределения
n
UU ...,,:
1
µ .
Величины tX , определенные соотношением (4), будем моделировать с по-
мощью величин
( ) ( ) tgt
N
j
j eU
∆σ+∆σ−µ
=
+∏ 2
1
2
1 .
Заключение. Рассмотрены некоторые вопросы моделирования случайных
величин и процессов, используемые в моделях финансовой и страховой мате-
матики.
Л.Б. Вовк, О.П. Кнопов
МОДЕЛЮВАННЯ ТА СТВОРЕННЯ АЛГОРИТМІВ ДЛЯ ФІНАНСОВИХ МОДЕЛЕЙ
Розглядаються деякі алгоритмічні підходи до моделювання випадкових величин та процесів
для одержання розрахункових оцінок ціни акцій, опціонів та інших видів цінних паперів.
L.B.Vovk, O.P. Knopov
MODELING AND CREATING ALGORITHMS FOR FINANCIAL MODELS
Some algorithmic approaches to the random values and processes modeling for obtaining the calcu-
lated estimators for stock, options and other kinds of valuable papers are investigated.
Л.Б. ВОВК, А.П. КНОПОВ
90 Теорія оптимальних рішень. 2009, № 8
1. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. – М.: Наука, 1971. – 328 с.
2. Bachelier L. Theorie de la Speculation // Ann. Sci. Ecole Norm. Super. – Ser. 3, 17, 21t. –
1900. – P. 21–86.
3. Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities // J. Polit. Economy.
– 1973. – 81. – P. 637–654.
4. Винер Н. Нелинейные задачи в теории случайных процессов – М.: Иностр. лит.,
1961. – 160 с.
5. Jansson B. Random Number Generators – Stockholm, 1967. – 205 р.
6. Kronmal R. Evaluation of a pseudorandom normal number generator // J. of the Assos. for
Comp. Math. – 1964. – 11, N 3. – P. 357–363.
7. Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения – Киев:
Наук. думка, 1968. – 354 с.
Получено 10.03.2009
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-46643 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0013 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:40:41Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Вовк, Л.Б. Кнопов, А.П. 2013-07-04T19:09:59Z 2013-07-04T19:09:59Z 2009 Моделирование и создание алгоритмов для финансовых моделей / Л.Б. Вовк, А.П. Кнопов // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2009. — № 8. — С. 83-90. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. XXXX-0013 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46643 519.21 Рассматриваются некоторые алгоритмические подходы к моделированию случайных величин и процессов для получения расчетных оценок цены акций, опционов и других видов ценных бумаг. Розглядаються деякі алгоритмічні підходи до моделювання випадкових величин та процесів для одержання розрахункових оцінок ціни акцій, опціонів та інших видів цінних паперів. Some algorithmic approaches to the random values and processes modeling for obtaining the calculated estimators for stock, options and other kinds of valuable papers are investigated. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Теорія оптимальних рішень Моделирование и создание алгоритмов для финансовых моделей Моделювання та створення алгоритмів для фінансових моделей Modeling and creating algorithms for financial models Article published earlier |
| spellingShingle | Моделирование и создание алгоритмов для финансовых моделей Вовк, Л.Б. Кнопов, А.П. |
| title | Моделирование и создание алгоритмов для финансовых моделей |
| title_alt | Моделювання та створення алгоритмів для фінансових моделей Modeling and creating algorithms for financial models |
| title_full | Моделирование и создание алгоритмов для финансовых моделей |
| title_fullStr | Моделирование и создание алгоритмов для финансовых моделей |
| title_full_unstemmed | Моделирование и создание алгоритмов для финансовых моделей |
| title_short | Моделирование и создание алгоритмов для финансовых моделей |
| title_sort | моделирование и создание алгоритмов для финансовых моделей |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46643 |
| work_keys_str_mv | AT vovklb modelirovanieisozdaniealgoritmovdlâfinansovyhmodelei AT knopovap modelirovanieisozdaniealgoritmovdlâfinansovyhmodelei AT vovklb modelûvannâtastvorennâalgoritmívdlâfínansovihmodelei AT knopovap modelûvannâtastvorennâalgoritmívdlâfínansovihmodelei AT vovklb modelingandcreatingalgorithmsforfinancialmodels AT knopovap modelingandcreatingalgorithmsforfinancialmodels |