Сравнительный анализ равновесий Курно–Нэша и Бертрана–Нэша для дифференцированных продуктов

В случае гетерогенной дуополии для разности прибылей в равновесиях Курно–Нэша и Бертрана–Нэша факт заменяемости или дополнительности дифференцированных продуктов важнее, чем степень их однородности. Для заменителей (дополнителей) цена и прибыль каждой фирмы в равновесии Курно–Нэша выше (ниже), чем в...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:	Теорія оптимальних рішень
Datum:	2009
1. Verfasser:	Горбачук, В.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2009
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46648
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Сравнительный анализ равновесий Курно–Нэша и Бертрана–Нэша для дифференцированных продуктов / В.М. Горбачук // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2009. — № 8. — С. 120-126. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-46648
record_format	dspace
spelling	Горбачук, В.М. 2013-07-04T19:32:15Z 2013-07-04T19:32:15Z 2009 Сравнительный анализ равновесий Курно–Нэша и Бертрана–Нэша для дифференцированных продуктов / В.М. Горбачук // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2009. — № 8. — С. 120-126. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. XXXX-0013 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46648 519.8 В случае гетерогенной дуополии для разности прибылей в равновесиях Курно–Нэша и Бертрана–Нэша факт заменяемости или дополнительности дифференцированных продуктов важнее, чем степень их однородности. Для заменителей (дополнителей) цена и прибыль каждой фирмы в равновесии Курно–Нэша выше (ниже), чем в равновесии Бертрана–Нэша, а выпуск – соответственно меньше (больше). У випадку гетерогенної дуополії для різниці прибутків у рівновагах Курно–Неша та Бертрана–Неша факт замінюваності чи доповнюваності диференційованих продуктів важливіший, ніж ступінь їх однорідності. Для заміннників (доповнювачів) ціна та прибуток кожної фірми у рівновазі Курно–Неша вищі (нижчі), ніж у рівновазі Бертрана–Неша, а випуск – менший (більший). In the case of heterogeneous duopoly, the fact of substitutability or complementarity of differentiated products is more improtant for profits’ difference at Cournot–Nash and Bertrand–Nash equilibria, than the degree of their uniformity. For substitutes (complements) the price and the profit of each firm at Cournot–Nash equilibrium are higher (lower), than ones at Bertrand–Nash equilibrium, and the output is lesser (larger). ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Теорія оптимальних рішень Сравнительный анализ равновесий Курно–Нэша и Бертрана–Нэша для дифференцированных продуктов Порівняльний аналіз рівноваг Курно–Неша та Бертрана–Неша для диференційованих продуктів The comparative analysis of Cournot–Nash and Bertrand–Nash equilibria for differentiated products Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Сравнительный анализ равновесий Курно–Нэша и Бертрана–Нэша для дифференцированных продуктов
spellingShingle	Сравнительный анализ равновесий Курно–Нэша и Бертрана–Нэша для дифференцированных продуктов Горбачук, В.М.
title_short	Сравнительный анализ равновесий Курно–Нэша и Бертрана–Нэша для дифференцированных продуктов
title_full	Сравнительный анализ равновесий Курно–Нэша и Бертрана–Нэша для дифференцированных продуктов
title_fullStr	Сравнительный анализ равновесий Курно–Нэша и Бертрана–Нэша для дифференцированных продуктов
title_full_unstemmed	Сравнительный анализ равновесий Курно–Нэша и Бертрана–Нэша для дифференцированных продуктов
title_sort	сравнительный анализ равновесий курно–нэша и бертрана–нэша для дифференцированных продуктов
author	Горбачук, В.М.
author_facet	Горбачук, В.М.
publishDate	2009
language	Russian
container_title	Теорія оптимальних рішень
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format	Article
title_alt	Порівняльний аналіз рівноваг Курно–Неша та Бертрана–Неша для диференційованих продуктів The comparative analysis of Cournot–Nash and Bertrand–Nash equilibria for differentiated products
description	В случае гетерогенной дуополии для разности прибылей в равновесиях Курно–Нэша и Бертрана–Нэша факт заменяемости или дополнительности дифференцированных продуктов важнее, чем степень их однородности. Для заменителей (дополнителей) цена и прибыль каждой фирмы в равновесии Курно–Нэша выше (ниже), чем в равновесии Бертрана–Нэша, а выпуск – соответственно меньше (больше). У випадку гетерогенної дуополії для різниці прибутків у рівновагах Курно–Неша та Бертрана–Неша факт замінюваності чи доповнюваності диференційованих продуктів важливіший, ніж ступінь їх однорідності. Для заміннників (доповнювачів) ціна та прибуток кожної фірми у рівновазі Курно–Неша вищі (нижчі), ніж у рівновазі Бертрана–Неша, а випуск – менший (більший). In the case of heterogeneous duopoly, the fact of substitutability or complementarity of differentiated products is more improtant for profits’ difference at Cournot–Nash and Bertrand–Nash equilibria, than the degree of their uniformity. For substitutes (complements) the price and the profit of each firm at Cournot–Nash equilibrium are higher (lower), than ones at Bertrand–Nash equilibrium, and the output is lesser (larger).
issn	XXXX-0013
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46648
citation_txt	Сравнительный анализ равновесий Курно–Нэша и Бертрана–Нэша для дифференцированных продуктов / В.М. Горбачук // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2009. — № 8. — С. 120-126. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT gorbačukvm sravnitelʹnyianalizravnovesiikurnonéšaibertrananéšadlâdifferencirovannyhproduktov AT gorbačukvm porívnâlʹniianalízrívnovagkurnonešatabertrananešadlâdiferencíiovanihproduktív AT gorbačukvm thecomparativeanalysisofcournotnashandbertrandnashequilibriafordifferentiatedproducts
first_indexed	2025-11-26T07:30:22Z
last_indexed	2025-11-26T07:30:22Z
_version_	1850617332562395136
fulltext	120 Теорія оптимальних рішень. 2009, № 8 ÒÅÎÐ²ß ÎÏÒÈÌÀËÜÍÈÕ Ð²ØÅÍÜ В случае гетерогенной дуополии для разности прибылей в равнове- сиях Курно–Нэша и Бертрана– Нэша факт заменяемости или до- полнительности дифференциро- ванных продуктов важнее, чем степень их однородности. Для за- менителей (дополнителей) цена и прибыль каждой фирмы в равно- весии Курно–Нэша выше (ниже), чем в равновесии Бертрана–Нэша, а выпуск – соответственно мень- ше (больше).  В.М. Горбачук, 2009 ÓÄÊ 519.8 Â.Ì. ÃÎÐÁÀ×ÓÊ ÑÐÀÂÍÈÒÅËÜÍÛÉ ÀÍÀËÈÇ ÐÀÂÍÎÂÅÑÈÉ ÊÓÐÍÎ–ÍÝØÀ È ÁÅÐÒÐÀÍÀ–ÍÝØÀ ÄËß ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÐÎÂÀÍÍÛÕ ÏÐÎÄÓÊÒÎÂ Введение. Глобальная инфляция влияет на различные рынки и страны. По официальным данным, в Украине в 2007 г. цена бензина A-95 возросла от 3,82 до 5,11 UAH / литр (при фиксированном обменном курсе USD = = 5,05 UAH), а дизельного топлива – от 3,71 до 5,09 UAH / литр. В 2008 г. цена дизельно- го топлива в Украине превысила цену бензи- на A-95. Профсоюзы в странах Европейского Союза (ЕС) организовали массовые забас- товки в связи с высокими ценами на мотор- ные топлива. Для рынка энергоносителей Украины ха- рактерно использование рыночной власти [1]. Заметим, что бензин и дизтопливо – дифференцированные продукты [2, 3]. Для исследования двух дифференцированных продуктов удобен аппарат дуопольных рав- новесий, предложенный в классических ра- ботах Курно, Бертрана, Нэша [4–6]. Такой аппарат развивался в работах отечественных авторов [7–11]. Биотопливо является альтернативным (дифференцированным) продуктом для ряда обычных моторных топлив [10], и страны ЕС приступили к комплексной организации его промышленного производства в 1990-х го- дах. Украина в 2008 г. вышла в лидеры в Ев- ропе по посевам рапса. Как следствие, сокращаются площади продовольственных культур и возрастают цены продовольствен- ных продуктов, что приводит к дальнейшим проблемам взаимозависимости продуктов. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ РАВНОВЕСИЙ КУРНО–НЭША И БЕРТРАНА–НЭША … Теорія оптимальних рішень. 2009, № 8 121 Если продукты 1 и 2 – дифференцированные, то цена продукта i будет jiiiii QdQbaP −−= , 2,1, =ji , i ≠ j , (1) где iQ – неотрицательное количество продукта i , ia , ib , id – некоторые пара- метры [2, 3]. Предположим, что 0>ia и 0>ib . При 0>id продукт j называ- ют заменителем для продукта i , а при 0<id – дополнителем. При 0=id цена продукта i не зависит от продукта j . При конкуренции производители 1, 2 соответственно продуктов 1, 2 могут решать задачу Курно–Нэша (Cournot–Nash) [2–6] iQ iijiiiiiii QcQdQbaQcP max)()( →−−−=−=π , 2,1=i , (2) и задачу Бертрана–Нэша (Bertrand–Nash) [2–6] iP iiii QcP max)( →−=π , 2,1=i , где ic – (положительные) удельные производственные затраты для продукта i . Величина ia считается верхней границей удельных затрат и цены: ii ac <<0 . В литературе часто предполагается некоторая гомогенность дуополии, т.е. 21 aa = и / или 21 bb = и/или 21 cc = и / или 21 dd = в задаче (2) [2, 3]. Потребно- сти практики вынуждают отказываться от таких предположений и анализиро- вать гетерогенную дуополию в общем случае. Теорема 1. Если выполняются условия (1), (2), 04 2121 >−=Λ ddbb , (3) 0)()(2 >−−−=∆ iijjjij cadcab , 2,1, =ji , i ≠ j , (4) то в равновесии Курно–Нэша дифференцированной дуополии выпуск фирмы i составляет Λ ∆ = − −−− = ijjiiijCN i ddbb cadcab Q 21214 )()(2 , 2,1, =ji , i ≠ j . (5) Действительно, из вогнутости по iQ функции iπ следует jiiiiiii QdQbcaQ −−−=∂π∂= 2/0 , 2,1, =ji , i ≠ j , откуда получаем 21 12221112 1 2111 1 4 )()(2 2 bb Qdcadcab b Qdca Q −−−− = −− = и приходим к соотношениям (5). Условие (3) является непосредственным следствием неравенств \|\| ii bd < , 2,1=i , (6) т.е. большей зависимости цены продукта i от спроса на этот продукт, чем от спроса на дифференцированный продукт j . Если продукты однородные, то ii bd = , 1, 2i = , (7) и условие (3) выполняется. В.М. ГОРБАЧУК 122 Теорія оптимальних рішень. 2009, № 8 Заметим, что при jjii caca −=− (8) из соотношения (4) следует условие (3). Если выполняются условия (7), (8) и 21 bb = , (9) то формула (5) сводится к известной формуле выпуска в равновесии Курно– Нэша для однородной дуополии [8]. Теорема 2. При условиях (3), (4) цена на продукт i в равновесии Курно–Нэша i CN iii ii i jjiiijiCN i cQbc b c cadcabb P +=+ Λ ∆ =+ Λ −−− = )]()(2[ , 2,1, =ji . (10) Следствие 1. При условиях (3), (4) в равновесии Курно–Нэша отношение выпусков составляет 2 1 112221 221112 2 1 )()(2 )()(2 ∆ ∆ = −−− −−− = cadcab cadcab Q Q CN CN , (11) а разность цен – 21221121 ccQbQbPP CNCNCNCN −+−=− 21 2211 cc D bb −+ ∆−∆ = . (12) Следствие 2. В условиях (3), (4) прибыль в равновесии Курно–Нэша 2 2 2 )( )()( Λ ∆ ==−=π iiCN ii CN ii CN i CN i b QbQcP , 2,1, =ji , i ≠ j . (13) Следствие 3. При условиях (3), (4) разность прибылей в равновесии Курно–Нэша 2 2 22 2 11 21 )()( Λ ∆−∆ =π−π bbCNCN . (14) Следствие 4. При условиях (3), (4), (9) разность прибылей CNCN 21 π−π 2 22111121211 )])(2())(2)[(( Λ −+−−+∆+∆ = cadbcadbb и имеет знак )()( 2121 CNCNCNCN QQsignsign −=π−π . Следствие 5. При условиях (3), (4), (6), (9) и одинаковой степени однород- ности продуктов 2 2 1 1 b d b d ==Ω разность прибылей в равновесии Курно–Нэша 2 221121 2 1 21 )]())[(2)(()( Λ −−−Ω+∆+∆ =π−π cacabCNCN и имеет знак 1 2 1 1 2 2sign ( ) sign [( ) ( )]CN CN a c a cπ − π = − − − . Чем ближе значение Ω к 1, тем однороднее (менее дифференцированы) продукты 1 и 2 [2, 3]. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ РАВНОВЕСИЙ КУРНО–НЭША И БЕРТРАНА–НЭША … Теорія оптимальних рішень. 2009, № 8 123 Теорема 3. Если выполняются условия (6) и 0)()()( >−−∆=−−−=δ iijijjiiiji cabcadcab , (15) то в равновесии Бертрана–Нэша цена продукта i составляет Λ +δ+λ = )3( ijiiiBN i cbba P , 2,1, =ji , i ≠ j , (16) а выпуск продукта i – Λλ δ+−λ = ])([ iiiijBN i bcab Q , где 03 212121 >−Λ=−=λ bbddbb . (17) Следует отметить, что из условия (15) вытекает условие (4), а из условия (6) вытекают условия (3) и (17). Для существования равновесия Бертрана–Нэша нужны более жесткие условия, чем для равновесия Курно–Нэша. Из соотношений (1) следует 2121 21121221 2121 221112 1 )()( ddbb PdPbdaba ddbb PadPab Q − +−− = − −−− = , (18) откуда λ +−− −=π )( )( 21121221 111 PdPbdaba cP . Тогда из вогнутости по 1P функции 1π следует λ ++−− =∂π∂= 1221121221 11 2 /0 cbPdPbdaba P . (19) Аналогично 2112212112 20 cbPdPbdaba ++−−= , откуда 1 112221 2 2 )()( b Padcab P −−+ = . Подставляя последнее равенство в уравнение (19), получаем соотношения (16). Подставляя соотношения (16) в уравнение (18), убеждаемся в утверждениях теоремы 3 для BN iQ , 2,1=i . Следствие 6. При условиях (6) и (15) в равновесии Бертрана–Нэша отноше- ние выпусков ])([ ])([ 22221 11112 2 1 δ+−λ δ+−λ = bcab bcab Q Q BN BN , (20) а отношение цен – )3( )3( 21222 12111 2 1 cbba cbba P P BN BN +δ+λ +δ+λ = . (21) В.М. ГОРБАЧУК 124 Теорія оптимальних рішень. 2009, № 8 Соотношения (11), (12) и (20), (21) могут использоваться для проверки кон- курентности соответственно по Курно–Нэшу и Бертрану–Нэшу дифференциро- ванной дуополии, так как выпуски и цены наблюдаются, а параметры ia , ib , id , ic , 2,1=i , и функции i∆ , iδ , λ от них оцениваются [9]. Теорема 4. При условиях (6), (15) прибыль в равновесии Бертрана–Нэша j BN iiiiijBN i b Qbcab 2 2 2 )(])([ λ = Λλ δ+−λ =π , 2,1, =ji , i ≠ j . Поскольку в силу теоремы 3 2 11112112111 1111 ])([])3([ )( Λλ δ+−λΛ−+δ+λ =−=π bcabccbba QcP BNBNBN , то остается непосредственно проверить, что 1121111111 )3()( ccbbabca Λ−+δ+λ=δ+−λ . Следствие 7. При условиях (6), (15) разность прибылей в равновесии Бертрана–Нэша 21 2 22 2 11 1 2 2 2 2 1 21 ])()([)()( bb QbQb b Q b Q BNBNBNBN BNBN −λ = λ − λ =π−π . Следствие 8. При условиях (6), (9), (15) разность прибылей в равновесии Бертрана–Нэша равна = +−λ = λ − λ =π−π 1 2121 1 2 2 1 2 1 21 ))(()()( b QQQQ b Q b Q BNBNBNBNBNBN BNBN 1 222211111221 ]})([])([){( b bcabbcabQQ BNBN Λ δ+−λ−δ+−λ+ = и имеет знак 1 2 1 2sign( ) sign( )BN BN BN BN Q Qπ − π = − , совпадающий со знаком раз- ности выпусков фирм в равновесии Бертрана–Нэша. В свою очередь, знак этой разности можно определить из отношения (20). Следствие 9. При условиях (6), (9), (14), (15) имеет место 22211121 )()( δ=−−−=δ cadcab , откуда для разности прибылей в равновесии Бертрана–Нэша выполняется Λ −−−+λ =π−π )]())[(( 221121 21 cacaQQ BNBN BNBN , причем эта разность имеет знак 1 2 1 1 2 2sign( ) sign[( ) ( )]BN BN a c a cπ − π = − − − . Сравнивая следствия 4 и 8, 5 и 9, видим, что преимущество фирмы в равно- весиях Курно–Нэша и Бертрана–Нэша определяется одинаковыми признаками – большим равновесным выпуском и большей разностью между максимально возможной ценой и удельными производственными затратами для дифференци- рованных продуктов. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ РАВНОВЕСИЙ КУРНО–НЭША И БЕРТРАНА–НЭША … Теорія оптимальних рішень. 2009, № 8 125 Теорема 5. При условиях (6) и (15) разность цен в равновесиях Курно–Нэша и Бертрана–Нэша составляет Λ − =− )(21 iiBN i CN i cadd PP , 2,1, =ji , i ≠ j , (22) причем эта разность имеет знак 1 1 1 2sign( ) sign( )CN BN P P d d− = . Действительно, ввиду теорем 2 и 4, равенств (15) и (17) для 1=i имеем = Λ λ−δ−∆+−Λ = Λ −δ−λ−∆+Λ =− 1111121121111111 11 )()3(3 abcbbcbbbabc PP BNCN Λ − = Λ λ−− = Λ λ−−+λ = )())(()( 11212111111121 caddbbcaabcabc . Теорема 6. При условиях (6) и (15) разность выпусков в равновесиях Бер- трана–Нэша и Курно–Нэша составляет Λλ δ =− iCN i BN i dd QQ 21 , 2,1, =ji , i ≠ j , (23) причем эта разность имеет знак 1 2sign( ) sign( )BN CN i iQ Q d d− = . Отметим, что формулы (22) и (23) имеют место как для заменителей, так и для дополнителей. Если традиционно рассматривать заменители, то в равнове- сии Курно–Нэша цена дифференцированного продукта i выше по сравнению с равновесием Бертрана–Нэша, а выпуск – ниже. Теорема 7. При условиях (6) и (15) разность прибылей в равновесиях Кур- но–Нэша и Бертрана–Нэша составляет 2 2 )]()([)( Λλ −δ+−δ =π−π jjiiiijjijBN i CN i cabcabdd , 2,1, =ji , i ≠ j , и имеет знак sign( ) sign( )CN BN i i jdπ − π = , который положительный, когда диф- ференцированный продукт i является заменителем для продукта j , и отрица- тельный, когда продукт i является дополнителем для продукта j . Следствие 10. Если существуют асимметричные дифференцированные продукты 1 и 2 с 01 >d и 02 <d , то 011 <π−π BNCN , 022 >π−π BNCN . Пример. Пусть кафе i расположено на расстоянии il от начала улицы дли- ной L , 012 >>− llL , а потребитель x является клиентом кафе i при 22 )()( xlLTPlxTP jjii −−+<−+ , 2,1, =ji , ij ≠ . Обозначим 021 >−−= llLk . Тогда равновесные по Бертрану–Нэшу цены равны 3 )243( jiB i llkkT P ++ = , 2,1, =ji , ij ≠ . Заключение. В случае гетерогенной дуополии для разности прибылей в равновесиях Курно–Нэша и Бертрана–Нэша факт заменяемости или дополни- тельности дифференцированных продуктов важнее, чем степень Ω их однород- ности. Для заменителей (дополнителей) цена и прибыль каждой фирмы в равно- весии Курно–Нэша выше (ниже), чем в равновесии Бертрана–Нэша, а выпуск – меньше (больше). В.М. ГОРБАЧУК 126 Теорія оптимальних рішень. 2009, № 8 В.М. Горбачук ПОРІВНЯЛЬНИЙ АНАЛІЗ РІВНОВАГ КУРНО–НЕША ТА БЕРТРАНА–НЕША ДЛЯ ДИФЕРЕНЦІЙОВАНИХ ПРОДУКТІВ У випадку гетерогенної дуополії для різниці прибутків у рівновагах Курно–Неша та Бертрана– Неша факт замінюваності чи доповнюваності диференційованих продуктів важливіший, ніж ступінь їх однорідності. Для заміннників (доповнювачів) ціна та прибуток кожної фірми у рівновазі Курно–Неша вищі (нижчі), ніж у рівновазі Бертрана–Неша, а випуск – менший (більший). W.M. Gorbachuk THE COMPARATIVE ANALYSIS OF COURNOT–NASH AND BERTRAND–NASH EQUILIBRIA FOR DIFFERENTIATED PRODUCTS In the case of heterogeneous duopoly, the fact of substitutability or complementarity of differentiated products is more improtant for profits’ difference at Cournot–Nash and Bertrand– Nash equilibria, than the degree of their uniformity. For substitutes (complements) the price and the profit of each firm at Cournot–Nash equilibrium are higher (lower), than ones at Bertrand–Nash equilibrium, and the output is lesser (larger). 1. Гриценко О.Г., Ястремський О.І. Аналіз взаємозалежності „ціна – обсяг продажу” як засіб визначення рівня монопольної влади // Банківська справа. – 2005. – № 3. – С. 3–16. 2. Dixit A. A model of duopoly suggesting a theory of entry barriers // RAND journal of economics. – 1979. – 10. – 1. – P. 20–32. 3. Singh N., Vives X. Price and quantity competition in a differentiated duopoly // Ibid. – 1984. – 15, N 4. – P. 546–554. 4. Cournot A. Researches into the mathematical principles of the theory of wealth. English edition of Cournot (1838) translated by N.T. Bacon. – New York: A.M. Kelley, 1971. – 213 p. 5. Bertrand J. Revue de la Theorie Mathematique de la Richesse Sociale et des Recherches sur les Principles Mathematiques de la Theorie des Richesses // J. des Savants. – 1883. – P. 499–508. 6. Nash J. Equilibrium points in n-person games // Proc. of the National Academy of Sci. – 1950. – 36. – P. 48–49. 7. Olygopoly dynamics – models and tools. Puu T., Sushko I. (eds.) – Springer-Verlag, 2002. – 313 p. 8. Gorbachuk V. The prisoner’s dilemma solved for a symmetric duopoly // XII intern. sci. Kravchuk conf. V. II. – Kyiv: National Technical University of Ukraine “KPI”, 2008. – P. 47. 9. Gorbachuk V., Gasanov A., Volkov O. Duopoly of differentiated products in competition vs. monopoly // 2nd Intern. Conf. on Control and Optimization with Industrial Applications. – Baku: Institute of Applied Mathematics, 2008. – P. 66. 10. Гасанов А.С., Горбачук В.М. Виробництво біопалив: математичні моделі та методи // Математичне та програмне забезпечення інтелектуальних систем. – Дніпропетровськ: ДНУ ім. О. Гончара, 2008. – С. 83–84. 11. Горбачук В.М., Гаркуша Н.І. Рівноваги Курно–Неша та Бертрана–Неша для диференційованих продуктів // PDMU-2009. – К.: Київ. нац. ун-т ім. Тараса Шевченка, 2009. – С. 85–86. Получено 12.03.2009

Сравнительный анализ равновесий Курно–Нэша и Бертрана–Нэша для дифференцированных продуктов

Institution

Ähnliche Einträge