Некоторые нелинейные оптимизационные задачи сетевой структуры
Рассматриваются задачи, которые могут быть описаны совокупностью взаимосвязанных блоков. Некоторые выходы одних блоков могут быть входами для других блоков. Функциональные зависимости блоков определены на ограниченных областях. Разработан подход, основанный на доопределении рассматриваемых функций н...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2009
|
| Назва видання: | Теорія оптимальних рішень |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46649 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Некоторые нелинейные оптимизационные задачи сетевой структуры / Ю.П. Лаптин, Д.Л. Крошко // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2009. — № 8. — С. 127-135. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-46649 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-466492025-02-09T17:21:05Z Некоторые нелинейные оптимизационные задачи сетевой структуры Деякі нелінійні оптимізаційні задачі сіткової структури Some network nonlinear optimization problems Лаптин, Ю.П. Крошко, Д.Л. Рассматриваются задачи, которые могут быть описаны совокупностью взаимосвязанных блоков. Некоторые выходы одних блоков могут быть входами для других блоков. Функциональные зависимости блоков определены на ограниченных областях. Разработан подход, основанный на доопределении рассматриваемых функций на все пространство. Розглядаються задачі, які описуються сукупністю взаємопов’язаних функціональних блоків. Деякі виходи одних блоків можуть бути входами для інших блоків. Функціональні залежності блоків визначені на обмежених множинах. Розроблено підхід до вирішення задач, заснований на довизначенні функцій на весь простір. The problems under consideration are described by a set of interconnected functional blocks. Some block outputs may be used as inputs for other blocks. Functional dependencies of blocks are defined on bounded areas. Problem solving approach is based on function redefining at full space. 2009 Article Некоторые нелинейные оптимизационные задачи сетевой структуры / Ю.П. Лаптин, Д.Л. Крошко // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2009. — № 8. — С. 127-135. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. XXXX-0013 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46649 519.8 ru Теорія оптимальних рішень application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассматриваются задачи, которые могут быть описаны совокупностью взаимосвязанных блоков. Некоторые выходы одних блоков могут быть входами для других блоков. Функциональные зависимости блоков определены на ограниченных областях. Разработан подход, основанный на доопределении рассматриваемых функций на все пространство. |
| format |
Article |
| author |
Лаптин, Ю.П. Крошко, Д.Л. |
| spellingShingle |
Лаптин, Ю.П. Крошко, Д.Л. Некоторые нелинейные оптимизационные задачи сетевой структуры Теорія оптимальних рішень |
| author_facet |
Лаптин, Ю.П. Крошко, Д.Л. |
| author_sort |
Лаптин, Ю.П. |
| title |
Некоторые нелинейные оптимизационные задачи сетевой структуры |
| title_short |
Некоторые нелинейные оптимизационные задачи сетевой структуры |
| title_full |
Некоторые нелинейные оптимизационные задачи сетевой структуры |
| title_fullStr |
Некоторые нелинейные оптимизационные задачи сетевой структуры |
| title_full_unstemmed |
Некоторые нелинейные оптимизационные задачи сетевой структуры |
| title_sort |
некоторые нелинейные оптимизационные задачи сетевой структуры |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46649 |
| citation_txt |
Некоторые нелинейные оптимизационные задачи сетевой структуры / Ю.П. Лаптин, Д.Л. Крошко // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2009. — № 8. — С. 127-135. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Теорія оптимальних рішень |
| work_keys_str_mv |
AT laptinûp nekotoryenelinejnyeoptimizacionnyezadačisetevojstruktury AT kroškodl nekotoryenelinejnyeoptimizacionnyezadačisetevojstruktury AT laptinûp deâkínelíníjníoptimízacíjnízadačísítkovoístrukturi AT kroškodl deâkínelíníjníoptimízacíjnízadačísítkovoístrukturi AT laptinûp somenetworknonlinearoptimizationproblems AT kroškodl somenetworknonlinearoptimizationproblems |
| first_indexed |
2025-11-28T15:01:15Z |
| last_indexed |
2025-11-28T15:01:15Z |
| _version_ |
1850046763378933760 |
| fulltext |
Теорія оптимальних рішень. 2009, № 8 127
ÒÅÎвß
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÈÕ
вØÅÍÜ
Рассматриваются задачи, кото-
рые могут быть описаны сово-
купностью взаимосвязанных бло-
ков. Некоторые выходы одних
блоков могут быть входами для
других блоков. Функциональные
зависимости блоков определены
на ограниченных областях. Раз-
работан подход, основанный на
доопределении рассматриваемых
функций на все пространство.
Ю.П. Лаптин, Д.Л. Крошко,
2009
ÓÄÊ 519.8
Þ.Ï. ËÀÏÒÈÍ, Ä.Ë. ÊÐÎØÊÎ
ÍÅÊÎÒÎÐÛÅ ÍÅËÈÍÅÉÍÛÅ
ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈÎÍÍÛÅ ÇÀÄÀ×È
ÑÅÒÅÂÎÉ ÑÒÐÓÊÒÓÐÛ
В работе рассматриваются задачи, часто воз-
никающие при проектировании сложных
технических объектов [1], в частности, энер-
гетических котлоагрегатов [2–3]. К таким
относятся задачи, которые могут быть описа-
ны совокупностью взаимосвязанных блоков.
Каждый блок характеризуется наборами вхо-
дов и выходов. При фиксированных входах
однозначно определяются выходы. Некото-
рые выходы одних блоков могут быть входа-
ми для других блоков. Особенностью рас-
сматриваемых задач является ограничен-
ность областей определения функциональ-
ных зависимостей блоков, что затрудняет
применение существующих методов. Разра-
ботан подход, основанный на доопределении
рассматриваемых функций на все простран-
ство. Результирующая задача является не-
гладкой, и для ее решения используются ме-
тоды негладкой оптимизации. Результаты
вычислительных экспериментов на задачах
этого класса показали определенные пре-
имущества методов негладкой оптимизации
по сравнению с существующим програм-
мным обеспечением.
Постановка задачи. Задана совокупность
V непрерывно дифференцируемых вектор-
функций ( ), ,
qq q q nf x x R q V∈ ∈ . Обозна-
чим qI – множество индексов переменных,
| |
q q
I n= , qJ – множество индексов функ-
ций для вектор-функции qf . Предполагает-
ся, что область определения вектор-функции
qf задается множеством qS простой
Ю.П. ЛАПТИН, Д.Л. КРОШКО
128 Теорія оптимальних рішень. 2009, № 8
структуры. Например,
{ }: ,
q q q q q
S x A x b= ≤ (1)
где ,
q
q mb E∈ qA – матрица соответствующей размерности, или
{ }: ( , ) ( , )
q q q q q q q q
S x x A x b x r= + ≤ , (2)
где qA – положительно определенная квадратная матрица, qr – положительное
число.
Простота структуры множеств qS подразумевает, что существуют эффек-
тивные алгоритмы решения задачи проектирования произвольной точки на
множество qS .
Вектор-функцию qf вместе с областью определения qS назовем блоком
,qB переменные ,
q q
ix i I∈ будем называть входами, функции ,
q q
jf j J∈ –
выходами блока qB .
Совокупность блоков является связанной, т.е. выходы некоторых блоков мо-
гут быть входами для других блоков. Связи для каждой пары блоков pB и qB
будем описывать множествами { }( , ) ( , ) : ,
q p
M p q i j i I j J= ∈ ∈ . Множество
( , )M p q определяет выходы блока pB , которые являются входами блока qB :
( ), ( , ) ( , )
q p p
i jx f x i j M p q= ∈ . (3)
Будем говорить, что блоки ,p q связаны дугой ( , )p q , если ( , )M p q ≠ ∅ ,
множество всех дуг обозначим E .
Предполагается, что в совокупности функций , ,
q q
if j J q V∈ ∈ выделено
подмножество { }( , ) : ,
q
T j q j J q V⊆ ∈ ∈ , которое определяет ограничения, и
выделена функция
0
0
q
j
f , которая является целевой функцией оптимизационной
задачи.
Рассматриваемую задачу сформулируем следующим образом: найти
0 0
0
min ( )
q q
j
f x , (4)
при ограничениях
( ) 0, ( , )
q q
jf x j q T≤ ∈ , (5)
( ), ( , ) ( , ), ( , )
q p p
i jx f x i j M p q p q E= ∈ ∈ , (6)
НЕКОТОРЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ СЕТЕВОЙ СТРУКТУРЫ
Теорія оптимальних рішень. 2009, № 8 129
,q qx S q V∈ ∈ . (7)
Совокупность блоков ,
q
B q V∈ и связей между ними E будем называть се-
тью вычислительных блоков ( , )V E . Выходами сети блоков является объедине-
ние выходов всех блоков, входами сети блоков – переменные q
ix , не являющиеся
выходами каких-либо блоков. В дальнейшем будем рассматривать ациклические
сети блоков.
Задачи вида (4)–(7) являются характерными при проектировании сложных
технических объектов [1], в частности, энергетических котлоагрегатов [2–3].
Блоками при этом являются функциональные зависимости ( )q qf x , реализую-
щие инженерные методики расчетов отдельных компонент таких объектов.
Ограничениями вида (7) описывается область применения этих методик.
Очевидно, что соотношения (6) при условии ацикличности сети позволяют
выразить любой выход сети ( , )V E в виде функции от входов сети. При этом
размерность задачи (4)–(7) существенно уменьшается, выходы сети являются
сложной суперпозицией функций, описывающих отдельные блоки.
Такое представление задачи (4)–(7) с помощью суперпозиций функций,
описывающих отдельные блоки, будем называть прямой редукцией исходной
задачи.
Определенной проблемой при разработке алгоритмов решения редуциро-
ванной задачи является учет ограничений (7), которые задают области опреде-
ления функций блоков и в результате редукции уже не описывают множества
простой структуры. Так, в случае (1) левые части ограничений после редукции
являются нелинейными функциями от входов сети.
Более того, пусть x – входы сети блоков, ( )
q
x x – входы блока qB , как
функция от входов x . Очевидно, что если ( )
q q
x x S∉ , то выходы блока qB не
определены, а также не определены входы и выходы любого блока ,pB для
которого существует путь в сети ( , )V E из qB в pB . То есть не определены
функции, описывающие область определения (7) для блока pB .
Изложенное подчеркивает сложность описания областей определения функ-
ций, полученных в результате прямой редукции исходной задачи.
Для решения редуцированной задачи могут использоваться методы барьер-
ных функций (внутренних штрафов) и методы проектирования на допустимую
область. Заметим, что трудоемкость задачи проектирования в данном случае
может быть весьма высокой.
В настоящей работе предлагается новый подход, связанный с доопределени-
ем используемых функций на все пространство.
Расширенная редукция исходной задачи. Рассмотрим сеть вычислитель-
Ю.П. ЛАПТИН, Д.Л. КРОШКО
130 Теорія оптимальних рішень. 2009, № 8
ных блоков ( , )V E . Для блока qB , q V∈ обозначим:
( )q
q
S
p x – проекция точки
q
q nx R∈ на множество
q
S ,
( ) ( )q q
q q q
S S
d x x p x= − – расстояние от точки
q
x до множества
q
S .
Расширением вектор-функции ( )q qf x для произвольной точки
q
q nx R∈
назовем вектор-функцию ( ) ( ( ))q
q q q q
S
f x f p x= . Рассмотрим задачу: найти
0 0
0
min ( )
q q
j
f x (8)
при ограничениях
( ) 0, ( , )
q q
jf x j q T≤ ∈ , (9)
( ), ( , ) ( , ), ( , )
pq p
i jx f x i j M p q p q E= ∈ ∈ , (10)
( ) 0q
q
S
d x = , .q V∈ (11)
Поскольку ( ) ( )
q q q qf x f x= при условии ( ) 0q
q
S
d x = , q V∈ , то решения
задач (4)–(7) и (8)–(11) совпадают.
Пусть сеть вычислительных блоков ( , )V E ациклическая, x – множество
входов сети. Учитывая (10), представим выходы ( )
q qf x каждого блока как
функцию от входов сети. Такое представление назовем расширенной редукцией
сети блоков.
Обозначим ( )
q
x x значения входов блока qB для заданного входа x сети
( , )V E , полученные при расширенной редукции сети блоков. Положим
( ) ( ( )),
qq q
x f x xϕ = ( ) ( ( )).q
q q
S
x d x xδ = Тогда задачу (8)–(11) можно предста-
вить в виде: найти
0
0
min ( )
q
j
xϕ , (12)
при ограничениях
( ) 0, ( , ) ,
q
j x j q Tϕ ≤ ∈ (13)
( ) 0,q
xδ ≤ .q V∈ (14)
Задачу (12)–(14) будем называть расширенной редукцией исходной задачи
(4)–(7). Функции ( ),q xϕ ( )q
xδ определены при любых x , и для решения зада-
чи (12)–(14) может использоваться метод негладких штрафов.
Для разработки алгоритмов решения задачи (12)–(14) необходимо описать
НЕКОТОРЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ СЕТЕВОЙ СТРУКТУРЫ
Теорія оптимальних рішень. 2009, № 8 131
свойства функций ( ),
q
j xϕ ( )q
xδ и получить соотношения, позволяющие
вычислять градиенты этих функций.
Рассмотрим функцию
( ) minS
z S
d x x z
∈
= − , (15)
где , n
x z R∈ ,
n
S R⊂ – замкнутое выпуклое множество. Свойства этой функ-
ции исследовались в различных работах (см., например, [5]). Функция ( )Sd x
выпуклая и непрерывна. Если intx S∈ , то ( ) 0Sd x = , ( ) 0Sd x∇ = . В граничных
точках множества S функция ( )Sd x недифференцируема. В точках x S∉
функция ( )Sd x дифференцируема и
( ) ( ) ( )S Sd x x x d x∇ = − . (16)
Рассмотрим отображение
( ) arg min
S
z S
p x x z
∈
= − . (17)
Обозначим ( )
S
x p x= , ' ( , )
S
p x d – производная отображения ( )
S
p x по
направлению d в точке x (если такая производная существует), ( )zΓ – конус
возможных направлений [5] множества S в точке z S∈ .
Теорема 1. Отображение ( )
S
p x непрерывно и дифференцируемо по на-
правлениям в точке x . При этом
1) если x S∈ , то
( )
' ( , ) ( )
S x
p x d p d
Γ
= ;
2) если x S∉ , то
( )
' ( , ) ( )
S T x
p x d p d= , где
{ }( ) : ( , ) 0, ( )T x v x x v v x= − = ∈Γ .
Ввиду ограниченности объема статьи доказательства теорем не приводим.
Пусть множество S описывается следующим образом:
{ }: ( ) 0, 1,...,
n
iS x R h x i m= ∈ ≤ = , (18)
где ( )ih x – выпуклые непрерывно дифференцируемые функции.
Обозначим ( )I x множество ограничений, активных в точке x S∈ ,
{ }( ) {1,..., }: ( ) 0iI x i m h x= ∈ = .
Пусть x S∈ , градиенты ( ), ( )ih x i I x∇ ∈ линейно независимы, тогда
Ю.П. ЛАПТИН, Д.Л. КРОШКО
132 Теорія оптимальних рішень. 2009, № 8
{ }( ) : ( ( ), ) 0, ( )
L
ix v R h x v i I xΓ = ∈ ∇ ≤ ∈ .
Точка x S∉ регулярно разложима относительно множества ,S если гради-
енты ( ), ( )ih x i I x∇ ∈ линейно независимы и в разложении
( )
( )i i
i I x
x x h x
∈
− = γ ∇∑
все коэффициенты отличны от нуля: 0, ( )i i I xγ > ∈ .
Если точка x S∉ регулярно разложима относительно множества S , то
{ }( ) : ( ( ), ) 0, ( )iT x v h x v i I x= ∇ = ∈ . (19)
Для ( )I x ≠ ∅ обозначим ( )H x матрицу, строками которой являются гради-
енты ( ), ( )ih x i I x∇ ∈ .
Теорема 2. Пусть точка x S∉ регулярно разложима относительно множест-
ва S , ( )
S
x p x= , ( )H H x= . Тогда отображение ( )
S
p x дифференцируемо
в точке x и
( )1' ( , ) ( )
S
T T
p x d I H HH H d
−= − . (20)
Пусть ( )f x – непрерывно дифференцируемая функция, n
x S R∈ ⊂ . Рассмо-
трим расширенную функцию ( ) ( ( ))Sf x f p x= , ( )
S
x p x= .
Теорема 3. Функция ( )f x непрерывна и дифференцируема по направле-
ниям. Если точка x регулярно разложима относительно множества S , то ( )f x
в этой точке дифференцируема и
( )1( ) ( ) ( )T T
f x I H HH H f x
−∇ = − ∇ , (21)
Теорема 4. Пусть x S∉ , в точке ( )
S
x p x= градиенты ( ), ( )ih x i I x∇ ∈ ли-
нейно независимы. Тогда для любого ε >0 найдется регулярно разложимая
точка ' ,x такая что ' .x x− < ε
Вернемся к задачам (8)–(11) и (12)–(14). Градиенты функций ( )
q qf x ,
( )q
q
S
d x в регулярно разложимых точках вычисляются в соответствии с соот-
ношениями (21), (16). Градиенты функций ( )q
xϕ , ( )q
xδ вычисляются по
правилам дифференцирования сложных функций.
Следуя [6], определим почти-градиент функции ( ),xϕ в точке x как предел
некоторой последовательности градиентов { }
1
( ) ,k
k
x
∞
=
∇ϕ где { }
1
k
k
x
∞
=
– после-
довательность точек, сходящаяся к x , и такая, что во всех точках этой последо-
НЕКОТОРЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ СЕТЕВОЙ СТРУКТУРЫ
Теорія оптимальних рішень. 2009, № 8 133
вательности функция ( )xϕ дифференцируема. В качестве приближения к поч-
ти-градиенту в точке x можно взять градиент ( )k
x∇ϕ в точке ,kx достаточно
близкой к x .
Для решения задачи (12)–(14) используется метод негладких штрафов,
основанный на алгоритме с растяжением пространства, предложенном в [6],
для минимизации почти-дифференцируемых функций.
Программная реализация и вычислительные эксперименты. Для реше-
ния задач (4)–(7) были разработаны программные реализации прямой и расши-
ренной редукции исходной задачи.
Для расширенной редукции исходной задачи реализован случай, когда об-
ласть определения функций каждого блока qS есть пересечение шара и множе-
ства { }:
qq q q
ulx x x x≤ ≤ , где ,
q q
ulx x – заданные границы.
Обе реализации написаны на языке Python и включены в состав програм-
мных средств OpenOpt (http://www.openopt.org), разрабатываемых как свободная
альтернатива коммерческим средам AMPL, GAMS, TOMLAB/TOMNET, и др.
Также в OpenOpt включены модификация r -алгоритма (http://openopt.org/ralg) и
реализация метода негладких штрафов, основанная на r -алгоритме из [4, 6].
Тестовые задачи описываются следующим образом. Задана n -звенная це-
почка. Звенья соединены шарнирами. Трение в шарнирах отсутствует. Массы
сосредоточены в шарнирах (масса звена равна 0). Введем обозначения:
kl – длина звена , ,...,k i k n= , (длина звена не зависит от натяжения);
km – масса шарнира , 1, ..., 1k k n= − ;
kF – прочность звена i (при натяжении более kF звено разрушается);
( , )k k kz x y= – координаты k -го шарнира;
0 0 0( , )z x y= – координаты начальной точки первого звена;
1 1 1( , )n n nz x y+ + += – координаты конечной точки последнего звена;
Цепочка подвешена за концы в точках 0 0 0( , ),z x y= 1 1 1( , )n n nz x y+ + +=
в однородном поле тяжести. Длины и прочность звеньев считаются заданными.
В задаче предполагается, что точка 0 0 0( , )z x y= зафиксирована. Необхо-
димо найти точку 1 1 1( , )n n nz x y+ + += с максимальным значением 1nx + при
условии, что цепочка не разрушается и суммарная масса шарниров не меньше
заданной величины.
Чтобы представить задачи в виде (4)–(7), поставим в соответствие k -му
шарниру (соединяет звенья k и 1k + ) блок
kB , входами которого являются
координаты ( , )k k kz x y= , масса km шарнира k и сила (вектор) ( , )
yx
k k k
F F F= ,
Ю.П. ЛАПТИН, Д.Л. КРОШКО
134 Теорія оптимальних рішень. 2009, № 8
действующая на шарнир k со стороны звена k . Выходами блока kB будут сила
1 1 1
( , )
yx
k k k
F F F+ + += , действующая на шарнир 1k + со стороны звена 1k + и ко-
ординаты 1 1 1( , )k k kz x y+ + += конца звена 1k + (координаты шарнира 1k + ).
Очевидно, что выходы блока kB определяются соотношениями
1 0k k kF m G F ++ − = ,
1
1
1
k
k k k
k
F
z z l
F
+
+
+
= − ,
где первое соотношение – равенство нулю сил, действующих на шарнир ,k
вектор (0, )G g= – ускорение силы тяжести. Выходы блока
kB определены
в области
{ }22 2
( , ) : ( ) ( )
y yk x x
kk kk k
S F F F F F= + ≤ .
Понятно, что при фиксированных значениях 0 0 0( , ),z x y= 1 1 1
( , )
yxF F F=
и массах km , 1, ..., 1k k n= − , координаты всех шарниров и натяжение каждого
звена определяются однозначно, если звенья не разрушаются, т.е. число пере-
менных в редуцированных задачах равно 1n + .
Сравнительный анализ проводился для следующих бесплатных решателей
задач нелинейного программирования, подключенных к OpenOpt – IPOPT,
COBYLA, ALGENCAN, slsqp
Тестирование этих решателей проводилось на прямой редукции задачи
о цепочке, являющейся гладкой. При тестировании расширенной редукции
использовался метод негладких штрафов, использующий r -алгоритм.
Результаты вычислительных экспериментов приведены в таблице. Посколь-
ку наилучшими решателями оказались IPOPT и метод негладких штрафов для
расширенной редукции (ralg в приведенной таблице), то результаты приведены
только для этих решателей. Вариант 2 отображает результаты расчетов при вве-
дении дополнительных ограничений k ky y≤ в область
k
S для каждого шар-
нира. При этом значения
k
y подобраны так, что в оптимальном решении ак-
тивно несколько этих ограничений. В результате IPOPT останавливается прак-
тически в стартовой точке. Отметка Fail обозначает, что задача не решена.
В целом программы негладкой оптимизации работают более устойчиво, по
быстродействию соизмеримы с реализациями гладких методов (бесплатными).
НЕКОТОРЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ СЕТЕВОЙ СТРУКТУРЫ
Теорія оптимальних рішень. 2009, № 8 135
Вариант 1 Вариант 2
ralg IPOPT ralg IPOPT
N var f
∗
T (сек.) f
∗
T (сек.) f
∗
T (сек.) f
∗
T (сек.)
15 5,98 12,51 6,29 1,83 4,47 21,46 0,16 0,07
16 6,378 10,01 6,71 1,46 4,637 31,08 0,19 0,07
17 6,13 5,36 7,11 1,7 4,79 103,44 0,26 0,07
18 7,51 15,54 7,58 1,27 4,91 18,84 0,61 0,07
19 8,04 12,92 8,14 1,83 4,64 34,59 0,34 0,08
20 8,69 42,15 8,71 3,43 4,99 16,6 0,25 0,08
21 9,19 25,59 9,21 3,33 5,53 26,85 0,23 0,08
22 9,26 34,86 9,60 21,72 5,68 45,06 0,23 0,09
23 9,83 12,65 9,94 2,88 5,79 24,2 0,231 0,09
24 10,26 19,66 10,33 19,61 5,90 127,47 0,25 0,1
25 10,57 27,52 10,79 8,8 6,05 125,89 Fail Fail
Ю.П. Лаптін, Д.Л. Крошко
ДЕЯКІ НЕЛІНІЙНІ ОПТИМІЗАЦІЙНІ ЗАДАЧІ СІТКОВОЇ СТРУКТУРИ
Розглядаються задачі, які описуються сукупністю взаємопов’язаних функціональних блоків.
Деякі виходи одних блоків можуть бути входами для інших блоків. Функціональні залежності
блоків визначені на обмежених множинах. Розроблено підхід до вирішення задач, заснований
на довизначенні функцій на весь простір.
Yu.P.Laptin, D.L.Kroshko
SOME NETWORK NONLINEAR OPTIMIZATION PROBLEMS
The problems under consideration are described by a set of interconnected functional blocks. Some
block outputs may be used as inputs for other blocks. Functional dependencies of blocks are defined
on bounded areas. Problem solving approach is based on function redefining at full space.
1. Айда-заде К.Р. Исследование нелинейных оптимизационных задач сетевой структуры //
Автоматика и телемеханика – 1990. – № 2. –С. 3 – 14.
2. Теплосиловые системы: Оптимизационные исследования. – Новосибирск: Наука, 2005. –
236 с.
3. Лаптин Ю.П., Журбенко Н.Г., Левин М.М., Волковицкая П.И. Использование средств
оптимизации в системе автоматизированного проектирования энергетических котлоагре-
гатов КРОКУС // Энергетика и электрификация. – 2003. – № 7. – С. 41 – 51.
4. Shor N.Z. Nondifferentiable Optimization and Polynomial Problems. – London: Kluwer Aca-
demic Publishers, 1998. – 381 p.
5. Демьянов В.Ф., Васильев Л.В. Недифференцируемая оптимизация. – М.: Наука, 1981. –
384 с.
6. Шор Н.З. О классе почти-дифференцируемых функций и одном методе минимизации
функций этого класса // Кибернетика – 1972. – № 4. – С. 9 – 17.
|