К вопросу об исследовании колебаний нелинейной механической системы, моделирующей тело с трещиной
Представлены результаты численного исследования вынужденных и затухающих колебаний
 механической системы с билинейной восстанавливающей силой, моделирующей закрывающуюся
 трещину. Наиболее чувствительными из исследованных вибрационных характеристик
 повреждения являются урове...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы прочности |
|---|---|
| Дата: | 2001 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2001
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46657 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | К вопросу об исследовании колебаний нелинейной механической
 системы, моделирующей тело с трещиной / А.П. Бовсуновский // Проблемы прочности. — 2001. — № 4. — С. 97-111. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860269090307833856 |
|---|---|
| author | Бовсуновский, А.П. |
| author_facet | Бовсуновский, А.П. |
| citation_txt | К вопросу об исследовании колебаний нелинейной механической
 системы, моделирующей тело с трещиной / А.П. Бовсуновский // Проблемы прочности. — 2001. — № 4. — С. 97-111. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы прочности |
| description | Представлены результаты численного исследования вынужденных и затухающих колебаний
механической системы с билинейной восстанавливающей силой, моделирующей закрывающуюся
трещину. Наиболее чувствительными из исследованных вибрационных характеристик
повреждения являются уровень нелинейных искажений и относительные амплитуды
волны перемещения, скорости и ускорения при супер- и субрезонансных колебаниях. Вместе с
тем показано, что эти характеристики существенно зависят от уровня демпфирования
колебаний в системе.
Представлено результати чисельного дослідження вимушених і затухаючих
коливань механічної системи з білінійною відновлювальною силою, яка
моделює тріщину, що закривається. Найбільш чутливими з досліджуваних
вібраційних характеристик пошкодження є рівень нелінійних спотворень і
відносні амплітуди хвилі переміщення, швидкості і прискорення при супер-
і субрезонансних коливаннях. Разом із тим ці характеристики суттєво залежать
від рівня демпфірування коливань у системі.
A problem of the numerical investigation into
the dynamic behavior of a spiral pipe containing
internal inhomogeneous flows of a boiling
liquid was posed. A model for the motion of diminishing
blocks of heated liquid separated by
segments filled with vapor was proposed. For
the considered dynamic system with changing
mass geometry a system of differential equations
was constructed with discontinuous coefficients
and the right member depending on time.
For their numerical solution a procedure was
proposed based on the methods of numerical integration
with respect to time and the method
of initial parameters in combination with the
orthogonalization procedure with respect to spatial
variable. Vibrations of the system for various
parameters of inhomogeneity of the flow,
its velocity, and the parameters of the energy
dissipation were studied. A possibility was
found to establish stable and unstable regimes
of motion depending on the character of
inhomogeneiOn investigation into vibrations
of nonlinear mechanical system simulating
a body with crackty and the velocity
of motion of the liquid blocks.
|
| first_indexed | 2025-12-07T19:04:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 620.178;620.179
К вопросу об исследовании колебаний нелинейной механической
системы, моделирующей тело с трещиной
А. П . Б овсуновский
Институт проблем прочности НАН Украины, Киев, Украина
Представлены результаты численного исследования вынужденных и затухающих колебаний
механической системы с билинейной восстанавливающей силой, моделирующей закрыва
ющуюся трещину. Наиболее чувствительными из исследованных вибрационных характе
ристик повреждения являются уровень нелинейных искажений и относительные амплитуды
волны перемещения, скорости и ускорения при супер- и субрезонансных колебаниях. Вместе с
тем показано, что эти характеристики существенно зависят от уровня демпфирования
колебаний в системе.
К л ю ч е в ы е с л о в а : резонансные колебания, нелинейная система, демпфиро
вание.
Введение. Известно, что многие характеристики колебаний тела сущест
венно изменяются при возникновении повреждения и поэтому могут исполь
зоваться для его диагностики. Вибрационные методы обнаружения повреж
дения, относящиеся к классу неразрушающих, интенсивно разрабатываются в
настоящее время, поскольку они относительно просто реализуются и доста
точно надежны.
Ранее [1] для исследования влияния повреждения типа закрывающейся
трещ ины на степень нелинейных искажений формы волны перемещения при
резонансных и затухающих колебаниях была использована механическая
колебательная система с кусочно-линейной жесткостью. Вместе с тем не
обходимо отметить, что указанная система позволяет исследовать более
широкий класс вибрационных характеристик повреждения (ВХП).
Для регистрации вибраций широко применяются датчики ускорения
(акселерометры). Высокая чувствительность и помехоустойчивость, разно
образие типов и условий эксплуатации [2 ] делают их удобным, а в ряде
случаев и единственно пригодным инструментом регистрации колебаний
различных систем. Так, Ройстон и Синх [3], используя акселерометры при
исследовании поперечных колебаний стержня с локальной нелинейностью
жесткости, моделирующей трещину, показали, что оценка нелинейных иска
жений формы волны ускорения - перспективна для диагностики повреж
дения [4].
В работах [4, 5] установлено, что при колебаниях стержня с закры
вающейся трещ иной возникают суб- и супергармонические резонансные
колебания, которые отчетливо обнаруживаются даже при относительно ма
лой глубине трещины. Факт появления указанных режимов колебаний, а
также уровень нелинейных искажений волны ускорения при супергармо-
нических резонансах рассматриваются в качестве диагностического призна
ка повреждения. В работе [6 ] была получена аналитическая зависимость
между глубиной закрывающейся трещ ины и второй гармоникой колебаний
стержня при супергармоническом резонансе второго порядка.
© А. П. БОВСУНОВСКИЙ, 2001
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2001, N 4 91
А. П. Бовсуновский
В работе [7] методом гармонического баланса найдено аналитическое
решение задачи о колебаниях существенно нелинейных механических сис
тем с кусочно-линейной характеристикой восстанавливающей силы и пока
зана возможность возникновения супергармонических режимов колебаний
таких систем.
Цель настоящей работы - исследование на модели тела с закрыва
ющейся трещ иной закономерностей проявления нелинейных искажений
формы волны перемещения, скорости и ускорения, возникновения суб- и
супергармонических резонансных колебаний при различных уровнях демп
фирования, а также сравнительный анализ чувствительности различных
ВХП к наличию трещины. (Понятие волны в данном случае обозначает
процесс колебаний какой-либо величины, представленный в виде функции
от времени.)
М одель тел а с трещ иной. Рассматриваются колебания механической
системы с одной степенью свободы, моделирующей тело с закрывающейся
трещ иной при заданной форме колебаний, описываемые дифференциаль
ным уравнением вида
ё 2х ёх
- + 2 а т —
ёх т-1 о 2
+ с К + (х) = ? Р . ( 1 )
Здесь а т - коэффициент вязкого трения; о - собственная угловая частота
колебаний тела без трения; д о - амплитуда вынуждающей силы, прихо
дящаяся на единицу обобщенной массы; Я + (х ) - восстанавливающая сила:
К + (х ) = -
С 0х ± — [(хо + х ) п — 2 п 1 х 0 ]; х > 0 ;
п
\С х ± ^ [ ( х 0 + х )0 — 2 0—1 х 0 ]; х < 0,
I п
(2 )
где С - обобщенная жесткость системы, моделирующей тело без трещины
или на полуцикле колебаний, когда трещ ина закрыта; С 0 - обобщенная
жесткость системы, моделирующей тело на полуцикле колебаний, когда
трещина открыта; х о - амплитуда колебаний; V и п - параметры обобщенной
петли гистерезиса. Уравнения (2) описывают нисходящую (Я—) и восходя
щую (К +) ветви петли гистерезиса [8 ]. (Заметим, что приведенное в работе
[1 ] уравнение ( 1 ) записано неточно, его следует читать как уравнение ( 1 ) в
данной статье).
На рис. 1 представлена модель тела с закрывающейся трещиной и
характеристика восстанавливающей силы без учета гистерезисного трения
(V = 0). Как видно, С 1 = С — С 0.
Аналитическое решение уравнения (1) можно получить лиш ь в неко
торых простых случаях. Например, при свободных колебаниях системы
( д 0 = 0 ) без демпфирования и с билинейной восстанавливающей силой
форма волны перемещения может быть выражена в виде ряда Фурье:
98 0556-171Х. Проблемы прочности, 2001, № 4
К вопросу об исследовании колебаний
х = — + ^ (а% 0 0 8 кт т і + Ь% 8Іп кт т і), (3)
к=1
коэффициенты которого в этом случае определяются несложными форму
лами через отношения частот ш, ш 0 и ш т колебаний системы, моделиру
ющей тело без трещины, с открытой и закрывающейся трещиной соответст
венно [9].
Рис. 1. Модель тела с трещиной.
Если применить к анализу формы волны скорости и ускорения подход,
аналогичный использованному в [9], то нетрудно получить соотношения
между коэффициентами ряда Фурье для волны перемещения и соответст
вующими коэффициентами для волны скорости и ускорения (амплитуды
высших гармоник отнесены к амплитуде первой гармоники поскольку,
как и в [1], принято, что колебательный процесс задается функцией синус):
а о / а ^ = 0; ак^/а^ = к ( ) ; Ь гк / а 1 = - к ( а к / ь 1 ) ; (4)
а аа/ьа = 0; а а /Ь ? = к 2( а Ц ь ( ); Ы / ь а = к 2( ь Ц ь ( ). (5)
Такой же результат можно получить при дифференцировании по времени
ряда (3). В формулах (3)-(5) и далее индексы й, V и а обозначают соответ
ственно перемещение, скорость и ускорение. Заметим, что в соотношениях
(4) и (5) коэффициенты высших гармоник отнесены к амплитуде основной
гармоники данной волны.
Анализ соотношений (4) и (5) показывает, что относительные ампли
туды высших гармоник волны скорости в к раз, а волны ускорения в к 2
раза превышают при прочих равных условиях относительные амплитуды
соответствующих высших гармоник волны перемещения и, следовательно,
являются более чувствительными к наличию повреждения. В то же время
волны скорости и ускорения характеризуются отсутствием асимметрии цикла,
которая, как показали исследования [1], существенно проявляется для волны
перемещения.
0556-171Х. Проблемы прочности, 2001, № 4 99
А. П. Бовсуновский
В общем случае, когда рассматриваются вынужденные колебания сис
темы с восстанавливающей силой вида (2 ), уравнение ( 1 ) реш али численно
методом усреднения по ускорению [1 0 ], который позволяет строить зату
хающий или установившийся колебательный процесс системы при различ
ных законах вынуждающей и восстанавливающей силы и видах демпфи
рования [1 ].
Отношения жесткостей колебательной системы С 0 / С при соответст
вующих значениях относительной длины трещ ины а / И (а - длина трещ и
ны, И - высота поперечного сечения образца) взяты из работы [1] и приве
дены в табл. 1 .
Т а б л и ц а 1
Относительные частоты резонансных, суб- и суперрезонансных колебаний системы,
моделирующей тело с закрывающейся трещиной (т = 1, да = 5,0%, г = 0)
а / к С 0/ с Порядок резонанса
4/1 3/1 2/1 3/2 1/1 1/2
0 1,000 - - - - 0,9999 -
0,095 0,984 0,2505 - 0,4955 - 0,9959 -
0,200 0,965 0,2488 - 0,4941 - 0,9910 -
0,305 0,946 0,2473 0,3261 0,4926 - 0,9861 1,9713
0,390 0,919 0,2451 0,3236 0,4890 - 0,9788 1,9567
0,505 0,825 0,2387 0,3164 0,4758 - 0,9519 1,9024
0,600 0,723 0,2311 0,3068 0,4595 0,6122 0,9189 1,8369
Наряду с представлением ряда Фурье в виде (3) используется и другой
вид записи этого ряда:
2 + 2 Л 8 І п ( т 1 + < р к (6 )
к=1
X
7 2 2 а и
ак + Ьк ; р и = а г ^ — .
ь к
Для анализа степени нелинейных искажений формы волны скорости и
ускорения использовали так называемый коэффициент гармоник
1 Ж
К = А 2 А к , (7)
А1 к=2
который определяли с помощью представления ряда Фурье в виде (6 ) и
который отличался от коэффициента нелинейных искажений (клирфакто-
ра) [1 1 , 1 2 ] большей чувствительностью к уровню нелинейных искажений
исследуемой функции. При вычислении коэффициента гармоник ограни
100 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2001, № 4
К вопросу об исследовании колебаний
чивались определением амплитуд 2 0 гармоник (N = 2 0 ), поскольку ампли
туды более высоких гармоник малы. Так, отличие коэффициентов гармоник
_2° и К а _3° при всех исследованных режимах колебаний не превы
шало 0,5%.
Р езультаты расчетов. Р езон ан сн ы е колебания сист ем ы с билинейной
восст ан авли ваю щ ей силой. Ф урье-анализ волн скорости и ускорения вы
полняли при резонансных колебаниях системы с билинейной восстанав
ливающей силой, моделирующей закрывающуюся трещину, и линейным
вязким трением (т = 1, д а = 15,1%, у = 0; д а - декремент колебаний в сис
теме с вязким трением). На рис. 2 помимо наиболее значимых из указанных
характеристик обусловленного повреждением искажения формы волны при
ведены также отношения периодов Т0 / Т полуциклов, когда трещина откры
та и закрыта, и относительные амплитуды гармоник а ° /Ъ ° и а 0 / Ъ° для
волны перемещения [1]. Как видно, наиболее существенно изменяется вели
чина а ° / Ъ° (кривая 2 ), характеризующая асимметрию цикла волны пере
мещения. Асимметрия цикла волн скорости и ускорения при резонансных
колебаниях отсутствует.
¥
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 а И
Рис. 2. Зависимость ВХП от относительной длины трещины при резонансных колебаниях
системы, моделирующей тело с закрывающейся трещиной: 1 - ¥ = Т0/ Т ; 2 - ¥ = а° / Ъ° ; 3 -
¥ = К а; 4 - ¥ = а2а/Ъ1а; 5 - ¥ = К у; 6 - ¥ = а°/ Ъ° . (Здесь и на рис. 3-9: сплошные линии -
аппроксимационные кривые результатов расчетов для волны перемещения; штриховые и
штрихпунктирные - для волны скорости и волны ускорения соответственно.)
Более существенно по сравнению с другими ВХП изменяется коэффи
циент гармоник для волны ускорения К а (кривая 3). Коэффициент гармо
ник для волны скорости К у по чувствительности к повреждению занимает
промежуточное положение между коэффициентом гармоник для волны уско
рения и перемещения. Заметим, что зависимость последнего от относитель
1ББа 0556-171Х. Проблемы прочности, 2001, № 4 101
А. П. Бовсуновский
ной длины трещины практически не отличается от кривой 6 для а % / Ъ% и
поэтому не показана. Проявление высших гармоник при анализе нелиней
ных искажений волны ускорения более значительно, чем скорости и пере
мещения. Этот вывод следует из сопоставления кривых 3 и 5, 4 и 6 и
подтверждает справедливость соотношений (4) и (5). Зависимости отноше
ния Т0 / Т для всех видов волн идентичны.
Зат ухаю щ ие колебания сист ем ы с ги ст ерези сн ы м т рением . На рис. 3
приведены некоторые ВХП при затухающих колебаниях системы, модели
рующей тело с закрывающейся трещиной (д 0 = 0). Для определения той или
иной ВХП выполнялся гармонический анализ одного из первых циклов
затухающего колебательного процесса. При исследовании определялось
также отношение первого и второго полупериодов Т}/Т2 цикла затуха
ю щих колебаний. Расчет проводился для колебательной системы с несим
метричным гистерезисным трением (С 0 / С = уаг, V = 0,001, п = 2, а = 0) при
относительно небольшом уровне логарифмического декремента колебаний
системы: 0,13 < ^ < 0,18% ( ^ - декремент колебаний системы с гистере
зисным трением).
І7
0 ОД 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 а/1г
Рис. 3. Зависимость ВХП от относительной длины трещины при затухающих колебаниях
системы, моделирующей тело с закрывающейся трещиной при гистерезисном трении
(<5„ = 0,13...0,18%): 1 - ^ = Т1/ Т2; 2 - ^ = К у; 3 - ^ = К а; 4 - ^ = К а; 5 - ^ = с$/ъ? ; 6 -
^ = ь а /ь а ; 7 - ^ = ъЦ ъ? .
Как видно, при относительно низком уровне демпфирования колебаний
в системе с увеличением относительной длины трещины весьма заметно
изменяются все представленные функции, однако наиболее значительно -
коэффициенты гармоник К у, К а и К а (кривые 2, 3, 4). Эти характерис
тики близки между собой, а в области малых трещин - практически одина
102 ШБЫ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2001, № 4
К вопросу об исследовании колебаний
ковы. Асимметрия цикла затухающей волны перемещения (кривая 5) не
проявляется в такой же степени, как при резонансных колебаниях. Соотно
шение между нулевым коэффициентом а 0 / 'Ъ ( (кривая 5) и амплитудой
второй гармоники для волны перемещения Ъ0 / Ъ0 (кривая 7) приблизи
тельно такое же, как и при резонансных колебаниях, равно как и соотно
шение между амплитудами второй гармоники для волны ускорения Ъа IЪ а
(кривая 6 ), скорости (зависимость занимает промежуточное положение меж
ду кривыми 6 и 7 и не приведена на рис. 3) и перемещения (кривая 7).
Зависимости отношения Т1/ Т2 от относительной длины трещины совпадают
для волны перемещения и ускорения, а для волны скорости это отношение
не зависит от длины трещины (Т1/ Т2 = 1). Асимметрии циклов затухающих
процессов скорости и ускорения практически одинаковы между собой и на
2-3 порядка ниже уровня асимметрии цикла перемещения.
о 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 а/1г
Рис. 4. Зависимость ВХП от относительной длины трещины при затухающих колебаниях
системы, моделирующей тело с открытой трещиной при гистерезисном трении (ду = 0,13...
0,18%, а т = 0): 1 - ^ = Т0/Т; 2 - ^ = Г1/Г2; 3 - ^ = К ; 4 - ^ = Л2 / А1.
Гармонический анализ формы волны при резонансных колебаниях не
выявляет открытую трещину, так как колебательная система с такой тре
щиной остается линейной. Ранее [1] высказывалось предположение о пер
спективности использования для ее обнаружения анализа нелинейных иска
жений цикла свободных затухающих колебаний. С целью проверки этого
предположения выполнены исследования колебательной системы, жесткость
которой на обоих полуциклах колебаний принималась равной С 0. На рис. 4
приведены некоторые наиболее значимые в этом случае ВХП. Заметим, что
для всех видов волн соответствующие зависимости абсолютно идентичны.
Как видно, весьма существенно, особенно в области малых трещин, изме
ТББЫ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2001, № 4 103
А. П. Бовсуновский
няется коэффициент гармоник (кривая 3), несколько меньше - амплитуда
второй гармоники (кривая 4). Таким образом, для обнаружения открытых
трещ ин можно эффективно использовать анализ нелинейных искажений
затухающего колебательного процесса. В случае открытой трещ ины асим
метрия цикла всех видов волн имеет один и тот же порядок и прямо зависит
от уровня демпфирования колебаний в системе, однако ее величина на 2-3
порядка ниже амплитуды второй гармоники при V = 0,001 (в нашем случае
это соответствовало уровню логарифмического декремента колебаний
д у = 0,15%). В отличие от системы с закрывающейся трещиной отношение
71/Т2 = 1 для всех видов волн.
А м плит удн о-част от н ая характ ерист и ка сист ем ы с билинейной в о с
ст анавли ваю щ ей силой. Колебательная система с билинейной восстанавли
вающей силой и линейным вязким трением трех уровней (д а = 5,0; 15,1 и
46,5%) использовалась для построения амплитудно-частотных характерис
тик (АЧХ) системы при одной и той же амплитуде вынуждающей силы. На
рис. 5 приведены АЧХ системы с наибольшей относительной длиной тре
щины (С 0/ С = 0,723). Коэффициент динамичности в для перемещения
определяли как отношение амплитуды установившихся вынужденных коле
баний поврежденной системы к статическому отклонению неповрежденной
системы. На АЧХ системы с наименьшим уровнем демпфирования (рис. 5,а)
обнаруживается субрезонанс порядка 1 / 2 и суперрезонансы порядка 2 / 1 ,
3/1...7/1. При этом, как видно из табл. 1, прочерки в которой означают, что
при данной относительной длине трещ ины супер- или субгармонические
колебания системы не проявляются, суперрезонансы порядка 4/1 и 2/1
возникают при наименьших исследованных отношениях жесткости С 0/ С .
Специальные исследования показали, что суперрезонанс порядка 2/1 про
является даже при С 0 / С = 0,999 (д а = 5,0%), что соответствует в данном
случае относительной длине трещ ины а/И = 0,005. В то же время супер
резонансы порядка 3/1, 3/2 и субрезонанс порядка 1/2 можно обнаружить
только при значительной нелинейности колебательной системы.
По мере роста демпфирующей способности системы суперрезонанс
порядка 3/2 исчезает (рис. 5,б), а при очень большом демпфировании -
исчезает также субрезонанс порядка 1/2 (рис. 5,в). Как видно, амплитуда
основного резонанса значительно выше амплитуд супер- и субрезонансов.
Поэтому на практике повышение надежности определения супер- и суб
резонансов может быть достигнуто за счет увеличения мощности возбуж
дения колебаний по сравнению с необходимой для возбуждения колебаний
системы на основном резонансе.
Таким образом, возникновение супер- и субрезонансов в билинейной
колебательной системе может служить качественным признаком повреж
дения. Количественная оценка параметров повреждения в условиях измене
ния диссипативных свойств системы представляет собой более сложную
задачу.
Рассмотрим некоторые характеристики повреждения, связанные с ана
лизом АЧХ, которые можно использовать для его диагностирования. Одной
из таких характеристик является уровень нелинейных искажений волны
перемещения, скорости и ускорения при супер- или субрезонансных коле
104 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2001, N 4
К вопросу об исследовании колебаний
баниях системы. Для каждого отношения жесткостей С 0 / С и уровня демп
фирования существует свой набор частот резонансных, супер- и субрезо-
нансных колебаний системы (табл. 1), при которых выполнялся анализ
нелинейных искажений формы волны.
Рис. 5. Зависимость коэффициента динамичности от относительной частоты вынуждающей
силы для перемещения колебательной системы, моделирующей тело с закрывающейся тре
щиной при вязком трении (С0/С = 0,723, т = 1, г = 0): а - да = 5,0%; б - да = 15,1%; в -
да = 46,5%.
Исследования показали, что уровень нелинейных искажений рассматри
ваемых видов волн при супер- и субрезонансных колебаниях системы зна
чительно превышает аналогичный уровень при резонансных колебаниях
системы. Рис. 6 иллюстрирует степень искаженности волны перемещения и
ускорения при суперрезонансе порядка 2/1 на фоне гармонической вынуж
дающей силы. Из рисунка следует, что искажение формы волны ускорения
гораздо значительнее, чем перемещения. Это подтверждается результатами
численного гармонического анализа формы указанных видов волн. Так, на
рис. 7 приведены относительные амплитуды второй гармоники разложения в
ряд Фурье вида (6) волн ускорения и перемещения при суперрезонансных
порядка 2/1 (при д а = 5,0 и 15,1%) и субрезонансных порядка 1/2 (при
д а = 5,0%) колебаниях. Относительная амплитуда второй гармоники волны
ускорения при суперрезонансных колебаниях значительно превышает тако
вую волны перемещения (кривые 1 и 3, 2 и 4).
Анализ результатов расчетов показал, что уровень нелинейных иска
жений формы волны скорости ниже, чем ускорения, но выше, чем переме
щения, и что изменение коэффициентов гармоник соответствующих видов
волн качественно аналогично изменению амплитуд вторых гармоник, одна-
Н ЗМ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2001, № 4 105
А. П. Бовсуновский
ко степень этого изменения несколько выше: при суперрезонансных колеба
ниях - в среднем на 25%, при субрезонансных - приблизительно в 4,9 раза
(при д а = 5,0%).
Рис. 6. Форма волны вынуждающей силы (1), перемещения (2) и ускорения (3) при супер
резонансных колебаниях системы порядка 2/1: С0/С = 0,723; т = 1; да = 46,5%; у = 0.
Е
^ .... 1 1 1 .. 1 ' 1 ' 1 ' 1 ,
- 1 ■
:
V •- щ / -
- / ...✓✓
_ 2 -
_
✓
✓
✓'
■ ' У - ч
. / “
' У 6 / 3
. у
у о
4 \ \
/ 5/ Ч
\ 1
! ---
, 1 , 1 . 1 . 1 . I . I
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 а/1г
Рис. 7. Зависимость ВХП от относительной длины трещины при супер- и субрезонансных
колебаниях системы, моделирующей тело с закрывающейся трещиной при вязком трении
(т = 1, V = 0): 1 - Е = А2а / Аа (суперрезонанс порядка 2/1, да = 5,0%); 2 - Е = Аа / Аа
(суперрезонанс порядка 2/1, да = 15,1%); 3 - Е = А%/ А^ (суперрезонанс порядка 2/1,
да = 5,0%); 4 - Е = А^ / А^ (суперрезонанс порядка 2/1, да = 15,1%); 5 - Е = А% / А 1̂
(субрезонанс порядка 1/2, да = 5,0%); 6 - Е = А?, / А? (субрезонанс порядка 1/2, да = 5,0%).
106 ШЗМ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2001, № 4
К вопросу об исследовании колебаний
Искажение формы волны при субрезонансных колебаниях системы
незначительное по сравнению с суперрезонансными колебаниями (кривые 1
и 6, 3 и 5). Сопоставление кривых 1 и 2, 3 и 4 показывает, что с увеличением
уровня демпфирования колебаний в системе в значительной мере снижается
чувствительность вибрационных характеристик к повреждению. Таким обра
зом, если при росте трещ ины рассеяние энергии в колебательной системе
существенно изменяется (возможность увеличения демпфирования колеба
ний образцов более чем на порядок при росте усталостной трещ ины пока
зана в [13, 14]), то задача количественной оценки параметров повреждения
становится дважды неопределенной: исследуемая характеристика повреж
дения в этом случае зависит как от соотношения жесткостей на полуциклах
колебания, так и от уровня демпфирования колебаний в системе. В этом
случае количественная оценка параметров повреждения осложняется, одна
ко сохраняется возможность качественной диагностики, весьма чувстви
тельной даже при относительно высоком уровне демпфирования.
Ранее [1] исследовалось влияние точности настройки на резонансную
частоту колебательной системы с билинейной восстанавливающей силой
(С 0/ С = 0,723, т = 1, д а = 15,1%, v = 0) на уровень нелинейных искажений
волны перемещения: при отклонении от резонанса на ± 2 % падение ампли
туды колебаний достигало 27%, а изменение асимметрии цикла и ампли
туды второй гармоники - соответственно 1,2 и 5,4%. В то же время точность
настройки этой же системы на суперрезонанс порядка 2/1 играет более
существенную роль, поскольку при отклонении от частоты суперрезонанса
на ± 2 % коэффициенты гармоник для волны перемещения и ускорения
уменьшаются на 30,3 и 29,7% при падении амплитуд волн на 17,9 и 29,5%
соответственно.
Суть еще одной предлагаемой ВХП заключается в сопоставлении ампли
туд супер- или субрезонансных колебаний поврежденной системы с ампли
тудой колебаний системы без повреждения на той же частоте и при том же
уровне возбуждения. Обозначим амплитуду волны при суперрезонансных
колебаниях порядка 2/1 через А ^ 1̂ , а амплитуду колебаний той же системы
без повреждения на частоте этого суперрезонанса - через А (2/1). Тогда
предлагаемая характеристика имеет вид
А (2/1)о (2/1) = я (о)
° А (2/1) . (8)
На рис. 8 представлены наиболее чувствительные в этом случае ВХП
(данные для волны скорости занимают промежуточное положение и не
приведены). Наиболее существенно изменяется амплитуда волны ускорения
при суперрезонансных колебаниях порядка 2/1 (кривая 1). Значительно
слабее изменяется эта характеристика для перемещения. Интересно отме
тить, что чувствительность данной ВХП, а также коэффициента гармоник
для волны ускорения при суперрезонансных колебаниях порядка 4/1 не
сколько выше, чем при суперрезонансных колебаниях порядка 2/1 (табл. 2).
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2001, N 4 101
А. П. Бовсуновский
Т а б л и ц а 2
Коэффициенты гармоник и относительные амплитуды волн перемещения
и ускорения при суб- и суперрезонансных колебаниях системы
(С0/С = 0,723, т = 1, да = 5,0%, v = 0)
Порядок
резонанса
(п/п)
р/ ш К а З(п/п) З(п/п)
За
5 1 0,1848 0,4851 10,8449 1,4242 8,8857
4/1 0,2311 0,6571 10,3666 1,6108 9,1250
3/1 0,3068 0,7187 6,2285 1,7917 6,4615
2 1 0,4595 1,6808 7,8674 2,9732 9,0970
3 2 0,6122 1,4169 2,4688 2,3477 3,8397
1/1 0,9189 0,0254 0,1399 - -
1/2 1,8369 1,7323 1,2853 7,5582 2,3983
Рис. 8. Зависимость ВХП от относительной длины трещины при супер- и субрезонансных
колебаниях системы, моделирующей тело с закрывающейся трещиной при вязком трении
(т = 1, V = 0): 1 - ¥ = ^^2/1) (да = 5,0%); 2 - ¥ = ^ 1/2) (да = 5,0%); 3 - ¥ = (да = 15,1%);
4 - ¥ = З (2П) (да = 5,0%); 5 - ¥ = (да = 5,0%); 6 - ¥ = З^2/1) (да = 15,1%).
Данные, приведенные в табл. 2, позволяют сопоставить степень нелинейных
искажений и относительные амплитуды волн перемещения и ускорения при
суб- и суперрезонансных колебаниях системы. Как видно, несмотря на
различную динамику изменения представленных характеристик для волн
перемещения и ускорения, практически все они являются весьма значи
мыми.
Чувствительность данной ВХП, как и коэффициента гармоник, для всех
видов волн существенно зависит от уровня демпфирования (на рис. 8
кривые 1 и 3, 4 и 6).
108 ТББМ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2001, № 4
К вопросу об исследовании колебаний
Субгармонический резонанс порядка 1/2 (волна перемещения,
д а = 5,0%) наблюдается при относительной длине трещины а/Н > 0,3. В то
же время при а/Н < 0,3 субрезонансный пик не выявляется, т.е. ^ 2) = 1. Это
означает, что данная характеристика абсолютно нечувствительна к малым и
средним трещ инам (классификация трещин приведена ниже).
С р ав н и тел ьн ы й ан ал и з ч увстви тельн ости ВХП. Под чувствитель
ностью ВХП подразумевается мера изменения функции, отражающей зави
симость соответствующей вибрационной характеристики от величины по
вреждения. Как и в [1], в качестве такой меры использовалась скорость
изменения функции, а сравнительный анализ эффективности представлен
ных ВХП выполнялся на основании сопоставления скоростей изменения
соответствующих функций.
Рис. 9 иллюстрирует зависимость скорости изменения наиболее чувст
вительных ВХП от относительной длины трещины. Весь исследованный
диапазон длин трещин условно разделен на область малых (а/Н < 0,15),
средних (0,15 < а/Н < 0,4) и больших (а/Н > 0,4) трещин.
V
О ОД 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 а И
Рис. 9. Зависимость скорости изменения ВХП от относительной длины трещины: 1 -
V = Б ?71 (да = 5,0%); 2 - V = к £ 11) (да = 5,0%); 3 - V = Ла / Ла (суперрезонанс порядка
2/1, да = 5,0%); 4 - V = К а (ду = 0,13...0,18%, затухающие колебания, закрывающаяся
трещина); 5 - V = а(̂ / Ь/ (да = 15,1%, резонансные колебания, закрывающаяся трещина); 6 -
V = а Ц ь / (ду = 0,13...0,18%, затухающие колебания, закрывающаяся трещина).
Наиболее общий вывод, который следует из анализа результатов чис
ленных исследований колебательной системы, моделирующей тело с закры
вающейся трещиной, заключается в том, что уровень нелинейных искаже
ний и относительные амплитуды волны перемещения, скорости и ускорения
при супер- и субрезонансных колебаниях являются весьма чувствительными
как к повреждению, так и к уровню демпфирования в системе. Наиболее
0556-171Х. Проблемы прочности, 2001, № 4 109
А. П. Бовсуновский
перспективна для использования в качестве ВХП - волна ускорения (кри
вые 1-3) при суперрезонансных колебаниях системы. Недостаток ВХП - их
существенная зависимость от уровня демпфирования колебаний в системе.
Как видно, в области малых трещ ин чувствительность ВХП практи
чески одинакова. В то же время она приблизительно на два порядка пре
вышает наиболее значимые ВХП, связанные с анализом формы волны
перемещения, скорости и ускорения при резонансных и затухающих колеба
ниях системы. В области средних и больших трещ ин скорости изменения
функций, связывающих относительную длину трещ ины с коэффициентом
гармоник K a (кривая 2) и с относительной амплитудой волны ускорения
(кривая 1) при суперрезонансных колебаниях порядка 2/1, близки между
собой и значительно превышают скорости изменения других рассмотрен
ных ВХП.
Р е з ю м е
Представлено результати чисельного дослідження вимушених і затухаючих
коливань механічної системи з білінійною відновлювальною силою, яка
моделює тріщину, що закривається. Найбільш чутливими з досліджуваних
вібраційних характеристик пошкодження є рівень нелінійних спотворень і
відносні амплітуди хвилі переміщення, швидкості і прискорення при супер-
і субрезонансних коливаннях. Разом із тим ці характеристики суттєво зале
жать від рівня демпфірування коливань у системі.
1. Б овсун овски й А. П . Численное исследование колебаний нелинейной
механической системы, моделирующей тело с трещ иной // Пробл. проч
ности. - 1999. - № 6. - С. 65 - 80.
2. S ou n d & Vibration Catalogue 1997. - Denmark: Brüel & Kjær, 1997. -
151 p.
3. R oyston T. J. a n d S ingh R. Experimental study o f a m echanical system
containing a local continuous stiffness non-linearity under periodic excitation
and a static load // J. Sound Vibration. - 1996. - No. 3. - P. 279 - 298.
4. Ц ы ф ан ски й С. Л ., Б ересн еви ч В. И., М а го н е М . А . Вибродиагностика
усталостных трещ ин в несущих поверхностях летательных аппаратов
на основе использования нелинейных эффектов // Дефектоскопия. -
1993. - № 2. - С. 87 - 94.
5. Ц ы ф ан ски й С. Л ., М а го н е М . А., О ж и ган ов В. М . Об использовании
нелинейных эффектов для обнаружения трещ ин в стержневых элемен
тах конструкций // Там же. - 1985. - № 3. - С. 77 - 85.
6. П лахт иенко Н. П ., Я син ски й С. А . О резонансе второго порядка при
колебаниях балки, содержащей поперечную трещ ину // Пробл. проч
ности. - 1995. - № 3. - С. 56 - 63.
7. К р ю к о в Б. И . Вынужденные колебания существенно нелинейных сис
тем. - М.: М ашиностроение, 1984. - 216 с.
110 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2001, № 4
К вопросу об исследовании колебаний
8. Д а ви д ен к о в Н. Н . Обзор. О рассеянии энергии при вибрациях // Журн.
техн. физики. - 1938. - 8, вып. 6. - С. 483 - 499.
9. Р ойт м ан А. Б., П ы лов А. А ., А л ексан дрова Н. Б . Продольные колебания
консольного стержня с поперечной трещиной. Сообщ. 1. М алые коле
бания // Пробл. прочности. - 1999. - № 2. - С. 23 - 34.
10. Тим ош енко С. П ., Я н г Д . Х ., У ивер У. Колебания в инженерном деле. -
М.: М ашиностроение, 1985. - 472 с.
11. С п равочн ик по радиоэлектронным устройствам: В 2 т. Т. 1 / Под ред.
Д. П. Линде. - М.: Энергия, 1978. - 440 с.
12. А н д р о н о в А. А ., В ит т А. А ., Х айкин С. Э . Теория колебаний. - М.:
Наука, 1981. - 568 с.
13. R y tte r A., B rin ck er R., a n d K irk e g a a rd P. H . An experimental study o f the
m odal parameters o f a damaged cantilever // Fracture and Dynamics, Paper
No. 37, Dept. o f Building Technology and Structural Engineering, University
o f Aalborg, Oct., 1992. - 76 p.
14. Б овсун овски й А. П., М а т веев В. В. Сравнительная экспериментальная
оценка чувствительности некоторых вибрационных индикаторов уста
лостного повреждения стержневых элементов // Вибрации в технике и
технологиях. - 1999. - № 1 (10). - С. 15 - 21.
Поступила 31. 05. 2000
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2001, № 4 111
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-46657 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0556-171X |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T19:04:44Z |
| publishDate | 2001 |
| publisher | Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бовсуновский, А.П. 2013-07-05T12:38:13Z 2013-07-05T12:38:13Z 2001 К вопросу об исследовании колебаний нелинейной механической
 системы, моделирующей тело с трещиной / А.П. Бовсуновский // Проблемы прочности. — 2001. — № 4. — С. 97-111. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46657 620.178;620.179 Представлены результаты численного исследования вынужденных и затухающих колебаний
 механической системы с билинейной восстанавливающей силой, моделирующей закрывающуюся
 трещину. Наиболее чувствительными из исследованных вибрационных характеристик
 повреждения являются уровень нелинейных искажений и относительные амплитуды
 волны перемещения, скорости и ускорения при супер- и субрезонансных колебаниях. Вместе с
 тем показано, что эти характеристики существенно зависят от уровня демпфирования
 колебаний в системе. Представлено результати чисельного дослідження вимушених і затухаючих
 коливань механічної системи з білінійною відновлювальною силою, яка
 моделює тріщину, що закривається. Найбільш чутливими з досліджуваних
 вібраційних характеристик пошкодження є рівень нелінійних спотворень і
 відносні амплітуди хвилі переміщення, швидкості і прискорення при супер-
 і субрезонансних коливаннях. Разом із тим ці характеристики суттєво залежать
 від рівня демпфірування коливань у системі. A problem of the numerical investigation into
 the dynamic behavior of a spiral pipe containing
 internal inhomogeneous flows of a boiling
 liquid was posed. A model for the motion of diminishing
 blocks of heated liquid separated by
 segments filled with vapor was proposed. For
 the considered dynamic system with changing
 mass geometry a system of differential equations
 was constructed with discontinuous coefficients
 and the right member depending on time.
 For their numerical solution a procedure was
 proposed based on the methods of numerical integration
 with respect to time and the method
 of initial parameters in combination with the
 orthogonalization procedure with respect to spatial
 variable. Vibrations of the system for various
 parameters of inhomogeneity of the flow,
 its velocity, and the parameters of the energy
 dissipation were studied. A possibility was
 found to establish stable and unstable regimes
 of motion depending on the character of
 inhomogeneiOn investigation into vibrations
 of nonlinear mechanical system simulating
 a body with crackty and the velocity
 of motion of the liquid blocks. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел К вопросу об исследовании колебаний нелинейной механической системы, моделирующей тело с трещиной Numerical Simulation of Dynamics of Elastic Tubular Spirals with Internal Inhomogeneous Flows of Boiling Liquid Article published earlier |
| spellingShingle | К вопросу об исследовании колебаний нелинейной механической системы, моделирующей тело с трещиной Бовсуновский, А.П. Научно-технический раздел |
| title | К вопросу об исследовании колебаний нелинейной механической системы, моделирующей тело с трещиной |
| title_alt | Numerical Simulation of Dynamics of Elastic Tubular Spirals with Internal Inhomogeneous Flows of Boiling Liquid |
| title_full | К вопросу об исследовании колебаний нелинейной механической системы, моделирующей тело с трещиной |
| title_fullStr | К вопросу об исследовании колебаний нелинейной механической системы, моделирующей тело с трещиной |
| title_full_unstemmed | К вопросу об исследовании колебаний нелинейной механической системы, моделирующей тело с трещиной |
| title_short | К вопросу об исследовании колебаний нелинейной механической системы, моделирующей тело с трещиной |
| title_sort | к вопросу об исследовании колебаний нелинейной механической системы, моделирующей тело с трещиной |
| topic | Научно-технический раздел |
| topic_facet | Научно-технический раздел |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46657 |
| work_keys_str_mv | AT bovsunovskiiap kvoprosuobissledovaniikolebaniinelineinoimehaničeskoisistemymodeliruûŝeitelostreŝinoi AT bovsunovskiiap numericalsimulationofdynamicsofelastictubularspiralswithinternalinhomogeneousflowsofboilingliquid |