Ортогональные разложения пространств и их применения
Доказаны теоремы об ортогональных разложениях канонических пространств, о непрерывности линейных функционалов, о сопряженных операторах, о разрешимости операторных уравнений. Доведено теореми про ортогональні розклади канонічних просторів, про неперервність лінійних функціоналів, про спряжені операт...
Saved in:
| Published in: | Теорія оптимальних рішень |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46673 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Ортогональные разложения пространств и их применения / К.Г. Дзюбенко // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2010. — № 9. — С. 25-33. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-46673 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Дзюбенко, К.Г. 2013-07-06T06:00:32Z 2013-07-06T06:00:32Z 2010 Ортогональные разложения пространств и их применения / К.Г. Дзюбенко // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2010. — № 9. — С. 25-33. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. XXXX-0013 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46673 517.98 Доказаны теоремы об ортогональных разложениях канонических пространств, о непрерывности линейных функционалов, о сопряженных операторах, о разрешимости операторных уравнений. Доведено теореми про ортогональні розклади канонічних просторів, про неперервність лінійних функціоналів, про спряжені оператори, про розв’язність операторних рівнянь. Theorems are proved on orthogonal decompositions for canonic spaces, on continuity of linear functionals, on adjoint operators, on operator equations solvability. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Теорія оптимальних рішень Ортогональные разложения пространств и их применения Ортогональні розклади просторів та їх застосування Orthogonal decompositions of spaces and their applications Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Ортогональные разложения пространств и их применения |
| spellingShingle |
Ортогональные разложения пространств и их применения Дзюбенко, К.Г. |
| title_short |
Ортогональные разложения пространств и их применения |
| title_full |
Ортогональные разложения пространств и их применения |
| title_fullStr |
Ортогональные разложения пространств и их применения |
| title_full_unstemmed |
Ортогональные разложения пространств и их применения |
| title_sort |
ортогональные разложения пространств и их применения |
| author |
Дзюбенко, К.Г. |
| author_facet |
Дзюбенко, К.Г. |
| publishDate |
2010 |
| language |
Russian |
| container_title |
Теорія оптимальних рішень |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Ортогональні розклади просторів та їх застосування Orthogonal decompositions of spaces and their applications |
| description |
Доказаны теоремы об ортогональных разложениях канонических пространств, о непрерывности линейных функционалов, о сопряженных операторах, о разрешимости операторных уравнений.
Доведено теореми про ортогональні розклади канонічних просторів, про неперервність лінійних функціоналів, про спряжені оператори, про розв’язність операторних рівнянь.
Theorems are proved on orthogonal decompositions for canonic spaces, on continuity of linear functionals, on adjoint operators, on operator equations solvability.
|
| issn |
XXXX-0013 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46673 |
| citation_txt |
Ортогональные разложения пространств и их применения / К.Г. Дзюбенко // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2010. — № 9. — С. 25-33. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT dzûbenkokg ortogonalʹnyerazloženiâprostranstviihprimeneniâ AT dzûbenkokg ortogonalʹnírozkladiprostorívtaíhzastosuvannâ AT dzûbenkokg orthogonaldecompositionsofspacesandtheirapplications |
| first_indexed |
2025-11-24T17:10:44Z |
| last_indexed |
2025-11-24T17:10:44Z |
| _version_ |
1850490236176433152 |
| fulltext |
Теорія оптимальних рішень. 2010, № 9 25
ÒÅÎвß
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÈÕ
вØÅÍÜ
Доказаны теоремы об ортого-
нальных разложениях канониче-
ских пространств, о непрерывно-
сти линейных функционалов, о со-
пряженных операторах, о разре-
шимости операторных уравне-
ний.
К.Г. Дзюбенко, 2010
ÓÄÊ 517.98
Ê.Ã. ÄÇÞÁÅÍÊÎ
ÎÐÒÎÃÎÍÀËÜÍÛÅ ÐÀÇËÎÆÅÍÈß
ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂ È ÈÕ ÏÐÈÌÅÍÅÍÈß
Изучение условий непрерывности линейных
функционалов привело автора к рассмотре-
нию ядер линейных операторов и ортого-
нальных разложений пространств, позволило
доказать ряд важных утверждений.
Пусть N , R и С – множества всех нату-
ральных, вещественных и комплексных чи-
сел, }0{0 UNN = . L – линейное простран-
ство над С , 0
r
– нулевой элемент L . Приве-
дем ключевые определения, по поводу других
см. [1]. Ядро линейного функционала
СL →ϕ : }0)(:{ =ϕ∈=ϕ xLxKer . Ядро
линейного оператора LLA →: =AKer
}0:{
r
=∈= AxLx . Образ линейного опера-
тора LLA →: }:{ LxAxAIm ∈= .
LL ⊂1 – линеал, если 12211 Lxx ∈α+α ,
C∈αα 21, , 121, Lxx ∈ . LS ⊂ линейно не-
зависимо, если 00
1
=α⇔=α∑
=
n
m
n
nn a
r
,
mn ,1= для всех San ∈ , Cn ∈α , mn ,1= ,
Nm ∈ . Размерность 1dim L (конечная или
бесконечная) линеала LL ⊂1 – количество
элементов максимального линейно незави-
симого множества в 1L . Для LS ⊂ линейная
оболочка )(SL – минимальный линеал, со-
держащий S . Для линеала LL ⊂1 фактор-
пространство 1/ LL – это все классы
}:{][ 1Lzzxx ∈+= , Lx ∈ .
К.Г. ДЗЮБЕНКО
26 Теорія оптимальних рішень, 2010, № 9
Коразмерность линеала LL ⊂1 )/(dimcodim 11 LLL = .
Линейное пространство E будем называть каноническим, если задано ска-
лярное произведение СEE →×⋅⋅ :),( со свойствами: 1) 0),( ≥xx , и
00),(
r
=⇔= xxx ; 2) ),,(),(),( 22112211 yxyxyxx α+α=α+α C∈αα 21, ,
Eyxx ∈,, 21 ; 3) ),(),( xyyx = , Eyx ∈, (верхняя черта над числом – ком-
плексное сопряжение). В прошлом столетии канонические пространства иногда
называли «предгильбертовыми». Норма элемента ),( xxx = , Ex ∈ . Верно
yxyx ≤),( , Eyx ∈, . Базис в E – линейно независимое множество
ES ⊂ с ES =)(L (верхняя черта над множеством – замыкание по норме).
Этот базис ортонормированный, если }{),( baIba == , Sba ∈, . Замкнутый лине-
ал в E называется подпространством. Пусть заданы множества ES ⊂
1
,
ES ⊂
2
. },:{ 22112121 SxSxxxSS ∈∈+=⊕ – прямая сумма
1
S и 2S , если
каждое разложение 21 xxx += с 11 Sx ∈ , 22 Sx ∈ единственно. =− 21 SS
},:{ 221121 SxSxxx ∈∈−= – линейная разность
1
S и 2S . =),( 21 SSd
},:{inf 221121 SxSxxx ∈∈−= – расстояние между
1
S и 2S . 1S и 2S ор-
тогональны (обозначается 21 SS ⊥ ), если 0),( 21 =xx , 11 Sx ∈ , 22 Sx ∈ . Для
ES ⊂ ортогональное дополнение }:{ SxExS ⊥∈=⊥
. Ортогональная проек-
ция Ex ∈ на ES ⊂ – это Sy ∈ такой, что Syx ⊥− . Для Ex ∈ и 0≥r шар
}:{),( rxyEyrxB ≤−∈= . Следующее утверждение известно более широ-
ко, чем его доказательство (для полного сепарабельного пространства).
Лемма. Пусть E – каноническое пространство, },{ Β∈ββe –
ортонормированный базис в E ( Β – индексное множество). Тогда для каждого
Ex ∈ единственно разложение ∑
Β∈β
ββ= eexx ),( , и ∑
Β∈β
β=
22
),( exx (сум-
мы не более чем счетны).
Доказательство. Обозначим }),({ Β∈β= βeL L . L состоит из конечных
линейных комбинаций элементов базиса, EL = . Для каждого Ex ∈ найдутся
Β⊂∈β },{ Nnn , NNmmn ⊂∈ }),({ и CNmmnnmn ⊂∈=α },)(,1:{ такие,
что 0lim =−
∞→
m
m
yx для ∑
=
βα=
)(
1
mn
n
mnm n
ey . Пусть }))(,1,({ mnneL
nm == βL
и ∑
=
ββ=
)(
1
),(
mn
n
m nn
eexx , Nm ∈ . Для всех Nm ∈
mm
Lxx ⊥− ,
mmm
Lyx ∈−
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
Теорія оптимальних рішень. 2010, № 9 27
влекут
2222
mmmmm xxyxxxyx −≥−+−=− . Следовательно
0lim =−
∞→
m
m
xx , и
222
)(
1
2
),( xxxxex m
mn
n
n
→−−=∑
=
β , ∞→m . Для
двух разных разложений совпадение членов устанавливается скалярным умно-
жением на каждый из элементов базиса.
Теорема 1. Пусть E – каноническое пространство, M – подпространство в
E . Тогда выполнены утверждения.
1.
⊥M – подпространство в E .
2.
⊥⊕= MME .
3. Для любого Ex ∈ существует единственная ортогональная проекция на M .
4. MM =⊥⊥ )( .
5.
⊥= MM dimcodim .
Доказательство. 1. Для всех
⊥∈ Myy 21, , C∈αα 21 , , Mx ∈ из
0),( 1 =yx , 0),( 2 =yx следует 0),( 2211 =α+α yyx (линейность ⊥M ). Для
всех
⊥⊂ My
n
}{ с n
n
yy
∞→
= lim* , Mx ∈ верны =−= ),(),(),( ** nyxyxyx
0),( ** →−≤−=
nn
yyxyyx , ∞→n , откуда xy ⊥* (замкнутость
⊥M ). 2. Выберем любое Ex ∈ . Пусть }:{inf* Myxyr ∈−= . Верно
0)),,(( * =MrxBd , что равносильно 0)),0(,( * =− rBMxd
r
. Для Myn ⊂}{ ,
),0(}{ *rBzn
r
⊂ с Ewzy
nn
∈→− верно ),0(}{}{ *rBMzy nn
r
−∈− (по замк-
нутости M и ),0( *rB
r
), откуда ),0( *rBMw
r
−∈ . Следовательно, ),0( *rBM
r
−
замкнуто, и ),0( *rBMx
r
−∈ , т. е. ∅≠MrxB I),( * . Пусть MrxBx I),( *1 ∈ .
Докажем, что Mxxx ⊥−= 12 . Для всех }0{\
r
My ∈
yyyxyyxxyx −≥±⇔≥+±⇔≥±
−
),(Re20),(Re2
1
2
2
222 ,
откуда 0),(Re 2 =yx (предел при 0
r
→y при неизменном
1
)(
−
= yyye ).
Аналогично 22 xyix ≥± , }0{\
r
My ∈ , влечет 0),(Im 2 =yx . Если для
My ∈1 ,
⊥∈ My2 также верно
21 yyx += , то ∈−=−= 2211 xyyxz
⊥∈ MM I . Тогда 0),( =zz , 0
r
=z и 11 yx = ,
22 yx = . 3. Для Ex ∈
1x из до-
казательства утверждения 2 является единственным элементом My ∈ таким,
что Myx ⊥− . 4. В силу 2, MMxxxExM =∈=∈= ⊥⊥⊥ },0),(:{)( 22 . 5.
В силу 2,
⊥= MME / , откуда ⊥= MME dim)/(dim .
К.Г. ДЗЮБЕНКО
28 Теорія оптимальних рішень, 2010, № 9
Пример 1. }0)0(:]1,0[{ =∈= xCxM – линеал в ]1,0[CE = над C
с dttytxyx )()(),(
1
0
∫= . Верны EM = (пример 2), }0{
r
=⊥
M , EMM =⊕ ⊥
,
но EMM ≠⊕ ⊥
, MEM ≠=⊥⊥
)( . Также ∞===⊥
MEM dimdimcodim .
Критерий непрерывности стохастически линейного функционала в линей-
ном пространстве с топологией доказан автором в [2]. Приведу свой первый ва-
риант доказательства подобного утверждения.
Теорема 2. Пусть L – линейное нормированное пространство, ϕ – линей-
ный функционал в L . Тогда ϕ непрерывен ⇔ ϕKer замкнуто.
Доказательство. Пусть ⋅ – норма в L , относительно которой рассматри-
вается сходимость. ϕKer не пусто (содержит нулевой элемент 0
r
). Если ϕ не-
прерывен, для каждой ϕ⊂∈ KerNnx
n
},{ с Lxxn
n
∈=
∞→
*lim выполнено
00lim)(lim)( * ==ϕ=ϕ
∞→∞→ n
n
n
xx , и ϕ∈ Kerx* . Пусть нарушена достаточность:
ϕKer замкнуто, но ϕ не непрерывен в 0
r
. Пусть сперва L задано над R , а ϕ
– действительный. Тогда существуют LNnxn ⊂∈ },{ и 00 >ε такие, что
0
r
→nx , но
0)( ε>ϕ
n
x , Nn∈ ( )()( xx ϕ−≡−ϕ ). Положим
)(
0
n
n
xϕ
ε
=α ,
Nn∈ . Тогда )1,0(∈α n и 0)( ε=αϕ nn x , Nn∈ . Для nnn xxy α−α= 11 вы-
полнено 0)( 00 =ε−ε=ϕ
n
y , Nn∈ , т. е. ϕ∈ Kery
n
, Nn ∈ . Но
0→≤α=α nnnnn xxx , откуда 11xy
n
α→ , ∞→n . Замкнутость ϕKer
влечет 0)( 11 =αϕ x , что противоречит 0)( 011 >ε=αϕ x . Переход к L над С и
комплексному ϕ+ϕ=ϕ ImRe i очевиден.
Теорема 3. Пусть E – каноническое пространство, ϕ – линейный функ-
ционал в E , не тождественный нулю. Тогда ϕ непрерывен ⇔ EKer ≠ϕ .
При этом найдется единственный }0{\
r
Ea ∈ такой, что ),()( axx =ϕ , Ex ∈ .
Доказательство. Необходимость: если ϕ непрерывен и EKer =ϕ , то по
теореме 2 EKer =ϕ , и 0≡ϕ . Докажем достаточность. Ввиду
⊥ϕ⊕ϕ= )( KerKerE найдется ⊥ϕ∈ )(0 Kerx с 10 =x . Тогда 0)( 0 ≠ϕ x .
Выберем любое Ex ∈ . Элемент 0
1
0 ))()(( xxxxy
−ϕϕ−= принадлежит ϕKer .
Значит yxxxx += 00 ),( (в силу yx ⊥0 , 10 =x ), и
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
Теорія оптимальних рішень. 2010, № 9 29
=ϕ )(x ))(,()(),( 0000 xxxxxx ϕ=ϕ , Ex ∈ . Требуемое представление верно
с 00 )( xxa ϕ= . ϕ непрерывен: xaax ≤),( , Ex ∈ . Если )~,()( axx ≡ϕ
с Ea ∈~ , то 0)~,( =− aax , Ex ∈ . Тогда 0)~,~( =−− aaaa , и 0~
r
=− aa .
Аналоги теорем 1 и 3 известны для полного канонического пространства
([1], с. 159–160, 187–188). Оператор A в каноническом пространстве E называ-
ется компактным, если он переводит ограниченные множества в предкомпакт-
ные (тогда A ограничен). Компактный непрерывный оператор называется впол-
не непрерывным (для линейного A равносильно компактности). В полном E
компактность A равносильна отображению слабо сходящихся последовательно-
стей в сильно сходящиеся: ** ),,(),( AxAxEyyxyx nn →⇒∈→ . Введем новое
определение. Оператор A в каноническом пространстве E назовем слабо не-
прерывным, если функционалы ),()( yAxxy =ϕ , Ex ∈ непрерывны для всех
Ey ∈ . Это равносильно отображению сильно сходящихся последовательностей
в слабо сходящиеся: EyyAxyAxxx
nn
∈→⇒→ ),,(),( **
. Непрерывный
оператор является слабо непрерывным (по непрерывности скалярного произве-
дения).
Теорема 4. Пусть E – каноническое пространство, A – слабо непрерывный
линейный оператор в E . Тогда KerA замкнуто.
Доказательство. Для любых KerAx
n
⊂}{ с Exx
n
∈→ *
и Ey ∈ :
0),0()),((),()),((),( *** =→−=+−= yAyxxAyAxyxxAyAx nnn
r
,
∞→n . Поэтому EAx ⊥* , 0),( ** =AxAx , и 0*
r
=Ax , т. е. KerAx ∈* .
Оператор
*A в каноническом пространстве E называется сопряженным
для линейного оператора A в E , если ),(),(
*
yAxyAx = , Eyx ∈, . Такой опе-
ратор
*A единственен и линеен (доказательство стандартно).
*A в E существу-
ет для линейного непрерывного A в полном каноническом E ([1], с. 233).
Теорема 5. В каноническом пространстве E равносильны утверждения.
1. Линейный оператор A в E слабо непрерывен.
2. ),( yAKer ⋅ замкнуто для каждого Ey ∈ .
3. Существует *A в E .
Доказательство. Утверждения 1 и 2 равносильны согласно теореме 2. До-
кажем, что из 1 следует 3. Для любого Ey ∈ yy KerKer ϕ=ϕ . Тогда либо
0≡ϕ y , либо EKer y ≠ϕ . По теореме 3 найдется Eya ∈)( такой, что
))(,()( yaxxy =ϕ , Ex ∈ (возможно 0)(
r
=ya ). Равенства )(
*
yayA = , Ey ∈ ,
К.Г. ДЗЮБЕНКО
30 Теорія оптимальних рішень, 2010, № 9
задают требуемый оператор. Из 3 следует 1: непрерывность
),(),()(
*
yAxyAxxy ==ϕ по x очевидна.
Линейный оператор A в каноническом пространстве E называется сим-
метричным, если ),(),( AyxyAx = , Eyx ∈, . Это равносильно AA =*
(само-
сопряженность), поскольку сопряженный оператор единственен.
Теорема 6. Пусть E – каноническое пространство, },{ Β∈ββe –
ортонормированный базис в E (Β – индексное множество), A – линейный
оператор в E . Тогда симметричность A равносильна одновременному выпол-
нению условий:
1) ),(),(
2121 ββββ = eAeeAe , Β∈ββ 21 , ;
2) A слабо непрерывен.
Доказательство. Необходимость 1) очевидна. Из симметричности следует
непрерывность ),(),()( AyxyAxxy ==ϕ по x . Достаточность: ),( vAu и
),(),( vAuAuv = непрерывны отдельно по u (условие 2)) и по v , и A симмет-
ричен ввиду равенства для всех Eyx ∈, (суммы не более чем счетны):
=== ∑ ∑∑
Β∈β Β∈β
ββββ
Β∈β
ββ
1 2
2211
1
11
)),(,),((),),((),( eeyeexAyeexAyAx
=== ∑ ∑∑ ∑
Β∈β Β∈β
ββββ
Β∈β Β∈β
ββββ
1 2
2121
1 2
2121
),(),(),(),(),(),( AeeeyexeeAeyex
),(),)(,()),(,(),(
1
11
1 2
2211
AyxAyeexeeyAeex === ∑∑ ∑
Β∈β
ββ
Β∈β Β∈β
ββββ .
Критерии разрешимости операторных уравнений ([1], с. 467–472) известны
для линейных интегральных уравнений, для вполне непрерывных линейных
операторов в полных канонических пространствах и в пространствах Банаха.
Теорема 7. Пусть E – каноническое пространство, A – слабо непрерывный
линейный оператор в E , AIm замкнуто. Тогда выполнены утверждения.
1. Уравнение fAx = имеет решение в E ⇔ *
KerAf ⊥ .
2. Решение fAx = единственно при каждом Ef ∈ ⇔ }0{
*
r
== KerAKerA .
3.
*
dimdim AImAIm = .
4. Если и
*
AIm замкнуто, то *
dimdim KerAKerA = .
Доказательство. По теоремам 1 и 5,
⊥⊕= )( AImAImE и задан
*
A в E .
**
,0),(,0),( KerAyExyAxExyAxAImy ∈⇔∈=⇔∈=⇔⊥ ,
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
Теорія оптимальних рішень. 2010, № 9 31
откуда *
)( KerAAIm =⊥
. Поэтому *
AKerAImE ⊕= , и 1 верно. Верно 2: су-
ществование решения fAx = при каждом Ef ∈ равносильно }0{
*
r
=KerA , а
единственность решения равносильна }0{
r
=KerA . Верно 3:
***
dim)(dimcodimdim AImKerAEKerAAIm ===
(
*
21 KerAxx ∈− равносильно 2
*
1
*
xAxA = , и существует биекция между клас-
сами
*
KerAE и элементами
*
AIm ). Верно 4: AKerAImE ⊕= *
, и
***
dim))((dim)(dimdim KerAKerAEEAImEKerA ===
(
*
10
*
0 ][][][][ KerAzzzKerAEzz ++=⇔∈− , где 10 , zz – фиксированы).
Пример 2. )())(( txttAx = , ]1,0[∈t , – линейный оператор в ]1,0[CE =
над C с dttytxyx )()(),(
1
0
∫= . A симметричен ( dttyttxdttytxt )()()()(
1
0
1
0
∫∫ ≡ )
и, соответственно, слабо непрерывен. fAx = имеет решение Ex ∈*
(единст-
венное) лишь для })0(,0)0(:]1,0[{ yyCyAImf ′∃=∈=∈ , поскольку
0)0(0)0( =⋅= xf , )()(
1
* tfttx
−= , ]1,0(∈t , и непрерывность )(* tx влекут
)0(
)0()(
lim *
0
x
t
ftf
t
=
∆
−∆
+→∆
. Верны }0{
r
=AKer , EAImAIm =≠ . Ведь из
0)( ≡txt и непрерывности )( ⋅x следует 0)( ≡tx , а для каждой ]1,0[Cy∈
функции =)(tyn )()()()(
]1,(],0[
1
11 tItytItnyn
nn −− +−
, Nn ∈ , принадлежат AIm
и =−
2
nyy =∫
−
−
dttnyn
n 1
0
2
2
12 )( 0)()3(
2
11 →−−
nyn , ∞→n .
Пример 3. Линейное пространство ]1,1[−= ∞
CE с dttytxyx )()(),(
1
0
∫=
состоит из всех бесконечно дифференцируемых функций С→− )1,1( , которые
со всеми производными непрерывно продолжаются на ]1,1[− . Cимметричность
оператора
dt
d
iA = на подпространстве })1()1(:]1,1[{1 xxCxE =−−∈= ∞
мо-
жет быть доказана интегрированием по частям.
2
1
)(0 =ta ,
)sin()(12 tkta k π=− , )(cos)(2 tkta k π= , ]1,1[−∈t , Nk ∈ , – ортонормирован-
ный базис в E . Проверим условия теоремы 6 в 1E .
К.Г. ДЗЮБЕНКО
32 Теорія оптимальних рішень, 2010, № 9
kkkkk iAaaaAa λ== −− ),(),( 212212 , kkkkk iAaaaAa λ−== −− ),(),( 122122 ,
Nk ∈ , и 0),(),(
2121
== nnnn aAaaAa для других 021 , Nnn ∈ ( kk π=λ ,
0Nk ∈ ). Оператор слабо непрерывен на 1E , поскольку для любых 1Ey ∈ и
1}{ Exn ⊂ с 0
r
→nx , ∞→n , верны соотношения
yxdtyxdtyxyxdtyxyAx nnnnnn
&&&& ≤=−== ∫∫∫
−−
−
−
1
1
1
1
1
1
1
1
),( ,
и ),0(0),(lim yAyAxn
n
r
==
∞→
. A не симметричен на всем E : для ttx =)(*
и
2
1
)(0 =ta на ]1,1[− верны 0),(),(2 0*0* =≠= AaxaAxi . Равенство
)1()1( xx =− необходимо для выполнения условий симметричности:
∫∫
−−
≡
1
1
1
1
)()()()( dttyitxdttytxi && при 0ay = влечет ∫
−
=
1
1
0)( dttx& . Соответственно
A не является слабо непрерывным на E : для ttx =)(* ,
∑
=
−+− π−π=
n
k
k
n tkktx
1
111 sin)1(2)( , Nn ∈ , выполнены 0lim * =−
∞→
n
n
xx ,
0),( 0 =aAxn , Nn ∈ , но 02),( 0* ≠= iaAx . ),( 0aAKer ⋅ содержит весь ба-
зис }{ na , но не })({ naE L= , – и не является замкнутым в E .
Доказанные результаты позволяют решать проблемы существования и един-
ственности решений для гораздо более широкого класса моделей, чем ранее. При
этом не требуется полнота пространств и вполне непрерывность операторов.
Теоремы имеют и другие применения.
К.Г. Дзюбенко
ОРТОГОНАЛЬНІ РОЗКЛАДИ ПРОСТОРІВ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ
Доведено теореми про ортогональні розклади канонічних просторів, про неперервність ліній-
них функціоналів, про спряжені оператори, про розв’язність операторних рівнянь.
K.G. Dziubenko
ORTHOGONAL DECOMPOSITIONS OF SPACES AND THEIR APPLICATIONS
Theorems are proved on orthogonal decompositions for canonic spaces, on continuity of linear func-
tionals, on adjoint operators, on operator equations solvability.
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
Теорія оптимальних рішень. 2010, № 9 33
1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального
анализа. – М.: Наука, 1981. – 544 с.
2. Дзюбенко К.Г. Непрерывность линейного функционала и стохастический интеграл //
Теорія оптимальних рішень. – 2009. – № 8. – С. 28 – 35.
Получено 29.03.2010
|