Распараллеливание методов оценки риска банкротства страховой компании
Изучается проблема вычисления вероятности разорения страховой компании на конечном интервале времени. С одной стороны, эта вероятность может быть оценена методом статистических испытаний (МСИ). С другой стороны, вероятность разорения как функция начального капитала и временного интервала удовлетворя...
Saved in:
| Published in: | Теорія оптимальних рішень |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46674 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Распараллеливание методов оценки риска банкротства страховой компании / Б.В. Норкин // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2010. — № 9. — С. 33-39. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859512511021187072 |
|---|---|
| author | Норкин, Б.В. |
| author_facet | Норкин, Б.В. |
| citation_txt | Распараллеливание методов оценки риска банкротства страховой компании / Б.В. Норкин // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2010. — № 9. — С. 33-39. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Теорія оптимальних рішень |
| description | Изучается проблема вычисления вероятности разорения страховой компании на конечном интервале времени. С одной стороны, эта вероятность может быть оценена методом статистических испытаний (МСИ). С другой стороны, вероятность разорения как функция начального капитала и временного интервала удовлетворяет линейному интегральному уравнению (с граничным условием на бесконечности), которое решается методом последовательных приближений (МПП). В работе проводится сравнение эффективности параллельных версий МСИ и МПП, реализованных на кластере из нескольких персональных компьютеров, каждый из которых имеет по два или четыре вычислительных ядра (всего до двадцати ядер).
Досліджується проблема обчислення ймовірності банкрутства страхової компанії на скінченому інтервалі часу. З одного боку, ця ймовірність може бути оцінена методом статистичних випробувань. З іншого – ймовірність банкрутства як функція початкового капіталу та часового інтервалу задовольняє лінійне інтегральне рівняння (з граничними умовами), яке розв’язується за допомогою методу послідовних наближень. У роботі порівнюються ефективності паралельних версій обох методів, реалізовані на кластері з декількох персональних комп’ютерів, кожен з яких має по два або чотири обчислювальні ядра (всього до двадцяти ядер).
Problem of an insurance company ruin probability calculation on a finite time interval is considered. On one hand, this probability can be estimated by Monte Carlo simulation method. On the other hand the ruin probability as a function of initial capital and time interval satisfy some linear integral equation (with boundary conditions), that can be solved by a successive approximation method. In the paper parallel versions of both methods implemented on a cluster of several personal computers having two or four cores (up to twenty cores in total) are compared.
|
| first_indexed | 2025-11-25T17:17:22Z |
| format | Article |
| fulltext |
Теорія оптимальних рішень. 2010, № 9 33
ÒÅÎвß
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÈÕ
вØÅÍÜ
Изучается проблема вычисления
вероятности разорения страхо-
вой компании на конечном интер-
вале времени. С одной стороны,
эта вероятность может быть
оценена методом статистиче-
ских испытаний (МСИ). С другой
стороны, вероятность разорения
как функция начального капитала
и временного интервала удовле-
творяет линейному интегрально-
му уравнению (с граничным усло-
вием на бесконечности), которое
решается методом последова-
тельных приближений (МПП).
В работе проводится сравнение
эффективности параллельных
версий МСИ и МПП, реализован-
ных на кластере из нескольких
персональных компьютеров, каж-
дый из которых имеет по два или
четыре вычислительных ядра
(всего до двадцати ядер).
Б.В. Норкин, 2010
ÓÄÊ 519.85
Á.Â. ÍÎÐÊÈÍ
ÐÀÑÏÀÐÀËËÅËÈÂÀÍÈÅ ÌÅÒÎÄÎÂ
ÎÖÅÍÊÈ ÐÈÑÊÀ ÁÀÍÊÐÎÒÑÒÂÀ
ÑÒÐÀÕÎÂÎÉ ÊÎÌÏÀÍÈÈ1
Введение. Оценка вероятности разорения
страховой компании является важной прак-
тической задачей, но оказывается сложной
теоретической и вычислительной проблемой.
Хотя вероятность разорения в принципе мо-
жет быть оценена МСИ (моделированием
траекторий стохастической эволюции резер-
вов компании), но для оценки малых вероят-
ностей требуется астрономическое число ис-
пытаний. Поэтому в актуарной математике
огромное внимание уделяется аналитическим
и численным методам оценки вероятности
разорения. Известно, что вероятность разо-
рения удовлетворяет некоторым интеграль-
ным уравнениям [1–8]. Одним из общих под-
ходов к их решению является МПП [9–15].
На каждом шаге МПП приходится вычислять
одно или двумерные интегралы по большой
области, это трудоемкая вычислительная
процедура. Интегрирование на каждой ите-
рации можно проводить как по квадратур-
ным формулам, так и методом Монте-Карло.
Поэтому естественно реализовывать методы
МСИ и МПП на параллельных вычислитель-
ных системах (многоядерных вычислитель-
ных машинах и кластерах). МСИ допускает
естественное распараллеливание: отдельные
испытания можно проводить независимо на
разных процессорах. МПП – функциональ-
ный метод простой итерации, поэтому тоже
допускает распараллеливание.
1
Работа поддержана грантом Президента
Украины для молодых ученых
Б.В. НОРКИН
34 Теорія оптимальних рішень. 2010, № 9
В настоящей работе проводится сравнение эффективности параллельных
версий методов МСИ и МПП, реализованных на кластере из нескольких (до де-
сяти) персональных компьютеров, каждый из которых имеет по два или четыре
вычислительных ядра.
В отличие от большинства теоретических работ по вероятности разорения в
настоящей работе проблема риска разорения рассматривается на конечном вре-
менном интервале. Это позволяет изучать проблему разорения при любом соот-
ношении потоков требований и премий, в то время как для бесконечного интер-
вала времени задача имеет нетривиальное решение, только если средние за еди-
ницу времени требования меньше премий. С другой стороны, это приводит к
необходимости рассматривать вероятность разорения как функцию не только от
начального капитала, но и от величины временного интервала. Однако, по
прежнему, функция вероятности неразорения удовлетворяет определенным
двумерным интегральным уравнениям (см., например, [10], формула (6)), и для
ее вычисления применим общий метод последовательных приближений, деталь-
но изученный в [9 – 15]. В рассматриваемом случае конечного временного ин-
тервала дополнительная вычислительная сложность состоит в том, что на каж-
дой итерации приходится вычислять много (по числу узлов сетки) двумерных
интегралов. В этом отношении МСИ значительно проще МПП, однако послед-
ний дает практически недостижимую для первого точность оценки вероятности
разорения.
Постановка задачи. Вероятность ( , )u tϕ неразорения страховой компа-
нии на временном интервале [ ]0, t с начальным резервом u удовлетворяет ин-
тегральному уравнению [10]
( ) ( )
( , )
0 0
( , ) ( , ) , ( , ) 1 ( , )
t U u
u t U u z t dF z F t
τ
ϕ = ϕ τ − − τ τ + − ∞∫ ∫ , (1)
и граничным условиям ( ,0) 1uϕ = , ( , ) 1tϕ +∞ = , где ( , )F z τ – совместная
функция распределения моментов прихода τ и величин страховых требований
z для независимых между собой страховых случаев, ( ,0) 0F z = ; функция
( , )U u τ – решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального урав-
нения
( ), (0)
dU
C U U u
dt
= = , (2)
( )C ⋅ – некоторая неотрицательная функция, выражающая интенсивность по-
полнения резервов страховой компании в зависимости от их текущего наполне-
ния U , 0 ( )C U c≤ ≤ . Здесь c – агрегированная страховая премия, функция
( )C ⋅ имеет смысл управления страховыми резервами. Например,
0, ( ),
( )
, ( ),
U D U
C U
c U D U
≥
=
<
(3)
РАСПАРАЛЛЕЛИВАНИЕ МЕТОДОВ ОЦЕНКИ РИСКА БАНКРОТСТВА СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ
Теорія оптимальних рішень. 2010, № 9 35
где ( )D ⋅ – некоторая монотонно возрастающая функция, называемая ди-
видендным барьером [1]. Если ( , )F z τ имеет плотность ( , )zρ τ , то в (1)
( , )dF z τ заменяется на ( , )z d dzρ τ τ .
Метод последовательных приближений. В общей форме уравнение (1) (и
другие подобные уравнения) может быть записано в виде
,( , ) ( , )u tu t Aϕ = ϕ ⋅ ⋅ , (4)
где ,u tA – соответствующий интегральный оператор. Нетрудно видеть, что опе-
ратор
,u t
A в (1), (2) – сжимающий в следующем смысле:
( )1 2 1 2
0 ,
0
( , ) ( , ) 1 ( , ) sup ( , ) ( , )
x
t T
u t u t F T x t x t
≤ <∞
′≤ ≤
′ ′ϕ − ϕ ≤ − ∞ ϕ − ϕ
для любых ограниченных монотонных (возрастающих по u и убывающих по t )
функций
1 2( , ), ( , )u t u tϕ ϕ , [ )0,u ∈ ∞ , [ ]0,t T∈ .
МПП для решения уравнения (4) имеет вид
1
,( , ) ( , )k k
u tu t A
+ϕ = ϕ ⋅ ⋅ ,
00 ( , ) 1u t≤ ϕ ≤ , 0,1,...k = ,
где 0( , )u tϕ – некоторая начальная функция, нестрого возрастающая по u
и убывающая по t . Данный метод детально изучен в [11, 12]. Если
0( , ) 1u tϕ ≡ ,
то последовательность приближений { }( , )k
u tϕ монотонно убывает и сходится к
решению уравнения сверху, а если
0( , ) 0u tϕ ≡ , то { }( , )k u tϕ монотонно возрас-
тает и сходится к решению снизу. Норма разности между приближениями свер-
ху и снизу дает оценку точности приближенных решений.
На практике вычисления проводятся в некоторой области
{ }max0 ,0u u t t∞≤ ≤ ≤ ≤ такой, что ( , ) 1u tϕ = при u u∞≥ . Если задать функции
( , )kϕ ⋅ ⋅ и
1( , )k+ϕ ⋅ ⋅ значениями в узлах ( , )i ju t двумерной сетки, а в остальных
точках находить их значения путем интерполяции, то значение 1( , )k
i ju t
+ϕ в уз-
ле ( , )i ju t находится по функции ( , )kϕ ⋅ ⋅ независимо от вычислений для других
узлов ( , )i ju t′ ′ путем вычисления двумерных интегралов
( ) ( )( )
( , )
1
0 0
( , ) ( , ) , ( , ) 1 ,
j it U u
k k
i j i j ju t U u z t dF z F t
τ
+ϕ = ϕ τ − − τ τ + − ∞∫ ∫ . (5)
Таким образом, вычисления в МПП можно распараллелить по ( , )
i j
u t , т. е.
на каждой итерации k для различных пар ( , )i ju t вычисления можно проводить
независимо и параллельно, а по завершении итерации все величины
1( , )k
i ju t
+ϕ
собираются в один массив, который затем передается всем вычислительным
Б.В. НОРКИН
36 Теорія оптимальних рішень. 2010, № 9
ядрам для выполнения новой итерации. Для контроля точности решения вычис-
ления проводятся, начиная с 0 1ϕ ≡ и
0 0ϕ ≡ .
Численные эксперименты. Расчеты проводились на мини-кластере DIS-
OPT Института кибернетики, оснащенном процессорами Intel Core2Quad Q9550
для страховой модели с параметрами
( , )U u t u ct= + , ( )( )( , ) 1 1zF z e e− µ −αττ = − − , 0.2α = , 10µ = , 1c = ,
max 50t = , 200u∞ = .
Заметим, что 2 1cαµ = > , поэтому страховая компания с такими парамет-
рами разоряется с вероятностью единица на бесконечном интервале времени
при любом начальном капитале. На рис. 1 показан график, а в табл. 1 – значения
приближения 31( , )u tϕ . Результаты решения уравнения (1) методом (5) на од-
ном, четырех и восьми вычислительных ядрах кластера DISOPT приведены в
табл. 2, а результаты решения той же задачи методом статистических испытаний
на мини-кластере НАУКМА-214, оснащенном процессорами Intel E1400
Core2Duo (всего 20 ядер) – в табл. 3.
РИС. 1. График функции
31( , )u tϕ
ТАБЛИЦА 1. Значения функции
31( , )u tϕ
t\u 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
10 0,26759 0,706627 0,899259 0,968347 0,99083 0,997472 0,999335 0,999832 0,99996 0,99999 0,999997
20 0,130629 0,488484 0,74704 0,888953 0,955795 0,98361 0,994288 0,998107 0,999414 0,999816 0,999947
30 0,076697 0,3438 0,600573 0,784424 0,894728 0,952485 0,979963 0,992015 0,997025 0,998898 0,999637
40 0,048861 0,245944 0,475451 0,673914 0,816032 0,904274 0,953581 0,978807 0,990947 0,996209 0,998639
50 0,033034 0,179616 0,374796 0,568926 0,72831 0,841653 0,913895 0,955927 0,978839 0,990123 0,996095
РАСПАРАЛЛЕЛИВАНИЕ МЕТОДОВ ОЦЕНКИ РИСКА БАНКРОТСТВА СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ
Теорія оптимальних рішень. 2010, № 9 37
ТАБЛИЦА 2. Исследование эффективности распараллеливания МПП
Число
ядер 1 4 4 7 8
Число
итера-
ций
31 31 42 31 31
Точ-
ность
83.0611 10−×
83.0611 10−×
164.4409 10−×
83.0611 10−×
83.0611 10−×
Время,
сек
1704.60 668.10 864.48 407.94 386.02
Метод статистических испытаний состоит в моделировании N траекторий
стохастической эволюции резервов страховой компании на заданном интервале
времени [ ]max0, t для каждого значения начального капитала компании u u∞≤ и
вычислении доли ( , )
N
p u t неразорившихся траекторий к моменту времени
maxt t≤ [2]. Для каждого u распараллеливание состоит в равномерном распре-
делении между вычислительными ядрами N симуляций траекторий процесса. В
процессе параллельного моделирования ядра не общаются, а по завершении мо-
делирования массив траекторий собирается на одном ядре и строится функция
( , )Np u t . Точность метода Монте-Карло может быть оценена с помощью нера-
венства Хефдинга { }
2 2Pr ( , ) ( , ) 2 N
Np u t u t e
− δ− ϕ ≥ δ ≤ , откуда (10
-k
) – довери-
тельная граница для ( , ) ( , )Np u t u t− ϕ имеет вид ( )k Nδ =
( )2 ln10 ln 2k N= + . Значения 0.01-доверительной границы
2( )Nδ при-
ведены в табл. 3.
ТАБЛИЦА 3. Исследование точности МСИ (метода Монте-Карло)
Число испытаний N N=1000 N=10000 N=100000
Достигнутая
точность
0.04 0.015 0.005
Теоретическая
точность
2
( )Nδ
0.1029 0.0326 0.0103
Время, сек 20.19 123.55 1195.9
Выводы. В работе доказана возможность распараллеливания МПП и МСИ
(метода Монте-Карло) для оценки риска (вероятности) разорения страховой
компании. Численные эксперименты проводились на мини-кластерах, состоя-
Б.В. НОРКИН
38 Теорія оптимальних рішень. 2010, № 9
щих из нескольких (до десяти) персональных компьютеров с двумя или че-
тырьмя ядрами каждый. Для МПП время решения задачи (решения двумерного
интегрального уравнения для вероятности неразорения как функции начального
капитала и временного интервала) на восьми ядрах примерно в пять раз меньше,
чем на одном ядре. Для МСИ время решения задачи примерно обратно пропор-
ционально числу ядер. МПП позволяет решать задачу с любой контролируемой
точностью, например, время решения задачи с точностью 10-7 на кластере из
двух машин с процессорами Intel Core2Quad Q9550 (всего восемь ядер) состав-
ляло порядка 6 минут. Подобная точность практически недостижима для МСИ,
например, при числе испытаний 100000 на кластере из десяти машин с процес-
сорами Intel E1400 Core2Duo (всего 20 ядер) была достигнута точность только
35 10−× за время порядка 20 минут.
Б.В. Норкін
РОЗПАРАЛЕЛЮВАННЯ МЕТОДІВ ОЦІНКИ РИЗИКУ БАНКРУТСТВА
СТРАХОВОЇ КОМПАНІЇ
Досліджується проблема обчислення ймовірності банкрутства страхової компанії на скінче-
ному інтервалі часу. З одного боку, ця ймовірність може бути оцінена методом статистичних
випробувань. З іншого – ймовірність банкрутства як функція початкового капіталу та часово-
го інтервалу задовольняє лінійне інтегральне рівняння (з граничними умовами), яке
розв’язується за допомогою методу послідовних наближень. У роботі порівнюються ефекти-
вності паралельних версій обох методів, реалізовані на кластері з декількох персональних
комп’ютерів, кожен з яких має по два або чотири обчислювальні ядра (всього до двадцяти
ядер).
B.V. Norkin
PARALELLIZATION OF METHODS FOR THE ASSESMENT OF THE RISK
OF BANKRAPTCY OF AN INSURANCE COMPANY
Problem of an insurance company ruin probability calculation on a finite time interval is considered.
On one hand, this probability can be estimated by Monte Carlo simulation method. On the other
hand the ruin probability as a function of initial capital and time interval satisfy some linear integral
equation (with boundary conditions), that can be solved by a successive approximation method. In
the paper parallel versions of both methods implemented on a cluster of several personal computers
having two or four cores (up to twenty cores in total) are compared.
1. Gerber H.U. An introduction to mathematical risk theory. – Philadelphia: S. S. Huebner Foun-
dation for Insurance Education, 1979. – 164 p.
2. Beard R.E., Pentikäinen T., Pesonen E. Risk theory. The stochastic basis of insurance. 3-rd edi-
tion. – London, New York: Chapman and Hall, 1984. – 408 p.
3. Леоненко М.М., Мішура Ю.С., Пархоменко Я.М., Ядренко М.Й. Теоретико-ймовірнісні та
статистичні методи в економетриці та фінансовій математиці. – К.: Інформтехніка, 1995.
– 380 с.
4. Assmussen S. Ruin probabilities. – Singapur: World Scientific, 2000. – 385 p.
РАСПАРАЛЛЕЛИВАНИЕ МЕТОДОВ ОЦЕНКИ РИСКА БАНКРОТСТВА СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ
Теорія оптимальних рішень. 2010, № 9 39
5. Бауэрс Н., Гербер Х., Джонс Д., Несбитт С., Хикман Дж. Актуарная математика. – М.:
Янус-К, 2001. – 656 с.
6. Albrecher H., Kainhofer R. Risk theory with a non-linear dividend barrier // Computing. –
2002. – 68. – N 4. – P. 289–311.
7. Albrecher H., Kainhofer R., Tichy R.F. Simulation methods in ruin models with non-linear div-
idend barriers // Mathematics and Computers in Simulation. – 2003. – 62. – P. 277–287.
8. Норкин Б.В. Система интегро-диференциальних уравнений для вероятности банкротства
процесса риска в Марковской среде // Теорія оптимальних рішень. – 2002 – № 1. –
С. 21–29.
9. Норкин Б.В. О методе последовательных приближений для вычисления вероятности бан-
кротства классического процесса риска // Теорія оптимальних рішень. – 2003. – № 2.
– С. 10 –18.
10. Норкин Б.В. Метод последовательных приближений для решения интегральных уравне-
ний теории процессов риска // Кибернетика и системний анализ. – 2004. – № 4.
– C. 61–73.
11. Норкин Б.В. Необходимые и достаточные условия существования и единственности ре-
шений интегральных уравнений страховой математики // Кибернетика и системный ана-
лиз. – 2006. – № 5. – С. 157–164.
12. Норкин Б.В. О решении основного интегрального уравнения актуарной математики ме-
тодом последовательных приближений // Украинский математический журнал. – 2007. –
№ 12, 59. – C. 112–127.
13. Норкин Б.В. О вычислении вероятности банкротства непуассоновского процесса риска
методом последовательных приближений // Проблемы управления и информатики.
– 2005. – № 2. – C. 133–144.
14. Норкин Б.В. Применение метода последовательных приближений для нахождения веро-
ятности неразорения страховой компании при наличии случайных премий // Кибернетика
и системний анализ. – 2006. – № 1. – C. 112–127.
15. Норкин Б.В. Стохастический метод последовательных приближений для оценки риска
неплатежеспособности страховой компании // Кибернетика и системный анализ. – 2008.
– № 6. – С. 116–130.
Получено 15.03.2010
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-46674 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0013 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-25T17:17:22Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Норкин, Б.В. 2013-07-06T06:03:07Z 2013-07-06T06:03:07Z 2010 Распараллеливание методов оценки риска банкротства страховой компании / Б.В. Норкин // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2010. — № 9. — С. 33-39. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. XXXX-0013 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46674 519.85 Изучается проблема вычисления вероятности разорения страховой компании на конечном интервале времени. С одной стороны, эта вероятность может быть оценена методом статистических испытаний (МСИ). С другой стороны, вероятность разорения как функция начального капитала и временного интервала удовлетворяет линейному интегральному уравнению (с граничным условием на бесконечности), которое решается методом последовательных приближений (МПП). В работе проводится сравнение эффективности параллельных версий МСИ и МПП, реализованных на кластере из нескольких персональных компьютеров, каждый из которых имеет по два или четыре вычислительных ядра (всего до двадцати ядер). Досліджується проблема обчислення ймовірності банкрутства страхової компанії на скінченому інтервалі часу. З одного боку, ця ймовірність може бути оцінена методом статистичних випробувань. З іншого – ймовірність банкрутства як функція початкового капіталу та часового інтервалу задовольняє лінійне інтегральне рівняння (з граничними умовами), яке розв’язується за допомогою методу послідовних наближень. У роботі порівнюються ефективності паралельних версій обох методів, реалізовані на кластері з декількох персональних комп’ютерів, кожен з яких має по два або чотири обчислювальні ядра (всього до двадцяти ядер). Problem of an insurance company ruin probability calculation on a finite time interval is considered. On one hand, this probability can be estimated by Monte Carlo simulation method. On the other hand the ruin probability as a function of initial capital and time interval satisfy some linear integral equation (with boundary conditions), that can be solved by a successive approximation method. In the paper parallel versions of both methods implemented on a cluster of several personal computers having two or four cores (up to twenty cores in total) are compared. Работа поддержана грантом Президента Украины для молодых ученых. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Теорія оптимальних рішень Распараллеливание методов оценки риска банкротства страховой компании Розпаралелювання методів оцінки ризику банкрутства страхової компанії Paralellization of methods for the assesment of the risk of bankraptcy of an insurance company Article published earlier |
| spellingShingle | Распараллеливание методов оценки риска банкротства страховой компании Норкин, Б.В. |
| title | Распараллеливание методов оценки риска банкротства страховой компании |
| title_alt | Розпаралелювання методів оцінки ризику банкрутства страхової компанії Paralellization of methods for the assesment of the risk of bankraptcy of an insurance company |
| title_full | Распараллеливание методов оценки риска банкротства страховой компании |
| title_fullStr | Распараллеливание методов оценки риска банкротства страховой компании |
| title_full_unstemmed | Распараллеливание методов оценки риска банкротства страховой компании |
| title_short | Распараллеливание методов оценки риска банкротства страховой компании |
| title_sort | распараллеливание методов оценки риска банкротства страховой компании |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46674 |
| work_keys_str_mv | AT norkinbv rasparallelivaniemetodovocenkiriskabankrotstvastrahovoikompanii AT norkinbv rozparalelûvannâmetodívocínkirizikubankrutstvastrahovoíkompaníí AT norkinbv paralellizationofmethodsfortheassesmentoftheriskofbankraptcyofaninsurancecompany |