О задаче оптимального соотношения между спросом и добавленной стоимостью в моделях Леонтьева
Предложена математическая модель для исследования связи между структурой спроса и добавленной стоимости в статических моделях Леонтьева. Модель сформулирована в форме задачи нелинейного программирования с двумя квадратичными ограничениями равенствами. Показано, что задача имеет единственное решение....
Saved in:
| Published in: | Теорія оптимальних рішень |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46687 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О задаче оптимального соотношения между спросом и добавленной стоимостью в моделях Леонтьева / П.И. Стецюк, Л.Б. Кошлай, А.В. Пилиповский // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2010. — № 9. — С. 136-143. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-46687 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Стецюк, П.И. Кошлай, Л.Б. Пилиповский, А.В. 2013-07-06T06:56:39Z 2013-07-06T06:56:39Z 2010 О задаче оптимального соотношения между спросом и добавленной стоимостью в моделях Леонтьева / П.И. Стецюк, Л.Б. Кошлай, А.В. Пилиповский // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2010. — № 9. — С. 136-143. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. XXXX-0013 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46687 519.8 Предложена математическая модель для исследования связи между структурой спроса и добавленной стоимости в статических моделях Леонтьева. Модель сформулирована в форме задачи нелинейного программирования с двумя квадратичными ограничениями равенствами. Показано, что задача имеет единственное решение. Разработан итерационный алгоритм нахождения этого решения и даны тестовые расчеты для 7-отраслевого баланса c технологической матрицей, построенной М.В. Михалевичем. Запропоновано математичну модель для дослідження зв'язку між структурою попиту та доданої вартості в статичних моделях Леонтьєва. Модель сформульована у формі задачі нелінійного програмування з двома квадратичними обмеженнями-рівностями. Показано, що задача має єдиний розв’язок. Розроблено ітераційний алгоритм знаходження цього розв’язку та наведено тестові розрахунки для 7-галузевого балансу з технологічною матрицею, яку побудував М.В. Михалевич. The mathematical model for investigation of connection between structure of demand and the added cost in static Leontev’s models is suggested. The model is formulated in the form of problem of nonlinear programming with two square restrictions-equalities. It is shown, that the problem has the unique solution. The iterative algorithm of finding of such solution is developed and test calculations for 7-branch balance with technological matrix constructed by M.V.Mikhalevich are given. Работа выполнена при поддержке SNSF (Швейцария), проект № IZ73ZO_127962 "Analysis of Institutional and Technological Changes in Market and Transition Economies on the Background of the Present Financial Crisis" ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Теорія оптимальних рішень О задаче оптимального соотношения между спросом и добавленной стоимостью в моделях Леонтьева Про задачу оптимального співвідношення між попитом та добавленою вартістю у моделях Леонтьєва On the problem of optimal correlation between demand and the added cost in Leontev’s models Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О задаче оптимального соотношения между спросом и добавленной стоимостью в моделях Леонтьева |
| spellingShingle |
О задаче оптимального соотношения между спросом и добавленной стоимостью в моделях Леонтьева Стецюк, П.И. Кошлай, Л.Б. Пилиповский, А.В. |
| title_short |
О задаче оптимального соотношения между спросом и добавленной стоимостью в моделях Леонтьева |
| title_full |
О задаче оптимального соотношения между спросом и добавленной стоимостью в моделях Леонтьева |
| title_fullStr |
О задаче оптимального соотношения между спросом и добавленной стоимостью в моделях Леонтьева |
| title_full_unstemmed |
О задаче оптимального соотношения между спросом и добавленной стоимостью в моделях Леонтьева |
| title_sort |
о задаче оптимального соотношения между спросом и добавленной стоимостью в моделях леонтьева |
| author |
Стецюк, П.И. Кошлай, Л.Б. Пилиповский, А.В. |
| author_facet |
Стецюк, П.И. Кошлай, Л.Б. Пилиповский, А.В. |
| publishDate |
2010 |
| language |
Russian |
| container_title |
Теорія оптимальних рішень |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Про задачу оптимального співвідношення між попитом та добавленою вартістю у моделях Леонтьєва On the problem of optimal correlation between demand and the added cost in Leontev’s models |
| description |
Предложена математическая модель для исследования связи между структурой спроса и добавленной стоимости в статических моделях Леонтьева. Модель сформулирована в форме задачи нелинейного программирования с двумя квадратичными ограничениями равенствами. Показано, что задача имеет единственное решение. Разработан итерационный алгоритм нахождения этого решения и даны тестовые расчеты для 7-отраслевого баланса c технологической матрицей, построенной М.В. Михалевичем.
Запропоновано математичну модель для дослідження зв'язку між структурою попиту та доданої вартості в статичних моделях Леонтьєва. Модель сформульована у формі задачі нелінійного програмування з двома квадратичними обмеженнями-рівностями. Показано, що задача має єдиний розв’язок. Розроблено ітераційний алгоритм знаходження цього розв’язку та наведено тестові розрахунки для 7-галузевого балансу з технологічною матрицею, яку побудував М.В. Михалевич.
The mathematical model for investigation of connection between structure of demand and the added cost in static Leontev’s models is suggested. The model is formulated in the form of problem of nonlinear programming with two square restrictions-equalities. It is shown, that the problem has the unique solution. The iterative algorithm of finding of such solution is developed and test calculations for 7-branch balance with technological matrix constructed by M.V.Mikhalevich are given.
|
| issn |
XXXX-0013 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46687 |
| citation_txt |
О задаче оптимального соотношения между спросом и добавленной стоимостью в моделях Леонтьева / П.И. Стецюк, Л.Б. Кошлай, А.В. Пилиповский // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2010. — № 9. — С. 136-143. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT stecûkpi ozadačeoptimalʹnogosootnošeniâmeždusprosomidobavlennoistoimostʹûvmodelâhleontʹeva AT košlailb ozadačeoptimalʹnogosootnošeniâmeždusprosomidobavlennoistoimostʹûvmodelâhleontʹeva AT pilipovskiiav ozadačeoptimalʹnogosootnošeniâmeždusprosomidobavlennoistoimostʹûvmodelâhleontʹeva AT stecûkpi prozadačuoptimalʹnogospívvídnošennâmížpopitomtadobavlenoûvartístûumodelâhleontʹêva AT košlailb prozadačuoptimalʹnogospívvídnošennâmížpopitomtadobavlenoûvartístûumodelâhleontʹêva AT pilipovskiiav prozadačuoptimalʹnogospívvídnošennâmížpopitomtadobavlenoûvartístûumodelâhleontʹêva AT stecûkpi ontheproblemofoptimalcorrelationbetweendemandandtheaddedcostinleontevsmodels AT košlailb ontheproblemofoptimalcorrelationbetweendemandandtheaddedcostinleontevsmodels AT pilipovskiiav ontheproblemofoptimalcorrelationbetweendemandandtheaddedcostinleontevsmodels |
| first_indexed |
2025-11-27T05:22:27Z |
| last_indexed |
2025-11-27T05:22:27Z |
| _version_ |
1850801473420525568 |
| fulltext |
136 Теорія оптимальних рішень. 2010, № 9
ÒÅÎвß
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÈÕ
вØÅÍÜ
Предложена математическая мо-
дель для исследования связи между
структурой спроса и добавленной
стоимости в статических моделях
Леонтьева. Модель сформулирова-
на в форме задачи нелинейного
программирования с двумя квадра-
тичными ограничениями-
равенствами. Показано, что зада-
ча имеет единственное решение.
Разработан итерационный алго-
ритм нахождения этого решения и
даны тестовые расчеты для 7-
отраслевого баланса c технологи-
ческой мат-рицей, построенной
М.В. Миха-левичем.
П.И. Стецюк, Л.Б. Кошлай,
А.В. Пилиповский, 2010
ÓÄÊ 519.8
Ï.È. ÑÒÅÖÞÊ, Ë.Á. ÊÎØËÀÉ, À.Â. ÏÈËÈÏÎÂÑÊÈÉ
Î ÇÀÄÀ×Å ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÃÎ
ÑÎÎÒÍÎØÅÍÈß ÌÅÆÄÓ ÑÏÐÎÑÎÌ
È ÄÎÁÀÂËÅÍÍÎÉ ÑÒÎÈÌÎÑÒÜÞ
 ÌÎÄÅËßÕ ËÅÎÍÒÜÅÂÀ∗∗∗∗
Введение. Один из выдающихся экономи-
стов, нобелевский лауреат 1973 года, аме-
риканский ученый российского происхож-
дения Василий Васильевич Леонтьев вошел
в историю главным образом как разработ-
чик системы межотраслевых балансов "за-
траты-выпуск" [1]. Инструментом межот-
раслевого анализа служит таблица балан-
сов, подразделяющая экономику на не-
сколько десятков отраслей. В современной
экономике образуются сложные взаимосвя-
зи между различными отраслями, а метод
Леонтьева позволяет представить экономи-
ческую систему в виде набора линейных
производственных функций, описывающих
взаимосвязи ее секторов. Предложенная
Леонтьевым алгебраическая теория анализа
"затраты-выпуск" сводится к системе ли-
нейных уравнений, в которых параметрами
являются коэффициенты затрат на произ-
водство продукции (матрица Леонтьева).
Леонтьев показал, что коэффициенты, вы-
ражающие отношения между секторами
экономики могут быть оценены статисти-
чески, что они достаточно устойчивы и что
их можно прогнозировать. Более того, Ле-
онтьевым было показано существование
наиболее важных коэффициентов, измене-
ния которых необходимо отслеживать в
первую очередь. -
∗Работа выполнена при поддержке SNSF
(Швейцария), проект № IZ73ZO_127962 "Analy-
sis of Institutional and Technological Changes in
Market and Transition Economies on the Back-
ground of the Present Financial Crisis"
О ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СПРОСОМ …
Теорія оптимальних рішень. 2010, № 9 137
Леонтьевские соотношения "затраты-выпуск" использовали в своих иссле-
дованиях многие ученые. Так, например, член-корреспондент НАН Украины
М.В. Михалевич − для моделирования структурно-технологических изменений в
переходной экономике [2, 3], а профессор Г. Бортис [4, 5] – для определения
пропорций между секторами экономики при заданном уровне экономической
активности.
В данной работе авторами сделана попытка определить оптимальное соот-
ношение между спросом и добавленной стоимостью для матрицы Леонтьева.
Структура работы следующая. Вначале даны необходимые сведения о мат-
рице Леонтьева и приведен пример такой матрицы для семиотраслевого баланса,
построенный М.В. Михалевичем. Далее рассмотрены основные балансовые соо-
тношения в модели Леонтьева, проанализированы свойства прямой и двойст-
венной моделей – продуктивность и прибыльность. Затем построена задача не-
линейного программирования, которая объединяет обе вышеуказанные модели
Леонтьева и содержит два нелинейных квадратичных ограничения-равенства.
Показано, что при определенных условиях эта задача имеет единственное реше-
ние и изложен алгоритм нахождения этого решения. Приведены результаты ра-
счетов оптимального соотношения для вектора спроса и вектора добавленной
стоимости на примере матрицы Леонтьева для семи отраслей.
1. Матрица Леонтьева и пример Михалевича. Рассмотрим экономику с n
чистыми отраслями ( каждая отрасль производит один вид продукции и разные
отрасли выпускают разную продукцию). Пусть i , j – номера этих отраслей
( , = 1,i j n ). Обозначим ija величину прямых производственных затрат продук-
ции отрасли i на изготовление единицы продукции отрасли j . (Эта величина
может быть выражена как в натуральном, так и в стоимостном выражении). Ма-
трица = { }
ij
A a называется матрицей Леонтьева (матрицей коэффициентов пря-
мых затрат, матрицей технологических коэффициентов). Матрица A несет ин-
формацию о сложившейся структуре межотраслевых связей, описывает техноло-
П.И. СТЕЦЮК, Л.Б. КОШЛАЙ, А.В. ПИЛИПОВСКИЙ
138 Теорія оптимальних рішень. 2010, № 9
гию работы всех отраслей с единичной интенсивностью.
Рассмотрим пример матрицы Леонтьева для семи отраслей:
0.337 0.139 0.215 0.127 0.146 0.112 0.1960
0.023 0.251 0.179 0.089 0.019 0.131 0.0050
0.163 0.176 0.191 0.097 0.103 0.095 0.0870
= 0.012 0.009 0.157 0.031 0.029 0.026 0.0940
0.009 0.010 0.008 0.226 0.107 0.006 0.0071
0.153 0.121 0.099 0.0
A
31 0.025 0.019 0.0330
0.161 0.193 0.103 0.101 0.095 0.087 0.0910
, (1)
построенной М.В. Михалевичем на основе межотраслевого баланса Украины
2007 года с целью проведения тестовых расчетов для моделей структурно-
технологических изменений в энергоемких отраслях. Результаты расчетов
описаны в [3].
2. Балансовые соотношения в моделях Леонтьева. Пусть
iy и
ix – соот-
ветственно вектор потребления и валовый выпуск i-й отрасли. Эти величины
связаны уравнением межотраслевого баланса:
=1
= , = 1,
n
i ij j i
j
x a x y i n+∑ . (2)
В матричной форме система уравнений (2) имеет вид:
= или = ( )x Ax y y I A x+ − , (3)
где
1= ( , , )T
nx x xK – вектор валового выпуска и
1= ( , , )T
ny y yK – вектор коне-
чного продукта, I – единичная n n× -матрица. Здесь и везде далее T – символ
траспонирования. Здесь выражение Ax интерпретируется как затраты, в силу
чего модель Леонтьева на основе (3) получила название "затраты-выпуск".
Пусть
ip – цена единицы продукта отрасли i , а
ic – добавочная стоимость
(чистый доход от единицы выпуска) в отрасли i . Эти величины связаны урав-
нением межотраслевого баланса для цен:
=1
= , = 1,
n
i ji j i
j
p a p c i n+∑ . (4)
В матричной форме система уравнений (4) имеет вид:
= или = ( )T Tp A p c c I A p+ − , (5)
где
1= ( , , )T
np p pK – вектор цен единичных продуктов отраслей,
1= ( , , )T
nc c cK – вектор чистого дохода на единицу выпуска. Здесь выражение
О ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СПРОСОМ …
Теорія оптимальних рішень. 2010, № 9 139
TA p интерпретируется как вектор суммы издержек на единицу выпуска.
Система (5) называется двойственной к системе (3). Обе системы связывает
следующее равенство:
( )= ( ) = ( ) =
T
T T T T
p y p I A x I A p x c x− − . (6)
Соотношения (3), (5) и вытекающее из них равенство (6) положены в основу
так называемых статических моделей Леонтьева.
3. Cтатические модели Леонтьева и их свойства. Статическая модель Ле-
онтьева "затраты-выпуск" имеет следующую форму:
= ( ) , 0y I A x x− ≥ , (7)
где A – известная матрица Леонтьева, y – известный вектор спроса, x – неиз-
вестный вектор выпуска.
Наличие неотрицательного решения у системы (7) при любом векторе спро-
са означает, что экономика, согласно модели Леонтьева, является продуктивной.
Неотрицательная матрица A – продуктивна, если существует обратная
1( )I A
−− , состоящая только из неотрицательных элементов. Пусть ( )
max
Aλ –
максимальное по модулю собственное число матрицы A . Справедлива следую-
щая теорема.
Теорема 1 [6]. Матрица A продуктивна тогда и только тогда, когда
( ) < 1max Aλ .
Если матрица A – продуктивна, то при любом векторе 0y ≥ система (7)
имеет решение и это решение определяется по формуле
1= ( )x I A y
−− . (8)
Матрицу * 1= ( )A I A
−− называют матрицей полных затрат. Ее можно
представить в форме
* 2=A I A A+ + +K (9)
Теорема 1 фактически означает необходимые и достаточные условия сходи-
мости ряда 2I A A+ + +K к матрице * 1= ( )A I A
−− .
Статическая двойственная модель Леонтьева имеет следующий вид:
= ( ) , 0T
c I A p p− ≥ , (10)
П.И. СТЕЦЮК, Л.Б. КОШЛАЙ, А.В. ПИЛИПОВСКИЙ
140 Теорія оптимальних рішень. 2010, № 9
где A – известная матрица Леонтьева, c – известный вектор добавленной стои-
мости (чистый доход от единицы выпуска), p – неизвестный вектор цен.
Если система (10) при любом 0c ≥ имеет неотрицательное решение
1
= ( , , )T
n
p p pK , то двойственная модель Леонтьева называется прибыльной.
Прибыльность этой модели обеспечивает теорема 1. Свойство прибыльности яв-
ляется двойственным к понятию продуктивности модели (7) в том смысле, что
выполнение одного из свойств влечет справедливость другого. Действительно,
если неотрицательная матрица * 1
= ( )A I A
−− существует, то отсюда следует и
существование неотрицательной матрицы ( )1 1 *( ) = ( ) = ( )
T
T T
I A I A A
− −− − .
Прямая (7) и двойственная (9) модели Леонтьева, либо их аналоги в форме
неравенств, являются основой ряда оптимизационных задач, используемых для
моделирования экономических процессов.
4. Задача с использованием обеих моделей Леонтьева. Пусть вектор
0y ≥ задает не конечный спрос, а лишь его структуру. Положим = 1y , где ⋅
– евклидова норма вектора. Аналогично и для вектора добавленной стоимости
0c ≥ будем предполагать, что = 1c . Рассмотрим задачу нелинейного програ-
ммирования в следующей постановке:
, ,
=max max
T T
p y x c
p y c x (11)
при ограничениях
= ( ) , 0, 0,y I A x x y− ≥ ≥ (12)
= ( ) , 0, 0,T
c I A p p c− ≥ ≥ (13)
= 1, = 1,y c (14)
где неизвестными являются компоненты векторов x , y , p и c . Задача
(11)–(14) состоит в нахождении таких пропорций между структурой конечного
спроса и структурой добавленной стоимости, чтобы максимума достигала неко-
торая величина, которая с точностью до некоторого множителя равняется вало-
вому национальному выпуску.
Задача (11)–(14) является задачей нелинейного программирования. Нели-
нейны в ней целевая функция (11), выражающая связь между прямой и двойст-
венной моделями Леонтьева, и ограничения (14), связанные с нормировками ве-
ктора конечного спроса и вектора добавленной стоимости. Однако, если матрица
О ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СПРОСОМ …
Теорія оптимальних рішень. 2010, № 9 141
A – продуктивна и максимальное собственное число матрицы
*€ ( )T
A A A
∗=
единственное, то задача (11)–(14) имеет единственное решение, обозначим его
*
x ,
*
y ,
*
p ,
*
c . В действительности, для продуктивной матрицы Леонтьева A
имеем неотрицательную матрицу полных затрат * 1= ( )A I A
−− , следствием чего
есть неотрицательность компонент вектора *=x A y при любых 0y ≥ и не-
отрицательность компонент вектора *= ( )T
p A c при любых 0c ≥ . С учетом
этого задачу (11)–(14) для продуктивной матрицы A можно переписать в сле-
дующем виде:
*
,
max
T
y c
c A y (15)
при ограничениях
2 2
=1 =1
= 1, 0, = 1, 0,
n n
i i
i i
y y c c≥ ≥∑ ∑ (16)
где ограничения (14) переформулированы в форме двух квадратичных равенств.
При неотрицательной неособенной матрице *A такой, что €A имеет единст-
венное максимальное собственное число, задача (15), (16) имеет единственное
решение: *
y и
*c . Более того, эта задача решается аналитически при фиксации
только одного из векторов, либо c , либо y . В этих случаях она сводится к зада-
че максимизации линейной функции при единственном квадратичном ограни-
чении-равенстве, что позволяет найти такое аналитическое решение. С учетом
последнего обстоятельства можно построить итеративный алгоритм для нахож-
дения единственного решения задачи (15), (16), а значит и задачи (11)–(14). При
этом последовательно решаются две задачи – задача при фиксированных пере-
менных y , затем задача при фиксированных переменных c (входом для нее
служит оптимальное решение первой задачи). Решение второй задачи служит
входом для первой задачи и процесс повторяется. Такой итерационный метод
оказывается строго монотонным по значению целевой функции (15) и сходится
к единственному решению задачи (15), (16), т. е. к векторам
*y и
*c . Далее, рас-
считывая * * *=x A y и
* * *= ( )T
p A c , получаем полное решение задачи (11)–(14).
П.И. СТЕЦЮК, Л.Б. КОШЛАЙ, А.В. ПИЛИПОВСКИЙ
142 Теорія оптимальних рішень. 2010, № 9
Приведем пример расчета оптимальной структуры добавленной стоимости и
конечного спроса для матрицы A , заданной (1). Для нее ( ) = 0.75374max Aλ
строго меньше единицы; это означает, что матрица A – продуктивна.
Матрице A соответствует следующая матрица полных затрат:
*
2.1022 0.9089 1.0487 0.6874 0.5911 0.5428 0.6541
0.3319 1.6425 0.5823 0.3285 0.1962 0.3399 0.1842
0.6504 0.7036 1.7547 0.4682 0.3899 0.3864 0.3775
= 0.2072 0.2201 0.3777 1.1778 0.1467 0.1404 0.2101
0.0910 0.0979 0.1362 0.3180 1.172
A
7 0.0591 0.0774
0.4633 0.4472 0.4483 0.2549 0.2020 1.2026 0.2169
0.5934 0.6669 0.6073 0.4330 0.3487 0.3490 1.3500
,
для которой максимальное собственное число €A равно 18.105 и является единс-
твенным. Следующее за ним собственное число равно 1.65.
Соответствующие матрице *A оптимальные векторы
*y ,
*x ,
*c и
*p при-
ведены в таблице.
ТАБЛИЦА
*
y
*
y
*x
*x
*c
*c
*
p
*
p
0.5017 19.75 2.6629 25.85 0.6258 25.85 2.1347 19.75
0.4451 17.52 1.4762 14.33 0.3469 14.33 1.8939 17.52
0.4965 19.55 1.9571 19.00 0.4599 19.00 2.1124 19.55
0.3001 11.82 0.8770 8.51 0.2061 8.51 1.2771 11.82
0.2325 9.15 0.5638 5.47 0.1325 5.47 0.9894 9.15
0.2660 10.47 1.1621 11.28 0.2731 11.28 1.1320 10.47
0.2980 11.73 1.6022 15.55 0.3766 15.55 1.2680 11.73
Здесь наряду с оптимальной структурой для каждого из векторов дано про-
центное распределение, которое вычислено по одной и той же формуле для каж-
дого из векторов, например, для вектора *y – по формуле * * *
=1
= ( / )100
n
i i ii
y y y∑
и т. д. Из таблицы легко видеть, что одно и то же процентное соотношение хара-
ктеризует пары векторов
*
y и
*
p ,
*x и
*c . Это свойство выполняется в силу то-
го, что оптимальное решение задачи (15), (16) удовлетворяет условию с∗ ∼ A y∗ ∗ .
О ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СПРОСОМ …
Теорія оптимальних рішень. 2010, № 9 143
В заключение отметим, что с помощью задач нелинейного программирова-
ния, которые получены на основе расширения модели вида (11)–(14) за счет не-
известных компонент матрицы A (матрицы прямых затрат), можно промодели-
ровать процессы структурно-технологических изменений в экономике.
П.І. Стецюк, Л.Б. Кошлай, О.В. Пилиповський
ПРО ЗАДАЧУ ОПТИМАЛЬНОГО СПІВВІДНОШЕННЯ МІЖ ПОПИТОМ
ТА ДОБАВЛЕНОЮ ВАРТІСТЮ У МОДЕЛЯХ ЛЕОНТЬЄВА
Запропоновано математичну модель для дослідження зв'язку між структурою попиту та дода-
ної вартості в статичних моделях Леонтьєва. Модель сформульована у формі задачі неліній-
ного програмування з двома квадратичними обмеженнями-рівностями. Показано, що задача
має єдиний розв’язок. Розроблено ітераційний алгоритм знаходження цього розв’язку та на-
ведено тестові розрахунки для 7-галузевого балансу з технологічною матрицею, яку побуду-
вав М.В. Михалевич.
P.I. Stetsyuk, L.B. Koshlai, O.V. Pylypovskyi
ON THE PROBLEM OF OPTIMAL CORRELATION BETWEEN DEMAND AND THE ADDED
COST IN LEONTEV’S MODELS
The mathematical model for investigation of connection between structure of demand and the added
cost in static Leontev’s models is suggested. The model is formulated in the form of problem of
nonlinear programming with two square restrictions-equalities. It is shown, that the problem has
the unique solution. The iterative algorithm of finding of such solution is developed and test calcula-
tions for 7-branch balance with technological matrix constructed by M.V.Mikhalevich are given.
1. Леонтьев В.В. Избранные произведения. Том 1–3. – М.: Изд-во "Экономика", 2006.
– 2008.
2. Михалевич М.В., Сергиенко И.В. Моделирование переходной экономики. Модели,
методы, информационные технологии. – Киев: Наук. думка, 2005. – 670 с.
3. Сергиенко И.В., Михалевич М.В., Стецюк П.И., Кошлай Л.Б. Модели и информаци-
онные технологии для поддержки принятия решений при проведении структурно-
технологических преобразований // Кибернетика и системный анализ. – 2009. – № 2.
– C. 26–49.
4. Бортис Г. Институции, поведение и экономическая теория. Вклад в классико-
кейнсианскую политическую экономию. – Киев: Изд. дом "'Києво-Могилянська
академія"', 2009. – 598 с.
5. Bortis H. Keynes and the Classics: Notes on the Monetary Theory of Production, in:
Modern Theories of Money. The Nature and Role of Money in Capitalist Economies, Ro-
chon L.-P. and Sergio Rossi (eds.). – 2003. – Edward Elgar: UK, USA. – P. 411–474.
6. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. – М.: Наука, 1984. – 296 с.
Получено 12.05.2010
|