Вибрационные характеристики усталостного повреждения стержневых элементов конструкций
Рассматриваются свободные колебания упругого консольного стержня с краевой закрывающейся трещиной. Трещина моделируется упругим шарниром, податливость которого полагается конечной и определяется исходя из энергетического критерия эквивалентности. Построен алгоритм последовательного расчета собств...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы прочности |
|---|---|
| Дата: | 2002 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2002
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46729 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Вибрационные характеристики усталостного повреждения стержневых элементов конструкций/ А.П. Бовсуновский, В.В. Матвеев // Проблемы прочности. — 2002. — № 1. — С. 52-70. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-46729 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Бовсуновский, А.П. Матвеев, В.В. 2013-07-06T13:51:55Z 2013-07-06T13:51:55Z 2002 Вибрационные характеристики усталостного повреждения стержневых элементов конструкций/ А.П. Бовсуновский, В.В. Матвеев // Проблемы прочности. — 2002. — № 1. — С. 52-70. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46729 620.178; 620.179 Рассматриваются свободные колебания упругого консольного стержня с краевой закрывающейся трещиной. Трещина моделируется упругим шарниром, податливость которого полагается конечной и определяется исходя из энергетического критерия эквивалентности. Построен алгоритм последовательного расчета собственных форм колебаний стержня для каждого из ограниченного числа циклов его колебаний. Показано, что при раскрытии и закрытии трещины возникают также другие формы колебаний стержня, отличные от изначально задаваемой, исследованы особенности их проявления. Выполнен анализ чувствительности вибрационных характеристик повреждения, определяемых на основе оценки нелинейных искажений формы волны перемещения, ускорения и деформации сечений стержня с закрывающейся трещиной. Розглядаються вільні коливання пружного консольного стрижня з крайовою тріщиною, що закривається. Тріщина моделюється пружним шарніром, податливість якого прийнята скінченною і визначається на основі енергетичного критерію еквівалентності. Побудовано алгоритм послідовного розрахунку власних форм для кожного з обмеженого числа циклів коливань стрижня. Показано, що при розкритті і закритті тріщини виникають також інші, відмінні від початково заданої, форми коливань стрижня, досліджено особливості їхнього прояву. Проаналізовано чутливість вібраційних характеристик пошкодження, що визначаються на основі оцінки нелінійних спотворень форми хвилі переміщення, прискорення і деформації перетинів стрижня з тріщиною, що закривається. We analyze free vibrations of a linear cantilever beam with an edge closing crack. A crack is modeled by an elastic hinge whose compliance is considered to be finite and is determined from the criterion of energy equivalence. An algorithm is constructed for sequential calculation of eigenforms for each of the limited number of vibration cycles of a beam. Based on this algorithm, it is shown that at the moments of crack opening and closing new vibration modes are generated, which differ from the starting preset mode, and the regularities in their generation are studied. We performed analysis of sensitivity of dynamic characteristics of damage, which are based on the evaluation of nonlinear distortions of displacement, acceleration, and deformation waveforms for a beam of various cross sections with a closing crack. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Вибрационные характеристики усталостного повреждения стержневых элементов конструкций Dynamic Characteristics of a Fatigue Crack in Bar Elements of Structures Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Вибрационные характеристики усталостного повреждения стержневых элементов конструкций |
| spellingShingle |
Вибрационные характеристики усталостного повреждения стержневых элементов конструкций Бовсуновский, А.П. Матвеев, В.В. Научно-технический раздел |
| title_short |
Вибрационные характеристики усталостного повреждения стержневых элементов конструкций |
| title_full |
Вибрационные характеристики усталостного повреждения стержневых элементов конструкций |
| title_fullStr |
Вибрационные характеристики усталостного повреждения стержневых элементов конструкций |
| title_full_unstemmed |
Вибрационные характеристики усталостного повреждения стержневых элементов конструкций |
| title_sort |
вибрационные характеристики усталостного повреждения стержневых элементов конструкций |
| author |
Бовсуновский, А.П. Матвеев, В.В. |
| author_facet |
Бовсуновский, А.П. Матвеев, В.В. |
| topic |
Научно-технический раздел |
| topic_facet |
Научно-технический раздел |
| publishDate |
2002 |
| language |
Russian |
| container_title |
Проблемы прочности |
| publisher |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Dynamic Characteristics of a Fatigue Crack in Bar Elements of Structures |
| description |
Рассматриваются свободные колебания упругого консольного стержня с краевой закрывающейся
трещиной. Трещина моделируется упругим шарниром, податливость которого
полагается конечной и определяется исходя из энергетического критерия эквивалентности.
Построен алгоритм последовательного расчета собственных форм колебаний стержня для
каждого из ограниченного числа циклов его колебаний. Показано, что при раскрытии и
закрытии трещины возникают также другие формы колебаний стержня, отличные от
изначально задаваемой, исследованы особенности их проявления.
Выполнен анализ чувствительности вибрационных характеристик повреждения, определяемых
на основе оценки нелинейных искажений формы волны перемещения, ускорения и
деформации сечений стержня с закрывающейся трещиной.
Розглядаються вільні коливання пружного консольного стрижня з крайовою
тріщиною, що закривається. Тріщина моделюється пружним шарніром, податливість
якого прийнята скінченною і визначається на основі енергетичного
критерію еквівалентності.
Побудовано алгоритм послідовного розрахунку власних форм для кожного з
обмеженого числа циклів коливань стрижня. Показано, що при розкритті і
закритті тріщини виникають також інші, відмінні від початково заданої,
форми коливань стрижня, досліджено особливості їхнього прояву.
Проаналізовано чутливість вібраційних характеристик пошкодження, що
визначаються на основі оцінки нелінійних спотворень форми хвилі переміщення,
прискорення і деформації перетинів стрижня з тріщиною, що
закривається.
We analyze free vibrations of a linear cantilever
beam with an edge closing crack. A crack is
modeled by an elastic hinge whose compliance
is considered to be finite and is determined
from the criterion of energy equivalence. An algorithm
is constructed for sequential calculation
of eigenforms for each of the limited
number of vibration cycles of a beam. Based on
this algorithm, it is shown that at the moments
of crack opening and closing new vibration
modes are generated, which differ from the
starting preset mode, and the regularities in
their generation are studied. We performed analysis
of sensitivity of dynamic characteristics of
damage, which are based on the evaluation of
nonlinear distortions of displacement, acceleration,
and deformation waveforms for a beam of
various cross sections with a closing crack.
|
| issn |
0556-171X |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46729 |
| citation_txt |
Вибрационные характеристики усталостного повреждения стержневых элементов конструкций/ А.П. Бовсуновский, В.В. Матвеев // Проблемы прочности. — 2002. — № 1. — С. 52-70. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT bovsunovskiiap vibracionnyeharakteristikiustalostnogopovreždeniâsteržnevyhélementovkonstrukcii AT matveevvv vibracionnyeharakteristikiustalostnogopovreždeniâsteržnevyhélementovkonstrukcii AT bovsunovskiiap dynamiccharacteristicsofafatiguecrackinbarelementsofstructures AT matveevvv dynamiccharacteristicsofafatiguecrackinbarelementsofstructures |
| first_indexed |
2025-11-27T08:09:53Z |
| last_indexed |
2025-11-27T08:09:53Z |
| _version_ |
1850807718593429504 |
| fulltext |
УДК 620.178; 620.179
Вибрационные характеристики усталостного повреждения
стержневых элементов конструкций
А. П. Бовсуновский, В. В. М атвеев
Институт проблем прочности НАН Украины, Киев, Украина
Рассматриваются свободные колебания упругого консольного стержня с краевой закры
вающейся трещиной. Трещина моделируется упругим шарниром, податливость которого
полагается конечной и определяется исходя из энергетического критерия эквивалентности.
Построен алгоритм последовательного расчета собственных форм колебаний стержня для
каждого из ограниченного числа циклов его колебаний. Показано, что при раскрытии и
закрытии трещины возникают также другие формы колебаний стержня, отличные от
изначально задаваемой, исследованы особенности их проявления.
Выполнен анализ чувствительности вибрационных характеристик повреждения, определя
емых на основе оценки нелинейных искажений формы волны перемещения, ускорения и
деформации сечений стержня с закрывающейся трещиной.
К л ю ч е в ы е с л о в а : консольный стержень, изгибные колебания, трещина уста
лости, собственная частота и форма, закрывающаяся трещина, механика
разрушения, гармонический анализ.
Введение. Некоторые механические конструкции в реальных условиях
эксплуатации подвергаются совместному или раздельному действию дина
мической нагрузки, температуры и агрессивной среды, что приводит к
возникновению усталостных и термоусталостных трещин, коррозионному
растрескиванию и другим видам повреждений. Непосредственное визуаль
ное обнаружение таких повреждений во многих случаях затруднено или
невозможно, а использование локальных неразрушающих методов требует
больших затрат времени и зачастую оказывается неэффективным.
Перспективным в этой связи является использование вибрационных
методов диагностики повреждения, основанных на взаимосвязи вибраци
онных характеристик (например, собственные частоты [1 3] и формы [4]
колебаний) или особенностей поведения нелинейной колебательной систе
мы (например, нелинейные искажения волны колебаний [5 8 ], возникнове
ние суб- и суперрезонансных колебаний [7 9], смещение антирезонансных
частот [10]) с параметрами (размеры и местоположение) повреждения.
Анализ изменения вибрационных характеристик реальных конструкций
при возникновении повреждения - сложная задача. Однако она значительно
упрощается, если конструкцию или ее элементы с достаточной для инженер
ной практики точностью представить в виде стержневой колебательной
системы с краевыми условиями и условиями нагружения, близкими к реаль
ным.
Особое внимание во многих работах уделяют конструкциям, при вибра
ции которых трещина открыта на одном полуцикле колебаний и закрыта на
другом. Такая трещина называется закрывающейся и обусловливает сущест-
© А. П. БОВСУНОВСКИЙ, В. В. МАТВЕЕВ, 2002
52 Й'ОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2002, N 1
Вибрационные характеристики усталостного повреждения
венную нелинейность колебательной системы. Оценка этой нелинейности
позволяет расширить круг возможных вибрационных характеристик повреж
дения (ВХП).
Наиболее просто характеристики колебаний какого-либо стержневого
элемента определяются в предположении, что трещина не изменяет его
форму колебаний. Это позволяет при заданной форме колебаний элемента
рассматривать его как систему с одной степенью свободы [11]. Получаемое в
этом случае решение, строго говоря, справедливо при относительно малой
глубине трещины.
Ранее [12] получено решение задачи об изгибных колебаниях консоль
ного стержня с закрывающейся трещиной для первого цикла колебаний и
показано, что при раскрытии трещины возникают и другие, отличные от
изначально задаваемой, собственные формы колебаний стержня. Такой под
ход к решению задачи позволяет рассматривать не только первый, но и
последующие циклы колебаний. Задача настоящей работы состояла в по
строении алгоритма расчета собственных форм колебаний стержня на каж
дом из ограниченного числа циклов колебаний, исследовании на его основе
особенностей возникновения сопутствующих форм колебаний и сравни
тельной оценке чувствительности ряда ВХП. В качестве ВХП рассмотрены
собственные частоты и формы колебаний, уровень нелинейных искажений
формы волны перемещения, ускорения и деформации.
М етодика расчета. Решение задачи об изгибных колебаниях стержня с
закрывающейся краевой трещиной строится на основе синтеза решений
дифференциальных уравнений, описывающих свободные поперечные коле
бания стержня Бернулли-Эйлера без трещины и с открытой трещиной [12].
Полуцикл колебаний при закрытой трещине описывается уравнением
у (х , *) = 2 w i (х)( р 81п т ̂ + с о 8 т ̂ ̂ (1)
/=1
где w i (х ), т - соответственно собственные формы и угловые частоты
колебаний стержня; Р^, Я- коэффициенты, подлежащие определению; i -
номер формы колебаний.
На полуцикле колебаний, когда трещина открыта, стержень модели
руется двумя стержнями, соединенными между собой упругим шарниром,
имеющим некоторую угловую податливость и расположенным на рассто
янии Ьт от заделки (рис. 1). Этот полуцикл колебаний описывается уравне
нием
У т] ( х , 1) = 2 (х )(Р т- ^ т О^ + Я т- с08 т o it) , (2)
-=1
где (х ) собственные формы колебаний стержня на ]-м участке ( ] = 1, 2 );
т о - собственные угловые частоты колебаний стержня с открытой трещи
ной; Рт-, Я т- - коэффициенты, подлежащие определению.
ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2002, № 1 53
А. П. Бовсуновский, В. В. Матвеев
Рис. 1. Схема консольного стержня с краевой закрывающейся трещиной.
Краевые условия для угла поворота в у (x ), изгибающего момента
M у (x ) и поперечной силы Q у (x ) и условия сопряжения участков стержня
имеют вид
M ii(L) = I ma 2 k ы [A 11V (k ofL) + B n S (k oiL ) + С n T (k oiL) + D n U (k oiL)];
Qii(L) = -m L a 2 [AiiS(k oiL ) + B n T (k oiL) + C n U (k oiL) + D n V (k ofL)];
wn (Lт) = w,2 (Lт); в й (Lт) - в i2 (Lт) = дт M n (LT); M n (Lт) = M , 2 (Lт);
Q ii( Lт) = Q i 2 ( L J ; Wi 2 (0) = 0; в i 2 (0 ) = 0 ,
где k Oi = a ̂ p F / E I ; д т - изменение податливости сечения с трещиной; L -
длина стержня; E , p соответственно модуль упругости и плотность мате
риала стержня; I , F соответственно момент инерции и площадь попереч
ного сечения стержня; mL масса груза на конце стержня; I m момент
инерции массы; S , T , U , V - функции Крылова.
Частотное уравнение, определяющее собственные частоты колебаний
стержня с открытой трещиной, запишем следующим образом:
и (Si) -q o V (Si) V (Si) - qo S (Si) S (S i) - qoT (S i) T (Si) - qoU (Si) 0 0
T (S i) + g o S (S i) U (Si) + g oT (Si) V (Si) + g oU (Si) S (Si) + g oV (Si) 0 0
S (V i) T (Vi) u (V i) V (Vi) - S (Vi) -T (Vi)
V (Vi) -roU (V i) S (V i) - roV (Vi) T (V i) - roS (Vi) U (V i) - r0T (Vi) -T (Vi) - u (Vi)
U (Vi) V (V i) S (Vi) T (V i) - S (Vi) -T (Vi)
T (V i) U (Vi) V (V i) S (Vi) -V (Vi) - S (V i)
= 0, (3)
где <р; = к ЫЦ -ф; = ЬТ<р; / Ц ц 0 = 1 т <р • / р Р Ь ъ ; g о = 1 / р р ц г0 =
= £7<5 т ̂ , / Ц
Изменение податливости упругого шарнира определялось с использо
ванием подходов линейной механики разрушения и энергетических соотно
шений [13]:
д т (У) =
8,82[(1 у ) 6 - 3 ( 1 - у ) 2 + 2 ]
( 1 - у ) 2 b h 2E '
(4)
54 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2002, № 1
Вибрационные характеристики усталостного повреждения
Здесь у = а / И - относительная глубина трещины, где а - глубина трещины;
И - высота поперечного сечения. При выводе формулы (4) использовано
выражение для определения коэффициента интенсивности напряжений
(КИН) при изгибе полосы с боковым вырезом, предложенное Черепановым
[14]:
4,2 М 3 3 1/2
К = 7 7 Ж [ ( 1 - У ) - (1 - У)3 ]1/2. (5)
ЬН
Заметим, что результаты расчетов собственных частот и форм (до пятой
включительно) колебаний консольного стержня с представленной выше
моделью трещины в виде упругого шарнира и с более сложной моделью в
виде короткой секции с уменьшенным моментом инерции сечения [12]
оказались практически одинаковыми. В обоих случаях для оценки обуслов
ленного наличием трещины изменения потенциальной энергии деформации
стержня использовали выражение (5).
Выбор выражения для определения КИН влияет на результаты расчета
собственных частот и форм колебаний по причине различия значений КИН,
вычисленных по разным формулам. Например, различие между значениями
КИН, определенными по формуле (4) из [15] и по формуле (5), достигает
13,2%. Таким образом, адекватность моделирования колебаний стержня с
трещиной при использовании энергетического подхода зависит не столько
от типа модели трещины, сколько от выбора выражения для КИН. В насто
ящей работе предпочтение отдано выражению (5), что обоснованно ранее
[12].
Допустим, что на первом и последующих нечетных полуциклах колеба
ний трещина закрыта (п = 1, 3, 5, ...), а на четных - открыта (п = 2, 4, 6 , ...).
Начальные условия для перемещения, скорости, угла поворота и скорости
изменения угла поворота сечений стержня на 1-м полуцикле колебаний
(п = 1) в момент времени tl = 0 приняты соответственно следующими:
У 1 ( х ) = 0; V 1 ( х ) = ю ^ : , (х ); ^ ( Ь) = 0; [д ^ ( Ь, г ) / дг ]^=° = т ЬВ 8 (Ь), где 5 - но
мер начальной задаваемой (исходной) формы колебаний. Другие формы
колебаний (г Ф 5), возникающие в момент открытия или закрытия трещины,
назовем сопутствующими. При указанных начальных условиях Р 15 = 1 и
Р1, ш = ^ 1, ш °
На четных полуциклах колебаний коэффициенты Р п тг и Я п тг опреде
ляются по формулам
Р =П.Ті —Г
/ т ^ 2 (х )& + / ^ 2і ( х Ц х + т ^ і і ( Ь) + І тв 2і (Ь)
(6 )
о Ьт
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2002, № 1 55
А. П. Бовсуновский, В. В. Матвеев
П = .п п,т,
Ш 0
— г
/ т н ,2 (х )^х + / У х + т ^ 1 ( Ь ) + 1 т в 21(V)
(7)
+
где т = р Е интенсивность массы стержня;
Ьт V
в п,1 = / т Уп-1(х Н ' 2 (х Мх + / т Уп-1(х )н ,1(х Мх
0 Ьт
+ тьУ п-1(Ь )н ,1( Ь) + ^ в п-1( Ь)в Л (Ь )
С п,2 = / т ^п-1( х Н '2 (х Мх + / т ^п-1( х )н ,1( х ¥ х +
дв п—1( L , )
+ тьУ п-1( Ь )н ц ( Ь ) + 1„
дt
в п ( V)
при соответствующих начальных условиях
Уп-1(х) = 2 н ( х )(р п - и 81п Ш ̂ п + п п - м сов Ш л );
'=1
X
v n-1( х ) = Н (х )(Р п -1 , С08 Ш Л - Пп-1,1 ^ п Ш Л );
,=1
X
в п-1( Ь) = 2 в ' (Ь)( Р п-\,1 ^ Ш Л + Пп-1,1 С08 Ш Л );
дв п—1(4 t)
,=1
дt tn ,=1
определяемых в моменты времени, когда упругая линия исходной формы
колебаний стержня переходит через нейтральное положение:
(8)
На третьем и последующих нечетных полуциклах колебаний (п = 3, 5,
7, ...) коэффициенты Р п, и Пп • определяются по формулам
56 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2002, № 1
0 ЬI
п
Вибрационные характеристики усталостного повреждения
Р =
т і в п з вшт і і п + Є п 4 соет
т .
К , і =
/ т м і (х )іїх + ть ж і (Ь) + 1 т в 2 (Ь)
т і в Пзз віпт ііп — С п ,4 совт { гп
(9)
Ь
/ т м І (х)№х + т ьм ] (Ь) + 1т в ] (Ь)
(10)
где
С п,3 = / т Уп—1,] (х )м і (х )№х + тьУ п-1] (Ь)м і (Ь) + 1 т в п-1,] (Ь)в і (Ь )
д в п—1, ] (Ь , г)
С п,4 = / т у п—1,] ( х )м і (х )№х + тЬУп -1 ] (Ь)М (Ь) + 1 т дг
в і (Ь)
при соответствующих начальных условиях
Ун—1,у (х ) ^у ,у (х)(Рн—1,тг ^ ог'̂ н Я н—1,тг со® ̂ о/^н )?
і=1
Уп—1,] (х ) = ^ т оім і] (х )(Рп—1,ті с08 т о ігп — Пп—1,ті ^ п т оігп );
і=1
X
в п—1,](Ь) в і] (Ь)(Рп—1,ті віпт оігп + Пп—1,ті с 0 в т оігп );
дв п—1, ] (Ь ,г)
і=1
дг = Х т оів ] (Ь)( Р п—1,ті с08 т оігп — Пп—1,ті ^ п т о Л X
определяемых в моменты времени
п — 11 л л
гп = I +2 \ 0 8 т 0S /
(11)
Коэффициенты Р и Я, а также усредненные по N (четное число)
циклам колебаний их значения представим следующим образом:
Н = і Р 2 + п 2 • и = I р 2 + п 2 ,Н п,і у р п,і + п п,і ; Н п,ті Д/р п,ті + п п,ті ; ( 1 2 )
о
о
о гп
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2002, № 1 57
А. П. Бовсуновский, В. В. Матвеев
N -1 N
Н = 2 ; И Т1 = 2 н п ̂ . (13)
п=2,4,...п=1,3,...
Помимо коэффициентов (12) определяли также их максимальные и
минимальные значения за N циклов колебаний: НЩТ*, Н™ п , НЩТХ, НЩтП ■
Оценка ограничения, наклады ваемого расчетной методикой на
величину глубины трещ ины. Алгоритм расчета построен в предположе
нии, что на соответствующих полуциклах колебаний трещина либо посто
янно открыта, либо закрыта. В то же время при возникновении значи
тельных амплитуд сопутствующих форм колебаний момент открытия или
закрытия трещины может наступить раньше момента времени гп, когда
сечение с трещиной оказывается в нейтральном положении. В этом случае
алгоритм расчета в представленном виде использовать нельзя. Критерием
оценки диапазона его применимости служит фактор изменения знака изги
бающего момента в сечении с трещиной:
1=1
д (х )
дх 2
(14)
х= Ь
М Пт( Ь^ г) = 2
I =1
д У 11( х )
дх 2
(Р п,т вШ ® 01г + К п,т С° 8 ® 01г). (15)
х=Ьт
Значения параметров трещины, при которых начинает происходить
изменение знака изгибающего момента, определяют границы применимости
алгоритма расчета. Заметим, что предложенный подход может быть рас
пространен также на случай, когда трещина либо открывается на нечетных
полуциклах, либо закрывается на четных, однако, очевидно, что при этом
процедура построения решения усложнится.
В работе [16] показано, что при увеличении гибкости стержня, опре
деляемой отношением Ь / И, происходит снижение чувствительности собст
венных частот колебаний стержня к размеру трещины. Поэтому при рас
четах принято наименьшее отношение Ь / И = 20, которое позволяет оста
ваться в рамках теории Бернулли-Эйлера с достаточной точностью.
В табл. 1 приведены значения относительной глубины трещины, кото
рые представляют собой верхнюю границу применимости расчетной модели
для трех форм колебаний консольного стержня (Ь / И = 20; Ьт / Ь = 0,1;
Ь / И = 1; ть = 0). Эти значения использовались при вычислениях амплитуд
исходной и сопутствующих форм колебаний указанного стержня. Результаты
вычислений свидетельствуют о том, что каждый полуцикл колебаний стерж
ня с закрывающейся трещиной характеризуется неповторяющимся набором
соотношений амплитуд исходной и сопутствующих форм колебаний и что
амплитуды сопутствующих форм могут достигать значительных величин.
58 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2002, № 1
Вибрационные характеристики усталостного повреждения
При местоположении трещины Ьт / Ь = 0,5 амплитуды сопутствующих форм
колебаний стержня при верхних пределах относительной глубины трещины
(у = 0,43 для первой формы колебаний, у = 0,68 для второй, у = 0,30 для
третьей) ниже, чем в случае Ьт / Ь = 0,1, и в работе не приведены.
Т а б л и ц а 1
Коэффициенты исходной и сопутствующих форм колебании
консольного стержня (Ьт / Ь = 0,1)
а / к £ і Н тіп / н тіл
н п,і н п, ті Н / н ті Н тах / н тах
н п,і ' н п, ТІ
0,53 1 1 0,969/0,754 0,985/0,765 1,000/0,778
2 0/0,016 0,141/0,106 0,231/0,167
3 0/0,002 0,036/0,031 0,063/0,054
0,54 2 1 0/0,020 0,223/0,156 0,437/0,279
2 0,782/0,569 0,921/0,644 1,000/0,694
3 0/0,071 0,175/0,142 0,380/0,299
0,48 3 1 0/0,004 0,210/0,162 0,367/0,272
2 0/0,005 0,203/0,158 0,437/0,342
3 0,818/0,695 0,913/0,778 1,000/0,850
Интересным представляется вопрос о причинах возникновения сопут
ствующих форм колебаний. Поскольку возможное соударение берегов тре
щины не учитывается при моделировании колебаний стержня с трещиной,
оно не может быть источником возбуждения различных форм колебаний.
Анализ выражений (6 ), (7) и (9), (10), определяющих амплитуды всех
возникающих форм колебаний, приводит к выводу, что механизмом возник
новения сопутствующих форм колебаний является нелинейный характер
колебаний стержня при возникновении в нем закрывающейся трещины.
Начальный строго гармонический характер колебаний неповрежденного
стержня нарушается при возникновении трещины, и уровень нелинейных
искажений колебательного процесса увеличивается по мере ее роста. Этим
объясняется тот факт, что величина амплитуд сопутствующих форм коле
баний прямо пропорциональна глубине трещины.
При наличии сопутствующих колебаний моменты времени, когда сече
ние с трещиной находится в нейтральном положении, строго говоря, не
будут совпадать с соответствующими моментами времени, определяемыми
по формулам (8) и (11). В диапазоне относительных глубин трещины
0 < у < 0,25 влияние этого фактора на коэффициенты (12) мало и им можно
пренебречь. Однако численная реализация расчетной модели предусматри
вает вычисление действительных моментов времени, в которые задаются
начальные условия для последующих полуциклов колебаний.
Ранее на основе сопоставления результатов расчета с экспериментом
показано, что предложенная расчетная методика позволяет с достаточной
точностью прогнозировать изменение собственных частот [12] и форм [17]
колебаний консольного стержня с трещиной усталости. Кроме того, при
проведении экспериментальных исследований [12, 17] наблюдались пред
сказанные расчетом явления: возникновение сопутствующих форм коле
баний и неповторяющийся набор высших форм колебаний на каждом полу-
ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2002, № 1 59
А. П. Бовсуновский, В. В. Матвеев
цикле. Последнее обстоятельство обусловило необходимость усреднения
результатов оценки нелинейных искажений формы волны деформации и
ускорения за 100 400 циклов колебаний при использовании эксперимен
тальной методики гармонического анализа [18]. Таким образом, предло
женная расчетная методика адекватно описывает колебания консольного
стержня с закрывающейся трещиной.
Отметим также, что экспериментальные исследования образцов с тре
щинами усталости [12] позволили обнаружить, что процесс возникновения
сопутствующих форм колебаний зависит от амплитуды колебаний (законо
мерность не установлена) и от точности настройки частоты вынуждающей
силы на собственную частоту колебательной системы.
Результаты расчетов. Расчеты выполнены для диапазона относитель
ных глубин трещины 0 < у < 0,25, который является наиболее интересным с
практической точки зрения. В этом диапазоне пределы изменения амплитуд
колебаний по каждой из пяти исследованных собственных форм и усред
ненные за N циклов значения амплитуд достаточно быстро сходятся к
определенным значениям (стабилизируются), т.е. процесс колебаний явля
ется устойчивым. Этот вывод иллюстрируется результатами расчетов коэф
фициентов Н п1 и Н п т1- и их усредненных значений (13) для первой
(исходной) и двух сопутствующих форм колебаний консольного стержня
(Ь / И = 20; Ьт / Ь = 0 ,1; а / И = 0 , 25; шь = 0) с максимальной рассматриваемой
глубиной трещины (табл. 2). Как видно , уже после 25-го цикла колебаний
пределы изменения коэффициентов Н п 1 и Н п т1-, как и их усредненные
значения, остаются практически постоянными. Отклонение коэффициентов
Н п з и Н п для первой формы колебаний от усредненного значения в
табл. 2 не приведено, поскольку оно не превышает 0 ,0 2 % (заметим, что это
отклонение в случае, когда исходной являются вторая и третья формы
колебаний, соответственно составляет 0,17 и 0,22%).
Т а б л и ц а 2
Коэффициенты первой и сопутствующих форм колебаний
консольного стержня (а/ к = 0,25, Ьт / Ь = 0,1)
N ,
цикл
я = 1 і = 2 і = 3
И , / И тя ГТ ШІП / гт ШІП
Н п, і / Н п,ті Н ІІН ті и шах / и шах
Н п,і / Нп,ті гт ШІП І гт ШІП
Н п,і / Н п,ті Н ІІН ті н шах / н шах
н п,і / н п,ті
1
5
25
50
100
200
1,0/0,957
1,0/0,957
1,0/0,957
1,0/0,957
1,0/0,957
1,0/0,957
0/0
0/0,005
0/0,002
0/0,002
0/0,002
0/0,002
0/0,008
0,008/0,010
0,009/0,010
0,009/0,010
0,009/0,010
0,009/0,010
0/0,008
0,014/0,015
0,015/0,015
0,015/0,015
0,015/0,015
0,015/0,015
0/0
0/0,001
0/0,001
0/0,001
0/0,001
0/0,001
0/0,001
0,004/0,005
0,007/0,007
0,007/0,006
0,007/0,006
0,007/0,006
0/0,001
0,008/0,008
0,011/0,010
0,011/0,010
0,011/0,010
0,011/0,010
Поэтому в исследуемом диапазоне относительных глубин трещины
можно ограничиться рассмотрением 1-го цикла колебаний, поскольку
амплитуда 1-го цикла исходной формы колебаний отличается от амплитуд
последующих циклов не более чем на 0,22%. Кроме того, при таких
условиях можно пренебречь влиянием сопутствующих форм колебаний на
60 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2002, № 1
Вибрационные характеристики усталостного повреждения
рассматриваемые вибрационные характеристики в силу малости их ампли
туд как на 1-м, так и на последующих циклах. Следовательно, выражения (1)
и (2 ) для определения перемещения различных сечений стержня преобра
зуются к виду
у ( х , I) = w s ( х ) зш о ̂ ; (16)
У ту (* , І) = (Л ) ( вШ Ш osІ + Я тs соэ Ш о / ). (17)
Максимальные отклонения оси стержня от его нейтрального положения
на разных полуциклах определяются следующим образом:
тах с \ с \
у (* ) = ^ (* );
у таХ(* ) = (*Л Ртз соэ — п - Я та вш-
•' •' \ Ш „ Ш
-п
s I
(18)
(19)
Волна деформации на поверхности стержня описывается выражениями
[12]
(2 0 )
£ т (*, І) = / е (* ,У)М у (*)(Рта ЭШ Ш ОІІ + Я та соэ Ш оі і), (2 1 )
где функция / е (х ,у ) учитывает влияние трещины на распределение дефор
маций по поверхности стержня со стороны трещины и на противоположной
стороне [12].
Поскольку рассматриваемые временные функции являются периоди
ческими, для определения уровня их нелинейных искажений можно исполь
зовать Фурье-анализ:
(2 2 )
к=1
7 2 2 л а ка к + Ьк ; А к = агС^ — ; о - угловая частота колебаний стержня
Ьк
с закрывающейся трещиной по исходной форме [12];
а к
Шт
п
2 3
I / (* , і )соэ кш Т8ій і + I / т ( * , і )соэ кш Т8ій і к = 0 , 1, 2 ,...; (23)
ь к =
Шт
п
2 3
I / (* ,і ) э т кШ Т8ій і + I / т(* , і ) э т кШ Т8ійі к = 1, 2, 3 (24)
І І2
І 2
ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2002, № 1 61
А. П. Бовсуновский, В. В. Матвеев
Моменты времени t \ , 12 и 13 определяются формулами (8) и (11).
Функции f (х , t ) и f T( x , t ) в (23) и (24) определяются для волны переме
щения соответственно выражениями (16) и (17), для волны ускорения -
второй производной выражений (16) и (17) по времени, для волны дефор
мации - уравнениями (2 0 ) и (2 1 ).
Уровень нелинейных искажений формы волны перемещения, ускорения
и деформации оценивали так называемым коэффициентом гармоник [19]:
20
Х = 2 A k / A 1- (25)
k=2
При его вычислении ограничивались определением амплитуд 20 гармо
ник, поскольку дальнейшее увеличение их числа не приводит к сущест
венному изменению величины коэффициента гармоник.
Заметим, что поскольку каждый полупериод колебаний стержня с за
крывающейся трещиной характеризуется своим неповторяющимся набором
амплитуд сопутствующих колебаний, то в случаях, когда эти амплитуды
достигают значительных величин, что возможно при больших относитель
ных глубинах трещины, соответствующие функции, описывающие волны
перемещения, ускорения и деформации, будут существенно непериодичес
кими. К таким функциям неприменим Фурье-анализ, и для анализа их
нелинейных искажений требуются другие подходы.
Геометрические характеристики стержня таковы: L / h = 20; Ьт / L = 0,1
либо Lj. / L = 0,5. Относительная глубина трещины варьируется в диапазоне
0 < а / h < 0,25. Масса на конце стержня m l и ее момент инерции I m при
няты равными нулю. Модуль упругости и плотность материала стержня, а
также отношение b / h не оказывают влияния на относительное изменение
рассматриваемых ВХП (при расчетах их значения принимались следующи
ми: E = 200 ГПа; р = 7800 кг/м 3; b / h = 1).
Ниже представлены результаты исследований наиболее чувствительных
к повреждению вибрационных характеристик: коэффициент а 0 и коэффи
циент гармоник %. Заметим, что относительная амплитуда второй гармо
ники, использованная в работе [12] в качестве характеристики повреждения,
в среднем на 20...30% ниже коэффициента гармоник и поэтому здесь не
рассматривается. С другой стороны, относительно небольшая разница меж
ду этими характеристиками означает, что все другие гармоники оказывают
незначительное влияние на величину коэффициента гармоник.
На рис. 2 6 показано изменение различных ВХП по длине стержня для
трех собственных форм колебаний (на рисунках и в тексте индекс d
обозначает перемещение, индекс а ускорение, индекс c r деформацию на
поверхности с трещиной, индекс in t деформацию на неповрежденной
поверхности стержня).
Так, рис. 2 иллюстрирует влияние закрывающейся трещины на отно
шение максимальных отклонений оси стержня от его нейтрального поло
жения (при отсутствии трещины y mах(х ) / y max(х ) = 1). Как видно, измене
ние этой характеристики, определяющей асимметрию цикла, является ка
62 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2002, № 1
Вибрационные характеристики усталостного повреждения
чественным признаком наличия повреждения типа закрывающейся трещи
ны. Влияние трещины существенно ослабевает по мере ее удаления от
заделки: этот вывод следует из сопоставления кривых 1 и 4. Изменение
функции у ™ах(х ) / у тах(х ) невелико (не превышает 10% для первой формы
колебаний): чем выше форма колебаний, тем оно меньше. Исключение
составляют сечения, в которых указанная функция претерпевает разрыв
(кривые 2 и 3), который связан с тем, что координаты узлов колебаний на
полуциклах, когда трещина закрыта и открыта, не совпадают. В табл. 3
приведены координаты узлов колебаний стержня на полуциклах, когда тре
щина закрыта и открыта. Заметим, что рассматриваемые функции имеют
перелом в сечении с трещиной: в сечении х / Ь = 0,1 (кривые 1 3) и в
сечении х / Ь = 0,5 (кривая 4). Эту особенность функций можно исполь
зовать для определения местоположения трещины.
Т а б л и ц а 3
Координаты узлов колебаний и нулевых изгибающих моментов
консольного стержня (а/ к = 0,25, Ьт / Ь = 0,1)
£ х / Ь
у тах(х / Ь) = 0 у“ Х(х / Ь) = 0 М тах(х / Ь) = 0 М т ах(х / Ь) = 0
2 0,7834 0,7814 0,2166 0,2072
3 0,5036 0,5027 0,1324 0,1289
3 0,8677 0,8675 0,4964 0,4959
тах / \ / тах , ч
У ті (х У У (х)
Рис. 2. Относительное изменение первой (1, 4), второй (2) и третьей (3) собственных форм
колебаний стержня. (Здесь и на рис. 3-6: 1-3 - Ьт / Ь = 0,1; 4 - Ьт / Ь = 0,5; а / к = 0,25.)
Зависимости относительного изменения нулевого коэффициента для
волны перемещения и ускорения качественно аналогичны зависимостям
изменения асимметрии цикла колебаний, хотя степень их изменения не
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2002, N21 63
А. П. Бовсуновский, В. В. Матвеев
сколько ниже: до 9% для волны перемещения и до 6 % для волны ускорения
- эти оценки выполнены без учета поведения функций в окрестности узлов
колебаний (при отсутствии трещины ( а 0 / ^ ) а = ( а 0 / А 1) а = 0) - рис. 3,а и
4,а. Зависимости для коэффициента гармоник имеют качественно другой
вид (рис. 3,б и 4,б). Наибольшие значения коэффициента гармоник отмеча
ются вблизи заделки и узлов колебаний. Необходимо заметить, что при при
ближении к узлам колебаний с двух сторон соответствующие функции
достигают максимумов.
(а0 / А 1 )а X а
0,03
0,02 -
0,01 -
0
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 х / Ь 0 0,2 0,4 0,6 0,!
Рис. 3. Относительное изменение нулевого коэффициента (а) и коэффициента гармоник (б)
по длине стержня для волны перемещения при первой (1, 4), второй (2) и третьей (5)
собственных формах колебаний.
(а0/ А1 )а X а
О 0,2 0,4 0,6 0,8 х / Ь о 0,2 0,4 0,6 0,8 х / Ь
а б
Рис. 4. Относительное изменение нулевого коэффициента (а) и коэффициента гармоник (б)
по длине стержня для волны ускорения при первой (1, 4), второй (2) и третьей (5) собст
венных формах колебаний.
64 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2002, № 1
Вибрационные характеристики усталостного повреждения
Чувствительность обеих характеристик для волны перемещения и уско
рения снижается по мере удаления трещины от заделки (на рис. 3, 4 кривые
1, 4), а перелом функций их распределения по длине стержня указывает на
сечение с трещиной.
Характерной особенностью изменения нулевого коэффициента по дли
не стержня для волны деформации является наличие максимумов в сечении
с трещиной при всех формах колебаний (рис. 5,а и 6 ,а). При этом амплитуда
нулевого коэффициента сопоставима с амплитудой первой гармоники. Здесь
так же, как и в соответствующих случаях для волны перемещения и ускоре
ния, имеет место разрыв функций при второй и третьей формах колебаний,
обусловленный несовпадением координат сечений, при которых изгиба
ющий момент достигает нулевого значения на разных полуциклах коле
баний (табл. 3).
(а0/ А 1) X с
Рис. 5. Относительное изменение нулевого коэффициента (а) и коэффициента гармоник (б)
по длине стержня для волны деформации на поверхности с трещиной при первой (1, 4),
второй (2) и третьей (3) собственных формах колебаний.
(ао/ А 1 )ш X ш
0,2
0,1
- 0,1
- 0,2
) !
-•Л
Ч
' і
0 0,2 0,4 0,6 0,!
а
с/Ь
Рис. 6. Относительное изменение нулевого коэффициента (а) и коэффициента гармоник (б)
по длине стержня для волны деформации на поверхности без трещины при первой (1, 4),
второй (2) и третьей (3) собственных формах колебаний.
0556-171Х. Проблемы прочности, 2002, № 1 65
А. П. Бовсуновский, В. В. Матвеев
Коэффициенты гармоник для волны деформации достигают наиболь
ших значений в сечениях с трещиной и в окрестности сечений с нулевым
изгибающим моментом (рис. 5,6 и 6 ,6). Обращает на себя внимание тот факт,
что степень изменения коэффициента гармоник на неповрежденной поверх
ности стержня в окрестности трещины растет по мере удаления последней
от заделки (на рис. 6 ,6 кривые 1, 4), что качественно отличает эту характе
ристику от всех остальных.
Влияние массы груза на конце стержня и ее момента инерции на
относительное изменение исследуемых вибрационных характеристик зави
сит от формы колебаний стержня. Так, различие в значениях функции
у т ах(X) / у тах(х ) для стержня с массой ( т Ь = 7,8 кг, что равно 50-кратной
массе стержня, и 1 т = 0,01 кг -м ) и без массы на конце не превышает 1%
для первой и 20% для второй формы. Наличие массы на конце стержня
приводит к увеличению степени относительного изменения нулевого коэф
фициента (в некоторых случаях в несколько раз) и к снижению степени
относительного изменения коэффициента гармоник для всех видов волн.
Анализ распределения вибрационных характеристик по длине стержня
(рис. 2 - 6 ) позволяет определить сечения, в которых проявление той или
иной характеристики наиболее значимо. Так, для относительного изменения
асимметрии цикла колебаний и нулевого коэффициента для волны пере
мещения и ускорения - это сечение х / Ь = 0,2 и сечения в окрестности
узлов колебаний. Коэффициент гармоник для волны перемещения и уско
рения наиболее существенно изменяется вблизи заделки и узлов колеба
ний. Нулевой коэффициент и коэффициент гармоник для волны деформации
достигают максимума вблизи сечений с трещиной и с нулевым изгибающим
моментом.
Однако возможность практического использования рассмотренных
вибрационных характеристик при их измерении вблизи заделки и узлов
колебаний вызывает сомнения, поскольку уровень колебаний указанных
сечений стержня мал. Поэтому на рис. 7 приведены примеры зависимостей
ВХП от относительной глубины трещины, измерение которых более реально
с практической точки зрения. Исключение составляет коэффициент гармо
ник для волны ускорения при второй форме колебаний, определенный в
сечении х / Ь = 0,78 (кривая 3), амплитуда колебаний которого составляет
1,5% максимальной амплитуды колебаний стержня (сечение х / Ь = 1). Отме
тим, что нулевой коэффициент для волны деформации на поверхности с
трещиной (кривая 4 построена без учета знака исходной функции), как и
коэффициент гармоник К сг (по абсолютной величине приблизительно в два
раза меньше нулевого коэффициента, соответствующая зависимость не
показана), практически не зависит от размера трещины. Поэтому указан
ные характеристики совершенно непригодны для оценки величины по
вреждения. В то же время аналогичные характеристики, определяемые на
противоположной от трещины поверхности стержня, заметно реагируют на
рост трещины (кривые 5 и 6 ).
66 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2002, № 1
Вибрационные характеристики усталостного повреждения
1,3
1,2
1,1
1,0
0,2
0
О 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 у
Рис. 7. Влияние размера трещины на относительное изменение ВХП консольного стержня с
закрывающейся трещиной, Ьт / Ь = 0,1. (Здесь и на рис. 8: 1 - F = ушах(х) /ушах(х)
(х / Ь = 0,2; $ = 1); 2 - F = К а (х / Ь = 1; $ = 1); 3 - F = К а (х / Ь = 0,78; $ = 2); 4 - F = (а0/Л1 )сг
(х / Ь = 0,1; $ = 1); 5 - F = (а0/Л 1)п (х / Ь = 0,1; $ = 1); 6 - F = К п (х / Ь = 0,1; $ = 1); 7 -
F = тт/ш ($ = 1); 8 - F = тт/ш ($ = 3).)
На рис. 7 также представлены зависимости относительного изменения
собственных частот колебаний стержня от размера трещины. Как видно,
влияние трещины на собственные частоты колебаний невелико по сравнению
с другими ВХП и проявляется тем меньше, чем выше форма колебаний.
С равнительны й анализ чувствительности ВХ П . В качестве меры
чувствительности вибрационной характеристики Г ( у ) использовалась ско
рость ее изменения
V = д Г ( у ) /д у . (26)
Как видно из рис. 8 , ни одна из рассмотренных на рис. 7 ВХП не
обладает наибольшей чувствительностью во всем исследованном диапазоне
размеров трещины. Наиболее чувствительными характеристиками в области
малых трещин оказались нулевой коэффициент и коэффициент гармоник
для волны деформации на неповрежденной поверхности стержня в сечении
с трещиной (кривые 5 и 6). Чувствительность относительного изменения
асимметрии цикла колебаний стержня (кривая 1) и коэффициента гармоник
вблизи узла колебаний (кривая 3) достаточно высока во второй половине
исследуемого диапазона размеров трещины. Однако возможность опреде
ления последнего на практике весьма проблематична.
В целом указанные характеристики обладают достаточной чувствитель
ностью для диагностики относительно малых трещин. Однако, как отмеча
лось выше, эти характеристики определялись в специально выбранных
сечениях, в которых они проявлялись наиболее значимо. В свою очередь,
координаты таких характерных сечений зависят от местоположения трещины.
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2002, № 1 67
А. П. Бовсуновский, В. В. Матвеев
V
Рис. 8. Влияние размера трещины на скорости изменения ВХП V = d F (у)/д у , представ
ленных на рис. 7.
Таким образом, для оптимального использования вибрационных характе
ристик необходимо знать местоположение трещины. Теоретически рассмот
ренные вибрационные характеристики, за исключением собственных частот
колебаний, позволяют судить о местоположении трещины по перелому
функции распределения соответствующей характеристики по длине стержня
или по характерному максимуму этой функции. Однако на практике полу
чение такой функции весьма трудоемко и не всегда возможно.
Заключение. Предложена расчетная модель для построения последо
вательного решения задачи определения собственных форм изгибных коле
баний стержня с закрывающейся трещиной на каждом полуцикле его коле
баний. Установлены пределы применимости расчетной методики.
Показано, что на каждом полуцикле колебаний такого стержня в момент
открытия и закрытия трещины возникает неповторяющийся набор амплитуд
сопутствующих форм колебаний. В исследованных пределах относительной
глубины трещины (0 < у < 0,25) границы диапазона изменения этих ампли
туд, как и их усредненные за N циклов колебаний значения, достаточно
быстро стабилизируются, и в целом процесс колебаний устойчив.
Расчетная методика позволяет обнаружить характерные особенности
колебаний консольного стержня с закрывающейся трещиной, что получило
экспериментальное подтверждение, и, следовательно, может использоваться
для решения как прямой, так и обратной задачи диагностики повреждения.
Как показали исследования, возникновение повреждения обусловливает
существенную нелинейность зависимостей вибрационных характеристик от
координаты сечения, для которого они определяются. Уровень этой нелиней
ности служит диагностическим признаком наличия повреждения типа закры
вающейся трещины. Характерные особенности изменения вибрационной
68 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2002, № 1
Вибрационные характеристики усталостного повреждения
характеристики по длине стержня в окрестности сечения с трещиной (пере
лом или максимум) указывают на местоположение трещины. Количествен
ные изменения вибрационной характеристики по мере роста трещины позво
ляют определить размеры последней. Таким образом, на основе анализа
изменения вибрационной характеристики по длине стержня может быть
полностью решена задача диагностики повреждения, а именно: определение
его размеров и местоположения.
Наиболее чувствительными вибрационными характеристиками повреж
дения являются нулевой коэффициент и коэффициент гармоник для волны
деформации, определяемые в окрестности сечения с трещиной на противо
положной от трещины поверхности стержня.
Р е з ю м е
Розглядаються вільні коливання пружного консольного стрижня з крайовою
тріщиною, що закривається. Тріщина моделюється пружним шарніром, по
датливість якого прийнята скінченною і визначається на основі енергетич
ного критерію еквівалентності.
Побудовано алгоритм послідовного розрахунку власних форм для кожного з
обмеженого числа циклів коливань стрижня. Показано, що при розкритті і
закритті тріщини виникають також інші, відмінні від початково заданої,
форми коливань стрижня, досліджено особливості їхнього прояву.
Проаналізовано чутливість вібраційних характеристик пошкодження, що
визначаються на основі оцінки нелінійних спотворень форми хвилі пере
міщення, прискорення і деформації перетинів стрижня з тріщиною, що
закривається.
1. Ism a il F., Ibrah im A ., a n d M artin H. R . Identification of fatigue cracks from
vibration testing // J. Sound and Vibration. - 1990. - 140, No. 2. - P. 305 -
317.
2. R y tte r A ., B r in ck er R., a n d K irk e g a a rd P. H . An Experimental Study of the
Modal Parameters of a Cantilever // Fracture & Dynamics, Paper No. 37,
Department of Building Technology and Structural Engineering, University
of Aalborg, Denmark, 1992. - 76 p.
3. C h en g S. M ., S w a m id a s A. S. J., Wu X. J., a n d W allace W. Vibrational
response of a beam with a breathing crack // J. Sound and Vibration. - 1999.
- 225, No. 1. - P. 201 - 208.
4. R izo s P. F., A sp ra g a th o s N., a n d D im a ro g o n a s A. D . Identification of crack
location and magnitude in a cantillever beam from the vibration modes //
Ibid. - 1990. - 138, No. 3. - P. 381 - 388.
5. B a llo I. Non-linear effects of vibration of a continuous transverse cracked
slender shaft // Ibid. - 1998. - 217, No. 2. - P. 321 - 333.
6 . R u o to lo R., S u race C., C respo P ., a n d S to re r D . Harmonic analysis of the
vibrations of a cantilevered beam with a closing crack // Computers and
Structures. - 1996. - 61, No. 6 . - P. 1057 - 1074.
ISSN 0556-171X. Проблемыг прочности, 2002, № 1 69
А. П. Бовсуновский, В. В. Матвеев
7. Ц ы ф ан ски й С. Л ., М а го н е М . А., О ж и ган ов В. М . Об использовании
нелинейных эффектов для обнаружения трещин в стержневых элемен
тах конструкций // Дефектоскопия. - 1985. - № 3. - С. 77 - 85.
8 . Ц ы ф ан ски й С. Л ., Б ересн еви ч В. И., М а го н е М . А . Вибродиагностика
усталостных трещин в несущих поверхностях летательных аппаратов
на основе использования нелинейных эффектов // Там же. - 1993. -
№ 2. - C. 87 - 94.
9. T syfansky S. L. a n d B eresn evich V. I. Detection of fatigue cracks in flexible
geometrically non-linear bars by vibration monitoring // J. Sound and
Vibration. - 1998. - 213, No. 1. - P. 159 - 168.
10. A fo la b i D . An antiresonance technicue for detecting structural damage //
Proc. of the 5th IMAC. - 1987. - P. 491 - 495.
11. М а т веев В. В . К анализу эффективности метода спектральной вибро
диагностики усталостного повреждения элементов конструкций. Со-
общ. 1. Продольные колебания, аналитическое решение // Пробл. проч
ности. - 1997. - № 6 . - С. 5 - 20.
12. М а т веев В. В., Б овсун овски й А. П . К определению вибрационных харак
теристик стержня с закрывающейся трещиной при изгибных колеба
ниях // Там же. - 2000. - № 3. - С. 5 - 23.
13. O sta c h o w icz W. a n d K ra w czu k M . Analysis of the effect of cracks on the
natural frequencies of a cantilever beam // J. Sound and Vibration. - 1991. -
150, No. 2. - P. 191 - 201.
14. Ч ерепанов Г. П . Механика хрупкого разрушения. - М.: Наука, 1974. -
640 с.
15. R e id P a ra m e te r R. a n d M u kh erji B . Stress intensity factors for an edge-
cracked strip in bending // Int. J. Fracture. - 1974. - 10, No. 3. - P. 441 -
444.
16. K ik id is M . L. a n d P a p a d o p o u lo s C. A . Slenderness ratio effect on cracked
beams // J. Sound and Vibration. - 1992. - 155, No. 1. - P. 1 - 11.
17. B o v su n o v sk y A. P . a n d M a tv e e v V. V. Analytical approach to the
determination of dynamic characteristics of a beam with a closing crack //
Ibid. - 2000. - 235, No. 3. - P. 415 - 434.
18. Б овсун овски й А. П . Форма петли механического гистерезиса для метал
лических материалов при гармонических напряжениях ниже предела
выносливости. Сообщ. 2. Экспериментальная методика и результаты //
Пробл. прочности. - 1997. - № 3. - С. 119 - 130.
19. Б овсун овски й А. П . К вопросу об исследовании колебаний нелинейной
механической системы, моделирующей тело с трещиной // Там же. -
2001. - № 4. - С. 97 - 111.
Поступила 26. 12. 2000
70 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2002, № 1
|