Деякі умови однозначної розв’язності нелокальної крайової задачі для лінійних функціонально-диференціальних рівнянь
General conditions for the unique solvability of a nonlocal boundary-value problem for systems of linear functional differential equations are obtained.
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4673 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Деякі умови однозначної розв’язності нелокальної крайової задачі для лінійних функціонально-диференціальних рівнянь / Н.З. Дільна, В.А. Пилипенко, A.M. Ронто // Доповіді Національної академії наук України. — 2008. — № 6. — С. 18-22. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859492453311053824 |
|---|---|
| author | Дільна, Н.З. Пилипенко, В.А. Ронто, A.M. |
| author_facet | Дільна, Н.З. Пилипенко, В.А. Ронто, A.M. |
| citation_txt | Деякі умови однозначної розв’язності нелокальної крайової задачі для лінійних функціонально-диференціальних рівнянь / Н.З. Дільна, В.А. Пилипенко, A.M. Ронто // Доповіді Національної академії наук України. — 2008. — № 6. — С. 18-22. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | General conditions for the unique solvability of a nonlocal boundary-value problem for systems of linear functional differential equations are obtained.
|
| first_indexed | 2025-11-24T19:09:33Z |
| format | Article |
| fulltext |
В случае, когда Nn представляет собой пространство Лобачевского, мы рассматриваем
реализацию Nn как гиперсферы в (n+1)-мерном пространстве Минковского: все выкладки
сохраняются с соответствующей заменой стандартных тригонометрических функций их ги-
перболическими аналогами. Евклидов случай рассматривался в [4] при n = 4, приведенное
там доказательство допускает прямое обобщение для n > 4; формально евклидовы форму-
лы получаются из выписанных выше соответствующих сферических формул предельным
переходом при R → ∞.
1. Tenenblat K. Transformations of manifolds and applications to differential equations. – London: Longman,
1998. – 208 p.
2. Аминов Ю.А. Геометрия подмногообразий. – Київ: Наук. думка, 2002. – 468 с.
3. Aminov Yu., Sym A. On Bianchi and Bäcklund transformations of two-dimensional surfaces in E
4 // Math.
Physics, Analysis, Geometry. – 2000. – 3, No 1. – P. 75–89.
4. Gorkavyy V. On pseudo-spherical congruences in E
4 // Мат. физика, анализ, геометрия. – 2003. – 10,
вып. 4. – С. 498–504.
5. Горькавый В.А. Конгруэнции Бьянки двумерных поверхностей в E
4 // Мат. сб. – 2005. – 196,
вып. 10. – С. 79–102.
6. Gorkavyy V. On pseudo-spherical surfaces in E
4 with Grassmann image of prescribed type // Журн. мат.
физики, анализа, геометрии. – 2006. – 2, вып. 2. – С. 138–148.
7. Масальцев Л.А. Бикасательное преобразование Бьянки // Изв. высш. учеб. заведений. Математика. –
2005. – 8. – С. 83–98.
Поступило в редакцию 02.11.2007Физико-технический институт низких температур
им. Б.И. Веркина НАН Украины, Харьков
УДК 517.9
© 2008
Н.З. Дiльна, В. А. Пилипенко, A.M. Ронто
Деякi умови однозначної розв’язностi
нелокальної крайової задачi для лiнiйних
функцiонально-диференцiальних рiвнянь
(Представлено академiком НАН України A.M. Самойленком)
General conditions for the unique solvability of a nonlocal boundary-value problem for systems
of linear functional differential equations are obtained.
У роботi дослiджується питання iснування та єдиностi розв’язку нелокальної крайової за-
дачi для систем лiнiйних функцiонально-диференцiальних рiвнянь загального виду. Роз-
глядається система функцiонально-диференцiальних рiвнянь
u′
k(t) = (lku)(t) + qk(t), t ∈ [a, b], k = 1, 2, . . . , n, (1)
iз нелокальними крайовими умовами
uk(a) = hk(u), k = 1, 2, . . . , n, (2)
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №6
де −∞ < a < b < +∞, n ∈ N, lk : D([a, b], Rn) → L1([a, b], R), k = 1, 2, . . . , n, — лiнiйнi
оператори, {qk | k = 1, 2, . . . , n} ⊂ L1([a, b], R) — заданi функцiї, а hk : D([a, b], Rn) → R
n,
k = 1, 2, . . . , n, — неперервнi лiнiйнi функцiонали.
Означення 1. Розв’язком задачi (1), (2), згiдно iз загальною концепцiєю сучасної теорiї
функцiонально-диференцiальних рiвнянь (див., напр., [1]), називаємо абсолютно неперерв-
ну вектор-функцiю u = (uk)
n
k=1 : [a, b] → R
n, для якої майже скрiзь на [a, b] справджується
рiвнiсть (1) i яка має властивiсть (2).
Варто вiдзначити, що на вiдмiну вiд випадку, розглянутого в [2, 3], система (1) включає,
зокрема, системи нейтрального типу, оскiльки права сторона може мiстити члени з похiд-
ними. Метою даної роботи є встановлення загальних умов однозначної розв’язностi зада-
чi (1), (2) за припущення, що лiнiйнi оператори lk, k = 1, 2, . . . , n, заданi в (1), можна оцiнити
деякими iншими лiнiйними операторами, якi породжують однозначно розв’язнi початковi
задачi iз позитивними операторами. Нижченаведене означення дає точне формулювання
вищезгаданої властивостi.
Означення 2. Вважатимемо, що лiнiйний оператор l = (lk)
n
k=1 : D([a, b], Rn) →
→ L1([a, b], Rn) належить множинi Sa,h([a, b], Rn), якщо крайова задача (1), (2) має єдиний
розв’язок u = (uk)
n
k=1 при довiльних {qk | k = 1, 2, . . . , n} ⊂ L1([a, b], R) та, бiльше того,
розв’язок задачi (1), (2) має властивiсть
min
t∈[a,b]
uk(t) > 0, k = 1, 2, . . . , n, (3)
якщо функцiї qk, k = 1, 2, . . . , n, в (1) невiд’ємнi майже всюди на [a, b].
Зазначимо, що Sa,h([a, b], R) мiстить множину Ṽ +
ab (h), введену до розгляду в роботi [4], де
встановлено ефективнi умови, достатнi для включення l ∈ Ṽ +
ab (h) у випадку, коли лiнiйний
оператор l допускає неперервне розширення на простiр усiх неперервних функцiй.
Далi використовуються такi позначення: R := (−∞,∞), N := {1, 2, 3, . . .}, ‖x‖ :=
= max
16k6n
|xk| для x = (xk)
n
k=1 ∈ R
n; mes A — мiра Лебега множини A ⊂ R; L1([a, b], Rn) —
банахiв простiр усiх вектор-функцiй u : [a, b] → R
n, iнтегровних за Лебегом, зi стандартною
нормою
L1([a, b], Rn) ∋ u 7−→
b∫
a
‖u(ξ)‖ dξ;
D([a, b], Rn) — банахiв простiр абсолютно неперервних функцiй [a, b] → R
n iз нормою
D([a, b], Rn) ∋ u 7−→ ‖u(a)‖ +
b∫
a
‖u′(ξ)‖ dξ.
Якщо hk : D([a, b], Rn) → R
n, k = 1, 2, . . . , n, — деякi функцiонали, то символом
Dh([a, b], Rn) позначаємо множину всiх вектор-функцiй u = (uk)
n
k=1 з D([a, b], Rn), для яких
справджуються рiвностi uk(a) = hk(u), k = 1, 2, . . . , n.
Нарештi, множини Dh,1([a, b], Rn) i Dh,2([a, b], Rn) задаються формулами
Dh,1([a, b], Rn) :=
{
u = (uk)
n
k=1 ∈ Dh([a, b], Rn) | min
ξ∈[a,b]
uk(ξ) > 0 для всiх k = 1, 2, . . . , n
}
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №6 19
та
Dh,2([a, b], Rn) :=
{
u = (uk)
n
k=1 ∈ Dh([a, b], Rn) | min
ξ∈[a,b]
uk(ξ) > 0 i vraimin
ξ∈[a,b]
u′
k(ξ) > 0
для всiх k = 1, 2, . . . , n
}
.
Теорема 1. Припустимо, що iснують лiнiйнi оператори pi = (pik)
n
k=1 : D([a, b], Rn) →
→ L1([a, b], Rn), i = 0, 1, для яких виконуються включення
p1 ∈ Sa,h([a, b], Rn), p0 + p1 ∈ Sa,h([a, b], Rn), (4)
i, крiм того, при довiльнiй вектор-функцiї u = (uk)
n
k=1 з множини Dh,1([a, b], Rn) справд-
жуються нерiвностi
|(lku)(t) − (p1ku)(t)| 6 (p0ku)(t), t ∈ [a, b], k = 1, 2, . . . , n. (5)
Тодi нелокальна крайова задача (1), (2) є однозначно розв’язною при довiльних функцiях
{qk | k = 1, 2, . . . , n} ⊂ L1([a, b], R).
Означення 3. Лiнiйний оператор l = (lk)
n
k=1 : D([a, b], Rn) → L1([a, b], Rn) назвемо та-
ким, що має додатне звуження на множину Dh([a, b], Rn), якщо
vraimin
t∈[a,b]
(lku)(t) > 0, k = 1, 2, . . . , n, (6)
для всiх u = (uk)
n
k=1 з Dh,1([a, b], Rn).
Теорема 2. Нехай iснують деякi лiнiйнi оператори gi = (gik)nk=1 : D([a, b], Rn) →
→ L1([a, b], Rn), i = 0, 1, якi мають додатне звуження на Dh([a, b], Rn), при деякому
θ ∈ (0, 1) справджують включення
g0 + (1 − 2θ)g1 ∈ Sa,h([a, b], Rn), −θg1 ∈ Sa,h([a, b], Rn) (7)
i, крiм цього, є такими, що
|(lku)(t) + (g1ku)(t)| 6 (g0ku)(t), t ∈ [a, b], k = 1, 2, . . . , n, (8)
для довiльної функцiї u = (uk)
n
k=1 з Dh,1([a, b], Rn). Тодi задача (1), (2) має єдиний розв’язок
при довiльних {qk | k = 1, 2, . . . , n} ⊂ L1([a, b], R).
Доведення. З припущення (8) та позитивностi оператора g1|Dh([a,b],Rn) випливає, що
при довiльних u з Dh,1([a, b], Rn) справедливi спiввiдношення
|(lku)(t) + θ(g1ku)(t)| = |(lku)(t) + (g1ku)(t) − (1 − θ)(g1ku)(t)| 6
6 (g0ku)(t) + |(1 − θ)(g1ku)(t)| = (g0ku)(t) + (1 − θ)(g1ku)(t),
t ∈ [a, b], k = 1, 2, . . . , n.
Це означає, що оператор l допускає оцiнки (5) з операторами p0 i p1, визначеними рiвностями
p0 := g0 + (1 − θ)l1, p1 := −θg1. (9)
Беручи до уваги припущення (7) i (8), приходимо до висновку, що оператори pi :
D([a, b], Rn) → L1([a, b], Rn), i = 0, 1, заданi формулами (9), задовольняють умови (4) та (5)
теореми 1.
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №6
Тепер залишається лише зауважити, що припущення (7) забезпечують включення (4)
для операторiв (9). Застосовуючи теорему 1, встановлюємо справедливiсть даного тверд-
ження.
Слiд зазначити, що припущення (7) у теоремi 1 не можна замiнити жодною з пар умов
(1 − ε)(g0 + (1 − 2θ)g1) ∈ Sa,h([a, b], Rn), −θg1 ∈ Sa,h([a, b], Rn) (10)
та
g0 + (1 − 2θ)g1 ∈ Sa,h([a, b], Rn), −(1 − ε)θg1 ∈ Sa,h([a, b], Rn), (11)
яким би малим не було додатне число ε. Для того щоб у цьому переконатися, достатньо
розглянути такий приклад.
П р и к л ад . Зафiксуємо ε ∈ [0, 1) та розглянемо однорiдну задачу Кошi
u1(a) = 0, (12)
u2(a) = 0 (13)
для системи рiвнянь
u′
1
(t) =
1
2(b − a)
(u1(b) − u2(b)), (14)
u′
2
(t) = −
1
2(b − a)
(u1(b) − u2(b)), t ∈ [a, b]. (15)
Очевидно, що (12)–(15) є частковим випадком задачi (1), (2), де n = 2, q1 = q2 = 0,
оператори li : D([a, b], R2) → L1([a, b], R), i = 1, 2, задано формулами
(liu)(t) =
(−1)i+1(1 − ε)
2(b − a)
[u1(b) − u2(b)], t ∈ [a, b], i = 1, 2,
а h1 = h2 = 0.
Легко бачити, що задача (12)–(15) має сiм’ю розв’язкiв
ui(t) = λ(−1)i+1(t − a), t ∈ [a, b], i = 1, 2,
де λ — довiльне дiйсне число. Однак умова (10) у цьому випадку справджується для всiх
ε ∈ (0, 1) при g1 := 0 i
g0u :=
1
2(b − a)
(
u1(b) + u2(b)
u1(b) + u2(b)
)
,
оскiльки однорiдна початкова задача (12), (13) для системи рiвнянь
u′
1(t) =
1 − ε
2(b − a)
(u1(b) + u2(b)) + q1(t),
u′
2(t) =
1 − ε
2(b − a)
(u1(b) + u2(b)) + q2(t), t ∈ [a, b],
як неважко показати, має єдиний розв’язок при довiльних qi ∈ L1([a, b], R), i = 1, 2, i цей
розв’язок є невiд’ємним при невiд’ємних qi, i = 1, 2.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №6 21
Аналогiчно можна пересвiдчитись у тому, що твердження теореми 2 втрачає силу пiсля
замiни спiввiдношення (7) умовою (11) при додатному ε. Для цього можна скористатися,
зокрема, прикладом 6.2 з роботи [3].
Наслiдок. Нехай можна вказати лiнiйнi оператори gi = (gik)
n
k=1 : D([a, b], Rn) →
→ L1([a, b], R
n), i = 0, 1, якi мають додатне звуження на Dh([a, b], Rn), при кожнiй функ-
цiї u = (uk)
n
k=1 з множини Dh,1([a, b], Rn) справджують спiввiдношення (8) та є такими,
що має мiсце одна з таких пар умов:
g0 ∈ Sa,h([a, b], Rn), −
1
2
g1 ∈ Sa,h([a, b], Rn), (16a)
g0 +
1
2
g1 ∈ Sa,h([a, b], Rn), −
1
4
g1 ∈ Sa,h([a, b], Rn). (16b)
Тодi нелокальна крайова задача (1), (2) має єдиний розв’язок для довiльних {qk | k =
= 1, 2, . . . , n} ⊂ L1([a, b], R).
Доведення. Потрiбне твердження випливає безпосередньо з теореми 2 при θ = 1/2
(випадок умови (16а)) та θ = 1/4 (випадок умови (16b)).
Роботу виконано за часткової пiдтримки Президiї НАН України (грант №0108U004117),
ДФФД (грант №0107U003322), AS CR (Institutional Research Plan № AV0Z10190503) та
GA CR (Grant №201/06/0254).
1. Azbelev N., Maksimov V., Rakhmatullina L. Introduction to the Theory of Linear Functional Differential
Equations. – Atlanta, GA: World Federation Publishers Company, 1995. – Vol. 3: Advanced Series in
Mathematical Science and Engineering. – 172 p.
2. Hakl R., Lomtatidze A., Puza B. On a boundary value problem for first-order scalar functional differential
equations // Nonlinear Anal. – 2003. – 53, No 3–4. – P. 391–405.
3. Sremr J. On the Cauchy type problem for systems of functional differential equations // Ibid. – 2007. –
67, No 12. – P. 3240–3260.
4. Lomtatidze A., Oplustil Z. On nonnegative solutions of a certain boundary value problem for first order
linear functional differential equations // Proc. of the 7th Colloquium on the Qualitative Theory of Di-
fferential Equations. – Vol. 7: Proc. Colloq. Qual. Theory Differ. Equ. // Electron. J. Qual. Theory Differ.
Equ., Szeged. – 2004. – No 16. – 21 p. (electronic).
Надiйшло до редакцiї 19.10.2007Iнститут математики НАН України, Київ
НТУ України “Київський полiтехнiчний iнститут”
Iнститут математики АН Чеської Республiки, Брно
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №6
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4673 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-24T19:09:33Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Дільна, Н.З. Пилипенко, В.А. Ронто, A.M. 2009-12-17T16:11:00Z 2009-12-17T16:11:00Z 2008 Деякі умови однозначної розв’язності нелокальної крайової задачі для лінійних функціонально-диференціальних рівнянь / Н.З. Дільна, В.А. Пилипенко, A.M. Ронто // Доповіді Національної академії наук України. — 2008. — № 6. — С. 18-22. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4673 517.9 General conditions for the unique solvability of a nonlocal boundary-value problem for systems of linear functional differential equations are obtained. Роботу виконано за часткової пiдтримки Президiї НАН України (грант №0108U004117), ДФФД (грант №0107U003322), AS CR (Institutional Research Plan № AV0Z10190503) та GA CR (Grant №201/06/0254). uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Деякі умови однозначної розв’язності нелокальної крайової задачі для лінійних функціонально-диференціальних рівнянь Article published earlier |
| spellingShingle | Деякі умови однозначної розв’язності нелокальної крайової задачі для лінійних функціонально-диференціальних рівнянь Дільна, Н.З. Пилипенко, В.А. Ронто, A.M. Математика |
| title | Деякі умови однозначної розв’язності нелокальної крайової задачі для лінійних функціонально-диференціальних рівнянь |
| title_full | Деякі умови однозначної розв’язності нелокальної крайової задачі для лінійних функціонально-диференціальних рівнянь |
| title_fullStr | Деякі умови однозначної розв’язності нелокальної крайової задачі для лінійних функціонально-диференціальних рівнянь |
| title_full_unstemmed | Деякі умови однозначної розв’язності нелокальної крайової задачі для лінійних функціонально-диференціальних рівнянь |
| title_short | Деякі умови однозначної розв’язності нелокальної крайової задачі для лінійних функціонально-диференціальних рівнянь |
| title_sort | деякі умови однозначної розв’язності нелокальної крайової задачі для лінійних функціонально-диференціальних рівнянь |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4673 |
| work_keys_str_mv | AT dílʹnanz deâkíumoviodnoznačnoírozvâznostínelokalʹnoíkraiovoízadačídlâlíníinihfunkcíonalʹnodiferencíalʹnihrívnânʹ AT pilipenkova deâkíumoviodnoznačnoírozvâznostínelokalʹnoíkraiovoízadačídlâlíníinihfunkcíonalʹnodiferencíalʹnihrívnânʹ AT rontoam deâkíumoviodnoznačnoírozvâznostínelokalʹnoíkraiovoízadačídlâlíníinihfunkcíonalʹnodiferencíalʹnihrívnânʹ |