Итерационный метод оценки критической скорости флаттера аэродинамического профиля в нестационарном потоке
Предложен метод, позволяющий на ранней стадии проектирования за три-четыре итерации определять критическую скорость флаттера аэродинамических профилей с применением теории крыла в нестационарном потоке и создавать авиационные конструкции с оптимальными весовыми характеристиками. Запропоновано мет...
Saved in:
| Published in: | Проблемы прочности |
|---|---|
| Date: | 2002 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2002
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46735 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Итерационный метод оценки критической скорости флаттера аэродинамического профиля в нестационарном потоке / А.В. Сафронов, В.А. Сафронов // Проблемы прочности. — 2002. — № 1. — С. 121-129. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859982888567570432 |
|---|---|
| author | Сафронов, А.В. Сафронов, В.А. |
| author_facet | Сафронов, А.В. Сафронов, В.А. |
| citation_txt | Итерационный метод оценки критической скорости флаттера аэродинамического профиля в нестационарном потоке / А.В. Сафронов, В.А. Сафронов // Проблемы прочности. — 2002. — № 1. — С. 121-129. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы прочности |
| description | Предложен метод, позволяющий на ранней стадии проектирования за три-четыре итерации
определять критическую скорость флаттера аэродинамических профилей с применением
теории крыла в нестационарном потоке и создавать авиационные конструкции с
оптимальными весовыми характеристиками.
Запропоновано метод, який дозволяє на ранній стадії проектування за три-
чотири ітерації визначати критичну швидкість флатера аеродинамічних
профілів із використанням теорії крила в нестаціонарному потоці і створювати
авіаційні конструкції з оптимальними ваговими характеристиками.
A method is proposed that makes it possible to
evaluate the critical rate of flutter of airfoils at
an early stage of designing within three to four
iterations using the theory of a wing in a
non-stationary flow and to create airframes
with optimal weight characteristics.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:27:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 629.7.015.4
Итерационный метод оценки критической скорости флаттера
аэродинамического профиля в нестационарном потоке
А. В. Сафронов, В. А. Сафронов
Национальный научно-исследовательский центр оборонных технологий и военной
безопасности Украины, Киев, Украина
Предложен метод, позволяющий на ранней стадии проектирования за три-четыре итера
ции определять критическую скорость флаттера аэродинамических профилей с примене
нием теории крыла в нестационарном потоке и создавать авиационные конструкции с
оптимальными весовыми характеристиками.
Разработке методов оценки критической скорости флаттера аэродина
мического профиля посвящены многочисленные публикации [1-8]. Обычно
оценка характеристик флаттера осуществляется по теории крыла в стаци
онарном потоке. Ее особенность заключается в сравнительно простом опре
делении действующих на колеблющийся профиль аэродинамических сил и
моментов. Однако при этом величины критических скоростей флаттера
оказываются значительно меньше критических скоростей, определяемых по
теории крыла в нестационарном потоке, а конструкции более тяжелыми.
В отличие от этой задачи, исследование флаттера авиационных конст
рукций с использованием теории крыла в нестационарном потоке относится
к весьма сложной задаче аэроупругости и обусловлено необходимостью
решения громоздких систем нелинейных трансцендентных уравнений раз
личными приближенными методами [2, 6 , 8]. То есть поиск простых инже
нерных методов, позволяющих на ранней стадии проектирования авиаци
онных конструкций достоверно оценивать характеристики флаттера, пред
ставляется актуальной научной задачей.
На наш взгляд, достоверные результаты при исследовании характе
ристик флаттера в нестационарном потоке можно получить с помощью
метода итераций. При таком подходе в каждой отдельной итерации постав
ленная задача решается в линейной постановке.
Процедуру предлагаемого подхода изложим на примере оценки частоты
колебаний и критической скорости изгибно-крутильного флаттера аэродина
мического профиля в нестационарном несжимаемом потоке. В этом случае,
воспользовавшись результатами работы [2 ], систему дифференциальных
уравнений совместных изгибно-крутильных колебаний профиля в потоке
можно записать в виде
( 1)
© А. В. САФРОНОВ, В. А. САФРОНОВ, 2002
0556-171Х. Проблемы прочности, 2002, № 1 121
А. В. Сафронов, В. А. Сафронов
где т - погонная масса профиля; л 0 - присоединенная погонная масса
профиля; У ( 1) - изгибные колебания профиля; С и - жесткость профиля на
изгиб; о - расстояние между осью вращения и центром тяжести профиля
(величина положительная, если центр тяжести расположен позади оси вра
щения); а - расстояние оси вращения от середины хорды (положительное
при расположении оси ближе к передней кромке); в ( 1) - крутильные коле
бания профиля; Р ( к ; 1), М (к ; 1) - нестационарные аэродинамические погон
ные силы и моменты, действующие на профиль; к - число Струхаля; J -
массовый погонный момент инерции профиля; ^ - присоединенный погон
ный момент инерции профиля; С к - жесткость профиля крыла при круче
нии.
Присоединенные погонные масса и момент инерции профиля опреде
ляются из известных зависимостей [2 , 6 ]
2 2 Л о = жрЬ ; ^ = л о Ь 1 + ( Х о _ ,
8 I Ь
2
где р - плотность воздуха; Ь - полухорда профиля; X о - расстояние от
передней кромки профиля до оси его вращения.
Число Струхаля, от величины которого зависят нестационарные аэро
динамические сила и момент, определяется безразмерным отношением [2 , 6 ]
Ью
к = V ’
(2 )
где ю - круговая частота колебаний профиля при возникновении флаттера;
V - скорость потока.
При принятой форме записи системы (1) нестационарные аэродинами
ческие сила и момент, в соответствии с данными работ [2 , 6 ], могут быть
представлены зависимостями
1 + (3 _ Хо
4 14 Ь
С (к )
о
Ьо d 0 ( 1) d У ( 1)
V d t Vdt
С ( к )г; (3)
М (к ; 1) = 2я Ь1 д] ( т"°" 0( 1 )С (к ) _
3 X о! 1 ( Хо 1)
4 Ьо 4 \ Ьо 4,
С (к )
Vdt
С ( к )г, (4)
1 2где Ьо - хорда профиля; д = ^ р V - скоростной напор потока; С (к ) =
= Р (к ) + Ю(к ) - функция Теодорсена [2, 6 ].
122 Й'ОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2002, N 1
1
4о
Итерационный метод оценки критической скорости флаттера ...
Для удобства изложения материала введем следующие обозначения:
С
т и 2
т к
С к
- квадраты круговой частоты собственных из-
т + л 0 ' Л ^
гибных и крутильных колебаний профиля в потоке при V = 0;
т п т + л 0; ті = ш |1 +
/л о а
т а
; J n = J + № ; аі = 2л — ;
т п
2
1 ьо
~л — ,
2 т п
Ьі — 2л —
Ьо ( X о
1 Ьо3 (3 Хо Ьо3 ( Xои Ьо I Х о
Ь 3 = 2,1 Т . (Ь ~
п \ Ьо
3 _ Хо
4 Ь
Тогда систему уравнений (1) можно записать в виде
й У ( г) . 2^ т 1 _ й 20 ( г)
■ + т и У ( г) - а
т . й г2
а й в( г) а й в ( г) а й У ( г)
= а 1д в ( г ) С (к ) + а 2 — + а 3 — С (к ) - а 1 ~ — — С (к );
V йг V йг
т 1 _ й * У ( г) , __2 , й 20 ( г)
V йг
- — а
Jn
■+ т к в ( г) +
г л г л г г п г а й в (г ) ̂ і а й в ( г ) г ( 1 Л і а й У ( г ) г а л= Ь 1 д в ( г ) С (к ) - Ь2 ^ — ;— + Ь3 ^ — 7 Г С (к ) - Ь1 ^ ~ ~ С (к ).
V йг V йг V йг
(5)
Классическое решение системы уравнений (5) представляется в форме
гармонических функций [6 ]:
У ( г) = Уо в 1Ш;
0 ( г) = 0 о е ітг,
(6 )
где Уо, в о - амплитуды изгибных и крутильных колебаний профиля.
Подставляя решение (6 ) в систему (5), получаем характеристическое
уравнение колебаний профиля в нестационарном потоке:
Уо
+ |
У
+ |
- т 2 + т и а 1 ^ С (к ) +
т 1 2 п п Л . а . а— а т — а ^ С (к ) — т а — т а 3 — С (к )
т п V V
= о;
т 1 2 а — а т + ітЬ1 — С (к )
J п V
+
- т 2 + т 2 - Ь1а С (к ) + ітЬ 2 V - ітЬ3 V С (к ) = о.
(7)
2
1
о
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2002, № 1 123
А. В. Сафронов, В. А. Сафронов
Отсюда после преобразований получим частотное уравнение
Ао ю 4 + іА]ю3 + А 2 ю 2 + ІА3 ю + А 4 — 0, (8)
в котором комплексные величины представляются выражениями
Ао = 1 - ^ у - а 2; Л х = У \ а 2 у - а - ^2 +
т п^п У I ^п }
Л 2 — ю к юИ + й 2д С (к ); Аз — ^ {Ь2юИ + й з С (к )};
где
А4 — ю ̂ ю и й 4 д С (к ),
Ш] 4
, , , Ш 1 2 Ь 0 а; й 2 — Ь] + а ^ — а — - рж -----— ;
^ п 4 Шп^ п
2 2 2 І3 — а](о ̂ — Ьз ю и ; й 4 — Ь] ю и .
Разделяя в уравнении (8) действительные и мнимые величины, полу
чаем два действительных уравнения, которые запишем в виде
Б Б ( к ) ¥ 2 — С в ( к ) ¥ + В — 0; (9)
где
А]юз + й 2У в ( к )ю 2 + Аз ю — й 4Г в (к ) — 0,
2 2 Б — ю й 2 — й 4 ; С — (ю й] + й з)ю;
2
В — ~р [А0ю4 — (юи + ю \ ) ю 2 + юи];
Ші
А] — а 2 — а — Ь2 + й ]Б ( к );
^ п
А з — ю и Ь 2 + й з Г ( к ).
( ] 0 )
(]])
Уравнения (2), (9) и (10) представляют собой замкнутую нелинейную
систему относительно неизвестных У, т и £, точное решение которой
невозможно. Данная система уравнений может быть решена методом итера
ций [9], полагая начальное значение числа Струхаля равным нулю (^1 = 0).
При этом условии действительная и минимая части функции Теодор-
сена в первой итерации соответственно равны [3, 6 ]:
Г ( к ]) — !,0 ; ( ]2 )
124 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2002, № 1
Итерационный метод оценки критической скорости флаттера
в (к о = о. (13)
Условие (13) позволяет легко определить из уравнения (10) круговую
частоту колебаний в первой итерации
2 А31
т 2 = - - 7 Г - (14)А11
При известной круговой частоте колебаний из уравнения (9) опреде
ляется критическая скорость флаттера, которая во всех итерациях может
быть представлена зависимостью
V = 2В , ^ (к . ) {С' в ( к 1) + С 2 в 2 (к , ) - 4Я1Я 1Г ( к ,) ]1/2}. (15)
Определив ®1 и ¥ 1 из отношения, аналогичного (2), найдем число
Струхаля
ЪЮл
к 2 = " Г '
а затем действительные Г (к 2 ) и мнимые в ( к 2 ) части функции Теодор-
сена во втором приближении.
Отличительной особенностью выполнения второй и последующих ите
раций является то, что круговая частота колебаний при флаттере должна
определяться из кубического уравнения (10), которое может быть решено
различными приближенными методами [9]. Эти методы достаточно громозд
ки и не всегда удобны для практического применения.
Поскольку для реальных аэродинамических профилей последний член
уравнения (10) представляет собой величину малого порядка, решение этого
уравнения можно записать в виде суммы
т , - т П + А т , , (16)
где т п - приближенное значение круговой частоты колебаний, получаемое
из решения уравнения (10) без учета последнего члена; А т , - приращение
круговой частоты колебаний, получаемое из этого же уравнения, записан
ного в приращениях.
Подставляя сумму (16) в уравнение (10), получаем два независимых
уравнения:
А1 т 'п + Л2 ¥ , - 1в (к , )т п + А>31 - 0; (17)
А'и А т + [2А1,т п + Л2¥ ,- 1в ( к , )]А т , - ¥ - в ( к 1), (18)
ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2002, № 1 125
А. В. Сафронов, В. А. Сафронов
где Л'и и Л '3 1 определяются по формулам ( 11), в которых вместо о и к
следует подставить о ' и к 1 соответственно.
Из уравнения (17) находим приближенное значение круговой частоты
колебаний аэродинамического профиля
о п = Л - 2 Г{- 1 ° ( к ' ) ± ^ 2( к ) - 4Л1;Л3г- ]1/2}. (19)
Определив приближенное значение круговой частоты колебаний из
уравнения (19), можно перейти к оценке приращения круговой частоты
колебаний из уравнения (18). С этой целью уравнение (18) представим в
виде
Л 'и Д ° 3 + [3Л1-о п + d 2^ 1- 1̂ ( к ' )]До 2 +
+ [2Л1го т + d 2 ^ 1- 1С ( к ' ) ] о т Д о ' - d 4^1-1С ( к ' ) = 0 (20)
Поскольку абсолютная величина приращения круговой частоты коле
баний мала, то даже для относительно легких аэродинамических профилей
первый член уравнения (2 0 ) оказывается на несколько порядков меньше
других членов этого уравнения. Следовательно, в инженерных расчетах
этим членом можно пренебречь и вместо кубического рассматривать квад
ратное уравнение
[3Л1го п + d 2^ 1- 1̂ ( к - )]До 2 +
+ [2Л1го т + d 2 ^ 1- 1С ( к ' ) ] о т Д о ' - d 4^1-1С ( к ' ) = 0 (21)
Из уравнения (21) легко можно получить приращение круговой частоты
колебаний аэродинамического профиля.
Подставляя величины приближенных значений о -п и Д о { в выраже
ние (16), получаем результирующее значение круговой частоты колебаний
во второй и последующих итерациях.
Отметим, что погрешность определения круговой частоты колебаний
предложенным методом составляет десятые доли процента, т.е. представле
ние круговой частоты колебаний аэродинамического профиля в виде суммы
(16) позволяет привести решение кубического уравнения ( 10) к класси
ческому решению двух независимых уравнений второго порядка и с боль
шой точностью определять круговую частоту колебаний аэродинамического
профиля в каждой итерации.
Процесс итерации продолжается до тех пор, пока в двух последующих
итерациях отличие по критической скорости флаттера аэродинамического
профиля не превышает принятой в расчете погрешности.
Изложенный подход обеспечивает быструю сходимость итерационного
процесса. Выполненные расчеты показывают, что отличие по частоте коле
баний и критической скорости флаттера уже в третьей и четвертой итера
циях не превышает 1,0 %.
126 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2002, № 1
Итерационный метод оценки критической скорости флаттера
Для сравнения результатов, полученных предложенным методом, с дан
ными работы [2 ] оценим критическую скорость изгибно-крутильного флат
тера аэродинамического профиля при различных значениях относительной
массы профиля:
_ т
т = ---- .
И о
Расчеты выполняли при следующих исходных данных: Ь = 1,0 м;
X о = 0,6 м; а = 0,1 м; р = 0,125 к г • м - 4 - с 2; ю и = 0.
Зависимость момента инерции от массы и геометрических характе
ристик профиля представим выражением [2 , 6 ]
J = тЬ 2 Я 2 ,
2
где Я - радиус инерции аэродинамического профиля, Я = 0,25.
Критическую скорость флаттера запишем в безразмерной форме [2]:
г" = г
Ью к
Для упрощения вычислений введем следующие относительные вели
чины:
— А3; — С ; — О ; — Б : (О:
А 3 ; = - ^ ; С ! = - ^ ; В , = ^ ; Б , = - к - ; О; = — .
О к О к О к О к О к
Изменение этих величин и параметров изгибно-крутильного флаттера
аэродинамического профиля по итерациям при т = 20 ,0 приведено в табли
це.
Результаты расчетов изгибно-крутильного флаттера аэродинамического профиля
в нестационарном потоке при т = 20,0
№
итерации
кі Р (кі) -О (кі) А і А3і В С - д
1 0 1,000 0 2,804 1,524 0,736 0,547 0,552 4,228 2,780
2 0,265 0,683 0,183 2,669 1,041 0,535 0,289 0,750 3,337 3,780
3 0,142 0,779 0,185 2,710 1,187 0,544 0,299 0,761 3,404 3,530
4 0,154 0,768 0,187 2,705 1,170 0,546 0,301 0,763 3,416 3,547
Сравнение критических скоростей флаттера, полученных методом ите
раций, с результатами работы [к] при различных величинах т приведено на
рисунке. Видно, что максимальное отличие сравниваемых результатов при
значениях относительных масс, близких к реальным ( т > к0 ,0 ), не пре
вышает 4...5%. Там же представлены результаты оценки критической ско
рости флаттера по теории крыла в стационарном потоке [6 , 10]. Их срав
нение показывает, что критическая скорость изгибно-крутильного флаттера
ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2002, № 1 127
А. В. Сафронов, В. А. Сафронов
в этом случае оказывается значительно меньше, т.е. реальные запасы по
критической скорости изгибно-крутильного флаттера аэродинамических по
верхностей оказываются больше нормируемых. Этот факт был неоднократно
подтвержден и другими экспериментальными исследованиями [4].
Сравнение критической скорости флаттера аэродинамического профиля в стационарном и
нестационарном потоке: 1 - метод итераций; 2 - по данным работы [2]; 3 - для стаци
онарного потока.
Таким образом, предложенный метод по сравнению с известными обес
печивает достаточно быструю сходимость итерационного процесса и позво
ляет более достоверно, чем по теории крыла в стационарном потоке, опре
делять критическую скорость изгибно-крутильного флаттера аэродинами
ческих поверхностей и проектировать конструкции с оптимальными по
условиям флаттера весовыми характеристиками.
Р е з ю м е
Запропоновано метод, який дозволяє на ранній стадії проектування за три-
чотири ітерації визначати критичну швидкість флатера аеродинамічних
профілів із використанням теорії крила в нестаціонарному потоці і створю
вати авіаційні конструкції з оптимальними ваговими характеристиками.
1. Б ел о ц е р к о вск и й С. М ., К о ч е т к о в Ю . А ., К р а с о в с к и й А. А ., Н ови ц ки й
В. В. Введение в аэроавтоупругость. - М.: Наука, 1980. - 384 с.
2. Б исп лин гхоф ф Р. Л ., Эш ли Х., Х ал ф м эн Р. Л . Аэроупругость. - М.:
Изд-во иностр. лит-ры, 1959. - 799 с.
3. С м ирн ов А. И . Аэроупругая устойчивость летательных аппаратов. - М.:
Машиностроение, 1980. - 231 с.
4. К елды ш М . В . Избранные труды. Механика. - М.: Наука, 1985. - 568 с.
5. Г ур ья н о в И. А ., К от овски й В. Н., Н иш т М . И . Математическое модели
рование нестационарного обтекания вязким потоком телесного крыла
конечного размаха // Учен. зап. ЦАГИ. - 1991. - 22, № 3. - С. 35 - 42.
128 ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2002, № 1
Итерационный метод оценки критической скорости флаттера
6 . Н ек р а со в А. И . Сравнительный анализ расчета флаттера по теории
неустановившегося и установившегося потоков // Инж. сб. - 1951. - 10.
- С. 109 - 168.
7. Л евки н В. Ф. Экспериментальные исследования нестационарных аэро
динамических характеристик поверхности управления при трансзвуко
вых скоростях // Тр. ЦАГИ. - 1982. - Вып. 2132. - 16 с.
8 . Н уш т аев Ю . П . Нестационарные аэродинамические характеристики
профиля в трансзвуковом потоке идеального газа // Учен. зап. ЦАГИ. -
1982. - 13, № 1. - С. 1 - 10.
9. В ы годски й М . Я . Справочник по высшей математике. - М.: Физматгиз,
1961. - 784 с.
10. С а ф р о н о в А. В., С а ф рон ов В. А . Графо-аналитические методы пара
метрической оценки характеристик изгибно-крутильного флаттера
аэродинамического профиля // Пробл. прочности. - 1997. - № 4. - С. 95
- 106.
Поступила 21. 03. 2001
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2002, № 1 129
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-46735 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0556-171X |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:27:10Z |
| publishDate | 2002 |
| publisher | Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Сафронов, А.В. Сафронов, В.А. 2013-07-06T14:00:37Z 2013-07-06T14:00:37Z 2002 Итерационный метод оценки критической скорости флаттера аэродинамического профиля в нестационарном потоке / А.В. Сафронов, В.А. Сафронов // Проблемы прочности. — 2002. — № 1. — С. 121-129. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46735 629.7.015.4 Предложен метод, позволяющий на ранней стадии проектирования за три-четыре итерации определять критическую скорость флаттера аэродинамических профилей с применением теории крыла в нестационарном потоке и создавать авиационные конструкции с оптимальными весовыми характеристиками. Запропоновано метод, який дозволяє на ранній стадії проектування за три- чотири ітерації визначати критичну швидкість флатера аеродинамічних профілів із використанням теорії крила в нестаціонарному потоці і створювати авіаційні конструкції з оптимальними ваговими характеристиками. A method is proposed that makes it possible to evaluate the critical rate of flutter of airfoils at an early stage of designing within three to four iterations using the theory of a wing in a non-stationary flow and to create airframes with optimal weight characteristics. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Итерационный метод оценки критической скорости флаттера аэродинамического профиля в нестационарном потоке Iteration Method for the Evaluation of the Critical Rate of Airfoil Flutter in a Non-Stationary Flow Article published earlier |
| spellingShingle | Итерационный метод оценки критической скорости флаттера аэродинамического профиля в нестационарном потоке Сафронов, А.В. Сафронов, В.А. Научно-технический раздел |
| title | Итерационный метод оценки критической скорости флаттера аэродинамического профиля в нестационарном потоке |
| title_alt | Iteration Method for the Evaluation of the Critical Rate of Airfoil Flutter in a Non-Stationary Flow |
| title_full | Итерационный метод оценки критической скорости флаттера аэродинамического профиля в нестационарном потоке |
| title_fullStr | Итерационный метод оценки критической скорости флаттера аэродинамического профиля в нестационарном потоке |
| title_full_unstemmed | Итерационный метод оценки критической скорости флаттера аэродинамического профиля в нестационарном потоке |
| title_short | Итерационный метод оценки критической скорости флаттера аэродинамического профиля в нестационарном потоке |
| title_sort | итерационный метод оценки критической скорости флаттера аэродинамического профиля в нестационарном потоке |
| topic | Научно-технический раздел |
| topic_facet | Научно-технический раздел |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46735 |
| work_keys_str_mv | AT safronovav iteracionnyimetodocenkikritičeskoiskorostiflatteraaérodinamičeskogoprofilâvnestacionarnompotoke AT safronovva iteracionnyimetodocenkikritičeskoiskorostiflatteraaérodinamičeskogoprofilâvnestacionarnompotoke AT safronovav iterationmethodfortheevaluationofthecriticalrateofairfoilflutterinanonstationaryflow AT safronovva iterationmethodfortheevaluationofthecriticalrateofairfoilflutterinanonstationaryflow |