Вариационный принцип для температурной задачи теории упругости в напряжениях
При расчетах деталей и элементов конструкций на прочность часто используется вариационная формулировка задачи. В работе предлагается вариационный принцип, уравнениями Эйлера которого являются дифференциальные уравнения термоупругости в напряжениях. При розрахунках деталей та елементів конструкцій...
Saved in:
| Published in: | Проблемы прочности |
|---|---|
| Date: | 2002 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2002
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46738 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Вариационный принцип для температурной задачи теории упругости в напряжениях / Н.М. Бородачев, Н.И. Савченко // Проблемы прочности. — 2002. — № 1. — С. 141-145. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-46738 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Бородачев, Н.М. Савченко, Н.И. 2013-07-06T14:03:55Z 2013-07-06T14:03:55Z 2002 Вариационный принцип для температурной задачи теории упругости в напряжениях / Н.М. Бородачев, Н.И. Савченко // Проблемы прочности. — 2002. — № 1. — С. 141-145. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46738 539.3 При расчетах деталей и элементов конструкций на прочность часто используется вариационная формулировка задачи. В работе предлагается вариационный принцип, уравнениями Эйлера которого являются дифференциальные уравнения термоупругости в напряжениях. При розрахунках деталей та елементів конструкцій на міцність часто використовується варіаційне формулювання задачі. Пропонується варіаційний принцип, рівняннями Ейлера якого є диференціальні рівняння термопружності в напруженнях. Strength calculation for parts and structural elements often involves a variational formulation of the problem. We propose the variational principle, wherein Euler equations are represented by differential equations of thermoelasticity in stresses. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Краткие сообщения Вариационный принцип для температурной задачи теории упругости в напряжениях Variational Principle for the Temperature Problem of the Theory of Elasticity in Stresses Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Вариационный принцип для температурной задачи теории упругости в напряжениях |
| spellingShingle |
Вариационный принцип для температурной задачи теории упругости в напряжениях Бородачев, Н.М. Савченко, Н.И. Краткие сообщения |
| title_short |
Вариационный принцип для температурной задачи теории упругости в напряжениях |
| title_full |
Вариационный принцип для температурной задачи теории упругости в напряжениях |
| title_fullStr |
Вариационный принцип для температурной задачи теории упругости в напряжениях |
| title_full_unstemmed |
Вариационный принцип для температурной задачи теории упругости в напряжениях |
| title_sort |
вариационный принцип для температурной задачи теории упругости в напряжениях |
| author |
Бородачев, Н.М. Савченко, Н.И. |
| author_facet |
Бородачев, Н.М. Савченко, Н.И. |
| topic |
Краткие сообщения |
| topic_facet |
Краткие сообщения |
| publishDate |
2002 |
| language |
Russian |
| container_title |
Проблемы прочности |
| publisher |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Variational Principle for the Temperature Problem of the Theory of Elasticity in Stresses |
| description |
При расчетах деталей и элементов конструкций на прочность часто используется вариационная
формулировка задачи. В работе предлагается вариационный принцип, уравнениями
Эйлера которого являются дифференциальные уравнения термоупругости в напряжениях.
При розрахунках деталей та елементів конструкцій на міцність часто використовується
варіаційне формулювання задачі. Пропонується варіаційний
принцип, рівняннями Ейлера якого є диференціальні рівняння термопружності
в напруженнях.
Strength calculation for parts and structural elements
often involves a variational formulation
of the problem. We propose the variational principle,
wherein Euler equations are represented
by differential equations of thermoelasticity in
stresses.
|
| issn |
0556-171X |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46738 |
| citation_txt |
Вариационный принцип для температурной задачи теории упругости в напряжениях / Н.М. Бородачев, Н.И. Савченко // Проблемы прочности. — 2002. — № 1. — С. 141-145. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT borodačevnm variacionnyiprincipdlâtemperaturnoizadačiteoriiuprugostivnaprâženiâh AT savčenkoni variacionnyiprincipdlâtemperaturnoizadačiteoriiuprugostivnaprâženiâh AT borodačevnm variationalprincipleforthetemperatureproblemofthetheoryofelasticityinstresses AT savčenkoni variationalprincipleforthetemperatureproblemofthetheoryofelasticityinstresses |
| first_indexed |
2025-11-25T22:45:33Z |
| last_indexed |
2025-11-25T22:45:33Z |
| _version_ |
1850571700985397248 |
| fulltext |
КРАТКИЕ СООБЩ ЕНИЯ
УДК 539.3
Вариационный принцип для температурной задачи теории
упругости в напряжениях
Н. М. Бородачев, Н. И. Савченко
Киевский международный университет гражданской авиации, Киев, Украина
При расчетах деталей и элементов конструкций на прочность часто используется вариа
ционная формулировка задачи. В работе предлагается вариационный принцип, уравнениями
Эйлера которого являются дифференциальные уравнения термоупругости в напряжениях.
К л ю ч е в ы е с л о в а : температурная задача теории упругости, вариационный
принцип, термодинамический потенциал.
Вариационные принципы минимума потенциальной энергии и мини
мума дополнительной работы впервые обобщены Майзелем [1] на случай
температурной задачи теории упругости. Вариационным принципам термо
упругости посвящены исследования [2-5].
Температурные задачи теории упругости можно формулировать в пере
мещениях и в напряжениях [6 ]. Оба подхода могут основываться как на
дифференциальных уравнениях, так и на вариационных принципах.
При формулировании задачи в перемещениях используются либо диф
ференциальные уравнения термоупругости в перемещениях (включая гра
ничные условия), либо вариационный принцип минимума потенциальной
энергии системы, обобщенный на случай учета температурных слагаемых
[7].
Формулировать задачу термоупругости в напряжениях целесообразно
при решении второй краевой задачи (статическая), т.е. когда на поверхности
тела задается распределение поверхностных сил. При решении задачи термо
упругости в напряжениях основой служат уравнения статики в объеме и
условия совместности. Поэтому из вариационного принципа для этой задачи
в качестве уравнений Эйлера должны одновременно получаться как уравне
ния равновесия, так и условия совместности в напряжениях. Ниже формули
руется такой вариационный принцип.
Рассмотрим линейно-упругое тело, которое под действием температур
ного поля, а также массовых и поверхностных сил в состоянии равновесия
занимает объем V . Через О обозначим поверхность, ограничивающую этот
объем.
Следуя Лурье [7], полагаем, что в задаче теории упругости сохраняется
статическая постановка, т.е. пренебрегаем изменениями напряженного со
стояния во времени, вызванными нестационарностью температурного поля
(температура удовлетворяет Фурье). Поэтому температуру можно рассмат
ривать как неварьируемый внешний фактор при варьировании напряженного
© Н. М. БОРОДАЧЕВ, Н. И. САВЧЕНКО, 2002
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2002, N 1 141
Н. М. Бородачев, Н. И. Савченко
состояния. Задача теплопроводности решается независимо от задачи теории
упругости.
В случае второй краевой задачи имеем
п • Т \0 = Г , (1)
где Т - тензор напряжений; Г - вектор поверхностной силы; п - единичный
вектор внешней нормали к поверхности тела. (Обозначения соответствуют
принятым в работе [7].)
Краевую задачу термоупругости можно сопоставить с эквивалентной
задачей вариационного исчисления. Запишем функционал, из условия стаци
онарности которого в качестве уравнений Эйлера вытекали бы дифферен
циальные уравнения температурной задачи теории упругости в напряжениях
(уравнение статики и условие совместности).
Рассмотрим функционал J над тензором напряжений Т и над векто
ром перемещения и как над независимыми величинами:
J = / / / (Т •• ^ и - О')йх— / / / р К • и d r - f f Г • и й о , (2 )
V V о
где О - потенциал Гиббса; К - вектор массовой силы, отнесенной к единице
массы среды; р - плотность. Согласно [7] имеем
2 2 1 + v 0 с( £ )
О = Л (а ) + а в а + 3а в ц — — + / - у ( в —£ )й£; (3 )
0 0
1
Л( а ) = —
4ц 1 1( Т 2) — - — I ?( Т )1 + V (4)
ёеГи = ^ [ (У и)* + У и], 0 = 0 о + в , (5)
где Л(а ) - удельная потенциальная энергия деформации как функция компо
нент тензора напряжений; ц - постоянная Ламе; V - коэффициент Пуассона;
1 1(Т ) - первый инвариант тензора напряжений; а = 1 1(Г); в - температура,
отсчитываемая от температуры натурального состояния, т.е. состояния, в
котором среда не напряжена; 0 о - абсолютная температура в натуральном
состоянии тела; 0 - абсолютная температура; с - теплоемкость при посто
янном объеме; а - коэффициент линейного расширения.
Свойство стационарности функционала J в положении равновесия
линейно-упругого тела запишем в виде
д J = 0. (6 )
142 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2002, № 1
Вариационный принцип для температурной задачи
Используя (2), (6 ) получаем
S S S [0 (Г • • def u ) - Ö G ] d t — S S S Ö(pK • u )d t — S S Ö(F • u )do.
В объеме V
на поверхности O
д р К = 0, д( p K • u ) = p K • д и ,
№ = 0 , д(Г • и ) = Г •ди.
С учетом (8), (9) уравнение (7) принимает вид
S S S [(д Т • • def и ) + (Т •• def ди ) - д С ]dx —
V
—S S S р К • ди d г — S S Г • ди do = 0.
V о
Поскольку Г = Т , будет справедливым соотношение
Т • • def ди = div(^ • д и ) — ди • divГ.
Далее имеем
Можно показать, что
1
ÖG = дЛ + a 6 ö I 1(TT).
дЛ ( д ) = -
2-
T I i ( T )E
1 + v
•д^; д і 1 ( f ) = E • • д Т ,
где E - единичный тензор.
На основании (10)-(13) запишем
s s u - 2 - г - т + 7 E I i ( г )
aO E \ • • д Tdx ■
S S S (div Т + p K ) •ди d t + S S ( n • T - F ) • ди do = 0.
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
При получении (14) было также использовано известное соотношение
S S S div( Т • Öu ) d t = S S n • T •Öu do.
ISSN 0556-171X. Проблемыг прочности, 2002, № 1 143
Н. М. Бородачев, Н. И. Савченко
Из (14) вследствие произвольности вариаций д Т , ди в объеме V и ди
на поверхности О имеем уравнения в объеме V
Шу Г + р К = 0; (15)
+ а в Ё (16)
1
ёеГ и = —
2 л
Т - - + + - Ё1 і (Г )
1 + V
и краевое условие
п • 7,
Оп • Л - = Р. (17)
Уравнение (15) является дифференциальным уравнением равновесия
(уравнение статики). Выражение (16) можно представить следующим обра
зом:
1пк
где
+ 2 л а й Ё | = 0 , (18)
Выражение (18) - условие совместности в напряжениях. Используя
(15), условие совместности (18) можно представить и в таком виде:
V 2Г + — — УУа + 2 р ёеГ К + Ё ̂ ----- р Шу К + 2 j u a ^ V в + -̂-----Ё V 2 6̂ = 0.
(19)
Таким образом, из условия стационарности функционала (2) в качестве
уравнений Эйлера получены уравнение статики (15) и условие совместности
(18), а в качестве натурального краевого условия - статическое краевое
условие (17).
Выше рассмотрен случай второй (статической) краевой задачи. Не
представляет принципиальных затруднений распространение полученных
результатов и на другие типы краевых задач термоупругости.
В том частном случае, когда температурные слагаемые не учитываются,
в функционал (2) вместо потенциала Гиббса О следует подставить удель
ную потенциальную энергию деформации А(о ).
Р е з ю м е
При розрахунках деталей та елементів конструкцій на міцність часто вико
ристовується варіаційне формулювання задачі. Пропонується варіаційний
принцип, рівняннями Ейлера якого є диференціальні рівняння термопруж
ності в напруженнях.
144 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2002, № 1
Вариационный принцип для температурной задачи
1. М ай зелъ В. М . Температурная задача теории упругости. - Киев: Изд-во
АН УССР, 1951. - 152 с.
2. H e rrm a n n G. On variational principles in thermoelasticity and heat
conduction // Quart. Appl. Math. - 1963. - 21. - P. 151 - 155.
3. P a rk u s H . Variational principles in thermo and magnetoelastikity // Courses
and lectures, No. 58. - Springer-Verlag: Vien, New York, 1972. - 47 p.
4. K r a tz ig W. B. a n d W a lte rsd o r f K . P . On thermodynamics of deformation and
variational methods in reversible thermoelasticity // Variational methods in
engineering / Eds. C. A. Brebbia and H. Tottenham. - Southampton
University Press. - 1975. - Vol. 1. - P. 43 - 56.
5. Б ал абух Л . И., Ш ап овалов Л . А . О вариационных уравнениях термо
упругости // Прикл. математика и механика. - 1960 .- 24, вып. 4 . -
С. 703 - 707.
6 . B o ley B. A. a n d W einer J. H . Theory of Thermal Stresses. - New York,
London: John Wiley, 1960. - 517 p.
7. Л ур ъ е А. И . Теория упругости. - М.: Наука, 1970. - 939 с.
Поступила 30. 10. 2000
ISSN 0556-171X. Проблемыг прочности, 2002, № 1 145
|