Про перiодичнi розв’язки еволюцiйних включень першого порядку з ωλ0-псевдомонотонними вiдображеннями
We consider the first-order differential-operator inclusions with operators of the ωλ0 -pseudomonotone type. The existence of periodic solutions for such inclusions by using the Faedo–Galerkin method is justified. The a priori estimates have been obtained. An example illustrating the given result ha...
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4674 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про перiодичнi розв’язки еволюцiйних включень першого порядку з ωλ0-псевдомонотонними вiдображеннями / П.О. Касьянов // Доп. НАН України. — 2008. — № 6. — С. 23-28. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859593992122925056 |
|---|---|
| author | Касьянов, П.О. |
| author_facet | Касьянов, П.О. |
| citation_txt | Про перiодичнi розв’язки еволюцiйних включень першого порядку з ωλ0-псевдомонотонними вiдображеннями / П.О. Касьянов // Доп. НАН України. — 2008. — № 6. — С. 23-28. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | We consider the first-order differential-operator inclusions with operators of the ωλ0 -pseudomonotone type. The existence of periodic solutions for such inclusions by using the Faedo–Galerkin method is justified. The a priori estimates have been obtained. An example illustrating the given result has been adduced.
|
| first_indexed | 2025-11-27T19:28:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
© 2008
П.О. Касьянов
Про перiодичнi розв’язки еволюцiйних включень
першого порядку з wλ0
-псевдомонотонними
вiдображеннями
(Представлено членом-кореспондентом НАН України В. С. Мельником )
We consider the first-order differential-operator inclusions with operators of the wλ0
-pseudomo-
notone type. The existence of periodic solutions for such inclusions by using the Faedo–Galerkin
method is justified. The a priori estimates have been obtained. An example illustrating the given
result has been adduced.
Значний прогрес при дослiдженнi нелiнiйних граничних задач для рiвнянь в частинних
похiдних став можливим завдяки глибокому розвитку методiв нелiнiйного аналiзу, якi зна-
йшли застосування в рiзних роздiлах математики. Останнiм часом стало природним зво-
дити цi задачi до вивчення нелiнiйних операторних та диференцiально-операторних рiв-
нянь i включень у функцiональних просторах. При такому пiдходi результати для кон-
кретних систем отримуються як наслiдки операторних теорем. При доведеннi збiжностi
до вiдповiдних розв’язкiв часто використовують метод монотонностi, метод компактно-
стi та їх комбiнацiю. Класична теорiя охоплює випадок псевдомонотонних операторiв [1].
Ф. Браудером та П. Гессом [2] введено клас узагальнено псевдомонотонних операторiв. Iдея
I. В. Скрипника переходу в класичних означеннях до пiдпослiдовностей [3], реалiзована для
стацiонарних включень М.З. Згуровським, В.С. Мельником та О.М. Новiковим [4–7], дала
можливiсть розглядати iстотно ширший клас λ-псевдомонотонних вiдображень, замкнений
вiдносно суми вiдображень, що для класичних означень виявилось проблематичним [6].
П.О. Касьяновим, В.С. Мельником i С. Тоскано [8, 9] було введено клас wλ0
-псевдомо-
нотонних вiдображень, що включає в себе, зокрема, клас узагальнено псевдомонотонних
вiдображень i є замкненим вiдносно пiдсумовування. Виникає задача обгрунтування мето-
ду Фаедо–Гальоркiна для перiодичних розв’язкiв диференцiально-операторних включень
з wλ0
-псевдомонотонними багатозначними вiдображеннями в банахових просторах.
У данiй роботi розглядаються перiодичнi розв’язки для еволюцiйних включень I поряд-
ку з многозначними wλ0
-псевдомонотонними вiдображеннями. Для досить широкого класу
iстотно многозначних вiдображень доводиться розв’язнiсть та виводяться апрiорнi оцiнки
для розв’язкiв. Як приклад розглядається клас задач з нелiнiйними операторами, збуре-
ними субдиференцiалом Кларка, для якого доводиться розв’язнiсть. Одержанi результати
є новими i для рiвнянь також.
Постановка задачi. Нехай (Vi;H;V ∗
i ), i = 1, 2, — еволюцiйнi трiйки такi, що множина
V = V1
⋂
V2 щiльна в V1, в V2 та в H. Для чисел pi, ri, qi, i = 1, 2, якi задовольняють умови:
1 < pi 6 ri < +∞, qi > r′i > 1, p−1
i + q−1
i = r−1
i + r′i
−1
= 1, i = 1, 2,
розглянемо простори
X = Lr1
(S;H)
⋂
Lr2
(S;H)
⋂
Lp1
(S;V1)
⋂
Lp2
(S;V2),
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №6 23
X∗ = Lq1
(S;V ∗
1 ) + Lq2
(S;V ∗
2 ) + Lr′
2
(S;H) + Lr′
1
(S;H),
Xi = Lri
(S;H)
⋂
Lpi
(S;Vi), X∗
i = Lqi
(S;V ∗
i ) + Lr′
i
(S;H), i = 1, 2,
iз вiдповiдними нормами [10].
Для многозначних вiдображень A : X1 → Cv(X
∗
1 ) та B : X2 → Cv(X
∗
2 ) розглядається така
проблема на пошук розв’язку методом Фаедо–Гальоркiна в класi W = {y ∈ X | y′ ∈ X∗}:
{
y′ +A(y) +B(y) ∋ f,
y(0) = y(T ).
(1)
Тут похiдна y′ елемента y ∈ X розумiється в сенсi простору скалярних розподiлiв
D∗(S;V ∗) = L(D(S);V ∗
w), з V = V1
⋂
V2 та V ∗
w , що дорiвнює V ∗, з топологiєю σ(V ∗, V ) [11].
На W розглядається така норма:
‖y‖W = ‖y‖X + ‖y′‖X∗ для кожного y ∈W.
Зауваження. Простiр W неперервно вкладений в C(S;H). Тому умови на краях в (1)
мають сенс.
Метод Фаедо–Гальоркiна. Додержуючись [1], припустимо iснування сепарабельного
гiльбертового простору Vσ такого, що Vσ ⊂ V1, Vσ ⊂ V2 неперервно та щiльно, Vσ ⊂ H
компактно та щiльно. Тодi
Vσ ⊂ V1 ⊂ H ⊂ V ∗
1 ⊂ V ∗
σ , Vσ ⊂ V2 ⊂ H ⊂ V ∗
2 ⊂ V ∗
σ
неперервно та щiльно. Для i = 1, 2 покладемо
Xi,σ = Lri
(S;H)
⋂
Lpi
(S;Vσ), Xσ = X1,σ
⋂
X2,σ,
X∗
i,σ = Lr′
i
(S;H) + Lqi
(S;V ∗
σ ), X∗
σ = X∗
1,σ +X∗
2,σ,
Wi,σ = {y ∈ Xi | y
′ ∈ X∗
σ}, Wσ = W1,σ
⋂
W2,σ.
Як повну систему векторiв {hi}i>1 ⊂ Vσ вiзьмемо спецiальний базис [12], тобто
i) {hi}i>1 ортонормована в H;
ii) {hi}i>1 ортогональна в Vσ;
iii) ∀i > 1 (hi, v)Vσ
= λi(hi, v) ∀v ∈ Vσ, де 0 6 λ1 6 λ2, . . . , λj −→ ∞ при j −→ ∞,
(·, ·)Vσ
— природний скалярний добуток в Vσ.
Для кожного n > 1 покладемо Hn = span{hi}
n
i=1, p0 = max{r1, r2} i розглянемо банаховi
простори
Xn = Lp0
(S;Hn), X∗
n = Lq0
(S;Hn), Wn = {y ∈ Xn | y′ ∈ X∗
n},
де 1/p0 +1/q0 = 1. Для будь-якого n > 1 In — канонiчне вкладення Xn в X, I∗n : X∗ → X∗
n —
спряжений до In. Тодi
sup
n>1
‖I∗n‖L(X∗
σ ;X∗
σ) = 1.
Введемо такi вiдображення:
An : = I∗nAIn : Xn ⇉ X∗
n, Bn : = I∗nBIn : Xn ⇉ X∗
n, fn := I∗nf ∈ X∗
n.
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №6
Разом iз задачею (1) ∀n > 1 розглянемо такий клас задач:
{
y′n +An(yn) +Bn(yn) ∋ fn,
yn(0) = yn(T ).
(2)
Тут похiдна y′n елемента yn ∈ Xn розумiється в сенсi простору скалярних розподiлiв
D∗(S;Hn).
Означення 1. Будемо казати, що y ∈ W — розв’язок задачi (1) отриманий методом
Фаедо–Гальоркiна, якщо y — слабка границя деякої пiдпослiдовностi {ynk
}k>1 у просторi
Wσ послiдовностi розв’язкiв {yn ∈ Wn, n > 1} вiдповiдних задач (2).
Класи вiдображень. Нехай Y — деякий банахiв простiр, Y ∗ — його топологiчно спря-
жений простiр, 〈·, ·〉Y : Y ∗ × Y → R — спарювання. Для строгого многозначного вiдобра-
ження A : Y ⇉ Y ∗ визначимо верхню [A(y), ω]+ = sup
d∈A(y)
〈d,w〉Y i нижню [A(y), ω]
_
=
= inf
d∈A(y)
〈d,w〉Y опорнi функцiї, де y, ω ∈ Y , а також верхню ‖A(y)‖+ = sup
d∈A(y)
‖d‖Y ∗ i нижню
‖A(y)‖
_
= inf
d∈A(y)
‖d‖Y ∗ норми. Розглянемо пов’язанi з A вiдображення coA : Y ⇉ Y ∗ та
∗
co A : Y ⇉ Y ∗, визначенi спiввiдношеннями (coA)(y) = co(A(y)) та (
∗
co A(y)) =
∗
co (A(y))
вiдповiдно, де ∗ — ∗-слабке замикання в Y ∗. Опорнi функцiї мають ряд властивостей [7].
Позначимо через Cv(Y ) сiм’ю всiх непорожнiх замкнених опуклих обмежених пiдмножин
з простору Y .
Нехай W — нормований простiр, неперервно вкладений в Y .
Означення 2. Многозначне вiдображення A : Y → 2Y ∗
називається:
+(−)-коерцитивним, якщо iснує дiйсна функцiя γ : R+ → R, обмежена знизу на обме-
жених в R+ множинах, така, що γ(s) → +∞ при s → +∞ та
[A(y), y]+(−) > γ(‖y‖Y )‖y‖Y ∀y ∈ Y ;
локально обмеженим, якщо для фiксованого y ∈ Y iснують m > 0 та M > 0 такi, що
‖A(ξ)‖+ 6 M , коли ‖y − ξ‖Y 6 m, ξ ∈ Y ;
λ0-псевдомонотонним на W (wλ0
-псевдомонотонним), якщо для будь-якої послiдовностi
{yn}n>0 ⊂ W такої, що yn ⇀ y0 в W , dn ⇀ d0 в Y ∗ при n → +∞, де dn ∈
∗
coA(yn) ∀n > 1,
iз нерiвностi
lim
n→∞
〈dn, yn − y0〉Y 6 0
випливає iснування таких пiдпослiдовностей {ynk
}k>1 з {yn}n>1 та {dnk
}k>1 з {dn}n>1, для
яких виконується
lim
k→∞
〈dnk
, ynk
− w〉Y > [A(y0), y0 − w]− ∀w ∈ Y.
Означене вище многозначне вiдображення задовольняє
властивiсть (Π), якщо для довiльної обмеженої множини B ⊂ Y , деякого k > 0 та
деякого селектора (d(y) ∈ A(y) ∀ y ∈ B):
〈d(y), y〉Y 6 k для довiльних y ∈ B,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №6 25
має мiсце iснування K > 0:
‖d(y)‖Y ∗ 6 K для довiльних y ∈ B.
Основний результат.
Теорема. Нехай A : X1 → Cv(X
∗
1 ) та B : X2 → Cv(X
∗
2 ) — многозначнi вiдображення
такi, що:
1) A — λ0-псевдомонотонне на Wσ,1 та задовольняє властивiсть (Π);
2) B — λ0-псевдомонотонне на Wσ,2 та задовольняє властивiсть (Π);
3) C = A+B : X ⇉ X∗ — локально обмежене на довiльному скiнченновимiрному пiд-
просторi з X та +-коерцитивне.
Бiльше того, нехай {hj}j>1 ⊂ Vσ — спецiальний базис. Тодi для довiльного f ∈ X∗
множина
Kper
H (f) := {y ∈W | y — розв’язок (1), одержаний методом Фаедо–Гальоркiна}
непорожня та
Kper
H (f) =
⋂
n>1
[
⋃
m>n
Kper
m (fm)
]
Xw
,
де для довiльного n > 1
Kper
n (fn) = {yn ∈Wn | yn — розв’язок (1)}.
У випадку, коли A+B : X ⇉ X∗ — -коерцитивне, тодi Kper
H (f) — слабкий компакт
в X та в Wσ.
П р и к л ад . Розглянемо обмежену область Ω ⊂ R
n з достатньо гладкою межею ∂Ω, S = [0, T ],
Q = Ω × (0;T ), ΓT = ∂Ω × (0;T ). Нехай при i = 1, 2, mi ∈ N, N i
1
(вiдповiдно N i
2
) — число дифе-
ренцiювань за x порядку 6 mi − 1 (вiдповiдно mi) та {Ai
α(x, t, η, ξ)}|α|6mi
— сiм’я дiйсних функцiй,
означених на Q × RNi
1 × RNi
2 . Нехай
Dku = {Dβu, |β| = k} − диференцiювання за x,
δiu = {u,Du, . . . , Dmi−1u},
Ai
α(x, t, δiu,D
miv) : x, t→ Ai
α(x, t, δiu(x, t), D
miv(x, t)).
Бiльше того, нехай ψ : R → R — локально лiпшiцова функцiя, Φ = ∂Clψ : R ⇉ R —
узагальнений градiєнт Кларка [13]:
∃C > 0: ‖Φ(t)‖+ 6 C(1 + |t|), [Φ(t), t]+ >
1
C
(t2 − 1) ∀t ∈ R. (3)
Розглянемо таку задачу:
∂y(x, t)
∂t
+
∑
|α|6m1
(−1)|α|Dα(A1
α(x, t, δ1y(x, t),D
m1y(x, t))) +
+
∑
|α|6m2
(−1)|α|Dα(A2
α(x, t, δ2y(x, t),D
m2y(x, t))) + Φ(y(x, t)) ∋ f(x, t) в Q, (4)
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №6
y(x, 0) = y(x, T ) в Ω, (5)
Dαy(x, t) = 0 в ΓT при |α| 6 max{m1;m2}. (6)
Припустимо, що H = L2(Ω) та Vi = Wmi,pi
0 (Ω) з pi ∈ (1, 2]: Vi ⊂ H неперервно. За
вiдповiдних умов на Ai
α дану проблему перепишемо як
y′ +A1(y) +A2(y) + ∂ϕ(y) ∋ f, y(0) = y(T ), (7)
де f ∈ X∗ = L2(S;L2(Ω))+Lq1
(S;W−m1,q1(Ω))+Lq2
(S;W−m2,q2(Ω)) (p−1
i +q−1
i = 1), ∂ϕ— суб-
диференцiал Кларка iнтегрального функцiонала ϕ(y) =
∫
Q
ψ(y(x, t)) dxdt в L2(S;L2(Ω)) =
= H. Елемент y ∈ W , що задовольняє (7), називається узагальненим розв’язком зада-
чi (4)–(6).
Вибiр базису. Як повну систему векторiв у просторi Wmi,pi
0 (Ω) можемо взяти спецi-
альний базис для пари (H
max{m1;m2}+ε
0 (Ω); L2(Ω)) з вiдповiдним ε > 0.
Означення операторiв Ai. Нехай Ai
α(x, t, η, ξ), означенi в Q × RN i
1 × RN i
2 , задоволь-
няють умови:
для майже всiх x, t ∈ Q η, ξ → Ai
α(x, t, η, ξ) неперервна на RN i
1 × RN i
2 ;
для всiх η, ξ вiдображення x, t → Ai
α(x, t, η, ξ) вимiрне на Q;
∑
|α|=mi
Ai
α(x, t, η, ξ)ξα
1
|ξ| + |ξ|pi−1
→ +∞ при |ξ| → ∞
для майже всiх x, t ∈ Q та обмежених |η|;
∑
|α|=mi
(Ai
α(x, t, η, ξ) −Ai
α(x, t, η, ξ∗))(ξα − ξ∗α) > 0 при ξ 6= ξ∗
для майже всiх x, t ∈ Q та ∀η;
∑
|α|=mi
Ai
α(x, t, η, ξ)ξα > c|ξ|pi для великих |ξ|;
|Ai
α(x, t, η, ξ)| 6 c[|η|pi−1 + |ξ|pi−1 + k(x, t)], k ∈ Lqi
(Q).
Застосувавши теорему, отримаємо, що задача (4)–(6) має узагальнений розв’язок, який
можна одержати методом Фаедо–Гальоркiна.
1. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. – Москва: Мир, 1972. – 587 с.
2. Browder F. E., Hess P. Nonlinear mapping of monotone type in Banach spaces // J. Func. Anal. – 1972. –
11, No 2. – P. 251–294.
3. Скрыпник И.В. Методы исследования эллиптических краевых задач. – Москва: Наука, 1990. – 442 с.
4. Згуровский М.З., Мельник В.С. Метод штрафа для вариационных неравенств с многозначными
отображениями. I // Кибернетика и системный анализ. – 2000. – № 4. – С. 57–69.
5. Мельник В.С. Про критичнi точки деяких класiв багатозначних вiдображень // Там же. – 1997. –
№ 2. – С. 87–98.
6. Згуровский М. З., Мельник В.С. Неравенство Ки Фаня и операторные включения в банаховых про-
странствах // Там же. – 2002. – № 2. – С. 70–85.
7. Згуровский М.З., Мельник В.С., Новиков А.Н. Прикладные методы анализа и управления нелиней-
ными процессами и полями. – Киев: Наук. думка, 2004. – 590 с.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №6 27
8. Касьянов П.О., Мельник В.С. Метод Фаедо–Гальоркiна для диференцiально-операторних включень
в банахових просторах з вiдображеннями wλ0
-псевдомонотонного типу // Зб. праць Iн-ту математики
НАН України. – 2005. – 2, № 1. – С. 103–126.
9. Kasyanov P.O., Mel’nik V. S., Toscano S. Periodic solutions for nonlinear evolution equations with
Wλ0
-pseudomonotone maps // Нелiнiйнi коливання. – 2006. – No 2. – С. 187–212.
10. Kasyanov P.O., Mel’nik V. S., Yasinsky V.V. Evolution inclusions and inequalities in Banach spaces with
wλ-pseudomonotone maps. – Киев: Наук. думка, 2007. – 308 с.
11. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. В 4 т. – Москва: Мир, 1977. – Т. 1. –
359 с.
12. Temam R. Infinite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics. – New York, 1988. – 643 p.
13. Clarke F.H. Optimization and nonsmooth analysis. – Philadelphia: SIAM, 1990. – 280 p.
Надiйшло до редакцiї 23.08.2007Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
УДК 512.54
© 2008
Я.В. Лавренюк, В.В. Некрашевич
Групи зберiгаючих мiру гомеоморфiзмiв множини
Кантора
(Представлено членом-кореспондентом НАН України М.О. Перестюком)
We study the Bernoulli measure-preserving groups of self-homeomorphisms of spherically ho-
mogeneous trees.
1. Нагадаємо необхiднi нам поняття, пов’язанi з кореневими деревами та їхнiми границями.
Бiльш докладно про це можна прочитати в [1, 2]. Кореневе дерево — це дерево з видiленою
вершиною, яка називається коренем дерева. Ми розглядатимемо лише локально скiнченнi
дерева.
Вершина v дерева T лежить пiд вершиною w, якщо шлях, що з’єднує вершину v з коре-
нем, мiстить вершину w (позначатимемо це v ≺ w). Ми позначатимемо Tv повне пiддерево
дерева T , що складається з усiх вершин, що лежать нижче вiд v з коренем v.
Рiвнем n (сферою радiусом n) називається множина Vn, що складається з усiх вершин,
якi лежать на вiдстанi n вiд кореня. Кореневе дерево T називається сферично однорiдним,
якщо в кожному рiвнi дерева T усi вершини мають однакову валентнiсть. Сферичний iн-
декс сферично однорiдного дерева T — це послiдовнiсть (n0, n1, . . .), де n0 — валентнiсть
кореневої вершини, а nm +1 — валентнiсть довiльної вершини з рiвня m. Нагадаємо, що су-
пернатуральним числом називається формальний нескiнченний добуток вигляду pα1
1 pα2
2 · · · ,
де p1, p2, . . . — усi простi числа в природному порядку, а αi — або цiле невiд’ємне число,
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №6
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4674 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-27T19:28:17Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Касьянов, П.О. 2009-12-17T16:15:19Z 2009-12-17T16:15:19Z 2008 Про перiодичнi розв’язки еволюцiйних включень першого порядку з ωλ0-псевдомонотонними вiдображеннями / П.О. Касьянов // Доп. НАН України. — 2008. — № 6. — С. 23-28. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4674 517.9 We consider the first-order differential-operator inclusions with operators of the ωλ0 -pseudomonotone type. The existence of periodic solutions for such inclusions by using the Faedo–Galerkin method is justified. The a priori estimates have been obtained. An example illustrating the given result has been adduced. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Про перiодичнi розв’язки еволюцiйних включень першого порядку з ωλ0-псевдомонотонними вiдображеннями Article published earlier |
| spellingShingle | Про перiодичнi розв’язки еволюцiйних включень першого порядку з ωλ0-псевдомонотонними вiдображеннями Касьянов, П.О. Математика |
| title | Про перiодичнi розв’язки еволюцiйних включень першого порядку з ωλ0-псевдомонотонними вiдображеннями |
| title_full | Про перiодичнi розв’язки еволюцiйних включень першого порядку з ωλ0-псевдомонотонними вiдображеннями |
| title_fullStr | Про перiодичнi розв’язки еволюцiйних включень першого порядку з ωλ0-псевдомонотонними вiдображеннями |
| title_full_unstemmed | Про перiодичнi розв’язки еволюцiйних включень першого порядку з ωλ0-псевдомонотонними вiдображеннями |
| title_short | Про перiодичнi розв’язки еволюцiйних включень першого порядку з ωλ0-псевдомонотонними вiдображеннями |
| title_sort | про перiодичнi розв’язки еволюцiйних включень першого порядку з ωλ0-псевдомонотонними вiдображеннями |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4674 |
| work_keys_str_mv | AT kasʹânovpo properiodičnirozvâzkievolûciinihvklûčenʹperšogoporâdkuzωλ0psevdomonotonnimividobražennâmi |