Эллиптическая трещина нормального отрыва в бесконечном упругом теле. Сообщение 2. Контакт берегов трещины
Рассматривается взаимодействие берегов эллиптической трещины, которая находится в частично отрицательном поле внешних напряжений. Проблема заключается как в нахождении области, где происходит контакт берегов, так и возникающих при этом напряжений контакта. Последние представляются в виде конечног...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы прочности |
|---|---|
| Дата: | 2002 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2002
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46744 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Эллиптическая трещина нормального отрыва в бесконечном упругом теле. Сообщение 2. Контакт берегов трещины / И.В. Орыняк, А.Ю. Гиенко, А.В. Каменчук // Проблемы прочности. — 2002. — № 2. — С. 41-52. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859643244775735296 |
|---|---|
| author | Орыняк, И.В. Гиенко, А.Ю. Каменчук, А.В. |
| author_facet | Орыняк, И.В. Гиенко, А.Ю. Каменчук, А.В. |
| citation_txt | Эллиптическая трещина нормального отрыва в бесконечном упругом теле. Сообщение 2. Контакт берегов трещины / И.В. Орыняк, А.Ю. Гиенко, А.В. Каменчук // Проблемы прочности. — 2002. — № 2. — С. 41-52. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы прочности |
| description | Рассматривается взаимодействие берегов эллиптической трещины, которая находится в
частично отрицательном поле внешних напряжений. Проблема заключается как в нахождении
области, где происходит контакт берегов, так и возникающих при этом напряжений
контакта. Последние представляются в виде конечного полиномиального ряда с
неизвестными коэффициентами, определяемыми из условия минимума квадратов отклонений
перемещений в области контакта от нуля и отклонений суммарных напряжений от
заданных в остальной области. Сама же область контакта находится в результате поиска
абсолютного минимума этих отклонений. Приведены конкретные результаты для трещины,
находящейся в линейном поле напряжений.
Розглядається взаємодія берегів еліптичної тріщини, яка знаходиться в
частково від’ємному полі зовнішніх напружень. Проблема полягає як у
визначенні області, де відбувається контакт берегів, так і напружень контакту,
що виникають при цьому. Останні записуються у вигляді скінченного
поліноміального ряду з невідомими коефіцієнтами, які визначаються з умови
мінімуму квадратів відхилень переміщень в області контакту від нуля та
відхилень сумарних напружень в іншій частині області від заданих. Область
контакту визначається в результаті пошуку абсолютного мінімуму згаданих
вище відхилень. Приведено конкретні результати розрахунку для тріщини,
що знаходиться в лінійному полі напружень.
We consider interaction of elliptic crack faces
appearing in a partially negative field of external
stresses. The objective of the present study
is to determine both the area of the crack faces
contact and the contact stresses generated
thereby. The latter are represented in the form
of a finite polynomial series with unknown coefficients,
which can be found from the condition
of the minimum of squares of displacement deviations
from zero in the contact area and deviations
of the total stress from the given ones in
the remain region. The contact area itself is determined
as a result of searching for the absolute
minimum of these deviations. We present
specific results for a crack lying in the linear
field of stresses.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:24:54Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.4
Эллиптическая трещина нормального отрыва в бесконечном
упругом теле. Сообщение 2. Контакт берегов трещины
И. В. О ры няк, А. Ю . Гиенко, А. В. Каменчук
Институт проблем прочности НАН Украины, Киев, Украина
Рассматривается взаимодействие берегов эллиптической трещины, которая находится в
частично отрицательном поле внешних напряжений. Проблема заключается как в на
хождении области, где происходит контакт берегов, так и возникающих при этом напря
жений контакта. Последние представляются в виде конечного полиномиального ряда с
неизвестными коэффициентами, определяемыми из условия минимума квадратов откло
нений перемещений в области контакта от нуля и отклонений суммарных напряжений от
заданных в остальной области. Сама же область контакта находится в результате поиска
абсолютного минимума этих отклонений. Приведены конкретные результаты для тре
щины, находящейся в линейном поле напряжений.
К лю чевы е слова : эллиптическая трещина, контакт, линейное нагружение,
минимизация ошибки.
Введение. Полученное ранее [1] решение для перемещений берегов
трещины можно рассматривать как фундаментальное. Представленное в
виде полиномиального ряда оно позволяет решать практические задачи с
любой требуемой степенью точности. Одной из таких задач является учет
контактирования берегов трещины. Суть ее состоит в том, что для трещины,
находящейся в частично отрицательном поле напряжений, возможны ситу
ации, когда перемещения ее берегов, определяемые методами теории упру
гости, становятся отрицательными на некотором участке. Так, например, при
линейном нагружении берегов трещины:
q( Р, р ) = Р sin р (1а)
перемещения W ( р , р ) в соответствии с упругим решением (см. в [1] фор
мулу (33б)) равны
w (р , р ) = a ~ р d \ \ p sin р , (1б)
H ’
где а - ширина трещины; ( р , р ) - параметрические координаты; H - обоб
щенный модуль Юнга; d 1 - коэффициент поля перемещений. В результате
получается, что при л < р < 2 л перемещения меньше нуля. С физической
точки зрения это абсурд, поскольку поверхности не могут заходить одна за
другую. Очевидно, что на величину перемещений нужно наложить условие
неотрицательности, т.е. W (р , р ) > 0.
Сложность задачи состоит в том, что в зонах контакта берегов трещины
возникают дополнительные неотрицательные напряжения взаимодействия,
которые обусловливают перестройку всего напряженно-деформированного
© И. В. ОРЫНЯК, А. Ю. ГИЕНКО, А. В. КАМЕНЧУК, 2002
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2002, № 2 41
И. В. Орыняк, А. Ю. Гыенко, А. В. Каменчук
состояния. Поэтому неизвестные границы области контакта необходимо
уточнять в процессе решения задачи.
Насколько известно авторам, для трехмерных тел с трещинами не су
ществует ни общих подходов к решению таких задач, ни конкретных ре
зультатов расчета. Ранее [2] были предложены качественные подходы к
оценке коэффициента интенсивности напряжений (КИН) на контуре трещи
ны. В [3] отмечается, что упомянутые задачи достаточно сложны и требуют
разработки специфических математических методов и численных процедур.
В настоящей работе на основе полученных в сообщении [1] резуль
татов рассматривается контактная задача, для решения которой ставятся
следующие цели:
формализовать постановку задачи о контакте берегов трещины;
создать эффективную однозначную процедуру нахождения площади и
напряжений взаимодействия поверхностей трещины;
получить конкретные результаты для трещины под действием внеш
них напряжений (1а).
Обоснование постановки задачи. Пусть эллиптическая трещина пло
щади Б о находится во внешнем нормальном частично отрицательном поле
напряжений а А (Б о). Поскольку отвечающие им в соответствии с теорией
упругости перемещения Ж А (Б о) отрицательны на некоторой части пло
щади трещины, то происходит контакт ее берегов. Допустим, что область
контакта берегов трещины Б 1 известна. Тогда достаточной формулировкой
задачи, т.е. граничными условиями, будет следующая:
Ж ( р , р ) = 0, (р,<р) е Б 1;
а ( P ,Р ) = а А (P ,Р X (P ,Р ) е Б 2 = Б о - Б 1.
Полученные в [1] результаты могут быть использованы для нахождения
приближенного решения (2). Полагаем, что во всей области Б о действуютл
дополнительные контактные напряжения а (Б о). Если эти дополнительные
напряжения симметричны относительно оси у, то их можно представить в
виде конечного полиномиального ряда:
. М
а N (P ,р ) = 2 2 2 А21+к,2]+ка 21+к,2]+к(P ,р X
к=о ]=о 1=]
где
а 21+к,2]+к(P ,Р ) = р 21+к С08( у - (2 + к )р | ; (3б)
N - максимальная степень искомого полинома; А2+ 2]+к - искомые коэф
фициенты разложения; здесь и далее квадратные скобки обозначают целую
часть от выражения, заключённого внутри них. Упругие перемещения бере-
л
гов трещины Ж (Б о), соответствующие напряжениям (3а), примут вид [1]
42 ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2002, № 2
Эллиптическая трещина нормального отрыва
ШС (р , р ) — н ^ ~ Р 2 2 2 2 А21+к ,2 /+кШ21+к ,2 /+к ( р , р X (4а)
£=0 / —0 I- /
где Н - обобщённый модуль упругости; а - меньшая полуось трещины;
Ш21+к ,2/+ к(Р ,Р ) - безразмерное поле перемещений берегов трещины под
действием напряжений (3б), которое можно представить следующим обра
зом:
I I
Ш21+к,2]+к (р ,р ) = 2 2 ^ И + к ^ + к 0 21+к,2ш+к(р ,р )- (4б)
т —0 1—ш
Тогда вместо условий (2) можно записать приближенную постановку
задачи:
(Р ,Р ) ^ ° (Р ,Р ) е ^ ; (5)
(°К ( Р ,Р ) ^ оА ( Р ,Р \ ( Р ,Р ) е ^
где о (р , р ) - полное напряжение, действующее на берега трещины,
о R (р , р ) = o A (р , р ) + о C (р , р ); (6a)
W ( р , р ) - полное перемещение берегов трещины,
W R ( р , р ) = W C (р , р ) + W A ( р , р ). (6б)
Такая постановка дает возможность определить неизвестные коэффи
циенты A j j методом наименьших квадратов, минимизируя следующий
функционал ошибки:
11( Aj , j ) = f f [ к ( р , р ) W R ( р , р )]2 dS + f f [о C ( р , р )]2 dS = min. (7)
S 2
Поскольку величины Ш и о имеют разные размерности и числовой поря
док, то, чтобы уравнять их значимость, в функционал (7) введен дополни
тельный весовой коэффициент к( р , р ). Заметим, что при максимально точ
ном решении задачи (порядок полинома N в представлении (3) стремится к
бесконечности) выбор значения к не влияет на определяемые значения А / {.
Однако проблема состоит в том, что область Б х заранее неизвестна, а
функционал (7) не содержит никаких механизмов ее уточнения. Действи
тельно, полагая, что Б х — 0 (трещина полностью открыта), о (Б о) — 0,
получаем I !(А 1 / ) — 0, т.е. функционал (7) достигает минимума. С другой
стороны, считая, что трещина полностью закрыта (Б 2 — 0) и при этом
ISSN 0556-171X. Проблемыг прочности, 2002, № 2 43
И. В. Орыняк, А. Ю. Гыенко, А. В. Каменчук
л
контактные напряжения противоположны приложенным, т.е. о (Б 0 ) =
= — о А (Б о), также получаем I ̂ Л{ у ) = 0. Таким образом, два заведомо не
правильных решения обеспечивают минимизацию функционала (7). Это
связано с тем, что постановка (5) не является полной с точки зрения
обеспечения поиска области Б 1 и из физических соображений должна быть
дополнена следующим образом [3]:
(р ,р ) ^ ° оС (р ,р ) ^ ° ( р ,р ) е Б 1; (8)
о к ( р , р ) ^ о А ( р , р ) , ( р , р ) > 0, ( р , р ) е 512.
В соответствии с постановкой (8) минимизации подлежит функционал
ошибки I о:
I о( А, у ) = 11( А , , у ) + 12( А, у ), (9)
где величина 11 определена выражением (7), а функционал 12 равен
1 2 (А {,у ) = 5 5 [ к ( р , Р ) Ж п (р , Р )]2 ^ + Я [оС (р , Р )]2 ^ . (10)
Б 2
Здесь Б1 - часть области Б 1, где о (р , р ) < 0, а Б'2 - часть области Б 2, где
п
Ж ( р , р ) < 0. Теперь 10 достигает минимума для истинной площади кон
такта.
Для рассмотренных выше двух предельных случаев полностью откры
той и полностью закрытой эллиптической трещины значения функционалов
ошибки, а именно: 1 2(1) и 1 2(2), соответственно равны
12(1) = 5 5 [ к ( р , Р ) Ж К (р , р )]2 ё Б ;
Б 2
(11)
1 2(2) = 5 5 [оС ( р , р )]2 dБ .
Сравнивая эти величины между собой, можно сформулировать общее требо
вание к коэффициенту к ( р , р ), чтобы два предельных неправильных реше
ния приводили к одинаковой ошибке. Примем
х н
к( р ,Р ) = I, 2 , (12)
а \ 1 — р
где х - некоторый числовой коэффициент веса. Тогда произведение к -Ж
является функцией той же структуры, размерности и величины, что и
напряжения о.
44 1ББМ 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2002, № 2
Эллиптическая трещина нормального отрыва
Алгоритм решения. В постановке (8) с учетом (6) и (9) уже заложен
механизм определения как самих коэффициентов Л { у , так и искомой пло
щади контакта 5 1. Однако задача нахождения минимума (8) есть сущест
венно нелинейной и требует разработки специальных приемов.
Основная идея предлагаемого алгоритма и, по-видимому, всей работы
такова:
минимизация функционала (7) происходит на каждом шаге определения
5 1, т.е. находятся коэффициенты Л1 у для фиксированной области 5 ̂
минимизация 1 2 служит для определения области 5 1, а именно: для
уточнения области при найденных коэффициентах Л 1 у .
Более подробно алгоритм состоит в следующем.
1. Область 5 о разбивается на достаточно большое количество элемен
тарных площадок А 5т , сопоставимых по площади. Внутри каждой пло
щадки выбирается одна точка М т ( р т , р т ), которой приписывается свой
ство принадлежности к области 5 1 либо 5 2. На начальном этапе задаются
произвольная область 5 1, например 5 1 = 0 либо 5 1 = 5 о, а также началь
ное значение ошибки I о, вычисленной для этой начальной области в со
ответствии с (1о).
2. Для заданной области Б 1 минимизируется функционал 11 (7) из
обычного для метода наименьших квадратов условия:
Л 1
---- — = 0.
^А і, І
(13)
Из этого условия с учетом (3), (4), (7) и (12) получим следующую
систему линейных уравнений:
х 2 И № А (Р, р ) + ж с ( Р, р Ш і п +к ,2 р+к ( р , р № +
*1
+ и ° С ( р ,Р ) ° 2п+к,2р+к ( р ,Р )^ = 0, (14)
N к N к
_ 2 _
п II р, _ 2 _
где к = 0,1; р = 0, 1,..
2
Решив данную систему, определим неизвестные коэффициенты
с сЛ2п+к,2р+к , входящие в выражения (3), (4) для о И (р , р ) и Ж ( р , р ) со
ответственно. При этом интегралы из (14) вычисляются путем численного
интегрирования по соответствующим областям. Для найденных коэффици
ентов Л2п+к 2р+к и области 5 1 определяется полный функционал ошибки
I о (9) на данном шаге вычислений. Его значение сравнивается с аналогич
ными величинами, определенными на предыдущих итерациях, из которых
запоминается наименьшее значение I о и соответствующий ему номер ите
рации.
2
0556-171Х. Проблемыг прочности, 2002, № 2 45
И. В. Орыняк, А. Ю. Гыенко, А. В. Каменчук
3. Уточняется область Б ^ Поскольку найденные коэффициенты
А-2п+к 2р+к минимизируют I 1, то уточнение области происходит с целью
уменьшения 12. Для этого в области Б 1 определяется несколько точек к,
например к = 5, в которых значения о N (р , р ) минимальны и отрицательны,
если таковые имеются.
Очевидно, что эти точки не должны принадлежать Б 1, поэтому их
принадлежность меняется и они считаются находящимися в области Б 2. В
свою очередь, в области Б 2 определяются (если таковые имеются) несколь
ко точек р , в которых значения (р , р ) минимальны и при этом отрица
тельны. Эти точки перенаправляются в область Б 1. Для того чтобы избежать
попадания в “мёртвые” зоны, когда одни и те же точки бесконечно будут
переноситься из закрытой зоны в открытую и обратно, необходимо задать
к ^ р.
4. После уточнения областей Б 1 и Б 2 возвращаемся к п. 2 для
определения коэффициентов полинома и полной ошибки 10. Для всех
проведенных вычислений (достаточно пройти примерно К о / к шагов для
любой выбранной начальной области Б 1) устанавливается номер шага, для
которого значение I о минимально. Для этого шага приводятся значения
А-2П+к 2р+к и точки, принадлежащие Б !, что и будет решением поставлен
ной задачи.
П рактическая реализация и результаты. Рассматривается только
внешнее напряжение, заданное по закону (1а). В силу симметрии расчеты
проводятся по половине трещины, и при выборе контактных напряжений
(3а) учитываются лишь 1- и 3-я ветви нагружения [1]. Разбивка половины
площади трещины осуществлялась в параметрических координатах на
2-2590 элементарных областей. При этом применялась равномерная раз
бивка цилиндрами с параметрическим радиусом р 1 на Р = 35 участков и
неравномерная разбивка лучами с угловой координатой р J■:
(15)
р і = і^ р ;
р ] = <р у_1 + А<Р,
1 ж
где А р = — ; і = 0 ,1 ,..., Р _ 1; А<р = —--------- -; і = 0 ,..., 40 + 2і _ 1.р ’ г 2(40 + 2і)
Такая разбивка обеспечивает сопоставимые площади элементарных облас
тей и даёт хорошую точность при численном определении интегралов.
Интегралы в (14) представляются в виде сумм вида:
Я / ( р,<рУБ / (р і ,<рі ) А Б ц . (16)
£ і і
Площади элементарных областей находятся как площади трапеций:
A Б ij = а ъ \р ; + ^ 2 ~\ АрАр j . (17)
46 ІББМ 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2002, № 2
Эллиптическая трещина нормального отрыва
Проведение многократных расчетов коэффициентов в уравнении (14) на
каждом шаге уточнения области интегрирования требует разработки эффек
тивной процедуры их нахождения, иначе время расчета может быть недопус
тимо большим. С этой целью предложена соответствующая численная реали
зация. До начала расчета неизвестных коэффициентов проводится пред
варительный расчет повторяющихся множителей вида р n cos m p A S t j и
p n sin m p A S t j , которые сохраняются в промежуточном многомерном мас
сиве. Полученные результаты “кэшируются” в многомерном массиве, кото
рый передается впоследствии в главную процедуру расчета. Это позволило
значительно уменьшить время уточнения области контакта в сравнении с
обычным определением упомянутых множителей на каждом шаге. В целом
время решения для 500-600 итераций на компьютере для N = 7, т.е. для 18
неизвестных, составляет 5-7 минут. Для задач такой сложности это доста
точно быстрое решение.
Приведем более подробно полученные результаты для круговой тре
щины, для которой отрабатывались все методические проблемы. Если в
уравнении ( 12) принимается значение % = l j d H , где последнее определено
формулой (43) работы [1], то начальная ошибка в соответствии с (11) равна
12(1) = 12(2) = 0,1962703.
Сначала исследовалось влияние пути определения искомой площади S 1,
т.е. влияние принятого начального состояния трещины на получаемые ре
зультаты. При этом рассматривались три начальных состояния: трещина
полностью открыта; трещина полностью закрыта; половина трещины от
крыта. Оказалось, что полученные результаты для ^ 2n+fc 2p+k отличаются
лишь в (5-6)-й значащей цифре, а область налегания берегов трещины -
максимально на 10-20 точек. Это есть безусловным подтверждением пра
вильности алгоритма. Поэтому в дальнейшем, без ущерба для точности ре
зультатов, полагаем, что изначально трещина является полностью открытой.
Затем рассматривалось влияние принятого коэффициента веса % на
полученные результаты. На рис. 1 приведены значения КИН вдоль фронта
круговой трещины при 0,5 < % < 5. Очевидно, что % незначительно влияет
на величину КИН, особенно в точках фронта трещины, примыкающих к
открытым поверхностям трещины. Далее в вычислениях принималось % = 1.
При этом начальное значение ошибки равно / ° = 0,14141332.
Для нескольких значений N получены следующие результаты:
а) N = 1 (всего два неизвестных коэффициента: А0 0 и A11). Количество
точек M 1, попавших в область S 1, равно 2295 (из 2590 возможных). Ми
нимальное значение ошибки I min, найденное на 515-м шаге, составляет
10 / 10min — 6,28. Значения искомых коэффициентов равны: А0 0 = 0,17172;
А1Д = -0 ,40483;
б) N = 3 (шесть неизвестных коэффициентов). Количество точек M 1,
попавших в S 1, составляет 2104, при этом наибольшее отношение
I о / 10min — 116,6. Значения искомых коэффициентов А { j равны: А0 0 =
= 0,025538; А2 0 = 0,314920; А2 2 = - 0,290542; A1 1 = - 0,295930; А3 1 =
= 0,258106; А3,3 = 0,061143;
ISSN 0556-171X. Проблемыг прочности, 2002, № 2 47
И. В. Орыняк, А. Ю. Гиенко, А. В. Каменчук
в) N = 5 (12 неизвестных коэффициентов). М 1 = 1989; I ° / 1 = 485.
Значения коэффициентов Л{ • равны: Л0,0 = — 0,011636; Л2,0 = 0,61150;
Л40 = — 0,263340; Л2 2 = — 0,517700; Л4 2 = 0,321110; Л4 4 = — 0,075121;
Л1д = — 0,160267; Л3’д = — 0,984086; л ’5Д = 0,708153; Л33 = 0,250443;
Л5’,3 = — 0,27470; Л5,5 = 0,042540;
г) N = 7 (18 неизвестных коэффициентов). М 1 = 1953; I ° / 10"“ = 698.
Значения коэффициентов Л{ • равны: Л0,0 = — 0,000129; Л2 0 = 0,344011;
Л40 = 0,375568; Л6 0 = — 0,466221; Л2 2 = — 0,438367; Л42 = 0,050876;
Л6,2 = 0,208148; Л4,4 = — 0,193891; Л6,4 = 0,148090; Л66 = — 0,029821;
Л1;1 = — 0,116839; Л3д = — 1,061177; Л5Д = 0,522759; Л71 = 0,254373;
Л3’3 = 0,446540; Л5 3 = — 0,937616; Л7 3 = 0,499673; Л5 ’5 = 0,221674;
Л7’5 = — 0,226750; Л7 7 = 0,028184.
Рис. 1. Сравнение значений КИН для разного веса %'■ 1 - без учета взаимодействия берегов
трещины; 2 - ^ = 0,5; 3 - ^ = 1; 4 - ^ = 1,1781; 5 - ^ = 2; 6 - ^ = 5.
Рис. 2. Значения КИН для круговой трещины.
Благодаря наличию значений Л( ^ можно определить поле перемеще
ний по формуле (3б), что, в свою очередь, легко позволяет найти коэффи
циенты интенсивности напряжений по формуле
л/2я Я ( р,<я)
К 1( в ) = — ^ Н ш ----- у = ^ , (18)
2 л^ 0 д/ Л
где Л - кратчайшее расстояние между точкой контура трещины и внутрен
ней точкой поверхности трещины. Согласно (18) с учетом (3), (4) получим
48 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2002, № 2
Эллиптическая трещина нормального отрыва
К 1( р ) = лГжа П 1/4 (р ) X
, [ ¥ ] [ " г ] , ,
х2 2 2 А 2 і+к,2і+к 22 а 2МЛ,п-+к с ^ ^ - (2 т + к )р ]. (19)
к=0 7=0 і= 7 т=01=т
Зависимости 2К і( 0) для разных значений N приведены на рис. 2.
Очевидно, что контакт берегов трещины приводит к незначительному увели
чению максимальных значений КИН (на 3-4%). На рис. 3 показана эволюция
зон контакта в процессе увеличения числа итераций, где неконтактирующие
элементарные области наносились в виде дискретных точек.ш
а б в
У-'”' "" 'п/ \л\*' ■»/
г д е0 0 0
ж з и
Рис. 3. Эволюция зон контакта трещины при увеличении числа итераций (начальная ошибка
1° = о,141413317, всего точек в четвертьобласти М = 259о): а - 5о шагов, в Б1 точек 25о,
1°/1<Г = 1,82; б - 1оо шагов, точек 5оо, 1^/1(5П1П = 2,86; в - 15о шагов, точек 75о,
Iоо/ 1от1П = 4,45; г - 2оо шагов, точек 995, !о/!опт = 7,93; д - 25о шагов, точек 1217,
I« / 1от1п = 14,9о; е - 295 шагов, точек 1423, I« / 1от1п = 3о,59; ж - 35о шагов, точек 1645,
Iоо/ 1от1п = 99,35; з - 427 шагов, точек 1953, !о /I(mln = 698,23; и - боо шагов, точек 2315,
I о / 1 от1п = 316,76.
Видно, что вначале поиска правильного решения (при малом числе
итераций) внутри контактирующей области оставались неконтактирующие
“островки”.
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2002, № 2 49
И. В. Орыняк, А. Ю. Гиенко, А. В. Каменчук
Правильное “наилучшее” решение характеризуется четкой границей
раздела между областями 5 1 и 5 Подобные результаты и тенденции
наблюдались для N = 5 и 3.
Для эллиптической трещины результаты приведены только для N = 7.
1. Для случая а/Ь = 0,5 получены следующие результаты: М 1 = 1807;
1 0 = 0,176848; I ° / 1 О11” = 793. Значения коэффициентов А {,̂ равны: А00 =
= - 0,003990; А20 = 0,253894; А40 = 0,558879; А60 = - 0,554093; А22 =
= - 0,339360; А4,2 = - 0,256403; А6 2 = 0,432176; А4 4 = - 0,116535; А6,4 =
= 0,057401; А6 6 = - 0,027637; А1Д= - 0,045144; А3Д = - 1,132847; А5Д =
= 0,441500; а 7 ,1 = 0,337741; А 3 ’3 = 0,465642; А5,3’ = - 0,860436; А7,’3 =
= 0,384260; А5,5’ = 0,211920; А7 5 = - 0,213420; А7,7 = 0,026615.
2. Для а/Ь = 0,2: М 1 = 1742; 1 0 = 0,19257302; 12 / 1 1 1п = 830. Значения
коэффициентов А {j равны: А 00 = - 0,003930; А20 = 0,170272; А40 =
= 0,730953; А6 0 = - 0,641694; А2,2 = - 0,256281; А4 2’ = - 0,492151; А6,2 =
= 0,599508; А44 = - 0,079727; А64 = 0,016402; А 6 6 = - 0,026650; Аи =
= - 0,08447; а ’3Д = - 1,085793; а ’5Д = 0,199885; а ’7Д = 0,500346; А3,3 =
= 0,441619; А5,3 = - 0,737454; А7,3 = 0,270558; А5,5 = 0,207685; А7,5 =
= - 0,211795; А 7,7 = 0,022407.
Значения КИН вдоль фронта трещины и зоны контакта для данных
случаев представлены соответственно на рис. 4 и 5.
Рис. 4. Значения КИН для эллиптической трещины: а - а/Ь = 0,5; б - а/Ь = 0,2.
Полученные результаты интересно сопоставить с данными [4] для внут
ренней одномерной трещины длины 2а, расположенной симметрично в
достаточно широкой пластине, которая подвергается изгибу на бесконеч-
50 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2002, № 2
Эллиптическая трещина нормального отрыва
ности, т.е. линейному нагружению. Было получено [4], что учет контакта
берегов трещины приводит к увеличению КИН примерно на 7-8%, а точка
окончания области контакта расположена на расстоянии а/ 3 от центра
трещины. Полученные нами данные для эллиптической трещины с отно
шением а/Ь — 0,2 как для величины области контакта, так и для макси
мальных КИН достаточно близки к этим результатам.
а б
Рис. 5. Уточнённые зоны контакта берегов эллиптических трещин для напряжений контакта в
виде полиномиального ряда до 7-й степени: а - а/Ь — 0,2, 10 — 0,1768482, на 371-м шаге
найдено лучшее отношение 10̂ /10™” — 829,65, при этом в Б1 точек 1742 из 2590; б -
а/Ь — 0,5, 10 — 0,1768482, на 388-м шаге найдено лучшее отношение 10/10”“ — 793,8, при
этом в Б! точек 1807 из 2590.
В ы в о д ы
1. Сформулирована задача о трещине в неограниченном теле с учётом
взаимодействия её берегов. Впервые предложен эффективный алгоритм
решения поставленной задачи, который сводится к введению фиктивного
поля напряжений на всей поверхности трещины и последующей миними
зации функционала ошибки на поверхности трещины. Данный функционал
состоит из двух компонент: первая служит для определения коэффициентов
добавочного поля напряжений, вторая уточняет саму область контакта.
2. Минимизация первой компоненты сводится к решению системы
линейных уравнений. Вторая компонента минимизируется постепенно, шаг
за шагом, путем выноса из областей Б 1 и Б 2 точек, которые являются
наихудшими с точки зрения минимизации ошибки.
3. Получены конкретные результаты для эллиптической трещины при
линейном законе нагружения берегов трещины. Показано, что положитель
ные напряжения, возникающие в результате взаимодействия берегов тре
щины, незначительно влияют на максимальные значения КИН, которые
превышают его исходное значение (без учета контакта) на 3% для круговой
трещины и на 7-8% для очень вытянутой трещины. Причем увеличение
числа неизвестных с 6 до 18 не очень заметно влияет на точность резуль
татов расчета КИН.
Т88М 0556-171Х. Проблемы прочности, 2002, № 2 51
И. В. Орыгняк, А. Ю. Гиенко, А. В. Каменчук
Р е з ю м е
Розглядається взаємодія берегів еліптичної тріщини, яка знаходиться в
частково від’ємному полі зовнішніх напружень. Проблема полягає як у
визначенні області, де відбувається контакт берегів, так і напружень кон
такту, що виникають при цьому. Останні записуються у вигляді скінченного
поліноміального ряду з невідомими коефіцієнтами, які визначаються з умо
ви мінімуму квадратів відхилень переміщень в області контакту від нуля та
відхилень сумарних напружень в іншій частині області від заданих. Область
контакту визначається в результаті пошуку абсолютного мінімуму згаданих
вище відхилень. Приведено конкретні результати розрахунку для тріщини,
що знаходиться в лінійному полі напружень.
1. Орыняк И. В., Гиенко А. Ю . Эллиптическая трещина нормального
отрыва в бесконечном упругом теле. Сообщ. 1. Перемещение берегов
трещины при полиномиальном законе нагружения. // Пробл. проч
ности. - 2002. - № 1. - С. 22 - 40.
2. Гольдштейн Р. В., Ентов В. М. Качественные методы в механике
сплошных сред. - М.: Наука, 1989. - 224 с.
3. Гольдштейн Р. В. Задачи теории упругости с неизвестной границей
трещины // Физ.-хим. механика материалов. - 1986. - № 2. - С. 7 - 14.
4. Панасюк В. В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами. -
Киев: Наук. думка, 1968. - 246 с.
Поступила 27. 11. 2000
52 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2002, № 2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-46744 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0556-171X |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:24:54Z |
| publishDate | 2002 |
| publisher | Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Орыняк, И.В. Гиенко, А.Ю. Каменчук, А.В. 2013-07-06T14:57:43Z 2013-07-06T14:57:43Z 2002 Эллиптическая трещина нормального отрыва в бесконечном упругом теле. Сообщение 2. Контакт берегов трещины / И.В. Орыняк, А.Ю. Гиенко, А.В. Каменчук // Проблемы прочности. — 2002. — № 2. — С. 41-52. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46744 539.4 Рассматривается взаимодействие берегов эллиптической трещины, которая находится в частично отрицательном поле внешних напряжений. Проблема заключается как в нахождении области, где происходит контакт берегов, так и возникающих при этом напряжений контакта. Последние представляются в виде конечного полиномиального ряда с неизвестными коэффициентами, определяемыми из условия минимума квадратов отклонений перемещений в области контакта от нуля и отклонений суммарных напряжений от заданных в остальной области. Сама же область контакта находится в результате поиска абсолютного минимума этих отклонений. Приведены конкретные результаты для трещины, находящейся в линейном поле напряжений. Розглядається взаємодія берегів еліптичної тріщини, яка знаходиться в частково від’ємному полі зовнішніх напружень. Проблема полягає як у визначенні області, де відбувається контакт берегів, так і напружень контакту, що виникають при цьому. Останні записуються у вигляді скінченного поліноміального ряду з невідомими коефіцієнтами, які визначаються з умови мінімуму квадратів відхилень переміщень в області контакту від нуля та відхилень сумарних напружень в іншій частині області від заданих. Область контакту визначається в результаті пошуку абсолютного мінімуму згаданих вище відхилень. Приведено конкретні результати розрахунку для тріщини, що знаходиться в лінійному полі напружень. We consider interaction of elliptic crack faces appearing in a partially negative field of external stresses. The objective of the present study is to determine both the area of the crack faces contact and the contact stresses generated thereby. The latter are represented in the form of a finite polynomial series with unknown coefficients, which can be found from the condition of the minimum of squares of displacement deviations from zero in the contact area and deviations of the total stress from the given ones in the remain region. The contact area itself is determined as a result of searching for the absolute minimum of these deviations. We present specific results for a crack lying in the linear field of stresses. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Эллиптическая трещина нормального отрыва в бесконечном упругом теле. Сообщение 2. Контакт берегов трещины An Elliptic Mode-I Crack in an Infinite Elastic Body. Part 2. Crack Faces Contact Article published earlier |
| spellingShingle | Эллиптическая трещина нормального отрыва в бесконечном упругом теле. Сообщение 2. Контакт берегов трещины Орыняк, И.В. Гиенко, А.Ю. Каменчук, А.В. Научно-технический раздел |
| title | Эллиптическая трещина нормального отрыва в бесконечном упругом теле. Сообщение 2. Контакт берегов трещины |
| title_alt | An Elliptic Mode-I Crack in an Infinite Elastic Body. Part 2. Crack Faces Contact |
| title_full | Эллиптическая трещина нормального отрыва в бесконечном упругом теле. Сообщение 2. Контакт берегов трещины |
| title_fullStr | Эллиптическая трещина нормального отрыва в бесконечном упругом теле. Сообщение 2. Контакт берегов трещины |
| title_full_unstemmed | Эллиптическая трещина нормального отрыва в бесконечном упругом теле. Сообщение 2. Контакт берегов трещины |
| title_short | Эллиптическая трещина нормального отрыва в бесконечном упругом теле. Сообщение 2. Контакт берегов трещины |
| title_sort | эллиптическая трещина нормального отрыва в бесконечном упругом теле. сообщение 2. контакт берегов трещины |
| topic | Научно-технический раздел |
| topic_facet | Научно-технический раздел |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46744 |
| work_keys_str_mv | AT orynâkiv élliptičeskaâtreŝinanormalʹnogootryvavbeskonečnomuprugomtelesoobŝenie2kontaktberegovtreŝiny AT gienkoaû élliptičeskaâtreŝinanormalʹnogootryvavbeskonečnomuprugomtelesoobŝenie2kontaktberegovtreŝiny AT kamenčukav élliptičeskaâtreŝinanormalʹnogootryvavbeskonečnomuprugomtelesoobŝenie2kontaktberegovtreŝiny AT orynâkiv anellipticmodeicrackinaninfiniteelasticbodypart2crackfacescontact AT gienkoaû anellipticmodeicrackinaninfiniteelasticbodypart2crackfacescontact AT kamenčukav anellipticmodeicrackinaninfiniteelasticbodypart2crackfacescontact |