Математическая модель гидроупругих колебаний составных оболочек, частично заполненных жидкостью
A mathematical model of hydroelastic vibrations for partially filled compound shells of revolution is developed. The shell equilibrium equation and the Neumann problem are considered simultaneously to determine the fluid pressure upon the shell. The 2-dimensional Neumann problem is reduced to a 1-di...
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4676 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Математическая модель гидроупругих колебаний составных оболочек, частично заполненных жидкостью / И.Ю. Кононенко, Е.А. Стрельникова // Доп. НАН України. — 2008. — № 6. — С. 32-40. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4676 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Кононенко, И.Ю. Стрельникова, Е.А. 2009-12-17T16:17:15Z 2009-12-17T16:17:15Z 2008 Математическая модель гидроупругих колебаний составных оболочек, частично заполненных жидкостью / И.Ю. Кононенко, Е.А. Стрельникова // Доп. НАН України. — 2008. — № 6. — С. 32-40. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4676 539.3:533.6+517.968:519.6 A mathematical model of hydroelastic vibrations for partially filled compound shells of revolution is developed. The shell equilibrium equation and the Neumann problem are considered simultaneously to determine the fluid pressure upon the shell. The 2-dimensional Neumann problem is reduced to a 1-dimensional hypersingular integral equation. A method of discrete singularities is proposed for the numerical investigation of the derived integral equation. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Інформатика та кібернетика Математическая модель гидроупругих колебаний составных оболочек, частично заполненных жидкостью Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Математическая модель гидроупругих колебаний составных оболочек, частично заполненных жидкостью |
| spellingShingle |
Математическая модель гидроупругих колебаний составных оболочек, частично заполненных жидкостью Кононенко, И.Ю. Стрельникова, Е.А. Інформатика та кібернетика |
| title_short |
Математическая модель гидроупругих колебаний составных оболочек, частично заполненных жидкостью |
| title_full |
Математическая модель гидроупругих колебаний составных оболочек, частично заполненных жидкостью |
| title_fullStr |
Математическая модель гидроупругих колебаний составных оболочек, частично заполненных жидкостью |
| title_full_unstemmed |
Математическая модель гидроупругих колебаний составных оболочек, частично заполненных жидкостью |
| title_sort |
математическая модель гидроупругих колебаний составных оболочек, частично заполненных жидкостью |
| author |
Кононенко, И.Ю. Стрельникова, Е.А. |
| author_facet |
Кононенко, И.Ю. Стрельникова, Е.А. |
| topic |
Інформатика та кібернетика |
| topic_facet |
Інформатика та кібернетика |
| publishDate |
2008 |
| language |
Russian |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| description |
A mathematical model of hydroelastic vibrations for partially filled compound shells of revolution is developed. The shell equilibrium equation and the Neumann problem are considered simultaneously to determine the fluid pressure upon the shell. The 2-dimensional Neumann problem is reduced to a 1-dimensional hypersingular integral equation. A method of discrete singularities is proposed for the numerical investigation of the derived integral equation.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4676 |
| citation_txt |
Математическая модель гидроупругих колебаний составных оболочек, частично заполненных жидкостью / И.Ю. Кононенко, Е.А. Стрельникова // Доп. НАН України. — 2008. — № 6. — С. 32-40. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kononenkoiû matematičeskaâmodelʹgidrouprugihkolebaniisostavnyhoboločekčastičnozapolnennyhžidkostʹû AT strelʹnikovaea matematičeskaâmodelʹgidrouprugihkolebaniisostavnyhoboločekčastičnozapolnennyhžidkostʹû |
| first_indexed |
2025-11-24T21:03:14Z |
| last_indexed |
2025-11-24T21:03:14Z |
| _version_ |
1850497160690270208 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
6 • 2008
IНФОРМАТИКА ТА КIБЕРНЕТИКА
УДК 539.3:533.6+517.968:519.6
© 2008
И.Ю. Кононенко, Е.А. Стрельникова
Математическая модель гидроупругих колебаний
составных оболочек, частично заполненных жидкостью
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины И. И. Залюбовским)
A mathematical model of hydroelastic vibrations for partially filled compound shells of revolu-
tion is developed. The shell equilibrium equation and the Neumann problem are considered
simultaneously to determine the fluid pressure upon the shell. The 2-dimensional Neumann
problem is reduced to a 1-dimensional hypersingular integral equation. A method of discrete
singularities is proposed for the numerical investigation of the derived integral equation.
1. Постановка задачи. Изучению гидроупругих колебаний оболочек, содержащих жид-
кость, посвящено большое число публикаций, например, [1–4]. Рассмотрим задачу о гидро-
упругих колебаниях оболочки вращения, составленной из произвольного набора цилиндри-
ческих, конических и сферических поверхностей. Оболочка частично заполнена идеальной
несжимаемой жидкостью и совершает малые колебания, индуцированные внешним воз-
действием. Один край оболочки жестко закреплен, второй — свободен.
В отличие от существующих подходов в данной работе рассматриваемая задача сводится
к решению гиперсингулярного уравнения (ГСИУ). Это позволяет построить более эффек-
тивный и устойчивый алгоритм численной реализации, чем, например, в работах [3, 5].
В рассматриваемом случае поверхность вращения S = S0
⋃
σ, S0 — срединная поверхность
той части оболочки, которая контактирует с жидкостью, σ — свободная поверхность ко-
леблющейся жидкости (рис. 1). Введем цилиндрическую систему координат (r, ϕ, z) таким
образом, чтобы ось z совпадала с осью симметрии оболочки. Выберем в качестве криволи-
нейных координат длину дуги образующей l, полярный угол ϕ и γ. Координатой γ какой-ли-
бо точки является расстояние от этой точки до поверхности S0, взятое с соответствующим
знаком: со знаком плюс, если точка расположена с внешней стороны от поверхности S0,
и со знаком минус, если находится внутри этой поверхности. Обозначим L образующую
поверхности, s = s(l) — радиус сечения срединной поверхности оболочки плоскостью, пер-
пендикулярной к оси z.
Уравнения движения оболочки запишем в операторной форме:
(L~U) + (M ~U) = P, (1)
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №6
Рис. 1. Оболочка, состоящая из сферической, цилиндрической и конической частей
где L, M — операторы упругих и массовых сил соответственно; ~U = (u, v,w) — вектор
перемещений оболочки; P — давление жидкости на смачиваемую поверхность оболочки.
Предположим, что собственные формы колебаний составной оболочки в жидкости пред-
ставляют собой линейную комбинацию собственных форм колебаний оболочки в вакууме:
~U =
N∑
k=1
ak
~Uk; ~Uk = (uk, vk, wk).
По известным ~Uk можно построить функции pk, т. е. считаем, что P =
N∑
k=1
bkpk. Соб-
ственные формы колебаний ~Uk и давление pk раскладываем в тригонометрические ряды
по функциям
{
U1
mk(l, ϕ, t) = u1
mk(l, t) cos mϕ, V 1
mk(l, ϕ, t) = −v1
mk(l, t) cos mϕ,
W 1
mk(l, ϕ, t) = w1
mk(l, t) cos mϕ, P 1
mk(l, ϕ, t) = p1
mk(l, t) cos mϕ
(2)
или
{
U2
mk(l, ϕ, t) = u2
mk(l, t) sin mϕ, V 2
mk(l, ϕ, t) = −v2
mk(l, t) sin mϕ,
W 2
mk(l, ϕ, t) = w2
mk(l, t) sin mϕ, P 2
mk(l, ϕ, t) = p2
mk(l, t) sin mϕ.
(3)
Давление P = p0+p, где p0 — давление в области, занимаемой жидкостью; p — функция,
определяющая колебания давления в области, контактирующей с жидкостью в процессе
движения.
Рассмотрим задачу о малых гармонических колебаниях упругой оболочки, т. е. предпо-
ложим, что umk(l, t) = ũmk(l)e
iωmkt, vmk(l, t) = ṽmk(l)e
iωmkt, wmk(l, t) = w̃mk(l)e
iωmkt, где
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №6 33
ωmk — частота, а ũmk, ṽmk, w̃mk — собственные формы колебаний рассматриваемой обо-
лочки с жидкостью.
2. Задача о малых гармонических колебаниях оболочки. Каждая из форм (2), (3)
характеризуется m плоскостями ϕ = const, на которых в процессе колебаний остаются рав-
ными нулю упругие перемещения u(l, ϕ, t), w(l, ϕ, t) и функция колебания давления p(l, ϕ, t),
а также m плоскостями, на которых остаются равными нулю тангенциальные упругие пе-
ремещения v(l, ϕ, t). Этим двум возможным формам собственных колебаний соответствует
одна и та же частота собственных колебаний ωmk.
Таким образом, для собственных форм колебаний оболочки с жидкостью имеем триго-
нометрические ряды:
uk =
∞∑
m=0
umk(α1mk cos mϕ + β1mk sin mϕ),
vk =
∞∑
m=0
vmk(α2mk cos mϕ − β2mk sin mϕ),
wk =
∞∑
m=0
wmk(α3mk cos mϕ + β3mk sin mϕ).
Для определения собственных форм колебаний оболочки в вакууме umk, vmk, wmk слу-
жат дифференциальные уравнения (используем вариационный принцип теории упругости),
в которых для простоты опускаем индекс mk:
(Dl
~U)(l, ϕ) + G1X(l, ϕ) = 0,
(Dϕ
~U)(l, ϕ) + G1Y (l, ϕ) = 0,
(Dγ
~U)(l, ϕ) + G1Z(l, ϕ) = 0,
(4)
где Dl, Dϕ, Dγ — линейные дифференциальные операторы четвертого порядка; X(l, ϕ),
Y (l, ϕ), Z(l, ϕ) определяются по заданным поверхностным и объемным силам; G1 = 2(1+ν)/
/(Eh), E — модуль Юнга; ν — коэффициент Пуассона; h — толщина оболочки.
К уравнениям (4) необходимо добавить условия закрепления краев оболочки. В рас-
сматриваемом случае один край оболочки, заданный уравнением l = l0, жестко закреплен
u(l0, ϕ) = 0, v(l0, ϕ) = 0, w(l0, ϕ) = 0,
∂u
∂l
∣∣∣∣
l=l0
= 0,
∂v
∂l
∣∣∣∣
l=l0
= 0,
∂w
∂l
∣∣∣∣
l=l0
= 0,
(5)
другой край (l = l1) — свободен
2
1 − ν
(
du
dl
+
ν
s
ds
dl
u −
νm
s
v + (k1 + νk2)w
)
+
h2
12
Q1(l)
∣∣∣∣
l=l1
= 0,
m
s
u +
dv
dl
−
1
s
ds
dl
v +
h2
12
Q2(l)
∣∣∣∣
l=l1
= 0, (6)
−
3νk1 − (2 − 2ν − 3ν2)k2
(1 − ν2)
d2u
dl2
+ q311
du
dl
+ q310u + q321
dv
dl
+ q320v −
−
2
(1 − ν)s
ds
dl
d3w
dl3
−
2
(1 − ν)s
ds
dl
d2w
dl2
+ q331
dw
dl
+ q330w
∣∣∣∣
l=l1
= 0,
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №6
−
3νk1−(2−2ν−2ν2)k2
(1−ν)2
du
dl
+q410u+q420v−
2
1−ν
d2w
dl2
−
2ν
(1−ν)s
ds
dl
dw
dl
+q430w
∣∣∣∣
l=l1
= 0,
q510u + (2k2 − k1)
dv
dl
+ q520v −
2m
s
dw
dl
+ q530w
∣∣∣∣
l=l1
= 0,
1
1−ν
d2u
dl2
+
1
(1−ν)s
ds
dl
du
dl
+q610u−
(1+ν)m
2(1−ν)s
dv
dl
+q620v+
k1+νk2
1−ν
dw
dl
+q630w
∣∣∣∣
l=l1
= 0,
где k1, k2 — главные кривизны оболочки; qijk — константы, а функции Q1(l) и Q2(l) пред-
ставимы в следующем виде:
Q1(l) =
1 + 2ν
(1 − ν)2
d3u
dl3
+
1 + 4ν + ν2
(1 − ν)2s
ds
dl
d2u
dl2
+ q111
du
dl
+ q110u −
(1 + 6ν − ν2)m
2(1 − ν)2s
d2v
dl2
+
+ q121
dv
dl
+ q120v +
3(1 + ν)k1 − 2(1 − 2ν − 2ν2)k2
(1 − ν2)
d2w
dl2
+ q131
dw
dl
+ q130w,
Q2(l) =
(3 + 5ν)m
4(1 − ν)s
d2u
dl2
+ q211
du
dl
+ q210u +
1
4
d3v
dl3
+ q221
dv
dl
+ q220v + q231
dw
dl
+ q230w.
Требуем также выполнения условий стыковки в промежуточных узловых точках.
Решение (4) с граничными условиями (6) осуществляется методом, описанным в [6].
Определив упругие перемещения оболочки в вакууме u, v, w, переходим к решению зада-
чи Неймана для уравнения Лапласа для определения давления со стороны жидкости на
оболочку.
3. Математическая модель движения оболочки с жидкостью. Задачу Неймана
для функции давления p(r, ϕ, z, t) сформулируем следующим образом:
∆p
∣∣
Ω
= 0,
∂p
∂n
∣∣∣∣
S
= F |S ,
(7)
где Ω — область, ограниченная S.
Краевое условие на S0 получено из предположения, что относительная скорость части-
цы жидкости, обтекающей смачиваемую поверхность оболочки, и относительная скорость
соответствующей точки этой поверхности должны иметь одинаковые нормальные составля-
ющие; на σ одинаковыми должны быть скорости подвижной границы жидкости описыва-
емой функцией f(r, ϕ, z, t):
∂p
∂n
=: F (r, ϕ, z, t) =
−ρ
[
∂~v
∂t
~n +
∂~a
∂t
(~r × ~n) +
∂2w
∂t2
]
, (r, ϕ, z, t) ∈ S0,
−ρ
[
∂~v
∂t
~n +
∂~a
∂t
(~r × ~n) +
∂2f
∂t2
]
, (r, ϕ, z, t) ∈ σ,
(8)
где ρ — плотность жидкости; ~v и ~a — соответственно, скорость движения и угловая ско-
рость вращения системы координат, связанной с телом (оболочкой с жидкостью); ~r — ра-
диус-вектор рассматриваемой частицы жидкости; ~n — единичный вектор внешней нормали
к поверхности оболочки.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №6 35
В первом приближении предполагаем, что свободная поверхность жидкости совершает
поступательные перемещения, сохраняя плоскую конфигурацию, тогда функция f(r, ϕ, z, t),
ее описывающая, зависит только от времени t:
f(t) = −
1
A
∫
S0
w dσ,
где A =
∫
σ
dσ — площадь плоской фигуры σ, функция w(r, ϕ, z, t) — нормальное упругое
перемещение точек срединной поверхности оболочки.
Зависимость функции p от f при таких же условиях можно записать так: p = ρg∗f на σ,
где g∗ = a0z − gz; a0z — проекция вектора ускорения, с которым двигается тело, на ось z
подвижной системы координат; gz — проекция ускорения силы тяжести на ту же ось.
Сведем двумерную задачу (7) к одномерной, используя симметричность оболочки. Функ-
ция F (r, ϕ, z, t) в рассматриваемом случае представляет собой функцию длины дуги обра-
зующей l и полярного угла ϕ. Ищем давление в виде тригонометрического ряда:
p(r, ϕ, z) = p0(z, r) +
∞∑
m=1
[p(1)
m (z, r) cos mϕ + p(2)
m (z, r) sin mϕ]. (9)
Получаем систему линейных двумерных обыкновенных дифференциальных уравнений, эк-
вивалентную уравнению Лапласа, которую запишем в операторном виде:
Λ0p0|D = 0, Λmp(j)
m |D = 0,
∂p0
∂n
∣∣∣∣
L
= F0(l)|L,
∂p
(j)
m
∂n
∣∣∣∣
L
= F
(j)
0 (l)|L,
j = 1, 2, m = 1, 2, . . . ,
(10)
где D — плоская область, ограниченная контуром L (который задает форму оболочки вра-
щения) и отрезком оси Oz, стягивающим этот контур; F0(l) и F
(j)
0 (l) — коэффициенты
ряда Фурье функции F (l, ϕ), заданной на граничной поверхности S: F (l, ϕ) = F0(l) +
+
∞∑
m=1
[F
(1)
m (l) cos mϕ + F
(2)
m (l) sin mϕ]. Оператор Λm действует следующим образом:
Λmpm =
∂2p0
∂z2
+
∂2p0
∂r2
+
1
r
∂p0
∂r
= 0, m = 0,
∂2pm
∂z2
+
∂2pm
∂r2
+
1
r
∂pm
∂r
−
m2pm
r2
, m > 1.
(11)
Фундаментальным решением дифференциального уравнения Λmpm = 0 является функ-
ция Jm
Jm(z, r, z′, r′) = −22mr′m+1rm((z − z′)2 + (r + r′)2)−m−1/2Φm(ξ), (12)
где
ξ =
(z − z′)2 + (r − r′)2
(z − z′)2 + (r + r′)2
.
36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №6
Φm(ξ) имеет логарифмическую особенность в точке ξ = 0: Φm(ξ) = ln ξ + Hm(ξ), где
Hm(ξ) — гладкая функция:
Hm(ξ) = − ln ξ + Am
(
1 +
∞∑
k=1
((m + 1/2)(m + 3/2) . . . (m + k − 1/2))2
(2m + 1)(2m + 1) . . . (2m + k)
(1 − ξ)k
k!
)
, (13)
Am — константы. Обозначим точку с координатами (z, r) как x, с координатами (z′, r′) —
как y.
Решение задачи Неймана для каждого m ищем в виде потенциала двойного слоя с плот-
ностью [p(x)]:
p(y) =
1
2π
∫
L
∂G(x, y)
∂nx
[p(x)] dSx, y ∈ L, (14)
где функция [p(x)] = lim
ǫ→+0
(p(x + ǫn) − p(x − ǫn)) характеризует перепад давления; функция
Грина G(x, y) = ln(1/|x − y|) + H(x, y) — фундаментальное решение уравнения Λmpm = 0
для фиксированного m.
Функция p(x) будет решением поставленной задачи, если функция [p(x)] удовлетворяет
интегральному уравнению
∂
∂ny
1
2π
∫
L
∂G(x, y)
∂nx
[p(x)] dSx = T (y), y ∈ L, (15)
где T (y) =
∂F (y)
∂n
∣∣∣∣
L
. Вносим дифференцирование под знак интеграла:
1
2π
∫
L
j(x)
∂2G(x, y)
∂ny∂nx
dSx = T (y), y ∈ L, (16)
где j(x) = ∂[p(x)]/∂ny.
Для эквивалентности этого уравнения исходной задаче следует добавить дополнитель-
ное условие (полученное интегрированием исходного уравнения (14))
1
2π
∫
L
j(x)
∂2
∂ny∂nx
G(x, ỹ) dSx = T (ỹ), ỹ ∈ L — фиксированное. (17)
Параметризуем контур L: x(tk), t ∈ [−1, 1], tk = 2sk/|l| − 1, где sk — натуральный
параметр; k — количество составных частей оболочки. Для tk ∈ (αk, βk) получаем
θ = 2
ϕk − αk
βk − αk
− 1; tk(θ) =
1
2
((1 + θ)βk + (1 − θ)αk);
x : (−1, 1) → l,
x(θ) = x
(
1
2
((1 + θ)βk + (1 − θ)αk)
)
.
(18)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №6 37
Рис. 2. Окрестность угловой точки
Рассмотрим поведение функции давления в окрестности узлов кривой, задающей обо-
лочку вращения (рис. 2). Предполагаем, что исходная задача Неймана в области Ω имеет
единственное решение.
Должно быть выполнено условие конечности энергии в окрестности угловой точки
∫
Σ
{|p|2 + |∇p|2} dσ < ∞, (19)
которое в полярных координатах имеет вид
α∫
0
R0∫
0
{
|p|2 +
∣∣∣∣
∂p
∂r
∣∣∣∣
2
+
1
r2
∣∣∣∣
∂p
∂ϕ
∣∣∣∣
}
rdrdϕ < ∞, (20)
где Σ — пересечение исходной области с кругом (радиусом R0 и центром в вершине ребра).
Радиус R0 выбираем так, что область Σ будет являться сектором круга.
Решение задачи (7), удовлетворяющее условию (20) и условию
∂
∂r
p(R0, ϕ) = F (ϕ), 0 < ϕ < α, (21)
имеет вид:
u(r, ϕ) = C +
∞∑
n=1
Bnrπn/α cos
πnϕ
α
, (22)
где Bn определяются из условия (21).
При π < α 6 2π составляющие градиента u —
∂u
∂r
и
1
r
∂u
∂ϕ
могут неограниченно расти
при r → 0 и выполняется оценка | grad u| = O(1/(r1−(π/α))). Соответственно, для 0 < α < π
решение интегрального уравнения не имеет особенностей, а для π < α < 2π решение инте-
грального уравнения если и имеет особенность, то это особенность вида 1/r(1−π)/α (рис. 3).
Удовлетворяя условию на ребре, введем замену: b(θ) = mj(θ)/
√
1 − θ2. После парамет-
ризации получаем
|l|2
4π
1∫
−1
b(θ)
∂2
∂ny∂nx
G(x(θ), x(θ0))
√
1 − θ2dθ = T (x(θ0)), y = x(θ0) ∈ L. (23)
38 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №6
Рис. 3. Возможные угловые точки
Имеем
∂2
∂nx∂ny
(
ln
1
|x − y|
)
= −
1
|x′(θ)||x′(θ0)|
∂2
∂θ∂θ0
ln
1
|x(θ0) − x(θ)|
. (24)
Тогда окончательно ГСИУ для определения перепада давления примет вид
|l|2
4π
1∫
−1
b(θ)
∂2
∂θ∂θ0
(
ln
1
|x(θ0) − x(θ)|
)√
1 − θ2dθ +
+
|l|2
4
1∫
−1
b(θ)
∂2
∂θ∂θ0
(H(x(θ), x(θ0)))
√
1 − θ2dθ = T (x(θ0)). (25)
Первый интеграл в уравнении (25) понимается в смысле конечной части по Адамару [7],
второй — интеграл Римана.
Уравнения (25), (17) с условием (20) эквивалентны исходной задаче (7). Дискретный
аналог построим, используя метод дискретных особенностей [7, 8]. Заменим неизвестную
функцию b(θ) и известные гладкие функции в полученном ГСИУ (25) интерполяционными
полиномами и применим квадратурные формулы интерполяционного типа, узлами которых
являются корни полиномов Чебышева второго рода.
Следовательно, определив функцию давления p из (25), (17), (20) и собственные формы
колебаний оболочки в вакууме из (4) с соответствующими краевыми условиями (5) и (6),
можем подставить их в уравнения движения (1) и получить систему уравнений для опре-
деления частот и форм гидроупругих колебаний оболочек.
Таким образом, в настоящей работе построена математическая модель гидроупругих
колебаний оболочки с находящейся в ней жидкостью. В процессе совместного решения
уравнений равновесия и задачи Неймана определяются давление жидкости на упругую
оболочку и форма свободной поверхности жидкости. Получено фундаментальное решение
рассматриваемой задачи Неймана, на основе которого получено ГСИУ. Для него можно по-
строить дискретную модель, используя хорошо зарекомендовавший себя в других областях
метод дискретных особенностей.
В дальнейшем предполагается учет сжимаемости жидкости, в этом случае рассматри-
вается задача Неймана для уравнения Гельмгольца.
1. Григолюк Э.И., Горшков А. Г. Взаимодействие упругих конструкций с жидкостью. – Ленинград:
Судостроение, 1976. – 200 с.
2. Мокеев В.В. Исследование динамики конструкций с жидкостью и газом с помощью метода конечных
элементов // Изв. АН. Механика тв. тела. – 1998. – 6. – С. 166–174.
3. Chen Z, Wang J., Liu H. Three-dimensional numerical analysis of flow-induced vibration in turbomachi-
nery // IJ. Fluids Eng. – 1999. – 121, N 4. – P. 804–807.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №6 39
4. Рапопорт И.М. Колебания упругой оболочки, частично заполненной жидкостью. – Москва: Маши-
ностроение, 1967. – 359 с.
5. Еселева Е. В., Гнитько В.И., Стрельникова Е.А. Собственные колебания оболочек вращения, час-
тично заполненных жидкостью // Пробл. машиностроения. – 2006. – 9, № 1. – С. 58–69.
6. Кузина И.Ю. Метод гиперсингулярных интегральных уравнений для задачи о гидроупругих коле-
баниях упругой оболочки вращения // Вестн. Херсон. нац. техн. ун-та. – 2006. – 2(25). – С. 271–276.
7. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. – Москва:
ТОО “Янус”, 1995. – 520 с.
8. Гандель Ю.В. Введение в методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов. – Харь-
ков: Изд-во Харьк. нац. ун-та им. В. Н. Каразина, 2001. – 92 с.
Поступило в редакцию 11.01.2008Харьковский национальный университет
им. В.Н. Каразина
Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
УДК 535.3:537.876.23:631.3
© 2008
Академiк НАН України I. В. Сергiєнко, О. О. Литвин
Математичне моделювання внутрiшньої структури 3D
тiла на основi двох рентгенiвських знiмкiв у двох
взаємно перпендикулярних ракурсах
The class of functions of three variables which can be restored by two X-ray pictures in mutually
perpendicular directions is investigated.
На даний час реконструктивна комп’ютерна томографiя (РКТ) є наукою, що найбiльш
динамiчно розвивається внаслiдок її унiкальних можливостей отримання i реконструкцiї
iнформацiї про дослiджуванi об’єкти. В основi цього твердження лежить той факт, шо мате-
матичний апарат РКТ — перетворення Радона, iнтегральна геометрiя — дозволяє отримува-
ти iнформацiю про об’єкт з принципiально новими якостями, порiвняно з вiдомими метода-
ми дослiджень в бiологiї, молекулярнiй генетицi, сейсмологiї, океанологiї, медицинi, елект-
роннiй мiкроскопiї тощо. Томографiчнi системи використовують рiзнi методи отримання
експериментальних даних: рентгенiвське, оптичне, синхротроннi випромiнювання, власне
випромiнювання, випромiнювання об’єктiв, що “самi свiтяться”, сейсмiчнi хвилi, ультразву-
кову надзвичайно високочастотну (НВЧ), ядерно-магнiтно-резонансну томографiю (ЯМР)
тощо.
Зауважимо, що застосування класичних методiв КТ [2–6] для розв’язання ряду задач
неможливе у зв’язку з недостатньою або дуже малою кiлькiстю проекцiй. Водночас в пра-
цях [7, 8] показана принципова можливiсть малоракурсної комп’ютерної томографiчної
реконструкцiї плазмових об’єктiв, що свiтяться, та локальних внутрiшнiх неоднорiднос-
тей в конструйованих виробах. Огляд розроблених за останнiй час методiв (без посилань
на методи, пов’язанi з iнтерлiнацiєю, iнтерфлетацiєю та мiшаною апроксимацiєю функ-
цiй [10, 11]), алгоритмiв та технiчних засобiв мiститься в [9].
40 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №6
|