Математичне моделювання внутрiшньої структури 3D тiла на основi двох рентгенiвських знiмкiв у двох взаємно перпендикулярних ракурсах
The class of functions of three variables which can be restored by two X-ray pictures in mutually perpendicular directions is investigated.
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4677 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Математичне моделювання внутрiшньої структури 3D тiла на основi двох рентгенiвських знiмкiв у двох взаємно перпендикулярних ракурсах / I.В. Сергiєнко, О.О. Литвин // Доп. НАН України. — 2008. — № 6. — С. 40-45. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859741783596990464 |
|---|---|
| author | Сергiєнко, I.В. Литвин, О.О. |
| author_facet | Сергiєнко, I.В. Литвин, О.О. |
| citation_txt | Математичне моделювання внутрiшньої структури 3D тiла на основi двох рентгенiвських знiмкiв у двох взаємно перпендикулярних ракурсах / I.В. Сергiєнко, О.О. Литвин // Доп. НАН України. — 2008. — № 6. — С. 40-45. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | The class of functions of three variables which can be restored by two X-ray pictures in mutually perpendicular directions is investigated.
|
| first_indexed | 2025-12-01T17:36:40Z |
| format | Article |
| fulltext |
4. Рапопорт И.М. Колебания упругой оболочки, частично заполненной жидкостью. – Москва: Маши-
ностроение, 1967. – 359 с.
5. Еселева Е. В., Гнитько В.И., Стрельникова Е.А. Собственные колебания оболочек вращения, час-
тично заполненных жидкостью // Пробл. машиностроения. – 2006. – 9, № 1. – С. 58–69.
6. Кузина И.Ю. Метод гиперсингулярных интегральных уравнений для задачи о гидроупругих коле-
баниях упругой оболочки вращения // Вестн. Херсон. нац. техн. ун-та. – 2006. – 2(25). – С. 271–276.
7. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. – Москва:
ТОО “Янус”, 1995. – 520 с.
8. Гандель Ю.В. Введение в методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов. – Харь-
ков: Изд-во Харьк. нац. ун-та им. В. Н. Каразина, 2001. – 92 с.
Поступило в редакцию 11.01.2008Харьковский национальный университет
им. В.Н. Каразина
Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
УДК 535.3:537.876.23:631.3
© 2008
Академiк НАН України I. В. Сергiєнко, О. О. Литвин
Математичне моделювання внутрiшньої структури 3D
тiла на основi двох рентгенiвських знiмкiв у двох
взаємно перпендикулярних ракурсах
The class of functions of three variables which can be restored by two X-ray pictures in mutually
perpendicular directions is investigated.
На даний час реконструктивна комп’ютерна томографiя (РКТ) є наукою, що найбiльш
динамiчно розвивається внаслiдок її унiкальних можливостей отримання i реконструкцiї
iнформацiї про дослiджуванi об’єкти. В основi цього твердження лежить той факт, шо мате-
матичний апарат РКТ — перетворення Радона, iнтегральна геометрiя — дозволяє отримува-
ти iнформацiю про об’єкт з принципiально новими якостями, порiвняно з вiдомими метода-
ми дослiджень в бiологiї, молекулярнiй генетицi, сейсмологiї, океанологiї, медицинi, елект-
роннiй мiкроскопiї тощо. Томографiчнi системи використовують рiзнi методи отримання
експериментальних даних: рентгенiвське, оптичне, синхротроннi випромiнювання, власне
випромiнювання, випромiнювання об’єктiв, що “самi свiтяться”, сейсмiчнi хвилi, ультразву-
кову надзвичайно високочастотну (НВЧ), ядерно-магнiтно-резонансну томографiю (ЯМР)
тощо.
Зауважимо, що застосування класичних методiв КТ [2–6] для розв’язання ряду задач
неможливе у зв’язку з недостатньою або дуже малою кiлькiстю проекцiй. Водночас в пра-
цях [7, 8] показана принципова можливiсть малоракурсної комп’ютерної томографiчної
реконструкцiї плазмових об’єктiв, що свiтяться, та локальних внутрiшнiх неоднорiднос-
тей в конструйованих виробах. Огляд розроблених за останнiй час методiв (без посилань
на методи, пов’язанi з iнтерлiнацiєю, iнтерфлетацiєю та мiшаною апроксимацiєю функ-
цiй [10, 11]), алгоритмiв та технiчних засобiв мiститься в [9].
40 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №6
Залежно вiд потужностi використаних обчислювальних засобiв, геометричних можливо-
стей конкретних застосувань тощо, малоракурсна комп’ютерна томографiя умовно дiлиться
на ультрамалоракурсну (УМРКТ) та малоракурсну. УМРКТ використовується в задачах
дiагностики, в яких можна отримати всього два, рiдко три ракурси спостереження. В цьому
випадку для використання класичних томографiчних методiв (методу згортки обернених
проекцiй тощо) застосовується метод довизначення вхiдних даних до необхiдних об’ємiв.
При цьому враховується апрiорна iнформацiя про об’єкт (процес), а також коректна мате-
матична модель об’єкта (процесу).
Другий напрям застосування УМР КТ пов’язаний з задачами визначення просторо-
вого розмiщення, орiєнтацiї та габаритних розмiрiв дослiджуваних внутрiшнiх локальних
об’єктiв.
У малоракурснiй томографiї використовується вiд 6 до 24 проекцiй. В математичному
та алгоритмiчному планах в малоракурсних томографiчних системах дiагностики та до-
слiдженнi параметрiв фiзичних процесiв, використовуються тi самi методи реконструкцiї,
що i в класичних — згортка, перетворення Фур’є, пряме та обернене перетворення Радона
тощо. Але їх реалiзацiї для малоракурсних задач значно складнiшi, бо треба вибирати i об-
грунтовувати алгоритми для обчислення промiжних проекцiй, розв’язувати задачу опти-
мальної iнтерполяцiї числа вiдлiкiв у кожнiй проекцiї тощо. Додаткова складнiсть вини-
кає при проведеннi реконструкцiї за допомогою спектральних лiнiй, що мають дуже малу
iнтенсивнiсть. Внаслiдок малої кiлькостi вхiдних даних для оптимiзацiї алгоритмiв тре-
ба мати математичнi моделi дослiджуваних явищ (процесiв). Цi труднощi вимагають для
кожної конкретної задачi свого набору алгоритмiв i засобiв її розв’язання. Сказане видно
на прикладах специфiчних особливостей малоракурсної томографiї в задачах дiагностики
плазми [7, 8] i дослiдженнi структури твердих тiл [2–6].
Дана робота присвячена дослiдженню класу функцiй, що описують внутрiшню струк-
туру тривимiрного тiла (щiльнiсть, коефiцiєнт поглинання), якi можна точно вiдновити за
допомогою всього двох рентгенiвських знiмкiв у взаємно перпендикулярних ракурсах ме-
тодом, описаним в патентi [1]. Цей метод оснований на використаннi операторiв мiшаної
апроксимацiї функцiй [10, 11].
Основнi твердження роботи. Для побудови математичної моделi внутрiшньої струк-
тури тривимiрного тiла будемо використовувати мiшану апроксимацiю Bm,nf(x, y, z) сума-
ми Фур’є функцiй трьох змiнних f(x, y, z) ∈ L2[0, 1]
3⋂C[0, 1]3 за змiнними x, y, побудовану
за допомогою сум Фур’є функцiй f(x, y, z) порядкiв m, n за змiнними x, y вiдповiдно
Fm,xf(x, y, z) =
m
∑
k=−m
c1k(f ; y, z)ei2πkx, c1k(f ; y, z) =
1
∫
0
f(x, y, z)e−i2πkxdx,
Fn,yf(x, y, z) =
n
∑
l=−n
c2l(f ;x, z)ei2πly, c2l(f ;x, z) =
1
∫
0
f(x, y, z)e−i2πlydy.
Цi оператори мають вигляд
Bm,nf(x, y, z) = Fm,xf(x, y, z) + Fn,yf(x, y, z) − Fm,nf(x, y, z),
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №6 41
де
Fm,nf(x, y, z) = Fm,xFn,yf(x, y, z) =
m
∑
k=−m
n
∑
l=−n
ck,l(z)ei2π(kx+ly);
ck,l(z) =
1
∫
0
1
∫
0
f(x, y, z)e−i2π(kx+ly)dxdy.
Для подальшого потрiбна наступна лема.
Лема 1. Для функцiй f(x, y, z) ∈ L2[0, 1]
3⋂C[0, 1]3 виконуються рiвностi (−m 6 k′
6
6 m;−n 6 l′ 6 n)
c1k′(Bm,nf ; y, z) =
1
∫
0
Bm,nf(x, y, z)e−i2πk′xdx = c1k′(f ; y, z) =
1
∫
0
fe−i2πk′xdx,
c2l′(Bm,nf ; y, z) =
1
∫
0
Bm,nf(x, y, z)e−i2πl′ydy = c2l′(f ; y, z) =
1
∫
0
fe−i2πl′ydy.
Доведення. Для деякого фiксованого k′ (−m 6 k′
6 m) напишемо низку рiвностей
c1k′(Bm,nf ; y, z) =
1
∫
0
Bm,nf(x, y, z)e−i2πk′xdx =
=
1
∫
0
[Fm,xf(x, y, z) + Fn,yf(x, y, z) − Fm,nf(x, y, z)]e−i2πk′xdx =
= c1,k′(f ; y, z) +
n
∑
l=−n
ck′,l(z)ei2πly −
n
∑
l=−n
ck′,l(z)ei2πly = c1k′(f ; y, z) =
1
∫
0
fe−i2πk′xdx.
Тут використанi такi рiвностi:
c1k(Fm,xf ; y, z) =
1
∫
0
Fm,xfe−i2πkxdx =
m
∑
k=−m
1
∫
0
c1k(f ; y, z)e−i2πkxe−i2πk′xdx =
=
m
∑
k=−m
c1k(f ; y, z)
1
∫
0
e−i2πkxe−i2πk′xdx =
m
∑
k=−m
c1k(f ; y, z)δk,k′ = c1k′(f ; y, z).
Аналогiчно знайдемо коефiцiєнт Фур’є вiд другого доданку мiшаної суми Фур’є
c1k′(Fn,yf ;x, z) =
1
∫
0
Fn,yfe−i2πk′xdx =
1
∫
0
(
n
∑
l=−n
c2l(f ;x, z)ei2πly
)
e−i2πk′xdx =
42 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №6
=
n
∑
l=−n
( 1
∫
0
c2l(f ;x, z)e−i2πk′xdx
)
ei2πly =
n
∑
l=−n
( 1
∫
0
( 1
∫
0
fe−i2πlydy
)
e−i2πk′xdx
)
ei2πly =
=
n
∑
l=−n
ck′,l(z)ei2πly .
Знайдемо коефiцiєнт Фур’є за змiнною x вiд третього доданка мiшаної суми Фур’є
1
∫
0
Fm,nf(x, y, z)e−i2πk′xdx =
m
∑
k=−m
n
∑
l=−n
ck,l(z)
1
∫
0
ei2π(kx+ly)e−i2πk′xdx =
=
m
∑
k=−m
n
∑
l=−n
ck,l(z)δk,k′ei2πly =
n
∑
l=−n
ck′,l(z)ei2πly .
Це дозволяє зробити висновок: c1k′(Bm,nf ; y, z) = c1k′(f ; y, z).
Аналогiчно доводиться, що для кожного фiксованого l′ (−n 6 l′ 6 n) виконуються
рiвностi c2l′(Bm,nf ; y, z) = c2l′(f ; y, z). Таким чином, коефiцiєнти Фур’є за змiнними x та y
до порядкiв m, n, вiдповiдно, оператора Bm,nf i функцiї f збiгаються. Лема 1 доведена.
Для того, щоб цi результати використати при математичному моделюваннi внутрiшньої
структури тривимiрного тiла за допомогою двох рентгенiвських знiмкiв у напрямах осей x
та y, вiдповiдно, зауважимо, що доданок c1,0(f ; y, z) =
1
∫
0
fe−i2π0xdx =
1
∫
0
f(x, y, z)dx у фор-
мулi для Fm,xf(x, y, z) може розглядатися, як функцiя змiнних (y, z), що описує зображення
на рентгенiвському знiмку, яке отримується просвiчуванням об’єкта (вважаємо, що об’єкт
дослiдження повнiстю розмiщений у кубi [0, 1]3) рентгенiвськими променями вздовж осi Ox
за умови, що рентгенiвський промiнь проходить через точку (y, z) площини Oyz.
Аналогiчно, доданок c20(f ;x, z) =
1
∫
0
f(x, y, z)e−i2π0ydy =
1
∫
0
f(x, y, z)dy у формулi для
Fn,yf(x, y, z) є функцiєю змiнних (x, z), що описує зображення на рентгенiвському знiм-
ку, яке отримується просвiчуванням об’єкта рентгенiвськими променями вздовж осi Oy за
умови, що рентгенiвський промiнь проходить через точку (x, z) площини Oxz.
Далi, врахуємо, що доданок c0,0(z) =
1
∫
0
1
∫
0
f dxdy у сумi Fm,nf може бути отриманий за до-
помогою вказаних двох знiмкiв c10(f ; y, z), c20(f ;x, z), тобто c0,0(z) =
1
∫
0
( 1
∫
0
f(x, y, z)dx
)
dy =
=
1
∫
0
c10(f ; y, z)dy i, аналогiчно, c0,0(z) =
1
∫
0
( 1
∫
0
f(x, y, z)dy
)
dx =
1
∫
0
c20(f ;x, z)dx Це дозволяє
написати наступне важливе з практичної точки зору твердження.
Твердження 1. Якщо c10(f ; y, z), c20(f ;x, z) — функцiї, що описують тiньовi зобра-
ження внутрiшньої структури тривимiрного тiла при просвiчуваннi тiла рентгенiвськи-
ми променями вздовж осей Ox та Oy, вiдповiдно, а коефiцiєнт c0,0(z) обчислюється за
однiєю з таких формул:
c0,0(z) =
1
∫
0
c10(f ; y, z) dy, c0,0(z) =
1
∫
0
c20(f ;x, z) dx,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №6 43
то функцiя Bm,nf(x, y, z) = Fm,xf(x, y, z)+Fn,yf(x, y, z)−Fm,nf(x, y, z), що є математич-
ною моделлю внутрiшньої структури тривимiрного тiла, задовольняє умови
c10(Bm,nf ; y, z) = c10(f ; y, z), c20(Bm,nf ; y, z) = c20(f ; y, z),
незалежно вiд вибору всiх iнших виразiв c1p(y, z), 1 6 |p| 6 m та c2p(x, z), 1 6 |p| 6 n
i cp,q(z), 1 6 |p|+ |q| 6 2n. Твердження 1 (при m = n = 0) лежить в основi патента [1] на
спосiб вiдновлення внутрiшньої структури тривимiрного тiла за допомогою двох рент-
генiвських знiмкiв у двох взаємно перпендикулярних напрямах.
2. Аналiз точностi математичної моделi у виглядi оператора B0,0f(x, y, z).
Теорема 1. Оператор B0,0f(x, y, z) = c10(f ; y, z) + c20(f ;x, z)− c0,0(z) точно вiдновлює
всi функцiї f(x, y, z) вигляду:
f(x, y, z) = u(x, z) + v(y, z),
де u(x, z), v(y, z) — довiльнi iнтегровнi функцiї.
Доведення. Запишемо наступну низку рiвностей:
c10(f ; y, z) =
1
∫
0
f(x, y, z)dx =
1
∫
0
[u + v]dx =
1
∫
0
udx +
1
∫
0
vdx =
1
∫
0
u(x, z)dx + v(y, z),
c20(f ;x, z) =
1
∫
0
f(x, y, z)dy =
1
∫
0
[u + v]dy =
1
∫
0
udy +
1
∫
0
vdy = u(x, z) +
1
∫
0
v(y, z)dy,
c0,0(z) =
1
∫
0
1
∫
0
f(x, y, z)dxdy =
1
∫
0
1
∫
0
[u + v]dxdy =
1
∫
0
1
∫
0
u(x, z)dxdy +
1
∫
0
1
∫
0
v(y, z)dxdy =
=
1
∫
0
u(x, z)dx +
1
∫
0
v(y, z)dy.
Пiдставляючи цi формули у вираз для оператора B0,0f(x, y, z), отримаємо
B0,0f(x, y, z) = c10(f ; y, z) + c20(f ;x, z) − c0,0(z) = u(x, z) + v(y, z) = f(x, y, z).
Таким чином, B0,0f(x, y, z) = f(x, y, z). Тому
1
∫
0
B0,0f(x, y, z)dx =
1
∫
0
f(x, y, z)dx;
1
∫
0
B0,0f(x, y, z)dy =
1
∫
0
f(x, y, z)dy.
Теорема 1 доведена.
Висновки. В данiй роботi доведено, що в ультрамалоракурснiй томографiї з двома
рентгенiвськими знiмками у взаємно перпендикулярних ракурсах можна точно вiдновити
внутрiшню структуру тiла, що описується досить широким класом функцiй.
1. Сергiєнко I. В., Литвин О.М., Мєжуєв В. I., Удовиченко В.М., Литвин О.О. Спосiб вiдновлення
внутрiшньої структури тривимiрного об’єкта. Патент на винахiд № 78568. – Зареєстровано в держав-
ному реєстрi патентiв України на винаходи 10.04.2007.
44 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №6
2. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии / Под ред. В.П. Паламодова. –
Москва: Мир, 1990. – 279 с.
3. Троицкий И.Н. Статистическая теория томографии. – Москва: Радио и связь, 1989. – 240 с.
4. Левин Г. Г., Вишняков Г.Н. Оптическая томография. – Москва: Радио и связь, 1989. – 224 с.
5. Лаврентьев М.М., Зеркаль С.М., Трофимов О.Е. Численное моделирование в томографии и услов-
но-корректные задачи. – Новосибирск: Изд. ИДМИ НГУ, 1999. – 172 с.
6. Терещенко С.А. Методы вычислительной томографии. – Москва: Физматлит, 2004. – 320 с.
7. Пикалов В. В., Преображенский Н.Г. Реконструктивная томография в газодинамике и физике плаз-
мы. – Новосибирск: Наука, 1987. – 232 с.
8. Пикалов В.В., Мельникова Т.С. Томография плазмы. – Новосибирск: Наука, 1995. – 230 с.
9. Филонин О.В. Малоракурсная томография. – Самара: Самар. науч. центр РАН, 2006. – 253 с.
10. Литвин О.М. Iнтерлiнацiя функцiй та деякi її застосування. – Харкiв: Основа, 2002. – 545 с.
11. Литвин О.М. Методи обчислень. Додатковi роздiли. – Київ: Наук. думка, 2005. – 333 с.
Надiйшло до редакцiї 22.02.2008Iнститут кiбернетики НАН України
iм. В.М. Глушкова, Київ
Українська iнженерно-педагогiчна
академiя, Харкiв
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №6 45
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4677 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-01T17:36:40Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Сергiєнко, I.В. Литвин, О.О. 2009-12-17T16:18:24Z 2009-12-17T16:18:24Z 2008 Математичне моделювання внутрiшньої структури 3D тiла на основi двох рентгенiвських знiмкiв у двох взаємно перпендикулярних ракурсах / I.В. Сергiєнко, О.О. Литвин // Доп. НАН України. — 2008. — № 6. — С. 40-45. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4677 535.3:537.876.23:631.3 The class of functions of three variables which can be restored by two X-ray pictures in mutually perpendicular directions is investigated. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Інформатика та кібернетика Математичне моделювання внутрiшньої структури 3D тiла на основi двох рентгенiвських знiмкiв у двох взаємно перпендикулярних ракурсах Article published earlier |
| spellingShingle | Математичне моделювання внутрiшньої структури 3D тiла на основi двох рентгенiвських знiмкiв у двох взаємно перпендикулярних ракурсах Сергiєнко, I.В. Литвин, О.О. Інформатика та кібернетика |
| title | Математичне моделювання внутрiшньої структури 3D тiла на основi двох рентгенiвських знiмкiв у двох взаємно перпендикулярних ракурсах |
| title_full | Математичне моделювання внутрiшньої структури 3D тiла на основi двох рентгенiвських знiмкiв у двох взаємно перпендикулярних ракурсах |
| title_fullStr | Математичне моделювання внутрiшньої структури 3D тiла на основi двох рентгенiвських знiмкiв у двох взаємно перпендикулярних ракурсах |
| title_full_unstemmed | Математичне моделювання внутрiшньої структури 3D тiла на основi двох рентгенiвських знiмкiв у двох взаємно перпендикулярних ракурсах |
| title_short | Математичне моделювання внутрiшньої структури 3D тiла на основi двох рентгенiвських знiмкiв у двох взаємно перпендикулярних ракурсах |
| title_sort | математичне моделювання внутрiшньої структури 3d тiла на основi двох рентгенiвських знiмкiв у двох взаємно перпендикулярних ракурсах |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4677 |
| work_keys_str_mv | AT sergiênkoiv matematičnemodelûvannâvnutrišnʹoístrukturi3dtilanaosnovidvohrentgenivsʹkihznimkivudvohvzaêmnoperpendikulârnihrakursah AT litvinoo matematičnemodelûvannâvnutrišnʹoístrukturi3dtilanaosnovidvohrentgenivsʹkihznimkivudvohvzaêmnoperpendikulârnihrakursah |