Об игровых задачах для квазилинейных импульсных систем
Для квазилинейной динамической игры, описываемой системой с импульсными воздействиями, получены достаточные условия сближения с цилиндрическим множеством за некоторое гарантированное время. При этом применена техника метода разрешающих функций основанного на использовании специальных многозначных от...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Теорія оптимальних рішень |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46772 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Бигун Я.И., Кривонос И.Ю., Чикрий К.А., Ткачик А.М. / Я.И. Бигун, И.Ю. Кривонос, К.А. Чикрий, А.М. Ткачик // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2011. — № 10. — С. 47-52. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859702466161934336 |
|---|---|
| author | Бигун, Я.И. Кривонос, И.Ю. Чикрий, К.А. Ткачик, А.М. |
| author_facet | Бигун, Я.И. Кривонос, И.Ю. Чикрий, К.А. Ткачик, А.М. |
| citation_txt | Бигун Я.И., Кривонос И.Ю., Чикрий К.А., Ткачик А.М. / Я.И. Бигун, И.Ю. Кривонос, К.А. Чикрий, А.М. Ткачик // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2011. — № 10. — С. 47-52. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Теорія оптимальних рішень |
| description | Для квазилинейной динамической игры, описываемой системой с импульсными воздействиями, получены достаточные условия сближения с цилиндрическим множеством за некоторое гарантированное время. При этом применена техника метода разрешающих функций основанного на использовании специальных многозначных отображений и их се7екторов. Моменты импульсных воздействий и величины скачков предполагаются заданными.
Для квазілінійної гри. що описується системою з імпульсною дією, отримані достатні умови зближення з циліндричною множиною за деякий гарантований час. При ньому застосована техніка методу розв’язуючих функцій, що базується на використанні спеціальних багатозначних відображень та їх селекторів. Моменти імпульсної дії та величини скачків вважаються заданими.
The paper investigates the dynamic game described by a system subject to impulse effect at certain instants of time. Conditions, providing for its trajectory in guaranteed time to approach a cylindrical set are obtained. In so doing, the technique of the method of resolving functions based on special set-valued mappings is employed.
|
| first_indexed | 2025-12-01T01:42:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
Теорія оптимальних рішень. 2011, № 10 47
ÒÅÎвß
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÈÕ
вØÅÍÜ
Для квазилинейной динамической
игры, описываемой системой с
импульсными воздействиями, по-
лучены достаточные условия
сближения с цилиндрическим
множеством за некоторое га-
рантированное время. При этом
применена техника метода раз-
решающих функций, основанного
на использовании специальных
многозначных отображений и их
селекторов. Моменты импульс-
ных воздействий и величины скач-
ков предполагаются заданными.
Я.И. Бигун, И.Ю. Кривонос,
К.А. Чикрий, А.М. Ткачик, 2011
ÓÄÊ 517.977
ß.È. ÁÈÃÓÍ, È.Þ. ÊÐÈÂÎÍÎÑ, Ê.À. ×ÈÊÐÈÉ,
À.Ì. ÒÊÀ×ÈÊ
ÎÁ ÈÃÐÎÂÛÕ ÇÀÄÀ×ÀÕ
ÄËß ÊÂÀÇÈËÈÍÅÉÍÛÕ ÈÌÏÓËÜÑÍÛÕ
ÑÈÑÒÅÌ
Введение. Процессы с импульсными воздей-
ствиями, в том числе системы с толчками,
ударами исследованы в монографиях [1–4],
где содержится обширная библиография по
этому поводу. Игровые задачи для таких
процессов исследованы в [5], где системы с
толчками изучаются с помощью метода раз-
решающих функций [6, 7]. Эти исследования
продолжаются в данной работе, однако в
формализации импульсных воздействий,
предложенной в [1], не использующей
δ - функции Дирака.
Рассматривается конфликтно управляемый
процесс
( ) ( , , )z A t z t u v= + ϕ& , nz R∈ ,
0 0t t≥ ≥ , 0 0( )z t z= , ( )u U t∈ , ( )v V t∈ , (1)
где ( )A t – матричная функция с суммируе-
мыми на любом конечном интервале элемен-
тами; nR – конечномерное евклидово про-
странство. Области управления игроков ( )U t
и ( )V t являются измеримыми компактно-
значными отображениями. Блок управления
– функция ( , , )t u vϕ удовлетворяет условиям
Каратеодори, т.е. она непрерывна по сово-
купности u и v и измерима по t . Кроме
того, будем предполагать, что имеет место
неравенство
( , , ) ( ) ( )t u v c t u U tϕ ≤ ∀ ∈ , ( )v V t∈ ,
0t t≤ < +∞ , (2)
где ( )c t – суммируемая на любом конечном
интервале скалярная функция.
Я.И. БИГУН, И.Ю. КРИВОНОС, К.А. ЧИКРИЙ, А.М. ТКАЧИК
48 Теорія оптимальних рішень. 2011, № 10
При этом процесс (1) является импульсным [1, 2], т.е. траектория системы
(1) имеет разрывы первого рода в заданных точках iτ ,
1 2 1... ...i i+τ < τ < < τ < τ < < +∞ , последовательность которых не имеет конечных
точек сгущения. Величина скачка в момент iτ имеет вид
( 0) ( )
it i i i i iz z z B z aτ τ τ=∆ = + − = + , 1,2,...i = , (3)
где iB – постоянные матрицы, ( )i iz z= τ , а ia – заданные векторы из nR . Таким
образом, траектория ( )z t в момент скачка непрерывна слева.
Кроме конфликтно управляемого процесса (1)–(3) с импульсными воздейст-
виями задано цилиндрическое терминальное множество
*
0( ) ( )M t M M t= + , 0t t≤ < +∞ , (4)
где 0M – линейное подпространство из nR , а ( )M t – измеримое
компактнозначное отображение, принимающее значения из ортогонального
дополнения L к 0M в пространстве nR .
Цель первого игрока ( )u – воздействуя на процесс (1)–(3) с помощью
измеримого селектора ( )u t отображения ( )U t , вывести его траекторию на
множество (4) за кратчайшее время при любом противодействии второго игрока
( )v в виде измеримого селектора ( )v t отображения ( )V t .
В данной работе игровая задача рассматривается с позиций первого игрока,
даются достаточные условия завершения сближения за некоторое
гарантированное время в классе квазистратегий, т.е.
0 0( ) ( , , , ( ))tu t u t z t v= ⋅ , [ ]{ }0( ) ( ) ( ), ,tv v s V s s t t⋅ = ∈ ∈ . (5)
Разумеется, по аналогии с работой [3] могут быть получены условия завершения
игры (1)–(3) с помощью контруправлений 0 0( ) ( , , , ( ))u t u t z t v t= при некоторых
дополнительных предположениях.
Прежде чем излагать схему метода разрешающих функций (МРФ) [6, 7] для
решения игровой задачи (1)–(3), приведем некоторые вспомогательные факты
из теории импульсных систем [1, 2]. Другие модели, в том числе с толчками,
исследованы в [3–5].
Если игроками выбраны допустимые управления ( )u τ и ( )v τ , то решение
системы (1)–(3) имеет вид (аналог формулы Коши)
00
0 0( ) ( , ) ( , ) ( , ( ), ( )) ( , )
i
t
i i
t tt
z t t t z t u v d t a
<τ <
= Φ + Φ τ ϕ τ τ τ τ + Φ τ∑∫ , (6)
где
1
0 1( , ) ( , )( ) ( , )j k j k j j
k
t t t E B+ + +ν +ν−
ν=
Φ = Ω τ + Ω τ τ ⋅∏ 1 0( ) ( , )j jE B t+ν−+ Ω τ ,
ОБ ИГРОВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ
Теорія оптимальних рішень. 2011, № 10 49
1 0 1j j j k j kt t− + + +τ < ≤ τ < τ < ≤ τ ,
1
1( , ) ( , ) ( ) ( , )
s
j k j j j
k
t t E B
+
+ +ν +ν +ν−
ν=
Φ τ = Ω τ + Ω τ τ∏ ( ) ( , )j s j sE B + ++ ⋅ Ω τ τ , (7)
1 0 1 1j j j s j s j k j kt t− + − + + + +τ < ≤ τ ≤ τ < τ ≤ τ < τ < ≤ τ .
Здесь ( , )tΩ τ – матрицант [9] однородной системы (1).
Обозначим π ортопроектор, действующий из nR в L , и рассмотрим
многозначные отображения
{ }( , ( ), ) ( , , ): ( )t U t v t u v u U tϕ = ϕ ∈ , 0t t≥ , ( )v V t∈ ,
( , , ) ( , ) ( , ( ), )W t v t U vτ = πΦ τ ϕ τ τ ,
( )
( , ) ( , , )
v V
W t W t v
∈ τ
τ = τI , 0t tτ≥ ≥ ,
где ( , )tΦ τ дается выражением (7).
Сформулируем одно из достаточных условий разрешимости задачи
сближения.
Условие Понтрягина. Многозначное отображение ( , )W t τ принимает
непустые значения для 0t t≤ τ ≤ < +∞ .
Поскольку отображение ( , )W t τ является замкнутозначным и измеримым по
τ , то согласно теореме измеримого выбора в нем существует хотя бы один
измеримый по τ селектор [8]. Зафиксируем его и обозначим ( , )tγ τ . Введем
функцию
0 0
0 0 0 0( , , , ( , )) ( , ) ( , ) ( , )
i
t
i i
t t t
t z t t t t z t a t d
<τ <
ξ γ ⋅ = πΦ + πΦ τ + γ τ τ∑ ∫ ,
а с ее помощью – многозначное отображение
[ ] [ ]{ }0 0( , , ) 0 : ( , , ) ( , ) ( ) ( , , , ( , ))t v W t v t M t t z t tτ = α ≥ τ − γ τ α − ξ γ ⋅ ≠ ∅IA ,
( )v V t∈ , 0t t≥ τ ≥ .
Его опорную функцию в направлении +1 называют разрешающей [5, 7], она
обладает свойством суперпозиционной измеримости по v , что позволяет ввести
множество
0
0 0 0
( )
( , , ( , )) : inf ( , , ( )) 1
V
t
v
t
T t z t t t v d
⋅ ∈Ω
γ ⋅ ⋅ = ≥ α τ τ τ ≥
∫ ,
где VΩ – совокупность измеримых селекторов отображения ( )V t .
Теорема. Пусть для конфликтно управляемого процесса с импульсными
воздействиями (1)–(3) выполнено условие Понтрягина и ( ) co ( )M t M t= , 0t t≥ .
Тогда, если для заданного начального состояния 0 0( , )t z существует такой
измеримый по τ селектор ( , )tγ τ , 0t tτ≤ ≤ < +∞ , многозначного отображения
Я.И. БИГУН, И.Ю. КРИВОНОС, К.А. ЧИКРИЙ, А.М. ТКАЧИК
50 Теорія оптимальних рішень. 2011, № 10
( , )W t τ , что 0 0( , , ( , ))T t z γ ⋅ ⋅ ≠ ∅ и 0 0( , , ( , ))T T t z∈ γ ⋅ ⋅ , то траектория процесса
может быть приведена на терминальное множество (3) в момент T с помощью
управления вида (5).
Доказательство. Пусть ( )v τ , ( ) ( )v Vτ ∈ τ , [ ]0 ,t Tτ∈ , – произвольная изме-
римая функция, а ( , )Tγ τ , [ ]0 ,t Tτ∈ , – упомянутый измеримый селектор много-
значного отображения ( , )W T τ , которое принимает непустые значения в силу
условия Понтрягина.
Рассмотрим случай 0 0( , , , ( , )) ( )t z T T M Tξ γ ⋅ ∈ . Для этого введем контрольную
функцию
0
( ) 1 ( , , ( ))
t
t
h t T v d= − α τ τ τ∫ , [ ]0 ,t t T∈ ,
где ( )v τ – зафиксированное вначале управление второго игрока. В рассматри-
ваемом случае функция ( , , ( ))T vα τ τ принимает конечные значения, она измери-
ма в силу суперпозиционной измеримости по v и интеграл имеет смысл. Функ-
ция ( )h t абсолютно непрерывна на интервале [ ]0 ,t T как функция верхнего пре-
дела интеграла, а значит непрерывна. Она не возрастает, поскольку по построе-
нию функция ( ), ,T vα τ неотрицательна и, соответственно, интеграл как функ-
ция верхнего предела является функцией неубывающей. Кроме того, 0( ) 1h t = , а
поскольку по определению ( ) 0h T ≤ , то из теоремы Коши о непрерывных функ-
циях вытекает, что существует такой момент времени t∗ , ( ]0 ,t t T∗ ∈ , что
( ) 0h t∗ = . Очевидно, что t∗ зависит от ( )v ⋅ .
Промежутки времени [ )0 ,t t∗ и [ ],t T∗ в дальнейшем будем называть актив-
ным и пассивным соответственно. Опишем способ управления первым игроком
на каждом из них. Для этого рассмотрим компактнозначное отображение
( , )U vτ { ( ) : ( , ) ( , , ) ( , )u U T u v T= ∈ τ πΦ τ ϕ τ − γ τ ∈
[ ]}0 0( , , ) ( ) ( , , , ( , ))T v M T t z T T∈α τ − ξ γ ⋅ . (8)
В силу свойств разрешающей функции ( ), ,T vα τ , ее L B× - измеримости
[7], и условий, наложенных на параметры конфликтно управляемого процесса
(1)–(3), из теоремы об обратном образе [8] вытекает, что отображение ( ),U vτ
является L B× - измеримым при ( )v V∈ τ , [ ]0 ,t Tτ∈ . Согласно теореме измери-
мого выбора существует хотя бы один L B× - измеримый селектор ( ),u vτ ото-
бражения ( ),U vτ . Он является суперпозиционно измеримой функцией, следова-
ОБ ИГРОВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ
Теорія оптимальних рішень. 2011, № 10 51
тельно, ( ) ( )( ),u u vτ = τ τ – измеримая функция. Управление первого игрока на
активном промежутке положим равным ( )u τ , [ )0 ,t t∗τ∈ .
Рассмотрим пассивный участок времени [ ],t T∗ . Положим в формуле (8)
разрешающую функцию ( , , ) 0T vα τ ≡ . Получим многозначное отображение
{ }0 ( , ) ( ) : ( , ) ( , , ) ( , ) 0U v u U T u v Tτ = ∈ τ πΦ τ ϕ τ − γ τ =
Как и в предыдущем случае, отображение 0 ( , )U vτ является компактнознач-
ным и L B× - измеримым. Поэтому в нем существует L B× - измеримый селек-
тор 0 ( , )u vτ . Управление первого игрока на пассивном участке выберем равным
0 0( ) ( , ( ))u u vτ = τ τ , [ ]*,t Tτ∈ .
В случае 0 0( , , , ( , )) ( )t z T T M Tξ γ ⋅ ∈ управление первого игрока на всем про-
межутке [ ]0 ,t T выберем в виде 0 0( ) ( , ( ))u u vτ = τ τ , где 0 ( , )u vτ – L B× - измери-
мый селектор многозначного отображения 0 ( , )U vτ .
Покажем, что при выборе управлений первым игроком по указанным пра-
вилам траектория процесса (1)–(3) будет приведена на терминальное множество
0 ( )M M t+ в момент T при любых допустимых управлениях второго игрока.
В случае 0 0( , , , ( , )) ( )t z T T M Tξ γ ⋅ ∈ с учетом формулы Коши
00
0( ) ( , ) ( , ) ( , ( ) ( )) ( , )
i
T
i i
t tt
z T T t T u v d T a
<τ <
π = πΦ + πΦ τ ϕ τ τ τ τ + πΦ τ∑∫
и законов выбора управлений первым игроком имеем включение
* *
0 0
0 0( ) ( , , , ( , )) 1 ( , , ( )) ( , , ( )) ( )
t t
t t
z T t z T T T v d T v M T d
π ∈ξ γ ⋅ − α τ τ τ + α τ τ τ
∫ ∫ . (9)
Поскольку ( ) co ( )M t M t= , а ( , , ( ))T vα τ τ по построению неотрицательная
функция, удовлетворяющая условию
*
0
( , , ( )) 1
t
t
T v dα τ τ τ =∫ , то
*
0
( , , ( )) ( ) ( )
t
t
T v M T d M Tα τ τ τ =∫ .
Учитывая этот факт, из включения (9) немедленно получим ( ) ( )z T M Tπ ∈ , что
эквивалентно включению *( ) ( )z T M T∈ .
В случае 0 0( , , , ( , )) ( )t z T T M Tξ γ ⋅ ∈ из формулы Коши с учетом закона выбора
управления получим
0 0( ) ( , , , ( , )) ( )z T t z T T M Tπ = ξ γ ⋅ ∈ .
Теорема доказана.
Я.И. БИГУН, И.Ю. КРИВОНОС, К.А. ЧИКРИЙ, А.М. ТКАЧИК
52 Теорія оптимальних рішень. 2011, № 10
Заключение. Предложенная схема метода позволяет решать задачи о сбли-
жении для систем с разрывными траекториями различной природы на основе
конструктивного метода разрешающих функций. Широкий спектр игровых за-
дач [6] может быть исследован с помощью единого приема, позволяющего на-
ходить гарантированное время сближения, а также строить соответствующие
управления.
Я.І. Бігун, І.Ю. Кривонос, К.А. Чикрій, О.М. Ткачик
ПРО ІГРОВІ ЗАДАЧІ ДЛЯ КВАЗІЛІНІЙНИХ ІМПУЛЬСНИХ СИСТЕМ
Для квазілінійної гри, що описується системою з імпульсною дією, отримані достатні умови
зближення з циліндричною множиною за деякий гарантований час. При цьому застосована
техніка методу розв’язуючих функцій, що базується на використанні спеціальних багатознач-
них відображень та їх селекторів. Моменти імпульсної дії та величини скачків вважаються
заданими.
Y.J. Bigun, I.Yu. Krivonos, K.A. Chikrii, A.V. Tkachik
ON GAME PROBLEM FOR QUASILINEAR IMPULSE SYSTEM
The paper investigates the dynamic game described by a system subject to impulse effect at certain
instants of time. Conditions, providing for its trajectory in guaranteed time to approach a cylindrical
set are obtained. In so doing, the technique of the method of resolving functions based on special
set-valued mappings is employed.
1. Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсным
воздействием. – Киев: Вища шк., 1987. – 288 с.
2. Петришин Р.І.,Сопронюк Т.М. Наближені методи розв’язування диференціальних
рівнянь з імпульсною дією. – Чернівці: Рута, 2010. –200 с.
3. Филиппов A.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. – М.:
Наука, 1985. – 224 с.
4. Халанай Ф., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. – М.: Мир, 1971 –
264 с.
5. Кивонос Ю.Г., Матичин И.И., Чикрий А.А. Динамические игры с разрывными
траекториями. – Киев: Наук. думка, 2005. – 220 с.
6. Чикрий A.A. Конфликтно управляемые процессы. – Киев: Наук. думка, 1992. – 384 с.
7. Чикрий A.A. Об одном аналитическом методе в динамических играх сближения
// Тр. математического института им. В.А. Стеклова. – 2010. – 271. – С. 76–92.
8. Aubin J.-P., Frankowska He. Set-Valued Analysis. – Birkhauser: Boston-Basel-Berlin,
1990. – 461 p.
9. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1967. – 575 с.
Получено 18.02.2011
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-46772 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0013 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T01:42:21Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бигун, Я.И. Кривонос, И.Ю. Чикрий, К.А. Ткачик, А.М. 2013-07-06T16:53:13Z 2013-07-06T16:53:13Z 2011 Бигун Я.И., Кривонос И.Ю., Чикрий К.А., Ткачик А.М. / Я.И. Бигун, И.Ю. Кривонос, К.А. Чикрий, А.М. Ткачик // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2011. — № 10. — С. 47-52. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. XXXX-0013 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46772 517.977 Для квазилинейной динамической игры, описываемой системой с импульсными воздействиями, получены достаточные условия сближения с цилиндрическим множеством за некоторое гарантированное время. При этом применена техника метода разрешающих функций основанного на использовании специальных многозначных отображений и их се7екторов. Моменты импульсных воздействий и величины скачков предполагаются заданными. Для квазілінійної гри. що описується системою з імпульсною дією, отримані достатні умови зближення з циліндричною множиною за деякий гарантований час. При ньому застосована техніка методу розв’язуючих функцій, що базується на використанні спеціальних багатозначних відображень та їх селекторів. Моменти імпульсної дії та величини скачків вважаються заданими. The paper investigates the dynamic game described by a system subject to impulse effect at certain instants of time. Conditions, providing for its trajectory in guaranteed time to approach a cylindrical set are obtained. In so doing, the technique of the method of resolving functions based on special set-valued mappings is employed. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Теорія оптимальних рішень Об игровых задачах для квазилинейных импульсных систем Про ігрові задачі для квазілінійних імпульсних систем On game problem for quasilinear impulse system Article published earlier |
| spellingShingle | Об игровых задачах для квазилинейных импульсных систем Бигун, Я.И. Кривонос, И.Ю. Чикрий, К.А. Ткачик, А.М. |
| title | Об игровых задачах для квазилинейных импульсных систем |
| title_alt | Про ігрові задачі для квазілінійних імпульсних систем On game problem for quasilinear impulse system |
| title_full | Об игровых задачах для квазилинейных импульсных систем |
| title_fullStr | Об игровых задачах для квазилинейных импульсных систем |
| title_full_unstemmed | Об игровых задачах для квазилинейных импульсных систем |
| title_short | Об игровых задачах для квазилинейных импульсных систем |
| title_sort | об игровых задачах для квазилинейных импульсных систем |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46772 |
| work_keys_str_mv | AT bigunâi obigrovyhzadačahdlâkvazilineinyhimpulʹsnyhsistem AT krivonosiû obigrovyhzadačahdlâkvazilineinyhimpulʹsnyhsistem AT čikriika obigrovyhzadačahdlâkvazilineinyhimpulʹsnyhsistem AT tkačikam obigrovyhzadačahdlâkvazilineinyhimpulʹsnyhsistem AT bigunâi proígrovízadačídlâkvazílíníinihímpulʹsnihsistem AT krivonosiû proígrovízadačídlâkvazílíníinihímpulʹsnihsistem AT čikriika proígrovízadačídlâkvazílíníinihímpulʹsnihsistem AT tkačikam proígrovízadačídlâkvazílíníinihímpulʹsnihsistem AT bigunâi ongameproblemforquasilinearimpulsesystem AT krivonosiû ongameproblemforquasilinearimpulsesystem AT čikriika ongameproblemforquasilinearimpulsesystem AT tkačikam ongameproblemforquasilinearimpulsesystem |