Представление решений систем линейных дифференциальных уравнений дробного порядка

Рассматриваются неоднородные линейные системы дифференциальных уравнений с классическими дробными производными Римана— Лиувилля и регуляризованными дробными производными Капуто. При помощи преобразования Лапласа получены представления решений таких систем в виде аналогов формулы Коши при произвольны...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Теорія оптимальних рішень
Date:	2011
Main Author:	Матичин, И.И.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2011
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46774
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Представление решений систем линейных дифференциальных уравнений дробного порядка / И.И. Матичин // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2011. — № 10. — С. 62-67. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860086559676563456
author	Матичин, И.И.
author_facet	Матичин, И.И.
citation_txt	Представление решений систем линейных дифференциальных уравнений дробного порядка / И.И. Матичин // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2011. — № 10. — С. 62-67. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Теорія оптимальних рішень
description	Рассматриваются неоднородные линейные системы дифференциальных уравнений с классическими дробными производными Римана— Лиувилля и регуляризованными дробными производными Капуто. При помощи преобразования Лапласа получены представления решений таких систем в виде аналогов формулы Коши при произвольных измеримых ограниченных функциях времени в правой части. Розглядаються неоднорідні лінійні системи диференціальних рівнянь з класичними дробовими похідними Рімана-Ліувілля і регуляризованими дробовими похідними Капуто. За допомогою перетворення Лапласа одержані зображення розв'язків таких систем у вигляді аналогів формули Коші при довільних вимірних обмежених функціях часу у правій частині. Non-homogeneous linear systems of differential equations with classical Riemann–Liouville fractional derivatives as well as regularized Caputo’s fractional derivatives are considered. Using Laplace transform the solutions to such systems are represented in the form of analogues of Cauchy formula for arbitrary measurable and bounded functions of time in the right-hand side. These relations play a key role by solving related problems of mathematical control theory and theory of dynamic games.
first_indexed	2025-12-07T17:19:56Z
format	Article
fulltext	62 �� . 2011, � 10 �� - �� – �� !�� "��. #� �� $ �� - �� - �� - ��!�� "�� - �� !�� .  �.�. ��, 2011 �� . � � � �� - �� - �� , �� - ��, �� . ! ��- ��" � �� - �� - ��, �� "� � �� #�� $��–%��- �� #�� [1, 2]. �� &�� , �� - �� - �� [3]. '�� = [0, )+ ∞� . �� f – �� - �� , �� "�� +� � n-� �� &�� n � . � �� $��–%��- �� α , 0 < 1α ≤ , �� f �� 1 0 1 ( ) ( ) = , ( ) ( ) t f J f t d t α −α τ τ Γ α − τ� � ( )Γ α – ��-��. ( �� , �� 0J � �� - � �� . )�� " �� $��–%�� ( )f t . �$)+,-!%.�* $/ .�0 +�+,� %�.0.12… �� . 2011, � 10 63 �� 1 < <m m− α , m∈� , � �� f �� m . � �� $��–%�� α �� "�� [4]: 1 0 1 ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) tm m m m m m d d f D f t J f t d mdt dt t α −α α− + τ= τ Γ − α − τ� . �� , �� ( )1 ( ) 1 0 0 1 ( ) ( ) (0) ( 1) ( ) ( ) tk mm k m k t f D f t f d k m t −α− α α− + = τ= + τ Γ − α + Γ − α − τ� � , �� , �� $��–%�� #�� $��–%�� (� � �� ) � �� , � �� "� � �� . 3�� $��–%�� - �� #��: ( ) ( ) 1 0 1 ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) tm m m m m d f D f t J f t d mdt t α −α α− + τ= τ Γ − α − τ� . � �� $��−%�� #�� 1 1 ( ) ( ) ( ) =0 =0 ( ) = ( ) (0) = ( ) (0) . ( 1) ! i im m i i i i t t D f t D f t f D f t f i i −α− − α α α � � − −� �Γ − α + � �� +� �� "� �� %�� $��–%�� #��, �� : 1 1 =0 =0 { ( ); } = ( ) ( ) \| m i i t i L D f t s s F s s D f t − α α α− −−� , (1) 1 ( ) 1 =0 =0 { ( ); } = ( ) ( ) \| im i ti i d L D f t s s F s s f t dt − α α α− −−� , (2) � { ( ); } = ( )L f t s F s . $�� " �� –% �� : , 1 =0 ( ) = ( ) k k B E B k ∞ ρ µ −Γ ρ + µ� , � > 0ρ , µ∈� (� – �� ), B – � �� n . �.�. �-,�4�. 64 �� . 2011, � 10 '��" �� –% �� . 5� � �� I �� n . +� �� "�� , �� %�� , �� "�� " �� –% �� . �� 1. �� > 0α , > 0β , A – � �� n . ,�� { }1 1 , ( ); = ( )L t E At s s s I Aβ− α α−β α − α β − . %�� . 6�� " �� –% �� , ��-�� = stτ �� { }1 1 1 , , =00 0 ( ); = ( ) = = ( ) k k st st k A t L t E At s e t E At dt e t dt k ∞ ∞ α∞ β− α − β− α − β− α β α β Γ α + β�� 1 1 ( ) =0 =0 =00 0 = = = ( ) ( ) k k st k k k k k k k k A A e t dt e d A s k k s ∞ ∞∞ ∞ ∞ − α +β− −τ α +β− − α +β α +β τ τ Γ α + β Γ α + β� � �� . �� , �� ( ) 1 =0 = ( )k k k A s s s I A ∞ − α +β α−β α −−� . �� ( 1) 1 =0 = ( ) .k k k A s s I A ∞ − + α α −−� )�� ( )s I Aα − (� � �� , �� ). �� ( 1) ( 1) ( 1) =0 =0 =0 ( ) = = .k k k k k k k k k A s s I A A s A s I ∞ ∞ ∞ − + α α − α + − + α− −� � � �� , &�� . �� ( )g t , t +∈� , – �� . ,�� 1( ) (0, )stg t e L− ∈ ∞ , s ∈� . +� �� , � �� ( )g t � �� %��. �� = ( )z z t , nz ∈� , – �� , �� "�� t , � &�� $)+,-!%.�* $/ .�0 +�+,� %�.0.12… �� . 2011, � 10 65 = , 1 < < ,D z Az g m mα + − α (3) � �� 0 =0( ) \| = , = 1, , .k t kD z t z k mα− � (4) �� 2. , � �� (3), (4) �� 0 1 , 1 , =1 0 ( ) = ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) . tm k k k k z t t E At z t E A t g dα− α α− α α α− + α α+ − τ − τ τ τ� � %�� . '�� { ( ); } = ( )L z t s Z s , { ( ); } = ( )L g t s G s . � �� (3) � �� %��, �� (1). �� 1 0 =1 ( ) = ( ) ( ), m k k k s Z s s z AZ s G sα −− +� �� 1 1 0 1 =1 ( ) = ( ) ( ) ( ). m k k k Z s s s I A z s I A G s− α − α −− + −� � �� %��, � �� 1, �� 0 1 , 1 , =1 0 ( ) = ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) . tm k k k k z t t E At z t E A t g dα− α α− α α α− + α α+ − τ − τ τ τ� � 4�� . $�� #��, �� ( ) = , 1 < < ,D z Az g m mα + − α (5) � �� ( ) 0(0) =k kz z , = 0, , 1k m −� . (6) �� 3. , � �� (5), (6) �� 1 0 1 , 1 , =0 0 ( ) = ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) . tm k k k k z t t E At z t E A t g d − α α− α α + α α+ − τ − τ τ τ� � �.�. �-,�4�. 66 �� . 2011, � 10 %�� . � �� (5) � �� %��, �� (2). �� 1 1 0 =0 ( ) = ( ) ( ), m k k k s Z s s z AZ s G s − α α− −− +� �� 1 1 1 0 1 =0 ( ) = ( ) ( ) ( ). m k k k Z s s s I A z s I A G s − α− − α − α −− + −� � �� %��. ,�� , �� 1, �� 1 0 1 , 1 , =0 0 ( ) = ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) , tm k k k k z t t E At z t E A t g d − α α− α α + α α+ − τ − τ τ τ� � �� . ! �� [3] ��, �� (0,1)α ∈ �� (5) � �� (6) �� ( ) 0 0 ( ) 0 0 0 0 ( ) = ( ) ,A t A t t t z t e Az d z e g d−τ −τ α ατ + + τ τ� � � Ateα – �� α -&�� : 1 1 , =0 = = ( ). [( 1) ] k k At k A t e t t E At k α∞ α− α− α α α αΓ + α� (7) �� , �� &�� 3. )�� &�� ( ) 0 0 0 0 0 ( ) = t A tz t e Az d z−τ α τ +�� , �� ( ) =D z Azα . ! �� (7) �� 1 ( 1) 1 0 0 00 0 0 ,1 0 =0 =00 ( )( ) ( ) = = ( ) [( 1) ] ( 1) k kk k k k t A t tA t z t d I z z E At z k k α+ + α−∞ ∞ α α � � � �−− τ� �τ + =� � � �Γ + α Γ α +� �� , 0 1 ,1 0 , 0 ( ) = ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) t z t E At z t E A t g dα α− α α α α+ − τ − τ τ τ� , �$)+,-!%.�* $/ .�0 +�+,� %�.0.12… �� . 2011, � 10 67 �� 3. �� . �� , �� #�� #�� - �� . $�� - �� , � �� . &.&. '�� ('5$-7..8 $'(!’8(#9! +�+,� %9.90.�2 )�:$.;9-%<.�2 $9!.8.< )$'5'!'=' �'$8)#6 $�� > �> �>�>��> �� >�� >�� > �� $>��–%>��>�� > �� > �� #��. (� �� %�� > �� ’��>� �� > ��>� �� #��> � � ��>�� > �� >�� >� ��>. I.I. Matychyn REPRESENTATION OF SOLUTIONS TO SYSTEMS OF FRACTIONAL ORDER LINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS Non-homogeneous linear systems of differential equations with classical Riemann–Liouville frac- tional derivatives as well as regularized Caputo’s fractional derivatives are considered. Using Laplace transform the solutions to such systems are represented in the form of analogues of Cauchy formula for arbitrary measurable and bounded functions of time in the right-hand side. These rela- tions play a key role by solving related problems of mathematical control theory and theory of dy- namic games. 1. Chikrii A.A., Matychyn I.I. Game problems for fractional-order systems // New Trends in Nanotechnology and Fractional Calculus Applications. Vol. XI. – Dordrecht; Heidelberg; London; New York: Springer, 2010. – P. 233–241. 2. Podlubny I. Fractional Differential Equations. – San Diego: Acad. Press, 1999. – 340 p. 3. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and applications of fractional differential equations. – Amsterdam: Elsevier, 2006. – 540 p. 4. (� �� (.)., " �� .., '�� +.,. �� . – ��: .�� , 1987. – 688 �. �� 03.02.2011
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-46774
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	XXXX-0013
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T17:19:56Z
publishDate	2011
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format	dspace
spelling	Матичин, И.И. 2013-07-06T16:58:32Z 2013-07-06T16:58:32Z 2011 Представление решений систем линейных дифференциальных уравнений дробного порядка / И.И. Матичин // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2011. — № 10. — С. 62-67. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. XXXX-0013 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46774 517.997 Рассматриваются неоднородные линейные системы дифференциальных уравнений с классическими дробными производными Римана— Лиувилля и регуляризованными дробными производными Капуто. При помощи преобразования Лапласа получены представления решений таких систем в виде аналогов формулы Коши при произвольных измеримых ограниченных функциях времени в правой части. Розглядаються неоднорідні лінійні системи диференціальних рівнянь з класичними дробовими похідними Рімана-Ліувілля і регуляризованими дробовими похідними Капуто. За допомогою перетворення Лапласа одержані зображення розв'язків таких систем у вигляді аналогів формули Коші при довільних вимірних обмежених функціях часу у правій частині. Non-homogeneous linear systems of differential equations with classical Riemann–Liouville fractional derivatives as well as regularized Caputo’s fractional derivatives are considered. Using Laplace transform the solutions to such systems are represented in the form of analogues of Cauchy formula for arbitrary measurable and bounded functions of time in the right-hand side. These relations play a key role by solving related problems of mathematical control theory and theory of dynamic games. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Теорія оптимальних рішень Представление решений систем линейных дифференциальных уравнений дробного порядка Зображення розв'язків систем лінійних диференціальних рівнянь дробового порядку Representation of solutions to systems of fractional order linear differential equations Article published earlier
spellingShingle	Представление решений систем линейных дифференциальных уравнений дробного порядка Матичин, И.И.
title	Представление решений систем линейных дифференциальных уравнений дробного порядка
title_alt	Зображення розв'язків систем лінійних диференціальних рівнянь дробового порядку Representation of solutions to systems of fractional order linear differential equations
title_full	Представление решений систем линейных дифференциальных уравнений дробного порядка
title_fullStr	Представление решений систем линейных дифференциальных уравнений дробного порядка
title_full_unstemmed	Представление решений систем линейных дифференциальных уравнений дробного порядка
title_short	Представление решений систем линейных дифференциальных уравнений дробного порядка
title_sort	представление решений систем линейных дифференциальных уравнений дробного порядка
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46774
work_keys_str_mv	AT matičinii predstavlenierešeniisistemlineinyhdifferencialʹnyhuravneniidrobnogoporâdka AT matičinii zobražennârozvâzkívsistemlíníinihdiferencíalʹnihrívnânʹdrobovogoporâdku AT matičinii representationofsolutionstosystemsoffractionalorderlineardifferentialequations

Представление решений систем линейных дифференциальных уравнений дробного порядка

Institution

Similar Items