Вынужденная конвекция жидкости в квадратной полости под воздействием верхней движущейся крышки
На основе полных нестационарных уравнений Навье-Стокса, записанных в физических переменных скорость--давление, решается задача о вынужденном движении несжимаемой жидкости внутри квадратной полости под воздействием движущейся верхней крышки. Численно исследованы особенности возникающих возвратных и р...
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2008
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4678 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Вынужденная конвекция жидкости в квадратной полости под воздействием верхней движущейся крышки / Е.В. Бруяцкий, А.Г. Костин, Е.И. Никифорович // Прикладна гідромеханіка. — 2008. — Т. 10, № 4. — С. 3-12. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859974882999140352 |
|---|---|
| author | Бруяцкий, Е.В. Костин, А.Г. Никифорович, Е.И. |
| author_facet | Бруяцкий, Е.В. Костин, А.Г. Никифорович, Е.И. |
| citation_txt | Вынужденная конвекция жидкости в квадратной полости под воздействием верхней движущейся крышки / Е.В. Бруяцкий, А.Г. Костин, Е.И. Никифорович // Прикладна гідромеханіка. — 2008. — Т. 10, № 4. — С. 3-12. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | На основе полных нестационарных уравнений Навье-Стокса, записанных в физических переменных скорость--давление, решается задача о вынужденном движении несжимаемой жидкости внутри квадратной полости под воздействием движущейся верхней крышки. Численно исследованы особенности возникающих возвратных и рециркуляционных вихревых течений в полости в зависимости от числа Рейнольдса. Полученные предлагаемым методом результаты расчетов полей скоростей и давления сравниваются с известными экспериментами и результатами расчетов, полученными другими методами и другими авторами.
На основi повних нестацiонарних рiвнянь Нав'є-Стокса, записаних у фiзичних змiнних швидкiсть-тиск, вирiшена задача про змушений рух нестислої рiдини всерединi квадратної порожнини пiд дiєю верхньої кришки, яка рухається. Чисельно дослiдженi особливостi виникаючих зворотних та рециркуляцiйних вихрових течiй в порожнинi в залежностi вiд числа Рейнольдса. Одержанi запропонованим методом результати розрахункiв полiв швидкостей та тиску порiвнюються з вiдомими експериментами i результатами розрахункiв, якi одержанi iншими методами i iншими авторами.
Based on full non-stationary Navier-Stokes equations in velocity-pressure variables, a problem is solved on a forced motion of incompressible fluid initiated by a moving upper wall in a square. Peculiarities are investigated numerically of arising reciprocal and recirculating vortical flows in the cavity depending on the Reynolds number. Calculated velocity and pressure fields using the developed method are compared with known experimental and numerical results obtained by different authors and methods.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:23:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
НАУКОВI СТАТТI ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 3 – 12
УДК 532.525.2
ВЫНУЖДЕННАЯ КОНВЕКЦИЯ ЖИДКОСТИ В
КВАДРАТНОЙ ПОЛОСТИ ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ
ВЕРХНЕЙ ДВИЖУЩЕЙСЯ КРЫШКИ
Е. В. БР У Я ЦК И Й, А. Г. К ОСТИ Н, Е. И. Н И К И ФО РО ВИ Ч
Институт гидромеханики НАН Украины, Киев
Получено 16.04.2008
На основе полных нестационарных уравнений Навье-Стокса, записанных в физических переменных скорость–
давление, решается задача о вынужденном движении несжимаемой жидкости внутри квадратной полости под во-
здействием движущейся верхней крышки. Численно исследованы особенности возникающих возвратных и рецир-
куляционных вихревых течений в полости в зависимости от числа Рейнольдса. Полученные предлагаемым методом
результаты расчетов полей скоростей и давления сравниваются с известными экспериментами и результатами ра-
счетов, полученными другими методами и другими авторами.
На основi повних нестацiонарних рiвнянь Нав’є-Стокса, записаних у фiзичних змiнних швидкiсть-тиск, вирiшена
задача про змушений рух нестислої рiдини всерединi квадратної порожнини пiд дiєю верхньої кришки, яка руха-
ється. Чисельно дослiдженi особливостi виникаючих зворотних та рециркуляцiйних вихрових течiй в порожнинi
в залежностi вiд числа Рейнольдса. Одержанi запропонованим методом результати розрахункiв полiв швидкостей
та тиску порiвнюються з вiдомими експериментами i результатами розрахункiв, якi одержанi iншими методами i
iншими авторами.
Based on full non-stationary Navier-Stokes equations in velocity-pressure variables, a problem is solved on a forced motion
of incompressible fluid initiated by a moving upper wall in a square. Peculiarities are investigated numerically of arising
reciprocal and recirculating vortical flows in the cavity depending on the Reynolds number. Calculated velocity and
pressure fields using the developed method are compared with known experimental and numerical results obtained by
different authors and methods.
ВВЕДЕНИЕ
Исследования ламинарных течений вязкой несжи-
маемой жидкости на основе решения полных урав-
нений Навье-Стокса проводились разными иссле-
дователями. При этом из-за трудностей определе-
ния поля давления исходная система уравнений
использовалась в трех вариантах: когда исходные
уравнения движения записываются в перемен-
ных вихрь–функция тока, в физических перемен-
ных скорость-давление и в переменных скорость-
завихренность. Преимущества и недостатки ка-
ждого из этих подходов хорошо известны [1–4].
В большинстве случаев использовалась система
уравнений функция тока–вихрь. Основное преи-
мущество такого подхода состоит в возможности
исключения давления из системы исходных урав-
нений. Основным недостатком является трудность
постановки граничных условий для вихря скоро-
сти и отсутствие возможности обобщения этого
подхода на трехмерные задачи и турбулентные ре-
жимы течения.
В настоящее время для численного решения
уравнений Навье-Стокса существуют и исполь-
зуются несколько десятков разновидностей ра-
зностных схем. Поиски наилучших разностных
схем интенсивно продолжаются. Недавно в на-
шей работе [5] предложен эффективный метод чи-
сленного решения полных нестационарных урав-
нений Навье-Стокса в физических переменных
скорость–давление для несжимаемой жидкости.
Общий принцип решения основывается на синтезе
идей МАС метода Ф. Х. Харлоу [6, 7] и модифи-
цированного варианта SIMPLE метода С. В. Па-
танкара, П. В. Сполдинга [8, 9]. Особенность ме-
тода состоит в использовании разнесенных сеток
и построении универсального дискретного анало-
га ламинарных течений. В указанной работе ме-
тод тестировался на примере расчета течения на
начальном участке стабилизации внутри плоского
прямолинейного канала [5].
Данная статья посвящена дальнейшей аппроба-
ции полученного универсального дискретного ана-
лога ламинарных течений для расчетов более сло-
жных течений, содержащих возвратные рецирку-
ляционные области течения. Чтобы успешно ре-
шить поставленную задачу, необходимо сравнить
результаты расчетов, полученные данным мето-
дом с известными решениями, полученными дру-
гими авторами другими методами. Для этого важ-
но выбрать подходящую модельную задачу, кото-
рая бы уже решалась как в переменных функ-
ция тока–вихрь, так и в переменных скорость–
давление. В качестве такой модельной задачи удо-
c© Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин, Е. И. Никифорович, 2008 3
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 3 – 12
бно рассмотреть течение в квадратной полости под
воздействием движущейся верхней крышки. Инте-
рес к этой задаче обусловлен тем, что это течение
обладает набором структурных особенностей во-
звратных и рециркуляционных вихревых течений.
Кроме того, локализация течения в квадратной
расчетной области практически снимает вопрос о
постановке граничных условий для скорости в си-
лу очевидных условий прилипания и непротека-
ния жидкости на границах расчетной области.
Первоначально для решения этой задачи при-
менялись явные схемы решения уравнений Навье-
Стокса в переменных функция тока–вихрь (Ψ −
Ω), а аппроксимация производных осуществля-
лась с помощью центральных разностей. При
этом аппроксимация граничных условий на твер-
дой стенке для завихренности удовлетворяла усло-
вию Тома [2], то есть имела первый порядок
точности. Установившиеся решения задачи были
получены лишь при низких числах Рейнольдса
(Re< 100), поскольку с ростом числа Re развива-
лась вычислительная неустойчивость, свойствен-
ная центрально-разностным схемам.
Kawaguti M. [10], используя простейший ком-
пьютер (1961), получил численное решение этой
задачи в переменных (Ψ−Ω) для числа Рейнольд-
са, равного Re=64. Для числа Re=128 его решение
уже "разваливалось". O. R. Burggraf [11] подробно
исследовал эту задачу также в переменных (Ψ−Ω)
и получил результаты при числах Re≤ 400.
В дальнейшем улучшить сходимость расчетной
процедуры удалось благодаря использованию ап-
проксимации конвективных слагаемых односто-
ронними разностями "против потока"[12]. Однако,
из-за появления при этом значительной величины
численной вязкости, удовлетворительные резуль-
таты получились лишь до чисел Re< 300. Другие
исследователи J. D. Bozeman [12], Aтиас, Вольф-
штейн, Израэль [13], S. Abdalah [14, 15], D. V.
Davis, G. D. Mallison [16], И. А. Белов, С. А. Исаев
[17], А. А. Приходько [4] также использовали эту
задачу в качестве модельной для проверки новых
численных схем. Это вполне понятно, так как по
этой задаче имеются результаты подробных чис-
ленных расчетов [11] и качественные эксперимен-
тальные данные R. D. Mills [18], Pan F. Acrivos A.
[19]. Позднее более успешным оказалось использо-
вание нестационарных уравнений Навье-Стокса и
их решение на установление методом “переменных
направлений” [3, 20–22]. Такой подход позволил
получить установившиеся решения задачи уже до
чисел Re ≤ 1000.
В работе К. Н. Гхиа, В. Л. Хэнки, Дж. К.
Ходж [23] эта задача решалась в переменных
скорость–давление (V −P ). Авторы отмечают сло-
жность расчета давления. Для его определения
они использовали уравнение Пуассона в форме,
которая получается применением операции дивер-
генции к уравнениям количества движения. В ка-
честве граничных условий для давления использо-
вались однородные условия Неймана ∂P/∂n = 0.
Возникающие при этом сложности существования
сходящегося решения обсуждались в работах [14,
15, 23, 24], где была показана необходимость удов-
летворить в этом случае некоторому интеграль-
ному условию. В целом, анализ рассмотренных
и других решений показывает, что в угловых зо-
нах полости имеются вихревые особенности, име-
ющие тонкую структуру, расчет которой связан
с определенными вычислительными трудностями.
Качество моделирования и расчета этих вихревых
структур зависит от особенностей используемой
разностной схемы и числа Рейнольдса.
Дальнейший прогресс в этом направлении в
основном шел по пути использования неравномер-
ных сеток с увеличением и сгущением узлов в зо-
нах с большим градиентом искомых переменных.
В работе И. А. Белова, С. А.Исаева, В. А. Коробко-
ва [25] дано обобщение результатов исследований
циркуляционного движения жидкости в квадра-
тной полости с подвижной крышкой и представлен
один из алгоритмов решения уравнений Навье-
Стокса, записанных в естественных физических
переменных скорость–давление. Там же приведе-
ны оригинальные результаты расчетов течения на
равномерной сетке с количеством ячеек 40 × 40.
Рассмотренные работы не исчерпывают полный
перечень численных исследований этой задачи. К
ним можно добавить более поздние работы [4, 26] и
другие. Таким образом численное решение задачи
о вынужденной конвекции в квадратной полости
с движущейся верхней крышкой на протяжении
многих лет служит объектом верификации новых
и модифицированных разностных схем.
Цель данной работы заключается в том, что-
бы на примере расчета структуры вихревого цир-
куляционного течения в двухмерной полости те-
стировать эффективность предложенного числен-
ного метода решения полных нестационарных
уравнений Навье-Стокса в переменных скорость–
давление.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
Рассмотрим двумерную задачу о движении вязкой
жидкости в замкнутой квадратной полости с дви-
жущейся верхней крышкой. Такое течение относи-
4 Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин, Е. И. Никифорович
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 3 – 12
Рис. 1. Область интегрирования и граничные условия
тся к классу вынужденных конвективных движе-
ний жидкости. В общем случае горизонтальный
размер расчетной области D обозначим через l,
а вертикальный через h. Принципиальная схема
рассматриваемого течения и принятые обозначе-
ния представлены на pис. 1. Начало декартовой
прямоугольной системы координат O расположе-
но в левом нижнем углу. При l = h имеем квадра-
тную область (L = l/h = 1).
Специфика задачи состоит в том, что три гра-
ничные стенки AB, AD, DC расчетной области
ABCD неподвижны, а четвертая верхняя стен-
ка BC движется с постоянной скоростью u0 сле-
ва направо, как показано на рис. 1. Предполагае-
тся, что в начальный момент времени t = 0 жид-
кость всюду покоится, а при t > 0 верхняя крышка
BC приходит в движение со скоростью u0. Движе-
ние жидкости будем описывать нестационарными
двумерными уравнениями Навье-Стокса в пере-
менных скорость–давление. В качестве масштаба
длины выберем вертикальный размер полости h,
скорость движения верхней крышки u0 примем за
масштаб скорости, за масштаб времени примем ве-
личину t0 = h/u0, а за масштаб давления при-
мем скоростной напор ρ0u
2
0. Тогда в безразмерных
переменных систему нестационарных уравнений
движения Навье-Стокса в прямоугольной декар-
товой системе координат можно записать в следу-
ющей консервативной тензорной форме [27]:
∂Vi
∂τ
= −
∂P
∂Xi
+
+
∂
∂Xk
[
−ViVk +
1
Re
(
∂Vi
∂Xk
+
∂Vk
∂Xi
)]
, (1)
∂Vk
∂Xk
= 0.
Здесь по повторяющемуся индексу подразумевае-
тся суммирование. Такая компактная запись исхо-
дных уравнений позволяет рассматривать и тре-
хмерные течения. Для рассматриваемой двумер-
ной задачи i, k = 1, 2; X1 = X; X2 = Y ; V1 =
= U ; V2 = V. При этом U = u/u0; V =
= v/u0; X = x/h; Y = y/h; τ = tu0/h; P =
= p/ρ0u
2
0.
Основным параметром задачи служит число
Рейнольдса Re =u0h/ν . Заметим, что давление P
в рассматриваемой системе уравнений не является
основной переменной. Для завершения постанов-
ки задачи должны быть заданы граничные усло-
вия. В данной задаче они состоят в том, что на
твердых поверхностях должны выполняться оче-
видные условия прилипания и непротекания жид-
кости. Следовательно, на границах области имеем:
U |AB = 0; U |BC = 1; U |CD = 0; , U |AD = 0;
(2)
V |AB = 0; V |BC = 0; V |CD = 0; V |AD = 0. (3)
В процессе решения задачи необходимо рассчи-
тать установившуюся картину полей скорости и
давления в зависимости от числа Рейнольдса.
2. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД
Общий принцип используемого метода решения
уравнений Навье-Стокса рассмотрен в нашей ра-
боте [5]. Решение системы исходных нестационар-
ных уравнений (1) выполняется методом конечных
разностей на установление. Конечно-разностные
аналоги рассматриваемых уравнений строятся на
пятиточечном шаблоне в соответствии с извест-
ной схемой "крест" [28, 29]. Из-за сложностей со-
гласования полей скорости и давления конечно-
разностные аппроксимации реализуются на сетке
с разнесенной структурой расположения сеточных
узлов для зависимых переменных. Это означает,
что компоненты скоростей и давления определяю-
тся в разных узлах. Такой подход аналогичен ме-
тоду МАС [7] и дает определенные преимущества
при расчете поля давления.
Для дискретизации исходных уравнений в про-
странстве (X, Y, τ) вводится основная прямоуголь-
ная сетка S0(Xj , Yi, τ
n), состоящяя из точек
Xj = X0 + j ·∆x , Yi = Y0 + i ·∆y , τn = n ·∆τ ,
и две вспомогательные полуцелые сетки S1 и S2:
Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин, Е. И. Никифорович 5
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 3 – 12
S1(Xj+1/2, Yi, τ
n), Xj+1/2 = X0 + (j + 1/2) · ∆x,
Yi = i · ∆y,
S2(Xj , Yi+1/2, τ
n), Xj = j · ∆x,
Yi+1/2 = Y0 + (i + 1/2) ·∆y.
В соответствии с выбраным сеточным шаблоном
вводятся следующие обозначения:
P (Xj , Yi, τ
n) = P n
j,i
U((j + 1/2) · ∆x, i · ∆y, n · ∆τ ) = Un
j+1/2,i,
V (j · ∆x, (i + 1/2) ·∆y, n · ∆τ ) = V n
j,i+1/2.
Вся расчетная область разбивается на прямо-
угольные ячейки. Схема расположения ячеек и
узлов приведена на рис. 2 в работе [5]. В узлах
основной сетки расположены сеточные функции
давления Pj,i. Сеточные функции компонентов
скорости находятся на серединах граней контроль-
ных объемов, то есть в узлах вспомогательных по-
луцелых сеток S1(j+1/2, i) и S2(j, i+1/2) соответ-
ственно. Шаги сеток hxj и hyi могут быть как рав-
номерными, так и переменными в обоих направле-
ниях сетки: ∆x = 0, 5(hxj+hxj+1), ∆y = 0, 5(hyi+
+hyi+1), hx1 = (hxj +hxj+1), hy1 = (hyi +hyi+1).
Внешние границы расчетной области выбираю-
тся с учетом совпадения граней внутренних при-
граничных ячеек с физическими границами обла-
сти, где задаются граничные условия для ком-
понентов скорости. При таком подходе сеточные
функции давления находятся внутри расчетной
области и не попадают на физическую границу
Dh, что позволяет согласовать поля скорости и
давления.
Для конечно-разностной аппроксимации исхо-
дных уравнений движения и неразрывности
используются обычные схемы первого порядка то-
чности для производных по времени и второго по-
рядка точности для производных по пространс-
тву. При этом диффузионные слагаемые аппро-
ксимируются по схеме с центральными разностя-
ми, а для конвективных слагаемых используются
схемы с односторонними разностями "против по-
тока". Особенностью дискретизации является то,
что конечно-разностные аппроксимации центри-
руются в соответствии с выбранным шаблоном.
При этом сеточные индексы для зависимых пере-
менных оказываются сдвинутыми.
Подстановка конечно-разностных формул в
исходную систему уравнений движения после про-
стых преобразований позволяет записать их дис-
кретные аналоги для X и Y направлений соответ-
ственно. Полученные разностные алгебраические
уравнения, разрешенные относительно соответ-
ствующих компонент скорости Un+1
j+1/2,i
и V n+1
j,i+1/2
и
дополненные уравнением неразрывности, преобра-
зуются к следующему конечно-разностному виду:
Un+1
j+1/2,i =
[
∆y · (P n+1
j,i − P n+1
j+1,i) + GU
j+1/2,i
]
dU
j+1/2,i
, (4)
V n+1
j,i+1/2
=
[
∆x · (P n+1
j,i − P n+1
j,i+1
) + GV
j,i+1/2
]
dV
j,i+1/2
, (5)
Un+1
j+1/2,i − Un+1
j−1/2,i
∆x
+
V n+1
j,i+1/2
− V n+1
j,i−1/2
∆y
= 0, (6)
где выражения G и d с соответствующими нижни-
ми и верхними индексами являются известными
величинами по данным с предыдущего шага.
Полученная система уравнений связывает ме-
жду собой искомые компоненты скорости и дав-
ления. Однако эта система пока содержит неиз-
вестные слагаемые с градиентом давления. Поэто-
му для получения недостающего уравнения для
определения давления используется уравнение не-
разрывности (6). Учитывая его структуру, пони-
зим предварительно в выражениях для скоростей
Un+1
j+1/2,i и V n+1
j,i+1/2
соответственно индексы j и i
на единицу. Тогда получим необходимые выра-
жения для Un+1
j−1/2,i и V n+1
j,i−1/2
. Подставляя соо-
тветствующие выражения для компонентов ско-
рости в уравнения неразрывности (6), получа-
ем выражение, в котором неизвестными величи-
нами являются лишь сеточные функции давле-
ния. Выполнив простые алгебраические преобра-
зования для функции давления в узле с номером
(j, i) и окружающих его узлах, найдем следующий
конечно-разностный аналог для определения дав-
ления в виде замаскированного разностного урав-
нения Пуассона:
dP
j,iP
n+1
j,i + cP
1 P n+1
j+1,i + cP
0 Pj−1,i+ (7)
+bP
1 P n+1
j,i+1
+ bP
0 P n+1
j,i−1
= fP (j, i),
где соответствующие коэффициенты дискретиза-
ции и свободный член fp(j, i) – известные вели-
чины по результатам предыдущего шага. В итоге
полученное уравнение Пуассона (7) для давления
заменяет уравнение неразрывности и решается на
текущем временном слое.
Приведенная система конечно-разностных алге-
браических уравнений (4), (5) и (7) носит фунда-
ментальный характер и является универсальным
6 Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин, Е. И. Никифорович
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 3 – 12
дискретным аналогом системы полных нестацио-
нарных уравнений Навье-Стокса. Важной особен-
ностью полученного разностного уравнения Пуас-
сона (7) оказывается то, что благодаря исполь-
зованию разнесенных сеток, граничные условия
для его решения не требуются, так как значе-
ние давления в приграничных узлах может быть
определено из уравнений движения в комбинации
с граничными условиями для компонентов ско-
ростей [31]. Решение полученной системы разно-
стных алгебраических уравнений осуществляется
известными итерационными методами. В настоя-
щем методе компоненты скорости и давления ра-
сщеплены так, что на любом этапе расчета решаю-
тся уравнения относительно одной зависимой пе-
ременной. Это упрощает применение стандартных
методов решения интересующих нас систем ли-
нейных алгебраических уравнений. Эффективным
способом решения рассматриваемого двумерного
разностного уравнения второго порядка для дав-
ления является его редукция к двум одномерным
системам уравнений второго порядка с трехдиаго-
нальными матрицами, которые решаются методом
“прогонки” [29]. В зарубежной литературе его ча-
сто называют алгоритмом Томаса [1, 30].
В данном методе расчеты проводятся для двух
основных физических переменных – скорости
и давления. Итерационный вычислительный
процесс состоит из шагов по времени. В нача-
ле каждого временного цикла предполагаются
известными поля скорости и давления. Вычи-
слительная процедура выполняется в следующей
последовательности. При заданных на пре-
дыдущем временном шаге значениях Un
j+1/2,i
и V n
j,i+1/2
по соответствующим алгебраическим
формулам рассчитываются коэффициенты дис-
кретизации GU
j+1/2,i(U
n, V n), GV
j+1/2,i(U
n, V n),
dU
j+1/2,i(U
n, V n), dV
j,i+1/2
(Un, V n), dP
j,i, cP
1 , cP
0 , bP
1 ,
bP
0 , включая свободный член fp(j, i). Определив
таким образом коэффициенты уравнения Пуассо-
на, путем его решения находится поле давления
P n+1
j,i . Далее, зная коэффициенты дискретизации
и поле давления P n+1
j,i , по уравнениям (4), (5),
рассчитываются поля скорости Un+1
j+1/2,i
, V n+1
j,i+1/2
на (n + 1) шаге. На этом первый временной цикл
заканчивается и далее он повторяется. Задача
решается на установление. Критерием окончания
решения служит условие, когда максимальная
разность между значениями искомых переменных
на предыдущем и следующем временном шаге не
превышает заданную величину ошибки ε.
Важным моментом расчетов является контроль
за выполнением уравнения неразрывности. Опи-
санный алгоритм решения системы двумерных не-
стационарных уравнений Навье-Стокса реализо-
ван в виде компьютерной программы.
3. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ
Некоторые результаты численного расчета струк-
туры вынужденного течения однородной жидко-
сти в квадратной полости с движущейся верхней
крышкой представлены ниже на соответствую-
щих рисунках. Основные численные расчеты были
выполнены на равномерной сетке 50×50, хотя ис-
следовались и другие варианты, включая перемен-
ность шага в обоих направлениях. Шаг по времени
варьировался в зависимости от числа Рейнольдса.
В качестве примера на рис. 2 приведены резуль-
таты расчетов векторного поля скоростей тече-
ния жидкости в квадратной полости при четырех
различных числах Рейнольдса (Re=100, 400, 1000,
2000). Эти рисунки наглядно демонстрируют вли-
яние числа Рейнольдса на кинематическую стру-
ктуру течения в квадратной полости с движущей-
ся верхней крышкой.
Из рисунков видно, что в полости образуется
большая вихревая область при всех четырех зна-
чениях числа Рейнольдса. Зона с наибольшей ин-
тенсивностью течения расположена в верхней ча-
сти расчетной области, прилегающей к границе
BC. Здесь жидкость увлекается крышкой в си-
лу условий вязкого прилипания. Далее расчеты
показывают, что, в силу условия неразрывности,
внутри самой полости образуется течение, направ-
ленное вниз у правой стенки D и восходящее
вверх у левой стенки AB. Из-за движения верх-
ней крышки слева-направо общая картина вихре-
вого поля скоростей несимметрична. На приведен-
ных рисунках видно, что центр вихря (точка сто-
гнации) смещается вправо и находится выше гео-
метрического ценра полости. С увеличением чис-
ла Рейнольдса происходит смещение центра вихря
вниз до чисел Re=1000, а при Re=2000 визуаль-
но картина течения почти такая же, как и при
Re=1000.
На рис. 3 при тех же четырех числах Рейнольд-
са (Re=100, 400, 1000, 2000) представлены расче-
тные изолинии равных скоростей, которые подо-
бно функциям тока иллюстрируют интенсивность
структуры течения в полости. Полученная расче-
том детальная кинематическая структура течения
согласуется с ранее полученными результатами в
работах [11, 18, 31]. Интересно отметить, что со-
гласно многим численным решениям в нижних
углах полости даже при числах Re=1 должны по-
Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин, Е. И. Никифорович 7
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 3 – 12
Рис. 2. Расчетное векторное поле скоростей в квадратной полости при четырех различных числах Рейнольдса
(Re=100, 400, 1000, 2000)
являться вторичные вихревые течения. В связи с
этим отметим, что в наших численных исследова-
ниях эти вторичные вихри обнаруживаются лишь
при числе Re=2000. Очевидно, что если эти ско-
рости существуют, то они очень малы.
Поскольку исходные уравнения движения за-
писаны и решаются в переменных скорость–
давление, то это позволяет в процессе решения
сразу рассчитывать поле давления в полости.
На рис. 4 изображены расчетные изобары поля
давления. Расчетная картина приведенных изоли-
ний давления представляет особый интерес, так
как она получена в результате решения точных
двумерных уравнений Навье-Стокса и может слу-
жить основой для верификации приближенных
решений.
Для оценки достоверности получаемых резуль-
татов был проведен сравнительный анализ рассчи-
танных полей давления с аналогичными данными,
приведенными в работе [23]. В целом наблюдается
их хорошее согласие, однако наши изобары имеют
более детальную структуру и рассчитаны до чисел
Re=2000.
На рис. 5 разными линиями представлены
расчетные профили горизонтальной компоненты
скорости Uв сечении X=0,5 и вертикальной ком-
поненты скорости V в сечении Y =0,5, проходящих
через геометрический центр квадратной полости
8 Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин, Е. И. Никифорович
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 3 – 12
Рис. 3. Расчетные изолинии равных скоростей в квадратной полости при четырех различных числах
Рейнольдса (Re=100, 400, 1000, 2000)
(слева) и через центры соответствующих вихрей
(справа) при трех различных числах Рейнольдса
(Re=100, 400, 1000). Проведенное сравнение этих
расчетных кривых с данными работ [18, 23] пока-
зывает их хорошее соответствие. В частности, из
рис. 5 можно легко определить координаты Xc и
Yc центров основных вихрей для различных чи-
сел Рейнольдса. Аналогичные данные были полу-
чены в результате анализа расчетов, приведенных
в работе [23]. Для сравнения они выписаны ниже
в виде таблицы, в которой во втором и четвер-
том столбцах приведены наши данные, а в тре-
тьем и пятом – данные работы [23]. Сопоставле-
ние значений этих координат показывает их хо-
рошее совпадение при числах Re=100 и Re=1000,
а при Re=400 наблюдается значительное отклоне-
ние. Обратим внимание, что центры координат ви-
хрей с ростом числа Рейнольдса в нашем случае
меняются монотонно, в отличие от работы [23].
Табл 1.
Re Xc Xc [23] Yc Yc [23]
100 0.66 0.6 0.8 0.75
400 0.64 0.59 0.7 0.81
1000 0.54 0.56 0.58 0.52
В целом приведенные результаты расчета, их
анализ и сопоставление с результатами других ра-
бот свидетельствуют об эффективности использу-
емого метода для решения сложных задач с цир-
Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин, Е. И. Никифорович 9
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 3 – 12
Рис. 4. Расчетные изолинии равных давлений (изобары) в квадратной полости при четырех различных
числах Рейнольдса (Re=100, 400, 1000, 2000)
куляционными областями течения.
В заключение отметим, что в данной рабо-
те не ставилась цель проанализировать преиму-
щества предлагаемого метода решения системы
уравнений Навье Стокса в физических перемен-
ных скорость–давление по сравнению с аналоги-
чными методами или методами, использующими
переменные функция тока–вихрь. Однако заме-
тим, что используемый алгоритм интегрирования
рассматриваемой системы уравнений осуществля-
ется всего за три этапа, которые выполняются в
одном временном цикле. При этом метод расчета
свободен от вычислительных трудностей, связан-
ных с определеним давления и введением попра-
вок для выполнения условий солеидальности поля
скоростей.
ВЫВОДЫ
Предложенный раннее метод решения системы
нестационарных уравнений Навье-Стокса в пере-
менных скорость–давление [5] аппробирован на
примере решения стандартной тестовой задачи о
вынужденной конвекции жидкости в квадратной
полости с движущейся верхней крышкой. Метод
обеспечивает согласование полей скоростей и дав-
ления как для малых, так и для умеренных чи-
сел Рейнольдса. Выполненные расчетные исследо-
вания показывают, что предложенная численная
схема и алагоритм решения дают возможность ре-
шать сложные задачи, где встречаются области
с возвратными вихревыми течениями. Используе-
мый универсальный дискретный аналог ламинар-
10 Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин, Е. И. Никифорович
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 3 – 12
Рис. 5. Расчетные профили горизонтальной U и вертикальной V скоростей, проходящих через
геометрический центр квадратной полости (слева) и через центры вихрей (справа) при трех различных
числах Рейнольдса (Re=100,400,1000)
ных течений позволяет точно выполнить грани-
чные условия прилипания и непротекания жидко-
сти на твердых стенках и обеспечивает быструю
сходимость решения. При этом достигается высо-
кое качество моделирования физических процес-
сов до чисел Рейнольдса Re ≤ 2000.
1. Андерсон Д., Таннехил Дж., Плетчер Р. Вычи-
слительная гидромеханика и теплообмен. М.:
Мир.– 1990.– Т. 1, 384 c. Т. 2, 392 c.
2. Роуч П. Вычислительная гидродинамика.– М.:
Мир, 1980.– 616 с.
3. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А.
Численное моделирование процессов тепло- и
массообмена.– М.: Наука, 1984.– 288 с.
4. Приходько А.А. Компьютерные технологии в
аэрогидродинамике и тепломассообмене.– Киев:
Наук.думка, 2003.– 382 с.
5. Бруяцкий Е.В., Костин А.Г., Никифорович Е.И.,
Розумнюк Н.В. Метод численного решения урав-
нений Навье-Стокса в переменных скорость-
давление // Прикладна гiдромеханiка.– 2008.–
10(82).– С. N2.13-23
6. Harlow F.H. Welch J.E. Numerical calculation of
time-dependent viscouse incompressible flow of fluid
with free surface // Phys. Fluids.– 1965.– 8–12.–
P. 2182–2189.
7. Харлоу Ф.Х. Численный метод частиц в ячейках
для задач гидродинамики; Вычислительные мето-
ды в гидродинамике.– М.: Мир, 1967.– 316–342 с.
8. Patancar S.V., Spolding P.V. Calculation
Proccerdure for Heat, Mass, and Momentum Transfer
in Theree-dimeneional Parabolic Flows // Int.j.Heat
and Mass Transfer.– 1972.– 15.– P. 1787–1806.
9. Патанкар С. Численные методы решения задач
теплообмена и динамики жидкости.– М.: 1984,
Энергоатомиздат.– 152 с.
10. Kawaguti M. Numerical Solution of the Navier-Stokes
Equations for the Flow in a Two-Dimensional Cavi-
ty // J. Physical Soc. of Japan.– 1961.– v. 16.–
P. 2307–2315.
11. Burggraf O.R. Analytical and Numerical Studies of
the Structure of Steady Separated Flows // J. Fluid.
Mech.– 1966.– v.24.-№1.– P. 113–151.
12. Bozeman J.D., Dalton C. Numerical Study of Viscous
Flow in a Cavity J. Comput. Physics // 1973.– v.
12,№ 3.– 348–363.– P.
.
Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин, Е. И. Никифорович 11
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 3 – 12
13. Атиас, Вольфштейн, Израэль Эффективность
численных методов решения уравнений Навье-
Стокса // Ракетн. Техн. и космонавтика.– 1977.–
т. 15, № 2.– С. 161–164.
14. Abdallah S. Numerical solution for the pressure Poi-
sson equation with Neumann boundary conditions
using a non-staggered grid // I, J. Comput. Phys.–
70.– 1 (1987).– P. 182–192.
15. Abdallah S. Numerical solution for the incompressi-
ble Navier-Stokes equations using a non-staggered
grid // II, J. Comput. Phys.– 70, 1.– 1987.– P. 193–
202.
16. De Vahl Davis G., Mallison G.D. An Evaluation of
Upwind and Central Difference Approximations by a
Study of Reciculating Flow // Computers of Fluids.–
1976.– v. 4.– P. 29–43.
17. Белов И.А., Исаев С. А. Циркуляционное дви-
жение жидкости в прямоугольной каверне при
средних и высоких числах Рейнольдса // Журн.
прикл. техн. физ..– 1981.– № 1.– С. 41–45.
18. Mills R.D. Numerical Solutions of the Viscous flow
Equations in a Class of Clossed flows // J. of Royal
Aeronaut. Society.– 1965.– v.69.– P. 714-718.
19. Pan F. Acrivos A. A study flow in Rectanqular Cavi-
ties // J. Of Fluid Mech.– 1967.– v. 28.– P. 4.643–655
20. Численные методы в механике жидкости Под ред.
О.М. Белоцерковского// М.: Мир.– 1973.– 304 c.
21. Peaceman D.W., Rachford H.H. The numerical
solution of parabolic and ellliptie differentional
equations // J. Soc. Indust. Appl. Math.– 1955.– V.
3, №1.– P. 28–41.
22. Dauglas J., Gunn J.E. A general formulation
of alternating direction implicit methods. Pt. 1.
Parabolic and hyperbolic problems // Numer. Math.–
1964.– V.6,№5.– P. 428–453.
23. Гхиа К.Н, Хэнки В.Л., Ходж Дж.К. Решение
уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жид-
кости в обычных переменых // Ракетная техника
и космонавтика.– 1979.– №3.– С. 89–92.
24. Easton C.R. Homogeneous boundary conditions for
pressure in MAC method // J. Comput. Phys.–
1972.– v.9,№ 2.– P. 375–379.
25. Белов И.А., Исаев С.А., Коробков В.А. Задачи и
методы расчета отрывных течений несжимаемой
жидкости.– М.: Судостроение, 1989.– 256 с.
26. Быстров Ю.А., Исаев С.А., Кудрявцев Н.А., Леон-
тьев А.И. Численное моделирование интенсифика-
ции теплообмена в пакетах труб.– СП: Судострое-
ние, 2005.– 392 с.
27. Бруяцкий Е.В. Турбулентные стратифицирован-
ные струйные течения.– Киев: Наукова думка,
1986.– 296 с.
28. Белоцерковский О.М. Численное моделирование
в механике сплошных сред.– 2-е изд., перераб. и
доп.: М., Физматлит.– 1994 с.448
29. Самарский А.А. Теория разностных схем.– М.: На-
ука, 1977.– 656 с.
30. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике
жидкостей.– М.: Мир, 1991.– 1 с.5012552
31. Госмен А.М., Пан В.М., Ранчел А.К. и др. Чи-
сленные методы исследования течений вязкой
жидкости.– М.: Мир, 1972.– 323 с.
12 Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин, Е. И. Никифорович
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4678 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-9087 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:23:00Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бруяцкий, Е.В. Костин, А.Г. Никифорович, Е.И. 2009-12-18T11:25:30Z 2009-12-18T11:25:30Z 2008 Вынужденная конвекция жидкости в квадратной полости под воздействием верхней движущейся крышки / Е.В. Бруяцкий, А.Г. Костин, Е.И. Никифорович // Прикладна гідромеханіка. — 2008. — Т. 10, № 4. — С. 3-12. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4678 532.525.2 На основе полных нестационарных уравнений Навье-Стокса, записанных в физических переменных скорость--давление, решается задача о вынужденном движении несжимаемой жидкости внутри квадратной полости под воздействием движущейся верхней крышки. Численно исследованы особенности возникающих возвратных и рециркуляционных вихревых течений в полости в зависимости от числа Рейнольдса. Полученные предлагаемым методом результаты расчетов полей скоростей и давления сравниваются с известными экспериментами и результатами расчетов, полученными другими методами и другими авторами. На основi повних нестацiонарних рiвнянь Нав'є-Стокса, записаних у фiзичних змiнних швидкiсть-тиск, вирiшена задача про змушений рух нестислої рiдини всерединi квадратної порожнини пiд дiєю верхньої кришки, яка рухається. Чисельно дослiдженi особливостi виникаючих зворотних та рециркуляцiйних вихрових течiй в порожнинi в залежностi вiд числа Рейнольдса. Одержанi запропонованим методом результати розрахункiв полiв швидкостей та тиску порiвнюються з вiдомими експериментами i результатами розрахункiв, якi одержанi iншими методами i iншими авторами. Based on full non-stationary Navier-Stokes equations in velocity-pressure variables, a problem is solved on a forced motion of incompressible fluid initiated by a moving upper wall in a square. Peculiarities are investigated numerically of arising reciprocal and recirculating vortical flows in the cavity depending on the Reynolds number. Calculated velocity and pressure fields using the developed method are compared with known experimental and numerical results obtained by different authors and methods. ru Інститут гідромеханіки НАН України Вынужденная конвекция жидкости в квадратной полости под воздействием верхней движущейся крышки Forced bluid convection in square cavity under the action of above moving care Article published earlier |
| spellingShingle | Вынужденная конвекция жидкости в квадратной полости под воздействием верхней движущейся крышки Бруяцкий, Е.В. Костин, А.Г. Никифорович, Е.И. |
| title | Вынужденная конвекция жидкости в квадратной полости под воздействием верхней движущейся крышки |
| title_alt | Forced bluid convection in square cavity under the action of above moving care |
| title_full | Вынужденная конвекция жидкости в квадратной полости под воздействием верхней движущейся крышки |
| title_fullStr | Вынужденная конвекция жидкости в квадратной полости под воздействием верхней движущейся крышки |
| title_full_unstemmed | Вынужденная конвекция жидкости в квадратной полости под воздействием верхней движущейся крышки |
| title_short | Вынужденная конвекция жидкости в квадратной полости под воздействием верхней движущейся крышки |
| title_sort | вынужденная конвекция жидкости в квадратной полости под воздействием верхней движущейся крышки |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4678 |
| work_keys_str_mv | AT bruâckiiev vynuždennaâkonvekciâžidkostivkvadratnoipolostipodvozdeistviemverhneidvižuŝeisâkryški AT kostinag vynuždennaâkonvekciâžidkostivkvadratnoipolostipodvozdeistviemverhneidvižuŝeisâkryški AT nikiforovičei vynuždennaâkonvekciâžidkostivkvadratnoipolostipodvozdeistviemverhneidvižuŝeisâkryški AT bruâckiiev forcedbluidconvectioninsquarecavityundertheactionofabovemovingcare AT kostinag forcedbluidconvectioninsquarecavityundertheactionofabovemovingcare AT nikiforovičei forcedbluidconvectioninsquarecavityundertheactionofabovemovingcare |