Об одной комбинаторной задаче логического типа
Предлагается задача, в которой за минимальное количество шагов необходимо среди n-элементного множества найти подмножество, обладающее определенными свойствами. Приводятся некоторые результаты решения задачи. Пропонується задача, в якій за мінімальну кількість кроків необхідно серед n-елементної мно...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Теорія оптимальних рішень |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46780 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об одной комбинаторной задаче логического типа / Г.А. Донец, С.Т. Кузнецов // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2011. — № 10. — С. 101-108. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859839814608617472 |
|---|---|
| author | Донец, Г.А. Кузнецов, С.Т. |
| author_facet | Донец, Г.А. Кузнецов, С.Т. |
| citation_txt | Об одной комбинаторной задаче логического типа / Г.А. Донец, С.Т. Кузнецов // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2011. — № 10. — С. 101-108. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Теорія оптимальних рішень |
| description | Предлагается задача, в которой за минимальное количество шагов необходимо среди n-элементного множества найти подмножество, обладающее определенными свойствами. Приводятся некоторые результаты решения задачи.
Пропонується задача, в якій за мінімальну кількість кроків необхідно серед n-елементної множини знайти підмножнну, яка має певні властивості. Наводяться деякі результати розв’язання задач.
It is considered a problem to find subset with certain properties of n-elements set using minimal number of steps. Some results of solved problems are proposed.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:36:36Z |
| format | Article |
| fulltext |
Теорія оптимальних рішень. 2011, № 10 101
ÒÅÎвß
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÈÕ
вØÅÍÜ
Предлагается задача, в которой
за минимальное количество шагов
необходимо среди n-элементного
множества найти подмножест-
во, обладающее определенными
свойствами. Приводятся некото-
рые результаты решения задачи.
Г.А.Донец, С.Т.Кузнецов 2011
ÓÄÊ 519.8
Ã.À. ÄÎÍÅÖ, Ñ.Ò. ÊÓÇÍÅÖÎÂ
ÎÁ ÎÄÍÎÉ ÊÎÌÁÈÍÀÒÎÐÍÎÉ ÇÀÄÀ×Å
ËÎÃÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÒÈÏÀ
Введение. Эта задача появилась впервые в
1966 г. на Московской математической
олимпиаде в двух вариантах.
Вариант 1. Из 19 биллиардных шаров два
радиоактивны. Про любой набор шаров за
одну проверку можно узнать имеется ли в
нем хотя бы один радиоактивный (но нельзя
узнать сколько их). Доказать, что за 8 прове-
рок можно обнаружить радиоактивную пару
шаров.
Вариант 2. В условиях задачи варианта 1
доказать, что оба радиоактивных шара среди
11 можно найти за 7 проверок.
В данной работе решается более общая за-
дача: задано n биллиардных шаров, среди
которых два шара радиоактивны. Необходи-
мо их обнаружить за минимальное число
проверок.
Очевидно, что данная задача возникает в
различных практических направлениях, осо-
бенно в тех ситуациях, где каждая проверка
связана с определенными материальными
потерями.
Методы решения задачи. Сформулируем
общие принципы, применяемые при реше-
нии подобных задач.
1. Если из s2 шаров радиоактивный (далее
активный) один, то его можно найти за s
проверок (испытаний): первым шагом прове-
рить половину шаров, затем методом дихо-
томии проверить то множество шаров, где
находится активный шар.
2. Если шаров больше, чем ,2s то за s
шагов нельзя обеспечить отыскание одного
активного шара. Предположим противное.
Г.А. ДОНЕЦ, С.Т. КУЗНЕЦОВ
102 Теорія оптимальних рішень. 2011, № 10
Сделаем s испытаний, отмечая наличие радиоактивности плюсом, а ее отсутст-
вие – минусом. По предположению, зная возникшую последовательность зна-
ков, можно указать, какой из шаров активный. Но разных последовательностей
длины s из двух знаков существует всего .2s Указав по каждой из них актив-
ный шар, получим нелепый вывод о том, что те шары, которым не соответствует
никакая последовательность, не могут быть активными.
3. Если из n шаров активных 2, то имеется ( ) 2/12 −= nnCn вариантов раз-
личных активных пар. Поэтому, если ( ) s
nn 22/1 >− , то за s испытаний не уда-
стся найти активную пару.
4. Если из n шаров первым шагом испытываем k шаров, то исход испыта-
ния “–“ соответствует
2
knC − вариантам (оба активных шара находятся среди
kn − оставшихся), а исход “+“ – остальным
22
knn CC −− вариантам. Если в на-
шем распоряжении осталось i испытаний, то обязательно должно быть
i
knC 2
2 ≤− и i
knn CC 2
22 ≤− − .
5. Если за s проверок удалось решить задачу для n шаров, то для меньшего
количества шаров можно решить задачу также за s проверок. Это вытекает из
тех соображений, что тот же результат можно достигнуть, если дополнить мно-
жество шаров до n фиктивными (неактивными) шарами. Это означает, что для
двух одинаковых значений s и разных значений n для всех промежуточных зна-
чений количества шаров задача решается за те же s проверок.
При решении задачи будем строить стратегию последовательных испыта-
ний. Если очередная проверка (выбор количества и индивидуальных шаров) не
зависит от предыдущей проверки, назовем такую стратегию независимой. Если
же определение количества шаров и их индивидуальность зависит от исхода
предыдущей проверки, то назовем такую стратегию пошаговой.
Для независимой стратегии определяющим является построение разбиения
n шаров на m частей ( )mn kkkR ,...,, 21= , где ik – количество шаров, испыты-
ваемых на i - м шаге ( )mi ≤≤1 , и nk
m
i
i =∑
=1
. После m испытаний, в зависимости
от знаков, задача сводится либо к получению одного множества (с меньшим
количеством), содержащего оба активных шара, либо к двум множествам, со-
держащим по одному активному шару.
Введем обозначения трех функций, которые пригодятся для дальнейших
поисков решения задачи:
( )nf2 – минимальное число проверок для поиска двух активных шаров из n
заданных;
ОБ ОДНОЙ КОМБИНАТОРНОЙ ЗАДАЧЕ ЛОГИЧЕСКОГО ТИПА
Теорія оптимальних рішень. 2011, № 10 103
( )nf1 – минимальное число проверок для поиска одного активного шара из
n заданных;
( )21, nng – минимальное число проверок для обнаружения двух активных
шаров, которые находятся по одному в двух подмножествах из 1n и соответст-
венно 2n шаров.
Из принципа 2 вытекает очевидное равенство ( ) nnf 21 log= . Однако, как
будет показано ниже, ( ) ( ) ( )211121, nfnfnng +≤ , причем возможно и строгое
неравенство. Докажем ряд утверждений, которые необходимы для построения
оптимальных независимых стратегий.
Лемма 1. При независимой стратегии решения задачи
( ) ( )mikfmnf i
i
≤≤
+≤ 1,max22 .
Это следует из того, что после m проверок знак “+“ получит группа с мак-
симальным значением ik , а остальные получат знак “–“.
Эта лемма налагает определенные ограничения на разбиение n шаров на
m групп. С другой стороны, при составлении стратегии разбиения необходимо
выбирать 1k так, чтобы после получения результата “–“ значение ( )12 knf −
было меньше ожидаемого ( )nf2 .
Лемма 2. Для независимой стратегии решения задачи необходимо, чтобы
( ) ( )bagmnf ,2 +≤ , где Rba ∈, и ( ) m
ji
ji Njikkba ∈+=+ ∑ ,,max
,
.
Это следует из того, что если результат “+“ дадут две проверки для
( )miki ≤≤1max и для ( )iNjk mj \max ∈ , то общее число проверок будет равно
в худшем случае ( )bagm ,+ , где a и b равны этим двум элементам разбиения.
Лемма 3. ( ) ( )3
1
112,12 ≥+
+++=++ lk
kl
lkg lk .
Для доказательства воспользуемся методом, который далее будем называть
комбинированным. Возьмем по одному шару из каждого множества и проверим
их вместе. Если получим “–“, то оставшиеся шары в количестве k2 и l2 соглас-
но принципу 1 требуют lk + проверок для определения активной пары шаров.
Если получен результат “+“, то проверяем одну из оставшихся групп, например,
содержащую k2 шаров. Если получим знак “+“, то в первой проверке шар из
этого множества был неактивным, зато из второй группы – наверняка активный.
Осталось за k проверок найти второй активный шар в первой группе, что в
сумме дает 2+k проверки. Если же получим знак “–“, то в первой проверке
шар из этой группы был активным. Второй шар из второй группы найдем за
Г.А. ДОНЕЦ, С.Т. КУЗНЕЦОВ
104 Теорія оптимальних рішень. 2011, № 10
( ) 1121 +=+ lf
l шагов, а весь поиск за 3+l шагов. В результате
( ) { }3,2,1max12,12 ++++=++ lklkg lk . Вторую величину можно исключить,
так как для произвольных l .21 +≥++ klk Необходимо еще включить в рас-
смотрение и раздельную проверку каждой группы, которая требует
)12(log)12(log 22 +++ lk = 2++ lk проверок. Иногда это число может ока-
заться оптимальным. В общем случае необходимо определить величину
{ }.)3,1max(,2min +++++= llklkg
Очевидно, что для k ≥ 2 решением есть ,1++= lkg а для lk = 1 получаем
{ } .13)3,2max(,3min ++<+=+++= lkllllg Чтобы иметь общую формулу,
добавим величину
kl
1
и тогда ( )
+++=++
kl
lkg lk 1
112,12 , что требовалось
доказать.
Очевидно, что способ проверки, примененный при доказательстве леммы,
лучше, чем раздельная проверка каждой группы, которая требует
( ) ( ) 212log12log 22 ++=+++ lklk проверок.
Следствие. ( ) ( )[ ] ( )3;0,1122,122 ≥+≥βα+++β+α=++ βα
lklkg
lk .
Это легко проверить, так как путем деления α раз первой группы и β раз
второй группы придем к условию леммы 3. Это дает возможность свести аргу-
менты функции ( )21, nng к нечетным значениям.
Рассмотрим частный случай, когда 1=k , т. е. функцию ( )12,3 +lg . Если
использовать лемму 3, то получим соответствующую формулу
( ) ( )1
1
212,3 ≥
++=+ l
l
lg l . Здесь добавка
l
1
используется только для
( ) ,43,3 =g а для 1>l значение функции всегда равно 2+l . Обозначим
( )0≥jI j множество значений ,i где ( )ig ,3 принимает значение ,2+j и назо-
вем его j -м интервалом. Верхнюю границу j -го интервала обозначим ,jt то-
гда ( )jjj ttI ,11 += − . Пусть 0I и 1I состоят из одного элемента –
( ) ( ),2,1 10 == II тогда .2,1 10 == tt Очевидно, что ( ) ,21,3 =g а ( ) .32,3 =g
Если ( )ig ,3 известны для крайних элементов какого-либо интервала, то со-
гласно принципу 5 ( )ig ,3 равно тому же значению и для всех элементов этого
интервала. Третий интервал отличается от второго тем, что его границы в два
раза больше, а ( )ig ,3 соответственно больше на единицу. Умножая на 2 грани-
цы третьего интервала, получаем подинтервал (12, 20), который принадлежит
4I . Остается выяснить, где находится элемент .11=i Комбинаторным методом
ОБ ОДНОЙ КОМБИНАТОРНОЙ ЗАДАЧЕ ЛОГИЧЕСКОГО ТИПА
Теорія оптимальних рішень. 2011, № 10 105
находим ( ) 611,3 =g , т. е. 411 I∈ . Умножая на 2 это число, получаем 522 I∈ .
Необходимо выяснить, в каком интервале находится .21=i Вычисляя непо-
средственно тем же способом, находим ( ) 621,3 =g , и 421 I∈ . Продолжая те же
рассуждения и действия, можно постепенно найти непосредственные формулы
для определения ( )ig ,3 .
Теорема 1. Справедливы следующие соотношения:
а) 22 −+= j
j
j tt ; б)
( )
3
22 2mod2 jj
jt
−
=
+
.
Доказательство первого утверждения проведем по индукции. Для
522 0
2
2 =+== ttj ; для .102823 1
3
3 =+=+== ttj Пусть утверждение вер-
но для какого-либо .3≥j Докажем его справедливость для .1+j Находим
( )1
12,3 −
+ + j
j
tg комбинированным способом.
Первым шагом проверяем 11 −+ jt шаров. Если получаем результат “–“, то
активные шары находим за ( ) ( )1
11 22 ++ jff проверок. В сумме имеем 3+j про-
верки. Рассмотрим результат “+“. Берем теперь для проверки 12 +j шаров. Если
получим “+“, то в первой проверке шар из первой группы был активен. Второй
шар из второй группы найдем за 1+j шаг. Вместе с двумя первыми проверками
это дает 3+j проверки. Если же получим “–“, то задача сводится к определе-
нию ( )1,3 −jtg , что по индукции равно ( ) .121 +=+− jj В сумме с двумя пер-
выми опять получаем 3+j проверки. Это дает ( ) 3,3 1 +=+ jtg j , что и заверша-
ет доказательство утверждения а).
Второе утверждение докажем непосредственно. Для 0=j получаем
1
3
122
0 =
−
=t ; для 2
3
22
1
3
1 =
−
== tj .Для 2≥jt , используя утверждение а),
получаем
( )( ) ( ) ( )
3
22
3
224
3
22
22
2mod22mod2mod2
2
jjjjjj
j
j
j
j tt
−
=
−⋅
=
−
+=+=
+−
− , что и
требовалось доказать.
Следствие. Так как в числителе jt вычитается число меньше 3, то
=
+
3
2 2j
jt , а
+
=
++
3
2
,1
3
2
21 jj
jI и ( ) ( ) iig 3log,3 2= .
Для определения ( )ig ,3 необходимо ь решить неравенство
( ) ( )
≤
−
≤≤
− ++−+
3
2
3
22
3
22
22mod22mod11 jjjjj
i .
Г.А. ДОНЕЦ, С.Т. КУЗНЕЦОВ
106 Теорія оптимальних рішень. 2011, № 10
Отсюда 2
23
+≤ j
i и ( ) ( )igji ,323log2 =+= .
Рассмотрим теперь функцию ( )21, nng , где 321 += kn , а .122 += ln
Здесь 2≥l , так как при 1=l функция сводится к виду ( ),,3 ig которая рассмат-
ривалась выше. Очевидно, что и 2≥k , иначе ее можно свести к такому виду
( )12,12
1 +++ lk
g , значение которой находится по лемме 3. В общем случае за-
дача сводится к определению величины
( ){ }4,1max,2min +++++= llklkg для 2, ≥lk .
Очевидно, что кроме 2=k выражение 1++ lk при других значениях k да-
ет лучший ответ для g . Отсюда получаем утверждение.
Лемма 4. ( ) ( )2,,1
2
12,32 ≥+
++=++ lk
k
lkg lk .
Аналогично доказывается следующая
Лемма 5. ( ) ( )2,3,1
3
12,52 ≥≥+
++=++ lk
k
lkg lk .
Здесь 3≥k , иначе 1n можно представить в виде ( )112 ≥+ aa или ( )232 ≥+ bb
и для вычисления функции воспользоваться леммами 3 и 4. После всех рассуж-
дений, как и при доказательстве леммы 4, придем к ситуации, когда необходимо
определить величину
( ){ } ( )2,35,1max,2min ≥≥+++++= lkllklkg .
Здесь также убеждаемся, что выражение 1++ kn есть подходящим для g , кро-
ме значения 3=k . Поэтому и получим искомую формулу.
Переходим теперь к изучению функции ( )nf2 .
Теорема 2. ( ) ( )3222 ≥= ssf
s .
Легко установить, что ( ) 342 =f , проверяя по одному шару. Пусть
3
28 ==n .
Разобьем шары на равные части по 4. Если получим при проверке результат
( )−+ , или ( )+− , , то достаточно сделать еще ( )42f измерений, а всего
532 =+ . Но при результате ( )++ , придется сделать ( ) 6422 1 =+ f проверок,
что окончательно дает ( ) 623
2 =f . Предположим теперь, что теорема верна для
3≥s . Докажем ее справедливость для
1
2
+= s
n . Пусть сначала 2=m , т. е. мно-
жество шаров разбивается на две группы по s2 шаров, которые последователь-
но проверяются. Возможны три исхода ( )++ , , ( )−+ , и ( )+− , , где два по-
следних идентичны. В первом случае ( )1
2 2
+s
f равна ( )s
f 222 1+ и по предпо-
ложению это равно ( )1222 +=+ ss . В остальных случаях получаем
ОБ ОДНОЙ КОМБИНАТОРНОЙ ЗАДАЧЕ ЛОГИЧЕСКОГО ТИПА
Теорія оптимальних рішень. 2011, № 10 107
( ) ( ) ( )12222 2
1
2 +=+=+
sff
ss . При любом исходе справедливость теоремы под-
тверждается. Проверим другие разбиения на две группы, которые имеют вид
( )ccR
ss −+= 2,2 , где 1≥c . Тогда при исходе двух проверок ( )−+ , получим
оценку ( ) ( ) .22222 2
1
scfg
ss +≥++=+ Аналогичную оценку получим для раз-
биения, симметричного R , если результат проверок даст результат ( )+− , .
Пусть теперь 3≥m . Если s
k 21 ≥ , то при результате проверок ( )...,, −−+
получим оценку ( ) ( ) 322 12
1
2 +≥+=+
skfmf
s . Если же s
k 21 < , то при первом
результате “–” получим оценку ( ) ( )1
1
2
1
2 212 kff ss −+= ++ . Так как
ss
k 22 1
1 >−+ , то это 12 +≥ s . Если активные шары находятся в каких-то двух
оставшихся группах, то необходимо сделать, как минимум, еще две проверки.
Если же активные шары находятся в одной из оставшихся групп, то двух прове-
рок недостаточно, а придется проверять все оставшиеся группы. В любом из
этих вариантов всегда ( ) ,322
1
2 +≥+
sf
s что и подтверждает справедливость
теоремы.
Рассмотрим произвольное число n и его двоичное разложение
( )011 ,...,, iiiin pp −= , где ( )pji j ≤≤0 равно 0 или 1, а np 2log= . Очевидно,
что .1=pi Рассмотрим вектор ( )mααα=α ,...,, 21 , где iα равно номеру i -й
единицы в двоичном разложении числа n . По определению pm =α , а всего
единиц равно m . Если число n нечетное, то 01 =α . Назовем вектор α позици-
онным вектором двоичного разложении n . Так, например, пусть 1130=n .
Его двоичное разложение имеет вид ( )01000110101 , поэтому 5,10 == mp , а его
позиционный вектор ( )10,6,5,3,1=α .
На основании доказанных лемм и теорем рассмотрим конкретные значения
( )nf2 . Для 5,4,3=n легко найти пару активных шаров, проверяя их по одному.
Получим ( ) ( ) ( ) .45,34,23 222 === fff Далее применяем независимую страте-
гию путем построения разбиений и проверкой каждой группы отдельно. Для
6=n существует два разбиения, приводящих к решению: ( )2,41 =R и
( )2,2,22 =R . В обоих случаях получим ( ) .562 =f Аналогично можно показать,
что ( ) ,572 =f ( ) ( ) ( ) .61098 222 === fff
Для 11=n при выборе 1k будем придерживаться той же стратегии. Разбие-
ния ( )3,3,51 =R и ( )2,4,52 =R дают результат ( ) .7112 =f Для 12=n подходит
разбиение ( ),4,4,4=R для 13=n – ( ),1,4,4,4=R для 14=n – ( ).2,4,4,4=R
Г.А. ДОНЕЦ, С.Т. КУЗНЕЦОВ
108 Теорія оптимальних рішень. 2011, № 10
Легко проверяется, что ( ) 72 =nf для 1411 ≤≤ n . Для 16=n по теореме 2
( ) .8162 =f Необходимо вычислить ( )152f , которое равно 7 или 8.
Лемма 7. ( ) 7152 =f .
Доказательство. В первой проверке полагаем k1 = 5. Если результат “–”, то
в оставшихся 10 шарах, как известно, два активных шара можно найти за 6 про-
верок, что пока удовлетворяет лемме. При результате “+” делаем проверку 5
шаров, куда включаем один из уже проверенных и четыре новых. Если резуль-
тат “–”, то удаляем эти шары, а оставшиеся 6 шаров разбиваем на две группы
4+2, и последовательно их проверяем. С учетом первых двух проверок могут
возникнуть такие последовательности знаков: (+, –, +), тогда g(4,4) = 4 и
43)15(2 +=f = 7; (+, –, –, +), тогда g(4,2) = 3 и 34)15(2 +=f = 7; (+, –, –, –), тогда
4)15(2 =f + 34)4(2 +=f = 7. Остается исследовать случай, когда во второй про-
верке получим результат “+”. Тогда третьим шагом проверяем общий для двух
проверок шар. Если он активный, то второй шар найдем среди 14 оставшихся за
( ) 4141 =f проверок, что в сумме 3 + 4 = 7 проверок. Если он неактивный, то по-
сле его удаления задача сводится к вычислению g(4,4) = 4 первых двух групп,
что в сумме дает тот же ответ. Этим и завершается доказательство леммы.
Для n = 16 по теореме 2 .8)16(2 =f Для 17 ≤ n ≤ 21 8)(2 =nf , в чем легко
убедиться непосредственно из следующих разбиений: R17 = (4, 4, 4, 4, 1),
R18 = (4, 4, 4, 4, 2), R19 = (7, 8, 4), R20 = (5, 10, 5), R21 = (6, 10, 5). Для n = 22 реше-
ние будет приведено в последующих работах.
Г.П. Донець, С.Т. Кузнєцов
ПРО ОДНУ КОМБІНАТОРНУ ЗАДАЧУ ЛОГІЧНОГО ТИПУ
Пропонується задача, в якій за мінімальну кількість кроків необхідно серед n-елементної
множини знайти підмножину, яка має певні властивості. Наводяться деякі результати
розв’язання задач.
G.A. Donets, S.T. Kuznetsov
ABOUT ONE COMBINATORICAL LOGICAL TYPE PROBLEM
It is considered a problem to find subset with certain properties of n-elements set using minimal
number of steps. Some results of solved problems are proposed.
Получено 15.04.2011
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-46780 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0013 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:36:36Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Донец, Г.А. Кузнецов, С.Т. 2013-07-06T17:14:59Z 2013-07-06T17:14:59Z 2011 Об одной комбинаторной задаче логического типа / Г.А. Донец, С.Т. Кузнецов // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2011. — № 10. — С. 101-108. — рос. XXXX-0013 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46780 519.8 Предлагается задача, в которой за минимальное количество шагов необходимо среди n-элементного множества найти подмножество, обладающее определенными свойствами. Приводятся некоторые результаты решения задачи. Пропонується задача, в якій за мінімальну кількість кроків необхідно серед n-елементної множини знайти підмножнну, яка має певні властивості. Наводяться деякі результати розв’язання задач. It is considered a problem to find subset with certain properties of n-elements set using minimal number of steps. Some results of solved problems are proposed. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Теорія оптимальних рішень Об одной комбинаторной задаче логического типа Про одну комбінаторну задачу логічного типу About one combinatorical logical type problem Article published earlier |
| spellingShingle | Об одной комбинаторной задаче логического типа Донец, Г.А. Кузнецов, С.Т. |
| title | Об одной комбинаторной задаче логического типа |
| title_alt | Про одну комбінаторну задачу логічного типу About one combinatorical logical type problem |
| title_full | Об одной комбинаторной задаче логического типа |
| title_fullStr | Об одной комбинаторной задаче логического типа |
| title_full_unstemmed | Об одной комбинаторной задаче логического типа |
| title_short | Об одной комбинаторной задаче логического типа |
| title_sort | об одной комбинаторной задаче логического типа |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46780 |
| work_keys_str_mv | AT donecga obodnoikombinatornoizadačelogičeskogotipa AT kuznecovst obodnoikombinatornoizadačelogičeskogotipa AT donecga proodnukombínatornuzadačulogíčnogotipu AT kuznecovst proodnukombínatornuzadačulogíčnogotipu AT donecga aboutonecombinatoricallogicaltypeproblem AT kuznecovst aboutonecombinatoricallogicaltypeproblem |