Проектирование контрактов в условиях риска
Проведен анализ двухуровневой проблемы управления и построены соответствующие задачи оптимизации. Предложены условия существования решений таких задач и связанности ограничений. Проведено аналіз дворівневої проблеми управління та побудовані відповідні задачі оптимізації Запропоновані умови існування...
Saved in:
| Published in: | Теорія оптимальних рішень |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46782 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Проектирование контрактов в условиях риска / В.М. Горбачук, В.В. Бойко, И.А. Русаков // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2011. — № 10. — С. 115-121. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859627214921793536 |
|---|---|
| author | Горбачук, В.М. Бойко, В.В. Русаков, И.А. |
| author_facet | Горбачук, В.М. Бойко, В.В. Русаков, И.А. |
| citation_txt | Проектирование контрактов в условиях риска / В.М. Горбачук, В.В. Бойко, И.А. Русаков // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2011. — № 10. — С. 115-121. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Теорія оптимальних рішень |
| description | Проведен анализ двухуровневой проблемы управления и построены соответствующие задачи оптимизации. Предложены условия существования решений таких задач и связанности ограничений.
Проведено аналіз дворівневої проблеми управління та побудовані відповідні задачі оптимізації Запропоновані умови існування розв'язків таких задач і зв'язності обмежень.
The analysis of bilevel management problem has been conducted, and the corresponding optimization programs have been constructed. The solution existence and constraint binding conditions for such problems are developed.
|
| first_indexed | 2025-11-29T12:43:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
Теорія оптимальних рішень. 2011, № 10 115
ÒÅÎвß
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÈÕ
вØÅÍÜ
Проведен анализ двухуровневой
проблемы управления и построе-
ны соответствующие задачи оп-
тимизации. Предложены условия
существования решений таких
задач и связанности ограничений.
В.М. Горбачук, В.В. Бойко,
И.А. Русанов, 2011
ÓÄÊ 519.8
Â.Ì. ÃÎÐÁÀ×ÓÊ, Â.Â. ÁÎÉÊÎ, È.À. ÐÓÑÀÍÎÂ
ÏÐÎÅÊÒÈÐÎÂÀÍÈÅ ÊÎÍÒÐÀÊÒÎÂ
 ÓÑËÎÂÈßÕ ÐÈÑÊÀ
Введение. При моральном риске рыночные
размещения в условиях неопределенности
могут не быть всегда безусловно Парето-
оптимальными [4, 12] (К. Эрроу – Нобелевс-
кий лауреат 1972 г.) Пример такого рыноч-
ного размещения второго наилучшего дает
игра двух лиц, в которой один игрок (прин-
ципал) не может наблюдать действия другого
(агента), но от этих действий зависит сум-
марный выигрыш игроков. Оптимальное
действие агента зависит от распределения
риска между игроками.
Приложениями задачи принципал-агент
являются: страхование, когда страховщик не
может наблюдать уровень осторожности за-
страхованого лица; землепользование, когда
землевладелец не может наблюдать исходное
решение фермера-арендатора; управление,
когда собственник фирмы не может наблю-
дать уровень усилий менеджера или работ-
ника [1–3, 8, 9, 11, 14, 15].
Принципал выбирает контракт распреде-
ления рисков (схему стимулирования), мак-
симизирующий его ожидаемую полезность
при ограничениях: ожидаемая полезность
агента не ниже некоторой заданной; полез-
ность агента достигает стационарной точки,
где удовлетворяются условия первого поряд-
ка относительно действий. Условия второго
порядка также существенны для глобальной
максимизации полезности агента [11].
В данном анализе задачи принципал-агент
применим подход, избегающий сложностей
условий оптимальности второго порядка за
счет разделения целевой функции принципа-
ла на составляющие выигрыша и затрат [7].
В.М. ГОРБАЧУК, В.В. БОЙКО, И.А. РУСАНОВ
116 Теорія оптимальних рішень. 2011, № 10
В стандартном примере приложения задачи принципал-агент владелец
фирмы (принципал) делегирует ведение дел фирмы менеджеру (агенту) и не от-
слеживает действия менеджера, но наблюдает результат таких действий – вало-
вую прибыль фирмы. В ряде ситуаций у принципала есть возможности несо-
вершенного мониторинга действий менеджера [8, 9, 14, 15]. Пусть эта прибыль
зависит от действий менеджера, а также от других факторов вне власти менед-
жера – случайных факторов. Тогда, если дела фирмы идут хорошо, то владельцу
не вполне ясно, что является причиной успеха фирмы – действия менеджера или
удачное стечение обстоятельств.
Предположим, что принципал
наблюдает лишь конечное количество уровней валовой прибыли фирмы:
1q , 2q ,…, nq ;
заинтересован только в чистой прибыли фирмы, т. е. валовой прибыли ми-
нус оплата менеджера;
нейтрален к риску;
множество A действий (actions) менеджера является непустым компактным
подмножеством конечномерного евклидова пространства nR ;
:),...,,({ 21
n
n RxxxxS ∈== 0≥x , ∑
=
=
n
i
ix
1
}1 ;
существует некоторая непрерывная вектор-функция SA →π : , где
))(),...,(),(()( 21 aaaa nπππ=π задает вероятности исходов 1q , 2q ,…, nq при вы-
боре действия Aa ∈ ;
Aa ∈∀ менеджер знает значение функции )(aπ , но не знает результирую-
щего исхода 1{qqi ∈ , 2q ,…, }nq ;
менеджер имеет функцию ),( IaU полезности (utility) фон Неймана–
Моргенштерна (von Neumann–Morgenstern), где I – вознаграждение менеджеру
от принципала;
A1. )()()(),( IVaKaGIaU += ,
где: )(aG , )(aK – вещественнозначные, непрерывные функции, определенные
на A , причем )(aK – строго положительная функция;
)(IV – вещественнозначная, непрерывная, строго возрастающая, вогнутая
функция, определенная на некотором открытом интервале ),( ∞=Ι I веществен-
ной прямой, причем −∞→)(IV при II → , допуская случай −∞=I (предпоч-
тения менеджера по лотереям дохода проявляют несклонность к риску);
если ),(),( 1211 IaUIaU ≥ , то ),(),( 2221 IaUIaU ≥ для любых 1a , Aa ∈2 и
1I , Ι∈2I (предпочтения менеджера по лотереям дохода не зависят от его дейст-
вий; ранжирование менеджером по совершенно определенным действиям не
зависит от дохода, однако предпочтения менеджера по лотереям действий могут
зависеть от дохода).
ПРОЕКТИРОВАНИЕ КОНТРАКТОВ В УСЛОВИЯХ РИСКА
Теорія оптимальних рішень. 2011, № 10 117
Если предпочтения менеджера по лотереям дохода не зависят от действий,
то )()()(),( IVaKaGIaU += для некоторых функций )(aG , )(aK , )(IV [10].
Если )(aK не является постоянной, то )(IV ограничена сверху;
если )(aK постоянна, то ),( IaU аддитивно сепарабельна по a , I .
Если 0)( =aG , то ),( IaU мультипликативно сепарабельна по a , I ;
если при этом )(aK не является постоянной, то )(IV неположительна.
Если )(aK является константой или 0)( =aG , то предпочтения (менеджера)
по лотереям действий не зависят от дохода, а предпочтения по лотереям дохода
не зависят от действия. Наоборот, если предпочтения по лотереям действий не
зависят от дохода или предпочтения по лотереям дохода не зависят от действия,
то ),( IaU аддитивно или мультипликативно сепарабельна [10, 13].
Представляет интерес частный случай мультипликативной сепарабельности,
когда )exp()( IkIV −−= , )exp()( akaK = , A – подмножество вещественной
прямой. Тогда )](exp[)()(),( IakIVaKIaU −−== уменьшается с ростом a .
Если принципал может наблюдать a , то для него оптимально платить ме-
неджеру соответствующую плату )(aI (в ситуации первого наилучшего).
Предположим также, что
U – отправная (reservation) цена менеджера, т. е. ожидаемый уровень по-
лезности, который менеджер может достичь, работая в любом другом месте;
)(:{)( IVvV ==Ι=Υ ν для некоторого }Ι∈I ;
A2. Υ∈
−
)(
)(
aK
aGU
для всех Aa ∈ ;
обратная функция RAaC
aK
aGU
V FB →=
−− :)(
)(
)(1 для всех Aa ∈ означает
затраты (costs) первого наилучшего (first best) и задает отправную цену U ме-
неджера при выборе действия a (в ситуации первого наилучшего принципал,
чтобы заставить менеджера выбрать Aa ∈ , предлагает ему такой контракт: пла-
та )(aCFB при выборе a и плата, близкая к I – в остальных случаях);
ожидаемый выигрыш (benefit) принципала от принуждения менеджера вы-
брать a равняется ∑
=
→=π
n
i
ii RAaBqa
1
:)()( ;
действие первого наилучшего максимизирует )()( aCaB FB− по Aa ∈ .
В ситуации первого наилучшего функция RAaCFB →:)( индуцирует пол-
ное упорядочение на множестве A : 21 aa f (действие 1a для менеджера лучше,
чем 2a ) тогда и только тогда, когда 21 ()( aCaC FBFB > ) (когда затраты выше).
Это упорядочение не зависит от U , так как )()( 21 aCaC FBFB > равносильно
В.М. ГОРБАЧУК, В.В. БОЙКО, И.А. РУСАНОВ
118 Теорія оптимальних рішень. 2011, № 10
vaKaGvaKaG )()()()( 2211 +>+ Υ∈∀v , откуда следует неравенство
UvaKaGvaKaG =+>+ )()()()( 2211 для некоторого Υ∈v .
В ситуации второго наилучшего принципал не наблюдает a и не может
сделать вознаграждение менеджеру, зависящее от a . В то же время принципал
будет платить менеджеру соответственно результату его действия, т. е. соответ-
ственно прибыли фирмы. Поэтому принципал использует схему стимулирова-
ния ),...,,( 21 nIIII =
r
, где Ι∈iI – вознаграждение менеджеру в случае исхода
iq , а менеджер выбирает действие Aa ∈ , максимизирующее
∑
=
π=
n
i
ii IaUaaf
1
),()()( .
Пусть принципал полностью информирован о менеджере и производствен-
ных возможностях фирмы, т. е. знает функцию ),( IaU полезности менеджера,
множество A и функцию SA →π : . Итак, данная задача стимулирования воз-
никает только потому, что принципал не может отслеживать действия менедже-
ра. Поскольку задача совместимости стимулов возникает вследствие различий в
информированности принципала и менеджера, когда возможен обмен информа-
цией посредством сообщений, то стимулирование и совместимость стимулов –
это разные вопросы [16].
Обозначим F допустимое (feasible) множество таких пар ))(,( IaI
rr
, что
});(max{))(( UafIaf ≥
r
Aa ∈∀ . (1)
Тогда принципал может максимизировать по FaI ∈),(
r
свою целевую функцию
∑ ∑∑
= ==
π−π=−π=
n
i
n
i
iiii
n
i
iii IaqaIqaIaF
1 11
)()()()(),(
r
,
минимизируя по I
r
свои затраты ∑
=
π=
n
i
ii IIaIaIC
1
))(())(,(
rrr
при условиях (1).
Если управляющей переменной принципала считать ),...,,( 21 nvvvv =
r
, где
Υ∈= )( ii IVv , то принципал минимизирует по v
r
свои затраты
)())(())(()(
1
1
1
i
n
i
i
n
i
ii vVvaIIavC ∑∑
=
−
=
π=π=
rrr
(2)
при линейных по nvvv ,...,, 21 ограничениях
});,(max{)),(())(())(())((
1
UvaUvvaUvvavaKvaG
n
i
ii
rrrrrr
≥=
π+ ∑
=
Aa ∈∀ . (3)
Так как функция V вогнутая, то функция 1−
V – выпуклая, откуда функция
C – выпуклая. Поэтому задача (2), (3) является задачей минимизации выпуклой
функции при линейных ограничениях (количество этих ограничений зависит от
ПРОЕКТИРОВАНИЕ КОНТРАКТОВ В УСЛОВИЯХ РИСКА
Теорія оптимальних рішень. 2011, № 10 119
мощности A ). Если множество A конечное, то теорема Куна–Такера дает необ-
ходимые и достаточные условия оптимальности задачи (2), (3).
Полагаем, что если менеджеру безразличны два действия, то он выбирает
действие, предпочтительное для принципала. Если I
r
удовлетворяет условиям
(1) ( v
r
удовлетворяет условиям (3)), то говорят, что I
r
осуществляет действие
)(Ia
r
( v
r
осуществляет действие )(va
r
).
Если множество :{vW
r
= v
r
осуществляет действие )}(va
r
непустое, то в си-
лу выпуклости 1−
V функция затрат принципала ограничена снизу на W :
−
≥
π≥π=
−
= =
−−∑ ∑
))((
))((
))(()())(()( 1
1 1
11
vaK
vaGU
VvvaVvVvavC
n
i
n
i
iiii r
r
rrr
.
Тогда, обозначая ≠∈= WvvCvaCSB
rrr
:)(inf{))(( Ø} и ∞=))(( vaCSB
r
при =W Ø,
определяем функцию RACSB →: затрат второго наилучшего (second best).
Первый шаг задачи принципала состоит в вычислении ))(( vaCSB
r
Aa ∈∀ , а
второй шаг – в выборе действия Aa ∈ , максимизирующего целевую функцию
))(())(( vaCvaBF SBSB
rr
−= . Функция SBF в общем случае не является вогнутой
при вогнутой функции B , так как функция C , вообще говоря, не выпуклая.
Оптимальным действием SBa второго наилучшего называют такое, которое
максимизирует SBF по Aa ∈ . Оптимальной схемой SBI
r
стимулирования второ-
го наилучшего называют такую, что )())(,( SBSBSBSB aCIaIC =
rr
.
A3. Для существования SBa и SBI
r
предположим, что 0)( >π ai Aa ∈∀ ,
ni ,...,2,1= . Тем самым исключаются случаи [6], где к оптимуму можна при-
ближаться, не достигая его, накладывая все большие штрафы на менеджера со
все меньшей вероятностью (П. Даймонд и Д. Миррлиз – Нобелевские лауреаты
2010 г. и 1996 г. соответственно).
Лемма 1. Функция )(aCSB является полунепрерывной снизу.
Доказательство. Если множество A конечное, то функция )(aCSB непре-
рывна по Aa ∈ .
Если множество A бесконечное, то возьмем такую последовательность то-
чек 1a , 2a ,… из A , что aa j → при ∞→j . Не уменьшая общности, пусть
ajSB CaC →)( при ∞→j . Если ∞=aC , то aSB CaC ≤)( .
Если ∞<aC , то обозначим ),...,,( 21 jnjjj IIII =
r
схему стимулирования, яв-
ляющуюся решением задачи минимизации ))(,( IaIC
rr
при условиях (1) и jaa = .
Тогда, учитывая предположение A3, последовательность }{ jI
r
ограничена (ина-
В.М. ГОРБАЧУК, В.В. БОЙКО, И.А. РУСАНОВ
120 Теорія оптимальних рішень. 2011, № 10
че ∞→)( jSB aC ) [5] и имеет некоторую предельную точку 0I
r
, осуществляю-
щую a , откуда
)())(,()( 00 jSBSB aCIaICaC ←≤
rr
.
Теорема 1. В предположениях A1–A3 существуют SBa и SBI
r
.
Доказательство. Пусть функция V линейна. Обозначим Va решение зада-
чи максимизации )()( aCaB FB− по Aa ∈ . Тогда при схеме стимулирования
)()( VFBVii aCaBqI +−= значение чистой прибыли принципала составляет
)()( VFBVii aCaBIq −=− , т. е. равна чистой прибыли ситуации первого наи-
лучшего при любом действии менеджера. С другой стороны, менеджер получает
ожидаемую полезность U , выбирая Vaa = .
Пусть функция V нелинейна. Значение функции )())(()(
1
1
i
n
i
i vVvavC ∑
=
−
π=
rr
стремится к бесконечности на неограниченном допустимом множестве W , учи-
тывая A3 и выпуклость 1−
V [5] (аналог дисперсии iv стремится к бесконечно-
сти, а аналог среднего iv ограничен снизу). Тогда выберем непустое замкнутое
ограниченное (bounded) подмножество ≠⊆ WWb Ø, на котором функция )(vC
r
ограничена снизу и достигается bWvvC ∈
rr
:)(inf{ } в силу теоремы Вейерштрасса.
Из леммы 1, компактности A и теоремы Вейерштрасса следует, что задача
максимизации )()( aCaBF SBSB −= по Aa ∈ имеет решение, если ∞<)(aCSB
для некоторого Aa ∈ . Заметим, что ∞<∈== }:)(inf{)()( AaaCaCaC FBFBSB ,
поскольку схема стимулирования )(aCI FBi = осуществляет действие a .
Таким образом, существует оптимальное действие SBa второго наилучшего
при нелинейной функции V . Поскольку, как было показано, при нелинейной
функции V и ≠W Ø задача (2), (3) имеет решение, то существует SBI
r
.
В общем случае ограничение Uaf ≥)( не является связывающим в опти-
муме второго наилучшего, так как принципалу может быть выгодна схема сти-
мулирования, приводящая к Uaf >)( . В то же время имеет место
Теорема 2. В предположениях A1, A2 и мультипликативной или аддитив-
ной сепарабельности функции U выполняется UIaUa iSBSB
n
i
SBi =π∑
=
),()(
1
.
Доказательство. Если UIaUa iSBSB
n
i
SBi >π∑
=
),()(
1
, то затраты принципала в
задаче (2), (3) можно снизить, удовлетворяя всем ограничениям (3): заменяем
)( iSBIV на ε−)( iSBIV при аддитивной сепарабельности и на )1()( ε+iSBIV при
ПРОЕКТИРОВАНИЕ КОНТРАКТОВ В УСЛОВИЯХ РИСКА
Теорія оптимальних рішень. 2011, № 10 121
мультипликативной сеапарбельности, где 0>ε – достаточно малое число. Дру-
гими словами, действие SBa можно осуществить с меньшими затратами.
В.М. Горбачук, В.В. Бойко, І.А. Русанов
ПРОЕКТУВАННЯ КОНТРАКТІВ В УМОВАХ РИЗИКУ
Проведено аналіз дворівневої проблеми управління та побудовані відповідні задачі оптиміза-
ції. Запропоновані умови існування розв’язків таких задач і зв’язності обмежень.
V.M. Gorbachuk, V.V. Boyko, I.A. Rusanov
CONTRACT DESIGN UNDER RISK
The analysis of bilevel management problem has been conducted, and the corresponding
optimization programs have been constructed. The solution existence and constraint binding
conditions for such problems are developed.
1. Горбачук В.М. Методи індустріальної організації. – К.: А. С. К., 2010. – 224 с.
2. Горбачук В.М., Конакова Е.Н., Русанов И.А. Модернизация и частные компании, до-
полняющие государственные функции // Моделювання та інформатизація соціально-
економічного розвитку України. – 2010. – Вип. 11. – С. 233–244.
3. Горбачук В.М., Русанов И.А. Регулирование монополии при асимметричной
информации // Компьютерная математика. – 2010. – № 1. – С. 3–10.
4. Arrow K. Insurance, risk and resource allocation // Essays in the theory of risk bearing. –
Chcago: Markham, 1971. – P. 134–143.
5. Bertsekas D. Necessary and sufficient conditions for existence of an optimal portfolio //
J. of economic theory. – 1974, June. – P. 235–247.
6. Diamond P. A., Mirrlees J. A. A model of social insurance with variable retirement //
Journal of public economics. – 1978. – 10. – P. 295–336.
7. Grossman S., Hart O. An analysis of the principal agent problem // Econometrica. – 1983,
January. – P. 7–45.
8. Harris M., Raviv A. Optimal incentive contracts with imperfect information // J. of
economic theory. – 1979. – 20. – P. 231–259.
9. Holmstrom B. Moral hazard and observability // Bell journal of economics. – 1979. – 10. –
P. 74–91.
10. Keeney R. Risk independence and multiattributed utility functions // Econometrica. –
1973. – 41. – P. 27–34.
11. Mirrlees J. The theory of moral hazard and unobservable behaviour: part I // Review of
economic studies. – 1999, January. – P. 3–21.
12. Pauly M. The economics of moral hazard: comment // American economic review. – 1968.
– 58. – P. 531–536.
13. Pollak R. The risk independence axiom // Econometrica. – 1973. – 41. – P. 35–39.
14. Shavell S. On moral hazard and insurance // Quarterly journal of economics. – 1979. – 93.
– P. 541–562.
15. Shavell S. Risk sharing and incentives in the principal agent relationship // Bell journal of
economics. – 1979. – 10. – P. 55–73.
16. Symposium on incentive compatibility // Review of economic studies. – 1979, April.
Получено 12.04.2010
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-46782 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0013 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-29T12:43:14Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Горбачук, В.М. Бойко, В.В. Русаков, И.А. 2013-07-06T17:20:28Z 2013-07-06T17:20:28Z 2011 Проектирование контрактов в условиях риска / В.М. Горбачук, В.В. Бойко, И.А. Русаков // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2011. — № 10. — С. 115-121. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. XXXX-0013 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46782 519.8 Проведен анализ двухуровневой проблемы управления и построены соответствующие задачи оптимизации. Предложены условия существования решений таких задач и связанности ограничений. Проведено аналіз дворівневої проблеми управління та побудовані відповідні задачі оптимізації Запропоновані умови існування розв'язків таких задач і зв'язності обмежень. The analysis of bilevel management problem has been conducted, and the corresponding optimization programs have been constructed. The solution existence and constraint binding conditions for such problems are developed. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Теорія оптимальних рішень Проектирование контрактов в условиях риска Проектування контрактів в умовах ризику Contract design under risk Article published earlier |
| spellingShingle | Проектирование контрактов в условиях риска Горбачук, В.М. Бойко, В.В. Русаков, И.А. |
| title | Проектирование контрактов в условиях риска |
| title_alt | Проектування контрактів в умовах ризику Contract design under risk |
| title_full | Проектирование контрактов в условиях риска |
| title_fullStr | Проектирование контрактов в условиях риска |
| title_full_unstemmed | Проектирование контрактов в условиях риска |
| title_short | Проектирование контрактов в условиях риска |
| title_sort | проектирование контрактов в условиях риска |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46782 |
| work_keys_str_mv | AT gorbačukvm proektirovaniekontraktovvusloviâhriska AT boikovv proektirovaniekontraktovvusloviâhriska AT rusakovia proektirovaniekontraktovvusloviâhriska AT gorbačukvm proektuvannâkontraktívvumovahriziku AT boikovv proektuvannâkontraktívvumovahriziku AT rusakovia proektuvannâkontraktívvumovahriziku AT gorbačukvm contractdesignunderrisk AT boikovv contractdesignunderrisk AT rusakovia contractdesignunderrisk |