О применимости одномерных моделей для оценки динамической прочности осесимметричных тел
Проведен сравнительный анализ характеристико-разностного метода и алгоритма Уилкинса применительно к задачам нестационарного деформирования одномерных цилиндрических толстостенных оболочек. На основе сопоставления одно- и двухмерных решений краевых задач динамической теории упругости, полученных...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы прочности |
|---|---|
| Дата: | 2002 |
| Автори: | , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2002
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46791 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О применимости одномерных моделей для оценки динамической прочности осесимметричных тел / П.П. Лепихин, В.А. Ромащенко, О.С. Бейнер, В.Ф. Деменко, А.Г. Нарыжный, К.Б. Иващенко // Проблемы прочности. — 2002. — № 3. — С. 120-126. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859732256848871424 |
|---|---|
| author | Лепихин, П.П. Ромащенко, В.А. Бейнер, О.С. Деменко, В.Ф. Нарыжный, А.Г. Иващенко, К.Б. |
| author_facet | Лепихин, П.П. Ромащенко, В.А. Бейнер, О.С. Деменко, В.Ф. Нарыжный, А.Г. Иващенко, К.Б. |
| citation_txt | О применимости одномерных моделей для оценки динамической прочности осесимметричных тел / П.П. Лепихин, В.А. Ромащенко, О.С. Бейнер, В.Ф. Деменко, А.Г. Нарыжный, К.Б. Иващенко // Проблемы прочности. — 2002. — № 3. — С. 120-126. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы прочности |
| description | Проведен сравнительный анализ характеристико-разностного метода и алгоритма
Уилкинса применительно к задачам нестационарного деформирования одномерных цилиндрических
толстостенных оболочек. На основе сопоставления одно- и двухмерных решений
краевых задач динамической теории упругости, полученных методом Уилкинса, сделаны
выводы о пределах применимости одномерных моделей для оценки прочности матриц для
импульсной штамповки замкнутых обечаек цилиндрической и конической формы.
Проведено порівняльний аналіз характеристико-різницевого методу й алгоритму
Уілкінса стосовно задач нестаціонарного деформування одновимір-
них циліндричних товстостінних оболонок. На основі зіставлення одно- і
двовимірних розв’язків крайових задач динамічної теорії пружності за методом
Уілкінса встановлено межі застосування одновимірних моделей для
оцінки міцності матриць для імпульсної штамповки замкнених обичаєк
циліндричної і конічної форми
A comparative analysis has been performed on
application of the characteristic-difference
method and the Wilkins algorithm to the problems
of nonstationary deformation of one-dimensional
cylindrical thick-walled shells. By
comparing one- and two-dimensional solutions
of boundary problems of the dynamic theory of
elasticity obtained by the Wilkins method, we
determine the applicability limits of the one-dimensional
models for evaluation of the die stability
in the process of pulse molding of
closed-cut cylindrical and conical drums.
|
| first_indexed | 2025-12-01T14:08:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.37
О применимости одномерных моделей для оценки динамической
прочности осесимметричных тел
П. П. Лепихина, В. А. Ромащенкоа, О. С. Бейнера, В. Ф. Деменко6,
А. Г. Нарыжный6, К. Б. Иващенкоа
a Институт проблем прочности НАН Украины, Киев, Украина
6 Национальный аэрокосмический университет им. Н. Е. Жуковского “ХАИ”,
Харьков, Украина
Проведен сравнительный анализ характеристико-разностного метода и алгоритма
Уилкинса применительно к задачам нестационарного деформирования одномерных цилинд
рических толстостенных оболочек. На основе сопоставления одно- и двухмерных решений
краевых задач динамической теории упругости, полученных методом Уилкинса, сделаны
выводы о пределах применимости одномерных моделей для оценки прочности матриц для
импульсной штамповки замкнутых обечаек цилиндрической и конической формы.
Ключевые слова: цилиндрические и конические толстостенные оболочки,
матрица для импульсной штамповки, характеристико-разностный метод,
алгоритм Уилкинса.
Толстостенные замкнутые осесимметричные обечайки находят широкое
применение в технике. Для их изготовления наряду с известными методами
получили распространение технологические процессы импульсного формо
образования с использованием энергии взрыва бризантных взрывчатых ве
ществ (БВВ) в воде, гидродинамической штамповки на пресс-пушках, электро-
гидравлической штамповки и т.д. [1-4].
Основным силовым, а зачастую и конструктивным элементом техноло
гического оборудования для импульсного формообразования замкнутых осе
симметричных обечаек является матрица, представляющая собой толсто
стенный однослойный (двухслойный) цилиндр или осесимметричную обо
лочку [2, 3]. Причем прочность матриц определяет не только качество
получаемой детали, но и возможность проведения технологического про
цесса [4].
Заготовка в процессе штамповки испытывает импульсное механическое
воздействие на внутренней поверхности. Параметры такого воздействия для
наиболее широко распространенных технологических процессов импульс
ной штамповки приведены в [2, 3].
Учитывая, что обычно одна и та же матрица используется как на
формующем, так и на калибровочном переходах, в качестве расчетной
принимают калибрующие нагрузки, поскольку на последнем переходе мат
рица работает в наиболее трудных условиях. В этом случае вследствие
небольшой массы заготовки по сравнению с массой матрицы пренебрегают
наличием заготовки и считают, что импульс давления воздействует не
посредственно на формующую поверхность матрицы [2, 4].
Исследованию напряженно-деформированного состояния (НДС) нагру
женных по внутренней поверхности импульсным давлением осесимметрич
© П. П. ЛЕПИХИН, В. А. РОМАЩЕНКО, О. С. БЕЙНЕР, В. Ф. ДЕМЕНКО, А. Г. НАРЫЖНЫЙ,
К. Б. ИВАЩЕНКО, 2002
120 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2002, N 3
О применимости одномерных моделей
ных толстостенных оболочек и расчету на прочность матриц для импульс
ной штамповки посвящены работы [2-7] и др. Получены приближенные
аналитические решения одномерной динамической задачи теории упругости
для бесконечно длинного толстостенного цилиндра с использованием усло
вия несжимаемости материала [5, 7]. Сопоставление этих решений с дан
ными численных расчетов характеристико-разностным методом (ХРМ) ана
лиза одномерных волновых задач теории упругости [8] позволило уста
новить область применимости приближенных зависимостей. Это, в свою
очередь, дало возможность разработать аналитическую и численную мето
дики проектировочного и проверочного расчетов достаточно длинных осе
симметричных матриц как цилиндрической, так и близкой к ней формы
[2-4]. Несмотря на разработанность в настоящее время численных методов
решения двухмерных динамических задач теории упругости, систематичес
кая оценка точности моделирования одномерной моделью НДС и прочности
отличных от длинной толстостенной цилиндрической оболочки осесиммет
ричных матриц авторам неизвестна.
Цель настоящей работы заключалась в установлении области примени
мости численной методики [2] для расчета НДС и прочности однослойных
толстостенных цилиндрических и конических оболочек конечной длины как
со свободными, так и с одним свободным, а другим жестко защемленным
торцом. Выполнено сопоставление результатов, полученных ХРМ [2, 8] и
методом Уилкинса [9] на ряде одномерных упругих задач. Проведено срав
нение по максимальной интенсивности напряжений данных расчетов двух
мерных упругих задач по методу Уилкинса с одномерными численными
расчетами по методике [2]. Приведем согласно [7-10] краткую математи
ческую формулировку задач исследования.
Уравнения движения в цилиндрических координатах г, р, х с учетом
осевой симметрии имеют вид
до г дг о г ~°<р йуг + + = р : ; дг дх г йі
дг до х г й\— +-- + _ = Р~Г,дг дх г йі
где г - время; р - плотность материала; уг, гх - компоненты вектора
скорости; о г, о р , о х, г - компоненты тензора напряжений. Геометрические
соотношения таковы:
дуг уг дух дуг , духег =-- ; ер =—; ех =---; у =---+---, (2)г дг р г х дх дх дг
где ег, ер, ех, у - компоненты тензора скоростей деформаций.
Материал матрицы полагали изотропным упругопластическим, подчи
няющимся уравнениям теории течения без упрочнения. Уравнения состо
яния такого материала хорошо известны [9, 10]:
ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2002, № 3 121
П. П. Лепихин, В. А. Ромащенко, О. С. Бейнер и др.
1 й % р
ег= Е л[Ог — л(Оф+О*)]+20;
2(1 +л) йх 3% р XУ =--=--- - +
(2<7г — О ф — О х ) ;
(3)
Е Л о„
где Е - модуль Юнга; л - коэффициент Пуассона; О т - предел текучести;
%р - интенсивность скоростей пластических деформаций. Выражения для
еф и ех получаются из (3) путем циклической перестановки индексов.
Система уравнений (1)-(3) замыкается начальными и граничными усло
виями. Начальные условия принимали нулевыми. Граничные условия могли
быть кинематическими (на закрепленных поверхностях) или силовыми (на
свободных либо нагруженных поверхностях) и стандартными по виду. На
гружение производилось осесимметричным импульсом давления. Использо
вание нелинейных физических уравнений (3) позволяло контролировать
возникновение пластических зон в ходе нестационарного деформирования,
недопустимых с точки зрения прочности матрицы.
Решение задач в одномерной постановке (для бесконечно длинных
толстостенных цилиндров) проводилось двумя методами: характеристико
разностным и интегро-интерполяционным алгоритмом Уилкинса, которые
сравнивались между собой. В случае применения последнего для всех
приведенных расчетов использовалась искусственная вязкость в виде суммы
линейной и квадратичной [9]. Рассматривались четыре вида импульса на
грузки: функция Хевисайда, равнобедренный треугольник, полусинус
[Р0 §ш(Хг), г < л/Х;
Р( г) [0, г >л/Х
и экспонента
р( г) = роехр(- г/в),
где Ро - амплитудное давление; г - время; в - характеристическое время; Х -
характеристическая частота. Для всех видов функций нагружения ампли
туда нагружения Ро = 50 МПа. Цилиндры полагали стальными (Е = = 2 • 105
МПа; л = 0,3; р = 7850 кг/м ; От = 360 МПа), внутренний радиус Я1 = 0,03 м,
отношение наружного радиуса к внутреннему составляло К = 2.
Обнаружено, что в случае нагружения треугольным импульсом дли
тельностью 2 • 10—5 с и давлением в виде функции Хевисайда рассогласо
вание результатов, полученных по двум подходам, для широтных напряже
ний не превышало 5%. Изменение отношения окружных напряжений на
внутренней поверхности оболочки к амплитуде импульса во времени для
полусинуса и экспоненты представлено на рис. 1. Видно, что для полу-3синусоидальной нагрузки длительностью 1,4 • 10 с приблизительно с мо
-3мента времени 10 с ХРМ теряет устойчивость, в то время как для
алгоритма Уилкинса этого не наблюдается. В случае экспоненциальной
122 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2002, № 3
О применимости одномерных моделей
нагрузки с характеристическим временем 0 = 10 5 с результаты близки, но
более точным оказался ХРМ: на графиках видны изломы кривых, соответст
вующие переотражениям волн от свободных гарниц, а на кривых, соответ
ствующих алгоритму Уилкинса, изломы сглажены. Это объясняется исполь
зованием искусственной вязкости и плавающего временного шага в методе
Уилкинса, что позволяет проводить расчеты более устойчиво, но при этом
несколько теряется точность.
104 г, С
°<р ! р
105г, С
Рис. 1. Сравнение Х РМ (1) и алгоритма У илкинса (2) по о ір: а - полусинус, б - экспонента.
На рис. 2 приведено сравнение распределений радиальных напряжений
вдоль толщины цилиндра при нагрузке в виде функции Хевисайда для
характерных времен: г = к/2с, 9к/2с, рассчитанных двумя указанными мето
дами (к - толщина цилиндра; с - скорость звука в его материале).
Видно, что ХРМ более точен: не происходит “завала” волнового фрон
та, который явно виден на полученной методом Уилкинса кривой и прогрес
сирует с ростом времени. Тем не менее алгоритм Уилкинса в отличие от
ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2002, № 3 123
П. П. Лепихин, В. А. Ромащенко, О. С. Бейнер и др.
ХРМ является более устойчивым и позволяет учитывать геометрически и
физически нелинейные эффекты. Расхождение результатов, полученных дву
мя отмеченными методами, по интенсивности напряжений на внутренней
поверхности цилиндра, где она имеет наибольшее значение, не превышает
5%.
Рис. 2. Сравнение ХРМ (1) и алгоритма Уилкинса (2) по ог при нагрузке в виде функции
Хевисайда: а - t = 0,3 • 10_5 с; б - t = 2,7 • 10_5 с.
г, м
При анализе двухмерных задач использовали двухмерный метод Уил
кинса. Цилиндры длиной Ь = 3^1 полагали свободными с обоих торцов
либо неподвижно защемленными на одном из них. Параметры нагрузки,
внутренний и внешний радиусы цилиндра те же, что и в предыдущих
расчетах. Установлено, что максимальная интенсивность напряжений возни
кает на внутренней поверхности цилиндра. Причем в случае двух свободных
торцов - по середине, а при защемлении одного торца - вблизи свободного
края. Проведено сравнение полученных методом Уилкинса результатов по
максимальной интенсивности напряжений о 1 тах с одномерными расчетами
ХРМ. При нагружении давлением в виде экспоненты результаты по о 1 тах
превышали данные одномерного расчета, полученные для бесконечно длин
ного тела, на 18% для цилиндра со свободными краями и на 32% при
защемлении одного торца, при нагружении функцией Хевисайда - на 1 и
18%, при нагружении треугольным импульсом - на 26 и 43% соответствен
но. При нагружении импульсом давления в виде полусинуса расхождение
имело обратный знак и составило соответственно - 6 и 3%.
При расчетах конических оболочек с углом раствора конуса 2а один из
торцов (с минимальными радиусами) считался закрепленным, так как в
противном случае конус получил бы ненулевую составляющую импульса в
продольном направлении и начал бы двигаться вдоль своей оси как жесткое
тело. Для штамповки на пресс-пушке (полусинус) и газодетонационной
штамповки (функция Хевисайда) согласно методике [2], а также для мо
дельного треугольного импульса нагрузка принималась равномерно распре
деленной по образующей матрицы. В случае штамповки на пресс-пушке
масса снаряда принималась равной 0,5 кг, радиус снаряда - 0,025 м, высота
столба жидкости в переходнике - 0,06 м, высота обечайки - 0,09 м. Расчет
124 1&$М 0556-171Х. Проблемы прочности, 2002, № 3
О применимости одномерных моделей
параметров внешней нагрузки для полусинуса осуществлялся по методике
[2]. Амплитуды давлений в виде равнобедренного треугольника и функции
Хевисайда приняты 80 МПа. Для каждого из трех значений постоянных
вдоль длины матрицы толщины к и тангенса половины угла раствора
конуса а) вычислялось максимальное значение интенсивности напряже
ний о 1 тах2 в конической оболочке. Также для каждой конической оболочки
методом Уилкинса проводили одномерные расчеты эквивалентных беско
нечно длинных цилиндров, геометрические размеры которых и параметры
нагружения определяли по методике [2]. Для каждого эквивалентного ци
линдра находили значение максимальных эквивалентных напряжений о {тах.
Из полученных значений о {тах выбирали наибольшее о {таХ1. Для всех
исследуемых случаев определяли значение отношения М = о{тах̂ о{тах1.
На рис. 3 показано изменение величины М в зависимости от tg а для
разных значений к. Видно, что в случае треугольной нагрузки численная
методика [2] не может быть рекомендована для проведения прочностных
расчетов во всех рассмотренных случаях.
*ёС(
0,2 0,4 0,6 0,2 0,4 0,6
ба
в
при газодетонационной штамповке -
к > 0,03 м вплоть до угла раствора 30'
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2002, № 3
Рис. 3. С равнение одно- и двухмерны х
р а с ч е т о в д л я к о н и ч е с к и х т е л : а -
треугольник; б - функция Х евисайда; в -
п о л у с и н у с ( А - к = 0 ,0 0 6 м ; ■ -
к = 0,015 м; ♦ - к = 0,030 м).
В технологических процессах
штамповки на пресс-пушке мето
дика [2] может быть применена для
инженерных оценок прочности ко
нических матриц с погрешностью
порядка 10% для матриц толщиной
не менее 0,03 м вплоть до угла
раствора конуса 25°, в то время как
для расчета конических матриц при
125
П. П. Лепихин, В. À. Ромащенко, О. С. Бейнер и др.
Р е з ю м е
Проведено порівняльний аналіз характеристико-різницевого методу й алго
ритму Уілкінса стосовно задач нестаціонарного деформування одновимір-
них циліндричних товстостінних оболонок. На основі зіставлення одно- і
двовимірних розв’язків крайових задач динамічної теорії пружності за мето
дом Уілкінса встановлено межі застосування одновимірних моделей для
оцінки міцності матриць для імпульсної штамповки замкнених обичаєк
циліндричної і конічної форми.
1. Пихтовников Р. В., Завьялова В. И. Штамповка листового металла
взрывом. - М.: Машиностроение, 1964. - 175 с.
2. ОСТ 1.41177-78. Расчет на прочность матриц для штамповки импульс
ными нагрузками листовых замкнутых осесимметричных обечаек / B. И.
Завьялова, Г. Л. Корнилов, П. П. Лепихин, B. С. Сотников. - М.: НИАТ,
1978. - 58 с.
3. ОСТ 1.527бб-8б. Матрицы для штамповки импульсными нагрузками
листовых полусферических оболочек и замкнутых осесимметричных
обечаек. Расчет на прочность /B. И. Завьялова, Г. Л. Корнилов, Ш. У.
Галиев и др. - М.: НИИД, 1986. - 54 с.
4. Завьялова В. И., Корнилов Г. Л., Лепихин П. П. Расчет на прочность
силовых элементов технологического оборудования для импульсного
формообразования замкнутых осесимметричных обечаек // Импульсная
обработка металлов давлением. - 1981. - Bbm. 9. - С. 10 - 19.
5. Лепихин П. П., Рубан À. П., Максимук Б. Я. Расчет на прочность
рабочих камер газодетонационных прессов // Bопросы механики дефор
мируемого твердого тела. - 1979. - Bbm. 2. - С. 107 - 111.
6. Сапрыкин В. Н. Напряженно-деформированное состояние толстостен
ного цилиндра при импульсном нагружении по боковым поверхностям
// Там же. - Bbm. 1. - С. 3 - 35.
7. Лепихин П. П. Напряженно-деформированное состояние двухслойной
цилиндрической оснастки при нагружении импульсным нормальным
давлением синусоидальной формы // Там же. - С. 35 - 40.
8. Shun-Chin Chou and Greif R. Numerical solution of stress waves in layered
media // AIAA Journal. - 1966. - No. 1. - P. 144.
9. Уилкинс М. Л. Расчет упруго-пластических течений // Bычислительные
методы в гидродинамике. - М.: Мир, 1967. - С. 212 - 263.
10. Малинин H. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. - М.:
Машиностроение, 1975. - 400 с.
П оступила 14. 11. 2001
126 ISSN 055б-171Х. Проблемы прочности, 2002, N 3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-46791 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0556-171X |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T14:08:16Z |
| publishDate | 2002 |
| publisher | Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Лепихин, П.П. Ромащенко, В.А. Бейнер, О.С. Деменко, В.Ф. Нарыжный, А.Г. Иващенко, К.Б. 2013-07-06T18:03:23Z 2013-07-06T18:03:23Z 2002 О применимости одномерных моделей для оценки динамической прочности осесимметричных тел / П.П. Лепихин, В.А. Ромащенко, О.С. Бейнер, В.Ф. Деменко, А.Г. Нарыжный, К.Б. Иващенко // Проблемы прочности. — 2002. — № 3. — С. 120-126. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46791 539.37 Проведен сравнительный анализ характеристико-разностного метода и алгоритма Уилкинса применительно к задачам нестационарного деформирования одномерных цилиндрических толстостенных оболочек. На основе сопоставления одно- и двухмерных решений краевых задач динамической теории упругости, полученных методом Уилкинса, сделаны выводы о пределах применимости одномерных моделей для оценки прочности матриц для импульсной штамповки замкнутых обечаек цилиндрической и конической формы. Проведено порівняльний аналіз характеристико-різницевого методу й алгоритму Уілкінса стосовно задач нестаціонарного деформування одновимір- них циліндричних товстостінних оболонок. На основі зіставлення одно- і двовимірних розв’язків крайових задач динамічної теорії пружності за методом Уілкінса встановлено межі застосування одновимірних моделей для оцінки міцності матриць для імпульсної штамповки замкнених обичаєк циліндричної і конічної форми A comparative analysis has been performed on application of the characteristic-difference method and the Wilkins algorithm to the problems of nonstationary deformation of one-dimensional cylindrical thick-walled shells. By comparing one- and two-dimensional solutions of boundary problems of the dynamic theory of elasticity obtained by the Wilkins method, we determine the applicability limits of the one-dimensional models for evaluation of the die stability in the process of pulse molding of closed-cut cylindrical and conical drums. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел О применимости одномерных моделей для оценки динамической прочности осесимметричных тел On the Application of One-Dimensional Models for Evaluation of Dynamic Stability of Axisymmetric Bodies Article published earlier |
| spellingShingle | О применимости одномерных моделей для оценки динамической прочности осесимметричных тел Лепихин, П.П. Ромащенко, В.А. Бейнер, О.С. Деменко, В.Ф. Нарыжный, А.Г. Иващенко, К.Б. Научно-технический раздел |
| title | О применимости одномерных моделей для оценки динамической прочности осесимметричных тел |
| title_alt | On the Application of One-Dimensional Models for Evaluation of Dynamic Stability of Axisymmetric Bodies |
| title_full | О применимости одномерных моделей для оценки динамической прочности осесимметричных тел |
| title_fullStr | О применимости одномерных моделей для оценки динамической прочности осесимметричных тел |
| title_full_unstemmed | О применимости одномерных моделей для оценки динамической прочности осесимметричных тел |
| title_short | О применимости одномерных моделей для оценки динамической прочности осесимметричных тел |
| title_sort | о применимости одномерных моделей для оценки динамической прочности осесимметричных тел |
| topic | Научно-технический раздел |
| topic_facet | Научно-технический раздел |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46791 |
| work_keys_str_mv | AT lepihinpp oprimenimostiodnomernyhmodeleidlâocenkidinamičeskoipročnostiosesimmetričnyhtel AT romaŝenkova oprimenimostiodnomernyhmodeleidlâocenkidinamičeskoipročnostiosesimmetričnyhtel AT beineros oprimenimostiodnomernyhmodeleidlâocenkidinamičeskoipročnostiosesimmetričnyhtel AT demenkovf oprimenimostiodnomernyhmodeleidlâocenkidinamičeskoipročnostiosesimmetričnyhtel AT naryžnyiag oprimenimostiodnomernyhmodeleidlâocenkidinamičeskoipročnostiosesimmetričnyhtel AT ivaŝenkokb oprimenimostiodnomernyhmodeleidlâocenkidinamičeskoipročnostiosesimmetričnyhtel AT lepihinpp ontheapplicationofonedimensionalmodelsforevaluationofdynamicstabilityofaxisymmetricbodies AT romaŝenkova ontheapplicationofonedimensionalmodelsforevaluationofdynamicstabilityofaxisymmetricbodies AT beineros ontheapplicationofonedimensionalmodelsforevaluationofdynamicstabilityofaxisymmetricbodies AT demenkovf ontheapplicationofonedimensionalmodelsforevaluationofdynamicstabilityofaxisymmetricbodies AT naryžnyiag ontheapplicationofonedimensionalmodelsforevaluationofdynamicstabilityofaxisymmetricbodies AT ivaŝenkokb ontheapplicationofonedimensionalmodelsforevaluationofdynamicstabilityofaxisymmetricbodies |